高中数学-直线与平面平行、平面与平面平行的性质

(2)本题是直线与平面平行的判定定理和性质定理的综合 应用.
(3)在寻求线线平行时,初中阶段学过的平行线的判定要 充分利用,如中位线的性质、等比例截割定理、平行四边 形的性质等.
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如图所示,已知 α∩β=CD,α∩γ=EF,β∩γ= AB,AB∥α.求证：ＣＤ ∥EF.
证明：∵ABβ,AB α,又
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学点一
学点二
学点三
1.一条直线与一个平面平行，则过这条直线的
任一平面 与此平面的交线与该直线平行.
这个定理叫做直线与平面平行的 性质定理 .用
符号表示为 a∥α,a β,α∩β=b a∥b
.
2.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那
么它们的
交线 平行.这个定理叫做平
面与平面平行的 性质定理 ，用符号表示为
件是
（）
A.m∥β且l1∥α C.m∥β且n∥β
B.m∥l1且n∥l2 D.m∥β且n∥l2
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4.平面α∥平面β，△ABC和△A′B′C′分别在
平面α和平面β内，若对应顶点的连线共点，则这
两个三角形
.
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5.已知平面α∥平面β,AB,CD是夹在两平行 平面间的两条线段，A，C在α内，B，D在β 内，点E，F分别在AB，CD上，且AE: EB=CF: FD=m: n.求证：EF∥α.
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6.如图2-3-10，四面体A—BCD被一平面所截，截面 与四条棱AB，AC，CD，分别相交于E，F，G，H 四点，且截面EFGH是一个平行四边形，求证： BC∥平面EFGH.
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∵A1B A1D1B，∴A1B∥平面ADC1.
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学点四 平行的综合问题 设Ｐ，Ｑ是单位正方体ＡＣ１的面ＡＡ１Ｄ１Ｄ、 面A1B1C1D1的中心.证明：ＰＱ∥平面AA1B1B
【分析】学完了空间中的平行关系，要证明直线和 平面平行的途径主要有两种：一是可以由线线平行 来证，即在平面内找一条直线和已知直线平行；二 是通过面面平行的性质来证明.
∵α∥β，∴ＥＤ∥ＡＣ.
又Ｐ，Ｎ为ＡＥ，ＣＤ的中点，
∴ＰＮ∥ＥＤ，ED α, PN α,∴ＰＮ∥平面α.
同理可证ＭＰ∥ＢＥ，∴ＭＰ∥平面α,又∵PN∩MP=P, ∴平面ＭＰＮ∥平面α.
∴ＭＮ∥平面α.
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【点评】（１）分类讨论常用于位置关系不确定的条件. (2)本题是平面几何中梯形中位线在空间的推广.
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1.已知三条互相平行的直线a,b,c中，a α,b β,c β，则两个平面α,β的位置关系是（ ）
A.平行
B.相交
C.平行或相交
D.不能确定
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2.经过平面α外两点，作与平面α平行的平面，则
这样的平面可以作
（）
A.1个或2个
B.0个或1个
C.1个
D.0个
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3.设 m，n是平面α内的两条不同直线，l1,l2是平 面β内的两条相交直线，则能使α∥β的一个条
.
∴AC∥MN∥AC,且AC＝ 13ＡＣ.
∴AC∥平面ＡＢＣ.
同理，A′B′∥平面ＡＢＣ.
又∵AC∩A′B′=A′,
∴平面Ａ′Ｂ′Ｃ′∥平面ＡＢＣ.
1
1
（２）同理A′B′= AB3 , B=C BC3 ，
∴△A′B′C′∽△ABC.
∴S△A′B′C′
S△ABC =1：9.
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1.如何理解线面平行的性质定理？
∴OM∥平面PAHG.
∵平面PAHG∩平面BMD=GH,OM
∴OM∥GH.
∴AP∥GH.
BMD,
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学点三 面面平行的性质定理
已知ＡＢ，ＣＤ是夹在两个平行平面α，β之间 的线段，Ｍ，Ｎ分别为ＡＢ，ＣＤ的中点，求证： ＭＮ∥平面α.
【分析】分ＡＢ，ＣＤ是否共面两种情况.
【证明】①若ＡＢ，ＣＤ在同一平面内，则平面ＡＢＤＣ与α， β的交线为ＢＤ，ＡＣ.
Ｅ，ＥＱ，由题知ＰＥ∥ＤＤ１，ＤD1∥ＡＡ１，
∴PE∥AA1，∵ＥＱ∥A1B1，又∵ＰＥ∩EQ=E,
PE
ＡHale Waihona Puke Baidu１ Ａ１Ｂ１
１Ｂ１Ｂ， １Ｂ１Ｂ１，
∴面ＰＥＱ∥面ＡＡ１Ｂ１Ｂ.
又∵PQ
∴ＰＱ∥面AA1B1B.
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【点评】本题在证明线面平行时提供了三种证法，证法 一通过平行四边形的对边平行得到“线线平行”，从而 证得“线面平行”；证法二通过三角形的中位线与底边 平行得到“线线平行”，从而证得“线面平行”；证法 三是通过构造两个平行平面，然后运用面面平行的性质 来证，即先由“线线平行”证得“面面平行”，再由 “面面平行”得到“线面平行”.本题充分体现了“线线 平行”“线面平行”“面面平行”之间的转化.
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证法一：如图，连接AC交BD于O，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点.
又∵M是PC的中点，
∴AP∥OM.
∵OM
BMD，PA BMD，
∴PA∥平面BMD.
∵平面PAHG∩平面BMD=GH，PA 平面PAHG,
∴PA∥GH.
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证法二：同证法一有AP∥OM.
∵PA
PAHG,OM PAHG,
2.除了两个平面平行的性质定理外，两个平面平行还有下列性 质：
（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必平行
于另一个平面.用符号表示为：α∥β,a α a∥β.此性质由面面
平行得到线面平行，这也是线面平行的一个判定方法.
（2）夹在两个平行平面之间的平行线段相等；
（3）经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行.
表示平面的平行四边形的外面,并且使它与平行四边形的一 边或平行四边形内的一条线段平行.
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2.如何理解两个平面平行的性质定理？
平面平行的性质是根据面面平行、线面平行、线线平行的 定义直接给出的；判定直线与直线平行，进而判定直线与 平面平行和平面与平面平行，或者反过来由后者判定前者， 是立体几何最基本又最常见的一类问题.证明线面平行往往 转化为证明面面平行.
∵α∥β,∴AC∥BD.
又Ｍ，Ｎ为ＡＢ，ＣＤ的中点，∴ＭＮ∥ＢＤ.
α，MN α,∴ＭＮ∥平面α.
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②若ＡＢ，ＣＤ异面，如图所示，过Ａ作ＡＥ∥ＣＤ交α于 Ｅ，取ＡＥ中点Ｐ，连接ＭＰ， ＰＮ ，ＢＥ， ，ＥＤ.
∵AE∥CD,∴AE，ＣＤ确定 平面ＡＥＤＣ.则平面ＡＥＤＣ 与α，β的交线为ＥＤ，ＡＣ，
α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b a∥b
.
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学点一 用线面平行的性质定理证线线平行
若一直线和两个相交平面都平行,则这条直线和两平面的 交线平行.
【分析】条件中给出了线面平行,由性质定理,应转化为线 线平行.
【解析】已知:a∥α,a∥β,α∩β=b. 求证:a∥b.
证明:如图所示,过a作平面γ,设α∩γ=m,过a作平面δ,设
必须注意，已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何一 条直线都平行于另一个平面，但是分别在这两个平面内的 两条直线不一定平行，它们可能是平行直线，也可能是异 面直线，但不可能是相交直线，否则导致这两个平面就有 公共点.
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1.线面平行的性质定理应和线面平行的判定定理对照着记忆. 一个是由线面平行得到其他什么结论;另一个是由什么条件得 到线面平行,两者经常结合使用, 行.体现了数学中的转化思想,也体现了立体几何中的“降维” 与“升维”的思想方法.
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【证明】证法一：如图所示，分别取ＡＡ１，A1B1 的中点Ｍ，Ｎ，连接ＭＮ，ＮＱ，ＭＰ.
∵Ｐ，Ｑ分别是面ＡＡ１ Ｄ１Ｄ，面A1B1C1D1的中点，
∴ＭＰ∥AD, MP=
ＮＱ＝
1 2
Ａ１Ｄ１.
1 2
AD,NQ∥A1D1，
∴ＭＰ∥ＮＱ且ＭＰ＝ＮＱ.
∴四边形ＰＱＮＭ为平行四边形.
∴ＰＱ∥ＭＮ.
∵MN AA1B1B，
∵CQ∥
∴CQ∥MN.
∵ＥＦ是△ABC的中位线，∴Ｍ是ＰＣ的中点，
则Ｎ是ＰＱ的中点，即ＰＱ被平面ＥＦＧＨ平分.
【点评】Ｐ，Ｃ，Ｑ三点所确定的辅助平面是解决本题的 核心.有了面ＰＣＱ，就有了连接ＣＤ与面ＥＦＧＨ的桥梁， 线面平行的性质才能得以应用.
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如图2-3-4所示，已知ABCD是平行四边形，点P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G 和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
β∩δ=n.
∵a∥α,a γ,α∩γ=m,
∴a∥m.同理a∥n, ∴m∥n.
∵m β,n β,∴m∥β,
又∵m α,α∩β=b,
∴m∥b. 又∵a∥m,∴a∥b.
图2-3-2
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【点评】(1)如果已知直线与平面平行,在利用直线与平 面平行的性质定理时,常作过此直线与已知平面相交的辅 助平面,完成线面平行向线线平行的转化,再由线线平行 向线面平行转化,这种互相转化的思想方法的应用,在立 体几何中十分常见.
AA1B1B 面，
∴ＰＱ∥面 AA1B1B .
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证法二：如图所示，连接ＡＤ１，ＡＢ１，在△AB1D1中， 显然Ｐ，Ｑ分别是ＡＤ１，D1Ｂ１的中点,
∴PQ∥ＡＢ１，且ＰＱ＝
1 2
ＡＢ１.
∵PQ
１Ｂ１Ｂ，
ＡＢ１
１Ｂ１Ｂ，
∴ＰＱ∥平面ＡＡ１Ｂ１Ｂ.
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证法三：如图所示，取Ａ１Ｄ１的中点Ｅ，分别连接Ｐ
线面平行的性质定理是由线面平行推出线线平行,此处的线 线是指与平面平行的一条直线和过这条直线的平面与已知平 面的交线.这个定理用符号语言来表示,
即 a∥α aβ
a∥b在应用该定理时,要防止出现“一
α∩β=b
条直线平行于一个平面就平行于这个平面内的一切直线”的
错误.
画一条直线与已知平面平行时,通常把表示直线的线段画在
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如图所示，正三棱柱ABC— A1B1C1中，D是BC的中点，试 判断A1B与平面ADC1的位置关 系，并证明你的结论.
直线A1B∥平面ADC1，取B1C1的中点D1，连接A1D1，BD1， 则A1D1∥AD,D1B∥C1D,
∴AD∥平面A1D1B，C1D∥平面A1D1B.
又∵AD∩C1D=D,∴平面ADC1∥平面A1D1B，
【分析】利用“线∥ ∥面”的转化.
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【证明】 (1)∵Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是ＡＣ，ＣＢ，ＢＤ，
ＤＡ的中点，∴ＥＨ∥CD,FG∥CD,∴EH∥FG,
因此，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ共面.
∵CD∥EH,CD
∴ＣＤ∥平面ＥＦＧＨ，同理，ＡＢ∥平面ＥＦＧＨ.
(2)设ＰＱ∩平面ＥＦＧＨ＝Ｎ，连接ＰＣ.
设ＰＣ∩ＥＦ＝Ｍ，平面ＰＣＱ∩平面ＥＦＧＨ＝ＭＮ.
∵AB∥α,α∩β=CD,∴AB∥CD,同理ＡＢ∥ＥＦ，∴Ｃ Ｄ∥ＥＦ.
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学点二 直线与平面平行的判定及性质定理的应用
如图所示，线段ＡＢ，ＣＤ所在直线是异面直线，Ｅ，Ｆ， Ｇ，Ｈ分别是线段ＡＣ，ＣＢ，ＢＤ，ＤＡ的中点.
(1) 求证：Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ共 面并且所在平面平行于直线Ａ Ｂ和ＣＤ； (2) 设Ｐ，Ｑ分别是ＡＢ和Ｃ Ｄ上任意一点，求证：ＰＱ被 平面ＥＦＧＨ平分.
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已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B′，C′是 △PBC,△PCA,△PAB的重心.
(1)求证：面Ａ′Ｂ′Ｃ′∥面ＡＢＣ；
(2)求S△A′B′C′
S△ABC .
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（１）证明：设Ｍ，Ｎ是ＢＣ，ＡＢ的中点.
连接ＰＮ，ＰＭ，则C′,Ａ′分别在ＰＮ,ＰＭ上.
在△PMN中，
PC PA 2 PN PM 3