2019-2020年高三数学一轮复习第九章平面解析几何第五节椭圆夯基提能作业本理

9.5椭圆必备知识预案自诊知识梳理1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.已知集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.(1)若a c,则点M的轨迹为椭圆;(2)若a c,则点M的轨迹为线段;(3)若a c,则点M不存在.2.椭圆的标准方程及性质形(1)过椭圆x2a2+y2b2=1上一点M(x0,y0)的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.(2)若点P(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1外,过点P作椭圆的两条切线,切点为P1,P2,则切点弦P1P2考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.()(3)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.()(4)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦距相同.()(5)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).()2.设F1,F2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则点P与椭圆左焦点间的距离为()A.4B.3C.2D.53.(2020江西南昌三中期末)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为√33,过F2的直线l交C于A,B两点,若△AF1B的周长为4√3,则椭圆C的方程为()A.x23+y22=1 B.x23+y2=1C.x212+y28=1 D.x212+y24=14.“0<m<2”是“方程x2m +y22-m=1表示椭圆”的条件(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”).5.(2020天津河北区线上测试,12)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,焦距为2√3,则椭圆的方程为.关键能力学案突破考点椭圆的定义及应用〖例1〗(1)已知F1,F2分别是椭圆E:x225+y29=1的左、右焦点,P为椭圆E上一点,直线l为∠F1PF2的外角平分线,过点F2作l的垂线,交F1P的延长线于点M,则|F1M|=()A.10B.8C.6D.4(2)(2020山东东营联考)设F1,F2是椭圆x24+y2b2=1(0<b<2)的左、右焦点,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|AF2|+|BF2|最大值为5,则椭圆的离心率为()A.12B.√22C.√5-12D.√32?解题心得常利用椭圆的定义求解的问题:(1)求解问题的结论中含有椭圆上动点到焦点的距离;(2)求解问题的条件中含有椭圆上动点到焦点的距离.对点训练1(1)过椭圆x 225+y216=1的中心任作一直线交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,则△PFQ的周长的最小值为()A.12B.14C.16D.18(2)已知点P(x,y)在椭圆x236+y2100=1上,F1,F2是椭圆的两个焦点,若△PF1F2的面积为18,则∠F1PF2的余弦值为.考点椭圆的标准方程及应用〖例2〗(1)(2020福建福州三模,理10)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2,右顶点为A.过原点与x轴不重合的直线交椭圆C于M,N两点,线段AM的中点为B,若直线BN经过椭圆C的右焦点,则椭圆C的方程为()A.x24+y23=1 B.x26+y25=1C.x29+y28=1 D.x236+y232=1(2)椭圆的离心率为√22,F为椭圆的一个焦点,若椭圆上存在一点与F关于直线y=x+4对称,则椭圆的方程为.(3)已知方程x2|m|-1+y22-m=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围?利用该方法应注意些什么?解题心得1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后根据条件建立关于a,b的方程组.2.若椭圆的焦点位置不确定,则要分焦点在x轴上或在y轴上两种情况求解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)的形式,避免讨论.3.椭圆的标准方程的两个应用:(1)椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与椭圆x2a2+y2b2=λ(a>b>0,λ>0)有相同的离心率.(2)与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为x2a2+k+y2b2+k=1(a>b>0,b2+k>0).恰当运用椭圆系方程,可使运算简便.4.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤.(1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能;(2)设方程:根据上述判断设椭圆标准方程为x 2a2 +y2 b2=1(a>b>0)或y2a2+x2b2=1(a>b>0);(3)找关系:根据已知条件,建立关于a,b的方程组;(4)得方程:解方程组求出a,b,即可得到椭圆的标准方程.对点训练2(1)(2020山东聊城调研)过点(3,2)且与椭圆3x2+8y2=24有相同焦点的椭圆方程为()A.x25+y210=1 B.x210+y215=1C.x215+y210=1 D.x225+y210=1(2)如图,中心在坐标原点,焦点分别在x 轴和y 轴上的椭圆C 1,C 2都过点A (0,-√2),且椭圆C 1,C 2的离心率相等,以椭圆C 1,C 2的四个焦点为顶点的四边形面积为2√2,则椭圆C 1的标准方程为 .(3)(2020湖南郴州二模)已知椭圆E 的中心为原点,焦点在x 轴上,椭圆上一点到焦点的最小距离为2√2-2,离心率为√22,则椭圆E 的方程为 .考点椭圆的几何性质及应用〖例3〗(1)(2020安徽合肥一中等六校检测)已知椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的右焦点为F ,短轴的一个端点为P ,直线l :4x-3y=0与椭圆相交于A ,B 两点.若|AF|+|BF|=6,点P 到直线l 的距离不小于65,则椭圆离心率的取值范围为( )A.(0,95]B.(0,√32] C.(0,√53] D.(13,√32] (2)设F 1,F 2是椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线x=2a 上一点,△F 2PF 1是底边为PF 1的等腰三角形,且直线PF 1的斜率为13,则椭圆E 的离心率为( )A.1013B.58C.35D.23(3)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,且|F 1F 2|=2c ,若椭圆上存在点M 使得在△MF 1F 2中,sin∠MF 1F 2a =sin∠MF 2F 1c,则该椭圆离心率的取值范围为( )A.(0,√2-1)B.(√22,1)C.(0,√22) D.(√2-1,1)?解题心得求离心率常见的方法有三种:①求出a ,c ,代入公式e=ca ;②由a 与b 的关系求离心率,利用变形公式e=√c 2a2=√a 2-b 2a 2=√1-b 2a2求解;③只需要根据一个条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合b 2=c 2-a 2转化为a ,c 的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).对点训练3(1)(2020河南洛阳一模)已知椭圆x 211-m +y 2m -3=1的长轴在y 轴上,且焦距为4,则m 等于( )A.5B.6C.9D.10(2)设F 是椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的右焦点,A 是椭圆E 的左顶点,P 为直线x=3a2上一点,△APF 是底角为30°的等腰三角形,则椭圆E 的离心率为( )A.34 B.23C.12 D.13(3)设椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆上运动,|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为m ,PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为n ,且m ≥2n ,则该椭圆的离心率的取值范围为 .考点直线与椭圆的综合问题(多考向探究)考向1 与弦长有关的问题〖例4〗已知椭圆M :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√63,焦距为2√2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B.(1)求椭圆M 的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)设点P (-2,0),直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ,若点C ,D 和点Q (-74,14)共线,求k 的值.?如何设直线的方程能减少计算量?解题心得与椭圆中点弦有关的问题应用椭圆中点弦的斜率公式k AB·k OM=-b2a2,即k AB=-b2x0a2y0比较方便快捷,其中点M的坐标为(x0,y0).解决此类问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”.这两种方法的前提都是必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点.对点训练4(2020山东菏泽一模,21)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以M(-a,b),N(a,b),F2和F1为顶点的梯形的高为√3,面积为3√3.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设A,B为椭圆C上的任意两点,若直线AB与圆O:x2+y2=127相切,求△AOB面积的取值范围.考向2中点弦、弦中点问题〖例5〗已知椭圆x 22+y2=1.(1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程;(2)求过点P12,12且被点P平分的弦所在直线的方程.?点差法应用于何种题型?解题心得直线方程的设法,根据题意,如果需要讨论斜率不存在的情况,则设直线方程为x=ty+m,避免讨论;若所研究的直线的斜率存在,则可设直线方程为y=kx+b的形式,若平行于坐标轴的直线都包含,则不要忘记斜率不存在的情况的讨论.对点训练5(2020山西太原五中3月摸底)若过椭圆x 216+y24=1内一点P(3,1)的弦被该点平分,则该弦所在的直线方程为()A.3x+4y-13=0B.3x-4y-5=0C.4x+3y-15=0D.4x-3y-9=0 考向3直线与椭圆的综合〖例6〗(2020北京,20)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(-2,-1),且a=2b.(1)求椭圆C的方程;(2)过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=-4于点P,Q,求|PB||BQ|的值.?什么是设而不求思想?解题心得求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想,即根据题意,列出有关的方程,利用代数的方法求解.为减少计算量,在代数运算中,经常运用设而不求的方法,即把题目中涉及的点的坐标利用未知量设出来,但不需求出这些未知量,只需联立方程,判别式Δ>0,然后根据韦达定理列出x1+x2,x1x2的关系式,利用弦长公式|AB|=√k2+1|x1-x2|=√k2+1√(x1+x2)2-4x1x2=√1+1k2|y1-y2|=√1+1k2√(y1+y2)2-4y1y2=√k2+1√Δ|a|,选好公式能减少计算量.对点训练6(2020北京西城一模)设椭圆E:x 22+y2=1,直线l1经过点M(m,0),直线l2经过点N(n,0),直线l1∥直线l2,且直线l1,l2分别与椭圆E相交于A,B两点和C,D两点.(1)若M,N分别为椭圆E的左、右焦点,且直线l1⊥x轴,求四边形ABCD的面积;(2)若直线l2的斜率存在且不为0,四边形ABCD为平行四边形,求证:m+n=0;(3)在(2)的条件下,判断四边形ABCD能否为矩形,说明理由.1.求椭圆标准方程的两种常用方法定义法根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)求椭圆的方程,先定性,后定量,利用待定系数法求解,注意焦点位置不定的要讨论.2.椭圆定义的应用技巧求方程通过对题设条件分析、转化后,能够明确动点P满足椭圆的定义,便可直接求解其轨迹方程求最值抓住|PF1|与|PF2|之和为定值,可联系到基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值;利用定义|PF1|+|PF2|=2a转化或变形,借助三角形性质求最值3.直线与椭圆相交时有关弦的问题的处理方法一般是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,注意直线斜率存在与否的讨论和判别式的符号判断的应用.9.5椭圆必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)>(2)=(3)<考点自诊1.(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√2.A由题意知,OM是△PF1F2的中位线,所以|OM|=12|PF2|,所以|PF2|=6,所以|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4.3.A因为△AF1B的周长为4√3,且△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a,所以4a=4√3,则a=√3,又因为ca =√33,解得c=1,所以b=√a2-c2=√2,故椭圆C的方程为x23+y22=1.4.必要不充分方程x2m +y22-m=1表示椭圆,即{m>0,2-m>0,m≠2-m,解得0<m<2,且m≠1,所以“0<m<2”是“方程x2m +y22-m=1表示椭圆”的必要不充分条件.5.x24+y2=1由题意,椭圆的焦距2c=2√3,所以c=√3,又离心率e=ca=√32,所以a=2,所以b=√a2-c2=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.关键能力·学案突破例1(1)A(2)A(1)(1)如图,由直线l为∠F1PF2的外角平分线,l⊥F2M,可得|PM|=|PF2|.而在椭圆E:x 225+y29=1中,a=5,2a=|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|=|F1M|=10.故选A.(2)因为x24+y2b2=1,则a=2,由0<b<2可知,焦点在x轴上.因为过点F1的直线l交椭圆于A,B两点,则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=8,所以|BF2|+|AF2|=8-|AB|,当AB垂直于x轴时|AB|最小,|BF2|+|AF2|值最大,此时|AB|=2b2a,又a=2,所以5=8-b2,解得b=√3,则椭圆的离心率e=ca =√1-b2a2=12.对点训练1(1)D(2)35(1)由椭圆的对称性可知,P,Q两点关于原点对称.设F'为椭圆另一焦点,则四边形PFQF'为平行四边形,由椭圆定义可知|PF|+|PF'|+|QF|+|QF'|=4a=20.又|PF|=|QF'|,|QF|=|PF'|,∴|PF|+|QF|=10.又PQ 为椭圆内过原点的弦,∴|PQ|min =2b=8,∴△PFQ 的周长的最小值为10+8=18.故选D .(2)椭圆x 236+y 2100=1的两个焦点为F 1(0,-8),F 2(0,8),由椭圆的定义知|PF 1|+|PF 2|=20,两边平方得|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1||PF 2|=202,由余弦定理得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|·cos ∠F 1PF 2=|F 1F 2|2=162,两式相减得2|PF 1||PF 2|(1+cos ∠F 1PF 2)=144.又S △PF 1F 2=12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2=18,所以1+cos ∠F 1PF 2=2sin ∠F 1PF 2.解得cos ∠F 1PF 2=35. 例2(1)C (2)x 218+y 29=1或y 218+x 29=1 (3)m<-1或1<m<32(1)(方法1)设M (x 0,y 0),则N (-x 0,-y 0),因为A (a ,0)且线段AM 的中点为B ,所以B (a+x 02,y 02),由B ,F ,N 三点共线,得F N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,依题意,F (1,0),故FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x 0-1,-y 0),FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a+x 02-1,y 02), 即-(x 0+1)y02+(a+x 02-1)y 0=0,又y 0≠0,解得a=3,所以b 2=32-12=8,所以椭圆C 的标准方程为x 29+y 28=1.故选C.(方法2)设M (x 0,y 0),则N (-x 0,-y 0),依题意,A (a ,0),因为AO 和NB 是△AMN 的中线,所以F (1,0)为△AMN 的重心,故x 0-x 0+a3=1,解得a=3,所以b 2=32-12=8,所以椭圆C 的标准方程为x 29+y 28=1.故选C.(2)由题意知ca =√22,得a 2=2b 2=2c 2.当焦点在x 轴上时,设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),在椭圆上任取一点P (x 0,y 0),取焦点F (-c ,0),则PF 的中点M 为(x 0-c 2,y 02),根据条件可得y02=x 0-c 2+4,k PF =y 0x0+c=-1,联立两式解得x 0=-4,y 0=4-c ,代入椭圆方程解得a=3√2,b=3.由此可得椭圆的方程为x 218+y 29=1,同理,当焦点在y 轴上时,椭圆的方程为y 218+x 29=1.(3)由x 2|m |-1+y 22-m =1表示焦点在y 轴上的椭圆,得2-m>|m|-1>0,解得m<-1或1<m<32. 对点训练2(1)C (2)x 24+y 22=1(3)x 28+y 24=1(1)椭圆3x 2+8y 2=24化为x28+y 23=1,它的焦点为(±√5,0),可得c=√5,设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),可得9a 2+4b 2=1,又a 2-b 2=5,所以a=√15,b=√10,故所求的椭圆方程为x 215+y 210=1. (2)由题意可设椭圆C 1:x 2a 2+y 22=1,C 2:y 22+x 2b 2=1(a>√2,0<b<√2),由a 2-2a 2=2-b 22,得ab=2,由2√a 2-2·√2-b 2=2√2,可得(a 2-2)(2-b 2)=2,解得a=2,b=1,即椭圆C 1的标准方程为x 24+y 22=1.(3)因为椭圆上一点到焦点的最小距离为a-c ,所以a-c=2√2-2,因为离心率e=√22,所以ca =√22, 解得a=2√2,c=2,则b 2=a 2-c 2=4, 所以椭圆E 的方程为x 28+y 24=1.例3(1)C (2)A (3)D (1)设椭圆的左焦点为F',P 为短轴的上端点,连接AF',BF',如下图所示:由椭圆的对称性可知,A ,B 关于原点对称,则|OA|=|OB|, 又|OF'|=|OF|,∴四边形AFBF'为平行四边形,∴AF=BF', 又|AF|+|BF|=|BF|+|BF'|=2a=6,∴a=3, ∵点P (0,b )到直线l 距离d=|-3b |5≥65,∴b ≥2,∴√a 2-c 2=√9-c 2≥2, 即0<c ≤√5,∴e=ca ∈(0,√53].故选C.(2)由题意,因为△F 2PF 1是底边为PF 1的等腰三角形,所以|PF 2|=|F 2F 1|. 因为P 为直线x=2a 上一点,直线PF 1的斜率为13,△PDF 2是直角三角形,所以|PD|2+|DF 2|2=|PF 2|2,即(2a+c 3)2+(2a-c )2=4c 2,可得13e 2+16e-20=0,解得e=1013或e=-2(舍去). 故选A.(3)由正弦定理,可得|MF 1|sin∠MF 2F 1=|MF 2|sin∠MF 1F 2,结合题意可得|MF 1|c =|MF 2|a,所以|MF 1|c=|MF 2|a=|MF 1|+|MF 2|a+c.根据椭圆的定义可得|MF 1|+|MF 2|=2a ,所以|MF 1|=2F ca+c ,|MF 2|=2a 2a+c ,易知|MF 2|>|MF 1|.因为M 为椭圆上一点,所以a-c<|MF 2|<a+c ,即a-c<2a 2a+c <a+c , 整理得c 2+2ac-a 2>0,所以e 2+2e-1>0,解得√2-1<e<1.故选D.对点训练3(1)C (2)B (3)12,1 (1)由椭圆x 211-m +y 2m -3=1的长轴在y 轴上,且焦距为4,可得√m -3-11+m =2,解得m=9.故选C .(2)如图,设直线x=3a2与x 轴的交点为C ,由△APF 是底角为30°的等腰三角形和椭圆性质可知PF=AF=a+c ,FC=OC-OF=3a2-c ,由题意可知∠PFC=60°,所以cos ∠PFC=FCPF =3a2-c a+c =12,解得e=ca =23.故选B.(3)∵|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a , ∴|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a-|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |(a-c ≤|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤a+c ). ∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |(2a-|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)=-|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2a|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=-(|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-a )2+a 2.∵a-c ≤|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤a+c ,∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=-(|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-a )2+a 2∈〖b 2,a 2〗.∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值m=a 2.设P (x ,y ),则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-c-x ,-y )·(c-x ,-y )=x 2+y 2-c 2=x 2+b 2a 2(a 2-x 2)-c 2=1-b 2a 2x 2+b 2-c 2, ∵x ∈〖-a ,a 〗,∴x 2∈〖0,a 2〗,PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为n=b 2-c 2.由m ≥2n ,得a 2≥2(b 2-c 2)=2(a 2-2c 2),∴a 2≤4c 2,解得e=c a ∈12,1.例4解(1)由题意,得2c=2√2,所以c=√2.又e=ca =√63,所以a=√3,所以b 2=a 2-c 2=1,所以椭圆M 的方程为x 23+y 2=1.(2)设直线AB 的方程为y=x+m.由{y =x +m ,x 23+y 2=1消去y ,得4x 2+6mx+3m 2-3=0,则Δ=36m 2-4×4(3m 2-3)=48-12m 2>0,即m 2<4. 设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=-3m 2,x 1x 2=3m 2-34,所以|AB|=√1+k 2|x 1-x 2|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√6×√4-m 22,易得当m 2=0时,|AB|max =√6,故|AB|的最大值为√6.(3)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),则x 12+3y 12=3,x 22+3y 22=3.又P (-2,0),所以可设k 1=k PA =y 1x 1+2,直线PA 的方程为y=k 1(x+2).由{y =k 1(x +2),x 23+y 2=1消去y ,得(1+3k 12)x 2+12k 12x+12k 12-3=0,则x 1+x 3=-12k 121+3k 12,即x 3=-12k 121+3k 12-x 1.又k 1=y 1x1+2,代入上式可得x 3=-7x 1-124x 1+7,所以y 3=y14x 1+7,所以点C (-7x 1-124x 1+7,y14x 1+7). 同理可得点D (-7x 2-124x 2+7,y24x 2+7). 故QC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3+74,y 3-14),QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 4+74,y 4-14).因为Q ,C ,D 三点共线,所以(x 3+74)(y 4-14)-x 4+74(y 3-14)=0.将点C ,D 的坐标代入化简可得y 1-y2x 1-x 2=1,即k=1.对点训练4解(1)由题意,得b=√3,且2a+2c 2·√3=3√3,所以a+c=3.又a 2-c 2=3,解得a=2,c=1. 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)如图,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).当圆O 的切线l 的斜率存在时,设l 的方程为:y=kx+m. 切点为H ,连接OH ,则OH ⊥AB.联立{y =kx +m ,x 24+y23=1,整理得(3+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-12=0.所以x 1+x 2=-8k F 4k 2+3,x 1x 2=4m 2-124k 2+3. 又直线l 与圆O :x 2+y 2=127相切,所以OH=√k 2+1=√127. 所以m 2=12(1+k 2)7.又|AB|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+k 2·√64k 2m 2-4(4m 2-12)(4k 2+3)(4k 2+3)2=√1+k 2·√48(3+4k 2-m 2)(4k 2+3)2=√3√7√(1+k 2)(9+16k 2)(4k 2+3)2 =√3√71+k 216k 4+24k 2+9.①若k ≠0时, |AB|=√3√71+116k 2+24+9k 2.因为16k 2+24+9k 2≥2√16×9+24=48,当且仅当k=±√32时,等号成立. 所以|AB|≤√3√7√1+148=√3√74√3=√7,易知|AB|>√3√7,即√3√7<AB ≤√7. ②当k=0时,|AB|=√3√7.所以√3√7≤|AB|≤√7. 又|OH|=√3√7,所以S △AOB =12|AB|·|OH|=√32√7|AB|∈[127,√3].当圆O 的切线斜率不存在时,则AB 的方程为x=√127,或x=-√127.此时A ,B 的坐标分别为√127,√127,√127,-√127或-√127,√127,-√127,-√127. 此时S △AOB =127.综上,△AOB 面积的取值范围为[127,√3].例5解设弦的两端点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),中点为M (x 0,y 0),则有x 122+y 12=1,x 222+y 22=1,两式作差,得(x 2-x 1)(x 2+x 1)2+(y 2-y 1)(y 2+y 1)=0,因为x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0,y 2-y1x 2-x 1=k AB ,所以k AB =-x2y 0.①(1)设弦中点为M (x ,y ),由①式,2=-x2y,所以x+4y=0.故所求的轨迹方程为x+4y=0-43<x<43.(2)由①式及题意可知,弦所在的直线的斜率k=-x 02y 0=-12,所以其方程为y-12=-12x-12,即2x+4y-3=0.对点训练5A 设弦的两端点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P 为AB 中点.A ,B 在椭圆上,则x 1216+y 124=1,x 2216+y 224=1,两式相减,得x 12-x 2216+y 12-y 224=0,又因为x 1+x 2=6,y 1+y 2=2,可得y 1-y 2x 1-x 2=-34,则k=-34,直线AB 过点P (3,1),所以该弦所在的直线方程为y-1=-34(x-3),整理得3x+4y-13=0.故选A .例6解(1)由题意可得{4a 2+1b 2=1,a =2b ,解得{a 2=8,b 2=2,故椭圆C 的方程为x 28+y 22=1.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线MN 的方程为y=k (x+4),与椭圆方程x 28+y 22=1联立,可得x 2+4k 2(x+4)2=8,即(4k 2+1)x 2+32k 2x+(64k 2-8)=0,则x 1+x 2=-32k 24k 2+1,x 1x 2=64k 2-84k 2+1.直线MA 的方程为y+1=y 1+1x 1+2(x+2),令x=-4,可得y P =-2×y 1+1x 1+2-1=-2×k (x 1+4)+1x 1+2−x 1+2x 1+2=-(2k+1)(x 1+4)x 1+2,同理可得y Q =-(2k+1)(x 2+4)x 2+2.很明显y P y Q <0,且|PB ||BQ |=|yP yQ|,注意到y P +y Q =-(2k+1)x 1+4x 1+2+x 2+4x 2+2=-(2k+1)×(x 1+4)(x 2+2)+(x 2+4)(x 1+2)(x 1+2)(x 2+2),而(x 1+4)(x 2+2)+(x 2+4)(x 1+2)=2〖x 1x 2+3(x 1+x 2)+8〗=264k 2-84k 2+1+3×(-32k 24k 2+1)+8=2×(64k 2-8)+3×(-32k 2)+8(4k 2+1)4k 2+1=0,故y P +y Q =0,y P =-y Q .从而|PB ||BQ |=|yP y Q|=1.对点训练6(1)解由题意可得M (-1,0),N (1,0),令x=-1,得y=±√22,所以|AB|=√2,因为|BC|=|MN|=2,且四边形ABCD 是矩形,所以四边形ABCD 的面积为S=|AB|·|BC|=2√2.(2)证明设l 1为y=k (x-m ),则{x 22+y 2=1,y =k (x -m ),故(2k 2+1)x 2-4k 2mx+2m 2k 2-2=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 故{x 1+x 2=4k 2m2k 2+1,x 1x 2=2k 2m 2-22k 2+1, |AB|=√1+k 2|x 1-x 2| =√1+k 2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2 =√1+k 2√16k 2-8k 2m 2+82k 2+1,同理可得|CD|=√1+k 2√16k 2-8k 2n 2+82k 2+1,因为四边形ABCD 为平行四边形,所以|AB|=|CD|,故√1+k 2√16k 2-8k 2m 2+82k 2+1=√1+k 2√16k 2-8k 2n 2+82k 2+1,即m 2=n 2,又m ≠n ,所以m+n=0.(3)解设AB 中点为P (a ,b ),则x 122+y 12=1,x 222+y 22=1, 两式相减,得(x 1+x 2)(x 1-x 2)2+(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0,即a+2kb=0,同理可得CD 的中点Q (c ,d ),满足c+2kd=0,故k PQ =d -bc -a =d -b-2kd+2kb =-12k ≠-1k ,故四边形ABCD 不能为矩形.数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象,得到数学研究对象的素养.主要包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并用数学语言予以表征.数学抽象主要表现为:获得数学概念和规则,提出数学命题和模型,形成数学方法与思想,认识数学结构与体系.在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用弦中点的斜率公式: 一、问题的提出在研究直线与椭圆相交形成的弦中点的有关问题时,往往需要求出弦的斜率.如果已知直线l 与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)相交于A 、B 两点,线段AB 的中点为M (x 0,y 0),请抽象出弦AB 的斜率公式并以结论的形式表达出来,然后给出结论的证明.结论:若M (x 0,y 0)是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点,则有k AB =-b 2x0a 2y 0.A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则有k AB =y 1-y 2x 1-x 2,{x 12a 2+y 12b 2=1,x 22a 2+y 22b 2=1,两式相减,得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b2=0,整理得y 12-y 22x 12-x 22=-b 2a 2,即(y 1+y 2)(y 1-y 2)(x 1+x 2)(x 1-x 2)=-b 2a 2(x 1≠-x 2).因为M (x 0,y 0)是弦AB 的中点,所以k OM =y 0x 0=2y 02x 0=y 1+y 2x 1+x 2,所以k AB ·k OM =-b 2a 2即k AB =-b 2x 0a 2y 0.当x 1=-x 2时,AB 平行于x 轴,此时x 0=0,k AB =0,k AB =-b 2x 0a 2y 0也成立,综上,k AB =-b 2x0a 2y 0.二、定理的应用应用一 求椭圆的基本元素〖例1〗已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),点F 为左焦点,点P 为下顶点,平行于FP 的直线l 交椭圆于A ,B 两点,且AB 的中点为M (1,12),则椭圆的离心率为( )A.√22 B.12C.14D.√32A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∵AB 的中点为M (1,12),∴x 1+x 2=2,y 1+y 2=1,又A ,B 在椭圆上,∴x 12a 2+y 12b 2=1,x 22a 2+y 22b 2=1.两式相减,得y 1-y 2x 1-x 2·y 1+y2x 1+x 2=-b 2a 2,∵k AB =y 1-y 2x 1-x 2=k FP =-b c ,∴bc =2b 2a 2,∴a 2=2bc.∴a 4=4(a 2-c 2)c 2,∴c 2a 2=12,∴ca =√22.故选A..中点弦斜率公式适用于有关椭圆的弦的中点问题.2.利用中点弦的斜率公式求离心率,就是根据中点弦斜率与椭圆方程中的a ,b ,c 之间的关系,利用椭圆的有关性质构造齐次方程,抽象转化为解关于a ,b ,c 的方程.应用二 求中点弦所在直线方程〖例2〗过椭圆x 216+y 24=1内一点M (2,1)画一条弦,使弦被点M 平分,则这条弦所在的直线A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (2,1)为AB 的中点,所以x 1+x 2=4,y 1+y 2=2,又A ,B 两点在椭圆上,则x 12+4y 12=16,x 22+4y 22=16,两式相减,得(x 12−x 22)+4(y 12−y 22)=0,所以y 1-y 2x 1-x 2=-x 1+x 24(y 1+y 2)=-12,即k AB =-12.故所求直线方程为x+2y-4=0. (方法2)设所求直线方程为y-1=k (x-2),代入椭圆方程并整理得,(4k 2+1)x 2-8(2k 2-k )x+4(2k-1)2-16=0.又设直线与椭圆的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1,x 2是方程的两个根,于是 x 1+x 2=8(2k 2-k )4k 2+1,又M 为AB 的中点,所以x 1+x 22=4(2k 2-k )4k 2+1=2,解得k=-12,故所求直线方程为x+2y-4=0.(方法3)设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ,y ),由于弦的中点为M (2,1),则另一个交点为B (4-x ,2-y ),因为A ,B 两点在椭圆上,所以{x 2+4y 2=16,(4-x )2+4(2-y )2=16,两式相减得x+2y-4=0,由于过A ,B 的直线只有一条,故所求直线方程为x+2y-4=0.,一般先利用椭圆中点弦斜率公式求得中点弦的斜率,再根据点斜式求得中点弦所在的直线方程.应用三 求曲线轨迹方程〖例3〗过椭圆x 264+y 236=1上一点P (-8,0)作直线交椭圆于Q 点,则PQ 中点的轨迹方程为 .y 29=1(x ≠-8)方法1)设弦PQ 中点为M (x ,y ),弦端点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则有{9x 12+16y 12=576,9x 22+16y 22=576,两式相减得9(x 12−x 22)+16(y 12−y 22)=0,又因为x 1+x 2=2x ,y 1+y 2=2y ,所以9×2x (x 1-x 2)+16×2y (y 1-y 2)=0,所以y 1-y 2x 1-x 2=-9x16y,而k PQ =y -0x -(-8),故-9x16y=yx+8.化简可得9x 2+72x+16y 2=0(x ≠-8). 所以PQ 中点M 的轨迹方程为(x+4)216+y 29=1(x ≠-8).(方法2)设弦中点M (x ,y ),Q (x 1,y 1),由x=x 1-82,y=y12可得x 1=2x+8,y 1=2y ,又因为Q 在椭圆上,所以x 1264+y 1236=1,即4(x+4)264+4y 236=1,所以PQ 中点M 的轨迹方程为(x+4)216+y 29=1(x ≠-8).,一般利用椭圆中点弦斜率公式求得弦的斜率,再根据已知点与弦中点连线的斜率与已知直线的斜率相等求得轨迹方程,注意弦中点对方程的限制.应用四求参数的范围〖例4〗已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0),A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线l与x轴交于点P(x0,0),求证:-a2-b2a <x0<a2-b2a.AB的中点为M(x1,y1),由题设可知AB与x轴不垂直,∴y1≠0.由椭圆的中点弦斜率公式,得k AB=-b2a2·x1y1,∴k l=a2y1b2x1.∴直线l的方程为y-y1=a2y1b2x1(x-x1).把(x0,0)代入得x1=a2a2-b2x0.∵|x1|<a,∴-a<a2a2-b2x0<a,即-a2-b2a<x0<a2-b2a.,写出弦所在直线的方程,并用弦中点的横坐标的范围抽象出不等式来求解参数范围.技巧一巧用平面几何性质〖例1〗已知椭圆C:x 24+y23=1的右焦点为F,P为椭圆C上一动点,定点A(2,4),则|PA|-|PF|的最小值为.C的左焦点为F',则|PF|+|PF'|=4,所以|PF|=4-|PF'|,所以|PA|-|PF|=|PA|+|PF'|-4.如图,易知当点P在线段AF'上时,|PA|+|PF'|取最小值|AF'|=√(2+1)2+(4-0)2=5.所以|PA|-|PF|的最小值为1.解题心得解决此类问题要熟练掌握平面几何的性质,利用数形结合,找到解题的关键.技巧二设而不求,整体代换〖例2〗已知椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点.若AB的中点坐标为M(1,-1),则椭圆E的标准方程为()A.x245+y236=1 B.x236+y227=1C.x227+y218=1 D.x218+y29=1A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=2,y 1+y 2=-2,x 12a 2+y 12b 2=1,x 22a 2+y 22b 2=1,两式相减得(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1-y 2)b 2=0,所以k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-b 2(x 1+x 2)a 2(y1+y 2)=b 2a 2.又k AB =0+13-1=12,所以b 2a 2=12.又a 2-b 2=c 2=9,所以b 2=9,a 2=18. 所以椭圆E 的标准方程为x 218+y 29=1.解题心得本题设出A ,B 两点的坐标,却不求出A ,B 两点的坐标,巧妙地表达出直线AB 的斜率,通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系,从而快速解决问题.技巧三 巧用“根与系数的关系”,化繁为简〖例3〗已知椭圆x 24+y 2=1的左顶点为A ,过点A 作两条互相垂直的弦AM ,AN 交椭圆于M ,N 两点.(1)当直线AM 的斜率为1时,求点M 的坐标;(2)当直线AM 的斜率变化时,直线MN 是否过x 轴上的一个定点?若过定点,请给出证明,并求出该定点;若不过定点,请说明理由.当直线AM 的斜率为1时,直线AM 的方程为y=x+2,代入椭圆方程并化简得5x 2+16x+12=0,解得x 1=-2,x 2=-65.所以点M (-65,45).(2)由题意可知直线AM ,AN 的斜率存在,且不为0.设直线AM 的斜率为k (k ≠0),直线AM 的方程为y=k (x+2),直线AN 的方程为y=-1k (x+2). 由{y =k (x +2),x 24+y 2=1, 化简得(1+4k 2)x 2+16k 2x+16k 2-4=0, 则x A +x M =-16k 21+4k 2.又x A =-2,所以x M =-x A -16k 21+4k 2=2-16k 21+4k 2=2-8k 21+4k 2. 同理,可得x N =2k 2-8k 2+4. 当x M =x N 时,2-8k 21+4k 2=2k 2-8k 2+4,解得k=±1.此时直线MN 的方程为x=-65,直线MN 过x 轴上的点(-65,0).当x M ≠x N 时,k ≠±1,因为点M (2-8k 21+4k 2,4k1+4k 2),N 2k 2-8k 2+4,-4kk 2+4,所以k MN =4k 1+4k 2+4kk 2+42-8k 21+4k 2-2k 2-8k 2+4=5k4-4k 2,所以直线MN 的方程为y-4k1+4k2=5k 4-4k 2x-2-8k 21+4k 2.令y=0,得x=-65.所以直线MN 过x 轴上的点(-65,0). 综上所述,直线MN 过x 轴上的定点(-65,0).解题心得在圆锥曲线问题中,常设出直线与圆锥曲线的两个交点坐标,联立直线方程与圆锥曲线方程,消元得到一元二次方程,利用根与系数的关系,得到两个交点横坐标或纵坐标的关系.这是解决圆锥曲线问题的常用方法.通过设而不求,大大降低了运算量,体现了整体思想.技巧四 巧妙“换元”减少运算量〖例4〗如图,已知椭圆C 的离心率为√32,A ,B ,F 分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点,且S △ABF =1-√32.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知直线l :y=kx+m 与圆O :x 2+y 2=1相切,若直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,求△OMN 面积的最大值.由已知得椭圆C 的焦点在x 轴上,设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),则点A (a ,0),B (0,b ),F (c ,0),c=√a 2-b 2.由已知得e 2=c 2a 2=a 2-b 2a 2=34,所以a 2=4b 2,即a=2b ,则c=√3b.又S △ABF =12|AF||OB|=12(a-c )b=1-√32, 所以12(2b-√3b )b=1-√32,解得b=1.所以a=2,c=√3.所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)圆O 的圆心坐标为(0,0),半径r=1,由直线l :y=kx+m 与圆O :x 2+y 2=1相切,得√1+k 2=1,故m 2=1+k 2.由{x 24+y 2=1,y =kx +m 消去y ,得(1+4k 2)x 2+8kmx+4(m 2-1)=0. 由题意可知k ≠0,所以Δ=16(4k 2-m 2+1)=48k 2>0. 设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=-8km4k 2+1,x 1x 2=4m 2-44k 2+1,所以|x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√(-8km 4k 2+1)2-4×4m 2-44k 2+1=√16(4k 2-m2+1)(4k 2+1)2=√48k 2(4k 2+1)2,所以|x 1-x 2|=4√3|k |4k 2+1.所以|MN|=√1+k 2|x 1-x 2|=√1+k 2·4√3|k |4k 2+1=4√3k 2(k 2+1)4k 2+1.所以△OMN 的面积S=12|MN|×1=2√3k 2(k 2+1)4k 2+1. 令t=4k 2+1,则t>1,k 2=t -14,所以S=2√3×t -14(t -14+1)t 2=√32√(t -1)(t+3)t 2=√32√t 2+2t -3t2=√32√-3t2+2t+1=32√-(1t -13)2+49.当t=3,即4k 2+1=3,即k=±√22时,S 取得最大值,最大值为32×√49=1.解题心得圆锥曲线中的最值问题往往转化为函数的最值问题,可先根据已知条件建立目标函数,再求出函数的最值.在求函数的最值时,有时会利用换元,起到消除根号、降次等目的.。

第五节椭圆1．椭圆的定义平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F 1F 2）的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点．集合P＝{M｜MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c,其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．（1)当2a＞F1F2时，P点的轨迹是椭圆;(2）当2a＝F1F2时，P点的轨迹是线段；（3）当2a＜F1F2时，P点不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）图形性质范围x∈［－a，a]，y∈［－b，b]x∈［－b，b],y∈［－a，a］［小题体验］1．已知椭圆错误!＋错误!＝1的两焦点为F1,F2，过F1作直线交椭圆于A,B两点,则△ABF2的周长为________．答案：122．已知直线x－2y＋2＝0过椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)的左焦点和一个顶点，则椭圆的方程为________．解析：直线x－2y＋2＝0与x轴的交点为（－2,0),即为椭圆的左焦点，故c＝2.直线x－2y＋2＝0与y轴的交点为（0,1），即为椭圆的顶点，故b＝1,所以a2＝b2＋c2＝5,故椭圆的方程为错误!＋y2＝1.答案：错误!＋y2＝13．已知椭圆的一个焦点为F(1，0),离心率为错误!，则椭圆的标准方程为________．解析：设椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1(a＞b＞0）．因为椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率e＝错误!,所以错误!解得错误!故椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1.答案:错误!＋错误!＝11．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置,而直接设方程为错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）．2．注意椭圆的范围，在设椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0）上点的坐标为P(x，y）时，｜x|≤a，|y|≤b，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用,也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．［小题纠偏]1．（2019·无锡一中月考）已知椭圆错误!＋错误!＝1的焦距为6，则m＝________.解析：∵椭圆错误!＋错误!＝1的焦距为6，∴当焦点在x轴时，(13－m）－(m－2）＝9，解得m＝3；当焦点在y轴时，(m－2)－（13－m）＝9,解得m＝12。

第5讲椭圆1．已知椭圆错误!＋错误!＝1的焦点在x轴上，焦距为4，则m等于（)A．8 B．7C．6 D．5解析：选A.因为椭圆错误!＋错误!＝1的焦点在x轴上．所以错误!解得6〈m<10.因为焦距为4，所以c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8。

2．（2019·湖北武汉模拟)已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是错误!，则此椭圆的标准方程是( )A.错误!＋错误!＝1B.x216＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1C。

x216＋错误!＝1D.错误!＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1解析：选B。

因为a＝4，e＝错误!，所以c＝3,所以b2＝a2－c2＝16－9＝7.因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是错误!＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1。

3．(2019·湖北八校联考）设F1，F2分别为椭圆错误!＋错误!＝1的两个焦点，点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上，则错误!的值为( )A.错误!B.错误!C.49D。

错误!解析：选B。

由题意知a＝3，b＝错误!，c＝2.设线段PF1的中点为M，则有OM∥PF2，因为OM⊥F1F2，所以PF2⊥F1F2，所以｜PF2｜＝错误!＝错误!。

又因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝6，所以|PF1｜＝2a－｜PF2｜＝133,所以错误!＝错误!×错误!＝错误!，故选B.4．(2018·高考全国卷Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°,则C的离心率为( ）A．1－错误! B．2－错误! C。

错误! D。

错误!－1解析：选D。

由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，｜F1F2|＝2c，所以|PF2｜＝c，|PF1|＝错误!c.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2｜＝2a，即错误!c＋c＝2a,所以(错误!＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!－1.故选D.5．（2019·湖南百校联盟联考)已知椭圆错误!＋错误!＝1（a>b〉0)的右顶点和上顶点分别为A、B,左焦点为F.以原点O为圆心的圆与直线BF相切，且该圆与y轴的正半轴交于点C，过点C 的直线交椭圆于M、N两点．若四边形FAMN是平行四边形,则该椭圆的离心率为( )A.错误!B。

基础巩固题组(建议用时：分钟)一、填空题.椭圆＋＝(>)的焦距为，则的值等于.解析当>时，－＝，∴＝；当<<时，－＝，∴＝.答案或.设，分别是椭圆＋＝的左、右焦点，为椭圆上一点，是的中点，＝，则点到椭圆左焦点的距离为.解析由题意知，在△中，＝＝，∴＝，∴＝－＝－＝.答案.(·苏州调研)已知中心在原点的椭圆的右焦点为(，)，离心率等于，则的方程是. 解析依题意，所求椭圆的焦点位于轴上，且＝，＝＝⇒＝，＝－＝，因此其方程是＋＝.答案＋＝.若椭圆＋＝上一点到焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离是.解析由椭圆定义知＋＝，又＝，∴＝.答案.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点(，)、(－，－)，则椭圆的方程为.解析设椭圆方程为＋＝(>，>且≠).∵椭圆经过点、，∴点、的坐标适合椭圆方程.则①、②两式联立，解得∴所求椭圆方程为＋＝.答案＋＝.(·南京师大附中调研)已知椭圆：＋＝(>>)的左、右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，若椭圆的中心到直线的距离为，则椭圆的离心率＝.解析设椭圆的焦距为(<)，由于直线的方程为＋－＝，∴＝，∵＝－，∴－＋＝，解得＝或＝(舍去)，∴＝.答案.已知椭圆＋＝(>>)的离心率等于，其焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△中，＋)的值等于.解析在△中，由正弦定理得＋)＝，因为点在椭圆上，所以由椭圆定义知＋＝，而＝，所以＋)＝＝＝.答案.(·遵义联考)已知是以、为焦点的椭圆＋＝(>>)上一点，若·＝，∠＝，则椭圆的离心率为.解析∵＋＝，∵·＝，∴⊥，∴＋＝＝，∵∠＝，∴＝，∴＝＝＋),\(\)(\\((＋)))\())＝,())＝，∴＝.答案二、解答题.如图所示，已知椭圆＋＝(>>)，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点.()若∠＝°，求椭圆的离心率；()若椭圆的焦距为，且＝，求椭圆的方程.解()∵＝＝，且∠＝°，＝，∴＝，∴＝，∴＝＝.()由题知(，)，(，)，设(，)，由＝，解得＝，＝－，代入＋＝，得＋＝，即＋＝，解得＝，∴＝－＝.。

第五节椭圆A组基础题组1.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是( )A. B.(1,+∞) C.(1,2) D.2.(2017黑龙江齐齐哈尔一中期末)已知椭圆的焦点在x轴上,离心率为,直线x+y-4=0与y轴的交点为椭圆的一个顶点,则椭圆的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=13.矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=3,则以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的短轴的长为( )A.2B.2C.4D.44.设椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若△PF1F2是直角三角形,则△PF1F2的面积为( )A.3B.3或C.D.6或35.已知椭圆+=1(0<b<2)的左,右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为5,则b的值是( )A.1B.C.D.6.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且过点P(-5,4),则椭圆的标准方程为.7.已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2∶,则椭圆C的方程是.8.椭圆+=1的左,右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2的大小为.9.已知椭圆的两焦点为F1(-,0),F2(,0),离心率e=.(1)求此椭圆的方程;(2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值.10.已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左,右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;(2)若=2,²=,求椭圆的方程.B组提升题组11.已知椭圆C:+=1的左,右焦点分别为F1,F2,椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点,则²的最大值为( )A. B. C. D.12.如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-2,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆C的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=113.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是.14.设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,点P在椭圆C上,线段PF1的中点在y轴上,若∠PF1F2=30°,则椭圆C的离心率为.15.(2016云南检测)已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O,离心率等于,以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4.直线l:y=kx+m与y轴交于点P,与椭圆E相交于A、B两个点.(1)求椭圆E的方程;(2)若=3,求m2的取值范围.答案全解全析A组基础题组1.C ∵方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,所以解得故k的取值范围为(1,2).2.C 设椭圆的方程为+=1(a>b>0),由题意知解得所以椭圆的方程为+=1.3.D 依题意得|AC|=5,椭圆的焦距2c=|AB|=4,长轴长2a=|AC|+|BC|=8,所以短轴长2b=2=2=4.4.C 由椭圆的方程知a=2,b=,c=1,当点P为短轴端点(0,)时,∠F1PF2=,△PF1F2是正三角形,若△PF1F2是直角三角形,则直角顶点不可能是点P,只能是焦点F1(或F2),此时|PF1|==,=³³2=.故选C.5.D 由椭圆的方程可知a=2,由椭圆的定义可知,|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2|)≥3,由椭圆的性质可知,过椭圆焦点的弦中,垂直于焦点所在坐标轴的弦最短,则=3.所以b2=3,即b=.6.答案+=1解析由题意设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).由离心率e=可得a2=5c2,所以b2=4c2,故椭圆的方程为+=1,将P(-5,4)代入可得c2=9,故椭圆的方程为+=1.7.答案+=1解析设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).由题意知解得a2=16,b2=12.所以椭圆C的方程为+=1.8.答案120°解析由椭圆定义知,|PF2|=2,|F1F2|=2³=2.在△PF1F2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2===-,∴∠F1PF2=120°.9.解析(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),由题意知c=,=,所以a=2,则b=1,所求椭圆方程为+y2=1.(2)由消去y,得5x2+8mx+4(m2-1)=0,则Δ=64m2-4³5³4(m2-1)>0,整理,得m2<5(*).设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,y1-y2=x1-x2,|PQ|==2.解得m=±,满足(*),所以m=±.10.解析(1)∠F 1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即b=c.所以a=c,所以e==.(2)由题知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=,设B(x,y).由=2,得(c,-b)=2(x-c,y),解得x=,y=-,即B.将B点坐标代入+=1,得+=1,即+=1,解得a2=3c2①.又由²=(-c,-b)²=,得b2-c2=1,即a2-2c2=1②.由①②解得c2=1,a2=3,从而有b2=2.所以椭圆的方程为+=1.B组提升题组11.B 由椭圆方程知c==1,所以F1(-1,0),F2(1,0),因为椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2,所以可设A(1,y0),代入椭圆方程可得=,所以y0=±.设P(x1,y1),则=(x1+1,y1),又=(0,y0),所以²=y1y0,因为点P是椭圆C上的动点,所以-≤y1≤,故²的最大值为,选B.12.B 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),焦距为2c,右焦点为F',连接PF',如图所示.因为F(-2,0)为C的左焦点,所以c=2.由|OP|=|OF|=|OF'|知,∠FPF'=90°,即FP⊥PF'.在Rt△PFF'中,由勾股定理,得|PF'|===8.由椭圆定义,得|PF|+|PF'|=2a=4+8=12,所以a=6,a2=36,于是b2=a2-c2=36-(2)2=16,所以椭圆的方程为+=1.13.答案解析由已知条件易得B,C,F(c,0),∴=,=,由∠BFC=90°,可得²=0,所以+=0,c2-a2+b2=0,即4c2-3a2+(a2-c2)=0,亦即3c2=2a2,所以=,则e==.14.答案解析如图,设PF1的中点为M,连接PF2.因为O为F1F2的中点,所以OM为△PF1F2的中位线.所以OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90°.因为∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2|PF2|.由勾股定理得|F1F2|==|PF2|,由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|⇒a=,2c=|F1F2|=|PF2|⇒c=, 则e==²=.15.解析(1)根据已知设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),由已知得=,∴c=a,b2=a2-c2=.∵以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4,∴4=2a=4,∴a=2,∴b=1.∴椭圆E的方程为x2+=1.(2)根据已知得P(0,m),设A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),由得,(k2+4)x2+2mkx+m2-4=0.由已知得Δ=4m2k2-4(k2+4)(m2-4)>0,即k2-m2+4>0,由一元二次方程的根与系数的关系知,x1+x2=,x1x2=.由=3得x1=-3x2,∴3(x1+x2)2+4x1x2=12-12=0.∴+=0,即m2k2+m2-k2-4=0.当m2=1时,m2k2+m2-k2-4=0不成立,∴k2=.由题意知k≠0,m≠0,结合m2k2+m2-k2-4=0,知k2-m2+4=m2k2>0,∴-m2+4>0,即>0.∴1<m2<4.∴m2的取值范围为(1,4).。

第九章 平面解析几何第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 2．斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α≠90°，则斜率k ＝tan_α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式1．若直线l 的倾斜角为60°，则该直线的斜率为________． 解析：因为tan 60°＝3，所以该直线的斜率为 3. 答案： 32．过点(0,1)，且倾斜角为45°的直线方程是________．解析：因为直线的斜率k ＝tan 45°＝1，所以由已知及直线的点斜式方程，得y －1＝x －0，即y ＝x ＋1.答案：y ＝x ＋13．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝________. 解析：令x ＝0，则l 在y 轴的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a.依题意2＋a ＝1＋2a，解得a ＝1或a ＝－2.答案：1或－24．已知a ≠0，直线ax ＋my －5m ＝0过点(－2,1)，则此直线的斜率为________． 解析：因为直线ax ＋my －5m ＝0过点(－2,1)，所以－2a ＋m －5m ＝0，得a ＝－2m ，所以直线方程为－2mx ＋my －5m ＝0.又a ≠0，所以m ≠0，所以直线方程－2mx ＋my －5m ＝0可化为－2x ＋y －5＝0，即y ＝2x ＋5，故此直线的斜率为2.答案：21．利用两点式计算斜率时易忽视x 1＝x 2时斜率k 不存在的情况．2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误．3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． 4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－A B.[小题纠偏]1．下列有关直线l ：x ＋my －1＝0的说法： ①直线l 的斜率为－m ； ②直线l 的斜率为－1m；③直线l 过定点(0,1)； ④直线l 过定点(1,0)．其中正确的说法是________(填序号)．解析：直线l ：x ＋my －1＝0可变为my ＝－(x －1)．当m ≠0时，直线l 的方程又可变为y ＝－1m (x －1)，其斜率为－1m，过定点(1,0)；当m ＝0时，直线l 的方程又可变为x ＝1，其斜率不存在，过点(1,0)．所以①②不正确，④正确．又将点(0,1)代入直线方程得m －1＝0，故只有当m ＝1时直线才会过点(0,1)，即③不正确．答案：④2．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________． 解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点．设x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a .则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0.答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0考点一 直线的倾斜角与斜率基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．直线x ＝π3的倾斜角等于________．解析：直线x ＝π3，知倾斜角为π2.答案：π22．(2019·南通调研)关于直线的倾斜角和斜率，有下列说法： ①两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等； ②平行于x 轴的直线的倾斜角为0°或180°；③若直线过点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)，则该直线的斜率为y 1－y 2x 1－x 2. 其中正确说法的个数为________．解析：若两直线的倾斜角均为90°，则它们的斜率都不存在，所以①不正确．直线倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°，所以平行于x 轴的直线的倾斜角为0°，不可能是180°，所以②不正确．当x 1＝x 2时，过点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的直线的斜率不存在；当x 1≠x 2时，过点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的直线的斜率才为y 1－y 2x 1－x 2，所以③不正确．答案：03．已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．解析：如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m.∴－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为－23≤m ≤12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，12[谨记通法]求倾斜角的取值范围的2个步骤及1个注意点(1)2个步骤：①求出斜率k ＝tan α的取值范围；②利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． (2)1个注意点：求倾斜角时要注意斜率是否存在．考点二 直线方程重点保分型考点——师生共研[典例引领](1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． 解：(1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.[由题悟法]直线方程求法中2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]已知直线l 过(2,1)，(m,3)两点，则直线l 的方程为______________． 解析：①当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2；②当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，代入方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0，即为x ＝2， 所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0.答案：2x －(m －2)y ＋m －6＝0考点三 直线方程的综合应用常考常新型考点——多角探明[命题分析]直线方程的综合应用是常考内容之一，它与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题； (2)与导数几何意义相结合的问题； (3)与圆相结合求直线方程问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．(2019·福建高考改编)若直线x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于________．解析：将(1,1)代入直线x a ＋y b＝1得1a ＋1b＝1，a >0，b >0，故a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a＋ab≥2＋2＝4，等号当且仅当a ＝b 时取到，故a ＋b 的最小值为4.答案：4角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．(2019·苏州模拟)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．解析：由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)， 则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 角度三：与圆相结合求直线方程问题3．在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：x 2＋y 2＝2(x ≥0)上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是________________．解析：直线OA 的方程为y ＝x ，代入半圆方程得A (1,1)，∴H (1,0)，直线HB 的方程为y ＝x －1， 代入半圆方程得B ⎝⎛⎭⎪⎫1＋32，－1＋32.所以直线AB 的方程为y －1－1＋32－1＝x －11＋32－1，即3x ＋y －3－1＝0. 答案：3x ＋y －3－1＝0[方法归纳]处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是________． 解析：由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6.答案：5π62．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是________． 解析：设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.答案：333．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是________．解析：直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.答案：x ＋y ＋1＝04．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是__________．解析：∵k ＝tan α，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π∴－3≤k <0或33≤k ≤1. 答案：[－3，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1 5．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过第________象限． 解析：由题意知A ·B ·C ≠0，直线方程变形为y ＝－ABx －C B.∵A ·C <0，B ·C <0，∴A ·B >0，∴其斜率k ＝－A B <0，又y 轴上的截距b ＝－C B>0.∴直线过第一、二、四象限，不经过第三象限．答案：三二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·常州一中月考)已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，若30°<θ<90°，则实数k 的取值范围是________．解析：因为30°<θ<90°，所以斜率k >0，且斜率k 随着θ的增大而增大，所以k >33. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 2．(2019·南京学情调研)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是________． 解析：依题意，直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈[)－1，0，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π3．若k ∈R ，直线kx －y －2k －1＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为________． 解析：y ＋1＝k (x －2)是直线的点斜式方程，故它所经过的定点为(2，－1)． 答案：(2，－1)4．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝05．直线l 1：(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5＝0的斜率与直线l 2：x －y ＋1＝0的斜率相同，则m 等于________．解析：由题意知m ≠±2，直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，即m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或3(m ＝2不合题意，舍去)，故m ＝3.答案：36．直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________． 解析：直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2)． 答案：(2，－2)7．一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________．解析：∵直线y ＝13x 的倾斜角为30°，所以所求直线的倾斜角为60°， 即斜率k ＝tan 60°＝ 3. 又该直线过点A (2，－3)，故所求直线为y －(－3)＝3(x －2)， 即3x －y －33＝0. 答案：3x －y －33＝08．(2019·盐城调研)若直线l ：x a ＋yb＝1(a >0，b >0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．解析：由直线l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)可知直线在x 轴上的截距为a ，直线在y 轴上的截距为b .求直线在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值，即求a ＋b 的最小值．由直线经过点(1,2)得1a ＋2b＝1.于是a ＋b ＝(a ＋b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ，因为b a ＋2a b≥2b a ·2ab＝22(当且仅当b a＝2ab时取等号)，所以a ＋b ≥3＋2 2. 答案：3＋2 29．已知A (1，－2)，B (5,6)，直线l 经过AB 的中点M ，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．解：法一：设直线l 在x 轴，y 轴上的截距均为a . 由题意得M (3,2)．若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴直线l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，设直线l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵直线l 过点(3,2)， ∴3a ＋2a＝1，解得a ＝5，此时直线l 的方程为x 5＋y5＝1，即x ＋y －5＝0.综上所述，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.法二：由题意知M (3,2)，所求直线l 的斜率k 存在且k ≠0，则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k；令x ＝0，得y ＝2－3k .∴3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0.10．过点A (1,4)引一条直线l ，它与x 轴，y 轴的正半轴的交点分别为(a,0)和(0，b )，当a ＋b 最小时，求直线l 的方程．解：法一：由题意，设直线l ：y －4＝k (x －1)，由于k <0， 则a ＝1－4k，b ＝4－k .∴a ＋b ＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k－k ≥5＋4＝9.当且仅当k ＝－2时，取“＝”． 故得l 的方程为y ＝－2x ＋6.法二：设l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)， 由于l 经过点A (1,4)，∴1a ＋4b＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋4a b ＋b a≥9，当且仅当4a b ＝ba时，即b ＝2a 时，取“＝”，即a ＝3，b ＝6.∴所求直线 l 的方程为x 3＋y6＝1，即y ＝－2x ＋6.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－e xx ＋2＝－1e x＋1ex ＋2，因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2e x·1ex ＝2当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号，所以e x＋1ex ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1ex ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12. 答案：122．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )． 又－1＋2k k<0且1＋2k >0，∴k >0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y＋4＝0.第二节 两直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 121．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则实数m 的值是________．解析：由题意可知k AB ＝4－mm ＋2＝－2，所以m ＝－8.答案：－82．已知直线l ：y ＝3x ＋3，那么直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程为__________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，3x －y ＋3＝0，得交点坐标P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－92.又直线x －y －2＝0上的点Q (2,0)关于直线l 的对称点为Q ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－175，95，故所求直线(即PQ ′)的方程为y ＋9295＋92＝x ＋52－175＋52，即7x ＋y ＋22＝0.答案：7x ＋y ＋22＝03．与直线y ＝－3x ＋1平行，且在x 轴上的截距为－3的直线l 的方程为________． 解析：由题意，知直线l 的斜率为－3，且在x 轴上的截距为－3，所以直线l 的方程为y －0＝－3[x －(－3)]，即3x ＋y ＋9＝0 .答案：3x ＋y ＋9＝01．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知p ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.答案：充要2．已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．解析：①若l 1的斜率不存在，此时t ＝1，l 1的方程为x ＝13，l 2的方程为y ＝－25，显然l 1⊥l 2，符合条件；若l 2的斜率不存在，此时t ＝－32，易知l 1与l 2不垂直．②当l 1，l 2的斜率都存在时，直线l 1的斜率k 1＝－t ＋21－t ，直线l 2的斜率k 2＝－t －12t ＋3，∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ＋21－t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－t －12t ＋3＝－1，所以t ＝－1.综上可知t ＝－1或t ＝1. 答案：－1或1考点一 两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2019·金陵中学模拟)若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于________．解析：由a ·1＋2·1＝0得a ＝－2. 答案：－22．(2019·金华十校模拟)“直线ax －y ＝0与直线x －ay ＝1平行”是“a ＝1”成立的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：由直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行得a 2＝1，即a ＝±1，所以“直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行”是“a ＝1”的必要不充分条件．答案：必要不充分3．(2019·启东调研)已知直线l 1：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，l 2：ax ＋by －4＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(1,1)；(2)l 1∥l 2，且l 2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2. 解：(1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)＋b ＝0.① 又l 1过点(1,1)， ∴a ＋b ＝0.② 由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.当a ＝0，b ＝0时不合题意，舍去． ∴a ＝2，b ＝－2.(2)∵l 1∥l 2，∴a －b (a －1)＝0，③由题意，知a >0，b >0，直线l 2与两坐标轴的交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫4a，0，⎝⎛⎭⎪⎫0，4b .则12×4a ×4b＝2，得ab ＝4，④ 由③④，得a ＝2，b ＝2.[谨记通法]由一般式确定两直线位置关系的方法在判断两直线位置关系时，比例式1A 2与1B 2，1C 2的关系容易记住，在解答填空题时，建议多用比例式来解答．考点二 距离问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.① 又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫277，－87.[由题悟法] 处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式． (2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理．[即时应用](2019·苏州检测)已知三条直线2x －y －3＝0,4x －3y －5＝0和ax ＋y －3a ＋1＝0相交于同一点P .(1)求点P 的坐标和a 的值；(2)求过点(－2,3)且与点P 的距离为25的直线方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，4x －3y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以点P 的坐标为(2,1)．将点P 的坐标(2,1)代入直线ax ＋y －3a ＋1＝0，可得a ＝2.(2)设所求直线为l ，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－2，此时点P 与直线l 的距离为4，不合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0.点P 到直线l 的距离d ＝|2k －1＋2k ＋3|k 2＋1＝25，解得k ＝2，所以直线l 的方程为2x －y ＋7＝0.考点三 对称问题常考常新型考点——多角探明[命题分析]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型． 常见的命题角度有： (1)点关于点对称； (2)点关于线对称；(3)线关于线对称； (4)对称问题的应用．[题点全练]角度一：点关于点的对称问题1．(2019·苏北四市调研)点P (3,2)关于点Q (1,4)的对称点M 的坐标为________．解析：设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋x2＝1，2＋y2＝4，∴x ＝－1，y ＝6， ∴M (－1,6)． 答案：(－1,6)角度二：点关于线的对称问题2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________．解析：设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.答案：A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413 角度三：线关于线的对称问题3．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________________． 解析：设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－y －y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0. 答案：x －2y ＋3＝0 角度四：对称问题的应用4．(2019·淮安一调)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案：6x －y －6＝0[方法归纳]1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·盐城二模)若直线y ＝kx ＋1与直线2x ＋y －4＝0垂直，则k ＝________. 解析：因为直线2x ＋y －4＝0的斜率为－2， 故由条件得k ＝12.答案：122．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79.答案：－13或－793．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 解析：因为直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，所以3m －24＝0，解得m ＝8，故直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，所以两平行直线间的距离是d ＝|－3－7|32＋42＝2.答案：24．(2019·宿迁模拟)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是________． 解析：设所求直线上任一点(x ，y )，则它关于直线x ＝1的对称点(2－x ，y )在直线x －2y ＋1＝0上，即2－x －2y ＋1＝0，化简得x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝05．已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________． 解析：由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．答案：[0,10]二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·苏州二模)已知直线l 1：(3＋a )x ＋4y ＝5－3a 和直线l 2：2x ＋(5＋a )y ＝8平行，则a ＝________.解析：由题意可得a ≠－5，所以3＋a 2＝45＋a ≠5－3a8，解得a ＝－7(a ＝－1舍去)．答案：－72．(2019·南京一中检测)P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上的任意一点，则PQ 的最小值为________．解析：因为36＝48≠－125，所以两直线平行，根据平面几何的知识，得PQ 的最小值为这两条平行直线间的距离．在直线3x ＋4y －12＝0上取一点(4,0)，此点到另一直线6x ＋8y ＋5＝0的距离为|6×4＋8×0＋5|62＋82＝2910，所以PQ 的最小值为2910. 答案：29103．(2019·苏北四市调研)已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：2x －y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________．解析：由2×a ＋(3－a )×(－1)＝0，解得a ＝1. 答案：14．(2019·天一中学检测)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是________．解析：因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0. 答案：x －2y －1＝05．已知定点A (1,0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是________．解析：因为定点A (1,0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，所以当线段AB 最短时，直线AB 和直线x －y ＝0垂直，AB 的方程为y ＋x －1＝0，它与x －y ＝0联立解得x ＝12，y ＝12，所以B 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫12，12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 6．(2019·无锡调研)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．解析：依题意，设直线l ：y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，则有|－5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|k 2＋1，因此－5k ＋2＝k ＋6，或－5k ＋2＝－(k ＋6)，解得k ＝－23或k ＝2，故直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 答案：2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝07. 设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是________________．解析：由|PA |＝|PB |知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且PA 的方程为x －y ＋1＝0，得P (3，4)．直线PA ，PB 关于直线x ＝3对称，直线PA 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线PB 上，∴直线PB 的方程为x ＋y －7＝0. 答案：x ＋y －7＝08．(2019·江苏五星级学校联考)已知点P (x ，y )到A (0,4)和B (－2,0)的距离相等，则2x＋4y的最小值为________．解析：由题意得，点P 在线段AB 的中垂线上，则易得x ＋2y ＝3，∴2x＋4y≥22x·4y＝22x ＋2y＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时等号成立，故2x ＋4y的最小值为4 2.答案：4 29．已知光线从点A (－4，－2)射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′， 则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C . 故BC 所在的直线方程为y －6－4－6＝x －1－2－1，即10x －3y ＋8＝0. 10．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，∴直线l 恒过定点(－2,3)．(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，∴直线l 的斜率k l ＝－5. 故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·湖北七市三联)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是________．解析：依题意得|a －b |＝a ＋b2－4ab ＝1－4c ，当0≤c ≤18时，22≤|a －b |＝1－4c ≤1.因为两条直线间的距离等于|a －b |2，所以两条直线间的距离的最大值与最小值分别是22，12. 答案：22，122．(2019·徐州一中检测)已知平面上一点M (5,0)，若直线上存在点P 使PM ＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝43x ；④y ＝2x ＋1.解析：设点M 到所给直线的距离为d ，①d ＝|5＋1|12＋－2＝32>4，故直线上不存在点P 到点M 的距离等于4，不是“切割型直线”；②d ＝2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点P ，使之到点M 的距离等于4，是“切割型直线”；③d ＝|4×5－0|－2＋42＝4，所以直线上存在一点P ，使之到点M 的距离等于4，是“切割型直线”；④d ＝|2×5＋1|22＋－2＝1155>4，故直线上不存在点P ，使之到点M 的距离等于4，不是“切割型直线”．故填②③. 答案：②③3．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R)． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋122＋14，因为a 2≥0，所以b ≤0.又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6. 故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．(2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a，|ab |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.第三节 圆的方程1．圆的定义及方程点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2. [小题体验]1．(教材习题改编)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是________． 解析：由(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，知圆心坐标为(2，－3)． 答案：(2，－3)2．圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是________． 解析：设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |， ∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2. ∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5. ∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0. 答案：x 2＋y 2－10y ＝03．(教材习题改编)已知圆心为C 的圆过点A (1,1)，B (2，－2)且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，则圆的标准方程为________________________．答案：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝254．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2＜4. 即a 2＜1，故－1＜a ＜1.答案：(－1,1)对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一成立条件． [小题纠偏]1．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是________． 解析：由(4m )2＋4－4×5m ＞0，得m ＜14或m ＞1.答案：m ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，14∪(1，＋∞) 2．方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r (r >0)的圆，则该圆圆心位于第________象限．解析：因为方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r 的圆，所以a 2＋(－2a )2－4(2a 2＋3a )＝－3a 2－12a >0，即a (a ＋4)<0，所以－4<a <0.又该圆圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，a ，显然圆心位于第四象限．答案：四考点一 圆的方程基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(易错题)(2019·镇江调研)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为________．解析：由题意知圆C 的半径为2，且圆心坐标可设为(2，b )，因此有－2＋b －2＝2，解得b ＝±3，从而圆C 的方程为(x －2)2＋(y ±3)2＝4.答案：(x －2)2＋(y ±3)2＝42．(2019·徐州模拟)若圆C 的半径为1，点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为________．解析：因为点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1.答案：x 2＋y 2＝13．(2019·全国卷Ⅱ改编)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为________．解析：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1.∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为12＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝213. 答案：213[谨记通法]1．求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．2．确定圆心位置的3种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上，如“题组练透”第1题． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质． 考点二 与圆有关的最值问题常考常新型考点——多角探明[命题分析]与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想． 常见的命题角度有： (1)斜率型最值问题； (2)截距型最值问题； (3)距离型最值问题； (4)建立目标函数求最值问题．[题点全练]角度一：斜率型最值问题1．(2019·苏州模拟)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求yx的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值， 此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.所以y x的最大值为3，最小值为－ 3. 角度二：截距型最值问题2．在[角度一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. 角度三：距离型最值问题3．在[角度一]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为－2＋－2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 角度四：建立目标函数求最值问题4．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1 和两点A (－m,0), B (m,0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为________．解析：由(x －3)2＋(y －4)2＝1知圆上点P (x 0，y 0)可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3＋cos θ，y 0＝4＋sin θ.∵∠APB ＝90°，即AP ·BP ＝0， ∴(x 0＋m )(x 0－m )＋y 20＝0，∴m 2＝x 20＋y 20＝26＋6cos θ＋8sin θ。

【创新设计】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第5讲 椭圆练习 理基础巩固题组(建议用时：45分钟)一、填空题1.椭圆x 2m ＋y 24＝1(m >0)的焦距为2，则m 的值等于________. 解析 当m >4时，m －4＝1，∴m ＝5；当0<m <4时，4－m ＝1，∴m ＝3.答案 5或32.设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，OM ＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________.解析 由题意知，在△PF 1F 2中，OM ＝12PF 2＝3， ∴PF 2＝6，∴PF 1＝2a －PF 2＝10－6＝4.答案 43.(2016·苏州调研)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是________. 解析 依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝12⇒a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此其方程是x 24＋y 23＝1. 答案 x 24＋y 23＝1 4.若椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是________.解析 由椭圆定义知PF 1＋PF 2＝10，又PF 1＝6，∴PF 2＝4.答案 45.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)、P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为________.解析 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n ).∵椭圆经过点P 1、P 2，∴点P 1、P 2的坐标适合椭圆方程.则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ② ①、②两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1. 答案 x 29＋y 23＝1 6.(2015·南京师大附中调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，若椭圆C 的中心到直线AB 的距离为66F 1F 2，则椭圆C 的离心率e ＝________.解析 设椭圆C 的焦距为2c (c <a )，由于直线AB 的方程为bx ＋ay －ab ＝0， ∴ab a 2＋b2＝63c ，∵b 2＝a 2－c 2，∴3a 4－7a 2c 2＋2c 4＝0， 解得a 2＝2c 2或3a 2＝c 2(舍去)，∴e ＝22. 答案 22 7.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A ，B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin B sin C的值等于________. 解析 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝CB ＋CA AB，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知CA ＋CB ＝2a ，而AB ＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1e＝3. 答案 38.(2016·遵义联考)已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝2，则椭圆的离心率为________.解析 ∵PF 1＋PF 2＝2a ，∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1|→2＋|PF 2|→2＝|F 1F 2|→2＝4c 2，∵tan ∠PF 1F 2＝2，∴PF 2＝2PF 1，∴e 2＝c 2a 2＝|PF 21|＋|PF 22|4⎝ ⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝54PF 2194PF 21＝59，∴e ＝53. 答案 53 二、解答题9.如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程.解 (1)∵AF 1＝AF 2＝a ，且∠F 1AF 2＝90°，F 1F 2＝2c ，∴2a 2＝4c 2，∴a ＝2c ，∴e ＝ca ＝22. (2)由题知A (0，b )，F 2(1，0)，设B (x ，y )，由AF 2→＝2F 2B →，解得x ＝32，y ＝－b 2， 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b2＝1， 即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝2. 所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1. 10.(2014·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值.解 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c ，0)，F 2(c ，0).(1)因为B (0，b )，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a .又BF 2＝2，故a ＝ 2.因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上， 所以169a 2＋19b 2＝1，解得b 2＝1. 故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)因为B (0，b )，F 2(c ，0)在直线AB 上，所以直线AB 的方程为x c ＋y b＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x c ＋y b ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c 2，y 1＝b （c 2－a 2）a 2＋c 2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b . 所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （c 2－a 2）a 2＋c 2. 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （a 2－c 2）a 2＋c 2. 因为直线F 1C 的斜率为b （a 2－c 2）a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－（－c ）＝b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3，直线AB 的斜率为－b c，且F 1C ⊥AB ，所以b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1.又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2. 故e 2＝15，因此e ＝55.能力提升题组(建议用时：25分钟)11.(2016·汕头一模)已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有________个.解析 当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个.故符合要求的点P 有6个.答案 612.(2016·苏北四市模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为________.解析 法一 设A (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n m ＋c ×（－3）＝－1，3×m －c 2＋n 2＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，32c ， 代入椭圆C 中，有c 24a 2＋3c 24b2＝1， ∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，∴c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0，∴e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4±23，∵0<e <1，∴e ＝3－1.法二 借助于椭圆的定义，本题还有如下简洁解法：设F ′是椭圆的右焦点，连接AF ，AF ′.由已知得△AFF ′是直角三角形，其中∠A ＝90°，∠AFF ′＝30°，∵FF ′＝2c ， ∴AF ＝3c ，AF ′＝c ，∴e ＝2c 2a ＝FF ′AF ＋AF ′＝2c c ＋3c＝3－1. 答案3－1 13.(2016·云南统一检测)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6，4)，则PM ＋PF 1的最大值为________.解析 PF 1＋PF 2＝10，PF 1＝10－PF 2， PM ＋PF 1＝10＋PM －PF 2，易知M 点在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于P 点，此时PM －PF 2取最大值MF 2，故PM ＋PF 1的最大值为10＋MF 2＝10＋（6－3）2＋42＝15.答案 15 14.(2015·南京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点P (－1，－1)，c 为椭圆的半焦距，且c ＝2b .过点P 作两条互相垂直的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于另两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 1的斜率为－1，求△PMN 的面积；(3)若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程.解 (1)由条件得1a 2＋1b 2＝1，且c 2＝2b 2， 所以a 2＝3b 2，解得b 2＝43，a 2＝4. 所以椭圆C 的方程为x 24＋3y 24＝1. (2)设l 1的方程为y ＋1＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k －1，x 2＋3y 2＝4， 消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6k (k －1)x ＋3(k －1)2－4＝0. 因为P 为(－1，－1)，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2＋6k ＋11＋3k 2，3k 2＋2k －11＋3k 2. 当k ≠0时，用－1k代替k ， 得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－6k －3k 2＋3，－k 2－2k ＋3k 2＋3 将k ＝－1代入，得M (－2，0)，N (1，1).因为P (－1，－1)，所以PM ＝2，PN ＝22，所以△PMN 的面积为12×2×22＝2. (3)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋3y 21＝4，x 22＋3y 22＝4， 两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋3(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 因为线段MN 的中点在x 轴上，所以y 1＋y 2＝0， 从而可得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0.若x 1＋x 2＝0，则N (－x 1，－y 1).因为PM ⊥PN ，所以PM →·PN →＝0，得x 21＋y 21＝2.又因为x 21＋3y 21＝4，所以解得x 1＝±1，所以M (－1，1)，N (1，－1)或M (1，－1)，N (－1，1). 所以直线MN 的方程为y ＝－x .若x 1－x 2＝0，则N (x 1，－y 1)，因为PM ⊥PN ，所以PM →·PN →＝0，得y 21＝(x 1＋1)2＋1.又因为x 21＋3y 21＝4，所以解得x 1＝－12或－1，经检验：x 1＝－12满足条件，x 1＝－1不满足条件. 综上，直线MN 的方程为x ＋y ＝0或x ＝－12.。

【2019最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-5椭圆教师用书1．椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质【知识拓展】点P(x0，y0)和椭圆的关系 (1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1. (2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1. (3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × ) (2)椭圆上一点P 与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a ＋2c(其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( √ )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( × )(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( √ ) (5)＋＝1(a≠b)表示焦点在y 轴上的椭圆．( × ) (6)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相等．( √ ) 1．(教材改编)椭圆＋＝1的焦距为4，则m 等于( ) A ．4 B ．8 C ．4或8 D ．12 答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧10－m>m －2>0，－－－＝4或⎩⎪⎨⎪⎧m －2>10－m>0，－－－＝4，解得m ＝4或m ＝8.2．(2015·广东)已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．9答案 B解析 由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m ＝3.3．(2016·全国乙卷)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( ) A. B. C. D.34 答案 B解析 如图，由题意得，|BF|＝a ，|OF|＝c ，|OB|＝b ，|OD|＝×2b＝b.在Rt△FOB 中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，即cb ＝a·b，解得a ＝2c ，故椭圆离心率e ＝＝，故选B.4．(教材改编)已知点P 是椭圆＋＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为__________________． 答案 或⎝⎛⎭⎪⎫152，－1 解析 设P(x ，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入＋＝1，得x ＝±，又x>0，所以x ＝，所以P 点坐标为或.题型一 椭圆的定义及标准方程 命题点1 利用定义求轨迹例1 (2016·济南模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆答案 A解析 由条件知|PM|＝|PF|.∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|. ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆． 命题点2 利用待定系数法求椭圆方程例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为_____________________________________________________________________． (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则椭圆的方程为_______________________________________________________________． 答案 (1)＋y2＝1或＋＝1 (2)＋＝1解析 (1)若焦点在x 轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)，∵椭圆过P(3,0)， ∴＋＝1，即a ＝3，又2a ＝3×2b，∴b＝1，方程为＋y2＝1. 若焦点在y 轴上，设方程为＋＝1(a>b>0)． ∵椭圆过点P(3,0)．∴＋＝1，即b ＝3. 又2a ＝3×2b，∴a＝9，∴方程为＋＝1. ∴所求椭圆的方程为＋y2＝1或＋＝1.(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)． ∵椭圆经过点P1，P2，∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程．则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1，①3m ＋2n ＝1，②①②两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为＋＝1.命题点3 利用定义解决“焦点三角形”问题例3 已知F1，F2是椭圆C ：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b ＝________. 答案 3解析 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则⎩⎪⎨⎪⎧r1＋r2＝2a ，r21＋r22＝4c2，∴2r1r2＝(r1＋r2)2－(r ＋r) ＝4a2－4c2＝4b2， 又∵＝r1r221PF FS △＝b2＝9，∴b＝3. 引申探究1．在例3中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程． 解 由原题得b2＝a2－c2＝9， 又2a ＋2c ＝18，所以a －c ＝1，解得a ＝5， 故椭圆方程为＋＝1.2．在例3中条件“⊥”、“△PF1F2的面积为9”分别改为“∠F1PF2＝60°”“＝3”，结果如何？21PF FS △解 |PF1|＋|PF2|＝2a ，又∠F1PF2＝60°，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60° ＝|F1F2|2，即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2， 所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2， 所以|PF1||PF2|＝b2，又因为＝|PF1||PF2|·sin 60°21PF FS △＝×b2×＝b2＝3， 所以b ＝3.思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．(3)当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．(1)(2016·盐城模拟)已知两圆C1：(x －4)2＋y2＝169，C2：(x ＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.－＝1 B.＋＝1 C.－＝1D.＋＝1(2)(2017·大庆质检)设F1、F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(＋)·＝0(O 为坐标原点)，则△F1PF2的面积是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 (1)D (2)D解析 (1)设圆M 的半径为r ，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|， 所以M 的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆， 且 2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1. (2)∵(＋)·＝(＋)·＝·＝0， ∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°. 设|PF1|＝m ，|PF2|＝n ，则m ＋n ＝4，m2＋n2＝12,2mn ＝4， ∴＝mn ＝1.21F PFS △题型二 椭圆的几何性质例4 (1)已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．22(2)(2016·全国丙卷)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A. B. C. D.34 答案 (1)C (2)A解析 (1)设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，→＝(1－x0，－y0)，∴＋＝(－2x0，－2y0)，PF2∴|＋|＝4x20＋4y20＝22－2y20＋y20＝2.∵点P在椭圆上，∴0≤y≤1，∴当y＝1时，|＋|取最小值2.故选C.(2)设M(－c，m)，则E，OE的中点为D，则D，又B，D，M三点共线，所以＝，a＝3c，e＝.思维升华(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系．②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．(2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围．(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案63解析联立方程组解得B，C两点坐标为B ，C ，又F(c,0)，则＝，＝，又由∠BFC＝90°，可得·＝0，代入坐标可得c2－a2＋＝0，①又因为b2＝a2－c2.代入①式可化简为＝，则椭圆离心率为e ＝＝＝. 题型三 直线与椭圆例5 (2016·天津)设椭圆＋＝1(a>)的右焦点为F ，右顶点为A.已知＋＝，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B(B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA＝∠MAO，求直线l 的斜率． 解 (1)设F(c,0)，由＋＝， 即＋＝，可得a2－c2＝3c2.又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4. 所以椭圆的方程为＋＝1.(2)设直线l 的斜率为k(k≠0)， 则直线l 的方程为y ＝k(x －2)．设B(xB ，yB)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x24＋y23＝1，y ＝－消去y ，整理得(4k2＋3)x2－16k2x ＋16k2－12＝0. 解得x ＝2或x ＝.由题意得xB ＝，从而yB ＝.由(1)知，F(1,0)，设H(0，yH)，有＝(－1，yH)，＝.由BF⊥HF，得·＝0，所以＋＝0，解得yH＝.因此直线MH的方程为y＝－x＋.设M(xM，yM)，由方程组消去y，解得xM＝.在△MAO中，∠MOA＝∠MAO⇔|MA|＝|MO|，即(xM－2)2＋y＝x＋y，化简得xM＝1，即＝1，解得k＝－或k＝.所以直线l的斜率为－或.思维升华(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＋＋－4x1x2]＝ (k为直线斜率)．提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．(2016·温州第一次适应性测试)如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点(1，)，且离心率等于.点A，B分别为椭圆C的左，右顶点，M，N是椭圆C上不同于顶点的两点，且△OMN 的面积等于.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点A 作AP∥OM 交椭圆C 于点P ，求证：BP∥ON.(1)解 由题意得解得⎩⎪⎨⎪⎧ a2＝4，b2＝2.故椭圆C 的方程为＋＝1.(2)证明 方法一 设直线OM ，ON 的方程为y ＝kOMx ，y ＝kONx ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kOMx ，x24＋y22＝1，解得M(，)，同理可得N(－，－)，作MM′⊥x 轴，NN′⊥x 轴，M′，N′为垂足，S△OMN＝S 梯形MM′N′N－S△OMM′－S△ONN′＝[(yM ＋yN)(xM －xN)－xMyM ＋xNyN]＝(xMyN －xNyM)＝(＋)＝，已知S△OMN＝，化简可得kOMkON ＝－.设P(xP ，yP)，则4－x ＝2y ，又已知kAP ＝kOM ，所以要证kBP ＝kON ，只要证明kAPkBP ＝－即可．而kAPkBP ＝·＝＝－，所以可得BP∥ON.(M ，N 在y 轴同侧同理可得)方法二设直线AP的方程为y＝kOM(x＋2)，代入x2＋2y2＝4，得(2k＋1)x2＋8kx＋8k－4＝0，设P(xP，yP)，则它的两个根为－2和xP，可得xP＝，yP＝，从而kBP＝＝－.所以只需证－＝kON，即kOMkON＝－，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，若直线MN的斜率不存在，易得x1＝x2＝±，从而可得kOMkON＝－.若直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入＋＝1，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－4＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝，Δ＝8(4k2＋2－m2)>0，S△OMN＝|m|·|x1－x2|＝|m|·＝，化简得m4－(4k2＋2)m2＋(2k2＋1)2＝0，得m2＝2k2＋1，kOM·kON＝＝k2x1x2＋＋＋m2x1x2＝＝＝－.所以可得BP∥ON.7．高考中求椭圆的离心率问题考点分析离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．典例1 (2015·福建)已知椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M 到直线l 的距离不小于，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34C.D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 解析 左焦点F0，连接F0A ，F0B ，则四边形AFBF0为平行四边形．∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.设M(0，b)，则≥，∴1≤b＜2.离心率e ＝＝＝ ＝ ∈，故选A.答案 A典例2 (2016·浙江)如图，设椭圆＋y2＝1(a ＞1)．(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．解 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ，由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx ＝0， [3分]故x1＝0，x2＝－，因此|AM|＝|x1－x2|＝·.[6分](2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1>0，k2＞0，k1≠k2.[8分]由(1)知|AP|＝，|AQ|＝，故＝，所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0. [10分]由k1≠k2，k1>0，k2＞0得1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，因此＝1＋a2(a2－2)，① [12分]因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2(a2－2)＞1，所以a＞.因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤，由e＝＝，得0<e≤. [14分]所以离心率的取值范围是(0，]. [15分]1．(2016·湖南六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e＝，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合，则此椭圆方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋y2＝1D.＋y2＝1答案A解析依题意，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c＝1，又离心率e＝＝，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1.2．已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为( )A．－21 B．21C．－或21 D.或－21答案D解析当9>4－k>0，即4>k>－5时，a＝3，c2＝9－(4－k)＝5＋k，∴＝，解得k＝.当9<4－k，即k<－5时，a＝，c2＝－k－5，∴＝，解得k＝－21，故选D.3．(2016·青岛模拟)已知A1，A2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右顶点，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，若直线PA1，PA2的斜率的乘积为－，则椭圆C 的离心率为( )A. B. C. D.53答案D解析设P(x0，y0)，则×＝－，化简得＋＝1，则＝，e＝＝＝，故选D.4．(2016·南昌模拟)已知椭圆：＋x2＝1，过点P(，)的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为( )A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋y－5＝0答案B解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆＋x2＝1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y219＋x21＝1，y229＋x22＝1，两式相减得＋x －x ＝0，得＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又弦AB 被点P(，)平分，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，将其代入上式得＋x1－x2＝0，得＝－9，即直线AB 的斜率为－9，所以直线AB 的方程为y －＝－9(x －)，即9x ＋y －5＝0，故选B.5．(2016·贵州七校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. C ．2 D ．22答案 D解析 设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以×2cb＝1，bc ＝1，而2a ＝2≥2＝2 2 (当且仅当b ＝c ＝1时取等号)，故选D.*6.(2016·济南质检)设A1，A2为椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右顶点，若在椭圆上存在异于A1，A2的点P ，使得·＝0，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A．(0，) B．(0，)C．(，1) D．(，1)答案D解析A1(－a,0)，A2(a,0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(a－x，－y)，∵·＝0，∴(a－x)(－x)＋(－y)(－y)＝0，∴y2＝ax－x2>0，∴0<x<a.将y2＝ax－x2代入＋＝1，整理得(b2－a2)x2＋a3x－a2b2＝0，其在(0，a)上有解，令f(x)＝(b2－a2)x2＋a3x－a2b2，∵f(0)＝－a2b2<0，f(a)＝0，如图，Δ＝(a3)2－4(b2－a2)·(－a2b2)＝a2(a4－4a2b2＋4b4)＝a2(a2－2b2)2≥0，∴对称轴满足0<－<a，即0<<a，∴<1，∴>.又0<<1，∴<<1，故选D.7．若椭圆＋＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，过点(2,1)作圆x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________．答案＋＝1解析设切点坐标为(m，n)，则·＝－1，即m2＋n2－n－2m＝0.∵m2＋n2＝4，∴2m＋n－4＝0，即直线AB的方程为2x＋y－4＝0.∵直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，∴2c－4＝0，b－4＝0，解得c＝2，b＝4，∴a2＝b2＋c2＝20，∴椭圆方程为＋＝1.8．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．答案7解析由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.9．(2016·石家庄模拟)椭圆＋y2＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________________．答案(－，)解析设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，则＝(x＋，y)，＝(x－，y)．∵∠F1PF2为钝角，∴·<0，即x2－3＋y2<0，①∵y2＝1－，代入①得x2－3＋1－<0，3x2<2，∴x2<.4解得－<x<，∴x∈(－，)．10．(2016·长沙模拟)已知过椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点A(－a ，0)作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若△AOP 是等腰三角形，且＝2，则椭圆的离心率为________． 答案 255解析 ∵△AOP 是等腰三角形，A(－a,0)，∴P(0，a)．设Q(x0，y0)，∵＝2，∴(x0，y0－a)＝2(－a －x0，－y0)．∴解得⎩⎪⎨⎪⎧ x0＝－23a ，y0＝a 3，代入椭圆方程化简，可得＝，∴e＝ ＝.11．(2016·南京模拟)如图，椭圆C ：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F ，右顶点，上顶点分别为A ，B ，且|AB|＝|BF|.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP⊥OQ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．解 (1)由已知|AB|＝|BF|，即＝a ，4a2＋4b2＝5a2,4a2＋4(a2－c2)＝5a2，∴e＝＝.(2)由(1)知a2＝4b2，∴椭圆C ：＋＝1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，... 直线l的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.由消去y，得x2＋4(2x＋2)2－4b2＝0，即17x2＋32x＋16－4b2＝0.Δ＝322＋16×17(b2－4)>0，解得b>.x1＋x2＝－，x1x2＝.∵OP⊥OQ，∴·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，x1x2＋(2x1＋2)(2x2＋2)＝0，5x1x2＋4(x1＋x2)＋4＝0.从而－＋4＝0，解得b＝1，满足b>.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.12．(2016·湖州调测)已知点C(x0，y0)是椭圆＋y2＝1上的动点，以C为圆心的圆过点F(1,0)．(1)若圆C与y轴相切，求实数x0的值；(2)若圆C与y轴相交于A，B两点，求|FA|·|FB|的取值范围．解(1)当圆C与y轴相切时，|x0|＝，又因为点C在椭圆上，所以＋y＝1，解得x0＝－2±2，因为－≤x0≤，所以x0＝－2＋2.(2)圆C的方程是(x－x0)2＋(y－y0)2＝(x0－1)2＋y，令x＝0，y2－2y0y＋2x0－1＝0，设A(0，y1)，B(0，y2)，则y1＋y2＝2y0，y1·y2＝2x0－1，由Δ＝4y－4(2x0－1)>0及y＝1－x，得－2－2<x0<－2＋2，又由点C在椭圆上，得－≤x0≤，所以－≤x0<－2＋2，|FA|·|FB|＝·＝＋21＋y22＋1＝＝＝(2－x0)．所以|FA|·|FB|∈(4－4,2＋2]．13．(2017·宁波调研)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点．过F，B，A三点的圆的圆心坐标为(p，q)．(1)当p＋q≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；(2)若点D(b＋1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，(＋)·的最小值为，求椭圆的方程．解(1)设椭圆半焦距为c.由题意AF，AB的中垂线方程分别为x＝，y－＝(x－)，于是圆心坐标为(，)．所以p＋q＝＋≤0，整理得ab－bc＋b2－ac≤0，即(a＋b)(b－c)≤0，所以b≤c，于是b2≤c2，即a2＝b2＋c2≤2c2.所以e2＝≥，即≤e<1.(2)当e＝时，a＝b＝c，此时椭圆的方程为＋＝1，设M(x，y)，则－c≤x≤c，所以(＋)·＝x2－x＋c2＝(x－1)2＋c2－.当c≥时，上式的最小值为c2－，即c2－＝，得c＝2；当0<c<时，上式的最小值为(c)2－c＋c2，即(c)2－c＋c2＝，解得c＝，不合题意，舍去．综上所述，椭圆的方程为＋＝1.。

§9.5椭圆最新考纲考情考向分析1.掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质.2.会解决直线与椭圆的位置关系的问题.椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中.题型主要以选择、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.1.椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0) 图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0，1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2概念方法微思考1.在椭圆的定义中，若2a ＝|F 1F 2|或2a <|F 1F 2|，动点P 的轨迹如何？提示 当2a ＝|F 1F 2|时动点P 的轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时动点P 的轨迹是不存在的. 2.椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？ 提示 由e ＝c a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2知，当a 不变时，e 越大，b 越小，椭圆越扁；e 越小，b 越大，椭圆越圆.3.点和椭圆的位置关系有几种？如何判断. 提示 点P (x 0，y 0)和椭圆的位置关系有3种(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1.(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.4.直线与椭圆的位置关系有几种？如何判断？提示 直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相切、相交.判断方法为联立直线与椭圆的方程，求联立后所得方程的判别式Δ. (1)直线与椭圆相离⇔Δ<0. (2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0. (3)直线与椭圆相交⇔Δ>0. 题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距).( √ )(2)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆.( √ )(3)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆.( × ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距相等.( √ )题组二 教材改编 2.[P49T4]椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A.4B.8C.4或8D.12 答案 C解析 当焦点在x 轴上时，10－m >m －2>0，10－m －(m －2)＝4，∴m ＝4.当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0，m －2－(10－m )＝4，∴m ＝8.∴m ＝4或8. 3.[P80T3(1)]过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )A.x 215＋y 210＝1B.x 225＋y 220＝1C.x 210＋y 215＝1 D.x 220＋y 215＝1 答案 A解析 由题意知c 2＝5，可设椭圆方程为x 2λ＋5＋y 2λ＝1(λ>0)，则9λ＋5＋4λ＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)， ∴所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.4.[P49T6]已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为__________________. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1，0)，F 2(1，0).由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1. 题组三 易错自纠5.(2018·浙江余姚中学质检)已知方程x 2m 2＋y 22＋m＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是( ) A.m >2或m <－1 B.m >－2C.－1<m <2D.m >2或－2<m <－1答案 D解析 ∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴m 2>2＋m >0，解得m >2或－2<m <－1.6.椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A.－21B.21C.－1925或21D.1925或21 答案 C解析 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ，由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925； 若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5，由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21. 7.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 答案 A解析 ∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43， ∴a ＝3，∵离心率为33，∴c ＝1，∴b ＝a 2－c 2＝2， ∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选A.第1课时 椭圆及其性质题型一 椭圆的定义及应用1.如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆答案 A解析 由条件知|PM |＝|PF |，∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝R >|OF |. ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆.2.已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( ) A.23B.6C.43D.12 答案 C解析 由椭圆的方程得a ＝ 3.设椭圆的另一个焦点为F ，则由椭圆的定义得|BA |＋|BF |＝|CA |＋|CF |＝2a ，所以△ABC 的周长为|BA |＋|BC |＋|CA |＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|CA |＝(|BA |＋|BF |)＋(|CF |＋|CA |)＝2a ＋2a ＝4a ＝4 3.3.椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于( ) A.72B.32C.3D.4 答案 A解析 F 1(－3，0)，∵PF 1⊥x 轴，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，±12，∴|PF 1|＝12，∴|PF 2|＝4－12＝72. 4.设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6，4)，则|PM |－|PF 1|的最小值为________. 答案 －5解析 由椭圆的方程可知F 2(3，0)，由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a －|PF 2|.∴|PM |－|PF 1|＝|PM |－(2a －|PF 2|)＝|PM |＋|PF 2|－2a ≥|MF 2|－2a ，当且仅当M ，P ，F 2三点共线时取得等号，又|MF 2|＝(6－3)2＋(4－0)2＝5，2a ＝10，∴|PM |－|PF 1|≥5－10＝－5，即|PM |－|PF 1|的最小值为 －5.思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题. 题型二 椭圆的标准方程 命题点1 定义法例1 (1)(2019·丽水调研)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1内切，和圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 264－y 248＝1B.x 248＋y 264＝1C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 答案 D解析 设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|，所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16，2c ＝8， 即a ＝8，c ＝4，b ＝a 2－c 2＝43， 故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.(2)在△ABC 中，A (－4，0)，B (4，0)，△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0) 答案 A解析 由|AC |＋|BC |＝18－8＝10>8知，顶点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(A ，B ，C 不共线).设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则a ＝5，c ＝4，从而b ＝3.由A ，B ，C 不共线知y ≠0.故顶点C 的轨迹方程是x 225＋y 29＝1(y ≠0).命题点2 待定系数法例2 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆的标准方程为__________. 答案y 210＋x 26＝1 解析 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n ). 由⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110.∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1.(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的标准方程为____________. 答案x 28＋y 26＝1解析 ∵椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，∴可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，2a ＝4c ，又a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝22，b ＝6，c ＝2，∴椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1.思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a >|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式. 跟踪训练1(1)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆G 上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为( ) A.x 236＋y 29＝1 B.x 29＋y 236＝1 C.x 24＋y 29＝1 D.x 29＋y 24＝1 答案 A解析 依题意设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，∴2a ＝12，∴a ＝6，∵椭圆的离心率为32，∴e ＝ca ＝1－b 2a 2＝32，即1－b 236＝32，解得b 2＝9，∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1，故选A. (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________.答案y 220＋x 24＝1 解析 ∵所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，∴其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0).∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在所求椭圆上，∴(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，即5a 2＋3b2＝1.②由①②得b 2＝4，a 2＝20，∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.题型三 椭圆的几何性质 命题点1 求离心率的值(或范围)例3 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36B.13C.12D.33答案 D解析 方法一 如图，在Rt△PF 2F 1中，∠PF 1F 2＝30°，|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 1|＝2c cos30°＝43c 3，|PF 2|＝2c ·tan30°＝23c3.∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 即43c 3＋23c 3＝2a ，可得3c ＝a . ∴e ＝c a ＝33. 方法二 (特殊值法)： 在Rt△PF 2F 1中，令|PF 2|＝1，∵∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝ 3. ∴e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝33.(2)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 为椭圆上一点，|OP |＝24a ，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列，则椭圆的离心率为( ) A.24B.23C.63D.64答案 D解析 设P (x ，y )，则|OP |2＝x 2＋y 2＝a 28，由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|2＋2|PF 1||PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2， 又∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2＝4c 2， 则|PF 1|2＋|PF 2|2＋8c 2＝4a 2，∴(x ＋c )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＋8c 2＝4a 2， 整理得x 2＋y 2＋5c 2＝2a 2，即a 28＋5c 2＝2a 2，整理得c 2a 2＝38， ∴椭圆的离心率e ＝ca ＝64. (3)(2018·杭州调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >c >0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，b －c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT |的最小值不小于32(a －c )，则椭圆的离心率e 的取值范围是__________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫35，22解析 因为|PT |＝|PF 2|2－(b －c )2(b >c )， 而|PF 2|的最小值为a －c ，所以|PT |的最小值为(a －c )2－(b －c )2. 依题意，有(a －c )2－(b －c )2≥32(a －c )， 所以(a －c )2≥4(b －c )2，所以a －c ≥2(b －c )， 所以a ＋c ≥2b ，所以(a ＋c )2≥4(a 2－c 2)， 所以5c 2＋2ac －3a 2≥0，所以5e 2＋2e －3≥0.① 又b >c ，所以b 2>c 2，所以a 2－c 2>c 2，所以2e 2<1.② 联立①②，得35≤e <22.命题点2 求参数的值(或范围)例4 (2017·全国Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB＝120°，则m 的取值范围是( ) A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，3]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞)D.(0，3]∪[4，＋∞)答案 A解析 方法一 设椭圆焦点在x 轴上， 则0<m <3，点M (x ，y ).过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，则N (x ，0).故tan∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN )＝3＋x |y |＋3－x|y |1－3＋x |y |·3－x|y |＝23|y |x 2＋y 2－3.又tan∠AMB ＝tan120°＝－3，且由x 23＋y 2m ＝1，可得x 2＝3－3y 2m，则23|y |3－3y 2m＋y 2－3＝23|y |⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3m y2＝－ 3. 解得|y |＝2m3－m. 又0<|y |≤m ，即0<2m3－m ≤m ，结合0<m <3解得0<m ≤1.对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9. 则m 的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞). 故选A.方法二 当0<m <3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan60°＝3，即3m≥3，解得0<m ≤1.当m >3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0，1]∪[9，＋∞). 故选A.思维升华 (1)求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，转化为e 的关系式，常用方法如下：①直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝c a求解. ②由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式e ＝1－b 2a2求解. ③由椭圆的定义求离心率，e ＝c a ＝2c2a，而2a 是椭圆上任意一点到两焦点的距离之和，2c 是焦距，从而与焦点三角形联系起来.④构造a ，c 的齐次式.离心率e 的求解中可以不求出a ，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e ，一般步骤如下：(ⅰ)建立方程：根据已知条件得到齐次方程Aa 2＋Bac ＋Cc 2＝0；(ⅱ)化简：两边同时除以a 2，化简齐次方程，得到关于e 的一元二次方程A ＋Be ＋Ce 2＝0； (ⅲ)求解：解一元二次方程，得e 的值；(ⅳ)验算取舍：根据椭圆离心率的取值范围e ∈(0，1)确定离心率e 的值. 若得到齐次不等式，可以类似求出离心率e 的取值范围. (2)椭圆几何性质的应用技巧①与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.②椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，0<e <1，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系.跟踪训练2 (1)已知椭圆x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________. 答案3解析 由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8， 所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知2b2a＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3.(2)(2018·温州高考适应性测试)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中，F 为右焦点，B 为上顶点，O 为坐标原点，直线y ＝b ax 交椭圆于第一象限内的点C ，若S △BFO ＝S △BFC ，则椭圆的离心率等于( ) A.22＋17 B.22－17C.22－13D.2－1答案 A解析 联立直线y ＝b a x 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，得在第一象限的交点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22b ，又因为S △BFO＝S △BFC ，所以直线BF 与直线y ＝bax 的交点为线段OC 的中点，即线段OC 的中点⎝⎛⎭⎪⎫24a ，24b 在直线BF ：x c ＋y b ＝1上，则24a c ＋24b b ＝1，化简得椭圆的离心率e ＝c a ＝22＋17，故选A.(3)(2018·温州高考适应性测试)正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 C.⎝⎛⎭⎪⎫3－12，1D.⎝⎛⎭⎪⎫0，3－12 答案 B解析 由椭圆的对称性可知，正方形的四个顶点为直线y ＝±x 与椭圆的交点，即⎝ ⎛⎭⎪⎫±ab a 2＋b 2，±ab a 2＋b 2，因为椭圆的焦点在正方形的内部，所以c <ab a 2＋b2，化简得a 4－3a 2c 2＋c 4>0，所以e 4－3e 2＋1>0，又0<e <1， 解得e 2<3－52，即0<e <5－12.1.(2018·浙江省金华东阳中学期中)如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( ) A.a >3 B.a <－2C.a >3或a <－2D.a >3或－6<a <－2答案 D解析 ∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴a 2>a ＋6>0，解得a >3或－6<a <－2. 2.(2018·绍兴质检)已知椭圆Γ：x 2m ＋6＋y 2m ＋2＝1(m >－2)上的动弦EF 过Γ的一个焦点(动弦不在x 轴上)，若Γ的另一个焦点与动弦EF 所构成的三角形的周长为20，则椭圆Γ的离心率为( ) A.15B.12C.25D.45 答案 C解析 由椭圆的定义，得4a ＝20，解得a ＝5.又c 2＝a 2－b 2＝m ＋6－(m ＋2)＝4，所以c ＝2，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝25，故选C.3.(2018·浙江省高考模拟试卷)已知椭圆的方程为x 212＋y 24＝1，矩形ABCD 的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在矩形的内部，则矩形的长与宽的比值的取值范围为( ) A.(1，2) B.(1，3) C.(6，＋∞) D.(1，6)答案 C解析 根据椭圆与矩形的对称性知，矩形的相邻两边分别平行于x 轴，y 轴，且椭圆与矩形都以原点O 为对称中心，如图是矩形的边过焦点时的情形，由椭圆方程x 212＋y 24＝1，知当x ＝22时，y ＝±233，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，233，此时，矩形的长与宽的比值为6，由于焦点在矩形的内部，所以矩形的长与宽的比值大于6，故选C. 4.设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( ) A.8B.10C.12D.15 答案 D解析 由椭圆方程x 216＋y 212＝1，可得c 2＝4，所以|F 1F 2|＝2c ＝4，而F 1F 2――→＝PF 2→－PF 1→，所以|F 1F 2――→|＝|PF 2→－PF 1→|，两边同时平方，得|F 1F 2――→|2＝|PF 1→|2－2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2――→|2＋2PF 1→·PF 2→＝16＋18＝34，根据椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝64，所以34＋2|PF 1|·|PF 2|＝64， 所以|PF 1|·|PF 2|＝15.故选D.5.2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子： ①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 1<c 2a 2；④c 1a 2>a 1c 2. 其中正确式子的序号是( )A.①③B.①④C.②③D.②④ 答案 D解析 观察图形可知a 1＋c 1>a 2＋c 2，即①式不正确；a 1－c 1＝a 2－c 2＝|PF |，即②式正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2>0，c 1>c 2>0知，a 1－c 1c 1<a 2－c 2c 2，即a 1c 1<a 2c 2，从而c 1a 2>a 1c 2，c 1a 1>c 2a 2，即④式正确，③式不正确.故选D.6.(2018·浙江省金华十校期末)椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1|·|PF 2|的最大值的取值范围是[2b 2，3b 2]，椭圆M 的离心率为e ，e －1e的最小值是( )A.－22 B.－ 2C.－66D.－63答案 A解析 由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2，∴2b 2≤a 2≤3b 2，即2a 2－2c 2≤a 2≤3a 2－3c 2， ∴12≤c 2a 2≤23，即22≤e ≤63. 令f (e )＝e －1e ，则f (e )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，63上是增函数，∴当e ＝22时，e －1e 取得最小值22－2＝－22. 7.(2018·浙江七彩阳光联盟联考)已知椭圆的方程为x 29＋y 24＝1，过椭圆中心的直线交椭圆于A ，B 两点，F 2是椭圆的右焦点，则△ABF 2的周长的最小值为________，△ABF 2的面积的最大值为________. 答案 10 2 5解析 设F 1是椭圆的左焦点.如图，连接AF 1.由椭圆的对称性，结合椭圆的定义知|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＝6，所以要使△ABF 2的周长最小，必有|AB |＝2b ＝4，所以△ABF 2的周长的最小值为10.＝＝12×2c ×|y A |＝5|y A |≤25，所以△ABF 2面积的最大值为2 5.8.设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB 是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为__________. 答案x 29＋y 26＝1 解析 ∵△F 2AB 是面积为43的等边三角形，∴AB ⊥x 轴，∴A ，B 两点的横坐标为－c ，代入椭圆方程，可求得|F 1A |＝|F 1B |＝b 2a.又|F 1F 2|＝2c ，∠F 1F 2A ＝30°，∴b 2a ＝33×2c .①又＝12×2c ×2b2a＝43，②a 2＝b 2＋c 2，③由①②③解得a 2＝9，b 2＝6，c 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 29＋y 26＝1.9.已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)相交于A ，B ，C ，D 四点，若椭圆C 1的一个焦点为F (－2，0)，且四边形ABCD 的面积为163，则椭圆C 1的离心率e 为________. 答案22解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y 2a 2＋x2b 2＝1，两式相减得x 2－y 2a 2＝x 2－y 2b 2，又a ≠b ，所以x 2＝y 2＝a 2b 2a 2＋b2，故四边形ABCD 为正方形，4a 2b 2a 2＋b 2＝163，(*)又由题意知a 2＝b 2＋2，将其代入(*)式整理得3b 4－2b 2－8＝0，所以b 2＝2，则a 2＝4， 所以椭圆C 的离心率e ＝22.10.已知A ，B ，F 分别是椭圆x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的右顶点、上顶点、左焦点，设△ABF 的外接圆的圆心坐标为(p ，q ).若p ＋q >0，则椭圆的离心率的取值范围为______________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 解析 如图所示，线段FA 的垂直平分线为x ＝1－1－b 22，线段AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b 2.因为k AB ＝－b ，所以线段AB 的垂直平分线的斜率k ＝1b，所以线段AB 的垂直平分线方程为y －b 2＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.把x ＝1－1－b 22＝p 代入上述方程可得y ＝b 2－1－b 22b ＝q .因为p ＋q >0，所以1－1－b 22＋b 2－1－b22b >0，化为b >1－b 2. 又0<b <1，解得12<b 2<1，即－1<－b 2<－12，所以0<1－b 2<12，所以e ＝c a＝c ＝1－b 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22. 11.已知点P 是圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16上任意一点(F 1是圆心)，点F 2与点F 1关于原点对称.线段PF 2的垂直平分线m 分别与PF 1，PF 2交于M ，N 两点.求点M 的轨迹C 的方程. 解 由题意得F 1(－1，0)，F 2(1，0)，圆F 1的半径为4，且|MF 2|＝|MP |，从而|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |＝|PF 1|＝4>|F 1F 2|， 所以点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆， 其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为3， 所以点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.12.已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.解 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，m >0.∵m －mm ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >m m ＋3， ∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a ＝2和2b ＝1，焦点坐标为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，四个顶点的坐标分别为A 1(－1，0)，A 2(1，0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.13.(2018·浙江省台州适应性考试)已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－5，0)为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，且满足|OP |＝|OF |，|PF |＝6，则椭圆C 的标准方程为( ) A.x 249＋y 224＝1B.x 224＋y 249＝1C.x 249＋y 225＝1 D.x 225＋y 249＝1 答案 A解析 如图，设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，椭圆C 的右焦点为M ，连接PM ，则|FM |＝2|OF |＝10，由|OP |＝|OF |＝|OM |知，FP ⊥PM ，又|PF |＝6，所以|PM |＝102－62＝8，所以2a ＝|PF |＋|PM |＝14，所以a ＝7，又c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝49－25＝24，所以椭圆C 的标准方程为x 249＋y 224＝1.14.(2018·浙江省镇海中学模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足FA →·FB →＝0，|FB |≤|FA |≤2|FB |，则椭圆C 的离心率的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，53 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，3－1 D.[3－1，1)答案 A解析 如图，作出椭圆的左焦点F ′，分别连接AB ，AF ′，BF ′，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF ′为平行四边形.由FA →·FB →＝0，知FA ⊥FB ，所以四边形AFBF ′为矩形，所以|AB |＝|FF ′|＝2c .设|AF ′|＝m ，|AF |＝n ，则由椭圆的定义知m ＋n ＝2a ，① 在Rt△AF ′F 中，m 2＋n 2＝4c 2.②由①②，得mn ＝2(a 2－c 2)，则m n ＋n m ＝2c2a 2－c 2.令n m ＝t ，得t ＋1t ＝2c 2a 2－c 2. 由|FB |≤|FA |≤2|FB |，得nm＝t ∈[1，2]，所以t ＋1t ＝2c 2a 2－c 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52，即2≤2e 21－e 2≤52，解得22≤e ≤53，故选A.15.(2018·嘉兴测试)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，直线l 1：y ＝－12x ，直线l 2：y ＝12x ，P 为椭圆上任意一点，过P 作PM ∥l 1且与l 2交于点M ，作PN ∥l 2且与l 1交于点N ，若|PM |2＋|PN |2为定值，则椭圆的离心率为________. 答案32解析 设P (x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝－12x ＋x 02＋y 0，直线PN 的方程为y ＝12x －x 02＋y 0，分别与直线l 2，l 1的方程联立可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02＋y 0，x 04＋y 02，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02－y 0，－x 04＋y 02，从而|PM |2＋|PN |2＝58x 20＋52y 20.又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以b 2x 20＋a 2y 20＝a 2b 2.又|PM |2＋|PN |2为定值，所以b 2a 2＝5852＝14，从而e 2＝a 2－b 2a 2＝34，从而e ＝32.16.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，若椭圆上存在点P 使1－cos2∠PF 1F 21－cos2∠PF 2F 1＝a 2c 2，求该椭圆的离心率的取值范围.解 由1－cos2∠PF 1F 21－cos2∠PF 2F 1＝a 2c 2，得c a ＝sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2.又由正弦定理得sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|，所以|PF 1||PF 2|＝c a ，即|PF 1|＝c a |PF 2|.又由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， 所以|PF 2|＝2a 2a ＋c ，|PF 1|＝2ac a ＋c ，因为PF 2是△PF 1F 2的一边， 所以有2c －2ac a ＋c <2a 2a ＋c <2c ＋2aca ＋c，即c 2＋2ac －a 2>0，所以e 2＋2e －1>0(0<e <1)， 解得椭圆离心率的取值范围为(2－1，1).。

2019-2020年高考数学一轮复习第九章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题夯基提能作业本文(I)1.(xx北京,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点.若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.2.(xx北京东城一模)已知椭圆W:+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆上一动点P满足|PF1|+|PF2|=2.(1)求椭圆W的标准方程及离心率;(2)如图,过点F1作直线l1与椭圆W交于点A,C,过点F2作直线l2⊥l1,且l2与椭圆W交于点B,D,l1与l2交于点E,试求四边形ABCD的面积的最大值.3.(xx北京西城期末)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点A在椭圆C上,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点,且l与圆x2+y2=5相交于不在坐标轴上的两点P1,P2,记直线OP1,OP2的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值.4.(xx北京朝阳一模)已知椭圆C:+=1的焦点分别为F1,F2.(1)求以线段F1F2为直径的圆的方程;(2)过点P(4,0)任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M,N.在x轴上是否存在点Q,使得∠PQM+∠PQN=180°?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.B组提升题组5.(xx北京海淀二模)已知F1(-1,0)、F2(1,0)分别是椭圆C:+=1(a>0)的左、右焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)若A,B分别在直线x=-2和x=2上,且AF1⊥BF1.(i)当△ABF1为等腰三角形时,求△ABF1的面积;(ii)求点F1,F2到直线AB距离之和的最小值.6.(xx北京海淀二模)已知曲线C:+=1(y≥0),直线l:y=kx+1与曲线C交于A,D两点,A,D两点在x轴上的射影分别为点B,C.(1)当点B坐标为(-1,0)时,求k的值;(2)记△OAD的面积为S1,四边形ABCD的面积为S2.(i)若S1=,求|AD|的值;(ii)求证:≥.答案精解精析A组基础题组1.解析(1)由题意,知椭圆C的标准方程为+=1.所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=.故椭圆C的离心率e==.(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x0≠0.因为OA⊥OB,所以·=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.又+2=4,所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=+(y0-2)2=+++4=+++4=++4(0<≤4).因为+≥4(0<≤4),当且仅当=4时等号成立,所以|AB|2≥8.故线段AB长度的最小值为2.2.解析(1)由已知,得解得所以椭圆W的标准方程为+=1,离心率e==.(2)连接EO.由题意知EF1⊥EF2,所以|EO|=|F1F2|=1.所以点E的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆.显然点E在椭圆W的内部.S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=|AC|·|BE|+|AC|·|DE|=|AC|·|BD|.①当直线l1,l2中的一条直线与x轴垂直时,不妨令l2⊥x轴,此时AC为长轴,BD⊥x轴,把x=1代入椭圆方程,可求得y=±,则|BD|=,此时S四边形ABCD=|AC|·|BD|=4.②当直线l1,l2的斜率都存在时,设直线l1:x=my-1(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).联立消去x,得(2m2+3)y2-4my-4=0.所以y1+y2=,y1y2=,则|AC|==.同理,|BD|=.S四边形ABCD=|AC|·|BD|=××====4<4.综上,四边形ABCD的面积的最大值为4.3.解析(1)由题意,得=,a2=b2+c2,又因为点A在椭圆C上,所以+=1,解得a=2,b=1,c=,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:当直线l的斜率不存在时,由题意知l的方程为x=±2,易得直线OP1,OP2的斜率之积k1·k2=-.当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=kx+m(k≠0).由得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)=0,即m2=4k2+1.由得(k2+1)x2+2kmx+m2-5=0,设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,所以k1·k2=====,将m2=4k2+1代入上式,得k1·k2==-.综上,k1·k2为定值-.4.解析(1)因为a2=4,b2=2,所以c2=2.所以以线段F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2.(2)假设存在点Q(m,0),使得∠PQM+∠PQN=180°,则直线QM和QN的斜率存在,分别设为k1,k2.则k1+k2=0.依题意,知直线l的斜率存在,故设直线l的方程为y=k(x-4).由得(2k2+1)x2-16k2x+32k2-4=0.因为直线l与椭圆C有两个交点,所以Δ>0.即(-16k2)2-4(2k2+1)(32k2-4)>0,解得k2<.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,y1=k(x1-4),y2=k(x2-4). k1+k2=+=0,即(x1-m)y2+(x2-m)y1=0,即(x1-m)k(x2-4)+(x2-m)k(x1-4)=0,当k≠0时,2x1x2-(m+4)(x1+x2)+8m=0,所以2·-(m+4)·+8m=0,化简得=0,所以m=1.当k=0时,也成立.所以存在点Q(1,0),使得∠PQM+∠PQN=180°.B组提升题组5.解析(1)由题意可得a2-3=1,所以a2=4,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由题意可设A(-2,m),B(2,n),因为AF1⊥BF1,所以·=0,所以(1,-m)·(-3,-n)=0,所以mn=3①.(i)因为AF1⊥BF1,所以当△ABF1为等腰三角形时,只能是|AF1|=|BF1|,即=,化简得m2-n2=8②.由①②可得或所以=|AF1||BF1|=×()2=5.(ii)直线AB:y=(x+2)+m,化简得(n-m)x-4y+2(m+n)=0,设点F1,F2到直线AB的距离分别为d1,d2,则d1+d2=+.因为点F1,F2在直线AB的同一侧,所以d1+d2==4.因为mn=3,所以m2+n2≥2mn=6(当且仅当m=n时取等号),d1+d2=4=4,所以d1+d2=4≥2.当m=n=或m=n=-时,点F1,F2到直线AB的距离之和取得最小值2.6.解析(1)因为B(-1,0),所以设A(-1,y0),代入+=1(y≥0),解得y0=,将A代入直线y=kx+1,得k=-.(2)(i)解法一:设点E(0,1),A(x1,y1),D(x2,y2).由得(3+4k2)x2+8kx-8=0,所以因为S1=|OE|(|x1|+|x2|)=×1·|x1-x2|=|x1-x2|,而|x1-x2|=,所以S1=·=,所以=,所以=,解得k=0,所以|AD|==.解法二:设点E(0,1),A(x1,y1),D(x2,y2). 由得(3+4k2)x2+8kx-8=0,所以点O到直线AD的距离d=,|AD|=|x1-x2|=·.所以S1=|AD|·d=·==.所以=,解得k=0.所以|AD|==.(ii)证明:因为S2=(y1+y2)|x1-x2|,所以==,而y1+y2=kx1+1+kx2+1=k(x1+x2)+2,所以==≥=.。