圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)
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第四讲 圆锥曲线中的定点定值问题
一、直线恒过定点问题
例1. 已知动点E 在直线:2l y =-上，过点E 分别作曲线2
:4C x y =的切线,EA EB ， 切点为
A 、
B , 求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标；
解：设),2,(-a E )4,(),4,(2
22211x x B x x A ，x y x y 2
1
4'2=∴=
,
)(21
41121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(2
1
421121x a x x -=--∴整理得：082121=--ax x
同理可得：2
22280x ax --=
8
,2082,2121221-=⋅=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程
)2
4,(2+a a AB 中点为可得，又22
12
121212124442
AB
x x y y x x a k x x x x -
-+====-- 2(2)()22a a AB y x a ∴-+=-直线的方程为，2()2
a
y x AB =+∴即过定点0,2.
例2、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012
x x
y y +=， 直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒
过一定点G ，求点G 的坐标。
解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n
则0000001
212022x n
m y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨-⎪⋅--=⎪⎩，解得3200020432
0000
2002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩
∴ 直线PN 的斜率为4320000032
00004288
2(34)
n y x x x x k m x y x x -++--==---+
从而直线PN 的方程为： 432000000320004288
()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+
即32000432
00002(34)
14288
y x x x y x x x x --+=+++-- 从而直线PN 恒过定点(1,0)G 二、恒为定值问题
例3、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上，短轴长为22，离心率为
2
2
，P 是椭圆在第一 象限弧上一点，且121PF PF ⋅=，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭 圆于A 、B 两点。 （1）求P 点坐标；
（2）求证直线AB 的斜率为定值；
解：（1）设椭圆方程为22
221y x a b
+=，由题意可得
2,2,22a b c ===，所以椭圆的方程为22
142
y x +=
则12(0,2),(0,2)F F -，设
0000(,)(0,0)P x y x y >> 则100200(,2),(,2),PF x y PF x y =--=---
22
1200(2)1PF PF x y ∴⋅=--=
点00(,)P x y 在曲线上，则2200 1.24x y += 2
2
0042
y x -∴= 从而2
2
004(2)12
y y ---=，得02y =，则点P 的坐标为(1,2)。 （2）由（1）知1//PF x 轴，直线PA 、PB 斜率互为相反数，
设PB 斜率为(0)k k >，则PB 的直线方程为：2(1)y k x -=-
由222(1)124y k x x y ⎧-=-⎪⎨+
=⎪⎩
得222
(2)2(2)(2)40k x k k x k ++-+--=
设(,),B B B x y 则22(2)222
1B k k k k x ---=-= 同理可得222222A k k x k +-=+，则2
422A B k
x x k
-=+ 2
8(1)(1)2A B A B k
y y k x k x k
-=----=+ 所以直线AB 的斜率2A B
AB A B
y y k x x -=
=-为定值。
例4、已知动直线(1)y k x =+与椭圆22
:
155
3
x y C +=相交于A 、B 两点,已知点 7
(,0)3
M -
， 求证：MA MB ⋅为定值. 解: 将(1)y k x =+代入
22
155
3
x y +=中得2222(13)6350k x k x k +++-= 4
2
2
2
364(31)(35)48200k k k k ∴∆=-+-=+>，
2122631k x x k +=-+，2122
35
31
k x x k -=+ 所以112212127777
(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=+
+=+++ 2121277
()()(1)(1)33
x x k x x =+++++
2221212749
(1)()()39
k x x k x x k =++++++
222
2
22
2357649(1)()()313319
k k k k k k k -=+++-++++ 422
2316549319k k k k ---=+++49
=。
课后作业：
1. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2
2:13
x C y +=.如图所示，斜率为(0)k k ＞且不 过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ， 射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点
(3,)D m -.