平面向量
章节分析:
向量是近代数学中重要和基本的概念之一,具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形于一体, 是沟通代数与几何的天然桥梁，能与中学数学内容的许多主干知识相结合,形成知识交汇点.向量是沟通代数、几何和三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理学科中有重要应用.
向量有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具,向量概念引入后,许多图形的基本性质都可以转化为向量的运算体系,例如平行、垂直、夹角、距离等.
对本章的学习要立足基础,强化运算,重视运用,能根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算,并能运用向量知识解决平面几何中的一些证明和计算问题.
平面向量的概念、几何运算和基本定理
1.向量的相关概念
2.向量的线性运算
3.向量的共线定理
非零向量a 与向量b 共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使b a =λ。
延伸结论:,,A B C 三点共线//AB AC ⇔⇔当且仅当有唯一R λ∈,使AB AC =λ 4.平面向量的基本定理
如果12,e e 是一个平面内两个不共线向量,那么对这平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2使:1122a e e =λ+λ,其中不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 练习:（1）已知12,e e 是平面向量的一组基底,11122122,a x e y e b x e y e =+=+, ①若a b =当且仅当12x x =且12y y =.②若0,a =则120x x ==.
（2）如图,OA OB 为单位向量，||23OC =，其中,OA OB 的夹角为120，,OA OC 的夹角为30。若OC OB OA =λ+μ，求,λμ的值。
5.一个常用结论:ABC △中, M 为边BC 的中点, 则有:2AM AB AC =+. 练习:设ABC ∆的重心为点G ,设,.AB a AC b ==试用,a b 表示AG . 典型例题分析:
知识点一:基本概念 例1.
1.如果12,e e 是平面α内两个不共线向量,那么下列各说法错误的有( )
①12+e e λμ(,λμ∈R )可以表示平面α内的所有向量;平面α内的所有向量都可以表示成
12+e e λμ(,λμ∈R )。
②对于平面α中的任一向量a 使12=+a e e λμ的λ,μ有无数多对;
③若向量1112+e e λμ与2122+e e λμ共线,则有且只有一个k R ∈,21221112()k +=+e e e e λμλμ ④若实数λ,μ使12+=e e λμ0,则0λμ==. A.①② B.②③ C.③④ D.② 练习:1) 判断下列命题的真假
(1)向量AB 与向量CD 为共线向量,则D C B A ,,,四点共线. (2)若=AB CD 则四边形ABCD 为平行四边形. (3)若向量a b ∥,b c 则a c .
(4),a b 是两个向量,则||||||a b a b +<+当且仅当,a b 不共线时成立 知识点二:向量的线性运算 例1. 化简:
(1);AB BC CA ++ (2)();AB MB BO OM +++ (3);OA OC BO CO +++ (4);AB AC BD CD -+- (5);OA OD AD -+ (6);AB AD DC -- (7).NQ QP MN MP ++-
例 2.如图,四边形ABCD ,E ,F 分别为AD ,BC 的中点,求证:2AB DC EF +=.
练习:（1)已知ABC △三个顶点A ,B ,C 及平面内一点P ,若PA PB PC AB ++=,则 ( ) A .P 在ABC △内部 B .P 在ABC △外部 C .P 在AB 边所在直线上 D .P 在线段BC 上 (2)设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点,O 为任意一点,则OA OB OC OD +++=
. .2 C.3OM D.4AOM B OM OM
知识点三:平面向量基本定理和共线定理
例1.1）已知12,e e 为不共线向量,1232,a e e =-122,b e e =-+1274c e e =-用,a b 表示c . 2) 设1e ,2e 是两个不共线的向量,已知122AB e ke =+,1223CB e e =+,122CD e e =-若A ,B ,D 三点共线,求k 的值. 例2. 证明:平面内三点,,A B C 共线
⇔存在两个均不为0的实数,m n ,
使,OA mOB nOC =+且 1.m n += 练习: 证明:平面内三点,,A B C 共线
⇔存在三个均不为0的实数,,l m n ,
使0,lOA mOB nOC ++=且0.l m n ++=
向量数量积及坐标运算
一、基本知识回顾:
1、已知向量,,a b 其中1122(,),(,)a x y b x y ==:向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.在
cos ,a b a b <>
a b ⋅=21x x 存在唯一的实数，λa =（0b ≠）
0)b ≠
2
2y y
x x 0a b ⋅=向量b
+y y x x a 2
a (2
2
a a =) 向量的模a
a =
21x +cos ,a b <>=
a b a b
⋅
a b ，
1
1
x y
x +BC ⇔BC AB λ=
1、 判断下列命题的真假
1）若向量//a b ,//b c ,则//a c . 2）若,a b b c ⋅=⋅则a c = 3）()(),a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 4）2
2
2()2a b a a b b ±=±⋅+ 5）a b a b =⇔= 6）00,00a a ⋅=⋅=
2、已知(4,2),(,3)a b x ==.若//a b ,则=x ;若a b ⊥,则=x .
3、已知),3,7(),1,4(-B A 则与AB 同向的单位向量是 ,与AB 平行的单位向量是 .
4、已知点(1,5)A -和向量(2,3)a =,若3AB a =,则点B 的坐标为
