江苏省南通市启东中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题(PDF版含答案)

2020-2021学年第一学期10月份第一次月考试卷高一数学试卷参考答案2020.10考试范围：人教A 版必修第一册第一、二章考试时间：120分钟一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．D 解析：由(6)(1)0x x -+<，得16x -<<，从而有{}16B x x =-<<，所以{}14A B x x ⋂=-<<，故选：D .2．B 解析：集合{}0,1,2,3,4,5A =，{{}2B x y x x ===≥，所以{}U 2B x x =<ð.图中阴影部分表示的集合为(){}U 0,1A B ⋂=ð.故选：B 3．A 解析：因为甲是乙的充要条件，所以乙⇔甲；又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒丙．综上，丙⇒甲，但甲⇒丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A .4．A 解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“[]1,3x ∀∈-，2320x x -+≤”的否定为“[]01,3x ∃∈-，200320x x -+>”．故选A ．5．B 解析：对于A ，若22ac bc >，则0c ≠，2222ac bc c c >，即a b >，故正确；对于B ，根据不等式的性质，若0a b <<，不妨取2,1a b =-=-，则22a b >，故题中结论错误；对于C ，若0a b >>，则a b ab ab>，即11a b <，故正确；对于D ，若0a b <<,0c d >>，则0a b ->->，故ac bd ->-，ac bd <，故正确.故选B .6．B 解析：0a > ，0b >，且21a b +=，120b a ∴=->，解得102a <<．∴12122(1)1212122(1)(2321111a a a a a a a a b a a a a a a a a ---+=+=+-=+-+-=++-+----11+=+ ，当且仅当1a =，3b =-时取等号．∴12aa a b++有最小值1+．故选：B ．7．C 解析：解：不等式210x mx -+<的解集为空集，所以0∆≤，即240m -≤，解得22m -≤≤．故选：C ．8．B 解析：依题意2() 4.914.717h t t t =-++234.928.0252t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，故当32t =时，()max 28.02528m h t =≈.故选B .二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．ABD 解析：由于M N ⊆，即M 是N 的子集，故M N M ⋂=，M N N ⋃=，从而M M N ⊆⋂（），()M N N ⋃⊆.故选ABD .10．AC 解析：对于选项A ，由327x =-得293x x =-⇒=，但是3x =适合29x =，推出32727x =≠-，故A 正确；对于选项B ，在ABC ∆中，222AB AC BC ABC +=⇒∆为直角三角形，但ABC ∆为直角三角形222AB AC BC ⇒+=或222AB BC AC +=或2221BC AC AB +=，故B 错误；对于选项C ，由220,a b a b +≠⇒不全为0，反之，由a ，b 不全为2200a b ⇒+≠，故D 正确；对于选项D ，结论“四边形是菱形”推不出条件“四边形是正方形”，因此必要条件不成立.故选：AC .11．AB 解析：对A ,2211224a b ab +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当12a b ==时取等号.故A 正确.对B ,22a b a b a b =+++++=≤,当且仅当12a b ==时取等号.故B 正确.对C ,()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭.当且仅当12a b ==时取等号.所以11a b+有最小值4.故C 错误.对D ,()222121a b a ab b +=⇒++=≤2a +()222a b b ++,即2212a b +≥,故22a b +有最小值12.故D 错误.故选：AB 12．ABD 解析：由23344x x b -+≤得23121640x x b -+-≤，又1b <，所以()4810b ∆=-<，从而不等式23344a x x b ≤-+≤的解集为∅，故A 正确.当1a =时，不等式23344a x x ≤-+就是2440x x -+≥，解集为R ，当4b =时，不等式23344x x b -+≤就是240x x -≤，解集为{}04x x ≤≤，故B 正确.由23344a x x b ≤-+≤的解集为{}x a x b ≤≤，知min a y ≤，即1a ≤，因此当x a =，x b =时函数值都是b .由当x b=时函数值是b ，得23344b b b -+=，解得43b =或4b =.当43b =时，由2343443a a b -+==，解得43a =或83a =，不满足1a ≤，不符合题意，故C 错误.当4b =时，由233444a ab -+==，解得0a =或4a =，0a =满足1a ≤，所以0a =，此时404b a -=-=，故D 正确.故选：A B D三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13．4解析：由题得满足关系式{}{}2,31,2,3,4A ⊆⊆的集合A 有：{2,3},{1,2,3},{2,3,4},{1,2,3,4}.所以集合A 的个数为4.故答案为414．充分非必要解析：令命题:2p x y +≠-，命题:q x ，y 不都为1-；:2p x y ⌝+=-，:q x ⌝，y 都是1-，则当x ，y 都是1-时，满足2x y +=-，反之当1x =，3y =-时，满足2x y +=-，但x ，y 都是1-不成立，即q ⌝是p ⌝充分非必要条件，则根据逆否命题的等价性知p 是q 的充分非必要条件，故答案为：充分非必要．15．16解析：0a >，1b >且210a b b +=⇒->且()11a b +-=∴()()91919111010616111b a a b a b a b a b -⎛⎫+=++-=++≥+=⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭当且仅当()911b a a a -=-取等，又2a b +=，即34a =，54b =时取等号，故所求最小值16．故答案为：1616．0解析：由根与系数的关系可知()11{0,01m m m b b m m a++=∴==+=四、解答题:本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．解：（1）若1A ∈，则210,1m m -+=∴=1a ∉ ，∴实数m 的取值范围为：{}1m m ∈≠R ……………4分（2）选①：若A =∅，则关于x 的方程2210mx x -+=没有实数解，所以0m ≠，且440m ∆=-<，所以1m >……………10分选②：若A 恰有两个子集，则A 为单元素集，所以关于x 的方程2210mx x -+=恰有一个实数解，讨论：①当0m =时，12x =，满足题意；②当0m ≠时，Δ440m =-=，所以1m =.综上所述，m 的集合为{}0,1……………10分选③：若1,22A ⎛⎫⋂≠∅ ⎪⎝⎭，则关于x 的方程221mx x =-在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭内有解，等价于当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求2221111m x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭的值域，所以](0,1m ∈……………10分18．解：（1）122x x +>-等价于()()12220x x x ⎧+->⎨-≠⎩，解得25x <<:25p x ∴<<，由p ⌝为真知：2x ≤或5x ≥……………6分（2）q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件.故2:50q x ax -+>对于任意25x <<恒成立，故5a x x<+，由基本不等式可知5x x+≥x =a <……12分19．解：（1）因为0x >，0y >，所以x y +≥，由2x y xy +=，得2xy ≥1≥，1xy ≥，当且仅当1x y ==时，等号成立……………6分（2）由2x y xy +=得112x y+=.2111223222x x x y y y x x x x y x x ⎛⎫+=++=++≥+≥ ⎪⎝⎭.当且仅当2x y x=，且0x <时，两个等号同时成立.即当且仅当12x =-且14y =，2y x x +的最小值是32……………12分20．（1）由题意可知，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为()21200800004006002y x x x =-+≤≤，所以，每吨二氧化碳的平均处理成本为1800002002y x x x =+-，由基本不等式可得200200y x ≥=（元），当且仅当1800002x x=时，即当400x =时，等号成立，因此，该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低……………6分（2）()()222111100200800003008000030035000222f x x x x x x x ⎛⎫=--+=-+-=--- ⎪⎝⎭400600x ≤≤ ，函数()f x 在区间[]400,600上单调递减，当400x =时，函数()f x 取得最大值，即()()max 40040000f x f ==-.所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴40000元才能使该单位不亏损……12分21．解：(1)()()2210⎡⎤-+-=---≤⎣⎦x x a a x a x a ，当1a a <-（12a <）时，不等式解集为{|1}x a x a ≤≤-；当1a a >-（12a >）时，不等式解集为{|1}x a x a -≤≤；当1a a =-（12a =）时，不等式解集为1{|}2x x =.所以，当1 2a <时，不等式解集为{|1}A x a x a =≤≤-；当1 2a =时，不等式解集为12A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当1 2a >时，不等式解集为{|1}A x a x a =-≤≤……………8分(2)由上(1)，1 2a >时，() {|1}1,1A x a x a =-≤≤⊆-，所以111a a ->-⎧⎨<⎩，得1a <，所以，实数a 的取值范围112a <<……………12分22．解：(1)函数24y x mx =++的图象开口向上，对称轴为2m x =-，在区间[]1,2上的最大值，分两种情况：①322m -<（3m >-）时，根据图象知，当2x =时，函数取得最大值82max y m =+；②322m -≥（3m ≤-）时，当1x =时，函数取得最大值5max y m =+.所以，当3m >-时,82max y m =+；当3m ≤-时,5max y m =+……………7分(2)[] 1,20x y ∈<，恒成立，只需在区间[]1,2上的最大值0max y <即可，所以(1)0(2)0f f <⎧⎨<⎩，得45m m <-⎧⎨<-⎩，所以实数m 的取值范围是5m <-……………12分。

2020/2021学年度第一学期质量检测试卷 高三数学 2020.09一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题:p x R ∃∈，使sin x =；命题:q x R ∀∈，都有210x x ++>.给出下列结论：①命题“p q ∧”是真命题 ②命题“p q ∧⌝”是假命题 ③命题“p q ⌝∨”是真命题 ④命题“p q ⌝∨⌝”是假命题其中正确的是 （ ） A ．①②③B ．②③C ．②④D ．③④2.设)2,4(=a ，),6(y b =，且//，则=y （ ） A ．3 B ．12 C ．12- D ．3-3.将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，所得的图象对应的函数解析式是 ( )A 、sin2y x =B 、cos2y x =C 、 2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D 、sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭4．已知集合P={65|<<-x x }，Q={065|2≤--x x x }，则P ⋂Q=____( )A 、{61|<<-x x }B 、{61|≤≤-x x }C 、{61|<≤-x x } D 、{61|≤<-x x }5.已知P 为抛物线C ：24y x 上一点，F 为C 的焦点，若4PF ，则ΔOPF 的面积为 ( )B. 3C. 46. f(x)与g(x)是定义在R 上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足，则f(x)与g(x)满足 ( )A ．f(x)＝g(x)B ．f(x)＝g(x)＝0C ．f(x)－g(x)为常数函数D ．f(x)＋g(x)为常数函数7．已知正四面体ABCD ，则AB 与平面BCD 所成角的余弦值为（ ）A.12 B. 23 C. 138．设锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝1，A ＝2C ，则△ABC 周长的取值范围为 （ ） A ．（0，2）B ．（0，3]C ．（2，3）D ．（2，3]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9． 在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品．从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有 （ ）A ．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有12298C C 种 B ．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有12299C C 种 C ．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有2212988129C C C C +种 D ．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有3310098C C -种10．已知曲线C 1：y ＝2sin x ，C 2：2sin(2)3y x π=+，则 （ ）A ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动6π个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，级坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动56π个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1向左平行移动3π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 D ．把C 1向左平行移动6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 211.若函数()f x 对∀a ，b ∈R ，同时满足：（1）当a ＋b ＝0时有()()0f a f b +=；（2）当a ＋b ＞0时有()()0f a f b +>，则称()f x 为Ω函数．下列函数中是Ω函数的有 （ ）A ．()e e x x f x -=+B ．()e e x x f x -=-C ．()sin f x x x =-D ．00()10x f x x x=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩，，12. 已知ABC ∆中，1=AB ,4=AC ,13=BC ,D 在BC 上，AD 为BAC ∠的角平分线，E 为AC 中点.下列结论正确的是 （ ）A.3=BEB.ABC ∆的面积为13C.534=AD D.P 在ABE ∆的外接圆上，则PE PB 2+的最大值为72三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分13．设函数f （x ）（a ＞0且a ≠1），若f （2）＝4，则f （﹣2020）＝ 14.函数f (x )＝ln(－2x －3)的单调递减区间为______________15．已知集合2{|10},{|20}A x mx B x Z x x =-==∈+≤，若A B A =，则满足条件的实数m 的值为____ 。

2021年高一上学期10月份月考数学试题 Word版含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．.1.若用列举法表示集合，则集合2.下列各式中，正确的序号是②④⑤①0={0}；②0∈{0}；③{1}∈{1，2，3}；④{1，2}{1，2，3}；⑤{a，b}{a，b}．3.已知全集,集合,,则集合4.已知全集，集合，，那么集合=．或5.下列函数中（2）与函数是同一个函数（1）；（2）；（3）（4）．6.函数的定义域为7.设函数则的值为8.若函数，则使得函数值为的的集合为9.已知是奇函数，则实数=____________010.函数函数的单调增区间是11.如图，函数的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4)，则_________212.下列两个对应中是集合A到集合B的映射的有（1）（3）（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9},对应法则；（2）设,,对应法则（3）设，对应法则除以2所得的余数；（4），对应法则13.已知奇函数在定义域R上是单调减函数，且，则的取值范围是14. 已知函数是(-∞,+∞)上的单调减函数,那么实数的取值范围是(0,2]二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（1）设A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，已知A∩B＝{9}，求a的值，并求出A∪B.（2）已知集合{}{},1x=mm≤-xx≤BxA满足5=|23,-≤≤|+求实数的取值范围.解（1）∵A∩B＝{9}，∴9∈A，所以a2＝9或2a－1＝9，解得a＝±3或a＝5.当a＝3时，A＝{9,5，－4}，B＝{－2，－2,9}，B中元素违背了互异性，舍去．当a＝－3时，A＝{9，－7，－4}，B＝{－8,4,9}，A∩B＝{9}满足题意，故A∪B＝{－7，－4，－8,4,9}．当a＝5时，A＝{25,9，－4}，B＝{0，－4,9}，此时A∩B＝{－4,9}，与A∩B＝{9}矛盾，故舍去．综上所述，a＝－3，A∪B＝{－7，－4，－8,4,9}．（2）由题意知,要满足必须,即16.已知函数,x∈[3,5].(1) 判断函数的单调性,并证明;(2) 求函数的最大值和最小值.解：(1) 任取x1,x2∈[3,5]且x1<x2.f(x1)-f(x2)=-=,因为3≤x1<x2≤5,所以x1-x2<0,(x1+2)(x2+2)>0.所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).所以f(x)在[3,5]上为增函数.(2) 由(1)知f(x)max=f(5)=,f(x)min=f(3)=.17．已知函数(1)求在区间[0，3]上的最大值和最小值；(2)若在[2,4]上是单调函数，求的取值范围．解(1)∵, x∈[0，3]，对称轴,开口向下,∴f (x )的最大值是f (1)＝3，又f (0)＝2，f (3)＝，所以f (x )在区间[0，3]上的最大值是3，最小值是.(2)∵,函数对称轴是,开口向下,又在[2,4]上是单调函数∴≤2或≥4，即或.故m 的取值范围是或.18．已知定义域为的奇函数，当 时,.（1）当时，求函数的解析式；（2）求函数解析式；（3）解方程．解: （1）当时,, 所以22()()()()3()3(0);f x f x f x f x x f x x x ∴-=-∴-=-∴=-+<是奇函数 ………… 5分 （2）因为函数是定义域为的奇函数,所以,则 ………10分 （3） 当时，方程即，解之得；当时，方程即，解之得()；当时，方程即，解之得().综上所述，方程的解为，或，或. ………16分19．设函数,（）.(1) 求证:是偶函数;(2) 画出函数的图象，并指出函数的单调区间,并说明在各个单调区间上是单调递增还是单调递减;(3) 求函数的值域.解： (1) 因为,所以f(x)的定义域关于原点对称.对定义域内的每一个x,都有f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.(2) 当0≤x≤4时,f(x)=x 2-2x-3=(x-1)2-4;当-4≤x<0时,f(x)=x 2+2x-3=(x+1)2-4.函数f(x)的图象如图所示.由图知函数f(x)的单调区间为[-4,-1),[-1,0),[0,1),[1,4].f(x)在区间[-4,-1)和[0,1)上单调递减,在[-1,0)和[1,4]上单调递增.(3) 当x≥0时,函数f(x)=(x-1)2-4的最小值为-4,最大值为f(4)=5;当x<0时,函数f(x)=(x+1)2-4的最小值为-4,最大值为f(-4)=5.故函数f(x)的值域为[-4,5].20． 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：（其中x 是仪器的月产量）．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)解：（1）f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000. ∴当x ＝300时，有最大值为25 000；当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数，f (x )<60 000－100×400＝20 000<25 000.∴当x ＝300时，f (x )的最大值为25 000，即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．}27285 6A95 檕25052 61DC 懜k&@Y31750 7C06 簆.*29155 71E3 燣 f 33982 84BE 蒾。

江苏省启东中学高一数学月考试卷答案1、72、32π 3、10 4、007515或 5、 -n+3 6、156 7、直角三角形 8、3 9、1 10、338≤<d 11、 ③ 12、 3 13、⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+)21()24()21()32(22k k k k ππ 14、2002 15．8616.解（1）由(3)23n n m S ma m -+=+，得11(3)23,n n m S ma m ++-+=+两式相减，得1(3)2,(3)n n m a ma m ++=≠-12,3n n a m a m +∴=+ {}n a ∴是等比数列． 111111112(2)1,(),2,3233()22311133.311{}131121,333.2n n n n n n n n n n n n n m b a q f m n N n m b b f b b b b b b b b b n n b b n ------====∈≥+==⋅++=⇒-=∴-+∴=+==+由且时，得是为首项为公差的等差数列,故有 17．（1）0120；（2）10；（3）23 18．解：（1）依题意，10,1001091212==+=a a a a 故，…………………………2分当109,21+=≥-n n S a n 时 ① 又1091+=+n n S a ②…………………………………4分②－①整理得：}{,101n nn a a a 故=+为等比数列，且n a q a a n n n n =∴==-log ,1011 *1}{lg ,1)1(lg lg N n a n n a a n n n ∈=-+=-∴+即是等差数列.…………………6分（2）由（1）知，)1(1321211(3+++⋅+⋅=n n T n ………………………………8分133)1113121211(3+-=+-++-+-=n n n ……………………………………10分,23≥∴n T 依题意有,61),5(41232<<-->m m m 解得 故所求最大正整数m 的值为5.……………………………………………………15分19.解:（１）为了计算前三项321,,a a a 的值，只要在递推式1,)1(2≥-+=n a S n n n 中，对n 取特殊值1,2,3n =，就可以消除解题目标与题设条件之间的差异．由111121,1;a S a a ==-=得由2122222(1),0;a a S a a +==+-=得由31233332(1), 2.a a a S a a ++==+-=得……………………………6分（２）为了求出通项公式，应先消除条件式中的n S ．事实上当2≥n 时，有,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -⨯+-=-=--即有 ,)1(2211---⨯+=n n n a a从而 ,)1(22221----⨯+=n n n a a32322(1),n n n a a ---=+⨯-…….2212-=a a接下来，逐步迭代就有122111)1(2)1(2)1(22-----⨯++-⨯+-⨯+=n n n n n a a ].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n n n n n n n经验证a 1也满足上式，故知 .1],)1(2[3212≥-+=--n a n n n 其实，将关系式1122(1)n n n a a --=+⨯-和课本习题1n n a ca d -=+作联系，容易想到：这种差异的消除，只要对1122(1)n n n a a --=+⨯-的两边同除以(1)n -，便得1122(1)(1)n n n n a a --=-⋅---． 令,(1)n n na b =-就有122n n b b -=--，于是 1222()33n n b b -+=-+， 这说明数列23n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，公比2,q =- 首项11b =-，从而，得 111221()(2)()(2)333n n n b b --+=+⋅-=-⋅-， 即121()(2)(1)33n n n a -+=-⋅--，故有.1],)1(2[3212≥-+=--n a n n n 20．解：（1）设}{n a 的公差为d ，由题意0>d ，且⎩⎨⎧=++=+28)2)(3(52111d a d a d a 2分 11,2a d ==，数列}{n a 的通项公式为12-=n a n ………………4分（2）由题意)11()11)(11(12121n n a ++++≤ 对*N n ∈均成立 …5分 记)11()11)(11(121)(21n a a a n n F ++++= 则1)1(2)1(21)1(4)1(2)32)(12(22)()1(2=++>-++=+++=+n n n n n n n n F n F ()0F n > ，∴(1)()F n F n +>，∴()F n 随n 增大而增大 ……8分 ∴()F n 的最小值为332)1(=F∴a ≤a 的最大值为332 …………………9分 （3）12-=n a n∴在数列}{n b 中，m a 及其前面所有项之和为22)222()]12(531[212-+=++++-++++-m m m m …11分 21562211200811222210112102=-+<<=-+ ，即11102008a a <<12分又10a 在数列}{n b 中的项数为：521221108=++++ … 14分且244388611222008⨯==-， 所以存在正整数964443521=+=m 使得2008=m S。

高一（上）10月月考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求.1．设集合A={x|x=2k+1，k∈Z}，则（）A．3∉A B．3∈A C．3⊆A D．3⊊A2．函数f（x）=a x（a＞1）的大致图象为（）A．B．C．D．3．若集合M={a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4．已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2}，则这样的集合B有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．下列各组函数中的两个函数是相等函数的是（）A．f（x）=（x﹣1）0与g（x）=1 B．f（x）=|x|与g（x）=C．f（x）=x与g（x）=（）2 D．f（x）=•与g（x）=6．下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．y=x2+1 B．y=3﹣2x C．D．y=﹣x2+17．函数y=的定义域为（）A．（﹣B．C．D．8．已知集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2＜x≤5}，则A∪B=（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣1≤x≤5}C．{x|﹣1＜x＜5}D．{x|﹣1＜x≤5} 9．下列各式比较大小正确的是（）A．1.72.5＞1.73B．0.6﹣1＞0.62C．1.70.3＜0.93.1 D．0.8﹣0.1＞1.250.210．f（x）=是定义在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）A．[，）B．[0，]C．（0，）D．（﹣∞，]11．已知f（x）是偶函数，对任意的x1，x2∈（﹣∞，﹣1]，都有（x2﹣x1）（f （x2）﹣f（x1））＜0，则下列关系式中成立的是（）A．f（﹣）＜f（﹣1）＜f（2）B．f（﹣1）＜f（﹣）＜f（2）C．f（2）＜f（﹣1）＜f（﹣）D．f（2）＜f（﹣）＜f（﹣1）12．某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.13．函数f（x）=则f（f（4））=．14．已知指数函数f（x）=（2a﹣1）x在（﹣∞，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是．15．已知函数f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上的解析式是f（x）=2x+1，则f（x）在（﹣∞，0）上的解析式为．16．奇函数f（x）满足：①f（x）在（0，+∞）内单调递增；②f（1）=0；则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知全集U={x∈N|1≤x≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}．（Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）求（∁U A）∩（∁U B）．18．计算下列各题：（1）；（2）若10x=3，10y=4，求102x﹣y的值．19．已知集合A={x|x2﹣ax+a2﹣12=0}，B={x|x2﹣2x﹣8=0}，C={x|mx+1=0}．（Ⅰ）若A=B，求a的值；（Ⅱ）若B∪C=B，求实数m的值组成的集合．20．已知函数．（Ⅰ）画出f（x）的图象（无需列表），并写出函数的单调递减区间；（Ⅱ）若x∈[0，a]，求f（x）的最大值．21．已知二次函数f（x）满足f（0）=1且f（x+1）﹣f（x）=2x+2．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若g（x）=2f（x），x∈[﹣1，1]，求g（x）的值域．22．已知函数f（x）=是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（）=．（1）求f（x）的解析式；（2）判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性并证明；（3）当存在x∈[，1]使得不等式f（mx﹣x）+f（x2﹣1）＞0恒成立，请同学们探究实数m的所有可能取值．高一（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求.1．设集合A={x|x=2k+1，k∈Z}，则（）A．3∉A B．3∈A C．3⊆A D．3⊊A【考点】元素与集合关系的判断．【分析】判断3是否属于集合A，把3代入x=2k+1后看能不能求得整数k．【解答】解：由2k+1=3，得k=1∈Z，所以3∈A．故选B．2．函数f（x）=a x（a＞1）的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据指数函数的图象和性质进行判断．【解答】解：当a＞1时，指数函数f（x）=a x，单调递增，排除A，C．又因为函数的定义域为R，所以排除D．故选B．3．若集合M={a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【考点】集合的确定性、互异性、无序性．【分析】根据集合元素的互异性，在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，则△ABC不会是等腰三角形．【解答】解：根据集合元素的互异性，在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，故△ABC一定不是等腰三角形；选D．4．已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2}，则这样的集合B有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【考点】并集及其运算．【分析】根据题意得到集合B是集合A的子集，所以求出集合A子集的个数即为集合B的个数．【解答】解：因为A∪B={1，2}=A，所以B⊆A，而集合A的子集有：∅，{1}，{2}，{1，2}共4个，所以集合B有4个．故选A5．下列各组函数中的两个函数是相等函数的是（）A．f（x）=（x﹣1）0与g（x）=1 B．f（x）=|x|与g（x）=C．f（x）=x与g（x）=（）2 D．f（x）=•与g（x）=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】分别判断两个函数定义域和对应法则是否一致即可．【解答】解：A．函数f（x）=（x﹣1）0=1的定义域{x|x≠1}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数．B．g（x）==|x|，两个函数的对应法则和定义域相同，是相等函数．C．函数g（x）=（）2=x，函数f（x）的定义域为[0，+∞），两个函数的定义域不相同，不是相等函数．D．由，解得x≥1，即函数f（x）的定义域为{x|x≥1}，由x2﹣1≥0，解得x≥1或x≤﹣1，即g（x）的定义域为{x|x≥1或x≤﹣1}，两个函数的定义域不相同，不是相等函数．故选：B．6．下列函数中，在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．y=x2+1 B．y=3﹣2x C．D．y=﹣x2+1【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据基本初等函数的图象与性质，对选项中的函数在区间（0，+∞）上的单调性判定即可．【解答】解：对于A，二次函数y=x2+1的图象是开口向上的抛物线，最新x=0对称，在区间（0，+∞）上是增函数，符合题意；对于B，一次函数y=3﹣2x的一次项系数k=﹣2为负数，∴函数y=3﹣2x在区间（0，+∞）上是减函数，不符合题意；对于C，反比例函数y=图象在一、三象限，在每一个象限内均为减函数，不符合题意；对于D，二次函数y=﹣x2+1的图象是开口向下的抛物线，最新x=0对称，在区间（0，+∞）上是减函数，不符合题意．故选：A．7．函数y=的定义域为（）A．（﹣B．C．D．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】两个被开方数都需大于等于0；列出不等式组，求出定义域．【解答】解：要使函数有意义，需，解得，故选B．8．已知集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2＜x≤5}，则A∪B=（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|﹣1≤x≤5}C．{x|﹣1＜x＜5}D．{x|﹣1＜x≤5}【考点】并集及其运算．【分析】分别把两集合的解集表示在数轴上，根据数轴求出两集合的并集即可【解答】解：把集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2＜x≤5}，表示在数轴上：则A∪B=[﹣1，5]．故选B9．下列各式比较大小正确的是（）A．1.72.5＞1.73B．0.6﹣1＞0.62C．1.70.3＜0.93.1 D．0.8﹣0.1＞1.250.2【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据指数函数的单调性判断数的大小即可．【解答】解：对于指数函数y=a x，当a＞1时，函数为增函数，故A错误，当0＜a＜1时，函数为减函数，故B正确，由于1.70.3＞1，0.93.1＜1，故C错误，由于0.8﹣0.1=1.250，1，对于指数函数y=a x，当a＞1时，函数为增函数，故D错误，故选：B10．f（x）=是定义在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）A．[，）B．[0，]C．（0，）D．（﹣∞，]【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意可得3a﹣1＜0、﹣a＜0、且﹣a≤3a﹣1+4a，解由这几个不等式组成的不等式组，求得a的范围．【解答】解：由题意可得，求得≤a＜，故选：A．11．已知f（x）是偶函数，对任意的x1，x2∈（﹣∞，﹣1]，都有（x2﹣x1）（f （x2）﹣f（x1））＜0，则下列关系式中成立的是（）A．f（﹣）＜f（﹣1）＜f（2）B．f（﹣1）＜f（﹣）＜f（2）C．f（2）＜f（﹣1）＜f（﹣）D．f（2）＜f（﹣）＜f（﹣1）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由于对任意的x1，x2∈（﹣∞，﹣1]，都有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＜0，可得函数f（x）在x∈（﹣∞，﹣1]上单调递减，即可得出．【解答】解：∵对任意的x1，x2∈（﹣∞，﹣1]，都有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））＜0，∴函数f（x）在x∈（﹣∞，﹣1]上单调递减，∴，又∵f（x）是偶函数，∴f（﹣2）=f（2）．∴f（﹣1）＜f（﹣）＜f（2）．故选：B．12．某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时【考点】指数函数的实际应用．【分析】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出e k，e b的值，运用指数幂的运算性质求解e33k+b即可．【解答】解：y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．当x=0时，e b=192，当x=22时e22k+b=48，∴e22k==e11k=e b=192当x=33时，e33k+b=（e k）33•（e b）=（）3×192=24故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上. 13．函数f（x）=则f（f（4））=0．【考点】函数的值．【分析】先根据对应法则求出f（4），然后根据f（4）的大小关系判断对应法则，即可求解【解答】解：∵4＞1∴f（4）=﹣4+3=﹣1∵﹣1≤1∴f（﹣1）=0故答案为：014．已知指数函数f（x）=（2a﹣1）x在（﹣∞，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（1，+∞）．【考点】指数函数的单调性与特殊点；函数单调性的性质．【分析】利用指数函数f（x）=（2a﹣1）x在（﹣∞，+∞）内是增函数可知2a ﹣1＞1，从而可求实数a的取值范围．【解答】解：∵指数函数f（x）=（2a﹣1）x在（﹣∞，+∞）内是增函数，∴2a﹣1＞1，∴a＞1，∴实数a的取值范围是（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．15．已知函数f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上的解析式是f（x）=2x+1，则f（x）在（﹣∞，0）上的解析式为f（x）=﹣2x+1．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】利用函数是偶函数，f（﹣x）=f（x），f（x）在[0，+∞）上的解析式是f（x）=2x+1，当x＜0时，则﹣x＞0，可求f（x）在（﹣∞，0）上的解析式．【解答】解：由题意，函数是偶函数，f（﹣x）=f（x），当x≥0时，f（x）=2x+1，那么：f（﹣x）=﹣2x+1=f（x），∴f（x）=﹣2x+1，故答案为：f（x）=﹣2x+1．16．奇函数f（x）满足：①f（x）在（0，+∞）内单调递增；②f（1）=0；则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）∪（1，+∞）．【考点】其他不等式的解法．【分析】分类讨论，当x＞1时，f（x）在（0，+∞）内单调递增，又f（1）=0，则f（x）＞0，当0＜x＜1时，f（x）＜0，又函数f（x）为奇函数，求出此时不等式的解集，进而求出不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集．【解答】解：分类讨论，当x＞1时，f（x）在（0，+∞）内单调递增，又f（1）=0，则f（x）＞0，当0＜x＜1时，f（x）＜0，又函数f（x）为奇函数，则f（﹣1）=0且f（x）在（﹣∞，0）内单调递增，则当﹣1＜x＜0时，f（x）＞0，当x＜﹣1时，f（x）＜0故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）∪（1，+∞）．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知全集U={x∈N|1≤x≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}．（Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）求（∁U A）∩（∁U B）．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】（Ⅰ）用列举法写出全集U，根据交集的定义写出A∩B；（Ⅱ）根据补集的定义写出∁U A和∁U B，再根据交集的定义写出（∁U A）∩（∁U B）．【解答】解：全集U={x∈N|1≤x≤10}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}；（Ⅰ）A∩B={1，3，5}；（Ⅱ）∁U A={4，6，7，9，10}，∁U B={2，4，6，8，10}，∴（∁U A）∩（∁U B）={4，6，10}．18．计算下列各题：（1）；（2）若10x=3，10y=4，求102x﹣y的值．【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】（1）利用有理数指数幂的性质、运算法则直接求解．（2）利用有理数指数幂的性质、运算法则直接求解．【解答】解：（1）==8．（2）∵10x=3，10y=4，∴102x﹣y===．19．已知集合A={x|x2﹣ax+a2﹣12=0}，B={x|x2﹣2x﹣8=0}，C={x|mx+1=0}．（Ⅰ）若A=B，求a的值；（Ⅱ）若B∪C=B，求实数m的值组成的集合．【考点】并集及其运算；集合的相等．【分析】（Ⅰ）根据A=B，求出a的值化简；（Ⅱ）由B与C的并集为B，得到C为B的子集，确定出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）∵A={x|x2﹣ax+a2﹣12=0}，B={x|x2﹣2x﹣8=0}={x|（x﹣4）（x+2）=0}={﹣2，4}，且A=B，∴﹣2和4为A中方程的解，即﹣2+4=a，解得：a=2；（Ⅱ）∵B∪C=B，∴C⊆B，当C=∅时，方程mx+1=0无解，即m=0；当C≠∅时，x=﹣2或x=4为方程mx+1=0的解，把x=﹣2代入方程得：m=；把x=4代入方程得：m=﹣，则实数m的值组成的集合为{﹣，0， }．20．已知函数．（Ⅰ）画出f（x）的图象（无需列表），并写出函数的单调递减区间；（Ⅱ）若x∈[0，a]，求f（x）的最大值．【考点】函数的图象；函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）根据函数的解析式，可得函数的图象；数形结合，可得函数的单调递减区间；（Ⅱ）数形结合，对a进行分类讨论，可得x∈[0，a]时f（x）的最大值的表达式．【解答】解：（Ⅰ）函数的图象如下图所示：由图可得：函数的单调递减区间为（﹣∞，0]和[1，+∞）；（Ⅱ）若x∈[0，a]，当a∈（0，1）时，f（x）max=﹣a2+2a，当a∈[1，+∞）时，f（x）max=1，综上可得：f（x）max=．21．已知二次函数f（x）满足f（0）=1且f（x+1）﹣f（x）=2x+2．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若g（x）=2f（x），x∈[﹣1，1]，求g（x）的值域．【考点】二次函数的性质；抽象函数及其应用．【分析】（Ⅰ）设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，由f（x+1）﹣f（x）=2x+2，得2ax+a+b=2x+2，解方程组求出a，b的值，从而求出函数的解析式；（Ⅱ）f（x）=x2+x+1的图象是开口朝上，且以直线x=﹣的抛物线，先求出f（x），x∈[﹣1，1]的最值，进而可得g（x），x∈[﹣1，1]的最值，进而得到答案．【解答】解：（Ⅰ）设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1．因为f（x+1）﹣f（x）=2x+2，所以a（x+1）2+b（x+1）+1﹣（ax2+bx+1）=2x+2．即2ax+a+b=2x+2，∴2a=a+b=2，解得：a=1，b=1，∴f（x）=x2+x+1（Ⅱ）f（x）=x2+x+1的图象是开口朝上，且以直线x=﹣的抛物线，由x∈[﹣1，1]得：当x=﹣时，f（x）取最小值，此时g（x）=2f（x）取最小值，当x=1时，f（x）取最大值3，此时g（x）=2f（x）取最大值8，故g（x）的值域为[，8]22．已知函数f（x）=是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（）=．（1）求f（x）的解析式；（2）判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性并证明；（3）当存在x∈[，1]使得不等式f（mx﹣x）+f（x2﹣1）＞0恒成立，请同学们探究实数m的所有可能取值．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）根据条件建立方程关系即可确定f（x）的解析式；（2）根据函数单调性的定义即可判断f（x）的单调性并用定义证明；（3）利用函数奇偶性和单调性之间的关系即mx﹣x＞1﹣x2，即存在x∈[，1]使mx﹣x＞1﹣x2成立即﹣1≤mx﹣x≤1成立．【解答】解：（1）∵函数f（x）=是定义在[﹣1，1]上的奇函数，∴b=0，f（x）=，而f（）=，即=，解得：a=1，故f（x）=；（2）函数f（x）=在[﹣1，1]上为增函数；下证明：设任意x1，x2∈[﹣1，1]且x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，因为x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，又因为x1，x2∈[﹣1，1]，所以1﹣x1x2＞0即＜0，即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在[﹣1，1]上为增函数；（3）因为f（mx﹣x）+f（x2﹣1）＞0，所以f（mx﹣x）＞﹣f（x2﹣1），即f（mx﹣x）＞f（1﹣x2），又由（II）函数y=f（x）在[﹣1，1]上为增函数，所以mx﹣x＞1﹣x2，即存在x∈[，1]使mx﹣x＞1﹣x2成立即﹣1≤mx﹣x≤1成立，即存在x∈[，1]使m＞﹣x++1成立且1﹣≤m≤1+成立，得：m＞1且﹣1≤m≤2，故实数m的所有可能取值{m|1＜m≤2}．。

2021年高一上学期第一次（10月）月考数学试题含答案一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则M ∪N ＝( )A ．{0}B ．{0,2}C ．{－2,0}D ．{－2,0,2}2．f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－3)＝2，则下列各点在函数f (x )图象上的是( )A ．(3，－2)B ．(3,2)C ．(－3，－2)D ．(2，－3)3．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )A ．y ＝xB ．y ＝1x C ．y ＝1x D ．y ＝x 2＋1 4．二次函数y ＝x 2－4x ＋3在区间(1,4]上的值域是( )．A ．[－1，＋∞)B ．(0,3]C ．[－1,3]D ．(－1,3]5．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．96．若函数f (x )满足f (3x ＋2)＝9x ＋8，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝9x ＋8B ．f (x )＝3x ＋2C ．f (x )＝－3x －4D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －47．设f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3 (x >10)，f (x ＋5) (x ≤10)，则f (5)的值为( ) A ．16 B ．18 C ．21 D ．248．设T ＝{(x ，y )|ax ＋y －3＝0}，S ＝{(x ，y )|x －y －b ＝0}，若S ∩T ＝{(2,1)}，则a ，b 的值为( )A ．a ＝1，b ＝－1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝1D ．a ＝－1，b ＝－19．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( )①y ＝|x |＋1；②y ＝|x |x ；③y ＝－x 2|x |；④y ＝x ＋x |x |. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④10．设f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0)上为减函数，若x 1<0，且x 1＋x 2>0，则( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．无法比较f (x 1)与f (x 2)的大小二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．)11．若f (x )－12f (－x )＝2x (x ∈R )，则f (2)＝______. 12．函数y ＝x ＋1x 的定义域为________．13．f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1 (x ≤0)，－2x (x >0)，若f (x )＝10，则x ＝________. 14．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.15．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则不等式f (x )<0的解集为________．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1<x <6}，C ＝{x |x >a }，U ＝R .(1)求A ∪B ，(∁U A )∩B ；(2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝1＋x 21－x 2. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性；(3)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝0.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ＋m x ，且此函数的图象过点(1,5)．(1)求实数m 的值；(2)判断f (x )的奇偶性；(3)讨论函数f (x )在[2，＋∞)上的单调性，证明你的结论．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1， (1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论．(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．20．(本小题满分13分)某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系：x 30404550y 6030150(1)(x，y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式．(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？21．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，a∈R.(1)试判断f(x)的奇偶性；(2)若－12≤a≤12，求f(x)的最小值．数学月考答案一、选择题：DABCC BBCCC二、填空题：11．8312．{x|x≥－1，且x≠0} 13．－314．－2x 2＋4 15．{x |－2<x <2}三、解答题：16．解 (1)A ∪B ＝{x |2≤x ≤8}∪{x |1<x <6}＝{x |1<x ≤8}．[来∁U A ＝{x |x <2，或x >8}．∴(∁U A )∩B ＝{x |1<x <2}．(2)∵A ∩C ≠∅，∴a <8.17．解 (1)由解析式知，函数应满足1－x 2≠0，即x ≠±1.∴函数f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠±1}．(2)由(1)知定义域关于原点对称，f (－x )＝1＋(－x )21－(－x )2＝1＋x 21－x 2＝f (x )． ∴f (x )为偶函数．(3)证明：∵f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1＋⎝⎛⎭⎫1x 21－⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 2＋1x 2－1， f (x )＝1＋x 21－x 2， ∴f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝x 2＋1x 2－1＋1＋x 21－x 2＝x 2＋1x 2－1－x 2＋1x 2－1＝0. 18．解：(1)∵f (x )过点(1,5)，∴1＋m ＝5⇒m ＝4.(2)对于f (x )＝x ＋4x，∵x ≠0， ∴f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∴f (－x )＝－x ＋4－x＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．(3)证明：设x 1，x 2∈[2，＋∞)且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝(x 1－x 2)＋4(x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－4)x 1x 2. ∵x 1，x 2∈[2，＋∞)且x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>4，x 1x 2>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x )在[2，＋∞)上单调递增．19．解 (1)函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．证明如下：任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)，∵x 1－x 2<0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．(2)由(1)知函数f (x )在[1,4]上是增函数，最大值f (4)＝95，最小值f (1)＝32. 20．解 (1)由题表作出(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)的对应点，它们近似地分布在一条直线上，如图所示．设它们共线于直线y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 50k ＋b ＝0，45k ＋b ＝15，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－3，b ＝150.∴y ＝－3x ＋150(0≤x ≤50，且x ∈N *)，经检验(30,60)，(40,30)也在此直线上． ∴所求函数解析式为y ＝－3x ＋150(0≤x ≤50，且x ∈N *)．(2)依题意P ＝y (x －30)＝(－3x ＋150)(x －30)＝－3(x －40)2＋300.∴当x ＝40时，P 有最大值300，故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．21．解 (1)当a ＝0时，函数f (－x )＝(－x )2＋|－x |＋1＝f (x )，此时，f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (a )＝a 2＋1，f (－a )＝a 2＋2|a |＋1，f (a )≠f (－a )，f (a )≠－f (－a )，此时，f (x )为非奇非偶函数．(2)当x ≤a 时，f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋a ＋34； ∵a ≤12，故函数f (x )在(－∞，a ]上单调递减， 从而函数f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f (a )＝a 2＋1.当x ≥a 时， f (x )＝x 2＋x －a ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－a ＋34， ∵a ≥－12，故函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增， 从而函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为f (a )＝a 2＋1.综上得，当－12≤a ≤12时，函数f (x )的最小值为a 2＋1.23049 5A09 娉B40547 9E63 鹣o 21878 5576 啶38230 9556 镖033765 83E5 菥33849 8439 萹, g24919 6157 慗'。

江苏省南通市启东中学【最新】高一上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若1∈{x ，x 2}，则x =（ ）A ．1B ．1-C ．0或1D ．0或1或1-2．已知集合{|P x y ==，集合{|Q y y ==，则P 与Q 的关系是（ ） A ．P Q =B ．P Q ⊆C ．P Q ⊇D ．P Q φ⋂=3．已知集合A ={a -2，2a 2+5a ，12}，-3∈A ，则a 的值为（ ）A ．1-B ．32-C ．1或32-D ．1-或32- 4．如果集合S ={x |x =3n +1，n ∈N }，T ={x |x =3k -2，k ∈Z }，则（ ）A ．S ⫋ TB ．T ⊆SC ．S =TD ．S ≠T 5．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,4- C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．[]5,5- 6．函数()f x =R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(0,4) B ．[0,4)C ．[]0,4D ．(0,4] 7．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f 13⎛⎫ ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（ ）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 8．下列四个函数中，在()0,∞+上为增函数的是（ ）．A ．()3f x x =-B ．()23f x x x =-C ．()11f x x =-+ D ．()f x x =-（）A ．(,16][8,)-∞-⋃-+∞B ．[16,8]--C ．(,8][4,)-∞-⋃-+∞D ．[8,4]-- 10．已知函数()y f x =在定义域()1.1-上是减函数，且(21)(1)f a f a -<-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()0,∞+ 11．函数()2x f x =） A ．0 B ．12- C ．1- D．14-- 12．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2−x ），若函数 y =|x 2−2x −3|与y=f （ x ）图像的交点为（x 1,y 1），（x 2,y 2），…，（x m ,y m ），则1=m i i x =∑ A ．0B ．mC ．2mD ．4m二、填空题13．设集合M ={x |-1＜x ＜2}，N ={x |x -k ≤0}，若M ∩N ≠∅，则k 的取值范围是______ ． 14．若集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，且AB B =，则实数m的取值范围是_________________．15．已知集合2{|320,,}A x ax x x R a R =-+=∈∈，若集合A 中只有一个元素，则实数a 的取值为______ ． 16．已知函数()()2,(1)42,12x mx x f x m x x ⎧->⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的递增函数,则实数m 的取值范围是__________三、解答题17．求值：（1）127(2)9-（π）0-2310(2)27-+320.25-； -111-18．设集合A={x|x 2＜9}，B={x|（x-2）（x+4）＜0}．（1）求集合A∩B ；（2）若不等式2x 2+ax+b ＜0的解集为A ∪B ，求a ，b 的值．19．已知集合A ={x |ax 2+2x +1=0，a ∈R }，（1）若A 只有一个元素，试求a 的值，并求出这个元素；（2）若A 是空集，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．20．近年来，雾霾日趋严重，雾霾的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律，每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()Q x （万元）满足20.522,016(){224,16x x x Q x x -+≤≤=>，假定该产品销售平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入-总成本）；（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？21．设函数f （x ）是增函数，对于任意x ，y ∈R 都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ）． （1）求f （0）；（2）证明f （x ）是奇函数；（3）解不等式12f （x 2）—f （x ）＞12f （3x ）．22．已知二次函数()24f x ax x b =-+满足()()4f x f x =-，且12f ．(1)求a , b 的值；(2)若1m ≠，()f x 在区间[],2m m +上的最小值为()1f x ，最大值为()2f x ，求212x x -的取值范围．参考答案1．B【分析】根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果【详解】根据题意，若1∈{x，x2}，则必有x=1或x2=1，进而分类讨论：①、当x=1时，x2=1，不符合集合中元素的互异性，舍去，②、当x2=1，解可得x=-1或x=1（舍），当x=-1时，x2=1，符合题意，综合可得，x=-1，故选B．【点睛】本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．C【解析】试题分析：因为集合代表的是函数的定义域，代表函数的值域，，.所以，故选C.考点：集合的包含关系.3．B【分析】根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果【详解】∵-3∈A∴-3=a-2或-3=2a2+5a∴a=-1或a=-32，∴当a=-1时，a-2=-3，2a2+5a=-3，不符合集合中元素的互异性，故a=-1应舍去当a=-32时，a-2=-72，2a2+5a=-3，满足．∴a =-32． 故选B ．【点睛】本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题. 4．A【解析】【分析】先将两集合元素表示形式统一，再比较确定包含关系.【详解】由T ={x |x =3k -2=3（k -1）+1，k ∈Z }={x |x =3（k -1）+1，k -1∈Z }令t =k -1，则t ∈Z ，则T ={x |x =3t +1，t ∈Z }通过对比S 、T ，且由常用数集N 与Z 可知N ⫋Z故S ⫋T.故选A ．【点睛】本题考查集合间包含关系，考查基本分析判断能力，属基础题.5．C【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]，∴由−2⩽2x −1⩽3，解得−12⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 本题选择C 选项.6．B【分析】由210mx mx ++>恒成立可得．需要分类讨论．【详解】由题意210mx mx ++>恒成立，若0m =，则不等式为10>恒成立，满足题意；若0m ≠，则2040m m m >⎧⎨∆=-<⎩，解得04m <<． 综上04m ≤<．故选：B ．【点睛】本题考查函数的定义域，掌握函数定义是解题关键．根据函数定义，题意实质上是210mx mx ++>恒成立，对2x 的系数分类讨论可得结论．7．A【分析】根据函数的奇偶性和单调性，将不等式进行等价转化，求解即可.【详解】∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (|x |)．则f (|2x －1|)<f 13⎛⎫ ⎪⎝⎭. 又∵f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴|2x －1|<13，解得13<x <23. 故选：A .【点睛】本题考查利用函数奇偶性和单调性解不等式，属综合基础题.8．C【分析】A ，B 可直接通过一次函数的单调性和二次函数的单调性进行判断；C 利用1y x =-以及平移的思路去判断；D 根据y x =-的图象的对称性判断.【详解】A ．()3f x x =-在R 上是减函数，不符合；B ．()23f x x x =-在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，不符合；C ．()11f x x =-+可认为是1y x=-向左平移一个单位所得，所以在()1,-+∞上是增函数，符合； D ．()f x x =-图象关于y 轴对称，且在(),0-∞上是增函数，在()0,∞+上是减函数，不符合；故选C.【点睛】（1）一次函数()0y kx b k =+≠、反比例函数()0k y k x =≠的单调性直接通过k 的正负判断；（2）二次函数的单调性判断要借助函数的对称轴和开口方向判断；（3）复杂函数的单调性判断还可以通过平移、翻折等变换以及图象进行判断.9．A【分析】根据二次函数的单调性，先求出()f x 的对称轴，即可得到()f x 的单调区间。

江苏省启东中学高三数学月考（文答案）一、填空题：（每小题5分）1. ［0,2］2.1≥a3. sin α 4. 5. 24 6. 2 7.1± 8. 49. [124,124+-] 10. 1611.12. []8,7 13. {}0,1- 14.l m p +=二、解答题：（本大题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （15分） 解：(Ⅰ)53cos ,,2,54sin -=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=x x x ππ ，x x x x f cos 2cos 21sin 232)(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= x x cos sin 3-=53354+=． （Ⅱ） ππ≤≤x 2 ， 6563πππ≤-≤∴x ，16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx ， ()3s i n ()c o s (2)63h x x x ππ=---23172[s i n ()]648x π=---17[,2]8∈--(Ⅲ)设),(b a =，所以b a x x g +⎪⎭⎫⎝⎛--=6s i n 2)(π，要使)(x g 是偶函数，即要26πππ+=--k a ，即32ππ--=k a ，∴2m a= 当1-=k 最小，此时3π=a ，0=b ， 即向量的坐标为)0,3(π16. （15分）证明：（Ⅰ）连结1BD ，在B DD 1∆中，E 、F 分别为1D D ，DB 的中点，则11111111////EF D BD B ABC D EF ABC D EF ABC D ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭平面平面平面（Ⅱ）1111111,B C ABB C BC AB B C ABC D AB BC B ⊥⎫⎪⊥⎪⎬⊂⎪⎪=⎭平面⇒CDBFED 1C 1B 1AA 1111111B C ABC D BD ABC D ⊥⎫⇒⎬⊂⎭平面平面111//B C BD EF BD ⊥⎫⎬⎭1EF B C ⇒⊥（Ⅲ）11CF BDD B ⊥平面1CF EFB ∴⊥平面 且C F B F==112EF BD ==1B F ===13B E ===∴22211EF B F B E += 即190EFB ∠=11113B EFC C B EF B EF V V S CF --∆∴==⋅⋅=11132EF B F CF ⨯⋅⋅⋅=11132⨯= 17. （15分） 解：（I ）将圆C 配方得：(x+1)2+(y-2)2=2.)62()(x ：y kx ，y ，i ±==由直线与圆相切得设直线方程为截距为零时当直线在两坐标轴上的3010)(=-+=++=-+y x y ：x ，a y x ，ii 或由直线与圆相切得设直线方程为截距不为零时当直线在两坐标轴上的)53,103(034202.02||||034203422)2()1(||||)(1121212121-⎩⎨⎧=+-=+=+∴⊥=+-=+-⇒--++=+=∏点坐标为得解方程组的方程为直线直线取得最小值取最小值时即当上在直线即点得由P y x y x y x ：OP l 。

江苏省启东中学2020-2021学年度第一学期期中考试高一年级数学试卷命题人:宋媛媛一、填空题:(本大题包括14小题，每小题5分，共70分，把答案写在答题纸相应的横线上)1．已知集合{}{}0,,1,2,M x N ==若==N M N M 则},1{ .2．函数y =的定义域是 . 3．函数⎩⎨⎧<+≥-=)4)(3()4(3)(x x f x x x f ，则(1)f -= . 4．函数x x y 21--=值域为 .5．22log 3321272log 8-⨯+= . 6．若函数2()lg 21f x x a x =-+的图像与x 轴有两个交点，则实数a 的取值范围是 .7．方程x x 24lg -=的根(),1x k k ∈+，k Z ∈，则k = .8．对,a b R ∈,记{},max ,,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩函数{}()max 1,2()f x x x x R =+-∈的最小值 是 .9．函数()log 23a y x =-图象恒过定点P ,P 在幂函数()f x 图象上，则()9f = ． 10．函数()()122-+-+=a x b a ax x f 是定义在()()22,00,--a a 上的偶函数，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+522b a f . 11．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，那么不等式()210f x -<的解集是 .12．函数⎩⎨⎧≥+-<=)0(4)3(),0()(x a x a x a x f x 满足))](()([2121x x x f x f --0<对定义域中的任意两个不相等的12,x x 都成立，则a 的取值范围是 .13．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21x f x x -=+，若对任意实数1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()10f t a f t +-->恒成立，则实数a 的取值范围是 .14．已知函数)1,0(1log )(≠>-=a a x x f a ，若1234x x x x <<<，且12()()f x f x =34()()f x f x ==，则12341111x x x x +++= . 二、解答题:(本大题包括6小题，共90分. 请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程)15.(本题满分14分)设全集{|5U x x =≤且*2},{|50}x N A x x x q ∈=-+=，2{|120}B x x px =++=且(){1,3,4,5}U C A B ⋃=，求实数,p q 的值.16．(本题满分14分) 已知集合{}2514A x y x x ==--，)}127lg(|{2---==x x y x B ，}121|{-≤≤+=m x m x C ．(1)求A B ；(2)若A C A = ，求实数m 的取值范围．17. (本题满分15分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1所示的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2所示的抛物线表示。

江苏省启东中学2020-2021学年度第一学期第一次月考高一数学第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1. 若集合{}1,0,1,2P =-，{}0,2,3Q =，则P Q 的元素个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集运算求解PQ ，即可得出结论.【详解】由{}1,0,1,2P =-，{}0,2,3Q =， 得{}0,2P Q =，故PQ 的元素个数为2.故选：B.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算以及集合的元素个数问题.属于容易题. 2. 若44a a -=+-，则a 的值是（ ） A. 任意有理数 B. 任意一个非负数 C. 任意一个非正数 D. 任意一个负数【答案】C 【解析】 【分析】由绝对值的意义即可得解.【详解】若要使44a a -=+-，则40a -≥， 所以a 的值是任意一个非正数. 故选：C.【点睛】本题考查了绝对值意义的应用，灵活应用知识是解题关键，属于基础题.3. 已知命题p ：0R x ∃∈，200104x x -+≤，则p ⌝为( ) A. 0R x ∃∈，200104x x -+> B. 0R x ∃∈，20104x x -+< C .R x ∀∈，2104x x -+≤ D. R x ∀∈，2104x x -+> 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定变法，即可得到所求答案 【详解】因为：命题p ：0R x ∃∈，200104x x -+≤ 所以：R x ∀∈，2104x x -+> 故选:D【点睛】考查特称命题的非命题等价与命题的否定 4. 下面关于集合的表示：①{}{}2,33,2≠；②(){}{},11x y x y y x y +==+=；③{}{}11x x y y >=>；④{}0∅=，正确的个数是（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据集合相等的条件逐一判断即可得结果.【详解】根据集合的无序性可得{}{}2,33,2=，即①不正确；(){},1x y x y +=表示点集，{}1y x y +=表示数集，故(){}{},11x y x y y x y +=≠+=不成立，即②不正确；{}1x x >和{}1y y >均表示大于1的数集，故{}{}11x x y y >=>，即③正确；∅表示空集，故{}0∅≠，即④不正确；故正确的个数是为1个， 故选：B.【点睛】本题主要考查了判断两集合是否相等，属于基础题. 5. 已知正数a 、b 满足1a b +=）A. 最小值12B.C. 最大值12D.【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式的性质即可得出结果. 【详解】∵正数a 、b 满足1a b +=，122a b +=，当且仅当12a b ==有最大值12，故选：C.【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质，属于基础题. 6. 已知m ，n 是方程x 2＋5x ＋3＝0的两根，则n nm的值为（ ） A. －C. ±D. 以上都不对【答案】A 【解析】 【分析】根据韦达定理得到5m n +=-，3mn =，且0m <，0n <，利用m =n =果【详解】因为m ，n 是方程x2＋5x ＋3＝0的两根， 所以5m n +=-，3mn =，所以0m <，0n <， 所以n n m ===-=-故选：A.【点睛】本题考查了韦达定理，属于基础题.7. 已知R 是实数集，集合{}12A x x =<<，302B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则阴影部分表示的集合是（ ）A. []0,1B. (]0,1C. [)0,1D. ()0,1【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，阴影部分区域所表示的集合为()RA B ⋂，利用补集和交集的定义可求得所求集合.【详解】已知R 是实数集，集合{}12A x x =<<，302B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则(][),12,R A =-∞+∞，阴影部分表示的集合是()(]0,1RA B =.故选：B.【点睛】本题考查补集与交集的混合运算，同时也考查了利用韦恩图表示集合，考查计算能力，属于基础题.8. “a ，b 为正实数”是“2a b ab +>的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】可以取特殊值讨论充分与必要性都不成立．【详解】解：a ,b 为正实数,取1a =,1b =,则2a b ab +=,则“a ,b 为正实数” 不是“2a b ab +>”的充分条件；若2a b ab +>取1a =,0b =,则b 不是正实数,则“2a b ab +>” 不是 “a ,b 为正实数''的必要条件； 则“a ,b 为正实数”是“2a b ab +>”的既不充分也不必要条件, 故选：D ．【点睛】本题考查命题充分条件与必要条件的定义,以及不等式的性质,属于基础题．二、多项选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．9. 下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有（ ）A. 0x R ∃∈，200104x x -+< B. 所有的正方形都是矩形C. 0x R ∃∈，200220x x ++=D. 至少有一个实数x ，使210x +=【答案】AC 【解析】 【分析】由条件可知原命题为特称命题且为假命题，以此判断即可得解. 【详解】由条件可知：原命题为特称命题且为假命题，所以排除BD ；又因为2211()042x x x -+=-≥，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1>0， 所以AC 均为特称命题且为假命题， 故选：AC.【点睛】本题主要考查了全称命题和特称命题的概念及判断真假，属于较易题. 10. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. ()221f x x x =--与()221g t t t =--B. ()0f x x =与()01g x x =C. ()1f x x =与()2g x x= D. ()()21f x x x =-∈Z 与()()21g x x x =+∈Z 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数的定义域和对应法则是否相同，逐项判断即可得解.【详解】对于A ，()221f x x x =--与()221g t t t =--对应法则和定义域均相同，所以两函数是同一函数，故A 正确； 对于B ，()()01,0f x x x ==≠，()()011,0g x x x ==≠，对应法则和定义域均相同， 所以两函数是同一函数，故B 正确；对于C ，()1f x x =与()2g x x=的对应法则不同，所以两函数不是同一函数，故C 错误； 对于D ，()()21f x x x =-∈Z 与()()21g x x x =+∈Z 的对应法则不同， 所以两函数不是同一函数，故D 错误. 故选：AB.【点睛】本题考查了同一函数的判断，牢记知识点是解题关键，属于基础题. 11. 若0a b >>，0d c <<，则下列不等式成立的是( ) A. ac bc > B. a d b c ->-C.11d c< D. 33a b >【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等的基本性质可判断BD 的真假，取2a =，1b =，2d =-，1c =-可判断AC 的真假． 【详解】0d c <<，0d c ∴->->，∴当0a b >>时，a d b c ->-，故B 正确；由0a b >>可得33a b >，故D 正确；由0a b >>，0d c <<取2a =，1b =，2d =-，1c =-则可排除AC ． 故选：BD ．【点睛】本题考查不等式的基本性质，属基础题．12. 已知()223f x x x =--，[]0,x a ∈，a 为大于0的常数，则()f x 的值域可能为（ ）A. []4,3-- B. RC. []4,10-D. []3,10-【答案】AC 【解析】 【分析】对二次函数进行配方，得最低点，计算出()03f =-，根据二次函数的性质可得结果. 【详解】因为()()222314f x x x x =--=--，()03f =-，当1a =时，()f x 的值域为[]4,3--， 由二次函数的性质可得值域不可能是R ，当1a >且满足()10f a =时，()f x 的值域为[]4,10-，无论a 取任何正实数，二次函数的最小值定小于3-，即值域不可能为[]3,10-， 故可得()f x 的值域可能为[]4,3--，[]4,10-， 故选：AC.【点睛】本题主要考查了二次函数的值域问题，考查了数形结合思想，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：13. 已知函数()y f x =用列表法表示如下表，则[(2)]f f =______【答案】0 【解析】 【分析】由表格给出的数据有(2)1f =，则[(2)](1)f f f =可求出答案. 【详解】根据表格中的数据有(2)1f = 所以[(2)](1)0f f f == 故答案为：0【点睛】本题考查根据函数的列表法求函数值，属于基础题.14. 设α：5x ≤-或1x >，β：22x m ≤--或21x m ≥-+，m ∈R ，α是β的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是______． 【答案】30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】α：1x >或5x ≤-，表示的集合为{1A x x =>或}5x ≤-，21x m β≥-+：或22,x m m R ≤--∈，表示的集合为{21B x x m =≥-+或}22,x m m R ≤--∈，因为α是β的充分不必要条件，所以集合A 是集合B 的真子集，从而可求出m 的取值范围【详解】解：α：1x >或5x ≤-， 表示的集合为{1A x x =>或}5x ≤-，21x m β≥-+：或22,x m m R ≤--∈，表示的集合为{21B x x m =≥-+或}22,x m m R ≤--∈， 因为α是β的充分不必要条件， 所以集合A 是集合B 的真子集， 所以225211m m --≥-⎧⎨-+≤⎩，解得302m ≤≤， 所以实数m 的取值范围为：30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】此题考查由充分不必要条件求参数，转化为集合之间的包含关系求解，属于较易题. 15. 根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为______．()3331212+=+，()3333123123++=++， ()3333312341234+++=+++， ()3333331234512345++++=++++，……【答案】n *∀∈N ，()33333123123n n +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+ 【解析】 【分析】观察到从1开始加，连续的几个数的三次方相加，就得其和的三次方，总结一下就是：任意从1开始的连续n 个整数的三次方和等于其和的三次方.【详解】观察到从1开始加，连续的几个数的三次方相加，就得其和的三次方，根据此规律可得：n *∀∈N ，()33333123123n n +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+. 故答案为：n *∀∈N ，()33333123123n n +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+.【点睛】本题考查了归纳概括能力，把命题归结为全称命题或者特称命题，属于简易逻辑，属于基础题. 16. 函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如：[]3,54-=-，[]2,12=．若[][][]{}23,01A y y x x x x ==++≤≤，则A 中元素个数是______个，所有元素的和为______．【答案】 (1). 5 (2). 12 【解析】 【分析】 分103x ≤<，1132x ≤<，1223x ≤<，213x ≤<，1x =，5种情况讨论2,3x x 的范围，计算函数值，即可求A 中元素个数并求元素的和. 【详解】①当103x ≤<时， 220,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ，[)30,1x ∈，∴ [][][]230x x x ===，则[][][]230x x x ++= ； ②当1132x ≤<时， 22,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，331,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ，[][]20,x x ∴==[]31x =， [][][]231x x x ∴++=；③当1223x ≤<时， [)21,2x ∈ ，33,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭[]0x ∴=，[]21x = ，[]31x = ， [][][]232x x x ∴++=；④213x ≤<时， 42,23x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)32,3x ∈，[]0x ∴=，[]21x =，[]32x =， [][][]233x x x ∴++=；⑤当1x =时，[]1x =，[]22x =，[]33x = ，[][][]236x x x ∴++= {}0,1,2,3,6A ∴=，故A 中元素个数是5个，则A 中所有元素的和为0123612++++=. 故答案为：5；12.【点睛】本题考查新定义的题型，需读懂题意，并能理解，应用，分类讨论解决问题，本题的难点是分类较多，不要遗漏每种情况.属于中档题.四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知全集U =R ，{}240A x x =-≤，{}2280B x x x =+-≥，求： （1）A B ；（2）()()UU A B ⋂．【答案】（1）{}2；（2）()4,2--． 【解析】 分析】解一元二次不等式可得集合,A B . （1）直接根据交集的概念可得结果； （2）先求补集，再求交集即可.【详解】因为{}{}24022A x x x x =-≤=-≤≤，{}{22802B x x x x x =+-≥=≥或}4x ≤-.（1）故可得{}2A B ⋂=；（2）{ U 2A x x =<-或}2x >，{}U 42B x x =-<<， 所以()()()4,2U U A B ⋂=--.【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合间交、并、补的混合运算，属于基础题. 18. 解下列不等式：（1）211x x -≤-；（2）()()2210x x x -+≤；（3）3223x x -≤-． 【答案】（1）()3,1,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭；（2）{}[]10,2-；（3）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【解析】【分析】（1）将分式不等式转化为一元二次不等式即可得解；（2）分为()210x +=和()210x +>解不等式即可；（3）根据绝对值不等式的解法法则可得结果.【详解】（1）不等式211x x -≤-，即2101x x --≤-， 等价于()31021x x x ⎧⎛⎫-->⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≠⎩解得32x ≥或1x <， 即不等式的解为()3,1,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭. （2）因为()()2210x x x -+≤，当()210x +=，即1x =-时，不等式成立；当()210x +>时，不等式等价于()20x x -≤，此时不等式的解为[]0,2， 综上得：不等式()()2210x x x -+≤的解为{}[]10,2-.（3）不等式3223x x -≤-等价于323223x x x -≤-≤-，解得32x ≥， 故不等式3223x x -≤-的解为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查了分式不等式，高次不等式以及绝对值不等式的解法，考查了学生的计算能力，属于基础题.19. 已知命题p ：方程22240x mx m -+-=有两个正根为真命题．（1）求实数m 的取值范围；（2）命题q ：11a m a -<<+，是否存在实数a 使得p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，若存在，求出实数a 取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）()2,+∞；（2）存在；(],0-∞．【解析】【分析】（1）满足命题p 为真命题，则使两解存在且均大于零即可；（2）由题意得q 是p 的充分不必要条件，即{}11m a m a -<<+ {}2m m >，求解实数a 即可.【详解】（1）设方程22240x mx m -+-=的两根为12,x x ，若命题p 为真命题，则()()221221224402040m m x x m x x m ⎧∆=---≥⎪⎪+=>⎨⎪=->⎪⎩，解得2m >，所以实数m 的取值范围为()2,+∞；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件， 所以{}11m a m a -<<+ {}2m m >， 则11a a -≥+或1112a a a -<+⎧⎨-≥⎩， 解得0a ≤，所以存在实数a 使得p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以实数a 的取值范围为(],0-∞.【点睛】本题主要考查了利用命题的真假求参数的问题以及利用命题的充分不必要条件求参数的问题.属于较易题.20. 设,,a b c ∈R 证明:222a b c ab ac bc ++=++的充要条件是a b c ==.【答案】见解析【解析】【分析】分别证明充分性与必要性即可.【详解】证明:(1)充分性:如果a b c ==,那么222()()()0a b b c a c -+-+-=,2222220,a b c ab ac bc a b c ab ac bc ∴++---=∴++=++.(2)必要性:如果222a b c ab ac bc ++=++,那么2220a b c ab ac bc ++---=,222()()()0,0,0,0a b b c c a a b b c c a ∴-+-+-=∴-=-=-=,a b c ==∴.由(1)(2)知,222a b c ab ac bc ++=++的充要条件是a b c ==.【点睛】本题主要考查了充分必要条件的证明,需要分别证明充分性与必要性,属于中等题型.21. 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）与汽车的平均速度v （千米/小时）之间的函数关系为：27002900v y v v =++（0v >）. （1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式） （2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范用内？【答案】（1）当30km /h v =时，车流量最大，最大车流量约为35031千辆/时；（2）汽车的平均速度应大于18km /h 且小于50km /h .【解析】【分析】（1）化简得270070090029002v y v v v v ==++⎛⎫++ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求解； （2）解不等式2700102900v v v >++即得解. 【详解】（1）依题得2700700700350900290062312v y v v v v ==≤==++⎛⎫++ ⎪⎝⎭.当且仅当900v v=，即30v =时，上时等号成立， max 35031y ∴=（千辆/时）. ∴当30km /h v =时，车流量最大，最大车流量约为35031千辆/时； （2）由条件得2700102900v v v >++，因为229000v v ++>， 所以整理得2689000v v -+<，即()()18500v v --<，解得1850v <<.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于18km /h 且小于50km /h .【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和解决实际问题的能力.22. 设函数()23f x x ax a =-++，()2g x ax a =-． （1）对于任意[]2,2a ∈-都有()()f x g x >成立，求x 的取值范围；（2）当0a >时对任意1x ，[]23,1x ∈--恒有()()12f x ag x >，求实数a 的取值范围；（3）若存在0x ∈R ，使得()00f x <与()00g x <同时成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2x >-+2x <--（2）105a +<<；（3）7a >． 【解析】【分析】（1）转化条件为()22330x a x -+++>对于任意[]2,2a ∈-恒成立，设()()2233h a x a x =-+++，由一次函数的性质即可得解；（2）转化条件为在区间[]3,1--上，()()min max f x ag x >-⎡⎤⎣⎦，结合二次函数、一次函数的性质求得函数最值后即可得解；（3）按照0a =、0a <、0a >讨论，由一次函数、二次函数的图象与性质结合函数的最值即可得解.【详解】（1）由题意可知对于任意[]2,2a ∈-都有232x ax a ax a -++>-．即()22330x a x -+++>对于任意[]2,2a ∈-恒成立， 设()()2233h a x a x =-+++，则()()2224902430h x x h x x ⎧=-+>⎪⎨-=+->⎪⎩，所以2x >-+2x <--（2）由题意可知在区间[]3,1--上，()()min max f x ag x >-⎡⎤⎣⎦，因为()23f x x ax a =-++对称轴02a x =>， 所以()23f x x ax a =-++在[]3,1--上单调递减，可得()()min 124f x f a =-=+，因为()222ag x a x a -=-+在[]3,1--上单调递减，所以()2max 5ag x a -=⎡⎤⎣⎦，所以2245a a +>，所以105a <<，故a 的取值范围为105a +<<； （3）若0a =，则()0g x =，不合题意，舍去；若0a <，由()0g x <可得2x >，原题可转化为在区间()2,+∞上存在0x ，使得()00f x <，因为()23f x x ax a =-++在,2a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增， 所以需使()270f a =-<，解得7a >，不合题意；若0a >，由()0g x <可得2x <，原题可转化为在区间(),2-∞上存在0x ，使得()00f x <． 当22a ≥，即4a ≥时，则需使()270f a =-<，可得7a >； 当22a <，即04a <<时，则需使23024a a f a ⎛⎫=-++< ⎪⎝⎭， 解得6a >或2a <-，不满足04a <<，舍去．综上，实数a 的取值范围为7a >．【点睛】本题考查了一次函数、二次函数性质的应用，考查了函数最值的求解及恒成立、有解问题的解决，属于中档题.。

2020/2021学年度第一学期质量检测试卷 高三数学 2020.09一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题:p x R ∃∈，使sin x =；命题:q x R ∀∈，都有210x x ++>.给出下列结论：①命题“p q ∧”是真命题 ②命题“p q ∧⌝”是假命题 ③命题“p q ⌝∨”是真命题 ④命题“p q ⌝∨⌝”是假命题其中正确的是 （ ） A ．①②③B ．②③C ．②④D ．③④2.设)2,4(=a ，),6(y b =，且//，则=y （ ） A ．3 B ．12 C ．12- D ．3-3.将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，所得的图象对应的函数解析式是 ( )A 、sin2y x =B 、cos2y x =C 、 2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D 、sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭4．已知集合P={65|<<-x x }，Q={065|2≤--x x x }，则P ⋂Q=____( )A 、{61|<<-x x }B 、{61|≤≤-x x }C 、{61|<≤-x x } D 、{61|≤<-x x }5.已知P 为抛物线C ：24y x 上一点，F 为C 的焦点，若4PF ，则ΔOPF 的面积为 ( )B. 3C. 46. f(x)与g(x)是定义在R 上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足，则f(x)与g(x)满足 ( )A ．f(x)＝g(x)B ．f(x)＝g(x)＝0C ．f(x)－g(x)为常数函数D ．f(x)＋g(x)为常数函数7．已知正四面体ABCD ，则AB 与平面BCD 所成角的余弦值为（ ）A.12 B. 23 C. 138．设锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝1，A ＝2C ，则△ABC 周长的取值范围为 （ ） A ．（0，2）B ．（0，3]C ．（2，3）D ．（2，3]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9． 在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品．从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有 （ ）A ．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有12298C C 种 B ．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有12299C C 种 C ．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有2212988129C C C C +种 D ．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有3310098C C -种10．已知曲线C 1：y ＝2sin x ，C 2：2sin(2)3y x π=+，则 （ ）A ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动6π个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，级坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动56π个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1向左平行移动3π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 D ．把C 1向左平行移动6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 11.若函数()f x 对∀a ，b ∈R ，同时满足：（1）当a ＋b ＝0时有()()0f a f b +=；（2）当a ＋b ＞0时有()()0f a f b +>，则称()f x 为Ω函数．下列函数中是Ω函数的有 （ ）A ．()e exxf x -=+ B ．()e e x xf x -=-C ．()sin f x x x =-D ．00()10x f x x x=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩，，12. 已知ABC ∆中，1=AB ,4=AC ,13=BC ,D 在BC 上，AD 为BAC ∠的角平分线，E 为AC 中点.下列结论正确的是 （ ）A.3=BEB.ABC ∆的面积为13C.534=AD D.P 在ABE ∆的外接圆上，则PE PB 2+的最大值为72三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分13．设函数f （x ）（a ＞0且a ≠1），若f （2）＝4，则f （﹣2020）＝ 14.函数f (x )＝ln(－2x －3)的单调递减区间为______________15．已知集合2{|10},{|20}A x mx B x Z x x =-==∈+≤，若A B A =，则满足条件的实数m 的值为____ 。

2020~2021学年（上）高一期末学业质量监测数学（共150分，考试时间120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若sin 0θ>，tan 0θ<，则θ是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角【答案】B 【解析】 【分析】根据sin 0θ>，可判断θ可能在的象限，根据tan 0θ<，可判断θ可能在的象限，综合分析，即可得答案. 【详解】由sin 0θ>，可得θ的终边在第一象限或第二象限或与y 轴正半轴重合， 由tan 0θ<，可得θ的终边在第二象限或第四象限， 因为sin 0θ>，tan 0θ<同时成立，所以θ是第二象限角. 故选：B2. 命题“(0)x ∀∈+∞，，总有212x x +≥”的否定是（ ） A. (0)x ∀∈+∞，，总有212x x +< B. (0)x ∀∉+∞，，总有212x x +< C. (0)x ∃∈+∞，，使得212x x +< D. (0)x ∃∉+∞，，使得212x x +≥ 【答案】C 【解析】 【分析】全称命题否定为特称命题即可，改量词否结论【详解】解：因为命题“(0)x ∀∈+∞，，总有212x x +≥”， 所以其否定“(0)x ∃∈+∞，，使得212x x +<” 故选：C3. 已知全集U =R ，集合2{|230}P x x x =--≤，{}|1=<Q x x ，则()U P Q =（ ）A. 312⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B. []31012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，C.{}1D. ∅【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次不等式，求出集合P ，再求出集合Q 的补集，从而可求出()U PQ【详解】解：由2230--≤x x ，得(1)(23)0x x +-≤，解得312x -≤≤，所以312P x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭，因为全集U =R ，{}|1=<Q x x ， 所以{}1UQ x x =≥，所以{}3()12U PQ x x =≤≤，故选：A4. 要得到函数2sin 2x y =的图像，只需将函数()2sin 24x y π=-的图像（ ） A. 向左平移8π个单位长度 B. 向右平移4π个单位长度C. 向左平移2π个单位长度 D. 向右平移2π个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数图像平移变化规律求解即可【详解】解：因为()()12sin 2sin 2422x y x ππ=-=-，所以要得到函数2sin 2x y =的图像，只需将函数()2sin 24x y π=-的图像向左平移2π个单位长度即可， 故选：C5. 设log 2a 5=，151()2b =，12c =，则（ ）A. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. a c b <<【答案】D 【解析】【分析】判断a 、b 、c 与12的大小关系进行大小比较. 【详解】比较b 、c ：因为1()2xy =为减函数，且113<，所以b>c ； 而1log 2<log 52a 55==，所以a cb <<故选：D【点睛】指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小； （2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较. 6. 函数()(1)cos π=-f x x x 的部分图象大致为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】取特殊区间进行判断函数在该区间上的正负，利用排除法可得答案 【详解】解： 当102x <<时，10x -<，cos 0x π>，所以()0f x <， 当12x =时，()0f x =， 当112x <<时， 10x -<，cos 0x π<，所以()0f x >，所以排除A ，C ， 当102x -<<时，10x -<，cos 0x π>，所以()0f x <，所以排除D故选：B7. “2a >”是“函数2()(1)2f x a x x =--在(1)+∞，上是增函数”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】解：当2a >时，11a ->，则抛物线对称轴111x a =<-， 因为2()(1)2f x a x x =--在1(,)1a +∞-上为增函数， 所以函数2()(1)2f x a x x =--在(1)+∞，上是增函数， 而当函数2()(1)2f x a x x =--在(1)+∞，上是增函数时，可得10a ->，111a ≤-，得2a ≥， 所以“2a >”是“函数2()(1)2f x a x x =--在(1)+∞，上是增函数”的充分不必要条件， 故选：A8. 在自然界，大气压强p （单位：mmHg ）和海拔高度h （单位：m ）的关系可用指数模型e kh p a -=来描述，根据统计计算得到760a =，0.000164k =．现已知海拔500 m 时的大气压强约为700 mmHg ，则当大气压强约为350 mmHg 时，海拔高度约为（ ）（参考数据：ln 20.69=） A. 3500 m B. 4200 mC. 4700 mD. 5200 m【答案】C 【解析】 【分析】由760a =，0.000164k =，500,700h p ==，可得0.000164500700760e -⨯=，若设大气压强约为350 mmHg 时，海拔高度为x m ，则有0.000164350760x e -=，从而有0.0001645000.00016417607602x e e -⨯-⨯=，进可求出x 的值【详解】解：由题意得0.000164500700760e -⨯=，若设大气压强约为350 mmHg 时，海拔高度为x m ，则有0.000164350760x e -=，所以0.0001645000.00016417607602x e e -⨯-⨯=， 0.000164(500)17602x e --=， 两边取对数，得1ln 0.000164(500)2x =--，解得47074700x =≈， 故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 函数4()2log ||f x x x =--的零点所在区间可能为（ ）A. (10)-，B. (01)，C. (23)，D. (34)，【答案】ABC 【解析】 【分析】函数4()2log ||f x x x =--的零点所在区间等价于函数2y x =-与4log y x =图象交点横坐标所在的区间，数形结合即可求解.【详解】令4()2log ||0f x x x =--=可得42log ||x x -=，所以函数4()2log ||f x x x =--的零点所在区间等价于函数2y x =-与4log y x =图象交点横坐标所在的区间，作出2y x =-与4log y x =图象如图：由图知函数2y x =-与4log y x =图象三个交点横坐标分别位于区间(10)-，、(01)，、 (23)，，所以函数4()2log ||f x x x =--的零点所在区间可能为(10)-，、(01)，、(23)，， 故选：ABC【点睛】方法点睛：求函数零点的方法（1）直接法：令()0f x =，直接解方程即可求零点；（2）图象法：画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的横坐标就是函数()f x 的零点或将函数()f x 拆成两个函数，()h x 和()g x 的形式，根据()0f x =等价于()()h x g x =则函数()f x 的零点就是函数()y h x =和()y g x =的图象交点横坐标；10. 下列判断或计算正确的是（ ） A. 0x R ∃∈，使得02cos 3x = B. cos652sin(108)0︒-︒< C. ()()sin 45cos 45αα︒-=︒+D. 2tan 1sin sin θθ-=【答案】BC 【解析】 【分析】对于A ，由余弦函数的值域进行判断；对于B ，利用诱导公式和三角函数的符号进行判断；对于C ，利用诱导公式进行判断；对于D ，利用同角三角函数的关系化简即可判断【详解】解：对于A ，由02cos 3x =得03cos 2x =，而cos [1,1]x ∈-，所以03cos 2x =无解，所以A 错误；对于B ，cos652sin(108)cos(68)(sin108)cos68sin1080︒-︒=-︒⋅-︒=-︒⋅︒<，所以B 正确； 对于C ， ()()sin 45cos[90(45)]cos 45ααα︒-=︒-︒-=︒+，所以C 正确； 对于D，tan tan tan cos θθ==⋅，所以D 错误， 故选：BC11. 已知00x y >>，，且22x y +=，若21+-mxyx y m ≤对任意的00x y >>，恒成立，则实数m 的可能取值为（ ） A.12B.98C.107D. 2【答案】ACD 【解析】 【分析】不等式变形为2121m x y m xy y x +≤=+-，转化为min121mm y x ⎛⎫≤+ ⎪-⎝⎭，利用基本不等式求12y x +的最小值，再求m 的取值范围. 【详解】0,0x y >>，212211mxy m x y x y m m xy y x+∴≤+⇔≤=+--， 即min121mm y x ⎛⎫≤+ ⎪-⎝⎭， ()12112122192552222x y x y y x y x y x ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当22x y y x =，即23x y ==时，等号成立，即912m m ≤-，()997001221m m m m --≤⇔≤-- 解得：97m ≥或1m <，选项中满足条件的有ACD. 故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的第一个关键是不等式变形2121m x y m xy y x+≤=+-，转化为最值问题，第二个关键是“1”的妙用，求最值.12. 已知函数()()tan (0)6ωωπ=->f x x ，则下列说法正确的是（ ）A. 若()f x 的最小正周期是2π，则12ω=B. 当1ω=时，()f x 的对称中心的坐标为()π0()6π+∈Z k k ，C. 当2ω=时，π2π()()125-<f fD. 若()f x 在区间()π3π，上单调递增，则203ω<≤ 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解:对于A 选项，当()f x 的最小正周期是2π，即：2T ππω==，则12ω=，故A 选项正确； 对于B 选项，当1ω=时，()()tan 6f x x π=-，所以令,62k x k Z ππ-=∈，解得：,62k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心的坐标为()0()62k k ππ+∈Z ，，故B 选项错误；对于C 选项，当2ω=时，()()tan 26f x x π=-，()()()()ππ10tan 2tan tan 12126330f πππ⎡⎤-=⨯--=-=-⎢⎥⎣⎦，()()()2π2π1911tan 2tan tan 5563030f πππ=⨯-==-，由于tan y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故()()π2π125f f ->，故C 选项错误； 对于D 选项，令,262k x k k Z ππππωπ-+<-<+∈，解得：233k k x ππππωωωω-+<<+ 所以函数的单调递增区间为：2,,33k k k Z ππππωωωω⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间()π3π，上单调递增，所以33,23k k Z k πππωωπππωω⎧-+≤⎪⎪∈⎨⎪+≥⎪⎩，解得：213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，另一方面，233T ππππω=≥-=，32ω≤，所以2332k +≤，即56k ≤，又因为0>ω，所以0k =，故203ω<≤，故D 选项正确. 故选：AD【点睛】本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D 选项的解决先需根据正切函数单调性得213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，再结合233T ππππω=≥-=和0>ω得0k =，进而得答案.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13. 已知奇函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，2()f x x -=，则1()2f =________． 【答案】4- 【解析】 【分析】由于()f x 为奇函数，所以11()()22f f =--，然后代入解析式中可得结果【详解】解：因为奇函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，2()f x x -=，所以2111()()()4222f f -=--=--=-，故答案为：4-14. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c ， *∈N a b c d ，，，，则b da c ++是x 的更为精确的近似值．已知11363π3620<<，试以上述 π的不足近似值11336和过剩近似值6320为依据，那么使用两次“调日法”后可得 π的近似分数为 ________ ． 【答案】13543【解析】 【分析】根据题中所给定义及数据，可得第一次使用“调日法”可得近似分数，与π比较，进行第二次运算，即可得答案.【详解】因为11363π3620<<，所以第一次使用“调日法”可得近似分数为11363176223.14283620567+==≈+，所以227π<， 所以11322367π<<， 所以第二次使用“调日法”可得近似分数为1132213536743+=+. 故答案为：1354315. 已知函数()cos()(00)f x A x A ωϕω=+>>，的图象与直线(0)=<<y m m A 的三个相邻交点的横坐标依次为1，5，7，则函数()f x 的周期为________；其单调减区间为________． 【答案】 (1). 6 (2). [6,63]()k k k +∈Z 【解析】 【分析】由题意可知第一个交点与第三个交点的差是一个周期，第一个交点与第二个交点的中点横坐标对应的函数值是最大值或最小值，从而可求出,ωϕ的值，进而可求得答案【详解】解：因为函数()cos()(00)f x A x A ωϕω=+>>，的图象与直线(0)=<<y m m A 的三个相邻交点的横坐标依次为1，5，7， 所以函数的周期为2716T πω==-=，得3πω=，由题意可知1和5的中点必为函数的最小值的横坐标， 所以由五法作图法可知，33πϕπ⨯+=，解得0ϕ=，所以()cos 3f x A x π=，由22,3k x k k Z ππππ≤≤+∈，得663,k x k k Z ≤≤+∈，所以函数的减区间为[6,63]()k k k +∈Z ， 故答案为：6；[6,63]()k k k +∈Z【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的解析式及三角函数的图像与性质，解题的关键是由余弦函数的图像和性质求出2716T πω==-=，从而可求出3πω=，再由五点作图法求出ϕ的值，进而可求出其单调减区间，属于中档题16. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．按如下方法剪裁（如图1），扇面形状较为美观．从半径为20 cm 的圆面中剪下扇形OAB ，使扇形OAB 的面积与圆面中剩余部分的面积比值为512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例），再从扇形OAB 中剪下扇环形ABDC 制作扇面，使扇环形ABDC 的面积与扇形OAB 的面积比值为51-．则一个按上述方法制作的扇形装饰品（如图2）的面积为________cm 2．【答案】52)π 【解析】【分析】 由条件中所给的比例关系，推导出52ABDCS S =扇环圆，根据圆的面积计算扇环面积. 【详解】由条件可知51=2S S S -扇形圆扇形，得51251S S S -==-圆扇形扇形, 解得：5335=2253S S S S ⇒=+圆扇形圆扇形， 512ABDCS S =扇环扇形， 3551=52ABDC ABDC S S S S S S --∴⨯=扇形扇环扇环圆圆扇形，2=20=400S ππ⨯圆， ()40052ABDC S π∴=扇环. 故答案为：52)π【点睛】关键点点睛：本题考查新文化试题，重点是读懂题意，并能转化为等式关系，关键是计算.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （1）已知2tan 3α=，求sin cos cos 3sin αααα-+的值； （2）求值：22log 33582lg 2lg 22+--． 【答案】（1）19-；（2）6. 【解析】【分析】（1）由同角三角函数间的关系求解即可；（2）利用指数和对数的运算性质求解即可 【详解】（1）21sin cos tan 1132cos 3sin 13tan 9133αααααα---===-+++⨯ （2）22log 335582lg 2lg 243lg(4)71622+--=+-⨯=-= 18. 已知函数()sin()(0)2ωϕωϕπ=+><f x x ，满足条件：()()f x f x π+=，且()()33ππ+=-f x f x ． （1）求()f x 的解析式；（2）由函数sin y x =的图象经过适当的变换可以得到()f x 的图象．现提供以下两种变换方案：①sin y x =→sin()ϕ=+y x →()y f x =②sin y x =→sin y x ω=→()y f x =请你选择其中一种方案作答，并将变换过程叙述完整． 【答案】（1）()sin(2)6f x x π=-；（2）答案见解析. 【解析】【分析】（1）根据周期求ω，利用对称轴求φ；（2）选择①，先平移变换，后进行周期变换；选择②，先周期变换，后进行平移变换.【详解】（1）由()()f x f x π+=，知函数()f x 的周期为π ， 所以2T ππω==，即2ω=. 由()()33f x f x ，知函数()f x 的图象关于3x π=对称所以sin(2)13πϕ⨯+=±，即2,32k k ππϕπ+=+∈Z ，所以,6k k πϕπ=-∈Z . 因为||2ϕπ<，所以6πϕ=-， 所以()sin(2)6f x x π=-. （2）方案①：将sin y x =的图象向右平移6π个单位后，得到sin()6y x π=-的图象；再将图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，得到sin(2)6y x π=-的图象 方案②： 将sin y x =图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，得到sin 2y x =的图象；再将所得图象向右平移12π个单位，得到得到sin(2)6y x π=-的图象.【点睛】(1)求三角函数解析式的方法：①求A 通常用最大值或最小值；②求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点代入即可求解.(2)关于三角函数图像平移伸缩变换：先平移的话，如果平移a 个单位长度那么相位就会改变ωa ；而先伸缩势必会改变ω大小，这时再平移要使相位改变值仍为ωa ，那么平移长度不等于a ；19. 已知函数1()22x x f x =-． （1）证明函数()f x 在()-∞+∞，上为减函数； （2）当0m >时，解关于x 的不等式22()()(0)-+->f mx m x f m x f ．【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用单调性的定义进行证明；（2）先判断函数为奇函数，从而可把22()()(0)-+->f mx m x f m x f 转化为()22()f mx m x f x m ->-，再由函数在(,)-∞+∞上为减函数可得22mx m x x m -<-，然后分情况解一元二次不等式【详解】（1）设1212,, x x x x ∈<R 且. ()()1221121212111122222(222)x x x x x x x x f x f x -=---=-+-()21121121211(22)12(21)(1)222()2x x x x x x x x x -=-+=-+⋅⋅ 由12x x <，知2121x x ->，即21210x x -->，而120x >，1211022x x +>⋅， 所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数.（2）因为11()22()22x x x xf x f x ---=-=-=-， 所以()f x 是奇函数.因为(0)0f =，所以不等式即为()22()f mx m x f m x ->--， 即()22()f mx m x f x m ->-.由（1）知，()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，所以22mx m x x m -<-，即()2210mx m x m -++<，即(1)()0mx x m --<.因为0m >，所以当m =1时，不等式的解集为∅； 当0<m <1时，不等式的解集为1,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭当m >1时，不等式的解集为1,m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的证明，考查函数奇偶性的应用，考一元二次不等式的解法，解题的关键是判断出函数为奇函数将不等式22()()(0)-+->f mx m x f m x f 转化为()22()f mx m x f x m ->-，再利用单调性可得22mx m x x m -<-，然后解不等式即可，属于中档题20. 已知()sin cos 4t θθθπ+=+=，()22θππ∈-，． （1）当12t =，求33sin cos θθ-的值； （2）求函数()sin cos sin cos f θθθθθ=+-的值域．【答案】（1）16-；（2）(]1,1-. 【解析】【分析】（1）由1sin cos 2θθ+=平方可得3sin cos 8θθ=-，则求得sin cos 2θθ-=-，利用立方差公式展开可求出； （2）化简可得2211()()(1)122t f g t t t θ-==-=--+，利用二次函数的性质可求. 【详解】（1）当12t =，即1sin cos 2θθ+=， 则21(sin cos )12sin cos 4θθθθ+=+=，即3sin cos 8θθ=-. 所以27(sin cos )12sin cos 4θθθθ-=-= 因为,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，sin cos 0θθ<，所以,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，从而sin cos 0θθ-<，所以sin cos θθ-= 所以2233sin cos (sin cos )(sin sin cos cos )θθθθθθθθ-=-++3)8=-= （2）由sin cos t θθ+=，则21sin cos 2t θθ-=， 所以2211()()(1)122t f g t t t θ-==-=--+. 因,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以3,444πππθ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以(4t πθ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭.所以21()(1)1(1,1]2g t t =--+∈-， 即函数()f θ的值域为(]1,1-.【点睛】本题考查同角三角函数的关系，解题的关键是正确利用()22sincos 12sin cos αααα+=+进行求解.21. 某工厂生产一新款智能迷你音箱，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （x N *∈，单位：千只）的关系满足2C x =+．每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的关系满足：当17x ≤≤时，161x S x x =++，当716x ≤<时，3216k S x x =++-；当16x ≥时，28S =．已知每日的利润L S C =-（单位：万元）． （1）求k 的值，并将该产品每日的利润L （万元）表示为日产量x （千只）的函数；（2）当日产量为多少千只时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．【答案】（1）18，***162,17,,1182,716,,1626,16,x x x x L x x x x x x x ⎧-∈⎪+⎪⎪=+<<∈⎨-⎪-∈⎪⎪⎩N N N ；（2）当日产量为13千只时，每日的利润可以达到最大值为20万元.【解析】【分析】（1）由题意可知，7x =时，167737271716k S ⨯=+=⨯+++-，从而可求出k 的值，由利润L S C =-可求得每日的利润L （万元）表示为日产量x （千只）的函数；（2）分17x ，7<x <16和16x 三种情况，求三个函数的最大值，再作比较可求出利润的最大值【详解】（1）当x =7时，167737271716k S ⨯=+=⨯+++-，解得k =18. ***162,17,,1182,716,,1626,16,x x x x L x x x x x x x ⎧-∈⎪+⎪⎪=+<<∈⎨-⎪-∈⎪⎪⎩N N N（2）当17x ，*x ∈N 时，161621411x L x x =-=-++，在[1,7]上单调递增， 所以当x =7吋，max 12L =；当7<x <16，*x ∈N 时，18182322(16)1616L x x x x ⎡⎤=+=--+⎢⎥--⎣⎦， 因为182(16)22(161216x x -+-=-， 当且仅当182(16)16x x-=-，即x =13时，max 20L =； 当16x ，*x ∈N 时，26L x =-在[16,)+∞上单调递减，所以当16 x =时，max 10L =.综上，当13x =时，max 20L =.答：当日产量为13千只时，每日的利润可以达到最大值为20万元.22. 已知定义在()0,+∞上的函数()ln f x x =．（1）若方程1()x f x e=有两个不等的实数根12,x x （12x x <），比较12x x 与1的大小； （2）设函数()223()()x g x af x f e =-（0a >），若,m n R ∃∈，使得()y g x =在定义域e ,e m n ⎡⎤⎣⎦上单调，且值域为[],m n ，求a 的取值范围．【答案】（1）121x x <；（2）15312a <或2334a <. 【解析】【分析】（1）由题意得1|ln |x x e=，然后作出函数ln y x =和1x y e =的图象，由图像可得1201x x <<<，从而得111ln x x e -=，221ln x x e =，再由21211211ln ln ln 0x x x x e e x x ⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝<⎭可得结果； （2）设ln t x =，则2()()23g x h t at t ==-+，且[,]t m n ∈，由题意可知()h t 在[,]m n 上单调，且值域为[,]m n ，然后分1[,],m n a ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭和1[,],m n a ⎛⎤⊆-∞ ⎥⎝⎦两种情况结合二次函数的图象和性质讨论求解即可【详解】（1）方程1()x f x e =即为1|ln |x x e=. 因为12x x <，由图知，1201x x <<<.所以111ln x x e -=，221ln x x e =， 所以21211211ln ln ln x x e e x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为函数12x x <，所以2111()()0x xe e -<，所以12ln 0x x <，从而121x x <. （2）函数223()()()x g x af x f e =-即为2()(ln )2ln 3g x a x x =-+，,m n x e e ⎡⎤∈⎣⎦. 设ln t x =，则2()()23g x h t at t ==-+，且[,]t m n ∈， 因为()g x 在定义域,m n x e e ⎡⎤∈⎣⎦上单调，且值域为[,]m n ，所以()h t 在[,]m n 上单调，且值域为[,]m n .因为0a >，所以二次函数()h t 的图象开口向上.①当1[,],m n a ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭时，()h t 在[,]m n 上单调递增， 所以(),(),h m m h n n =⎧⎨=⎩，即2223,23,am m m an n n ⎧-+=⎨-+=⎩所以方程2330ax x -+=在1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数解， 所以29120,31,211330,a a aa a a ⎧⎪∆=->⎪⎪>⎨⎪⎪⎛⎫-⨯+⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得2334a <. ②当1[,],m n a ⎛⎤⊆-∞ ⎥⎝⎦时，()h t 在[,]m n 上单调递减， 所以(),(),h m n h n m =⎧⎨=⎩，即2223,23,am m n an n m ⎧-+=⎨-+=⎩两式相减，得()1a m n +=.将1n m a =-代入，得2130am m a-+-=， 同理可得，2130an n a-+-=， 所以方程2130ax x a -+-=在1,a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上有两个不相等的实数解， 所以211430,11,211130,a a a aa a a a ⎧⎛⎫∆=-⨯->⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪<⎨⎪⎪⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎩解得15312a <. 综上，a 的取值范围是15312a <或2334a <. 【点睛】关键点点睛：此题考查指数函数、对数函数和二次函数综合应用，考查数形结合的思想和转化思想，解题的关键是正确画出函数的图像，利用换元法把2()(ln )2ln 3g x a x x =-+转化为2()()23g x h t at t ==-+，从而利用二次函数的图像和性质求解，属于较难题。

2020-2021学年江苏省南通市启东中学高一（上）第一次月考数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）若集合P＝{﹣1，0，1，2}，Q＝{0，2，3}，则P∩Q的元素个数为（）A．1B．2C．3D．42．（5分）若|a﹣4|＝|a|+|﹣4|，则a的值是（）A．任意有理数B．任意一个非负数C．任意一个非正数D．任意一个负数3．（5分）已知命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+≤0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x02﹣x0+＞0B．∃x0∈R，x02﹣x0+＜0C．∀x∈R，x2﹣x+≤0D．∀x∈R，4．（5分）下面关于集合的表示，正确的个数是（）①{2，3}≠{3，2}；②{（x，y）|x+y＝1}＝{y|x+y＝1}；③{x|x＞1}＝{y|y＞1}；④∅＝{0}．A．0B．1C．2D．35．（5分）已知正数a、b满足a+b＝1，则有（）A．最小值B．最小值C．最大值D．最大值6．（5分）已知m，n是方程x2+5x+3＝0的两根，则m+n的值为（）A．2B．﹣2C．±2D．以上都不对7．（5分）已知R是实数集，集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{{x|0＜x＜}，则阴影部分表示的集合是（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1）D．（0，1）8．（5分）“a，b为正实数”是“a+b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．（5分）下列命题的否定中，是全称量词且为真命题的有（）A．∃x∈R，B．所有的正方形都是矩形C．∃x∈R，x2+2x+2≤0D．至少有一个实数x，使x3+1＝010．（5分）下列各组函数是同一个函数的是（）A．f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（t）＝t2﹣2t﹣1B．f（x）＝x0与g（x）＝C．f（x）＝与g（x）＝D．f（x）＝2x﹣1（x∈Z）与g（x）＝2x+1（x∈Z）11．（5分）若a＞b＞0，d＜c＜0，则下列不等式成立的是（）A．ac＞bc B．a﹣d＞b﹣c C．D．a3＞b312．（5分）已知f（x）＝x2﹣2x﹣3，x∈[0，a]，a为大于0的常数，则f（x）的值域可能为（）A．[﹣4，﹣3]B．R C．[﹣4，10]D．[﹣3，10]三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数y＝f（x）用列表法表示如表，则f（f（2））＝．x012f（x）20114．（5分）设α：x≤﹣5或x＞1，β：x≤﹣2m﹣3或x≥﹣2m+1，m∈R，α是β的充分不必要条件，则实数m的取值范围是．15．（5分）根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为．13+23＝（1+2）3，13+23+33＝（1+2+3）3，13+23+33+43＝（1+2+3+4）3，13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）3，……16．（5分）函数f（x）＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．若A＝{y|y＝[x]+[2x]+[3x]，0≤x≤1}，则A中元素个数是个，所有元素的和为．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知全集U＝R，A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|x2+2x﹣8≥0}，求：（1）A∩B；（2）A∪∁R B；（3）（∁R A）∩（∁R B）．18．（12分）解下列不等式：（1）；（2）x（x﹣2）（x+1）2≤0；（3）|3﹣2x|≤2x﹣3．19．（12分）已知命题p：方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0有两个正根为真命题．（1）求实数m的取值范围；（2）命题q：1﹣a＜m＜1+a，是否存在实数a使得￢p是￢q的充分不必要条件，若存在，求出实数a取值范围；若不存在，说明理由．20．（12分）设a、b、c∈R．证明：a2+b2+c2＝ab+bc+ca的充要条件是a＝b＝c．21．（12分）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为：（v＞0）．（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？22．（12分）设函数f（x）＝x2﹣ax+a+3，g（x）＝ax﹣2a．（1）对于任意a∈[﹣2，2]都有f（x）＞g（x）成立，求x的取值范围；（2）当a＞0 时对任意x1，x2∈[﹣3，﹣1]恒有f（x1）＞﹣ag（x2），求实数a的取值范围；（3）若存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，求实数a的取值范围．2020-2021学年江苏省南通市启东中学高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（5分）若集合P＝{﹣1，0，1，2}，Q＝{0，2，3}，则P∩Q的元素个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】运用集合的交集的定义，即可得到所求集合，进而求解结论．【解答】解：集合P＝{﹣1，0，1，2}，Q＝{0，2，3}，则P∩Q＝{﹣1，0，1，2}∩{0，2，3}＝{0，2}．∴P∩Q的元素个数为2．故选：B．【点评】本题考查集合的交集的求法，注意运用定义法，考查运算能力，属于基础题．2．（5分）若|a﹣4|＝|a|+|﹣4|，则a的值是（）A．任意有理数B．任意一个非负数C．任意一个非正数D．任意一个负数【分析】由|a﹣4|＝|a+（﹣4）|＝|a|+|﹣4|，利用绝对值的几何意义可知是0或与﹣4同号，则答案可求．【解答】解：∵|a﹣4|＝|a+（﹣4）|＝|a|+|﹣4|，∴a与﹣4同号或a为0，即a的值是任意一个非正数．故选：C．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查含绝对值方程的性质，是基础题．3．（5分）已知命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+≤0，则￢p为（）A．∃x0∈R，x02﹣x0+＞0B．∃x0∈R，x02﹣x0+＜0C．∀x∈R，x2﹣x+≤0D．∀x∈R，【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：特称命题的否定是全称命题得￢p：∀x∈R，均有x2﹣x+＞0，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．（5分）下面关于集合的表示，正确的个数是（）①{2，3}≠{3，2}；②{（x，y）|x+y＝1}＝{y|x+y＝1}；③{x|x＞1}＝{y|y＞1}；④∅＝{0}．A．0B．1C．2D．3【分析】集合中的元素具有无序性，故①不成立；{（x，y）|x+y＝1}是点集，而{y|x+y ＝1}不是点集，故②不成立；③正确，根据∅的定义判断④．【解答】解：∵集合中的元素具有无序性，∴①{2，3}＝{3，2}，故①不成立；{（x，y）|x+y＝1}是点集，而{y|x+y＝1}不是点集，故②不成立；由集合的性质知③正确；∅时没有任何元素的集合，故④不正确．故正确的只有1个．故选：B．【点评】本题考查集合的概念和性质，解题时要熟练掌握基本知识和基本方法，属基础题．5．（5分）已知正数a、b满足a+b＝1，则有（）A．最小值B．最小值C．最大值D．最大值【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．【解答】解：因为正数a、b满足a+b＝1，则＝，当且仅当a＝b时取等号，即有最大值，故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式的简单应用，属于基础试题．6．（5分）已知m，n是方程x2+5x+3＝0的两根，则m+n的值为（）A．2B．﹣2C．±2D．以上都不对【分析】由根与系数的关系得m+n＝﹣5，mn＝3，所以m，n都为负数，所以m+n ＝，从而求出结果．【解答】解：∵m，n是方程x2+5x+3＝0的两根，∴由根与系数的关系可得：m+n＝﹣5，mn＝3，∴m，n都为负数，∴m+n＝＝﹣﹣＝﹣2＝﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，是基础题．7．（5分）已知R是实数集，集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{{x|0＜x＜}，则阴影部分表示的集合是（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1）D．（0，1）【分析】由图观察利用集合的表示法中的描述法表达阴影部分即可；【解答】解：已知R是实数集，集合，阴影部分表示的集合是：（∁R A）∩B＝{x|0＜x≤1}；即：（0，1]故选：B．【点评】本题考查对集合的概念和运算的理解，属基础知识的考查．8．（5分）“a，b为正实数”是“a+b＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】可以取特殊值讨论充要性．【解答】解：若a，b为正实数，取a＝1，b＝1，则a+b＝2，则“a，b为正实数”是“a+b＞2”的不充分条件；若a+b＞2，取a＝1，b＝0，则b不是正实数，则“a+b＞2”是“a，b为正实数”的不必要条件；则“a，b为正实数”是“a+b＞2”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本题考查命题充要性，以及不等式，属于基础题．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．（5分）下列命题的否定中，是全称量词且为真命题的有（）A．∃x∈R，B．所有的正方形都是矩形C．∃x∈R，x2+2x+2≤0D．至少有一个实数x，使x3+1＝0【分析】由存在性命题和全称命题的定义，以及常用结论的应用，即可判断．【解答】解：∵B是全称命题，其否定为特称命题，故排除，A是特称命题，其否定为：∀x∈R，≥0，即（x﹣）2≥0为真命题，C是特称命题，其否定为：∀x∈R，x2+2x+2＞0，即（x﹣1）2+1＞0为真命题，D是特称命题，其否定为：任意实数x，都有x3+1≠0，﹣1代入不成立，为假命题，故选：AC．【点评】本题考查存在性命题和全称命题，以及真假判断，考查判断能力，属于基础题．10．（5分）下列各组函数是同一个函数的是（）A．f（x）＝x2﹣2x﹣1与g（t）＝t2﹣2t﹣1B．f（x）＝x0与g（x）＝C．f（x）＝与g（x）＝D．f（x）＝2x﹣1（x∈Z）与g（x）＝2x+1（x∈Z）【分析】根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，函数f（x）＝x2﹣2x﹣1（x∈R），与g（t）＝t2﹣2t﹣1的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数．对于B，函数f（x）＝x0＝1（x≠0），与g（x）＝＝1（x≠0）的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数．对于C，函数f（x）＝（x≠0），与g（x）＝（x≠0）的对应法则不相同，不是同一函数．对于D，函数f（x）＝2x﹣1（x∈Z）和g（x）＝2x+1（x∈Z）的对应法则不相同，不是同一函数．故选：AB．【点评】本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数，判断的依据是两个函数的定义域相同，对应法则也相同即可．11．（5分）若a＞b＞0，d＜c＜0，则下列不等式成立的是（）A．ac＞bc B．a﹣d＞b﹣c C．D．a3＞b3【分析】根据不等的基本性质可判断BD的真假，取a＝2，b＝1，d＝﹣2，c＝﹣1可判断AC的真假．【解答】解：∵d＜c＜0，∴﹣d＞﹣c＞0，∴当a＞b＞0时，a﹣d＞b﹣c，故B正确；由a＞b＞0可得a3＞b3，故D正确；由a＞b＞0，d＜c＜0取a＝2，b＝1，d＝﹣2，c＝﹣1则可排除AC．故选：BD．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．12．（5分）已知f（x）＝x2﹣2x﹣3，x∈[0，a]，a为大于0的常数，则f（x）的值域可能为（）A．[﹣4，﹣3]B．R C．[﹣4，10]D．[﹣3，10]【分析】利用数形结合画出二次函数的图象，再对a进行分类讨论，求出各个值域，进而可以判定选项是否正确．【解答】解：二次函数f（x）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），即f（x）≥﹣4，B错误；其图象如图所示：当1≤a≤2时，函数值域为[﹣4，﹣3]，A正确；当a＞2时，函数值域为[﹣4，+∞），而[﹣4，10]⊆[﹣4，+∞），C正确；当0＜a＜1时，函数值域为[a2﹣2a﹣3，﹣3]，D错误；故选：AC．【点评】本题考查了二次函数的图象性质以及求值域问题，涉及到分类讨论思想，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数y＝f（x）用列表法表示如表，则f（f（2））＝0．x012f（x）201【分析】推导出f（2）＝1，从而f（f（2））＝f（1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数y＝f（x）用列表法表示如表，x012f（x）201∴f（2）＝1，f（f（2））＝f（1）＝0．故答案为：0．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）设α：x≤﹣5或x＞1，β：x≤﹣2m﹣3或x≥﹣2m+1，m∈R，α是β的充分不必要条件，则实数m的取值范围是[0，1]．【分析】根据充分必要条件的定义得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：∵α是β的充分不必要条件，∴，（＝不同时成立），解得：0≤m≤1，故答案为：[0，1]．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道常规题．15．（5分）根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为∀n∈N*，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）3．13+23＝（1+2）3，13+23+33＝（1+2+3）3，13+23+33+43＝（1+2+3+4）3，13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）3，……【分析】观察到从1开始加，连续的几个数的三次方相加，就得其和的三次方，总结一下就是：任意从1开始的连续n个整数的三次方和等于其和的三次方．【解答】解：根据已知条件的规律可得：∀n∈N*，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）3．【点评】本题考查了归纳概括能力，把命题归结为全称命题或者特称命题，属于简易逻辑，是基础题．16．（5分）函数f（x）＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．若A＝{y|y＝[x]+[2x]+[3x]，0≤x≤1}，则A中元素个数是5个，所有元素的和为12．【分析】根据定义，推导出A＝{y|y＝[x]+[2x]+[3x]，0≤x≤1}＝{0，1，2，3，6}，由此能求出A中所有元素的和．【解答】解：∵函数f（x）＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，∴对于A＝{y|y＝[x]+[2x]+[3x]，0≤x≤1}，①当0≤x＜时，y＝[x]+[2x]+[3x]＝0+0+0＝0；②当≤x＜时，y＝[x]+[2x]+[3x]＝0+0+1＝1；③当≤x＜时，y＝[x]+[2x]+[3x]＝0+1+1＝2；④当≤x＜1时，y＝[x]+[2x]+[3x]＝0+1+2＝3；⑤当x＝1时，y＝[x]+[2x]+[3x]＝1+2+3＝6；∴A＝{y|y＝[x]+[2x]+[3x]，0≤x≤1}＝{0，1，2，3，6}，A中共5个元素，且A中所有元素的和为0+1+2+3+6＝12．故答案为：5，12．【点评】本题考查集合中所有元素的和的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知全集U＝R，A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|x2+2x﹣8≥0}，求：（1）A∩B；（2）A∪∁R B；（3）（∁R A）∩（∁R B）．【分析】先分别求出集合A，B，然后根据集合的交，并及补的运算即可求解．【解答】解：因为A＝{x|x2﹣4≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x2+2x﹣8≥0}＝{x|x≥2或x ≤﹣4}，（1）A∩B＝{2}；（2）∵∁R B＝{x|﹣4＜x＜2}，所以A∪∁R B＝（﹣4，2]，（3）∵（∁R A）∩（∁R B）＝∁R（B∪A）＝（﹣4，﹣2）．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．18．（12分）解下列不等式：（1）；（2）x（x﹣2）（x+1）2≤0；（3）|3﹣2x|≤2x﹣3．【分析】（1）移项，解分式不等式即可；（2）问题转化为x＝﹣1或x（x﹣2）≤0，解出即可；（3）根据2x﹣3≥0，解绝对值不等式即可．【解答】解：（1）∵，∴≤0，即≥0，解得：x≥或x＜1，故不等式的解集是：（﹣∞，1）∪[，+∞）；（2）∵x（x﹣2）（x+1）2≤0；∴x＝﹣1或x（x﹣2）≤0，解得：x＝﹣1或0≤x≤2，故不等式的解集是：{﹣1}∪[0，2]；（3）∵|3﹣2x|≤2x﹣3，∴，解得：x≥，故不等式的解集是：[，+∞）．【点评】本题考查了解分式不等式，绝对值不等式问题，考查转化思想，是一道常规题．19．（12分）已知命题p：方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0有两个正根为真命题．（1）求实数m的取值范围；（2）命题q：1﹣a＜m＜1+a，是否存在实数a使得￢p是￢q的充分不必要条件，若存在，求出实数a取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据二次函数的性质，求出p为真时m的范围即可；（2）问题转化为{m|1﹣a＜m＜1+a}⫋{m|m＞2}，根据集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）设方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个正根为x1，x2，若命题p为真命题，则：，解得：m＞2，故实数m的取值范围是（2，+∞）；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，则{m|1﹣a＜m＜1+a}⫋{m|m＞2}，则1﹣a≥1+a或，解得：a≤0，故存在实数a使得￢p是￢q的充分不必要条件，a的范围是（﹣∞，0]．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及二次函数的性质，是一道常规题．20．（12分）设a、b、c∈R．证明：a2+b2+c2＝ab+bc+ca的充要条件是a＝b＝c．【分析】本题要证明一个条件是另一个条件的充要条件，这种题目的证明，要从两个方面来证明，即证明充分性，也要证明必要性，注意条件的等式的整理成完全平方的形式．【解答】证明：（1）充分性：如果a2+b2+c2＝ab+bc+ca，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0所以（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0所以（a﹣b）＝0，（b﹣c）＝0，（c﹣a）＝0．即a＝b＝c．（2）必要性：若a＝b＝c．所以（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0所以a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝0所以a2+b2+c2＝ab+bc+ca综上可知：a2+b2+c2＝ab+bc+ca的充要条件是a＝b＝c．【点评】本题考查三角形形状的判断，看出一个条件是另一个条件的充要条件，本题解题的关键是理解对于充要条件的证明，要从充分性和必要性两个方面来证明，缺一不可，本题是一个中档题目．21．（12分）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为：（v＞0）．（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【分析】（1）分子分母同除以v，再利用基本不等式求最大值；（2）解不等式得出结论．【解答】解：（1）y＝＝，∵v+≥2＝60，当且仅当v＝即v＝30时取等号•．∴≤＝．∴当汽车的平均速度为30千米/小时时车流量最大，最大车流量为千辆/小时．（2）令＞10，整理得：v2﹣68v+900＜0，解得：18＜v＜50．【点评】本题考查了基本不等式的应用，不等式的解法，属于中档题．22．（12分）设函数f（x）＝x2﹣ax+a+3，g（x）＝ax﹣2a．（1）对于任意a∈[﹣2，2]都有f（x）＞g（x）成立，求x的取值范围；（2）当a＞0 时对任意x1，x2∈[﹣3，﹣1]恒有f（x1）＞﹣ag（x2），求实数a的取值范围；（3）若存在x0∈R，使得f（x0）＜0与g（x0）＜0同时成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）由题意可得，（﹣2x+3）a+x2+3＞0 对于任意a∈[﹣2，2]恒成立．设h（a）＝（﹣2x+3）a+x2+3，则有，解不等式组可得x的范围．（2）由题意可知在区间[﹣3，﹣1]上，[f（x）]min＞[﹣ag（x）]max．利用二次函数的单调性求得f（x）min和[﹣ag（x）]max的值，解不等式求得a的范围．（3）分a＝0、a＜0、a＞0三种情况，分别由条件求得a的范围，再取并集，即得所求．【解答】解：（1）因为对于任意a∈[﹣2，2]都有f（x）＞g（x）成立，都有x2﹣ax+a+3＞ax﹣2a，即（﹣2x+3）a+x2+3＞0 对于任意a∈[﹣2，2]恒成立．设h（a）＝（﹣2x+3）a+x2+3，则有，解不等式组可得，或．（2）由题意可知在区间[﹣3，﹣1]上，[f（x）]min＞[﹣ag（x）]max．因为f（x）＝x2﹣ax+a+3 的图象的对称轴，所以f（x）＝x2﹣ax+a+3 在[﹣3，﹣1]上单调递减，可得f（x）min＝f（﹣1）＝2a+4．因为﹣ag（x）＝﹣a2x+2a2在[﹣3，﹣1]上单调递减，可得，所以2a+4＞5a2，可得．（3）①若a＝0，则g（x）＝0，不合题意，舍去．②若a＜0，由g（x）＜0 可得x＞2．原题可转化为在区间（2，+∞）上存在x0，使得f（x0）＜0．因为f（x）＝x2﹣ax+a+3 在上单调递增，所以，f（2）＜0，可得a＞7，又因为a＜0，故不符合题意．③若a＞0，由g（x）＜0 可得x＜2，原题可转化为在区间（﹣∞，2）上存在x0，使得f（x0）＜0．当时，即a＞4 时，若f（x）在区间（﹣∞，2）上存在x0，使得f（x0）＜0，则应有f（2）＝7﹣a＜0，可得a＞7．当0＜时，即0＜a＜4 时，若f（x）在区间（﹣∞，2）上存在x0，使得f（x0）＜0，应有f（x）在区间（﹣∞，2）上的最小值为f（）＝﹣+a+3＜0，可得a＞6或a＜﹣2，都不满足条件0＜a＜4．综上可知，a＞7．【点评】本题主要考查二次函数的性质的应用，函数的恒成立问题，体现了分类讨论、转化的数学思想，属难题．。