一元二次方程的定义及一般形式提高练习

一元二次方程的解法【知识点归纳与总结】一、概念：一元二次方程的一般形式为：ax 2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

二、基本思路与方法: 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

1 用直接开平方法解形如 (x-m)2=n (n≥0) 的方程，其解为x=m±.例1．解方程（1）75 (3x+1)2=7 （2）9x 2-24x+16=112．配方法：用配方法解方程ax 2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c 移到方程右边：ax 2+bx=-c 将二次项系数化为1：x 2+b a x=-ca方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x 2+b a x+(b 2a )2=-c a +(b2a)2方程左边成为一个完全平方式：(x+)2= 当b 2-4ac≥0时，x+=±∴ x= (这就是求根公式)例2．用配方法解方程 3x 2-4x-2=03．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b 2-4ac 的值，当b 2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c 的值代入求根公式x=(b 2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程 2x 2-8x=-54．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8(2) 2x2+3x=0(3) 6x2+5x-50=0(4)x2-2(+)x+4=0小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。

一元二次方程知识点总结及相关练习题一、一元二次方程一元二次方程是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

它的一般形式为ax^2+bx+c=0（其中a≠0），其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

二、一元二次方程的解法1.直接开平方法直接开平方法是利用平方根的定义直接开平方求解一元二次方程的方法。

它适用于解形如(x+a)=b的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根，当b≥0时，x=-a±b；当b<0时，方程没有实数根。

2.配方法配方法的理论根据是完全平方公式a±2ab+b=(a±b)^2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x±2bx+b=(x±b)^2.配方法的步骤是：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式。

3.公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程ax^2+bx+c=0的求根公式是x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。

公式法的步骤是把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c。

4.因式分解法因式分解法是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法。

这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤是：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式、公式法或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式。

5.XXX定理利用韦达定理可以求出一元二次方程中的各系数。

韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。

在题目中，XXX定理是很常用的。

三、一元二次方程根的判别式根的判别式指的是一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的判别式，通常用“Δ”来表示，即Δ=b^2-4ac。

一、概述二、一元二次方程的定义三、一元二次方程的解法1.配方法2.公式法四、一元二次方程的经典例题及详细解答1.例题一2.例题二3.例题三五、总结概述一元二次方程是数学中常见的代数方程，它的解法丰富多样，具有很高的实用价值。

本文将详细介绍一元二次方程的定义、解法，以及一些经典例题的详细解答。

一元二次方程的定义一元二次方程是指形式为ax²+bx+c=0的方程，其中a≠0，x是未知数，a、b、c均为已知系数。

一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0，其中a、b、c是常数，且a≠0。

一元二次方程的解法一元二次方程的解法主要包括两种：配方法和公式法。

1.配方法配方法也称补全平方法，是指利用平方公式将一元二次方程转化为一个完全平方式。

这种方法常用于一元二次方程系数a=1的情况。

2.公式法公式法是通过一元二次方程的求根公式来解方程，一元二次方程ax²+bx+c=0的根可以用公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)求得。

一元二次方程的经典例题及详细解答下面将结合具体的例题，详细解答一元二次方程的解题过程。

1.例题一已知一元二次方程x²-5x+6=0，求方程的根。

解：根据公式法，将方程的系数代入求根公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)中，得到：x1,2=(5±√(5²-4*1*6))/(2*1)= (5±√1)/2即x1=3，x2=2。

所以方程的根为x1=3，x2=2。

2.例题二已知一元二次方程2x²-7x+3=0，求方程的根。

解：同样使用公式法，将方程的系数代入求根公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)中，得到：x1,2=(7±√(7²-4*2*3))/(2*2)即x1=3/2，x2=2。

所以方程的根为x1=3/2，x2=2。

一元二次方程概念专项练习知识梳理：1.一元二次方程的一般形式：a x2＋bx＋c=0(a≠0)2.一元二次方程的特点：①整式方程②a不为0③只含有一个未知数④未知数的最高次数为23.重点：一元二次方程的识别与判断4.难点：题目不表明所需要判断的方程是一元二次方程还是一元一次方程时，需要分类讨论一、选择题1、在下列方程中是一元二次方程的是（）A．x2－2xy+y2=0 B．x(x+3)=x2－1 C．x2－2x=3 D．x+ =02、下列方程为一元二次方程的是 ( )A. B. C. D.3、下列方程中，一元二次方程个数（）①、；②、；③、；④、；⑤、.A、5个B、4个C、3个D、2个4、已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥25、以1，-2为根的一元二次方程是A.x2+x-2=0B.x2-x+2=0C.x2-x-2=0D.x2+x+2=06、已知x=0是二次方程（m +1）x2+ mx + 4m2- 4 = 0的一个解，那么m的值是（）A．0 B．1 C．- 1 D．7、若c（c≠0）为关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的根，则c+b的值为（）A．1 B．-1 C．2 D．-28、若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于A．1 B．2 C．1或2 D．09、定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．10、若为方程的解，则的值为（）A.12B.6C.9D.16二、填空题11、如果,则一元二次方程必有一个根是.12、已知是方程的解，则代数式的值为 .13、已知，则的值是 .14、某中学摄影兴趣小组的学生，将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张，全组共互赠了182张，若全组有名学生，则根据题意列出的方程是。

一元二次方程的定义与解法知识点一 一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

注：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。

②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2。

同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

例 下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？⑴3522=+x ；⑵062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ；（5）12)3(22+=-x x x知识点二 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。

其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

注：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。

例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）x x 2752=； （2）()()832=+-x x ； （3）()()()22343+=+-x x x例2 已知关于x 的方程()()021122=-+--+x m x m m 是一元二次方程时，则=m知识点三 一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解例 1 关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 有一个根为0，则=a例 2 已知关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有一个根为1，一个根为1-，则=++c b a ，=+-c b a例3 已知c 为实数，并且关于x 的一元二次方程032=+-c x x 的一个根的相反数是方程032=-+c x x 的一个根，求方程032=-+c x x 的根及c 的值。

一元二次方程概念1、了解一元二次方程的概念和它的一般形式ax 2+bx+c= 0（a≠0），正确理解和掌握一般形式中的a≠0，“项”和“系数”等概念；会根据实际问题列一元二次方程；一、磨刀不误砍柴工，上新课之前先来热一下身吧！1、下列方程：(1)x 2-1=0； (2)4 x 2+y 2=0； (3)（x-1）（x-3）=0； (4)xy+1=3． (5)3212=-x x 其中，一元二次方程有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2、一元二次方程（x+1）（3x-2）=10的一般形式是 ，二次项，二次项系数 ，一次项 ，一次项系数 ，常数项 。

二、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！3、小区在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？4、一个数比另一个数大3，且两个数之积为10，求这两个数。

5、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）A.3(x+1)2= 2(x+1) B .05112=-+x xC.ax 2+bx+c= 0D.x 2+2x= x 2-1 6、把下列方程化成ax 2+bx+c= 0的形式，写出a 、b 、c 的值：(1)3x 2= 7x-2 (2)3(x-1)2 = 2(4-3x)7、当m 为何值时，关于x 的方程(m-2)x 2-mx+2=m-x 2是关于x 的一元二次方程？8、若关于的方程(a-5)x ∣a ∣-3+2x-1=0是一元二次方程，求a 的值?三、新知识你都掌握了吗？课后来这里显显身手吧！9、一个正方形的面积的2倍等于15，这个正方形的边长是多少？10、一块面积为600平方厘米的长方形纸片，把它的一边剪短10厘米，恰好得到一个正方形。

求这个正方形的边长。

11、判断下列关于x 的方程是否为一元二次方程：(1)2（x 2－1）=3y ； (2)4112=+x ； (3)（x －3）2=（x ＋5）2； (4)mx 2＋3x －2=0；(5)（a 2＋1）x 2＋（2a －1）x ＋5―a =0.12、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数及常数项。

考点一、概念(1)定义:①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．,这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

（2）一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”: ①该项系数不为“0"； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题:例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ）A ()()12132+=+x x B 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 。

针对练习:★1、方程782=x 的一次项系数是 ,常数项是 。

★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值;⑵写出关于x 的一元一次方程.★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。

★★★4、若方程nx m+x n—2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ )A 。

m=n=2 B.m=2，n=1 C.n=2，m=1 D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念:使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用:利用根的概念求代数式的值;典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 .例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。

说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 。

说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察,再利用特殊根“-1”巧解代数 式的值。

一元二次方程提高题一．选择题（共10小题）1．一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为（）A．（x﹣3）2=15 B．（x﹣3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=32．若关于x的方程x2+2x﹣3=0与=有一个解相同，则a的值为（）A．1 B．1或﹣3 C．﹣1 D．﹣1或33．若关于x的方程kx2﹣3x﹣=0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k=0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣14．关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（）A．2 B．0 C．1 D．2或05．已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+的值为（）A．2 B．﹣1 C．D．﹣26．对于方程x2﹣2|x|+2=m，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（）A．1 B．C．2 D．2.57．方程x2﹣|2x﹣1|﹣4=0，求满足该方程的所有根之和为（）A．0 B．2 C．D．2﹣8．已知关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3=0是一元二次方程，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．不能确定9．m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子2m2+2m+2015的值为（）A．2013 B．2016 C．2017 D．201810．三角形两边长分别为5和8，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形的周长是（）A．15 B．17 C．15或17 D．不能确定二．填空题（共5小题）11．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，则k的值是．12．已知实数m满足m2﹣3m+1=0，则代数式m2+的值等于．13．已知m是方程x2﹣2017x+1=0的一个根，则代数式m2﹣2018m++3的值是．14．关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的两个根是等腰△ABC的两条边长，已知一个根是2，则△ABC的周长为．15．若实数a、b满足（a+b）（a+b﹣6）+9=0，则a+b的值为．三．解答题（共11小题）16．解方程：（x﹣3）（x﹣1）=3．17．解一元二次方程：x2﹣3x=1．18．解方程：（2x+1）2=2x+1．19．4x2﹣3=12x（用公式法解）20．解方程：2x2﹣4x=1（用配方法）21．已知M=5x2+3，N=4x2+4x．（1）求当M=N时x的值；（2）当1＜x＜时，试比较M，N的大小．22．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．23．关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，存不存在这样的实数k，使得|x1|﹣|x2|=？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．24．学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如图所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数．购买件数销售价格单价40元不超过30件超过30件每多买1件，购买的所有衬衫单价降低0.5元，但单价不得低于30元25．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B 型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？26．关于x的方程x2+2x+2，其中p是实数．（1）若方程没有实数根，求P的范围；（2）若p＞0，问p为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个根．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2017•泰安）一元二次方程x2﹣6x﹣6=0配方后化为（）A．（x﹣3）2=15 B．（x﹣3）2=3 C．（x+3）2=15 D．（x+3）2=3【分析】方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解．【解答】解：方程整理得：x2﹣6x=6，配方得：x2﹣6x+9=15，即（x﹣3）2=15，故选A【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．2．（2017•凉山州）若关于x的方程x2+2x﹣3=0与=有一个解相同，则a 的值为（）A．1 B．1或﹣3 C．﹣1 D．﹣1或3【分析】两个方程有一个解相同，可以先求得第一个方程的解，然后将其代入第二个方程来求a的值即可．注意：分式的分母不等于零．【解答】解：解方程x2+2x﹣3=0，得x1=1，x2=﹣3，∵x=﹣3是方程的增根，∴当x=1时，代入方程，得，解得a=﹣1．故选：C．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，分式方程的解．此题属于易错题，解题时要注意分式的分母不能等于零．3．（2017•齐齐哈尔）若关于x的方程kx2﹣3x﹣=0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k=0 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1【分析】讨论：当k=0时，方程化为﹣3x﹣=0，方程有一个实数解；当k≠0时，△=（﹣3）2﹣4k•（﹣）≥0，然后求出两个中情况下的k的公共部分即可．【解答】解：当k=0时，方程化为﹣3x﹣=0，解得x=；当k≠0时，△=（﹣3）2﹣4k•（﹣）≥0，解得k≥﹣1，所以k的范围为k≥﹣1．故选C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．4．（2017•呼和浩特）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（）A．2 B．0 C．1 D．2或0【分析】设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，然后利用判别式的意义确定a的取值．【解答】解：设方程的两根为x1，x2，根据题意得x1+x2=0，所以a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，当a=2时，方程化为x2+1=0，△=﹣4＜0，故a=2舍去，所以a的值为0．故选B．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根的判别式．5．（2017•黔东南州）已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+的值为（）A．2 B．﹣1 C．D．﹣2【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=﹣1，利用通分得到+=，然后利用整体代入的方法计算【解答】解：根据题意得x1+x2=2，x1x2=﹣1，所以+===﹣2．故选D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．6．（2017•江阴市自主招生）对于方程x2﹣2|x|+2=m，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（）A．1 B．C．2 D．2.5【分析】先把已知方程转化为关于|x|的一元二次方程的一般形式，再根据方程有三个实数根判断出方程根的情况，进而可得出结论．【解答】解：原方程可化为x2﹣2|x|+2﹣m=0，解得|x|=1±，∵若1﹣＞0，则方程有四个实数根，∴方程必有一个根等于0，∵1+＞0，∴1﹣=0，解得m=2．故选C．【点评】本题考查的是根的判别式及用公式法解一元二次方程，先根据题意得出|x|的值，判断出方程必有一根为0是解答此题的关键．7．（2017•雨城区校级自主招生）方程x2﹣|2x﹣1|﹣4=0，求满足该方程的所有根之和为（）A．0 B．2 C．D．2﹣【分析】因为题目中带有绝对值符号，所以必须分两种情况进行讨论，去掉绝对值符号，得到两个一元二次方程，求出方程的根，不在讨论范围内的根要舍去．【解答】解：①当2x﹣1≥0时，即x≥，原方程化为：x2﹣2x﹣3=0，（x﹣3）（x+1）=0，x1=3，x2=﹣1，∵﹣1＜，∴x2=﹣1（舍去）∴x=3；②当2x﹣1＜0，即x＜时，原方程化为：x2+2x﹣5=0，（x+1）2=6，x+1=±，x1=﹣1+，x2=﹣1﹣∵﹣1+＞，∴x1=﹣1+（舍去）∴x=﹣1﹣．则3+（﹣1﹣）=2﹣．故选：D．【点评】本题考查的是解一元二次方程，由于带有绝对值符号，必须对题目进行讨论，对不在讨论范围内的根要舍去．8．（2017•凉山州一模）已知关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3=0是一元二次方程，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．不能确定【分析】根据一元二次方程的定义得出m﹣1≠0，m2+1=2，求出即可．【解答】解：∵关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3=0是一元二次方程，∴m﹣1≠0且m2+1=2，即m≠1且m=±1，解得：m=﹣1．故选B．【点评】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2．9．（2017•潮阳区模拟）m是方程x2+x﹣1=0的根，则式子2m2+2m+2015的值为（）A．2013 B．2016 C．2017 D．2018【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2+m﹣1=0，即m2+m=1，然后利用整体代入的方法计算2m2+2m+2015的值．【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1=0的根，∴m2+m﹣1=0，即m2+m=1，∴2m2+2m+2015=2（m2+m）+2015=2+2015=2017．故选C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．10．（2017•市中区三模）三角形两边长分别为5和8，第三边是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形的周长是（）A．15 B．17 C．15或17 D．不能确定【分析】求出已知方程的解确定出第三边，即可求出三角形周长．【解答】解：方程x2﹣6x+8=0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣4）=0，解得：x=2或x=4，当x=2时，三角形三边长为2，5，8，不能构成三角形，舍去；当x=4时，三角形三边长为4，5，8，周长为4+5+8=17，故选B【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及三角形三边关系，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．二．填空题（共5小题）11．（2017•菏泽）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，则k的值是0．【分析】由于方程的一个根是0，把x=0代入方程，求出k的值．因为方程是关于x的二次方程，所以未知数的二次项系数不能是0．【解答】解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，把x=0代入方程，得k2﹣k=0，解得，k1=1，k2=0当k=1时，由于二次项系数k﹣1=0，方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0不是关于x的二次方程，故k≠1．所以k的值是0．故答案为：0【点评】本题考查了一元二次方程的解法、一元二次方程的定义．解决本题的关键是解一元二次方程确定k的值，过程中容易忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个条件．12．（2017•镇江）已知实数m满足m2﹣3m+1=0，则代数式m2+的值等于9．【分析】先表示出m2=3m﹣1代入代数式，通分，化简即可得出结论．【解答】解：∵m2﹣3m+1=0，∴m2=3m﹣1，∴m2+=3m﹣1+=3m﹣1+=====9，故答案为：9．【点评】此题主要考查了代数式的化简求值，分式的通分，约分，解本题的关键是得出m2=3m﹣1．13．（2017•北仑区模拟）已知m是方程x2﹣2017x+1=0的一个根，则代数式m2﹣2018m++3的值是2．【分析】根据一元二次方程根的定义得到m2=2017m﹣1，再利用整体代入的方法得到原式=2017m﹣1﹣2018m++3，然后合并即可．【解答】解：∵m是方程x2﹣2017x+1=0的一个根，∴m2﹣2017m+1=0，∴m2=2017m﹣1，∴原式=2017m﹣1﹣2018m++3=﹣1﹣m+m+3=2．故答案为2．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．14．（2017•威海一模）关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的两个根是等腰△ABC的两条边长，已知一个根是2，则△ABC的周长为14．【分析】利用一元二次方程解的定义，把x=2代入x2﹣2mx+3m=0得m=4，则方程化为x2﹣8x+12=0，利用因式分解法解得x1=2，x2=6，然后利用三角形三边的关系确定三角形三边，再计算它的周长．【解答】解：把x=2代入x2﹣2mx+3m=0得4﹣4m+3m=0，解得m=4，所以方程化为x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6，所以三角形三边为6、6、2，所以△ABC的周长为14．故答案为14．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．15．（2017•曹县模拟）若实数a、b满足（a+b）（a+b﹣6）+9=0，则a+b的值为3．【分析】设t=a+b，则原方程转化为关于t的方程t（t﹣6）+9=0，由此求得t的值即可．【解答】解：设t=a+b，则由原方程得到：t（t﹣6）+9=0，整理，得（t﹣3）2=0，解得t=3．即a+b=3．故答案是：3．【点评】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．三．解答题（共11小题）16．（2017•丽水）解方程：（x﹣3）（x﹣1）=3．【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：方程化为x2﹣4x=0，x（x﹣4）=0，所以x1=0，x2=4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．17．（2017•埇桥区模拟）解一元二次方程：x2﹣3x=1．【分析】配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣3x=1，x2﹣3x+（）2=1+（）2，（x﹣）2=，开方得：x﹣=±，x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．18．（2017•广元模拟）解方程：（2x+1）2=2x+1．【分析】因式分解法求解可得．【解答】解：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x（2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．19．（2017•江汉区校级模拟）4x2﹣3=12x（用公式法解）【分析】利用公式法求解可得．【解答】解：原方程整理为：4x2﹣12x﹣3=0，∵a=4，b=﹣12，c=﹣3，∴△=144﹣4×4×（﹣3）=192＞0，则x==．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．（2017•江汉区校级模拟）解方程：2x2﹣4x=1（用配方法）【分析】方程两边都除以2，配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．【解答】解：方程整理得：x2﹣2x=，配方得：x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，开方得：x﹣1=±，解得：x1=1+，x2=1﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．21．（2017•萧山区模拟）已知M=5x2+3，N=4x2+4x．（1）求当M=N时x的值；（2）当1＜x＜时，试比较M，N的大小．【分析】（1）利用题意列方程5x2+3=4x2+4x，然后利用因式分解法解方程即可；（2）利用求差法得到M﹣N=（x﹣1）（x﹣3），然后根据x的取值范围确定积的符合，从而得到M与N的关系关系．【解答】解：（1）根据题意得5x2+3=4x2+4x，整理得x2﹣4x+3=0，（x﹣1）（x﹣3）=0，x﹣1=0或x﹣3=0，所以x1=1，x2=3；（2）M﹣N=5x2+3﹣（x2+4x）=x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3），∵1＜x＜，∴x﹣1＞0，x﹣3＜0，∴M﹣N=（x﹣1）（x﹣3）＜0，∴M＜N．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．注意因式分解的应用．22．（2017•绥化）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4m+17＞0，解之即可得出结论；（2）设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据a+b=﹣2m﹣1＞0，即可确定m的值．【解答】解：（1）∵方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根，∴△=（2m+1）2﹣4（m2﹣4）=4m+17＞0，解得：m＞﹣．∴当m＞﹣时，方程有两个不相等的实数根．（2）设方程的两根分别为a、b，根据题意得：a+b=﹣2m﹣1，ab=m2﹣4．∵2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（﹣2m﹣1）2﹣2（m2﹣4）=2m2+4m+9=52=25，解得：m=﹣4或m=2．∵a＞0，b＞0，∴a+b=﹣2m﹣1＞0，∴m=﹣4．若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为﹣4．【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、菱形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△=4m+17＞0；（2）根据根与系数的关系结合菱形的性质，找出关于m的一元二次方程．23．（2017•鄂州）关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3=0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，存不存在这样的实数k，使得|x1|﹣|x2|=？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列出关于k的不等式求解可得；（2）由韦达定理知x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，将原式两边平方后把x1+x2、x1x2代入得到关于k的方程，求解可得．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4（k2﹣2k+3）=4k﹣11＞0，解得：k＞；（2）存在，∵x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，∴将|x1|﹣|x2|=两边平方可得x12﹣2x1x2+x22=5，即（x1+x2）2﹣4x1x2=5，代入得：（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）=5，解得：4k﹣11=5，解得：k=4．【点评】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握判别式的值与方程的根之间的关系及韦达定理是解题的关键．24．（2017•皇姑区一模）学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到如图所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数．购买件数销售价格不超过30单价40元件超过30件每多买1件，购买的所有衬衫单价降低0.5元，但单价不得低于30元【分析】根据题意首先表示出每件商品的价格，进而得出购买商品的总钱数，进而得出等式求出答案．【解答】解：∵30×40=1200＜1400，∴奖品数超过了30件，设总数为x件，则每件商品的价格为：[40﹣（x﹣30）×0.5]元，根据题意可得：x[40﹣（x﹣30）×0.5]=1400，解得：x1=40，x2=70，∵x=70时，40﹣（70﹣30）×0.5=20＜30，∴x=70不合题意舍去，答：王老师购买该奖品的件数为40件．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出每件商品的价格是解题关键．25．（2017•三门峡一模）随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B 型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？【分析】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为（x+300）元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解；（2）根据总利润=单件利润×销量列出一元二次方程求解即可．【解答】解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，由题意得，=，解得：x=1200，经检验x=1200是原方程的根，则x+300=1500，答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；（2）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x﹣1200）（4+）=3200，解得：x=1600，答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．【点评】本题考查了一元二次方程及分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，注意分式方程应该检验，难度不大．26．（1999•重庆）关于x的方程x2+2x+2，其中p是实数．（1）若方程没有实数根，求P的范围；（2）若p＞0，问p为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个根．【分析】（1）换元，令=y，把中根号下的数看成整体，再求p的范围；（2）方程有两个相等的实数根，判别式=0，求出p，再求得两实根．【解答】解：（1）令=y，①则原方程变为y2+2y﹣（p2+2p）=0．（3分）∵△=4+4（p2+2p）=4（p2+2p+1）=4（p+1）2≥0，即y1=p，y2=﹣2﹣p．（6分）若原方程没有实数根，只须解这个不等式组，得﹣2＜p＜0．（9分）（2）∵p＞0，把y1=p代入①，得=p②而y2=﹣2﹣p＜0，舍去．（11分）将②式平方，整理得x2+2x﹣（p2﹣2p）=0．③（12分）令△=4+4（p2﹣2p）=4（p2﹣2p+1）=4（p﹣1）2=0，解得p=1．（15分）当p=1时，原方程有两个相等的实数根．把p=1代入③，得x2+2x+1=0，∴x1=x2=﹣1．（17分）经检验，当p=1时，x1=x2=﹣1是原方程的根．（18分）【点评】本题是换元法解无理方程，注意这个方程无解条件的讨论是解决本题的关键．。

一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0）。

注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。

考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。

x+a= ± b ∴ x1 =-a+ b x2=-a- b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为 1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b 的形式；⑤如果b≥0 就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是x = - b±b 2 - 4ac (b2－4ac≥0)。

步骤：①把方程转化为一般形2a式；②确定 a，b，c 的值；③求出 b2－4ac 的值，当 b2－4ac≥0 时代入求根公式。

4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则 a=0 或b=0。

步骤是：①将方程右边化为 0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。

5．一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c 的值；②若b2－4ac＜0，则方程无解．⑶利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4) 2 =3（x＋4）中，不能随便约去 x＋4。

一元二次方程 1. 一元二次方程的概念：（1）注意一元二次方程定义中的三个条件：有一个未知数，含未知数的最高次是2，整式方程，是判断一个方程是否是一元二次方程的依据。

（2）强调：要先把一元二次方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），才能确定a 、b 、c 的值。

2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：()它是以平方根的概念为基础，适合于形如，类型的方程。

ax b c a c +=≠≥200()（2）配方法：()先把二次项系数化为，再对进行配方，即在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，就能配出一个含有未知数的一次式的完全平方式，变形为：的形式，再直接开平方解方程。

1x px p x m n n 22220+⎛⎝ ⎫⎭⎪+=≥()（3）公式法：用配方法推导求根公式，由此产生了第三种解法公式法，它是解一元二次方程的主要方法，是解一元二次方程的通法。

关键是把方程整理成一元二次方程的一般形式，确认、、的值（特别要注意正、负号），求出的值（以便决定有无必要代入求根公式），若，则代入求根公式。

a b c b ac b ac x b b aca∆=--≥=-±-22244042（4）因式分解法：适用于方程左边易于分解，而右边是零的方程。

我们在解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的解法，使解题过程简捷些。

一般先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法。

对于二次项系数含有字母系数的方程，要注意分类讨论。

3. 一元二次方程根的判别式()来判断。

即根的情况可以用判别式一元二次方程∆-≠=++ac b a c bx ax 400 22 当时，方程有两个不相等的实数根。

b a c 240-> 当时，方程有两个相等的实数根。

b a c 240-=当时，方程没有实数根。

ba c 240-<根的判别式△＝b 2－4ac 的意义，在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。

一元二次方程综合提高题一、选择题1.若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1m4 >-；③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】C。

【考点】抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。

【分析】①∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，∴x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故结论①错误。

②一元二次方程（x－2）（x－3）=m化为一般形式得：x2－5x＋6－m=0，∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，∴△=b2－4ac=（－5）2－4（6－m）=4m＋1＞0，解得：1m4>-。

故结论②正确。

③∵一元二次方程x2－5x＋6－m=0实数根分别为x1、x2，∴x1＋x2=5，x1x2=6－m。

∴二次函数y=（x－x1）（x－x2）+m=x2－（x1＋x2）x＋x1x2＋m=x2－5x＋（6－m）＋m =x2－5x＋6=（x－2）（x－3）。

令y=0，即（x－2）（x－3）=0，解得：x=2或3。

∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确。

综上所述，正确的结论有2个：②③。

故选C。

2.如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为【】A．3 B．﹣3 C．13 D．﹣13【答案】B。

【考点】一元二次方程根与系数的关系。

【分析】∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x 1+x 2=﹣4，x 1x 2=a 。

∴x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=a ﹣2×（﹣4）﹣5=0，即a+3=0， 解得，a=﹣3。

中考数学(一元二次方程组提高练习题)压轴题训练附答案一、一元二次方程1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？【答案】（1）PQ=62cm；（2）85s或245s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2．【解析】试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，∴16-5x=±8，∴x1=85，x2=245；∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．①当0≤y≤163时，则PB=16-3y，∴12PB•BC=12，即12×（16-3y）×6=12，解得y=4；②当163＜x≤223时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则1 2BP•CQ=12（3y-16）×2y=12，解得y1=6，y2=-23（舍去）；③223＜x≤8时，QP=CQ-PQ=22-y，则1 2QP•CB=12（22-y）×6=12，解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．考点：一元二次方程的应用．2．解方程：x2－2x＝2x＋1.【答案】x1＝2，x2＝2【解析】试题分析：根据方程，求出系数a、b、c，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式x=求解即可.试题解析：方程化为x2－4x－1＝0.∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，∴x ＝420 ＝2±5 ， ∴x 1＝2－5 ，x 2＝2＋5.3．已知：关于的方程有两个不相等实数根． （1） 用含的式子表示方程的两实数根； （2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值． 【答案】（I ）kx 2+（2k －3)x+k －3 = 0是关于x 的一元二次方程． ∴由求根公式，得． ∴或（II ），∴． 而，∴，． 由题意，有∴即（﹡） 解之，得经检验是方程（﹡）的根，但，∴【解析】 （1）计算△=（2k-3）2-4k （k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可； （2）有（1）可知方程的两根，再有条件x 1＞x 2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.请你解答下列问题：4．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m 时，是正比例函数，当x ＞m 时是一次函数．【小题1】只需把x 代入函数表达式，计算出y 的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．5．关于x 的方程()2204k kx k x +++=有两个不相等的实数根． ()1求实数k 的取值范围；()2是否存在实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1k >-且0k ≠；（2）不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．【解析】【分析】()1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式0V >，由此可以得到关于k 的不等式，解不等式即可求出k 的取值范围.()2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k 的等式，解出k 值，然后判断k 值是否在()1中的取值范围内.【详解】解：()1依题意得2(2)404k k k =+-⋅>V ， 1k ∴>-，又0k Q ≠，k ∴的取值范围是1k >-且0k ≠；()2解：不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，理由是：设方程()2204k kx k x +++=的两根分别为1x ，2x ， 由根与系数的关系有：1212214k x x k x x +⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，212k k +∴-=， 43k ∴=-，由()1知，1k >-，且0k ≠，43k ∴=-不符合题意， 因此不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．【点睛】本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。

一元二次方程（知识归纳+题型突破）1、理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程．2、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等．3、了解--元二次方程的根与系数的关系．4、能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性．1.一元二次方程的相关概念(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程．(2)一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，其中ax 2、bx 、c 分别叫做二次项、一次项、常数项，a 、b 、c 分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如（x +m ）2=n (n ≥0)的方程，可直接开平方求解.(2)因式分解法：可化为（ax +m ）(bx +n )=0的方程，用因式分解法求解.(3)公式法:一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式为x b 2-4ac ≥0）.(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．3.根的判别式(1)当Δ＝24b ac ->0时，原方程有两个不相等的实数根．(2)当Δ＝24b ac -=0时，原方程有两个相等的实数根．(3)当Δ＝24b ac -<0时，原方程没有实数根．4.列一元二次方程解应用题（1）解题步骤：①审题；②设未知数；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.①平均增长率（降低率）问题：公式：b ＝a (1±x )n ，a 表示基数，x 表示平均增长率（降低率），n 表示变化的次数，b 表示变化n 次后的量；②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；③传播、比赛问题：④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.题型一一元二次方程的解【例1】（2023春·浙江温州·八年级校考期中）已知关于x 的一元二次方程210ax bx ++=有一个根是x m =，则方程20x bx a ++=有一个根是（）A ．x m =B ．x m=-C ．1x m=D ．1x m=-巩固训练：1．（2023·全国·九年级专题练习）若关于x 的一元二次方程()223790m x x m -++-=的一个根为0，则m 的值为（）A ．3B ．0C ．3-D ．3-或32．（2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中）若m 是一元二次方程220x x --=的一个根，则代数式222m m -的值为（）A ．0B ．2C ．2-D ．43．（2023春·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期中）已知m 是一元二次方程2520x x --=的一个根，则代数式220235m m -+的值是（）A ．2020B ．2021C ．2022D ．20234．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=，若0a b c ++=，则此方程必有一个根为（）A ．0B ．1C ．-1D ．±15．（2023春·浙江宁波·八年级校考阶段练习）若关于x 的一元二次方程()2200ax bx a ++=≠有一根为2023x =，则一元二次方程()212a x bx b -+-=-必有一根为（）A ．2021B ．2022C ．2023D ．20246．（2023春·山东泰安·八年级统考期中）若2250x x --=的一个解为a ，则()()231a a a a -+-的值为（）A ．5B ．4CD ．5-7．（2022秋·上海静安·八年级上海市民办扬波中学校考期中）若1x =-是方程230x mx --=的一个根，则m 的值为．8．（2023·全国·九年级专题练习）（2023·山东枣庄·统考中考真题）若3x =是关于x 的方程26ax bx -=的解，则202362a b -+的值为．9．（2023春·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）关于x 的一元二次方程22(1)2230k x x k k -+--+=的一个根为0，则k =．10．（2023·四川·九年级专题练习）先化简，再求值2211121x x x x x ⎛⎫+-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x 的值是方程2230x x --=的根．题型二一元二次方程的解法【例2】（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）下面是小明同学解一元二次方程2223x x -=的过程，请认真阅读并完成相应的任务．2223x x -=．解：二次项系数化为1，得2312x x -=，第一步移项，得2312x x -=，第二步配方，得239124x x -+=，第三步变形，得2312x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，第四步开方，得312x -=±，第五步解得112x =，252x =，第六步(1)上面小明同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______；(2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程．【例3】（2023春·北京门头沟·八年级统考期末）阅读材料，并回答问题：小明在学习一元二次方程时，解方程2230x x --=的过程如下：解：∵2a =，1b =-，3c =-①∴()()2241423b ac =-=--⨯⨯-∆②124230=-=-<③∴此方程无解问题：(1)上述过程中，从步开始出现了错误（填序号）；(2)发生错误的原因是：；(3)在下面的空白处，写出正确的解答过程．【例4】（2023·全国·九年级专题练习）按要求解方程(1)21(2603y -=（直接开平方法）；(2)231220x x --=（配方法）；260x --=（公式法）(4)21(2)12x x -=-（因式分解法）(5)2(35)5(35)60x x ---+=（换元法）【例5】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）先阅读下面的内容，再解答问题．【阅读】例题：求多项式2224m mn n +++的最小值．解：()()2222224244m mn n m mn n m n +++=+++=++，∵()20m n +≥，∴()244m n ++≥∴多项式2224m mn n +++的最小值是4(1)请写出例题解答过程中把一个三项二次式转化为一个二项式的平方运用的公式是______；(2)求多项式2224230x xy y -+-+的最大值．巩固训练1．（北京市石景山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）解方程243x x -=，下列用配方法进行变形正确的是（）A ．2(2)19x -=B ．2(4)7x -=C ．2(2)4x -=D ．2(2)7x -=2．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）用配方法解一元二次方程282x x -=-时，在方程两边应同时加上（）A ．4B ．8C ．16D ．643．（2023·全国·九年级专题练习）用配方法解方程2410x x +-=，配方后得到的方程（）A ．2(2)5x +=B ．2(2)5x -=C ．2(4)3x +=D ．2(4)3x -=4．（2023春·浙江杭州·八年级统考期末）用配方法解一元二次方程2290x x --=配方后可变形为（）A ．()2110x -=B ．()2110x +=C ．()218x -=-D ．()218x +=-5．（2023春·山东威海·八年级统考期末）用配方法解方程2610x x --=，若配方后结果为2()x m n -=，则n 的值为（）A ．10-B ．10C ．3-D ．96．（2022秋·山西太原·九年级校考阶段练习）在解方程22410x x ++=时，对方程进行配方，图1是小思做的，图2是小博做的，对于两人的做法，说法正确的是（）A ．两人都正确B ．小思正确，小博不正确C ．小思不正确，小博正确D ．两人都不正确7．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）用配方法解一元二次方程289x x -=时，变形正确的是（）A ．2(4)9x -=B ．2(4)9x +=C ．2(4)25x -=D ．2(4)25x +=8．（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）若()()160x y x y ++--=，则x y +的值是（）A ．2B ．3C ．2-或3D ．2或3-9．（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）一元二次方程2830x x +-=配方后可化为．10．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）已知实数x 满足2220()(23)x x x x ----=，则代数式22020x x -+的值为．11．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）用配方法解一元二次方程：22510x x +-=12．（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）用配方法解方程：()()311x x -+=．13．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）解方程：23270x x --=14．（2022秋·天津津南·九年级校考期中）选取最恰当的方法解方程：(1)()2214x +=(2)23648x x -=15．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）用指定的方法解下列方程(1)26160x x +-=（配方法）(2)21090x x ++=（公式法）16．（2023春·辽宁大连·八年级统考期末）解方程：(1)22310x x -+=（用公式法）(2)2470x x --=（用配方法）17．（2022秋·湖北荆州·九年级校考期中）请用指定方法解下列方程：(1)公式法：2120x x +-=；(2)因式分解法：241440x -=．18．（2023春·山东威海·八年级统考期末）按指定方法解方程：(1)()()223143x x -=+；（因式分解法）(2)22330x x --=．（配方法）题型三一元二次方程根的判别式【例6】（2023春·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期中）已知关于x 的方程()()221200mx m x m +-+=≠．(1)求证：无论m 取何值，这个方程总有实数根；(2)若等腰ABC 的底边长1a =，另两边b 、c 恰好是这个方程的两个根，求ABC 的周长．巩固训练1．（2023·吉林·统考中考真题）一元二次方程2520x x -+=根的判别式的值是（）A ．33B ．23C ．17D2．（2023春·北京昌平·八年级统考期末）下列方程中有两个不相等的实数根的方程是（）A ．2440x x -+=B ．2510x x --=C ．2230x x -+=D ．2220x x -+=3．（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）关于x 的方程()220x m x m +++=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定4．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）下列二次三项式在实数范围内一定能因式分解的是（）A ．223x x ++B ．222x x m --C ．22x x m--D ．22345x xy y -+5．（2022秋·山西临汾·九年级统考期末）关于x 的方程2320ax x +-=有实数根，则a 的取值范围是（）A ．98≥-a B ．98≥-a 且0a ≠C ．98a >-D ．98a >-且0a ≠6．（2022秋·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考阶段练习）方程()21210m x x ---=有两个实数根，则m 的取值范围（）A ．34m -≤≤且12m ≠B ．4m ≤且12m ≠C ．34m -≤<D ．34m -≤<且12m ≠7．（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）已知()1a a >是关于x 的方程20x bx b a -+-=的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当1a t =＋时，一定有1b t =-；③b 是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④8．（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）对于实数a ，b ，定义新运算：2a b ab b =-※，若关于x 的方程1x k =※有两个相等的实数根，则k 的值是（）A ．4B ．4-C ．14D ．14-9．（湖北省荆州市2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）对于实数u 、v 定义一种运算“*”为：*u v uv v =+．若关于x 的方程1*(*)4x a x =-有两个相等的实数根，求满足条件的实数a 的值为．10．（2023·贵州·统考中考真题）若一元二次方程2310kx x -+=有两个相等的实数根，则k 的值是．11．（北京市石景山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）已知关于x 的一元二次方程22210x kx k +-=-．(1)请判断这个方程根的情况；(2)若该方程有一个根小于1，求k 的取值范围．12．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）已知关于x 的方程()()212110k x k x k +--+-=(1)当k 取什么值时，方程只有一个根？(2)若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．题型四一元二次方程的实际应用【例7】（北京市石景山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）某工厂由于采用新技术，生产量逐月增加，原来月产量为2000件，两个月后增至月产量为3000件．若设月平均增长率为x ，则下列所列的方程正确的是（）A ．2000(1)3000x +=B ．22000(1)3000x +=C ．22000(1%)3000x +=D ．20002000(1)3000x ++=【例8】（2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是72，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（）A ．9B ．8C ．7D ．6【例9】（2023春·八年级单元测试）如图，在Rt ABC 中，90B Ð=°，8AB =cm ，6BC =cm ，动点P 由点A 出发沿AB 方向向点B 匀速移动，速度为1cm/s ，动点Q 由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速移动，速度为2cm/s ．动点P ，Q 同时从A ，B 两点出发，当PBQ 的面积为152cm 时，动点P ，Q 的运动时间为s ．【例10】（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）为助力攻坚脱贫，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，已知其3月份的销售量达到400包，若农产品礼包每包的进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？巩固训练1．（2023·全国·九年级专题练习）广东春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共25人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x 人，则可列方程（）A ．2125x x ++=B ．225x x +=C ．()2125x +=D ．()125x x x ++=2．（2022秋·陕西咸阳·九年级统考期中）有一人感染了某种病毒，若不及时控制就会传染其他人，假设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，经过两轮传染后共有64人感染，则x 的值是（）A ．8B ．7C ．6D ．53．（重庆市开州区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份盈利达到3456元，若设2月到4月每月盈利的平均增长率为x ，则可列方程为（）A ．22400(1)3456x +=B ．22400(1)3456x -=C ．()2400123456x +=D ．()2400123456x -=4．（2023春·河北沧州·九年级校考阶段练习）国家卫健委临床检验中心数据，因疫情防控需求，全国新冠病毒核酸检测实验室数量从2020年的2081家，增长至2022年的1.31万家，如果这两年核酸检测实验室的年平均增长率为x ，则下列方程正确的是（）A ．342.08110(1) 1.3110x ⨯+=⨯B ．3242.08110(1) 1.3110x ⨯+=⨯C ．2081(12)13100x ⨯+=D ．22081(12)13100x ⨯+=5．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为100m ，宽为50m 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是23600m ，则小路的宽是（）A ．5mB ．70mC ．5m 或70mD ．10m6．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在一张长宽分别为50cm 和30cm 的长方形纸板上剪去四个边长为cm x 的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为2300cm ，求x 的值，根据题意，可列得的方程为（）A ．()()5030300x x --=B ．()()502302300x x --=C ．()()50230300x x --=D ．215004300x -=7．（2023·江苏无锡·统考中考真题）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是尺．8．（2023秋·江西萍乡·九年级统考期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客尽可能多得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，则该商品的销售定价为元．9．（2023春·八年级单元测试）在ABC 中，90ABC ∠=︒，4cm AB =，3cm BC =，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时开始移动（移动方向如图所示），点P 的速度为1cm/s 2，点Q 的速度为1cm/s ，点Q 移动到点C 后停止，点P 也随之停止移动，若使PBQ 的面积为2154cm ，则点P 运动的时间是s ．10．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，90AOB ∠=︒，36cm =OA ，12cm OB =，一个小球从点A 出发沿着AO 方向滚向点O ，另一小球立即从点B 出发，沿BC 匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球．若两个小球滚动的速度相等，则另一个小球滚动的路程BC 是cm ．11．（2023春·重庆渝北·八年级礼嘉中学校考期末）今年春季是甲流病毒的高发期．为了遏制甲流病毒的传播，建议市民朋友们在公共场合要佩戴口罩，现在，有一个人患了甲流，经过两轮传染后共有81个人患了甲流．(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)某药房最近售出了100盒口罩．已知售出的95N 医用口罩的数量不超过普通医用口罩的4倍，每盒95N 医用口罩的单价为15元，每盒普通医用口罩的价格为10元，则售出95N 医用口罩和普通医用各多少盒时，总销售额最多？请说明理由．12．（2023·广东阳江·统考一模）自2023年1月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某一小区有1位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有121人患了甲流．(1)每轮感染中平均一个人传染几人？(2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过1500人患了甲流？13．（2023春·安徽安庆·八年级安庆市石化第一中学校考期末）我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．(1)求二、三这两个月的月平均增长率；(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？14．（北京市石景山区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）如图，矩形草地ABCD 中，16AB =m ，10AD =m ，点O 为边AB 中点，草地内铺了一条长和宽分别相等直角折线甬路（PO PQ =，OM QN =），若草地总面积（两部分阴影之和）为2132m ，求甬路的宽．15．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）如图，正方形ABCD 分割成两个小正方形和两个长方形．(1)若正方形ABCD 边长为10，正方形BFPE 的面积是正方形PGDH 的一半，求正方形BFPE 的边BF 的长．(2)若正方形ABCD 面积为10，设BF x =，四边形APGD 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．(3)四边形APGD 的面积是否能够等于正方形ABCD 面积的一半，如果能，请求出BF 长，如果不能请说明理由．16．（2023春·江苏南通·八年级统考期末）某学校在“美化校园，幸福学习”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用20m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB ，AD 两边）．75m，求AB的长；(2)若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且到墙CD的距离为12m，若要将这棵树围在矩形花园内（含边100m若能，求出AB的长；若不能，请说明理由．界，不考虑树的粗细），问该花园的面积能否为217．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为6402m的羊圈？(2)羊圈的面积能达到6502m吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．18．（2022秋·山西晋城·九年级统考期末）某公园中有一块长为32米，宽为20米的矩形花坛，现在要在花坛中间修建一条如图所示的文化长廊，已知长廊的宽度均相等，且横纵相交成直角，若要使花坛的种植面积为540平方米，问长廊的宽度应为多少米？19．（辽宁省辽阳市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）今年元旦期间，某网络经销商进购了一批节日彩灯，彩灯的进价为每条40元，当销售单价定为52元时，每天可售出180条，为了扩大销售，决定采取适当的降价措施，经调查：销售单价每降低1元，则每天可多售出10条．若设这批节日彩灯的销售单价为x(元)，每天的销售量为y(条)．(1)求每天的销售量y(条)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)当销售单价为多少元时，销售这批节日彩灯每天所获得的利润为2000元？20．（2023春·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校联考期中）某水果店以相同的进价购进两批樱桃，第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960元．(1)求樱桃的进价是每千克多少元？(2)该水果店一相同的进价购进第三批樱桃若干，第一天将樱桃涨价到每千克20元出售，结果仅售出40千克；为了尽快售完第三批樱桃，第二天店主决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售价基础上每降价1元，第二天的销售量就在第一天的基础上增加10千克．到第二天晚上关店时樱桃售完，店主销售第三批樱桃获得的利润为850元，求第二天樱桃的售价是每千克多少元？21．（2023春·安徽阜阳·八年级统考期末）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）类别价格A款钥匙扣B款钥匙扣进货价（元／件）3025销售价（元／件）4537(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数？(2)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？22．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）第19届亚运会即将在杭州举行，某商店购进一批亚运会纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元，如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件．(1)若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润；(2)要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？23．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）服装店购进一批甲、乙两种款型的时尚T恤衫，甲种款型共用了10400元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的2倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元.(1)甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？(2)该服装店第一个月甲种款型的T恤衫以200元/件的价格售出20件、乙种款型的T恤衫以250元/件的价格售出10件；为了促销，第二个月决定对甲、乙两种款式的T恤衫都进行降价a元销售，其中甲种款型的T恤衫的销售量增加4a件、乙种款型的T恤衫的销售增加a件，结果第二个月的销售总额比第一个月的销售总额增加了1000a元，求第二个月的销售利润．24．（2022秋·陕西咸阳·九年级统考期中）今年某村农产品喜获丰收，该村村委会在网上直播销售A、B两种优质农产品礼包．(1)已知今年7月份销售A 种农产品礼包256包，8、9月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，9月份的销售量达到400包．若设8、9两个月销售量的月平均增长率为x ，求x 的值；(2)若B 种农产品礼包每包成本价为16元，当售价为每包30元时，每月销量为200包．为了尽快减少库存，该村准备在10月进行降价促销，经调查发现，若B 种农产品礼包每包每降价1元，月销售量可增加20包，当B 种农产品礼包每包降价多少元时，该村销售B 种农产品礼包在10月份可获利2860元?25．（2023春·山东济南·八年级统考期末）如图，在ABC 中，90B Ð=°，6cm AB =，8cm BC =点P 从A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动．点P ，Q 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动，设运动时间为t 秒．(1)填空：BQ =______cm ，PB =______cm ；(用含t 的代数式表示)；(2)当t为几秒时，PQ 的长度等于(3)是否存在某一时刻t ，使四边形APQC 的面积等于ABC 面积的23？如果存在，求出t 的值，如果不存在，请说明理由．26．（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6cm AC =，8cm BC =．点P 、Q 同时由A 、C 两点出发，分别以1cm 和2cm s 的速度沿线段AC 、CB 匀速移动，当一点到达终点时，另一点也停止移动．(1)设经过t 秒，用含t 的代数式表示PC 、CQ ．PC =______、CQ =______．(2)几秒后，PCQ △的面积是ABC 面积的1327．（2020秋·广东惠州·九年级惠州一中校考阶段练习）如图，在长方形ABCD 中，10cm AB =，12cm BC =，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以2cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以3cm/s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．(1)填空：BQ =______cm ，PB =______cm （用含t 的代数式表示）(2)当t 为何值时，PQ 的长度等于10cm ？(3)是否存在t ，使得五边形APQCD 的面积等于278cm ？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．28．（2022春·广西梧州·八年级校考期中）如图，在ABC ∆中，90B Ð=°，6cm AB =，8cm BC =点P 从A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动．点P ，Q 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动，设运动时间为t 秒．(1)填空：BQ =___________cm ，PB =___________cm ；（用含t 的代数式表示）(2)当t 为几秒时，PQ 的长度等于8cm ？(3)是否存在某一时刻t ，使四边形APQC 的面积等于ABC 面积的23？如果存在，求出t 的值，如果不存在，请说明理由，29．（2023春·江苏泰州·八年级统考期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多25%；（2）原计划每天修建的长度比实际少75米．在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答．30．（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务．(1)求甲工程队每小时修的路面长度；(2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，m )小时；甲工程队的修路速度比原计划每乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了(25小时下降了3m米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值．31．（重庆市开州区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱．(1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的1.2倍，张大伯走5分钟，李大伯走10分钟，共走800米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？(2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了2a米，时间都各自多走了10a分钟，结果两人又共走了6900米，求a的值．。

一元二次方程 同步训练21.1 一元二次方程(1) 一元二次方程的概念一、学习要求：通过学习感受现实生活和学习环境中方程知识的实际意义、体会建模思想，接受和理解一元二次方程及相关概念，通过交流、辨析，能将方程化为一般形式，认识二次项系数、一次项系数、常数项等概念，并注意系数的符号．二、同步训练： (一)填空题：1．一元二次方程5x 2＝3x ＋2的一般形式是____________，它的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______．2．已知方程(m ＋1)x 2－2mx ＝1是一元二次方程，那么m ≠______．3．当m ______时，方程223213x x mx =--不是关于x 的一元二次方程． 4．已知：方程(m 2－4)x 2－6(m －2)x ＋3m －4＝0，当m ______时，它是一元二次方程，当m ______时，它是一元一次方程．(二)选择题：5．把方程(2x ＋1)(3x ＋1)＝x 化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是( ) (A)4，1 (B)6，1 (C)5，1 (D)1，6 6．下列方程中，一元二次方程是( )(A)2x 4－5x 2＝0(B)(2x 2＋7)2－3＝0 (C)012=+xx(D)0312142=++-x x 7．把方程(2x －1)(3x ＋2)＝x 2＋2化成一般形式后，二次项系数和常数项分别是( )(A)5，－4 (B)5，1 (C)5，4 (D)1，－4 (三)解答题：8．根据题意，列出方程：(1)一个三角形的底比高多2cm ，三角形面积是30cm 2，求这个三角形的底和高．(2)两个连续正整数的平方和是313，求这两个正整数．(3)已知两个数的和为6，积为7，求这两个数．9. 已知关于x 的一元二次方程3(x －k )2＋4k －5＝0的常数项等于1，则所得关于k 的一元二次方程的一般形式是什么?21.1 一元二次方程(2) 一元二次方程的进一步理解一、学习要求：进一步理解一元二次方程的概念，灵活掌握二次项系数、一次项系数、常数项，体会一元二次方程与现实生活的关系．二、同步训练： (一)填空题：1．方程(x ＋1)(x ＋2)＝3化为一般形式是____________． 2．两个连续奇数的积是255，求这两个数，若设较小奇数为x ，则根据题意，可得方程为____________．3．一个矩形的长比宽多2cm ，面积为30cm 2，求这个矩形的长与宽，设矩形的长为x cm ，列出方程为____________．(二)选择题：4．下列各方程中，一定是关于x 的一元二次方程的是( ) (A)mx 2＋8x ＝6x (x －1)－2 (B)ax 2＋bx ＋c ＝0(C)(m 2＋1)x 2－5x ＋3＝0(D)x1＋5x ＋8＝0 5．下列各方程中，一定是关于x 的一元二次方程的个数是( )①1232=-x x ；②mx 2＋nx －4＝0；③11-=-x x x ；④x 2－x 2(1＋x 2)－2＝0 (A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个6．长50cm ，宽30cm 的矩形薄铁片，在四个角截去四个大小相同的正方形，做成底面积为1200cm 2的无盖长方体盒子．设截去的小正方形边长为x cm ，列出的正确方程是( )(A)(50－2x )(30－2x )＝1200 (B)(50－x )(30－x )＝1200 (C)(50－2x )(30－x )＝1200 (D)50 ×30－4x 2＝1200 (三)解答题：7．根据下列问题，列出方程(不必求解)．学校有一块长方形空地，长42米，宽30米，准备在中间开辟花圃，四周修建等宽的林荫小道，使小道的面积和花圃面积相等，求小道的宽．8. 根据方程：(50＋x )(40＋x )＝3000，你能结合身边的实际，编一个应用问题吗?试试看．21.1 一元二次方程(3) 直接开平方解一元二次方程一、学习要求：在进一步理解一元二次方程的有关概念的基础上，结合平方根的意义，初步体会利用开平方可以将一些一元二次方程降次转化为一元一次方程．二、同步训练： (一)填空题：1．x (x ＋2)＝5(x ＋2)的一般形式是_______，其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______．2．若x ＝2满足方程x 2－12x －m ＝0，则m ＝______． 3．形如方程x 2＝a (a ≥0)的解是______．4．形如方程(x ＋m )2＝n (n ≥0)的解是______． (二)选择题：5．方程(x ＋2)2＝9的解为( ) (A)x 1＝9，x 2＝－9 (B)x 1＝9，x 2＝0 (C)x 1＝－9，x 2＝0 (D)x 1＝1，x 2＝－56．方程(x ＋3)2－9＝0的解的情况为( ) (A)x 1＝3，x 2＝－3 (B)x 1＝0，x 2＝－6 (C)x 1＝9，x 2＝－6 (D)x 1＝6，x 2＝07．方程4x 2－1＝0的根的情况是( )(A)x ＝±2(B)0,2121=-=x x (C)21±=x (D)无实根(三)解答题： 8．解下列方程： (1)x 2＝169； (2)5x 2＝125； (3)(x ＋3)2＝16；(4)(6x －7)2－128＝0．9. 若等式24x a ·(a 1－2x)4＝a 9成立，求x 的值．21.2 降次——解一元二次方程21.2.1 配方法一、学习要求：在掌握了利用求平方根的方法解一元二次方程以后，结合完全平方的特征，体会转化思想：即配方转化降次求解一元二次方程．理解配方法的要领，掌握配方法的基本步骤．二、同步训练： (一)填空题： 1．根据公式a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2，填充下列各式：(A)x 2＋8x ＋______＝(x ＋______)2 (B)x 2－2x ＋______＝(x －______)2 (C)x 2＋x ＋______＝(x ＋______)2 (D)x 2－x ＋______＝(x －______)2 (二)选择题：2．用配方法解方程x 2－3x －1＝0时，以下解法中的配方过程正确的是( ) (A)x 2－3x －1＝0 (B)x 2－3x －1＝0 (C)x 2－3x －1＝0 (D)x 2－3x －1＝0x 2－3x ＋9＝9＋1 x 2－3x ＋9＝1 1494932+=+-x x1232332+=+-x x(x －3)2＝10 (x －3)2＝1 413)23(2=-x 25)23(2=-x (三)解答题：3．用配方法解下列方程： (1)x 2－6x ＋4＝0； (2)x 2＋5x －6＝0； (3)x 2＋6x ＋8＝0；(4)x 2＋4x －12＝0； (5)(2x －3)2－3＝0； (6)x 2＋2mx －n 2＝0．4. 求证：不论a 、b 取何实数，多项式a 2b 2＋b 2－6ab －4b ＋14的值都不小于1．21.2.2 公式法(1)一、学习要求：在理解了配方法的基本思想和配方过程的基础之上，通过对一般形式的一元二次方程进行配方，从而导出求根公式，对求根公式要在理解的基础上记住它，并能利用它求解一元二次方程．二、同步训练： (一)填空题： 1．一元二次方程4x (x ＋3)＝5(x －1)＋2的一般形式是______，其中a ＝______，b ＝______，c ＝______．2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的判别式为______． 3．已知关于x 的一元二次方程s －r ＝sx 2－rx ＋sx －rx 2＋t (s －r ≠0)的一般形式是______，其中a ＝______，b ＝______，c ＝_______．(二)选择题：4．已知一元二次方程x 2－2x －m ＝0，用配方法解该方程，配方后的方程是( ) (A)(x －1)2＝m 2＋1 (B)(x －1)2＝m －1 (C)(x －1)2＝1－m (D)(x －1)2＝m ＋1 5．方程x 2＝x ＋1的解是( )(A)1+=x x(B)251±=x (C)1+±=x x(D)251±-=x 6．方程x 2－6x －3＝0的解的情况为( ) (A)有两个相等的实数根 (B)有两个不等的实数根 (C)有一个实数根 (D)没有实数根 7. 在方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个根中，有一个根为0，另一个根不为0，那么m ，n 应满足( ) (A)m ＝0，n ＝0 (B)m ≠0，n ≠0 (C)m ≠0，n ＝0 (D)m ＝0，n ≠0 (三)解答题：8．用公式法解方程： (1)2x 2＋2x ＝1； (2)5x ＋2＝3x 2； (3)x (x ＋8)＝16； (4)(2y ＋1)(3y －2)＝3．21.2.2 公式法(2)一、学习要求：在理解配方法和掌握求根公式之后，应能准确认识公式中的a ，b ，c ．结合实际应用它．应用公式法求解一元二次方程．要养成认真踏实的学习习惯，提高运算的正确率．二、同步训练： (一)填空题：1．方程x 2＋x －3＝0的两根是____________． 2．方程x (x ＋1)＝2的根为____________．3．两个连续奇数之积是143，设其中较小的奇数为y ＋1，则可得关于y 的一元二次方程的一般形式是________________________．(二)选择题：4．已知px 2－3x ＋p 2－p ＝0是关于x 的一元二次方程，则( )(A)p ＝1 (B)p ＞0 (C)p ≠0 (D)p 为任意实数5．已知x 2－3x ＋1＝0，则xx 1的值为( ) (A)3(B)－3 (C)23(D)16．下列方程中，两实根之和等于零的是( ) (A)9x 2＋4＝0 (B)(2x ＋3)2＝0 (C)(x －1)2＝4 (D)5x 2＝6 (三)解答题： 7．解下列方程： (1)x 2＋3x －4＝0； (2)x 2－x －1＝0； (3)－2x 2＝5x －3； (4)3x 2＋2x ＝4．8. 一根长36cm 的铁丝剪成相等的两段，一段弯成矩形，另一段弯成有一边长为5cm 的等腰三角形．如果弯成的矩形和等腰三角形的面积相等，求矩形的长与宽．21.2.3 因式分解法(1)一、学习要求：在理解了利用求平方根的思想来达到降次求解一元二次的方程之后，因式分解又是一种转化的思想，来实现将一元二次方程降次为一元一次方程求解．二、同步训练：(一)填空题：1．当x＝3时，(x－3)(x＋3)的值为____________．2．方程x(x－3)＝0的根为______________．3．方程x2＝x的右边化为零后变为________，左边分解因式后化为______，原方程的解为______(二)选择题：4．关于x的方程(m2－m)x2＋mx＋n＝0是一元二次方程的条件是( )(A)m≠0(B)m≠1(C)m≠0或m≠1(D)m≠0且m≠15．方程x2＝2x的解是( )(A)x＝0 (B)x＝2 (C)x＝0或x＝2 (D)x＝±26．方程(x－3)2＝3－x的解是( )(A)x＝3 (B)x＝2或x＝3 (C)x＝2 (D)x＝4(三)解答题：7．用因式分解法解方程：(1)(x－1)(x－2)＝0；(2)x2－3x＝0；(3)x2－4x＋4＝0；(4)x2－5x＋4＝0．8. 若等腰三角形的两边长分别是方程x2－9x＋14＝0的两根．那么这个等腰三角形的周长是多少?21.2.3 因式分解法(2)一、学习要求：进一步体会利用因式分解法降次的基本思想，掌握因式分解法求解一元二次方程．二、同步训练：(一)填空题：1．分解因式：2x2＋5x－3＝____________．2．用因式分解法解方程x2－5x＝6，得方程的根为____________．3．方程2(x＋3)2－5(x＋3)＝0的解为______．最简便的解法是____________．4．若代数式x2＋6x的值为零，则x的值为______．(二)选择题：5．已知(x＋y)(x＋y＋2)＝15，则x＋y的值为( )(A)3或5 (B)3或－5 (C)－3或5 (D)－3或－56．下列方程：①x2－5x－6＝0；②x2－6x－5＝0；③x2＋5x＋6＝0；④x2＋6x＋5＝0．适宜用因式分解求解的是( )(A)①、②、③、④(B)①、③、④(C)①、②、③(D)②、③、④(三)解答题：7．解下列方程：(1)9(x－3)2＝25；(2)6x2－x＝1；(3)x2＋4x－96＝0；(4)x(x－1)＝2；(5)4(2x－1)2＝9(x－2)2；(6)(2x－3)2－2(3－2x)＝8．8. 当k是什么整数时，方程(k2－1)x2－6(3k－1)x＋72＝0只有正整数根?21.2 解一元二次方程综合一、学习要求：在掌握了配方法、公式法及因式分解法求解一次二次方程之后，同学们应注意灵活地应用这些知识．二、同步训练： (一)填空题：1．方程0)75.0)(5.0()43(2=--+-x x x 的较小根是____________．2．已知单项式xxb a 3222-与4221b a -是同类项，则x 的值是__________． 3．++x x 222______＝(x ＋______)2． 4．4x 2－______＋9＝(______－3)2． (二)选择题：5．方程x (x 2＋1)＝0的实数根的个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)36．下列方程中，两根分别为－1＋3和－1－3的是( ) (A)0)31)(31(=--++x x(B)0)31)(31(=+--+x x(C)0)31)(31(=--+-x x (D)0)31)(31(=++-+x x (三)解答题： 7．解下列方程 (1)x 2－6x ＋4＝0； (2)x 2－22x －3＝0； (3)2y (y ＋2)＝(y ＋2)；(4)(2x －1)2－4＝0； (5)3y 2＋1＝23y ； (6)(2x －1)(x －2)＝－1．8. 小明养了一群鸽子，小亮问小明养了几只鸽子，小明说：“如果你给我一只鸽子，那么鸽子总数的平方是鸽子总数的9倍．”你知道小明现在有几只鸽子吗?阅读与思考——一元二次方程的近似解与连分数学习要求：将一些具体值代入所要解的一元二次方程，大致估计出一元二次方程解的范围，再在这个范围内逐步加细赋值，逐步估计出一元二次方程的近似解．这就是求一元二次方程近似解的基本要领．下面介绍另外一种估计一元二次方程近似解的方法．方程：x 2－3x －1＝0，因为x ≠0，所以先将其变形为x ＝x 13+，用x 13+代替x ，得xxx 131313++=+=反复若干次用x 13+代替x ，就得到xx +++++++=31313133313形如上式右边的式子称为连分数．可以猜想，随着替代次数的不断增加，右式最后的x1对整个式子的值的影响将越来越小，因此可以根据需要，在适当的时候把x 1忽略不计，例如，当忽略x ＝x13+中的x 1时，就得到x ＝3，当忽略xx 1313++=的x 1时，就得到313+=x ；如此等等．于是就可以得到一系列分数：,,3131313,31313,313,3 ++++++即：.30303.333109,3.31033,333.3310,3 ===可以发现它们越来越趋于方程x 2－3x －1＝0的正根．同学们不妨利用此方法求一求方程x 2－5x －1＝0的近似解．21.3 实际问题与一元二次方程(1)一、学习要求：在学习一元二次方程的解法的过程中，同学们应注意与实际问题相联系，逐步培养用方程的思想与知识解决实际问题的能力，培养学数学用数学的意识．二、同步训练：(一)填空题：1．某公司10月份产值为a 万元，比5月份增长20％，则5月份产值为____________．2．一个六位数，低位上的三个数字组成的三位数是a ，高位上的三个数字组成的三位数是b ，现将a ，b 互换，则得到的六位数是____________3．一项工程，甲班干完需m 天，乙班干完需(m ＋2)天，甲、乙两班合干，完成工程需___________天.(二)选择题：4．甲走20天的路程乙走30天，已知乙每天走15千米，问甲每天走多少千米?在下列几种设未知数的写法中，正确的是( )(A)设甲每天走x (B)设甲速为x 千米 (C)设甲走x 千米 (D)设甲每天走x 千米5．一件工作，甲独做4天完成，乙独做6天完成，则二人合做( )天完成．(A)6 (B)5 (C)512 (D)2(三)解答题：6．列方程解应用题：(1)两个数的差为4，它们的积为45，求这两个数．(2)一个直角三角形的三条边的长是三个连续的整数，求三条边的长．(3)某林场第一年造林200亩，第一年到第三年共造林728亩，求后两年造林面积的平均增长率．7. 我国古代数学家杨辉所著的《田亩比类乘除捷法》中有这样一题：直田积(矩形面积)八百六十四步(平方前)，只云长阔(长与宽)共六十步，问阔及长各几步?21.3 实际问题与一元二次方程(2)一、学习要求：进一步运用方程解决实际问题，逐步培养逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．二、同步训练：(一)填空题：1．某公司今年的年产值是1000万元，若以后每年的平均增长率为10％，则两年后该公司的年产值是______万元．2．制造某种产品，原来每件的成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是每件81元，则平均每次降低成本的百分率是______．3．一块长方形硬纸片，在它的四个角上截去四个小正方形，折成一个没有盖子的长方体盒子，已知纸片的长为40cm，宽为32cm，要使盒子的底面积为768cm2，则截去的小正方形边长应为______cm．(三)解答题：4．有一个两位数恰等于其个位与十位上的两个数字乘积的3倍，已知十位上的数字比个位上的数字小2，求这个两位数．5．某电冰箱厂今年每个月的产量都比上个月增长同样的百分数．已知该厂今年4月份的电冰箱产量为5万台，6月份比5月份多生产了12000台，求该厂今年产量的月增长率．6．某养鸡场的矩形鸡舍一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，现有材料可制作竹篱笆13m，若欲围成20m2的鸡舍，鸡舍的长、宽应各是多少?7. 第6题中，利用13m的竹篱笆，能围成21m2的鸡舍吗?能围成22m2的鸡舍吗?若能围成，求出鸡舍的长和宽，若不能围成，说明理由．21.3 实际问题与一元二次方程(3)一、学习要求：通过应用一元二次方程解决一些实际问题，进一步体会学数学用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力．二、同步训练：(二)选择题：1．已知两个连续奇数的积为63，求这两个数．设其中一个数为x ，甲、乙、丙三同学分别列出方程 ①x (x ＋2)＝63 ②x (x －2)＝63 ③(x －1)(x ＋1)＝63其中正确的是( )(A)只有① (B)只有② (C)只有①② (D)①②③都正确2．某机床厂今年一月份生产机床500台，三月份生产机床720台，求二，三月份平均每月的增长率，设平均每月增长的百分率为x ，则列出方程正确的是( )(A)500＋500x ＝720 (B)500(1＋x )2＝720 (C)500＋500x 2＝720 (D)(500＋x )2＝7203．生物兴趣小组的同学，将自己采集到的标本向本组其他组员各赠送一件，全组共互赠了182件，全组共有多少名同学?设全组有x 名同学，则根据题意列出的方程是( )(A)x (x ＋1)＝182 (B)x (x －1)＝182 (C)x 21(x ＋1)＝182 (D)x 21(x －1)＝182 4．某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值175亿元，问二月、三月平均每月的增长率是多少．设每月的平均增长率为x ，根据题意列方程为( )(A)50(1＋x )2＝175 (B)50＋50(1＋x )2＝175(C)50(1＋x )＋50(1＋x )2＝175 (D)50＋50(1＋x )＋50(1＋x )2＝175(三)解答题：5．为响应国家“退耕还林”的号召，改变某省水土流失严重的现状，2004年某省退耕还林1600公顷，到2006年全年退耕还林1936公顷，问这两年平均每年退耕还林的增长率是多少?6．某人用1000元人民币购买一年期的甲种债券，到期后兑换人民币并将所得利息购买一年期的乙种债券，若乙种债券的年利率比甲种债券的年利率高2个百分点，到期后，此人将乙种债券兑换人民币共得本息和112元，求甲种债券的年利率．7. 在长为a 的线段AB 上有一点C ，且AC 是AB 和BC 的比例中项，试求线段AC 的长．*21.4 观察与猜想——一元二次方程根与系数的关系一、学习要求：一元二次方程根与系数的关系作为观察与猜想提供给同学们，同学们还是应认真研究，交流体会，它能更深入地认识和理解一元二次方程．学有余力的同学还可以学习它在其它方面的应用．二、同步训练：(一)填空题：1．如果x 1，x 2是方程2x 2＋4x －1＝0的两根，那么x 1＋x 2＝______，x 1·x 2＝______．2．若α，β是一元二次方程x 2－3x －2＝0的两个实数根，则11αβ+=______． 3．若α，β是方程x 2－3x ＝5的两根，则α2＋β2－αβ的值是______4．若x 1，x 2是方程2x 2＋ax －c ＝0的两个根，则x 1＋x 2－2x 1x 2等于______(结果用a ，c 表示)．(二)选择题：5．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是零的条件是( )(A)b 2－4ac ＝0 (B)b ＝0 (C)c ＝0 (D)c ≠06．若α，β是方程2x 2＋3x －4＝0的两根，则＋＋的值是( )(A)－7 (B)213- (C)21- (D)77．已知一元二次方程5x 2＋kx －6＝0的一个根是2，则方程的另一个根为( ) (A)53 (B)53- (C)－3 (D)38．已知一元二次方程2x 2－3x ＋3＝0，下列说法中正确的是( )(A)两个实数根的和为23-(B)两个实数根的和为23 (C)两个实数根的积为23 (D)以上说法都不正确 (三)解答题：9．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两个根，利用根与系数的关系计算下列各式的值： (1);221221x x x x +(2)(x 1－x 2)2．10．若关于x 的方程2x 2＋(k ＋1)x ＋k ＋2＝0的一个根是2，求它的另一个根．11. 已知关于x 的方程x 2－2(m －2)x ＋m 2＝0．问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于56．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．一元二次方程 数学活动数学活动(1)一、学习要求：通过合作、交流、归纳与探索，挖掘一元二次方程两根与一些二次三项式的分解因式之间的内在联系，认识二次三项式的因式分解，并进一步理解一元二次方程的根．二、做一做：我们已经学过一些特殊的二次三项式的因式分解，如3x 2－2x ＝x (3x －2)，x 2－9＝(x ＋3)(x －3)，x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2但对于一般的二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，你能把它分解因式吗?x 1，x 2，则二次三项式分解因式为ax 2＋bx ＋c ＝_________________________．你能说说其中的道理吗?根据你们得到的结论，试一试将下列因式分解．(1)x 2＋20x －69； (2)24x 2－2x －35； (3)x 2－x －1； (4)2x 2－6x ＋3．数学活动(2)一、学习要求：通过合作、交流利用方程的知识解决一些实际问题，体会建立数学模型、学数学用数学的意识，提高学习基本素养．二、同步训练：1．如果与水平面成45°角向斜上方投掷标枪，那么标枪飞行的水平距离S (单位：m)与标枪出手的速度v (单位：m/s)之间大致有如下关系：28.92+=v S ．某同学按这种要求投掷标枪，标枪飞行的水平距离为42m ，求标枪出手时的速度(结果精确到0.1m/s)．2．某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么商场平均每天可多售出2件．商场若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元?3．小明将勤工俭学挣得的500元钱按一年定期存入银行，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的450元连同应得税后利息又全部按一年定期存入银行．如果存款的年利率保持不变，且到期后可得税后本息约461元，那么这种存款的年利率大约是多少?(利息税为利息的20％，结果精确到0.01％)．数学活动(3)一、学习要求：通过合作、交流、实践与探索，初步学习把现实世界的问题化为纯数学的问题，即建立数学模型，培养创新精神与实践能力．二、课题：洗衣服的数学问题．现在衣物已打好了肥皂，揉搓得很充分了，再拧一拧，当然不可能完全把水拧干，设衣服上还残留含有污物的水1斤，用20斤清水来漂洗，怎样才能漂得更干净?(1)如果把衣服一下放到20斤清水里，那么连同衣服上那1斤水，一共21斤水，污物均匀分布在这21斤水里，拧干后，衣服上还有1斤水，所以污物残存量是原来的 211如何洗，效果更佳呢?(2)如果衣服上残存水量是1.5斤或2斤，洗衣用水量是37斤，那么又该怎么洗法?第二十一章 一元二次方程 小结一、学习要求：通过复习，全面认识和理解一元二次方程的有关概念，掌握用公式法、因式分解法求解一元二次方程．理解配方法原理及这一思想的含意，会用方程的思想解决一些实际问题，认识根与系数之间的关系．二、同步训练：(一)填空题：1．方程(2x －1)(3x ＋2)＝x 2＋2化为一般形式后，a ＝______，b ＝______，c ＝______．2．y 2－4y ＋______＝(y －______)2．3．+-x x 252______＝(x －______)2． 4．如果关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1＝1，x 2＝3，那么这个一元二次方程是______．5．等腰△ABC 两边的长分别是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个解，则这个等腰三角形的周长是______．(二)选择题：6．①,542=-x ②xy ＝1，③2122=+x x；④0312=x ，以上方程中，是一元二次方程的有( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个7．x 2－3＝3x 化为一般式后，a ，b ，c 的值分别为( )(A)0，－3，－3 (B)1，－3，3 (C)1，3，－3 (D)1，－3，－38．解方程3x 2＋27＝0得( )(A)x ＝±3 (B)x ＝3 (C)x ＝－3 (D)无实根9．方程0)21()21(2=--+x x 的解是( ) (A)332,021-==x x (B)223,121-==x x (C)322,021-==x x(D)x 1＝0，x 2＝110．下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是( ) (A)若x 2－8＝0，则22=x (B)方程x (2x －1)＝2x －1的解为x ＝1(C)若方程x 2＋2x ＋k ＝0有一个根是－3，则k ＝－3 (D)若分式1232-+-x x x 的值等于零，则x ＝1或2 (三)解答题：11．用适当的方法解下列方程： (1);17.052=+x (2)4x 2＋3x ＝0； (3)x 2－25x ＋144＝0；(4)(3y －2)2－5(3y －2)＝14； (5)x 2－6x ＋6＝0；(6)(x ＋6)(x －7)＝14．12．一个两位数的两个数字之和为9，把个位数与十位数字互换后所得的新数乘以原数，积为1458，求这个两位数．13．有一个两位数等于其各位数字之和的4倍，其中十位数字比个位数字小2，求此两位数．14．已知关于x 的方程x 2－bx －a ＝0有两等根，且一次函数y＝ax ＋b 的图像如图所示，又a 、b 满足5||2=--b a b ，求a 2＋b 2的值．15．爱华中学从2003年到2006年四年内师生共植树2008棵，已知该校2003年植树353棵，2004年植树500棵，如果2005年和2006年植树棵数的年增长率相同，那么该校2006年植树多少棵?一元二次方程 全章测试一、填空题(每题6分，满分36分)1．一元二次方程的一般形式是________________，当一次项系数为零时，其形式为________________．2．方程2x 2＝9的二次项系数是________________，一次项系数是________________常数项是________________二、选择题：3．方程①5x 2－38＝x ，②4x 2－5y ＋9＝0，032=x ③，0312=+-x x ④中，是一元二次方程的有( ) (A)①② (B)① (C)①③④ (D)①③4．把方程x 2＋3＝4x 配方，得( )(A)(x －2)2＝7 (B)(x ＋2)2＝1 (C)(x －2)2＝1 (D)(x ＋2)2＝25．方程x 3＝3x 的所有的解为( )(A)0 (B)0，3 (C)3,3- (D)3,3,0-6．方程(x ＋m )2＝n 2的解为( )(A)x ＝－m ± n (B)x ＝m ±n (C)x ＝m ＋n (D)x ＝－m ＋n三、解答题：7．解下列方程：(每题6分，满分36分)(1)x 2－3x ＋2＝0； (2)(y －2)2＝3； (3)(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0；(4)x 2－4x ＝8； (5)6x 2－4＝2x ； (6)3x 2＋5(2x ＋1)＝0．8．(9分)一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数，求这个两位数．9．(9分)某发电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akWh ，那么这个月这户居民只要交10元电费．如果超过akWh ，则这个月除仍要交10元电费外，超过部分还要按100a 元/kWh 交费．下表是一户居民3月和410．(10分)一次函数y ＝x ＋b 与反比例函数xk y 3+=图象的交点为A (m ，n )，且m 、n (m ＜n )是关于x 的一元二次方程kx 2＋(2k －7)x ＋k ＋3＝0的两个不相等的实数根，其中k 为非负整数，m 、n 为常数．(1)求k 的值；(2)求点A 的坐标与一次函数、反比例函数的解析式．一元二次方程 同步训练 参考答案21.1 一元二次方程(1) 一元二次方程的概念1．5x 2－3x －2＝0，5，－3，－2． 2．－1 3．＝3 4．≠±2， ＝－2 5．A 6．D 7．A 8．(1)设宽为x cm ，x (x ＋2)＝15 (2)设两个连续的整数分别为x ，x ＋1．x 2＋(x ＋1)2＝313．(3)设一个数为x ．x (6－x )＝7 9. 3k 2＋4k －6＝021.1 一元二次方程(2) 一元二次方程的进一步理解1．x 2＋3x －1＝0 2．x (x ＋2)＝255 3．x (x －2)＝30 4．C 5．D 6．A 7．设小道的宽为x 米．(42－2x )(30－2x )＝304221⨯⨯ 8. 略 21.1 一元二次方程(3) 直接开平方解一元二次方程1．x 2－3x －10＝0，1， －3， －10 2．－20 3．a x ±= 4．n m x ±-= 5．D 6．B 7．C8．(1)x ＝±13 (2)x ＝±5 (3)x 1＝1，x 2＝－7 (4)6287±=x 9. 25或21- 21.2.1 配方法1．(A)16，4 (B)1，1 (C)21,41 (D).21,41 2．C 3．(1),531+=x 532-=x (2)x 1＝1，x 2＝－6 (3)x 1＝－2，x 2＝－4 (4)x 1＝2，x 2＝－6 (5)233±=x (6)22n m m +±- 4. 提示：将a 2b 2＋b 2－6ab －4b ＋14进行配方为a 2b 2－6ab ＋9＋b 2－4b ＋4＋1＝(ab －3)2＋(b －2)2＋1，可证21.2.2 公式法(1)1．4x 2＋7x ＋3＝0，4，7，3 2．b 2－4ac 3．(s －r )x 2＋(s －r )x －s ＋r ＋t ＝0，s －r ，s －r ， －s ＋r ＋t 4．D 5．B 6．B 7．C 8. (1)231±-=x (2)2,3121=-=x x ，(3)x 244±-= (4)65,121-==y y 21.2.2 公式法(2)1．2131,213121--=+-=x x 2．x 1＝－2，x 2＝1 3．y 2＋4y －140＝0 4．C 5．A 6．D 7．(1)x 1＝1，x 2＝－ 4 (2)251,25121-=+=x x (3)211=x ，x 2＝－ 3 (4)3131,313121--=+-=x x 8. 长：cm 2219+ 宽cm 2219-，或长cm 2339+ 宽cm 2339- 21.2.3 因式分解法(1) 1．0 2．x 1＝0，x 2＝3 3．x 2－x ＝0，x (x －1)＝0，x 1＝0，x 2＝1 4．D 5．C 6．B 7．(1)x 1＝1，x 2＝2 (2)x 1＝0，x 2＝3 (3)x 1＝x 2＝2 (4)x 1＝4，x 2＝1 8. 1621.2.3 因式分解法(2)1．(2x －1)(x ＋3) 2．x 1＝6，x 2＝－1 3．－3，21- 因式分解 4．0或－6 5．B 6．B 7．(1)34,31421==x x (2)31,2121-==x x (3)x 1＝8，x 2＝－12 (4)x 1＝2，x 2＝－1 (5)78,421=-=x x(6)25,2121=-=x x 8. 1，2，3．提示：分两种情况讨论：(1)当k 2－1＝0，即k ＝±1，检验当k ＝1时，x ＝6，k ＝－1时，x ＝－3(不合题意舍去) (2)k 2－1≠0时，用因式分解法可得,16,11221-=+=k x k x 因k 为整数，要使x 1，x 2，都为整数，只有k ＝2，k ＝3，综上所述k ＝1，2，321.2 解一元二次方程综合1．85 2．4或－1 3．2,2 4．12x ，2x 5．B 6．D 7．(1)53,5321-=+=x x (2)52,5221-=+=x x (3)21,221=-=y y (4)23,2121=-=x x (5)3321==y y (6)1,2321==x x 8. 8只 21.3 实际问题与一元二次方程(1)1．a 65万元 2．1000a ＋b 3．22)2(++m m m 4．D 5．C 6．(1)5，9或－5，－9 (2)3，4，5 (3)20％ 7. 阔为24步，长为36步21.3 实际问题与一元二次方程(2)1．1210 2．10％ 3．4 4．24 5．20％ 6．长8m ，宽2.5m 或长5m ，宽4 m ．7. 能围成21m 2的，长为7m ，宽为3m ，也可为长6m ，宽3.5m ，不能围成22m 2的21.3 实际问题与一元二次方程(3)1．C 2．B 3．B 4．D 5．10％ 6．10％ 7.a 215- *21.4 观察与猜想——一元二次方程根与系数的关系1．－2，21- 2．23- 3．24 4．c a +-2 5．C 6．B 7．B 8．D 9．(1)29 (2)3 10．21- 11. m ＝－2，提示：由,562221=+x x ，即(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝56，所以有[2(m －2)]2－2m 2＝56 解之m 1＝－2，m ＝10，检验可知m ＝10不合题意第二十一章 一元二次方程 数学活动(1)：(1)(x －3)(x ＋23) (2)(6x ＋7)(4x －5) (3))251)(251(--+-x x (4))233)(233(2--+-x x (2)：1.标枪出手时的速度约为19.8m/s. 2.每件衬衫应降价20元. 3.这种存款的年利率大约为1.44％(3)：略第二十一章 一元二次方程 小结1．5，1，－4 2．4，2 3．45,1625 4．x 2－4x ＋3＝0 5．7或8 6．B 7．D 8．D 9．C 10．C 11．(1)26±=x (2)43,021-==x x (3)x 1＝9，x 2＝16 (4)y 1＝0，y 2＝3 (5)33±=x (6)x 1＝－7，x 2＝8 12．18或81 13．24 14．45 15．605棵第二十一章 一元二次方程 全章测试1. ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，ax 2＋c ＝0(a ≠0)2. 2，0，－93. D4. C5. D6. A7. (1)x 1＝1，x 2＝2 (2)32,3221-=+=y y (3)211-=x ，x 2＝－2 (4)x 1＝,322+ 3222-=x (5)321-=x ，x 2＝1 (6)3105,310521--=+-=x x 8. 25或36 9. a ＝50(kWh) 10. (1)k ＝1，(2)A (1，4)，y ＝x ＋3，4 yx。

一元二次方程一、一元二次方程的概念1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．2．一般形式：20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），其中2,,ax bx c 分别叫做二次项、一次项和常数项，,a b 分别称为二次项系数和一次项系数．注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意0a ≠，因为当0a =时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．二、一元二次方程的解法1．直接开平方法：适合于2()()0x a b b ±=≥或22()()ax b cx d ±=±形式的方程．2．配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项； （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成2()()0x a b b ±=≥的形式； （5）运用直接开平方法解方程．3．公式法：（1）把方程化为一般形式，即20ax bx c ++=；（2）确定,,a b c 的值；（3）求出24b ac -的值；（4）将,,a b c 的值代入x =即可． 4．因式分解法：基本思想是把方程化成()()0ax b cx d ++=的形式，可得0ax b +=或0cx d +=． 三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系1．根的判别式：一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠是否有实数根，由24b ac -的符号来确定，我们把24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根； （2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根； （3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根．3．根与系数关系：对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），设其两根分别为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=． 四、利用一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．1．增长率等量关系（1）增长率=增长量÷基础量．（2）设为原当m 为平均下降率时，则有(1n a m -2．利润等量关系：（1）利润=售价－成本3．面积问题（1）类型1：如图1所示的矩形ABCD ()(22)a x b x --．（2）类型2：如图2所示的矩形ABCD （3）类型3：如图3所示的矩形ABCD 为()()a x b x --．图1 4. 碰面问题（循环问题）（1）重叠类型（双循环）：n 支球队互相之∵1支球队要和剩下的（n －1）支球队比赛∵存在n 支这样的球队，∴比赛场次为：∵A 与B 比赛和B 与A 比赛是同一场比赛∴m =（ −1）（2）不重叠类型（单循环）：n 支球队，∵1支球队要和剩下的（n －1）支球队比赛∵存在n 支这样的球队，∴比赛场次为：∵A 与B 比赛在A 的主场，B 与A ∴m = （ −1）经典1．若关于x 的方程220x ax +-=有一个【答案】1【分析】根据一元二次方程的解的定义，【解析】解：把x=1代入方程2x ax +=a 为原来量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长)b =．成本．（2）利润率=利润成本×100％． BCD 长为a ，宽为b ，空白“回形”道路的宽为x ，CD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则空白部分的BCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则4块空 图2 图互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m 。

一元二次方程公式法是数学中的一个重要知识点，它的掌握对于学生的数学学习和思维能力培养都有着重要的意义。

在这篇文章中，我将按照从简到繁的顺序，深入浅出地探讨一元二次方程公式法，并根据你提供的要求，撰写20道相关例题以加深理解。

一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为实数且a≠0。

而一元二次方程的解法有很多，其中一元二次方程公式法是一种常用而有效的方法。

通过对一元二次方程公式法的理解和掌握，我们不仅能够解决各种各样的数学问题，还能够培养自身的逻辑思维和数学分析能力。

让我们以一元二次方程公式法的定义为起点，逐步深入探讨这一知识点。

一元二次方程公式法是指通过一元二次方程的一般形式，利用求根公式(-b±√(b^2-4ac))/2a，解出方程的根。

这是一种常用的解一元二次方程的方法，我们可以通过代入系数a、b和c的值，快速、准确地求得方程的解。

接下来，我们将通过解答一系列例题来加深对一元二次方程公式法的理解。

以下是20道例题：1. 求解方程2x^2-5x+2=0的解。

2. 求解方程3x^2+4x-1=0的解。

3. 求解方程x^2-9=0的解。

4. 求解方程4x^2-16=0的解。

5. 求解方程x^2-6x+9=0的解。

6. 求解方程2x^2+3x+1=0的解。

7. 求解方程x^2+5x+6=0的解。

8. 求解方程x^2-4x+4=0的解。

9. 求解方程3x^2-2x-1=0的解。

10. 求解方程4x^2+4x+1=0的解。

11. 求解方程2x^2-7x+3=0的解。

12. 求解方程x^2-8x+16=0的解。

13. 求解方程3x^2+6x+3=0的解。

14. 求解方程5x^2-10x+5=0的解。

15. 求解方程x^2+2x+1=0的解。

16. 求解方程2x^2-9x+9=0的解。

17. 求解方程3x^2-5x+2=0的解。

18. 求解方程4x^2-12x+9=0的解。

19. 求解方程x^2+4x+4=0的解。

1,2=0；当m＜0时，方程没有实数解．中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解（提高）【考纲要求】1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；2.会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元二次方程1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)．2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成x2=m的形式，当m＞0时，方程的解为x=±m；当m＝0时，方程的解x（2）配方法：通过配方把一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 变形为 x + ⎪ =如果一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 (a ≠0)的两个根是 x 、x ，那么 x + x = - ，x ⋅ x = c ．aa⎛ ⎝ b ⎫2 b 2 - 4ac 2a ⎭ 4a 2的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（ 3 ） 公 式 法 ： 对 于 一 元 二 次 方 程 ax 2 + bx + c = 0 ， 当 b 2 - 4ac ≥ 0 时 ， 它 的 解 为x = -b ± b 2 - 4ac 2a．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．要点诠释：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一 般方法．易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中 a ≠ 0 .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化 1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为 ∆ = b 2 - 4ac ．△>0 ⇔ 方程有两个不相等的实数根； △＝0 ⇔ 方程有两个相等的实数根； △<0 ⇔ 方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．要点诠释：△≥0 ⇔ 方程有实数根.4．一元二次方程根与系数的关系b 121 212要点诠释：（1）对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． （2）解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分 解法，再考虑用公式法．（3）一元二次方程 a x 2 + bx + c = 0 (a ≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以①不解方程判定方程根的情况；②根据参系数的性质确定根的范围；③解与根有关的证明题．（4）一元二次方程根与系数的应用很多：①已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；②已 知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；③已知方程两根，求作以方程两根或其代 数式为根的一元二次方程．考点二、分式方程1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法．3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.考点三、一元二次方程、分式方程的应用1．应用问题中常用的数量关系及题型(1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．(2)体积变化问题关键是寻找其中的不变量作为等量关系.(3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝利润成本价×100%．明确这几个关系式是解决这类问题的关键．(4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，使能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.(5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分问题增长量＝原有量×增长率；现有量＝原有量+增长量；现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．要点诠释：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．【典型例题】类型一、一元二次方程1．阅读材料：为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0，我们可以将x2-1看作一个整体，然后设x2-1=y，那么原方程可化为y2-5y+4=0……①，解得y=1，y=4，12当y=1时，x2-1=1，∴x2=2，∴x=±2；当y=4时，x2-1=4，∴x2=5，∴x=±5，故原方程的解为x=2，1x=-2，x=5，x=-5．234解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；（2）请利用以上知识解方程x4-x2-6=0．2【思路点拨】此题考查了学生学以致用的能力，解题的关键是掌握换元思想． 【答案与解析】（1）换元法；（2）设 x 2 = y ，那么原方程可化为 y 2 - y - 6 = 0解得 y = 3 ； y = -21 2当 y = 3 时， x 2 = 3 ；∴ x = ± 3当 y = -2 时， x 2 = -2 不符合题意，舍去．所以原方程的解为 x = 3 ， x = - 3 ．1 2【总结升华】应用换元法解方程，体现了转化的数学思想.举一反三：【高清课程名称：一元二次方程、分式方程的解法及应用 高清 ID 号： 405754 关联的位置名称（播放点名称）：例 3】【变式】设 m 是实数，求关于 x 的方程 x 2 - mx - 3x + m + 2 = 0 的根． 【答案】x 1=1,x 2=m+2.2．已知关于 x 的一元二次方程 ax 2 + bx + 1 = 0(a ≠ 0) 有两个相等的实数根，ab 2求的值.(a - 2) 2 + b 2 - 4【思路点拨】由于这个方程有两个相等的实数根，因此⊿＝b 2 - 4a = 0 ，可得出 a 、b 之间的关系，ab 2然后将化简后，用含 b 的代数式表示 a ，即可求出这个分式的值．(a - 2) 2 + b 2 - 4【答案与解析】∵ ax 2 + bx + 1 = 0(a ≠ 0) 有两个相等的实数根，∴⊿＝ b 2 - 4ac = 0 ，即 b 2 - 4a = 0 ．ab 2ab 2ab 2 ab 2∵ = = =(a - 2) 2 + b 2 - 4 a 2 - 4a + 4 + b 2 - 4 a 2 - 4a + b 2 a 2∵ a ≠ 0 ，∴ ab 2 b 2 =a a= 4【总结升华】本题需要综合运用分式和一元二次方程来解决问题，考查学生综合运用多个知识点解决问题的能解得，x=3+522力，属于中等难度的试题，具有一定的区分度．举一反三：【变式】关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根，∴(-3)2-4(-k)＞0．即4k>-9，解得，k>-9 4．（2）若k是负整数，k只能为－1或－2．如果k＝－1，原方程为x2-3x+1=0．3-5，x=．12（如果k＝－2，原方程为x2-3x+2=0，解得，x=1，x=2．）12类型二、分式方程3．解方程：【思路点拨】把原方程右边化为【答案与解析】代入原方程求解较为简单.原方程变为经检验，【总结升华】是原方程的根.时，x 2 - 6x + 5 = -因为， ，所以最简公分母为：，若采用去分母的通常方法，运算量较大，可采用上面的方法较好.举一反三：【变式 1】解方程：【答案】原方程化为方程两边通分，得化简得 解得经检验：是原方程的根.【变式 2】 解方程：7 31 4- =-x 2 - 6x - 4 x 2 - 6x + 5 x 2 - 6x + 9【答案】设k = x 2 - 6x + 5，则原方程可化为：731 4 -=-k - 9kk + 4去分母化简得：20k 2 - 147k - 1116 = 0∴(k - 12)(20k + 93) = 0∴k = 12 ，k = -9320当k = 12时，x 2 - 6x - 7 = 0(x - 7)(x + 1) = 0解之得：x = -1，x = 712当k = - 93 9320 2020x 2 - 120x + 193 = 0解此方程此方程无解.经检验：x = -1，x = 7是原分式方程的根.124．m为何值时，关于x的方程会产生增根？【思路点拨】先把原方程化为整式方程，使分母为0的根是增根，代入整式方程求出m的值.【答案与解析】方程两边都乘以整理，得，得【总结升华】分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根.举一反三：【变式】当m为何值时，方程会产生增根()A.2B.－1C.3D.－3【答案】分式方程，去分母得，将增根代入，得m＝3.所以，当m＝3时，原分式方程会产生增根.故选C.类型三、一元二次方程、分式方程的应用5．要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天.现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成.问规定日期是多少天？【思路点拨】设规定日期是x天，则甲的工作效率为【答案与解析】设规定日期为x天根据题意，得解得经检验是原方程的根答：规定日期是6天.，乙的工作效率为，工作总量为1.由题意得1000【总结升华】工程问题涉及的量有三个，即每天的工作量、工作的天数、工作的总量．它们之间的基本关系是：工作总量=每天的工作量×工作的天数．举一反三：【高清课程名称：一元二次方程、分式方程的解法及应用高清ID号：405754关联的位置名称（播放点名称）：例4-例5】【变式】据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．【答案】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，550=，2x-40x解得：x=22，经检验：x=22是原分式方程的解，且符合题意．答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克．6．某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队工程费共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队工程费共5500元．⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．【思路点拨】第一问是工程问题，工程问题中有三个量：工作总量，工作效率，工作时间，这三个量之间的关系是：工作总量=工作效率×工作时间第二问只要求出每天应各付甲、乙、丙各队多少钱，并由第一问求出甲、乙、丙各队单独完成这项工作所需的天数，即可求出在规定时间内单独完成此项工程哪个队花钱最少.【答案与解析】⑴设甲队单独做需天完成，乙队单独做需天完成，丙队单独做需天完成，依题意，得①×＋②×＋③×，得＋＋＝．④④－①×，得＝，即z＝30，④－②×，得＝，即x＝10，④－③×，得＝，即y＝15．经检验，x＝10，y＝15，z＝30是原方程组的解．⑵设甲队做一天厂家需付元，乙队做一天厂家需付元，丙队做一天厂家需付元，根据题意，得由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队．此工程由甲队单独完成需花钱元；此工程由乙队单独完成需花钱元.所以，由甲队单独完成此工程花钱最少．【总结升华】这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队单独完成这项工程所需时间分别为天，天，天，可列出分式方程组．在求解时，把整式方程组来解．，，分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为。

一元二次方程练习一：（定义、配方法）1. 一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程。

举例：；；。

2. 一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，叫做二次项系数，叫做一次项，叫做一次项系数，叫做常数项。

举例：。

3. 一元二次方程的解：能使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也可以叫做一元二次方程的根。

例题1 （1）下列方程中，是一元二次方程的有。

（填序号）①；②；③；④；⑤；⑥。

（2）若关于的方程(a－5)+2x－1=0是一元二次方程，则a的值是_______。

思路分析：（1）按照一元二次方程的定义进行判断：①③⑥是一元二次方程；②是二元一次方程；④经过化简二次项系数为0，不是一元二次方程；⑤分母中含有未知数，方程左边是分式而不是整式；（2）由一元二次方程的定义可得，所以；但是当时，原方程二次项系数为0，不是一元二次方程，故应舍去；当时，原方程为，因此。

答案：（1）①③⑥；（2）点评：做概念辨析题要紧扣定义，对于一元二次方程要把握这样几个关键点：①方程两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2。

例题2 把方程x(2x－1)=5(x+3)化成一般形式是___________，其中二次项是_________，一次项系数是_________，常数项是_________。

思路分析：将方程左右展开，然后移项（把所有的项都移到等号的左边），合并同类项即可：由得，移项得，合并同类项得。

答案：；；；点评：任何一个一元二次方程通过化简都可以得到的形式，方程左边是含有未知数的二次式，项数有可能为三项、两项或一项，方程的右边一定为0。

例题3 一元二次方程有一个解为x=0，试求的值。

思路分析：方程的解就是使方程左右两边相等的未知数的值，因此把x=0代入原方程得到一个关于m的方程，解此方程可得m的值。

答案：解：把x=0代入得；即∴当时，原方程的二次项系数为0，与题意不符，故舍去；当时，原方程为，符合题意；故，此时。