机械振动分析

——振动表达式(简谐运动位移)
任何一个物理量，如果它随时间的变化规律满足 简谐运动的微分方程，或遵从余弦(或正弦) 规律，则 广义地说，这一物理量在作简谐运动.
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5. 简谐运动的速度与加速度
机械振动
v
dx dt
Asin( t )
vm cos( t
π) 2
a
dv dt
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周期：
T 2π
5.2.2 旋转矢量图的应用
1. 求初相位
机械振动
x O A
t=0时刻，质点位于x=A/2 处，且向x 轴正向运动.
3
t=0时刻，质点位于x= - A/2
x 处，且向x 轴负向运动.
OA
2 3
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2. 用旋转矢量图画简谐运动的 x t 图
机械振动
第2篇 机械振动 机械波
➢机械振动 ➢机械波
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第5章 机械振动
内容提要
5.1 简谐运动 5.2 简谐运动的旋转矢量表示法 5.3 单摆和复摆 5.4 振动的能量 5.5 简谐运动的合成 5.6 阻尼振动 受迫振动 共振
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机械振动
机械振动
振动: 任何一个物理量(物体的位置、电流强度、电场
求：(1)简谐运动表达式； (2)物体从初位置运动到第一次经过A/2处时的速度.
解：(1) x0 0.04m, v0 0, 6.0s1
振幅： A
x02
v02
02
x0 0.04m
初相位： arctan v0 0 (为什么不取π)
x0
得： x 0.04cos 6.0t (m)
x Acos t Acos (t T )
T 2
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2π 2π
T
机械振动
2. 振幅A: 描述物体振动强弱的物理量(离开平衡位 置的最大位移，取绝对值).
单位：m、cm、mm、nm
3. 初相位、相位和相位差
相位ωt+ ： 描述质点在t 时刻振动状态的物理量. 初相 ： t=0时的相位，与初始条件有关；
机械振动
1. 简谐运动的基本依据: f kx
2. 简谐运动的动力学特征:
由牛顿第二定律:
a
f m
k m
x
d2x dt 2
令: 2 k
m
d2 dt
x
2
2
x
0
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3. 简谐运动的动力学微分方程
d2x dt 2
2
x
0
4. 简谐运动的运动学方程
微分方程的解： x Acos(t )
机械振动
2 Acos( t
) am
cos( t
π)
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5.1.2 简谐运动方程中的三个基本物理量
1. 角频率 : 2秒内往复振动的次数.
机械振动
k
m
单位：弧度/秒 (rad·s-1)
周期T: 完成一次完整的振动所需要的时间.
频率ν： 单位时间内所完成的振动次数.
单位：赫兹(Hz) (s-1)
5.2 简谐运动的旋转矢量表示法
5.2.1 旋转矢量表示法
M
投影点P的坐标为：
A t A
x Acos( t )
OP x
结论：投影点的运动为简谐运动.
旋 模为简谐运动的振幅.
转 矢
角速度
为简谐运动的角频率.
量 与x轴的夹角(t+)为简谐运动的相位.
A t=0时，与x轴的夹角 为初相位.
旋转矢量 A旋转一周，P点完成一次全振动.
相位差 Δ ：设有同频率两振子的振动方程分别为:
则相位差:
x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )
(t 2 ) (t 1) 2 1 单位：弧度（rad）
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同相和反相
机械振动
当= 2k, ( k =0,1,2,…),两振动步调相同,称同相.
当= (2k+1), ( k =0,1,2,…),两振动步调相反, 称反相.
机械振动
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机械振动
例: 一质点沿x轴作简谐运动, 振幅为12cm, 周期为2s.
当t = 0时, 位移为6cm, 且向x轴正方向运动.
求: (1) 振动表达式；
(2) t = 0.5s时, 质点的位置、速度和加速度；
(3)若某时刻质点位于 x = -6cm, 且向x轴负方向运
动, 求从该位置回到平衡位置所需的最短时间.
解：A=12cm, T=2s, x0=6cm. 且 v0＞0 (1) 2π π s1 T
x 0.12cos(πt ) m
6cm x
t = 0 时，x0 = 0.06m , v0 > 0
π
x 0.12 cos(π t π ) m
3
3
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(2) x 0.12 cos(π t π ) 0.10 m
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(2) 由(1)中结果 0.02 0.04 cos 6.0t
机械振动
cos 6.0t 1 2
v dx 0.24sin 6.0t dt
sin 6.0t
1 cos2 6.0t
1
1
2
3
2
2
依题意，v＜0 则
v 0.24 3 0.208 m s1
2
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机械振动
x2 0
v2 0
2
A2 (sin 2
cos2 )
A2
机械振动
振幅：
A
x0
2
v0
2
初相位： 说明
arctan( v0 ) x0
(1) 不是唯一的, 与坐标正向有关, 需要具体分析.
(2) 振幅和初相位由初始条件决定.
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机械振动
例: 一轻弹簧, 一端固定, 另一端连接一定质量的物体. 整个系统位于水平面内, 系统的角频率为6.0s-1. 今 将物体沿平面向右拉长到 x0=0.04m处释放.
t 0.5s
3 t 0.5s
机械振动
v t 0.5s
x
x
A1 A2
x2 x1
同相
T
A1 A2
o
to
- A2
- A2
x1
反相
T
t x2
-A1
-A1
超前和落后
若 = 2- 1>0, 则称 x2 比 x1 超前(或 x1 比 x2 落后) . 超前、落后以- < < 的相位角来判断.
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4. 振幅和初相位的求法
设 t =0 时:
x0 Acos , v0 Asin
强度、磁场强度等)在某一定值附近的反复变化. 机械振动:
Байду номын сангаас
物体在一定位置(中心)附近作的周期性往复运动.
振动的分类:
受迫振动 自由振动
阻尼自由振动 无阻尼自由振动
无阻尼自由非谐振动 无阻尼自由谐振动
(简谐运动)
简谐运动: 是最基本、最简单的振动.
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5.1 简谐运动
5.1.1 简谐运动的特征及其运动方程 弹簧振子——理想模型