小学数学基本思想方法与解题策略分析.

植树问题通常是指沿着一定的路线植树，这 条路线的总长度被树平均分成若干段（间隔）， 由于路线的不同、植树要求的不同，路线被分成 的段数（间隔数）和植树的棵数之间的关系就不 同。在现实生活中类似的问题还有很多，比如公 路两旁安装路灯、花坛摆花、站队中的方阵，等 等，它们中都隐藏着总数和间隔数之间的关系问 题，我们就把这类问题统称为植树问题。
a÷b商是不确定的。
小学数学有关基础知识理论选讲
思想方法
教材：六年级上册“数学广角” 思想方法
“鸡兔同笼”问题教材主要介绍三种方法：列 表、假设法和列方程。
“假设法”是一种算术方法，但有其独特的 特点，是一个假设——计算——推理——解答的 过程。
列方程则是一种代数解法，根据数量关系列 出方程并求解即可。
解答方法
解法一：列表法
大钢珠 … 20 19 18 17 16 15 14 小钢珠 … 10 11 12 13 14 15 16
思想方法
求一个数因数的个数：先分解成质因数 相乘的形式
因数个数为(n1+1)(n2+1)……(nk+1)
解答方法
8．解答：3000÷50＋1=61，3000÷60＋ 1=51，50与60的最小公倍数是300， 3000÷300＋1=11，51－11=40，61－11=50。
答:则需要重新挖40个坑，有50个原来挖 好的坑将废弃不用。
解答方法
1．48名学生在操场上做游戏。大家围 成一个正方形，每边人数相等。四个顶点 都有人，每边各有 名学生。
解答：48÷4＋1=13。 2．圆形滑冰场的一周全长是150米。 如果沿着这一圈每隔15米安装一盏灯，一 共需要装 盏灯。 解答：150÷15=10。
二、“抽屉(鸽巢)”问题
题目(第四届教师解题比赛试题） 3． 把红、黄、蓝、白四种颜色的球各
<15，不合理。若a=4，则b最大为3，c最大为2，d最大为1， 那么a＋b＋b＋c＋d＋d=14<15，不合理。因此a=5。
P 19． 6 ÷2÷4=6×5×4×3×2÷4÷2=90。 6
七、枚举问题
题目(第四届教师解题比赛试题） 7．在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中球的
个数不能少于11，不能是17，也不能是6的倍数， 并且彼此不同，那么至少需要 个乒乓球。
九、追及问题
题目(第四届教师解题比赛试题）
11．甲、乙两人在400米跑道上练习长
跑，甲的速度与乙的速度的比为5:3，若两
人同时出发，则乙跑了
圈时，甲
比乙多跑了4圈。
思想方法
两物体在同一直线或封闭图形上运动 所涉及的追及、相遇问题，通常归为追及 问题。
追及：速度差×追及时间=追及路程 相遇：速度和×相遇时间=相遇路程
另有1盒少了几块，如果用天平称，至少称 ______次保证可以找出这盒较轻的饼干。
思想方法
教材：五年级下册“数学广角” 思想方法
用天平“找次品”的最优策略主要基于 以下两点：一是把待测物品分成3份；二是 要分得尽量平均，能够均分的就平均分成3 份，不能均分的，也应该使多的一份与少 的一份只相差1。
采用枚举法解题的基本思路： （1）确定枚举对象、枚举范围和判定条件； （2）一一枚举可能的解，验证是否是问题的解
解答方法
7．在10个盒子中放乒乓球，每个盒子 中球的个数不能少于11，不能是17，也不 能是6的倍数，并且彼此不同，那么至少需 要 个乒乓球。
解答：根据条件列出满足条件的各数再 求和，即：11＋13＋14＋15＋16＋19＋20 ＋21＋22＋23=174。
小学数学基本思想方法与 解题策略分析
一、植树问题
题目(第四届教师解题比赛试题） 1．48名学生在操场上做游戏。大家围
成一个正方形，每边人数相等。四个顶点 都有人，每边各有 名学生。
2．圆形滑冰场的一周全长是150米。如 果沿着这一圈每隔15米安装一盏灯，一共 需要装 盏灯。
思想方法
教材：四年级下册“数学广角” 思想方法
分步计数原理（也称乘法原理）完成一件事，需要 分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有 m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法。那么 完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法。
思想方法
教材：三年级上册“数学广角” 思想方法
排列数：
组合数：
解答方法
13．六人参加乒乓球比赛，每两人赛一场，分胜负，无平局。 则一共要比赛15场(即从6取2的组合数)，并且最多胜5场。 若a=3，则b=2，c=1，d=0，若a＋b＋b＋c＋d＋d=8
解答方法
4．有15盒饼干，其中的14盒质量相同， 另有1盒少了几块，如果用天平称，至少称 ______次保证可以找出这盒较轻的饼干。
15(5，5，5)→5(2，2，1) →2(1，1)， 称3次。
四、“鸡兔同笼”问题
题目(第四届教师解题比赛试题） 5．在一个盒子里有大、小两种钢珠共
30个，共重266克，已知大钢珠每个11克， 小钢珠每个7克，这个盒中有大钢珠_____ 个，有小钢珠_____个。
解答方法
6．由于1个“○”与1个“△”和2个“□”一 样重，所以3个“○”与3个“△”和6个“□” 一样重。又5个“△”与3个“○”一样重，即5 个“△”与3个“△”和6个“□”一样重，也就 是即2个“△”与6个“□”一样重，1个“△” 和3个“□”一样重，再根据1个“○”与1个 “△”和2个“□”一样重，这样可推知，1个 “△”和1个“○”与8个“□”一样重。
六、排列组合问题
题目(第四届教师解题比赛试题） 13．六人参加乒乓球比赛，每两人赛一场，分
胜负，无平局。最终他们胜的场数分别是a，b， b，c，d，d，且，那么a等于 。
19．已知一个长方体的长、宽、高分别是10 厘米，5厘米，5厘米，用6种不同的颜色来涂这 个长方体的6个面，使不同的面涂有不同的颜色， 共有 种不同的涂法。（注：将长方体任意旋 转后仍然不同的涂色法，才被认为是不同的）
15．有5种不同价格的礼品分别是2元、5元、8元、 11元、14元以及5种不同价格的包装盒1元、3元、5元、7 元、9元，一个礼品配一个包装盒，共能配成 套不同 价格的礼品。
方法一：一一列举后去掉重复的。25-6=19
方法二：解：任意的搭配共有25种，其中有价格重复的 情况。由于礼品和包装盒的价格分别是公差为3和2的等差 数列，故当礼品和包装盒的价格分别差6时，会出现价格 重复的情况。共有3×2=6种，所以不同价格的礼品共有 25-6=19种。
题目(第三届教师解题比赛试题）
如图2：△OEF中，△OAB，△ABC, △BCD，△CDE，△DEF的面积都等于1。 那么，阴影△CDF的面积为_______。
十、有关几何求积问题
计算中常用的有关知识：
等底等高的三角形面积相等。 高相等的三角形面积的比等于底边长的比。
策略
转化策略 特殊化策略
思想方法
教材：三年级上册“数学广角”
思想方法
分类计数(加法)原理和分步计数(乘法)原理。分类 计数原理（也称加法原理）完成一件事，有n类办法， 在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有 m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法。 那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法。
解答方法
3． 把红、黄、蓝、白四种颜色的球各 10个放入到一个袋子里。从中至少取出 ____个球，可以保证取到三个颜色相同的 球。
解答：至少取出9个球，可以保证取到 三个颜色相同的球。在这里“抽屉数”为4， K＋1=3，K=2，2K=8，大于2K的整数最小 为9。
三、“找次品”问题
题目(第四届教师解题比赛试题） 4．有15盒饼干，其中的14盒质量相同，
15．有5种不同价格的礼品分别是2元、5元、 8元、11元、14元以及5种不同价格的包装盒1元、 3元、5元、7元、9元，一个礼品配一个包装盒， 共能配成 套不同价格的礼品。
思想方法
枚举法，常常称之为穷举法，是指从可能的 集合中一一枚举各个元素，用题目给定的约束条 件判定哪些是无用的，哪些是有用的。能使命题 成立者，即为问题的解。
解答方法
14．12=1×12=2×6=3×4=3×2×2，显然， 这个数能被某个质数的幂(幂的次数最少是2)整除， 由于22=4，32=9，52=25，72=49，考察1001， 1002，1003，1005，1006，1007，1009，1010， 1011均不能被4，9，25，49整除，1004=4×251， 1008=9×112=9×8×7 =32× 23×7，其约数为 3×4×2=24个，由于1012=22×11×23，其约数为 3×2×2=12个，结果是1012。
五、等量替换问题
题目(第四届教师解题比赛试题） 6．如图①中有三台天平，通过观察前两台天
平可以发现5个“△”与3个“○”一样重；1个 “○”与1个“△”和2个“□”一样重，这样可 推知，1个“△”和1个“○”与 个“□”一 样重。
图①
思想方法
教材：三年级下册“数学广角” 思想方法
等量代换是指一个量用与它相等的量去代 替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代 数思想方法的基础。等量替换思想用等式的性 质来体现就是等式的传递性：如果a＝b，b＝c， 那么a＝c。
解答方法
解答：本题的速度比为5:3，则在时间 相同时跑的路程的比亦为5:3。设乙跑了x 圈时，甲比乙多跑了4圈。
则 5 X－X=4，得=6。
3
十、有关几何求积问题
题目(第四届教师解题比赛试题） 18．如右图④，
多边形ABCFDE中， AB=8，BC=12， ED+DF=13，AE=CF， 则多边形ABCFDE的 面积是 。
小学数学有关基础知识理论选讲
关于除法和有余除法
除法 定义：已知两个数a、b，要求一个数q，使q
与b的积等于a，这种运算叫做除法。 但除数 b不能是0，这是因为，如果b=0，
那么： ① 当a≠0，由于任何数乘0都不可能等于非0
数a，所以a÷0商不存在。 ②当a≠0，由于任何数乘0都等于0，所以
解答方法
解答：将图形作满足条件 的特殊化改造。在AE(或AE的 延长线上)、CF(或CF的延长线 上)取AE′=CF′=3.5，过点E′ 和F′分别作AB和BC平行线， 交于D′，则D ′E′与D ′F′ 垂直且D′E′＋D′F′=AB －CF′＋BC－AE′=8－3.5＋12 －3.5=13，则多边形ABCF′D′E′满足原题的条件。CF′= 3.5，D′E′=4.5，D′F′=8.5，多边形ABCF′D′E′的面积 =8×12－4.5×8.5=96－38.25=57.75，因此多边形ABCFDE的面 积是57.75。
重量 … 290 286 282 278 274 270 266
解法二：(假设法)假设全部是大钢珠，则钢珠的重量 为30×11=330，这样就多出330-266=64克，一只大 钢珠比一个小钢珠多4克，64÷4=16个小钢珠。大 钢珠有14个。
解法三：设大钢珠有个，11x＋7(30－x)=266，得x= 14。
10个放入到一个袋子里。从中至少取出 ____个球，可以保证取到三个颜色相同的 球。
“抽屉(鸽巢)”原理
教材：六年级下册“数学广角” 思想方法
“抽屉原理”的两种形式。 最简单的“抽屉原理”：把 m个物体任意分 放进n 个空抽屉里（m＞ n， n是非0自然数）， 那么一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。 “抽屉原理”一般的形式：把多于 kn个物体 任意分放进 n个空抽屉里（k是正整数），那么一 定有一个抽屉中放进了至少（k+1）个物体。
八、因数与倍数问题
题目(第四届教师解题比赛试题）
8．在一条3000米长的新公路的一侧，从一端
开始等距离立电线杆，按原设计，电线杆间隔50
米，已挖好了坑。若间隔距离改为60米，则需要
重新挖
个坑，有
个原来挖好
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的坑将废弃不用。
14．一个数恰好有12个约数，且比1000大， 那么满足条件的最小的自然数是 。
思想方法
教材：四年级下册“数学广角” 思想方法
在植树问题中“植树”的路线可以是一条线 段，也可以是一条首尾相接的封闭曲线，比如正 方形、长方形或圆形等等。即使是关于一条线段 的植树问题，也可能有不同的情形，例如，两端 都要栽，只在一端栽另一端不栽，或是两端都不 栽。
总数=间隔数 总数=间隔数＋1 总数=间隔 数－1