引言
偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象，并用于科学和工程技术的各个领域fll。然而，对于广大应用工作者来说，从偏微分方程模型出发，使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量，才能得到数值解。现在，MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。
偏微分方程
如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。
随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。
一、MATLAB方法简介及应用
1.1 MATLAB简介
MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。
1.2 Matlab主要功能
数值分析
数值和符号计算
工程与科学绘图
控制系统的设计与仿真
数字图像处理
数字信号处理
通讯系统设计与仿真
财务与金融工程
1.3 优势特点
1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来；
2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化；
3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握；
4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ，
为用户提供了大量方便实用的处理工具。
1.4 MATLAB 产品族可以用来进行以下各种工作
●数值分析 ●数值和符号计算 ●工程与科学绘图 ●控制系统的设计与仿真 ●数字图像处理技术 ●数字信号处理技术 ●通讯系统设计与仿真 ●财务与金融工程
●管理与调度优化计算（运筹学）
MATLAB 的应用范围非常广，包括信号和图像处理、通讯 MATLAB 在通讯系统设计与仿真的应用、控制系统设计、测试和测量、财务建模和分析以及计算生物学等众多应用领域。附加的工具箱（单独提供的专用MATLAB 函数集）扩展了MATLAB 环境，以解决这些应用领域内特定类型的问题。
二、Laplacian 算子简介
Laplacian 算子：
2
2
22y
x ∂∂+∂∂=∆
Poisson 方程(ellipptic)：
f
u =∆
Laplacian 算子的特征值问题：
f
u u =+∆λ
Heat equation(parabolic):u
t u
∆=∂∂
Wave equation(hyperbolic):
u t u ∆=∂∂2
2
五点离散:
h
h
h y x u y x u h y x u y h x u y x u y h x u y x u h 2
2
)
,(),(2),()
,(),(2),(),(-+-++
-+-+=
∆h
P u S u E u W u N u p u h
2
)
(4)()()()()(-+++=
∆
)(=∆
P u h
Poisson 方程离散：
)
()(P f P u h
=∆
特征值问题：
)
()(P P u u k k h λ=-∆
热方程：
)
,()
,,(),,(2
y x u t y x u t y x u h ∆=--+δ
δδ
)
,(),,(),,(y x u t y x u t y x u h ∆+=+δδ
波动方程：
)
,()
,,(),,(2),,(2
y x u t y x u t y x u t y x u h ∆=-+-+δ
δδ
)
,(),,(),,(y x u t y x u t y x u h ∆+=+δδ
波动方程：
)
,()
,,(),,(2),,(2
y x u t y x u t y x u t y x u h ∆=-+-+δ
δδ
)
,(),,(),,(2),,(2
y x u t y x u t y x u t y x u h ∆+--=+δδδδ
椭圆方程：
b Au =
),(2
y x f h b = 特征值方程：
u Au h λ=-21
热方程： )
()
()
1(n n n Au
u
u
σ+=+2h δ
σ=
波动方程：
)()1()()
1(2n n n n Au u u u σ+-=-+2
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=h δδ
)()1(n n Mu u =+
热方程： )
()1(n n Mu u =+ A I M σ+=
波动方程：
212
≤
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=h δσ
三、Matlab 解偏微分方程
解偏微分方程不是一件轻松的事情，但是偏微分方程在自然科学和工程领域应用很广，因此，研究解偏微分方程的方法、开发解偏微分方程的工具是数学和计算机领域中的一项重要工作。
