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dy ＝0 dx 1 1，－2， dz 1 dx 1,2,1
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武夷学院数学与计算机系
§14.4. 空间曲线的切线与法平面
所以过点 1, 2,1的切线方程为 X 1 Yຫໍສະໝຸດ Baidu 2 Z 1 1 0 1
所以过点 1, 2,1的法平面方程为
(切向量)
x(t0 ),
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y(t0 ), z(t0 ) .
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§14.4. 空间曲线的切线与法平面
曲线在点 M 0 的法平面就是过 M 0点且与该点 的切线垂直的平面，于是切线的(切向量)方向数就 是法平面的(法向量)法方向数，从而过 M 0 点的法 平面方程是
§14.4. 空间曲线的切线与法平面
例1 求曲线 处的切线及法平面方程。
x t , y t 2 , z t 3 在点 (1, 2,1)
xt' 1 , yt' 2t , zt' 3t 2
解：
在（ 1 ，1 ，1 ）点对应参数为 t = 1
切线方向数为 T 1 , 2 , 3
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§14.4. 空间曲线的切线与法平面
D( F , G ) 0 ，设上述方程组在点 M 0 确定了一对函数 设 D( y , z ) M
0
一般地，如果曲线表示为两个曲面的交线： F ( x, y, z ) 0 G( x , y , z ) 0
X 1 0 Y Z Z 1 0
即 XZ 0
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在上式各端的分母都除以 t t0
X x( t0 ) Y y( t 0 ) Z z(t0 ) x ( t ) x ( t 0 ) y( t ) y( t 0 ) z ( t ) z ( t 0 ) t t0 t t0 t t0
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x(t0 )( X x0 ) y(t0 )(Y y0 ) z(t0 )( Z z0 ) 0
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§14.4. 空间曲线的切线与法平面
如果曲线的方程表示为
y y( x ), z z( x )
可以把它写成如下的以 x 为参数的参数方程
x x, y y( x ), z z( x )
于是可得曲线在点 M 0 的切线方程和法平面方程如下：
X x0 Y y( x0 ) Z z( x0 ) 1 y( x0 ) z( x0 )
( X x0 ) y( x0 )(Y y0 ) z( x0 )( Z z0 ) 0
M0
和法平面方程
D( F , G ) D( F , G ) D( F , G ) ( X x0 ) (Y y0 ) ( Z z0 ) 0 D( y , z ) M D( z , x ) M D( x , y ) M
0 0 0
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1
§14.4. 空间曲线的切线与法平面
由于切线是割线的极限位置，从而考虑通过点 M 0 和点 M ( x, y, z )的割线方程
X x( t 0 ) Y y( t 0 ) Z z( t0 ) x ( t ) x ( t 0 ) y( t ) y( t 0 ) z ( t ) z ( t 0 )
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§14.4. 空间曲线的切线与法平面
从而可得曲线在点 M 0 的切线方程：
X x0 Y y0 Z z0 D( F , G ) D( F , G ) D( F , G ) D( y , z ) M D( z , x ) M D( x , y )
0 0
y y( x ), z z( x )
这时容易把它化成刚才讨论过的情形： 由这两个方程可解出
dy D( F , G ) dx D( z , x )
D( F , G ) dz D( F , G ) , D( y, z ) dx D( x, y )
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D( F , G ) D( y, z )
x 1 y2 z 1 1 2 3
切线方程：
法平面方程：( x - 1)+2 ( y - 2 )+3( z - 1 )=0 即：
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x+2y+3z= 8
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§14.4. 空间曲线的切线与法平面
例2. 求曲线 x y z 6 , x y z 0 在 点 （ 1 ，-2 ，1）处的切线及法平面方程。
2 2 2
x2 y2 z2 6 0 解：方程组转化为 x y z 0
方程组两端关于x求导, 得
dy dz 2x 2 y 2z 0 dx dx 1 dy dz 0 dx dx
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dy z x dx ＝ y z dz x y dx y z
§14.4. 空间曲线的切线与法平面
设空间曲线用参数方程表示为:
x x( t ),
y y(t ),
z z(t )
求曲线上过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 的切线方程，这里
x0 x(t0 ),
y0 y(t0 ), z0 z(t0 )
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§14.4. 空间曲线的切线与法平面
由于切线是割线的极限位置，在上式中令 t t0 取极限，就得到曲线在点 M 0 的切线方程：
X x ( t 0 ) Y y( t 0 ) Z z ( t 0 ) x(t0 ) y(t0 ) z(t0 )
由此可见，曲线在点 M 0 的切线的一组方向数是
