高等数学_空间曲面和曲线

解
交线方程为
2 y2 x2 z
2
x2
z
消去z 得投影柱面 x2 y2 1,
在
xOy
面上的投影为
x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y2
1
z 0
例8 设一立体, 由上半球面 z 4 x2 y2 和锥面 z 3( x2 y2 ) 所围成, 求它在 xOy 面上
的投影.
解
半球面和锥面的交线为
C
:
z
z
消去 z 得投影柱面 x2 y2 1,
空间曲线C 可看作空间两曲面的交线.
F(x, y,z) 0
G(x, y,z) 0 空间曲线的一般方程 特点: 曲线上的点都满足方程,
z S2 S1
C
O
y
x
满足方程的点都在曲线上, 不在曲线上的点不能 同时满足两个方程.
例4
方程组
x2
y2
1
表示怎样的曲线?
2x 3z 6
解 x2 y2 1 表示圆柱面，
4 x2 y2 3( x2 y2 )
则交线C
在
xOy
面上的投影为
x
2
y2
1
z 0
所求立体在 xOy 面上的投影为 x2 y2 1.
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成的图形称为螺旋线. 试建立其参数方程.
解z
取时间t为参数,动点从A点出发,
经过t时间, 运动到M点.
M在xOy面的投影 M( x, y,0)
M
t
O
•
a
A•
•
M
y
x
x a cost
y
a
sin t
z vt
螺旋线的 参数方程
设空间曲线C的一般方程：GF((xx,,
y, z) y, z)
0 0
x
y
x x(t)
y
y(t )
z z(t)
称为空间曲线的参数方程
当给定 t t1时, 就得到曲线上的一个点 ( x1, y1, z1 ), 随着参数的变化可得到曲线上的 全部点.
例6 如果空间一点M 在圆柱面 x2 y2 a2上以
角速度ω绕z 轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z 轴的正方向上升 (其中,v都是常数), 那末点M 构
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
定义 平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L
所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 称为柱面的准线,
母
准线
动直线L 称为柱面的母线. 线
LC
z
柱面举例
z
y x2
平面
o
y
o
y
x
x
抛物柱面
y x
从柱面方程看柱面的特征： 只含 x, y而缺 z的方程F ( x, y) 0, 在空间直角坐标系中表示平行于z 轴的柱面, 其准线为xOy面上的曲线C. (其他类推)
2 圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点O, 旋
转轴为z轴, 半顶角为 的圆锥面的方程.
解 yOz面上直线方程为 z
z
z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot O
x
y
O
y
x
圆锥面的方程也可写成
z2 a2 ( x2 y2 ) (a cot 0)
圆锥面的几种常用形式
z x2 y2 与 z 1 x2 y2 , z 2( x2 y2 )
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面．
椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
z
z
o x
O
x
y
y
x2 2p
y2 2q
z
(
p
与q
同号)
z o y
x
椭圆抛物面
z
p 0, q 0
xo
y
p 0, q 0
特殊地: 当 p q 时, 方程变为 x2 y2 z 旋转抛物面 2p 2p
例如 与
z 2 x2 y2 z 1 x2 y2
消去变量z 后得：H ( x, y) 0
C
——曲线关于xOy的投影柱面.
投影柱面的特征： 此柱面必包含曲线C, 以曲线C为准线、
母线垂直于所投影的坐标面.
空间曲线在xOy 面上的投影曲线(或称投影) (即为投影柱面与xOy 面的交线)
H ( x, y) 0 (即为曲线关于xOy面的投影柱面)
8.3 空间曲面和曲线
8.3.1 空间曲面方程
曲面在空间解析几何中被看作点的轨迹. 曲面方程的定义：
如果曲面 S 与三元方程F( x, y, z) 0有下述关系：
(1) 曲面上任一点的坐标都满足方程； (2) 不在曲面上的点的坐标都不满足方程；
那么, 方程 F( x, y, z) 0 就称为曲面S 的方程,
特别地, 球心在原点的球面方程为
x2 y2 z2 R2
球面的一般方程为
x2 y2 z2 Ax By Cz D 0
经配方, 可化为球面的标准方程.
例如 x2 y2 z2 2z
配方后得 x2 y2 (z 1)2 1
例如 z 1 x2 y2 与 z 1 1 x2 y2
z
0
(即为xOy 面)
类似地: 可定义空间曲线在其它
C
坐标面上的投影.
yOz面上的投影曲线 xOz面上的投影曲线
R( y, z) 0
x
0
T( x, z) 0
y
0
例7 求椭圆抛物面 2 y2 x2 z 与抛物柱面 2 x 2 z 的交线关于xOy面的投影柱面和
在xOy面上的投影曲线方程.
分别表示开口朝上与朝下的半锥面.
例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周, 求生成
的旋转曲面的方程．
(1)
yoz面上的椭圆
y2 z2 a2 c2
1 绕y 轴和z 轴;
绕y 轴旋转
y2 x2 z2 a2 c2 1
旋 转 椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
球 面
(2) yoz 面上的抛物线 y2 2 pz 绕z 轴;
绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f ( y, x2 z2 ) 0
xOz 坐标面上的已知曲线 f (x, z) 0 绕 x 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f (x, y2 z2 ) 0
例2 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一周
所得旋转曲面称为圆锥面.两直线的交点称为
圆锥面的顶点, 两直线的夹角 (0 )称为
分别表示上、下半球面.
定义 一条平面曲线 绕其平面上的一条直线
旋转一周所成的曲面, 称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转曲面的轴.
轴
此曲线称母线.
为方便, 常把曲线所在
母线
平面取作坐标面, 旋转轴取
作坐标轴.
现求 yOz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0
绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程.
设 M ( x, y, z)是旋转曲面上任意一点,
2x 3z 6 表示平面， z
x2 y2 1
2
2x 3z 6
C交 线 为 椭 圆
O1y
x
例5
方程组
z
x
a
a 2
2 x2 y2
2
y2
a2
4
表示怎样的曲线?
z
解 z a2 x2 y2
上半球面 (如图)
x a 2 y2 a2
2
4
圆柱面 (如图)
O
交线为蓝色部分 (如图)
(1) z z1
(2) 点 M到 z轴的距离
d x2 y2 | y1 |
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
将 z1 z, y1 x2 y2 代入
o
y
f ( y1, z1 ) 0
x
得所求方程为 f ( x2 y2 , z) 0
同理：yOz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0
z
O
y
x
pq0
分别表示开口朝上与朝下的旋转抛物面.
x2 y2 z ( p 与 q 同号) 2 p 2q
双曲抛物面 (马鞍面)
设 p 0, q 0 图形如下：
z
O
y
x
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
单叶双曲面
z
o
y
x
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面
o
y
x
8.3.2 空间曲线方程
而曲面 S 称为方程的图形.
例1 建立球心在点 M0( x0 , y0 , z0 ), 半径为 R 的球面方程.
解 设 M ( x, y, z) 是球面上任一点，
由题意，有 | MM0 | R,
即
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
所求方程为 ( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 .