等腰三角形的判定定理(解析版)

2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题04 等腰三角形的判定考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）V中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使1．（2分）（2022八上·西湖期末）如图，在ABCPA PB BC+=，下列作法正确的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【完整解答】解：由作图可知，选项C中，∠C＝∠PAC，∴PA＝PC，∴PA＋PB＝PC＋PB＝BC.故答案为：C.【思路引导】根据作图步骤可得选项A中∠BAP=∠CAP，无法判断PA+PB=BC；选项B中AC=BC，则AC+BP=BC；选项C中∠C=∠PAC，则PA=PC，PA+PB=BC；选项D中BP=PC，据此判断.2．（2分）（2021八上·河东期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB 为等腰三角形，符合条件的M 点有（ ）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【答案】C【完整解答】解：如图，①以A 为圆心，AB 为半径画圆，交直线AC 有二点M 1，M 2，交BC 有一点M 3，（此时AB ＝AM ）；②以B 为圆心，BA 为半径画圆，交直线BC 有二点M 5，M 4，交AC 有一点M 6（此时BM ＝BA ）．③AB 的垂直平分线交AC 一点M 7（MA ＝MB ），交直线BC 于点M 8；∴符合条件的点有8个．故答案为：C ．【思路引导】根据等腰三角形的判定方法求解即可。

3．（2分）（2021八上·昌平期末）如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，在直线BC 上取一点P ，使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的点P 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【完整解答】解：以点A 、B 为圆心，AB 长为半径画弧，交直线BC 于两个点12P P ，，然后作AB 的垂直平分线交直线BC 于点3P ，如图所示：∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴60ABC ∠=︒，∵33AP BP =，∴3ABP V 是等边三角形，∴点32P P ，重合，∴符合条件的点P 有2个；故答案为：B ．【思路引导】先求出60ABC ∠=︒，再求出3ABP V 是等边三角形，最后求解即可。

等腰三角形的判定定理
等腰三角形的判定定理
等腰三角形是在平面几何形状中的一种比较复杂的几何图形，它的两条边都相等，而另一条边较长。

等腰三角形的判定定理是用来测试给定的三条边是否能构成一个等腰三角形的一个有用的定理。

此定理内容如下：若三边分别为a, b, c，则必须满足：
a =
b 或
c = b或 a = c
（a + b） > c or (b + c) > a or (c + a) > b
为了理解这个定理，让我们来看一个实际的例子。

假设我们有三条边，它们的长度是3 , 4 和5，那么我们可以将它们分别赋值给 a, b 和 c，我们会发现它们并不满足上面提到的定理，因为 a （3）不等于 b （4）也不等于 c（5），而且 a + b （3 + 4）也不大于 c（5），因此这三条边不能构成等腰三角形。

等腰三角形的判定定理可以帮助我们快速确定给定三条边能否构成等腰三角形，它也可以用于测试一个数学问题中是否存在等腰三角形的可能性，比如求解三边长度及一个角度。

同时，等腰三角形的判定定理也为我们提供了更多的有用信息，它可以让我们深入地探究等腰三角形的一些特性，并帮助我们更好地理解在平面几何中等腰三角形的位置。

专题08 等腰三角形【考点剖析】1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示；21DCBA符号：在ABC ∆中，AB ＝AC ，1212,,;,,;,12.BD CD AD BC AD B BD CD AD BC C BD CD ∠=∠⎧⎪=⊥∠=∠⊥∠=∠⎨⎪⊥⎩==若则若则若，则2.等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2） 等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)3.等边三角形的性质（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2） 等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于60︒； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.4.等边三角形的判定（1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形； （2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于60︒的等腰三角形是等边三角形. 【典例分析】例1 （杨浦2019期末14）在ABC ∆中，AB=AC ，把ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕交AB 于点M ，交BC 于点N. 如果CAN ∆是等腰三角形，则B ∠的度数为 . 【答案】4536︒︒或；【解析】因为把ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕交AB 于点M ，交BC 于点N.所以MN 是AB 的中垂线，∴NB=BA ，B BAN ∴∠=∠，AB AC B C =∴∠=∠Q ，设B x ∠=，则C BAN x ∠=∠=. （1）当AN=NC 时，CAN C x ∠=∠=，在ABC ∆中，根据三角形内角和定理得4180x =︒，得45x =︒，故45B ∠=︒；（2）当AN=AC 时，ANC C x ∠=∠=，而ANC B BAN ∠=∠+∠，故此时不成立；（3）当CA=CN 时，1802x NAC ANC ︒-∠=∠=，于是得1801802xx x x ︒-+++=︒，解得36x =︒. 综上所述：4536B ∠=︒︒或.NM CBA例2 （浦东2018期末18）如图，在ABC ∆中，A=120,=40B ∠︒∠︒，如果过点A 的一条直线把ABC ∆分割成两个等腰三角形，直线l 与BC 交于点D ，那么ADC ∠的度数是 .CBA【答案】14080︒︒或；【解析】如图所示，把BAC ∠分为1000︒︒和2或者4080︒︒和，可得ADC=14080∠︒︒或.ABCDC BA20°80°80°40°40°20°20°40°40°100°例3 （闵行2018期末17）有下列三个等式①AB ＝DC ；②BE ＝CE ；②∠B ＝∠C ．如果从这三个等式中选出两个作为条件，能推出Rt △AED 是等腰三角形，你认为这两个条件可以是 （写出一种即可）EDCBA【答案】①②或①③或②③．（答案不唯一）【解析】解：当AB ＝DC ，BE ＝CE ，∠AEB ＝∠DEC 时，Rt △ABE ≌Rt △DCE （HL ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形；当AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，∠AEB ＝∠DEC 时，△ABE ≌△DCE （AAS ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形；当BE ＝CE ，∠B ＝∠C ，∠AEB ＝∠DEC 时，△ABE ≌△DCE （ASA ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形．故答案为：①②或①③或②③．（答案不唯一）例4 （黄浦2018期末27）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥,垂足为点D ，AD 平分BAC ∠，点O 是线段AD 上一点，线段的延长线交边AC 于点F ，线段CO 的延长线交边AB 于点E ． （1）说明ABC ∆是等腰三角形的理由； （2）说明BF=CE 的理由.O FE DC BA【答案与解析】（1）AD BC ADB=ADC ⊥∴∠∠Q ，Q AD 平分BAC ∠，BAD=CAD ∴∠∠.ADB=DAC+ACD ADC=BAD+ABD ∠∠∠∠∠∠Q ，，ABD=ACD ∴∠∠，AB=AC ∴即ABC ∆是等腰三角形；（2）ABC ∆Q 是等腰三角形，AD BC ⊥,BD=CD ∴.在BDO CDO ∆∆与中，DO DO ADB ADC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BDO CDO ∴∆∆≌OBD OCD ∴∠=∠.在BEC CFB ∆∆与中ECB FBCBC CBABC ACB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BEC CFB ∴∆∆≌，BF CE ∴=. 【真题训练】 一、选择题1.（宝山2018期末18）如图7，在ABC ∆中，AB=AC ，30A ∠=︒，以B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AC 于点D ，联结BD ，则ABD ∠等于（ ）A. 45︒；B. 50︒；C. 60︒；D. 75︒.DABC【答案】A ；【解析】因为在ABC ∆中，AB=AC ，30A ∠=︒，所以18030752ABC ACB ︒-︒∠=∠==︒，又因为以B为圆心，BC 的长为半径作弧，交AC 于点D ，所以,75BD BC BCA BDC =∴∠=∠=︒，30CBD ∴∠=︒，故753045ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒-︒=︒. 故答案选A.2．（长宁2019期末20）在平面直角坐标系，O 为坐标原点，点A的坐标为，M 为坐标轴上一点，且使得MOA ∆为等腰三角形，那么满足条件的点M 的个数为（ ） A. 4； B.5； C.6； D.8 【答案】C ；【解析】分三种情况：（1）当OA=OM 时，可得M 点坐标可以为：（0，2）、（0，-2）、（2，0）、（-2，0）；当AO=AM 时，M 点坐标可以为（2，0）、(0,；当MO=MA 时，（2，0）、(0,3；故一共有6个不同的点. 故选C. 二、填空题3.（浦东2018期末13）已知一个等腰三角形两边长分别为2和4，那么这个等腰三角形的周长是 . 【答案】10；【解析】依题，（1）若腰长为2、底为4，不可能构成等腰三角形，舍去；（2）若腰长为4、底为2，符合题意，周长为4+4+2=10；由上可知，这个等腰三角形的周长为10. 4.（宝山2018期末7）已知实数x 、y满足|3|0x -=，那么以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 . 【答案】15；【解析】因为实数x 、y满足|3|0x -=，所以x=3，y=6，故符合题意的等腰三角形三边长分别为6、6、3，故此等腰三角形的周长为6+6+3=15.5．（闵行2018期末15）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，等边△ABC 的顶点B 、C 分别在直线l 2、l 3上，若边BC 与直线l 3的夹角∠1＝25°，则边AB 与直线l 1的夹角∠2＝ ．l 3l 2l 1【答案】35°．【解析】解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，∠1＝25°，∴∠1＝∠3＝25°．∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝60°，∴∠4＝60°﹣25°＝35°，∴∠2＝∠4＝35°．故答案为：35°．1l 2l 36．（普陀2018期末17）如图，已知△ABC 中，∠ABC 的角平分线BE 交AC 于点E ，DE ∥BC ，如果点D 是边AB 的中点，AB=8，那么DE 的长是 ．E D CBA【答案】4；【解析】解：连接BE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE ，∵DE ∥BC ，∴∠DEB=∠ABE ， ∴∠ABE=∠DEB ，∴BD=DE ，∵D 是AB 的中点，∴AB=BD ，∴DE=12AB=4，故答案为：4 AD BCE7.（宝山2018期末13）如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC=AE ，BC=BD ，则ACD BCE ∠+∠= ______-︒.ECBA【答案】45；【解析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，因为AC ＝AE ，所以ACE AEC ∠=∠，因为CH AB ⊥，所以90AEC HCE ∠+∠=︒， 又90ACE BCE ∠+∠=︒，所以=BCE HCE ∠∠；同理可得：ACD HCD ∠=∠； 故+=+BCE ACD HCE HCD ∠∠∠∠即+=45BCE ACD ∠∠︒．HED CBA8.（黄浦2018期末19）已知等腰三角形的一个内角为50度，则这个等腰三角形的顶角为 ︒. 【答案】50︒或80︒；【解析】（1）当顶角为50︒时，这个等腰三角形的顶角为50︒；（2）当底角为50︒时，则顶角为180-250=80︒⨯︒︒；综上述，这个等腰三角形的顶角为50︒或80︒.9.（长宁2018期末14）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40︒，那么这个等腰三角形的顶角为____度.【答案】50130︒︒或.【解析】（1）如下图1，4050ABD A ∠=︒∴∠=︒，（2）如图2，40130ABD BAC ∠=︒∴∠=︒，故这个等腰三角形的顶角为50130︒︒或（图2）(图1）10.（黄浦2018期末14）等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角，用符号来表示为：如图，如果在ABC ∆中，AB=AC ，且 ，那么AD BC ⊥且 .DCBA【答案】BD=CD ；BAD CAD ∠=∠；【解析】等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角，用符号来表示为：如图，如果在ABC ∆中，AB=AC ，且BD=CD ，那么AD BC ⊥且BAD CAD ∠=∠.故答案为：BD=CD ；BAD CAD ∠=∠. 11.（杨浦2019期末13）如图，已知在ABC ∆中，AB=AC ，点D 在边BC 上，要使BD=CD ，还需添加一个条件，这个条件是 .（只需填上一个正确的条件）D B A【答案】BAD CAD ∠=∠或者AD BC ⊥（只填一个）【解析】解：在ABC ∆中，AB=AC ，BAD CAD ∠=∠，BD CD ∴=；或者 在ABC ∆中，AB=AC ，AD BC ⊥，BD CD ∴=；故答案为：BAD CAD ∠=∠或者AD BC ⊥. 考查等腰三角形的三线合一。

教学内容（一）知识梳理知识点1：等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）知识点2：等腰三角形性质定理2:等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC∠1=∠2 AD⊥BC BD=DC∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2,BD=DC AD⊥BC知识3：等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。

在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD （AAS）∴AB=AC【典型例题分析】例1. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。

解：∵AP=PQ=AQ（已知）∴△APQ是等边三角形（等边三角形的定义）∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°（等边三角形的性质）∵AP=BP（已知）∴∠PBA=∠PAB（等边对等角）又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60°∴∠PBA=∠PAB=30°同理∠QAC=30°∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°例2. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。

求证：△DEF是等腰三角形。

证明：∵∠B+∠BDE+∠BED=180°（三角形内角和定理）∠BED+∠DEF+∠FEC=180°（平角性质）∠B=∠DEF（已知）∴∠BDE=∠FEC（等角的补角相等）在△BED和△CFE中,∠BDE=∠FEC中（已证）,BD=CE （已知）,∠B=∠C （已知）∴△BED≌△CFE （ASA）,∴DE=EF （全等三角形对应边相等）∴△DEF是等腰三角形（等腰三角形定义）例3. 已知：如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD证明：∵AB∥CD （已知）∴∠A=∠C，∠B=∠D （两直线平行，内错角相等）∵OA=OB （已知）∴∠A=∠B （等边对等角）∴∠C=∠D （等量代换）∴OC=OD （等角对等边）例4. 如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论。

中考数学一轮复习资料五合一《核心考点+重点题型+高分秘籍+题组特训+过关检测》(全国通用版)第18讲等腰三角形题组特训详解一、选择题1．如图，在ABC V 中，AB AC =，AB 的垂直平分线交边AB 于D 点，交边AC 于E 点，若ABC V 与EBC V 的周长分别是20，12，则AB 为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C 【分析】首先根据DE 是AB 的垂直平分线，可得AE BE =；然后根据ABC V 的周长AB AC BC =++，EBC V 的周长BE EC BC AE EC BC AC BC =++=++=+，可得ABC V 的周长EBC -V 的周长AB =，据此求出AB 的长度是多少即可．【详解】解：∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AE BE =，∵ABC V 的周长AB AC BC =++，EBC V 的周长BE EC BC AE EC BC AC BC =++=++=+，∴ABC V 的周长EBC -V 的周长AB =，∴20128AB =-=．故选：C ．【点睛】此题主要考查了垂直平分线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．此题还考查了等腰三角形的性质，以及三角形的周长的求法，要熟练掌握．2．已知边长为4的等边ABC、、的中点，P为线段DE上一动点，则V，D、E、F分别为边AB BC AC+的最小值为（　）PF PCA．B．3C．4D．段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．如图，等腰ABC V 内接于O e ，点D 是圆中优孤上一点，连接DB DC 、，已知,70AB AC ABC =Ð=°，则BDC Ð的度数为（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°【答案】D 【分析】先根据等边对等角和三角形内角和定理求出40A Ð=°，再由同弧所对的圆周角相等即可得解答．【详解】解：∵AB AC =，70ABC Ð=°，∴70ABC ACB Ð=Ð=°，∴18040A ABC ACB Ð=°-Ð-Ð=°，∴40BDC A Ð==°∠．故选D ．【点睛】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．4．如图，若50MON Ð=°，MON Ð内有一个定点P ，点A ，B 分别在射线OM ON ，上移动，当PAB V 周长最小时，则APB Ð的度数为（ ）A ．60°B ．80°C ．100°D ．120°【答案】B 【分析】作点P 关于OM 的对称点P ¢，点P 关于ON 的对称点P ¢¢，连接OP ¢，OP ¢¢，P P ¢¢¢，其中P P ¢¢¢交OM 于A ，交ON 于B ，此时PAB V 的周长最小值等于P P ¢¢¢的长，由轴对称性质可知：OP OP ¢=，OP OP ¢¢=，AOP AOP ¢Ð=Ð，BOP BOP ¢¢Ð=Ð，且2250100P OP AOB ¢¢¢Ð=Ð=´°=°，从而得出180100240P P ¢¢¢Ð=Ð=°-°¸=°（），即可得出答案．【详解】解：如图，作点P 关于OM 的对称点P ¢，点P 关于ON 的对称点P ¢¢，连接OP ¢，OP ¢¢，P P ¢¢¢，其中P P ¢¢¢交OM 于A ，交ON 于B ，此时PAB V 的周长最小值等于P P ¢¢¢的长，由轴对称性质可知：OP OP ¢=，OP OP ¢¢=，AOP AOP ¢Ð=Ð，BOP BOP ¢¢Ð=Ð，∴2250100P OP AOB ¢¢¢Ð=Ð=´°=°，∴180100240P P ¢¢¢Ð=Ð=°-°¸=°（），∴80APB P P ¢¢¢Ð=Ð+Ð=°，故选：B ．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，将PAB V 的周长最小值转化为P P ¢¢¢的长是解题的关键．5．如图，等腰ABC V 中，AB AC =，70BAC Ð=°，D 是BC 边的中点，DE AB ^于点E ，延长DE 至点F ，使EF DE =，则F Ð的度数为（ ）A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°∵DE AB ^，∴90BED Ð=°，∴903555ADE Ð=°-°=°，∵EF DE =，DE AB ^，∴AF AD =，∴55F ADE Ð=Ð=°，故答案为：C ．【点睛】本题考查的知识点主要是等腰三角形的性质与线段垂直平分线的性质，理解性质并熟练的应用是解题的关键．6．如图，在ABC V 中，AB AC =，边BC 在x 轴上，且点()10B -，，点()24A ，，则AOC V 的面积为（ ）A ．10B ．12C ．20D ．26【答案】A 【分析】作AD x ^轴于点Ｄ，求得4=AD ，2OD =，利用等腰三角形的性质求得3BD CD ==，根据三角形的性质即可求解．【详解】解：作AD x ^轴于点Ｄ，∵()24A ，，∴()20D ，，4=AD ，2OD =，7．如图，在正方形ABCD中，4V沿AE折叠，使点B落在正方形内点AB=，E为BC的中点，将ABEF处，连接CF，则CF的长为（）A．B C D．2.25∵四边形ABCD为正方形，8．如图，已知长方形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在点C ¢处，BC ¢交AD 于点E ，168AD AB ==，，则DE 的长为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】B 【分析】由四边形ABCD 为长方形可知AD BC ∥，8CD AB ==，从而得出ADB CBD Ð=Ð，结合折叠的性质得出ADB C BD ¢Ð=Ð，进而得出BE DE =．设BE DE x ==，则16AE x =-，在Rt ABE △中，根据勾股定理可列出关于x 的等式，解出x 的值，即得出答案．【详解】∵四边形ABCD 为长方形，∴AD BC ∥，8CD AB ==∴ADB CBD Ð=Ð．由折叠的性质可知C BD CBD ¢Ð=Ð，8C D CD AB ¢===，∴ADB C BD ¢Ð=Ð，∴BE DE =．设BE DE x ==，则16AE AD DE x =-=-，在Rt ABE △中，222AE AB BE +=，∴()222168x x -+=，解得：10x =，∴10DE =．故选B ．【点睛】本题主要考查折叠的性质，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键．9．如图，在一个直角三角形中，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法不一定正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】对尺规作图进行分析，再利用等腰三角形的判定条件逐一进行判断即可得到答案．【详解】解：A 、如图1，由作法可知，BD BC =，即BCD △是等腰三角形，不符合题意，选项错误；B 、如图2，由作法可知，所做线段为AC 的垂直平分线，但不能证明线段相等，无法推出等腰三角形，符合题意，选项正确；C 、如图3，由作法可知，所做线段为AB 的垂直平分线，AD BD =，即ABD △是等腰三角形，不符合题意，选项错误；D 、如图4，由作法可知，所做线段为AC 的垂直平分线，AD CD =，即ACD V 是等腰三角形，不符合题意，选项错误，故选B ．【点睛】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握尺规作图的基本图形做法是解题关键．10．如图，将长方形ABCD 沿EF 折叠，B ，C 分别落在点H ，G 的位置，CD 与HE 交于点M ．下列说法中，不正确的是（ ）．A ．ME HG=B ．ME MF =C ．HM FM EB+=D ．GFM MEAÐ=Ð【答案】A 【分析】由折叠的性质知BEF MEF Ð=Ð，BC HG =，AD AB ^，结合平行线的性质可证M MEF FE =ÐÐ，可证选项B 正确；由点到直线的距离可得ME HG ¹，故选项A 不正确；由折叠的性质知HE BE =，再由HE HM ME HM MF =+=+，可得选项C 正确，利用平行线的性质可得MEA HMD Ð=Ð，GFM HMD Ð=Ð，可证选项D 正确．【详解】解：如图，过点M 作MK AB ^，由折叠的性质知BEF MEF Ð=Ð，BC HG =，AD AB ^，由题意知CD AB ∥，AD BC HG ==，∴BEF MFE Ð=Ð，AD MK HG ==，∴M MEF FE =ÐÐ，∴ME MF =，故选项B 正确，不合题意；∵ME MK >，∴ME HG ¹，故选项A 不正确，符合题意；由折叠的性质得：HE BE =，∵HE HM ME HM MF =+=+，∴HM FM EB +=，故选项C 正确，不合题意；∵CD AB ∥，∴MEA HMD Ð=Ð，由题意知HE GF ∥，∴GFM HMD Ð=Ð，∴GFM MEA Ð=Ð，故选项D 正确，不合题意；故选A ．【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质等知识点，解题的关键是牢记折叠前后对应边相等、对应角相等．11．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，点M 在边BC 上，若MA 平分DMB Ð，则CM 的长是（ ）A ．B ．1C ．D 【答案】D 【分析】由矩形的性质得出1CD AB ==，AD BC ∥，2BC AD ==，90C Ð=°，由平行线的性质得出DAM AMB Ð=Ð，再由角平分线证出AMB AMD Ð=Ð，又勾股定理求出CM 即可．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴1CD AB ==，AD CB ∥，2BC AD ==，90C Ð=°，∴DAM AMB Ð=Ð，∵MA 平分DMB Ð，∴AMB AMD Ð=Ð，∴DAM AMD Ð=Ð，∴2DM AD ==，12．如图，ABC V 中，AB AC =，BD 平分ABC Ð交AC 于G ，DM ∥BC 交ABC Ð的外角平分线于M ，交AB 、AC 于F 、E ，下列结论正确的是（ ）A ．EF ED=B ．FD BC =C ．EC MF =D ．EC AG=【答案】C 【分析】通过证明BF EC =，BF FM =即可解决问题；【详解】解：∵AB AC =，∴ABC C Ð=Ð，∵DM ∥BC ，∴,AFE ABC AEF C Ð=ÐÐ=Ð，∴AFE AEF Ð=Ð，∴AF AE =，∴BF EC =，∵D DBC FBD Ð=Ð=Ð，∴DF BF =，同理可证：BF FM =，∴EC FM =，故选：C ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定及其性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB BC 、边上的两个动点，且总使AD BE =，AE 与CD 交于点F ，AG CD ^于点G ，则:FG AF 等于（ ）A ．1B ．2C ．13D ．1214．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线MN 分别与x 轴，y 轴交于点M ，N ，且6OM =，30OMN Ð=°，等边AOB V 的顶点A ，B 分别在线段MN OM ，上，则OB 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．415．如图，在ABC V 中，以各边为边分别作三个等边三角形BCF ，ABD ，ACE ，若3AB =，4AC =，5BC =，则下列结论：①AB AC ^；②四边形ADFE 是平行四边形；③150DFE Ð=°；④5ADFE S =四边形，其中正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B 【分析】由222AB AC BC +=，得出90BAC Ð=°，则①正确；由等边三角形的性质得60DAB EAC Ð=Ð=°，则150DAE Ð=°，由SAS 证得ABC DBF V V ≌，得4AC DF AE ===，同理()SAS ABC EFC V V ≌，得3AB EF AD ===，得出四边形AEFD 是平行四边形，则②正确；由平行四边形\12AEFD S DF AM DF AD =×=×Y 故④不正确；\正确的个数是3个，故选：B ．二、解答题16．如图，ABC V 是等腰三角形，AB AC =，060BAC °<Ð<°，分别在AB 的右侧，AC 的左侧作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，BD 与CE 相交于点F ．(1)求证：BF CF =；(2)作射线AF 交BC 于点G ，交射线DC 于点H ．①补全图形，当40BAC Ð=°时，求AHD Ð的度数；②当BAC Ð的度数在给定范围内发生变化时，AHD Ð的度数是否也发生变化？若不变，请直接写出AHD Ð的度数；若变化，请给出AHD Ð的度数的范围．17．如图，在ABCÐ的平V中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交DAC分线于E，交BC于G，且AE BC∥．(1)求证：ABC V 是等腰三角形；(2)若8AE =，2GC BG =，求BC 长．【答案】(1)答案见解析(2)12【分析】（1）先根据平行线的性质证明B DAEC CAE ÐÐÐÐ=，=，然后根据角平分线的定义得出B C Ð=Ð，则可证明ABC V 为等腰三角形；（2）证明AFE CFG △≌△，从而得到CG 的长，则可求得BC 的长．【详解】（1）解：AE BC Q ∥，B D A E ，C C A E \Ð=ÐÐ=Ð，AE Q 平分DAC Ð，DAE CAE \Ð=Ð，B C \Ð=Ð，AB AC \=，ABC \V 是等腰三角形；（2）F Q 是AC 的中点，AF CF \=，在AFE △和CFG △中，C FAE CF AFGFC EFA Ð=Ðìï=íïÐ=ÐîA FE C FG \V V ≌，8G C A E \==，2GC BG =Q ，4BG \=，12B C B G G C \=+=．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质和三角形全等的判定定理．18．在ABCV中，AB BC=，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE OF，．(1)如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；(2)如图2，当90Ð=°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由；ABC(3)若2，POFCF AE EF-==V为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．19．如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，30BAC Ð=°，E 为AB 边的中点，以BE 为边作等边BDE V ，连接AD ，CD ．(1)求证：ACD V 为等边三角形；(2)若3BC =，在AC 边上找一点H ，使得BH EH +最小，并求出这个最小值．由作图可知：最小值为∴60EAE¢Ð=°，∴EAE¢△为等边三角形，∴12EE EA AB¢==，∴90AE BТ=°，20．在ABC V 中，AB AC =，120BAC Ð=°，AD BC ^，垂足为G ，且AD AB =．60EDF Ð=°，其两边分别交边AB ，AC 于点E ，F ．(1)求证：ABD △是等边三角形；(2)求证：AE CF =．60DBE DAF BD ADBDE ADF Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA BDE ADF △△≌．∴BE AF =．又∵AB AC =，∴AB BE AC AF -=-，∴AE CF =．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．过关检测详细解析一．选择题1．如图，在ABC V 中，AC BC =，边AC 的垂直平分线分别交,AC BC 于点D 、E ．若45BAE Ð=°，3DE =，则AE 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．82．已知等腰三角形一边长为4，另一边长为6，则这个等腰三角形的面积等于（）A．B．C．D．3．如图，四边形ABCD 是O e 的内接四边形，连接AC ．若AC AD =，40CAD Ð=°，则B Ð的大小为（ ）A ．70°B ．100°C ．110°D ．120°【答案】C 【分析】根据AC AD =，40CAD Ð=°，得到70ACD D Ð=Ð=°，根据+180B D ÐÐ=°计算选择即可．【详解】∵AC AD =，40CAD Ð=°，∴70ACD D Ð=Ð=°，∵+180B D ÐÐ=°，∴110B Ð=°，故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握两个性质是解题的关键．4．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，E 为BC 的中点，将ABE V 沿AE 折叠，使点B 落在正方形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为（ ）A ．BCD ．2.25∵四边形ABCD 为正方形，∴4AB BC ==，∵E 为BC 的中点，∴122BE CE BC ===，在Rt ABE △中，根据勾股定理可得：5．如图1为一张正三角形纸片ABC ，其中D 点在AB 上，E 点在BC 上．以DE 为折痕将B 点往右折如图2所示，BD BE 、分别与AC 相交于F 点、G 点．若10AD =，16AF =，14DF =，8BF =，则CG 长度为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．106．如图，已知ABC V 是等边三角形，2BDC BAC Ð=Ð，BD CD =，点M ，N 分别是B ，AC 边上的点，且60MDN Ð=°．连接MN ，若AMN V 的周长是6，则ABC V 的边长是（ ）A ．2B ．3C ．3.5D ．4【答案】B 【分析】延长AB 至F ，使BF CN =，连接DF ，由“SAS ”可证BDF CDN V V ≌，V V ≌DMN DMF ，可得Ð=ÐBDF CDN ，DF DN =，MN MF =，即可求解．【详解】解：延长AB 至F ，使BF CN =，连接DF ，∵ABC V 是等边三角形，∴60Ð=Ð=Ð=°ABC BAC BCA ，∵BD CD =，2BDC BAC Ð=Ð，∴BDC V 是等腰三角形，120BDC Ð=°，∴30Ð=Ð=°BCD DBC ，∴90Ð=Ð=°DBA DCA ，在DBF V 和CND △中，BF CN DBF DCN DB DC =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS BDF CDN V V ≌，∴Ð=ÐBDF CDN ，DF DN =，∵60MDN Ð=°，∴60Ð+Ð=°BDM CDN ，∴60BDM BDF FDM MDN Ð+Ð=°=Ð=Ð，在DMN V 和V DMF 中，DN DF MDN MDF DM MD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS DMN DMF V V ≌，∴MN MF =，∴MF BF BM BM CN MN =+=+=，∴AMN V 的周长2AM AN MN AM MB BF AN AB AN CN AB AC AB ++=+++=++=+=．∵AMN V 的周长是6∴3AB =故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．7．如图，已知点D E 、分别是等边ABC V 边BC AB 、的中点，6AD =，点F 是线段AD 上一动点，则BF EF +的最小值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】B 【分析】连接CE 交AD 于点F ，连接BF ，此时BF EF +的值最小，最小值为CE ．【详解】解：连接CE 交AD 于点F ，连接BF ，如下图：∵ABC V 是等边三角形，D 是BC 的中点，∴BF CF =，∴BF EF CF EF CE +=+=，此时BF EF +的值最小，最小值为CE ∵D E 、分别是等边ABC V 边BC AB 、的中点，∴AD CE =，∵6AD =，∴6CE =，∴BF EF +的值最小值为6．故选：B ．【点睛】此题主要考查了轴对称求最短距离，解题关键是掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质．8．如图，在等边ABC V 中，4BC cm =，动点D 从点B 出发，以1cm/s 的速度沿BA 方向运动．同时动点E 从点B 出发以相同的速度沿BC 方向运动，当点D 运动到点A 时，点E 也随之停止运动．连接DE ，将BDE V 沿DE 折叠，点B 的对称点为点F ，设点D 的运动时间为t 秒，DEF V 与ABC V 重叠部分的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与t 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据等边三角形的性质和折叠的性质，利用分类讨论的思想方法求得y 与t 的函数关系式，再结合自变量的取值范围判定出函数的大致图象．【详解】解：由折叠的性质可得：BDE DEF S S =△△，①当02t ££时，DEF V 与ABC V 重叠部分的面积为BDE y S =V ，由题意得：cm BD BE t ==，过点D 作DH BE ^于点H ，如图，∵ABC V 是等边三角形，由题意得：cm==，则BD BE t∵60，，B BD BEÐ=°=∴BDEV是等边三角形，4综上，y 与t 之间函数关系式为由二次函数图象的性质可知，第一个函数的图象是开口向上的抛物线的一部分，第二个函数的图象是开9．点D 是等边三角形ABC 的边AB 上的一点，且12AD BD ==，，现将ABC V 折叠，使点C 与点D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，若54BF =，则CE 的长为（ ）A ．53B ．75C ．125D ．3510．如图，在等边三角形ABC 中，10cm AB AC ==，4cm DC =．如果点M ，N 都以1cm/s 的速度运动，点M 在线段CB 上由点C 向点B 运动，点N 在线段BA 上由点B 向点A 运动．它们同时出发，当两点运动时间为t 秒时，BMN V 是一个直角三角形，则t 的值为（ ）A ．103B ．209C ．103或203D ．53或103【答案】C【分析】根据题意，用含t 的式子表示出,,10CM t BN t BM t -===，分两种情况讨论，当90BMN Ð=°时，2BN BM =，求出t 的值；当90BNM Ð=°时，2BM BN =，求出t 的值．【详解】解：∵ABC V 是等边三角形，10AB AC ==cm ，∴10BC =cm ，∵点M 、N 都以1cm/s 的速度运动，设CM t =，BN t =，线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为（）A．5B C．D．6【答案】A【分析】连接CQ、CP，过点C作CH AB^，根据勾股定理求出^于H，根据切线的性质得到CQ PQPQ，根据等边三角形的性质求出CH，根据垂线段最短解答即可．【详解】解：连接CQ、CP，过点C作CH AB^于H，∵PQ 是C e 的切线，∴CQ PQ ^，∴22PQ CP CQ =-=当CP AB ^时，CP 最小，12．如图，O 为ABC V 的外心，OCP △为正三角形，OP 与AC 相交于D 点，连接OA ．若70BAC Ð=°，AB AC =，则ADP Ð为（ ）A ．110°B ．90°C ．85°D ．80°【答案】C 【分析】由三角形的外心可知OA OC =，结合AB AC =，70BAC Ð=°先求出ACO Ð，再利用OCP △是正三角形以及外角的性质即可求解ADP Ð的度数．【详解】解：O Q 是ABC V 的外心，AB AC=OA OC BAO CAO ACO\=Ð=Ð=Ð，=70BAC аQ =35CAO ACO \Ð=аOCP Q △是正三角形60PCO P \Ð=Ð=°25PCD PCO ACO \Ð=Ð-Ð=°256085ADP PCD P \Ð=Ð+Ð=°+°=°故选C ．【点睛】本题主要考查外心的性质，等边三角形的性质及三角形外角性质，熟练掌握外心的性质及外角的性质是解决本题的关键．13．如图，点B 是线段AC 上任意一点（点B 与点A ，C 不重合），分别以AB 、BC 为边在直线AC 的同侧作等边三角形ABD 和等边三角形BCE ，AE 与BD 相交于点G ，CD 与BE 相交于点F ，AE 与CD 相交于点H ，则下列结论：①AE CD =；②120AHC Ð=°；③ABG DBF ≌△△；④连接GF ，则GBF V 是等边三角形，以上结论正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A 【分析】利用等边三角形,ABD BCE V V 的性质，证明 ,ABE DBC V V ≌ 从而可判断①，由,ABE DBC V V ≌可得,EAB CDB Ð=Ð 再利用三角形的内角和定理可判断②，得出60ABG DBF Ð=Ð=°，进而证明ABG DBF ≌△△，判断③，得出BG BF =，即可判断④【详解】解：,ABD BCE QV V 为等边三角形，,60,60BA BD ABD BC BE CE CBE \=Ð=°==Ð=°，，,ABD DBE CBE DBE \Ð+Ð=Ð+Ð 即,ABE DBC Ð=Ð()SAS ,ABE DBC \V V ≌,AE DC \= 故①正确；Q ,ABE DBC V V ≌,EAB CDB \Ð=Ð,DGH AGB Ð=ÐQ180,180,DHG CDB DGH ABD EAB AGB Ð=°-Ð-ÐÐ=°-Ð-ÐQ60DHG ABD \Ð=Ð=°，120AHC \Ð=°，故②正确；60ABD EBC Ð=Ð=°Q ，60DBF \Ð=°，,EAB CDB Ð=ÐQ 则GAB FDBÐ=Ð在,ABG DBF V V 中GAB FDB AB DBABG DBF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî()ASA ABG DBF \V V ≌，故③正确；BF BG\=又60DBF Ð=°Q ，\GBF V 是等边三角形，故④正确故选：A ．【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质,掌握以上知识是解题的关键．14．如图，P 为O e 外一点，PA PB 、分别切O e 于点A 、B ，AC 是O e 的直径，若10AC =，30BAC Ð=°，则PAB V 的周长为（ ）A．8B．C．20D．【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．15．如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，60A Ð=°，10AC =，将ABC V 绕点C 按逆时针方向旋转得到A B C ¢¢△，此时点A ¢恰好在AB 边上，则点B ¢与点B 之间的距离为（ ）A ．10B ．20C ．D ．【答案】D 【分析】连接BB ¢，证明ACA ¢V 是等边三角形，得出60ACA ¢Ð=°，从而得出60BCB ¢Ð=°，证明BCB ¢V 是等边三角形，得出BB BC ¢=，根据勾股定理，结合含30°角的直角三角形性质，求出BC 即可．【详解】解：如图，连接BB ¢，∵将ABC V 绕点C 按逆时针方向旋转得到A B C ¢¢△，∴BCB ACA ¢¢Ð=Ð，CB CB ¢=，CA CA ¢=，∵60A Ð=°，∴ACA ¢V 是等边三角形，∴60ACA ¢Ð=°，∴60BCB ¢Ð=°，二、解答题16．在AOB V 中，已知90AOB Ð=°，OA OB =，点P 、D 分别在AB OB 、上．(1)如图1，若45PO PD OPD =Ð=°，，则POB Ð=______°（直接写答案）(2)如图1，在（1）的条件下，求证：BOP △是等腰三角形．(3)如图2中，若12AB =，点P 在AB 上移动，且满足PO PD =，DE AB ^于点E ，试问：此时PE 的长度是否变化？若变化，说明理由：若不变，请予以证明．【答案】(1)67.5°(2)见解析(3)PE 的值不变，6PE =，理由见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可；（2）首先根据等腰直角三角形的性质得到45B A Ð=Ð=°，然后利用三角形内角和定理和067.5BOP P D Ð=Ð=°得到BOP BPO Ð=Ð，进而求解即可；（3）解：PE的值不变，如图，过点O作OM∵90Ð=°，AOB AO∴BOMV是等腰直角三角形，1∴()AAS POM DPE ≌V V ，∴6OM PE ==，∴PE 的值不变，PE 的值为6．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．17．如图，ABC V 中， 15AB AC ==，AB 的垂直平分线DE 交AB 、AC 于E 、D ．(1)若BCD △的周长为21，求BC 的长；(2)若42A Ð=°，求DBC Ð的度数．【答案】(1)6(2)27DBC Ð=°【分析】（1）通过垂直平分线的性质判断边等，将三角形周长换成边的和，据此求解即可．（2）等腰三角形推出角等，通过角度的数量关系求解即可．【详解】（1）Q AB 的垂直平分线DE 交AB 、AC 于E 、D ．\BD AD =，Q BCD △的周长是21，15AB AC ==，\BCD △的周长21BD CD BC AD CD BC AC BC =++=++=+=，\6BC =；（2）Q AB 的垂直平分线DE 交AB 、AC 于E 、D ．\AD BD =，ABD A Ð=Ð，Q ABC V 中，AB AC =，\ABC C Ð=Ð，Q 42A Ð=°，\69ABC C Ð=Ð=°，\27DBC Ð=°．【点睛】此题考查垂直平分线的性质，解题关键是找到等角和等边的数量关系求解．18．已知，点P 为等边三角形ABC 所在平面内一点，且120BPC Ð=°．(1)如图（1），90ABP Ð=°，求证：BP CP =；(2)如图（2），点P 在ABC V 内部，且90APB Ð=°，求证：2BP CP =；(3)如图（3），点P 在ABC V 内部，M 为BC 上一点，连接PM ，若180BPM APC Ð+Ð=°，求证：BM CM =．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）证明BPC BCP Ð=Ð即可；（2）将ABP V 绕A 逆时针旋60°转，得到ACE △，点P 的对应点为E ，连接PE ，首先证明EAP V 是等边三角形，从而得出3090CEP CPE Ð=°Ð=°，，再利用含30°角的直角三角形的性质，可得答案；（3）将ABP V 绕A 逆时针旋60°转，得到ACE △，点P 的对应点为E ，连接PE ，同理得EAP V 是等边三角形，过点C 作CN 平行于BP ，交PM 的延长线于点N ，再利用ASA 证明CPE CPN @V V ，得CE CN =，再证明()AAS CMN BPM @V V ，从而解决问题．【详解】（1）ABC QV 是等边三角形，60ABC ACB A \Ð=Ð=Ð=°，90,ABP Ð=°Q 90906030,PBC ABP ABC °\Ð=-Ð-Ð=°-°=°30BPC °Ð=Q ，180PBC BPC BCP Ð+Ð+Ð=°，1801801203030PCB BPC PBC \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，,PBC BPC \Ð=Ð，BP CP \=；（2）AP BP ^Q ，90APB \Ð=°，将ABP V 绕A 逆时针旋转60°，得到ACE △，点P 的对应点为E ，连接PE ，则90AE AP CE BP CAE BAP AEC APB ==Ð=ÐÐ=Ð=°，，，，∴EAP CAE CAP Ð=Ð+Ð60BAP CAP BAC =Ð+Ð=Ð=°，∴EAP V 是等边三角形，∴60APE AEP Ð=Ð=°，∴906030CEP AEC AEP Ð=Ð-Ð=°-°=°，∵360360906012090CPE APB APE BPC Ð=°-Ð-Ð-Ð=°-°-°-°=°，∴2CE CP =，∴2BP CP =；（3）将ABP V 绕A 逆时针旋60°转，得到ACE △，点P 的对应点为E ，连接PE ，同理可知，EAP V 是等边三角形，∴60APE AEP Ð=Ð=°，180,APC BPM Ð+Ð=°Q 180APE EPC BPM \Ð+Ð+Ð=°，120EPC BPM \Ð+Ð=°，又120,BPC CPM BPM Ð=Ð+Ð=°.FPC CPD \Ð=Ð，过点C 作,CN BP ∥交PM 的延长线于点N ，则,PBC NCB Ð=Ð120,BPC Ð=°Q 18012060,PBC PCB \Ð+Ð=°-°=°又60,60ACP PCB ABP PBC Ð+Ð=°Ð+Ð=°，,ACP PBC \Ð=Ð由旋转得，,ACE ABP BP CEÐ=Ð=∴60ACE ACP PBC ABP Ð+Ð=Ð+Ð=°又60NCB BCP PBC BCP Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴PCE PCN Ð=Ð，在PCE V 和PCN △中，EPC NPC PC PCPCE PCN Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴PCE PCN @V V ，∴CE CN =，∴BP CN =，在BPM △和CNM V 中，PBM NCM PMB CMN BP CN Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴BM CM=【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，利用旋转将分散条件集中到一个三角形中是解题的关键．19．在ABC V 中，90B Ð=°，1AB =，D 为BC 延长线上一点，点E 为线段AC ，CD 的垂直平分线的交点，连接EA ，EC ，ED ．(1)如图1，当50BAC Ð=°时，则AED Ð的大小；(2)当60BAC Ð=°时，①如图2，连接AD ，AED △的形状是 三角形；②如图3，直线CF 与ED 交于点F ，满足CFD CAE Ð=Ð．P 为直线CF 上一动点．说明P 点在什么位置时，PE PD -有最大值；请直接写出这个最大值．（提示：作点D 关于直线CF 的对称点）【答案】(1)80AED Ð=°(2)①等边②点P 在ED ¢的延长线上时，PE PD -的值最大，最大值为2，理由见解析【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可；（2）①ADE V 是等边三角形，证明EA ED =，60AED Ð=°即可；②结论：2PE PD AB -=．如图3中，作点D 关于直线CF 的对称点D ¢，连接CD ¢，DD ¢，ED ¢．当点P 在ED ¢的延长线上时，PE PD -的值最大，此时PE PD ED -=¢，利用全等三角形的性质证明ED AC ¢=，可得结论．【详解】（1）解：如图1中，Q 点E 是线段AC ，CD 的垂直平分线的交点，EA EC ED \==，EAC ECA \Ð=Ð，ECD EDC Ð=Ð，90ABC Ð=°Q ，50BAC Ð=°，905040ACB \Ð=°-°=°，18040140ACD \Ð=°-°=°，280EAC ACD EDC \Ð+Ð+Ð=°，36028080AED \Ð=°-°=°．（2）解：①如图2中，Q 点E 是线段AC ，CD 的垂直平分线的交点，EA EC ED \==，EAC ECA \Ð=Ð，ECD EDC Ð=Ð，90ABC Ð=°Q ，60BAC Ð=°，906030°°\Ð=-°=ACB ，18030150ACD \Ð=°-°=°，300EAC ACD EDC \Ð+Ð+Ð=°，36030060AED \Ð=°-°=°，ADE \V 是等边三角形；②如图3中，作点D 关于直线CF 的对称点D ¢，连接CD ¢，DD ¢，ED ¢．当点P 在ED ¢的延长线上时，PE PD -的值最大，此时PE PD ED -=¢，180CFD CFE Ð+Ð=°Q ，CFD CAE Ð=Ð，。

等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明最新版1.等腰三角形的底角和顶角相等。

即当一个三角形的两边相等时，它们所夹的角也必相等。

证明：设有一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。

取点D在边BC上，使得AD是三角形的高。

由于BD=CD（等腰三角形的性质），且AD=AD（公共边），因此根据SSS（边-边-边）三角形相似判定，可知三角形ABD与三角形ACD全等。

所以，∠ABD=∠ACD。

由于AD是高，所以∠BAD=∠CAD。

因此，等腰三角形的底角和顶角相等。

2.等腰三角形的底角的平分线也是等腰三角形的高。

即当一个三角形的两边相等时，以底边的中点为顶点，将底角平分得到的线段为高。

证明：设有一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。

取BD为底边AC的中点，连接AD。

由于BD=AD（边上的中线），且AB=AC（等腰三角形的性质），根据SAS（边-角-边）相似判定，可知三角形ABD与三角形ACD全等。

因此，∠ABD=∠ACD。

而BD是底角∠BAC的平分线，故由平分角的性质可知∠BAD=∠CAD。

所以，等腰三角形的底角的平分线也是等腰三角形的高。

3.等腰三角形的高线也是等腰三角形的角平分线。

即当一个三角形的两边相等时，以顶点为顶点，高线所产生的角也将其底边平分。

证明：设有一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。

取AD为高线，连接BD和CD。

由于BD=CD（等腰三角形的性质），且∠ABD=∠ACD（等腰三角形的性质），根据AAS（角-边-角）相似判断，可知三角形ABD与三角形ACD全等。

所以，∠BAD=∠CAV。

而AD是底边∠BAC的平分线，因此等腰三角形的高线也是等腰三角形的角平分线。

判定定理是在已知等腰三角形的基础上，通过给定的条件判定一个三角形是否为等腰三角形。

以下是一个判定定理的例子：判定定理：若一个三角形的两个角相等，则该三角形为等腰三角形。

证明：设有一个三角形ABC，已知∠B=∠C。

由于三角形内角和为180度，所以∠A=180°-∠B-∠C=180°-2∠B=180°-2∠C。

等腰三角形的性质与判定【知识梳理】1．等腰三角形的概念：有 相等的三角形，叫做等腰三角形， 叫做腰，另一条边叫做 ．两腰所夹的角叫做 ，底边与腰所夹的角叫做 ．2．等腰三角形性质定理：(1)等腰三角形的两个 相等，也能够说成 ．． (3)等腰三角形是 图形．3．等腰三角形的判定：(1)有 相等的三角形是等腰三角形． (2)假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角 也相等．简写成 ．【例题讲解】例1等腰三角形ABC 中，AB =AC ，一腰上的中线BD •将这个等腰三角形周长分成15和6两局部，求这个三角形的腰长及底边长．例2如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABD =∠ACD ．求证：△DBC 是等腰三角形．例3 如图，AB =AE ，BC =ED ， ∠B =∠E ．求证：∠C =∠D ．例4如图，AB =AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证：∠BAC =2∠DBC ．例5 相关等腰三角形的基本图形．（1）如图3，若OD 平分∠AOB ，DE ∥OB交OA 于E ．求证：EO ＝ED ．提问：这个结论的逆命题是否准确？（2）如图 3，若 OD 平分∠AOB ， EO ＝ED ，求证： DE ∥OB ． （3）如图 3，若 DE ∥OB 交OA 于E ， EO ＝ED ，求证： OD 平分∠AOB ．总结：图3是相关等腰三角形的一个很常用的基本图形．以上三个小题说明：在图3中，“角平分线．平行线．等腰三角形”这三者中，若有两条成立，则第三条必成立．熟悉这个结论，对解决包含该图形的较复杂的题目是很有协助的．相关的题组练习．（1）如图4，AD ∥BC ， BD 平分∠ABC ．求证： AB ＝AD ．（2）已知：如图5（a ），AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ．问：①图中有几个等腰三角形？②如图5（b ），若过D 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，图中又增加了几个等腰三角形？ （3）如图5（c ），若将第（2）题中的△ABC 改为不等边三角形，其它条件不变，情况会如何？还可证出哪些线段的和差关系？(4）对第（3）题中“两内角平分线”可作怎样的推广？相对应的线段和差关系如何?推广①当过△ABC 的一个内角和一个外角平分线的交点作这两角的公共边的平行线时，如图5（d ）．推广②当过△ABC 的两个外角平分线上一点作这两个角的公共边的平行线时，如图5（e ）．（5）如图6，若BD ，CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过D 作DE ∥AB 交BC 于E ，作DF ∥AC 交BC 于F ．求证：BC 的长等于△DEF 的周长．【课后巩固】1．在△ABC 中，AB =AC ，若∠B =56º，则DCBAED CBADCB A 3334∠C =__________．2． 若等腰三角形的一个角是50°，则这个等腰三角形的底角为_____________．3． 若等腰三角形的两边长分别为x cm 和（2x－6）cm ，且周长为17cm ，则第三边的长为________．4． 如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，若∠CAD =25°，则∠ABE = ，若BC =6，则CD = ．5．△ABC 中，AB =AC ，∠ABC =36°，D ．E 是BC 上的点，∠BAD =∠DAE =∠EAC ，则图中等腰三角形有______个6．等腰三角形一腰上的高与底边夹角为20°，则其顶角的大小为___________． 7．如图，∠ABC =50°，∠ACB =80°，延长CB 到D ，使BD =AB ，延长BC 到E ，使CE =CA ，连接AD ．AE ，则∠DAE =_______．EDCB A8．如下列图，△MNP 中，∠P =60°，MN =NP ，MQ ⊥PN ，垂足为Q ，延长MN 至G ，取NG =NQ ，若△MNP 的周长为12，MQ =a ，则△MGQ 周长是 ．9．△ABC 中，∠C =∠B ，D ．E 分别是AB ．AC上的点，•AE =•2cm ，•且DE •∥BC ，•则AD =______10．如图，∠AOB 是一个钢架且∠AOB =10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些钢管EF ，FG ，GH ，…，添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管______根．11．如图△ABC 中，AB =AC ，AD 、BE 是△ABC 的高，它们相交于H ，且AE=BE ． 求证：AH =2BD ． 12．△ABC 为非等腰三角形，分别以AB 、AC 为 向△ABC 外作等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角 形ACE ，且∠DAB =∠EAC =90°． 求证：（1）BE =CD ；（2）BE ⊥CD ．13．如图，点D 、E 在ABC ∆的边BC 上，AB AC =，AD AE =． 求证：BD CE = 14．如图，AB AC =，30BAD ∠=，且AD AE =．求EDC ∠的度数．15.如图，ABC ∆中，90ACB ∠=，CD BA ⊥于D ，AE 平分BAC ∠交CD 于F ，交BC 于E ，求证：CEF ∆是等腰三角形．16．Rt ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=，O 为 AB 中点，若点M ．N 分别在线段AB ．AC 上移 动，且在移动过程中保持AN BM =，试判断 OMN ∆的形状，并证明你的结论．17.已知：如图，△ABC 中，D 在AB 上，E 在AC 延长线上，且BD ＝CE ，DE 交BC 于M ，MD ＝ME ，求证：△ABC 是等腰三角形．18.已知一个等腰三角形，从它的一个顶点出发引一条直线将它分成两个等腰三角形，这样的等腰三角形有几种情况？画出图形并写出原等腰三角形各角度数． E D C B AP QM N G 35E M DCB A36。

专题04 等腰三角形的证明知识对接考点一、怎样解与等腰三角形有关的问题解与等腰三角形的边有关的问题时，常利用三角形的三边关系:确定能否构成三角形.当已知等腰三角形的边不能确定是腰还是底时,要分类讨论,还要考虑三角形的存在性，即两腰之和大于底边.解与等腰三角形的角有关的问题时，常利用三角形的内角和定理,遇到顶角、底角未知或仅知道两角之差但不确定大小关系时，还要注意分类讨论. 考点二、等腰三角形中的分类讨论在解决与等腰三角形的边、角有关的问题时,如果不知道已知的边是腰还是底边或不知道已知的角是顶角还是底角,就需要分类讨论.1.已知等腰三角形的两边长分别为a,b(a≠b),求周长C 时,分两种情况: (1)若腰长为a 且2a>b,则周长C=2a+b; (2)若腰长为b 且2b>a,则周长C=2b+a.2.已知等腰三角形的一个角为α,求顶角或底角的度数时,有三种情况: (1)若α为钝角,则α为顶角,底角的度数为(180°-α).(2)若α为直角,则α为顶角,且该三角形为等腰直角三角形,底角为45°.(3)若α为锐角,则应分两种情况讨论:①当α为顶角时,底角的度数为(180°-α);②当α为底角时,顶角的度数为180°-2α.特别注意:无论哪种情况,都要注意三角形的三边必须满足“任意两边之和大于第三边”,三个角必须满足“三角形的内角和等于180°”.专项训练一、单选题1．（2021·河北九年级一模）求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如图，CAE ∠是ABC 的外角，12∠=∠，AD ∥BC ．求证AB AC =．以下是排乱的证明过程：∥又12∠=∠， ∥∥B C ∠=∠， ∥∥AD ∥BC ，∥∥1B ∠=∠，2C ∠=∠， ∥∥AB AC =．证明步骤正确的顺序是（ ） A ．∥→∥→∥→∥→∥ B ．∥→∥→∥→∥→∥ C ．∥→∥→∥→∥→∥ D ．∥→∥→∥→∥→∥【答案】B 【分析】根据平行线的性质得出1,2B C ∠=∠∠=∠，再利用12∠=∠等量代换，得出B C ∠=∠，即可判定ABC 是等腰三角形，即可证明． 【详解】 具体步骤为： ∥∥AD ∥BC ，∥∥1B ∠=∠，2C ∠=∠， ∥又12∠=∠， ∥∥B C ∠=∠， ∥∥AB AC =． 故选：B ． 【点睛】本题考查平行线的性质，等量代换，等腰三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质与等腰三角形的判定与性质．2．（2021·江西）如图，在∥ABC 中，∥A ＝36°，AB ＝AC ，BD 是∥ABC 的角平分线．若在边AB 上截取BE ＝BC ，连接DE ，则图中等腰三角形共有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】D 【详解】试题分析：在∥ABC 中，∥A=36°，AB=AC ，求得∥ABC=∥C=72°，且∥ABC 是等腰三角形；因为CD 是∥ABC 的角平分线，所以∥ACD=∥DCB=36°，所以∥ACD 是等腰三角形；在∥BDC中，由三角形的内角和求出∥BDC=72°，所以∥BDC 是等腰三角形；所以BD=BC=BE ，所以∥BDE 是等腰三角形；所以∥BDE=72°，∥ADE=36°，所以∥ADE 是等腰三角形．共5个． 故选D考点：角平分线，三角形的内角和、外角和，平角3．（2021·河北）已知：如图，ABC 中，B C ∠=∠，求证：AB AC =，在证明该结论时，只添加一条辅助线：∥作BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，∥过点A 作AD BC ⊥于点D ，∥取BC 中点D ，连接AD ，∥作BC 的垂直平分线AD ，其中作法正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】根据辅助线构造的条件和三角形全等的判定方法结合在一起判断求解． 【详解】∥作BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，则B CBAD CAD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∥∥ABD ∥∥ACD ， ∥AB =AC ， ∥∥作法正确；∥过点A 作AD BC ⊥于点D ，则B C BDA CDA AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∥∥ABD ∥∥ACD ， ∥AB =AC ， ∥∥作法正确；∥取BC 中点D ，连接AD ， 无法证明∥ABD ∥∥ACD ， ∥∥作法不正确；∥作BC 的垂直平分线无法证明点A 在其上，∥∥作法不正确；故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质证明，三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．4．（2021·云南文山·）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（）A．30B．60︒C．30或60︒D．15︒或75︒【答案】D【分析】首先根据题意作图，然后分别从等腰三角形一腰上的高在内部与在外部去分析，根据直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，则此直角边所对的角是30°角，再由等边对等角的知识，即可求得这个三角形的底角．【详解】解：如图∥：∥CD∥AB，∥∥ADC=90°，∥CD=12AC，∥∥A=30°，∥AB=AC，∥∥B=∥ACB=18030752︒︒︒-=；如图∥：∥CD∥AB，∥∥ADC=90°，AC，∥CD=12∥∥CAD=30°，∥AB=AC，∥∥B=∥ACB∥∥DAC=∥B+∥ACB=2∥B=30°，∥∥B=∥ACB=15°．∥这个三角形的底角为：75°或15°．故选：D．【点睛】此题考查了直角三角形的性质与等腰三角形的性质．解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．5．（2021·广东九年级二模）已知a、b、4分别是等腰三角形三边的长，且a、b是关于x 的一元二次方程2620-++=的两个根，则k的值等于（）x x kA．6B．7C．-7或6D．6或7【答案】D【分析】当a＝4或b＝4时，即x＝4，代入方程即可得到结论，当a＝b时，即∥＝（−6）2−4×（k ＋2）＝0，解方程即可得到结论．【详解】解：∥a、b、4分别是等腰三角形三边的长，∥当a＝4或b＝4时，即：42−6×4＋k＋2＝0，解得：k＝6，此时，2680-+=的两个根为：x1=2，x2=4，符合题意；x x当a＝b时，即∥＝（−6）2−4×（k＋2）＝0，解得：k＝7，此时，2690-+=的两个根为：x1=x2=3，符合题意；x x综上所述，k的值等于6或7，故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的性质，熟练掌握一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质，进行分类讨论，是解题的关键．6．（2021·甘肃兰州·九年级）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∥A＝46°，CD∥AB于点D，则∥DCB＝（）A ．46°B ．67°C ．44°D ．23°【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：∥等腰三角形ABC 中，AB =AC ， ∥∥ABC =∥ACB ∥∥A =46°，∥∥ABC =12×（180°-46°）=12×134°=67°， ∥CD ∥AB 于D ，∥∥DCB =90°-∥ABC =90°-67°=23°， 故选：D ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，本题的解题关键是求出∥ABC 的度数即可得出答案． 7．（2021·苏州高新区第二中学九年级二模）定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值()1k k >称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC 中，36,A ∠=︒则它的优美比k 为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．3【答案】B 【分析】由已知可以写出∥B 和∥C ，再根据三角形内角和定理可以得解． 【详解】解：由已知可得：∥B=∥C=k∥A=（36k ）°， 由三角形内角和定理可得：2×36k+36=180， ∥k=2， 故选B ． 【点睛】本题考查等腰三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想的应用是解题关键 ．8．（2021·四川成都·九年级一模）在螳螂的示意图中，AB∥DE ，∥ABC 是等腰三角形，∥ABC ＝124°，∥CDE ＝72°，则∥ACD ＝（ ）A ．16°B ．28°C ．44°D ．45°【答案】C 【分析】延长ED ，交AC 于F ，根据等腰三角形的性质得出28A ACB ，根据平行线的性质得出28CFD A，【详解】解：延长ED ，交AC 于F ，ABC ∆是等腰三角形，124ABC ∠=︒，28AACB， //AB DE ，28CFD A，72CDE CFD ACD，722844ACD，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．9．（2021·全国九年级专题练习）如图，AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线，5BD =，则CD 等于（ ）A ．10B ．5C ．4D ．3【答案】B 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可判断CD 的长． 【详解】∥AD 是等腰三角形ABC 的顶角平分线 ∥CD=BD=5． 故选：B ． 【点睛】本题考查等腰三角形的三线合一，关键在于熟练掌握基础知识．10．（2021·河北九年级专题练习）已知m 、n 、4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m 、n 是关于x 的一元二次方程2x ﹣6x +k+2=0的两个根，则k 的值等于( ) A ．7 B ．7或6 C ．6或﹣7 D ．6【答案】B 【分析】当m =4或n =4时，即x =4，代入方程即可得到结论，当m =n 时，即∥=(﹣6)2﹣4×(k +2)=0，解方程即可得到结论． 【详解】当m=4或n=4时，即x=4， ∥方程为42﹣6×4+k+2=0， 解得：k=6；当m=n 时，2x ﹣6x +k+2=0 ∥1a =，6b =-，2c k =+，∥()()22464120b ac k =-=--⨯⨯+=⊿， 解得：7k =，综上所述，k 的值等于6或7， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根、根的判别式以及等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得出方程有一个实数根为2或方程有两个相等的实数根是解题的关键． 二、填空题11．（2021·江苏九年级）若一条长为32cm 的细线能围成一边长等于8cm 的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为___cm ． 【答案】12 【分析】根据题意，分腰长为8cm 和底边为8cm 两种情况并结合三角形的构成条件分类讨论即可． 【详解】解：若腰长为8cm ，则此三角形的另一边长为32-8-8=16（cm ）， 而8+8=16，无法构成三角形， ∥此情形舍去；若底边为8cm ，则腰长为（32-8）÷2=12（cm ）， 此时12+12＞8，12+8＞8，可以构成三角形． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了三角形的构成条件、等腰三角形的性质、分类讨论的数学思想，根据题意结合三角形构成条件进行分类讨论是解题的关键．12．（2021·江苏九年级二模）顶角是36︒的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，AC AD BE 、、是正五边形ABCDE 的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_________．【答案】6 【分析】根据正五边形的内角和和黄金三角形的定义进行判断即可． 【详解】解：设BE 与AC 、AD 交于M 、N ，ABCDE 是正五边形，内角和为5218540(0)-⨯︒=︒，每一个内角为5405108︒÷=︒，∥∥ABC＝∥BAE＝∥AED＝∥BCD＝∥CDE＝108°，∥AB＝BC＝AE＝ED，∥∥BAC＝∥BCA＝36°，∥EAD＝∥ADE＝36°，∥∥CAD＝36°，∥ACD＝∥ADC＝72°，∥AC＝AD，∥∥ACD是黄金三角形，同理可求：∥BAN＝∥ANB＝∥AME＝∥EAM＝72°，∥CBM＝∥BMC＝∥DNE＝∥DEN＝72°，∥∥AMN、∥DEN、∥EAM、∥CMB，∥ABN也是黄金三角形．则图中黄金三角形的个数有6个．故答案为：6．13．（2021·浙江九年级期末）ABC中，∥A=36°，∥B是锐角．当∥B=72°时，我们可以如图作线段BD将ABC分成两个小等腰三角形如果存在一条线段将ABC分成两个小三角形，这两个小三角形都是等腰三角形，则∥B的角度还可以取到的有____________．【答案】54°，36°，18°，12°【分析】直线从A、B、C出发分三种情况讨论，利用等边对对角、三角形的外角性质、三角形的内角和建立方程求解，再结合题干看是否存在即可得出答案．【详解】∠=解：这条直线从A、B、C出发皆可，设B x()I假设从A出发，如下图：∥当BD=AD，AD=DC时，B BAD DAC C∴∠=∠∠=∠∴︒-︒-=︒-1803636x x此时x的值不存在；∥当BD=AD，AC=DC时∠=∠，ADC DACB BAD∠=∠ADC B BAD BAC BAD∠=∠+∠=∠-∠∴=︒-236x xx=︒；解得：12∥当BD=AD，AD=AC时∠=∠∠=∠，ADC CB BADC x x∠=︒--︒=︒-ADC B BAD x∠=∠+∠=，180361442x x∴=︒-2144解得：48x=︒︒>︒，此种情况不存在；此时4836∥当AB=AD，AD=DC时，∠=∠∠=∠，ADC CB ADBC x∠=︒-，18036∠=--︒BAD x1802()∴︒-=︒---︒x x180********x=︒（不符合题意）解得：96()II假设从B出发，如下图：∥当AD =BD ，BD =BC 时36272BDC A ABD ∠=∠+∠=︒⨯=︒72,72C B ∴∠=︒∠=︒,此情况成立；∥AD =BD ，BD =DC 时7236BDC DBC x ∠=︒∠=-︒， 3618036x x ∴-︒=︒-︒-解得：90x =︒，此时不成立；()III 假设从C 出发，如下图：∥BD =DC ，AC =DC 时362ADC A B DCB x ∠=∠=︒=∠+∠=解得：18x =︒，此时成立； ∥BD =DC ，AD =DC180362108ADC ∠=︒-︒⨯=︒,2108ADC B DCB x ∠=∠+∠==︒解得：54x =︒，此时成立； ∥BD =BC ，AD =DC 1802xBDC BCD ︒-∠=∠=，36A ACD ∠=∠=︒，BDC A ACD ∠=∠+∠ 18036362x︒-∴=︒+︒x=︒；解得：36综上所述，∥B的角度还可以取到的有54︒、36︒、12︒、18︒．故答案为：54°，36°，18°，12°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和、三角形外角的性质，解题的关键是分情况讨论，注意不要漏掉．14．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为____．【答案】45°或36°【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．【详解】解：∥如图1，当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AC=BC，AD=CD=BD，设∥A=x°，则∥ACD=∥A=x°，∥B=∥A=x°，∥∥BCD=∥B=x°，∥∥A+∥ACB+∥B=180°，∥x+x+x+x=180，解得x=45，∥原等腰三角形的底角是45°；∥如图2，∥ABC 中，AB =AC ，BD =AD ，AC =CD ， ∥AB =AC ，BD =AD ，AC =CD ， ∥∥B =∥C =∥BAD ，∥CDA =∥CAD ， ∥∥CDA =2∥B ， ∥∥CAB =3∥B ， ∥∥BAC +∥B +∥C =180°， ∥5∥B =180°， ∥∥B =36°，∥原等腰三角形的底角为36°； 故答案为45°或36° 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及其判定．作此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解． 15．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，E 、F 分别是边BC 、CD 上一点，EF AE ⊥，将ECF △沿EF 翻折得EC F '△，连接AC '，当BE =________时，AEC '是以AE 为腰的等腰三角形．【答案】78或43【分析】对AEC '是以AE 为腰的等腰三角形分类讨论，当=AE EC '时，设BE x =，可得到4EC x =-，再根据折叠可得到=4EC EC x '=-，然后在Rt∥ABE 中利用勾股定理列方程计算即可；当=AE AC '时，过A 作AH 垂直于EC '于点H ，然后根据折叠可得到=C EF FEC '∠∠，在结合EF AE ⊥，利用互余性质可得到BEA AEH =∠∠，然后证得∥ABE ∥∥AHE ，进而得到BE HE =，然后再利用等腰三角形三线合一性质得到EH C H '=，然后在根据数量关系得到14=33BE BC =．【详解】解：当=AE EC '时，设BE x =，则4EC x =-， ∥ECF △沿EF 翻折得EC F '△，∥=4EC EC x '=-，在Rt∥ABE 中由勾股定理可得：222AE BE AB =+即222(4)3x x -=+， 解得：7=8x ； 当=AE AC '时，如图所示，过A 作AH 垂直于EC '于点H ，∥AH ∥EC '，=AE AC '， ∥EH C H '=， ∥EF AE ⊥，∥=90C EF AEC ''+︒∠∠，90BEA FEC +=︒∠∠ ∥ECF △沿EF 翻折得EC F '△， ∥=C EF FEC '∠∠， ∥BEA AEH =∠∠，在∥ABE 和∥AHE 中B AHE AEB AEH AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∥∥ABE ∥∥AHE （AAS ）， ∥BE HE =， ∥=BE HE HC '=， ∥12BE EC '=∥EC EC '=， ∥12BE EC =， ∥14=33BE BC =，综上所述，7483BE =或，故答案为：7483或【点睛】本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰，然后结合勾股定理计算即可． 三、解答题16．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，将一张长方形纸片ABCD 沿E 折叠，使,C A 两点重合．点D 落在点G 处．已知=4AB ，8BC =． （1）求证：AEF ∆是等腰三角形； （2）求线段FD 的长．【答案】（1）见解析；（2）3 【分析】（1）根据矩形的性质可得//AD BC ,则FEC AFE ∠=∠,因为折叠，FEC AEF ∠=∠，即可得证；（2）设FD x =用含x 的代数式表示AF ，由折叠，AG DC =，再用勾股定理求解即可 【详解】（1）四边形ABCD 是矩形∴//AD BC∴FEC AFE ∠=∠因为折叠，则FEC AEF ∠=∠AEF AFE ∴∠=∠∴AEF ∆是等腰三角形（2）四边形ABCD 是矩形8,4AD BC CD AB ∴====,90D ∠=︒设FD x =，则8AF AD x x =-=-因为折叠，则FG x =，4AG CD ==,90G D ∠=∠=︒ 在Rt AGF △中222FG AF AG =-即222(8)4x x =-- 解得：3x =∴3FD =【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定定理，图像的折叠，勾股定理，熟悉以上知识点是解题的关键．17．（2021·湖南郴州市·）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒．点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，H 为线段EF 上一动点（不与点E ，F 重合），将线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AG ，连接GC ，HB ．（1）证明：AHB AGC ≌；（2）如图2，连接GF ，HC ，AF 交AF 于点Q ． ∥证明：在点H 的运动过程中，总有90HFG ∠=︒；∥若4AB AC ==，当EH 的长度为多少时，AQG 为等腰三角形？【答案】（1）见详解；（2）∥见详解；∥当EH 的长度为2AQG 为等腰三角形 【分析】（1）由旋转的性质得AH =AG ，∥HAG =90°，从而得∥BAH =∥CAG ，进而即可得到结论； （2）∥由AHB AGC ≌，得AH =AG ，再证明AEH AFG ≌，进而即可得到结论；∥AQG 为等腰三角形，分3种情况：（a ）当∥QAG =∥QGA =45°时，（b ）当∥GAQ =∥GQA =67.5°时，（c ）当∥AQG =∥AGQ =45°时，分别画出图形求解，即可． 【详解】解：（1）∥线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AG ， ∥AH =AG ，∥HAG =90°，∥在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，AB =AC ， ∥∥BAH =90°-∥CAH =∥CAG ， ∥AHB AGC ≌；（2）∥∥在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC ，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点， ∥AE =AF ，AEF 是等腰直角三角形， ∥AH =AG ，∥BAH =∥CAG ， ∥AEH AFG ≌， ∥∥AEH =∥AFG =45°，∥∥HFG =∥AFG +∥AFE =45°+45°=90°，即：90HFG ∠=︒； ∥∥4AB AC ==，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点， ∥AE =AF =2，∥∥AGH =45°，AQG 为等腰三角形，分3种情况：（a ）当∥QAG =∥QGA =45°时，如图，则∥HAF =90°-45°=45°， ∥AH 平分∥EAF ， ∥点H 是EF 的中点，∥EH 12=（b ）当∥GAQ =∥GQA =（180°-45°）÷2=67.5°时，如图，则∥EAH =∥GAQ =67.5°， ∥∥EHA =180°-45°-67.5°=67.5°， ∥∥EHA =∥EAH ， ∥EH =EA =2；（c ）当∥AQG =∥AGQ =45°时，点H 与点F 重合，不符合题意，舍去，综上所述：当EH 的长度为2时，AQG 为等腰三角形．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理，根据题意画出图形，进行分类讨论，是解题的关键．18．（2021·江苏九年级二模）如图（1），已知矩形ABCD 中，6cm AB BC ==，，点E 为对角线AC 上的动点．连接BE ，过E 作EB 的垂线交CD 于点F ．（1）探索BE 与EF 的数量关系，并说明理由．（2）如图（2），过F 作AC 垂线交AC 于点G ，交EB 于点H ，连接CH ．若点E 从A 出发沿AC 方向以/s 的速度向终点C 运动，设E 的运动时间为s t ． ∥是否存在t ，使得H 与B 重合？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由； ∥t 为何值时，CFH △是等腰三角形； ∥当CG GH =时，求CGH 的面积．【答案】（1）BE =；（2）∥t=1，∥t =； 【分析】(1)连接BF ，易证B. C. F. E 四点共圆，,AD EFtan ACD tan EBF CD BE∠==∠=即可求证出BE = ；(2)∥存在，当H 、B 重合时，如图所示，结合(1)知可得BG =3，CG =，同理可知CF =2，FG =1,EG CG ==CE =，由此可得t=1，∥先得出60CFH ∠=︒ ，再由△FHC 为等腰三角形，推出△FHC 为等边三角形进而得出45CEB ∠=︒ ，△ABE =15°，△EBC =75°，根据△BCH =30°得出CH=CB=CF ，根据题意列等式64t -=求出t =，∥过点E 作MN 垂直AB ，设AE =，求证出 ~FEM EBN ∆∆ ，根据相似的性质结合4DF t =，64CF t =- ，32FG t =- 得出EG =-=，再结合EGH FGE ∽得出()232t -=进而表示出CG ，代入面积公式()21CG 2CGH S ∆==即可； 【详解】解：(1)连接BF ，如图：已知矩形ABCD 中，BE EF ⊥ ， ∥∥BEF =∥BCF =90°，∥点B ， C ，F ， E 四点共圆，∥∥EBF =∥ACD （同圆中同弧所对圆周角相等），∥,AD EFtan ACD tan EBF CD BE∠==∠=∥BE =(2) ∥存在，当H 、B 重合时，如图所示：由(1)知，∥EBF =30°， ∥∥ACD =∥EBF =30°， 则∥ACB =60°，∥FH AC ⊥ 即∥BGC =90°，BC =∥BG =3，CG =，同理可得CF=2，FG=1，EG CG ==∥CE =， ∥AE AC CE =- ，又∥已知矩形ABCD 中，6cm AB BC ==，，∥AC =，∥AE =∥点E 从A 出发沿AC 方向以/s 的速度向终点C 运动， ∥t=1； ∥∥∥CFH 为等腰三角形， 又∥∥ACD =30°， ∥60CFH ∠=︒ ， ∥∥CFH 为等边三角形， ∥FG =GH ，又由（1）知90BEF ∠=︒， ∥FG =GH =EG ， ∥45CEB ∠=︒ ， ∥∥ABE =15°， ∥∥EBC =75°， ∥∥BCH =30°，∥∥CHB 为等腰三角形， ∥CH =CB =CF ，∥3CE CG EG =+=，∥3AE CE == ，即3= ，解得：t =， ∥由题意知：过点E 作MN 垂直AB ，设AE =，则由（1）得EN =，3t AN =，∥∥FME =∥ENB ，∥FEM +∥BEN=∥BEN +∥EBN=90°， ∥∥FEM =∥EBN ， ∥FEM EBN ∆~∆ ， ∥ME MFBN EN= ，，∥MF =t ，∥4DF DM MF AN MF t =+=+=，则64CF t =- ， ∥32FG t =- ，∥CG = ，EG AC AE CG =--=-=，在t R EFH ∆中，EG FH ⊥ ，,EGH FGE ∴∽ ,EG GH FG EG∴= ∥2EG GH FG =⨯ ，∥()()232t =⨯-，∥()232t -∥CG GH =，∥()()221122CGH S CG ∆===； 【点睛】此题属于四边形综合试题，考查动点问题，涉及到圆周角，三角形相似，特殊角的直角三角形各边的关系及等边三角形的证明，有一定难度．19．（2021·苏州市胥江实验中学校九年级）如图，在ABC 中，以AB 为直径的O 交BC 边于点D ，交AC 边于点E ．过点D 作O 的切线，交AC 于点F ，交AB 的延长线于点G ，且DF AC ⊥，连接DE ．（1）求证：ABC 是等腰三角形； （2）求证：2DE EF AC =⋅；（3）若6BG =，2CF =，求O 的半径． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3 【分析】（1）DF 是△O 的切线，得到∥ODF =90°，再求出∥C +∥FDC =90° ，∥C =∥BDO ，由OB =OD ，得∥BDO =∥ABC ．∥C =∥ABC ，即可求解．（2）因为AB 是直径，得到90ADB ∠=︒,知道AB AC =,BAD CAD ∠=∠,BD DE =,推出，ABD DEF ∽，得到AC DEDE EF=即可求解； （3）求出∥ODG∥∥AFG ，得出比例式，即可求出圆的半径． 【详解】（1）证明： ∥DF 是△O 的切线， ∥OD ∥DF ． ∥∥ODF =90°．又∥∥BDO +∥ODF +∥FDC =180°， ∥∥BDO +∥FDC =90°． ∥DF ∥AC ， ∥∥DFC =90°， ∥∥C +∥FDC =90°． ∥∥C =∥BDO ． ∥OB =OD ， ∥∥BDO =∥ABC ． ∥∥C =∥ABC ． ∥AB =AC ．∥∥ABC 是等腰三角形； （2）连接AD ，∥AB 是直径 90ADB ∴∠=︒, AB AC =,BAD CAD ∴∠=∠,BD DE ∴=,在ABD △和DEF 中90ADB DFE ABD DEF∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩ ABD DEF ∴∽,AB BDDE EF∴= ,AB AC BD DE ==AC DEDE EF∴= 2DE EF AC ∴=⋅ （3）解：∥AB =AC ， ∥∥ABC =∥C ， ∥OB =OD ， ∥∥ABC =∥ODB ， ∥∥ODB =∥C ， ∥OD ∥AC ， ∥∥GOD ∥∥GAF ， ,OD GOAF GA∴= ∥设△O 的半径是r ，则AB =AC =2r ， ∥AF =2r -2， 6,2262r rr r+∴=-+ ∥r =3，经检验：3r =是原方程的根，且符合题意， 即△O 的半径是3．【点睛】本题考查了切线的性质，圆内接四边形，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 20．（2021·广东中山·）如图，已知等腰ABC ∆的顶角36A ∠=︒．（1）根据要求用尺规作图：作ABC ∠的平分线交AC 于点D ；（不写作法，只保留作图痕迹．）（2）在（1）的条件下，证明：BDC ∆是等腰三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）以点B 为圆心，适当长为半径画弧，交AB 、BC 于点M 、N ，然后以点M 、N 为圆心，大于MN 长的一半为半径画弧，交于点O ，连接BO ，交AC 于点D ，则问题可求解； （2）由题意易得72ABC C ∠=∠=︒，然后可得72C CDB ∠=∠=︒，则问题可求证． 【详解】.解：（1）如图所示：BD 即为所求；（2）∥36A ∠=︒，∥()18036272ABC C ∠=∠=︒-︒÷=︒， ∥BD 平分ABC ∠，∥72236ABD DBC ∠=∠=︒÷=︒， ∥1803672872CDB ∠=︒-︒-=︒， ∥72C CDB ∠=∠=︒， ∥BD BC =，∥BDC都是等腰三角形．【点睛】本题主要考查角平分线的尺规作图及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的尺规作图及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．21．（2021·浙江）如图，矩形ABCD中，点E为BC边上一点，把ABE△沿着AE折叠得到AEF，点F落在AD边的上方，线段EF与AD边交于点G．（1）求证：AGE是等腰三角形（2）试写出线段FG，GD，EC三者之间的数量关系式（用同一个等式表示），并证明．【答案】（1）证明见解析；（2）GD=GF+EC，证明见解析．【分析】（1）根据矩形性质、折叠性质及等角对等边可以得到证明；（2）根据折叠性质及（1）可得AG+GD=FG+GA+EC，从而得到GD=GF+EC．【详解】解：(1)证明:在矩形ABCD中，有:AD∥BC且AD=BC.∥∥DAE=∥BEA.∥∥ABE沿着AE折叠得到∥AEF.∥∥AEB= ∥AEG.∥∥GAE=∥GEA.∥GA=GE.∥∥AGE是等腰三角形.(2)GD=GF+EC.证明:根据折叠的性质:BE=EF.∥GE=GA、AG+GD=BE+EC.∥AG+GD=EF+EC.∥EF=FG+GE=FG+GA.∥AG+GD=FG+GA+EC.∥GD=GF+EC.【点睛】本题考查矩形的折叠问题，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质是解题关键．22．（2021·安徽）如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上不与A，B重合的一动点，AC ＝CD，连接AC，CD，AD，BC，延长BC交AD于F，交半圆O的切线AE于E．（1）求证：∥AEF是等腰三角形；（2）填空：∥若AE BE＝5，则BF的长为；∥当∥E的度数为时，四边形OACD为菱形．【答案】（1）见详解；（2）∥3；∥60°【分析】（1）由AB为半圆O的直径，AE是切线，可得∥EAC=∥ABC，结合圆周角定理的推论可得∥EAC=∥CAD，从而得ACE≌ACF，，进而即可得到结论；（2）∥由等腰三角形的性质得EF=2CE，再利用勾股定理求出AB的值，然后利用面积法求出AC的值，进而即可求解；∥利用菱形的性质和圆的性质，可得ACO是等边三角形，结合圆周角定理，即可求得答案．【详解】（1）证明：∥AB为半圆O的直径，AE是切线，∥∥ACB=90°，∥EAB=90°，∥∥EAC+∥CAB=∥CAB+∥ABC=90°，∥∥EAC=∥ABC，∥AC＝CD，∥∥ABC =∥CAD，∥∥EAC=∥CAD，又∥∥ACE=∥ACF=90°，AC=AC，∥ACE≌ACF，∥AE=AF，∥∥AEF是等腰三角形；（2）∥∥∥AEF是等腰三角形，AE=AF，AC∥BE，∥点C是EF的中点，即:EF=2CE，∥AE ∥AB ，∥AB∥1122AEBSAE AB BE AC =⋅=⋅，∥2AE AB AC BE ⋅===，∥1CE =， ∥EF =2CE =2， ∥BF =BE -EF =5-2=3， 故答案是：3； ∥连接OC ，∥四边形OACD 为菱形， ∥OA =OD =CD =AC =OC ， ∥ACO 是等边三角形， ∥∥AOC =60°， ∥∥ABE =30°， ∥∥E =90°-30°=60°． 故答案是：60°．【点睛】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理及其推论，是解题的关键．23．（2021·广东）如图，已知等腰三角形ABC 的顶角∥A ＝108°．（1）在BC 上作一点D ，使AD ＝CD （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．（2）求证：∥ABD 是等腰三角形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图直接进行求解即可；（2）由题意易得∥B＝∥C＝36°，然后根据三角形内角和与外角的性质及等腰三角形的判定可进行求解．【详解】解：（1）如图，点D即为所求；（2）连接AD，∥AB＝AC，∥A＝108°，∥∥B＝∥C＝36°，由（1）得：AD＝CD，∥∥DAC＝∥C＝36°，∥∥ADB＝∥DAC+∥C＝72°，∥BAD＝∥BAC﹣∥DAC＝108°﹣36°＝72°，∥∥BAD＝∥BDA，∥AB＝BD，∥∥ABD是等腰三角形．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握各个知识点是解题的关键．。

（苏科版）八年级上册数学《第2章 轴对称图形》2.4 等腰三角形的轴对称性第1课时 等腰三角形的性质和判定◆1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．◆2、等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”).★用符号语言表示为：在△ABC 中，∵ AB =AC （已知），∴ ∠B ＝∠C （等边对等角）.◆3、等腰三角形性质2：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.★用符号语言表示为：在△ABC 中，（1）∵AB =AC , ∠1=∠2(已知)，∴BD =CD , AD ⊥BC （等腰三角形三线合一）.（2）∵AB =AC , BD =CD (已知)，∴∠1=∠2 , AD ⊥BC （等腰三角形三线合一）.（3）∵AB =AC , AD ⊥BC (已知)，∴BD =CD , ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.★在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．★拓展：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线.等腰三角形的判定方法：◆1、定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形.◆2、判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”)．几何语言：在△ABC中，∵∠B＝∠C（已知），∴AB=AC（等角对等边）.◆3、等腰三角形的判定与性质的区别条件结论作用性质(等边对等角)在同一个三角形中，两边相等.这两边所对的角也相等.证明角相等.判定(等角对等边)在同一个三角形中，两个角相等.这两个角所对的边也相等.证明线段相等.【例题1】（2022•梅江区校级开学）如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°．BD 平分∠ABC ，则∠BDC 是（ ）A ．36°B ．60°C ．72°D ．80°【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可得∠ABC 的度数，再根据角平分线的定义可得∠ABD 的度数，然后根据三角形的外角性质解答即可．【解答】解：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC =180°36°2=72°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =12∠ABC ＝36°，∴∠BDC ＝∠A +∠ABD ＝72°．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；【变式1-1】（2022春•藁城区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AD＝DC，AE⊥BD，若∠DAE＝28°，则∠BAE＝ °．【分析】根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AE⊥BD，∴∠ARD＝90°，∵∠DAE＝28°，∴∠ADB＝62°，∵∠ABC＝90°，AD＝DC，∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠ABD=12×（180°﹣62°）＝59°，∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝31°，故答案为：31．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【变式1-2】（2022春•三原县期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交AB于点E，交AC于点D．若∠ADE＝40°，则∠CBD＝ ．【分析】由DE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质，可得∠AED＝∠BED＝90°，DA＝DB，又由∠ADE ＝40°，即可求得∠ABD的度数，又由AB＝AC，即可求得∠ABC的度数，继而求得答案．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴∠AED＝∠BED＝90°，DA＝DB，∵∠ADE＝40°，∴∠A＝∠ABD＝50°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣50°）÷2＝65°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝65°﹣50°＝15°．故答案为：15°．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．【变式1-3】（2022春•碑林区校级期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，则∠DBC的度数为（ ）A．30°B．32°C．34°D．36°【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ABC的度数，根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，可得∠DBA 的度数，进一步即可求出∠DBC的度数．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝70°，∵AB 的垂直平分线交AC 于点D ，∴DA ＝DB ，∴∠DBA ＝∠A ＝40°，∴∠DBC ＝30°，故选：A ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．【变式1-4】（2022春•铁西区期末）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，延长BC 到点D ，使得CD ＝CA ，连接AD ，若∠D ＝25°，求∠BAC 的度数．【分析】两次利用等边对等角求得∠B ＝∠BCA ＝50°，然后利用三角形的内角和求得答案即可．【解答】解：∵CD ＝CA ，∠D ＝25°，∴∠BCA ＝2∠D ＝50°，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠BCA ＝50°，∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝80°．【点评】考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解“等边对等角”，难度不大．【例题2】（2022秋•云梦县期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ＝DB ，DE ⊥AB 于点E ，若BC ＝3，且△BDC 的周长为8，则AE的长为（ ）A．2B．2.5C．3D．3.5【分析】根据已知可得BD+CD＝5，从而可得AB＝AC＝5，然后利用等腰三角形的三线合一性质进行计算即可解答．【解答】解：∵BC＝3，且△BDC的周长为8，∴BD+CD＝8﹣3＝5，∵AD＝BD，∴AD+DC＝5，∴AC＝5，∵AB＝AC，∴AB＝5，∵AD＝DB，DE⊥AB，∴AE=12AB＝2.5，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【变式2-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，MN是AB的垂直平分线，△BNC的周长是24cm，BC＝10cm，则AB的长是（ ）A ．17cmB ．12cmC ．14cmD ．34cm【分析】根据垂直平分线的性质可得：AN=BN ，根据△BNC 的周长和BC 的长度得出AC=14cm,再利用AB=AC ，则AB=AC=14cm ．【解答】解：∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AN ＝BN ，∵△BNC 的周长是24cm ，BC ＝10cm ，∴BN +NC +BC ＝AN +NC +BC ＝AC +BC ＝24（cm ），∴AC ＝14cm ，∵AB ＝AC ，∴AB ＝14cm ，故选：C ．【点评】本题考查垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，求出AC=14cm ．【变式2-2】（2023春•西安月考）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，DE ＝5cm ，则BF ＝（ ）A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm【分析】先得出AD 是△ABC 的中线，得出S △ABC ＝2S △ABD ＝2×12AB •DE ＝AB •DE ＝5AB ，又S △ABC =12AC •BF ，将AC ＝AB 代入即可求出BF ．【解答】解：∵△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 是△ABC 的中线，∴S △ABC ＝2S △ABD ＝2×12AB •DE ＝AB •DE ＝5AB ，∵S △ABC =12AC •BF ，∴12AC •BF ＝5AB ，∵AC ＝AB ，∴12BF ＝5，∴BF ＝10（cm ），故选：B ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．【例题3】（2022秋•栖霞区校级月考）如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，连接BD ．则下列结论：①∠C ＝2∠A ；②BD 平分∠ABC ；③BC ＝AD ；④OD ＝2CD ．正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】由在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，根据线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质，可求得∠ABD ＝∠DBC ＝∠A ＝36°，∠ABC ＝∠BDC ＝∠C ＝72°，继而求得：①∠C ＝2∠A ；②BD 平分∠ABC ；③BC ＝AD ．【解答】解：∵AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝36°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°，∴∠C＝2∠A，故①正确；∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝36°，∴∠ABD＝∠DBC，∴BD平分∠ABC，故②正确；∴∠BDC＝∠C＝72°，∴BC＝BD＝AD，故③正确；由条件不能得出OD＝2CD，故④错误．故选：C．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．【变式3-1】在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MN交AC于D．下列结论中：①∠C＝72°；②BD是△ABC的中线；③∠BDC＝100°；④△ABD是等腰三角形；⑤AD＝BD＝BC．正确的序号有（ ）A．①③④B．①④⑤C．①②⑤D．②④⑤【分析】根据题意画出图形，再根据在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°求出∠C的度数；由线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数，故可得出∠DBC的度数，进而得出BD是∠ABC的平分线；由三角形内角和定理可求出∠BDC的度数；由线段垂直平分线的性质，易证得△ABD是等腰三角形．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C=180°∠A2=72°，故①正确；∵DM是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝36°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBC＝72°﹣36°＝36°，∴BD是∠ABC的平分线，故②错误；∵在△BCD中，∠DBC＝36°，∠C＝72°，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠C）＝180°﹣（36°+72°）＝72°．故③错误；∵DM是AB的垂直平分线，∴AD＝BD∴△ABD是等腰三角形；故④正确；∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵∠A＝∠ABD＝36°，∴∠CBD＝36°，∴BD＝BC，∴AD＝BD＝BC，故⑤正确．故选：B．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．【变式3-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用等腰三角形的概念、性质以及角平分线的性质做题．【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC∴△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，BD＝CD，∠BED＝∠DFC＝90°∴DE＝DF∴AD垂直平分EF∴（4）错误；又∵AD所在直线是△ABC的对称轴，∴（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF．故选：C．【点评】有两边相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）．【变式3-3】如图，在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，过点M作DE∥AC交AB于点D，交BC于点E，那么下列结论：①△ADM和△CEM都是等腰三角形；②△BDE的周长等于AB+BC；③AM＝2CM；④AD+CE＝AC．其中一定正确的结论有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．【解答】解：∵DE∥AC，∴∠DMA＝∠MAC，∠EMC＝∠MCA，∵△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，∴∠DAM＝∠MAC，∠ECM＝∠MCA，∴∠DAM＝∠DMA，∠EMC＝∠ECM，∴DA＝DM，ME＝EC，即△ADM和△CEM都是等腰三角形；故①正确；∴DE＝DM+EM＝AD+CE，∵AC＞DE，∴AD+CE＜AC，故④错误；∴△BDE的周长为：BD+DE+BE＝DB+DM+ME+BE＝AB+BC；故②正确；根据已知条件无法证明AM＝2CM，故③错误．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．【变式3-4】（2022春•神木市期末）如图，在△ABC中，点E、D分别在AB、AC的延长线上，∠BAC 与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA＝GP；②CP平分∠BCD；③BP垂直平分CE，其中正确的结论有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】①根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论；②根据角平分线的性质即可得到结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．【解答】解：①∵AP平分∠BAC，∴∠CAP＝∠BAP，∵PG∥AD，∴∠APG＝∠CAP，∴∠APG＝∠BAP，∴GA＝GP，故①正确；②∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，∴点P也位于∠BCD的平分线上，∴∠DCP＝∠BCP，故②正确；③∵BE＝BC，BP平分∠CBE，∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确；故选：D．【点评】本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．【例题4】（2022春•巴中期末）在等腰△ABC中有一个角是50°，那么另外两个角分别是（ ）A．50°、80°B．50°、80°或65°、65°C．65°、65°D．无法确定【分析】根据等腰三角形的性质分∠B为顶角或底角两种情况求解即可．【解答】解：当∠B＝50°为顶角时，此时∠A＝∠C=180°50°2=65°；当∠B＝50°为底角时，此时另一底角为50°，顶角为80°，故另外两个角分别是50°，80°或65°，65°．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，注意此题有两种情况．【变式4-1】（2022•上杭县校级开学）如果等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角度数为（ ）A．30°B．75°C．30°或75°D．60°【分析】根据等腰三角形的一个外角等于150°，进行讨论可能是底角的外角是150°，也有可能顶角的外角是150°，从而求出答案．【解答】解：①当150°外角是底角的外角时，底角为：180°﹣150°＝30°；②当150°外角是顶角的外角时，顶角为：180°﹣150°＝30°，则底角为：（180°﹣30°）×12=75°，∴底角为30°或75°．故选：C．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，此题应注意进行分类讨论，非常容易忽略一种情况．【变式4-2】（2022秋•南岗区校级月考）已知等腰三角形的两边长分别为7和3，则周长是（ ）A．13B．17C．18D．19【分析】分两种情况讨论：当3是腰时或当7是腰时，利用三角形的三边关系进行分析求解即可．【解答】解：当3是腰时，则3+3＜7，不能组成三角形，舍去；当7是腰时，则三角形的周长是3+7×2＝17．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．【变式4-3】（2022春•榆次区期中）一个等腰三角形的周长为13cm，一边长为5cm，则另两边长分别为（ ）A．3cm，5cm B．4cm，4cmC．3cm，5cm或4cm，4cm D．以上都不对【分析】此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边或5cm是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．【解答】解：当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是13﹣5×2＝3（cm），能够组成三角形；当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（13﹣5）÷2＝4（cm），能够组成三角形．故另两边长分别为3cm，5cm或4cm，4cm．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理的应用，从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．【变式4-4】（2022春•文登区期末）若实数m，n=0，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的长，则△ABC的周长是（ ）A．6B．8C．10D．8或10【分析】利用非负数的性质求出m，n的值，再分两种情形讨论即可．【解答】解：=0，∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，解得：m＝2，n＝4，当2是等腰三角形的底时，4，4，2能构成三角形，周长为10，当4是底时，2，2，4不能构成三角形．故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题．【变式4-5】（2022秋•长汀县校级月考）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）A．15°或75°B．30°C．150°D．150°或30°【分析】方法1：首先根据题意画出图形，然后分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求得答案．方法2：读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况，所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．【解答】解：方法1：根据题意得：AB＝AC，BD⊥AC，如图（1），∠ABD＝60°，则∠A＝30°；如图（2），∠ABD＝60°，∴∠BAD＝30°，∴∠BAC＝180°﹣30°＝150°．故这个等腰三角形的顶角等于30°或150°．方法2：①当为锐角三角形时可以画图，高与左边腰成60°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为180°﹣90°﹣60°＝30°，②当为钝角三角形时可画图，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30°，∴三角形的顶角为180°﹣30°＝150°．故选：D．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．【例题5】已知：如图，P 、Q 是△ABC 边BC 上两点，且AB=AC ，AP=AQ ．求证：BP=CQ ．【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得BO=CO ，PO=QO ，根据等式的性质，可得答案．【解答】证明：过点A 作AO ⊥BC 于O ．∵AB=AC ，AO ⊥BC ，∴BO=CO ， ∵AP=AQ ，AO ⊥BC ，∴PO=QO , ∴BO -PO=CO -QO∴BP=CQ ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用线段垂直平分线的性质是解题关键．【变式5-1】已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ，CE 是△ABC的角平分线．求证：BD ＝CE ．【分析】由于AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线，利用等边对等角，角平分线定义，可得∠ABC＝∠ACB，∠DBC＝∠ECB，而BC＝CB，利用ASA可证△EBC≌△DBC，再利用全等三角形的性质可证BD＝CE．【解答】证明：如图所示，∵AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线．∴∠ABC＝∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB，又∵BC＝CB，∴△EBC≌△DCB（ASA），∴BD＝CE．【点评】本题利用等腰三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质．【变式5-2】如图，AB＝AC，BD＝CD，AD的延长线与BC交于E，求证：AE⊥BC．【分析】由AB＝AC，BD＝CD，AD是公共边，即可证得△ABD≌△ACD（SSS），则可得∠BAD＝∠CAD，又由等腰三角形的三线合一的性质，证得AE⊥BC．【解答】解：在△ABD和△ACD中，AB=ACAD=AD，BD=CD∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD，∵AB＝AC，∴AE⊥BC．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．【变式5-3】（2023•成武县校级三模）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF．【分析】首先连接AD，由AB＝AC，D是BC的中点，根据三线合一的性质，可得∠EAD＝∠FAD，又由SAS，可判定△AED≌△AFD，继而证得DE＝DF．【解答】证明：连接AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠EAD＝∠FAD，在△AED和△AFD中，AE=AF∠EAD=∠FAD，AD=AD∴△AED≌△AFD（SAS），∴DE＝DF．【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．【变式5-4】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F．（1）求证：∠CBE＝∠BAD；（2）若CE＝EF，求证：AF＝2BD．【分析】（1）根据∠CBE +∠C ＝90°，∠CAD +∠C ＝90°，得出∠CBE ＝∠CAD ，再根据等腰三角形的性质得出∠CAD ＝∠BAD 即可得证结论；（2）根据AAS 证△BCE ≌△AFE ，得出AF ＝BC ，根据BC ＝2BD ，即可得证结论．【解答】证明：（1）∵∠CBE +∠C ＝90°，∠CAD +∠C ＝90°，∴∠CBE ＝∠CAD ，∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，∴∠CAD ＝∠BAD ，∴∠CBE ＝∠BAD ；（2）由（1）知∠CBE ＝∠CAD ，在△BCE 和△AFE 中，∠CBE =∠AFE ∠BEC =∠FEA =90°CE =EF，∴△BCE ≌△AFE （AAS ），∴AF ＝BC ，∵BC ＝2BD ，∴AF ＝2BD ．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键．【例题6】（2022•建湖县一模）如图，每个小方格的边长为1，A ，B 两点都在小方格的顶点上，点C 也是图中小方格的顶点，并且△ABC 是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】根据“两圆一线”画图找点即可．【解答】解：如图，C点与P、Q、R重合时，均满足△ABC是等腰三角形，故选：C．【点评】本题考查“两圆一线”构造等腰三角形的方法，熟练使用两圆一线的方法是解题关键．【变式6-1】如图所示，共有等腰三角形（ ）A．4个B．5个C．3个D．2个【分析】由已知条件，根据三角形内角和定理，求出图形中未知度数的角，即可根据等角对等边求得等腰三角形的个数．【解答】解：根据三角形的内角和定理，得：∠ABO＝∠DCO＝36°，根据三角形的外角的性质，得∠AOB＝∠COD＝72°．再根据等角对等边，得等腰三角形有△AOB，△COD，△ABC，△CBD和△BOC．故选：B．【点评】此题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质以及等腰三角形的判定方法．得到各角的度数是正确解答本题的关键．【变式6-2】（2022春•杨浦区校级期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，点D、E在AB上，如果BC＝BD，∠CED＝∠CDE，那么图中的等腰三角形共有（ ）个．A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】先求出各个角的度数，然后根据等腰三角形的判定即可求出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝36°，∴∠A＝54°，∵BC＝BD，∴∠CDB＝∠DCB＝72°，∴∠ECB＝36°，∠ACE＝54°，∴CE＝BE，AE＝CE，∴△BCD，△CDE，△CEB，△ACE都是等腰三角形，故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是求出各个角的度数，本题属于基础题型．【变式6-3】如图，在△ABC中，且∠ABC＝60°，且∠C＝45°，AD是边BC上的高，∠ABC的平分线交AD于F，交AC于E，则图中等腰三角形的个数为（ ）A．2B．3C．4D．5【分析】根据三角形高线的性质及直角三角形的性质推出∠ADC＝∠ADB＝90°，∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°，∠DAC＝90°﹣∠C＝45°，从而利用等腰三角形的判定定理得到△ADC是等腰三角形，再根据角平分线的性质得到∠ABF＝∠CBE=12∠ABC＝30°，从而由∠ABF＝∠BAD推出△ABF是等腰三角形，而∠BEA＝∠EBC+∠C＝45°+30°＝75°，∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°＝∠BEA，进而求解．【解答】解：∵AD是边BC上的高线，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵∠ABC＝60°，∠C＝45°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°，∠DAC＝90°﹣∠C＝45°，∴△ADC是等腰三角形，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABF＝∠CBE=12∠ABC＝30°，∴∠ABF＝∠BAD，∴△ABF是等腰三角形，则∠BEA＝∠EBC+∠C＝45°+30°＝75°，而∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°＝∠BEA，故△ABE为等腰三角形，故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的判定及直角三角形的性质，应充分运用数形结合的思想方法，结合图形从中寻找角之间的关系，结合相关定理及性质进行求解．【变式6-4】（2022秋•鼓楼区期末）如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】分别画出以A点和B点为顶点的等腰三角形，再画出C为顶点的等腰三角形即可．【解答】解：以AB为腰的等腰三角形有两个，以AB为底的等腰三角形有一个，如图：所以符合条件的点C的个数为3个，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键．【变式6-5】（2022秋•镇江月考）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．9【分析】分三种情况：当BA ＝BC 时，当AB ＝AC 时，当CA ＝CB 时，然后进行分析即可解答．【解答】解：如图：分三种情况：当BA ＝BC 时，以点B 为圆心，BA 长为半径作圆，点C 1，C 2，C 3即为所求；当AB ＝AC 时，以点A 为圆心，AB 长为半径作圆，点C 4，C 5，C 6，C 7，C 8即为所求；当CA ＝CB 时，作AB 的垂直平分线，与正方形网格的交点不在格点上，综上所述：满足条件的格点C 的个数是8，故选：C ．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键．【例题7】如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，点D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．求证：△ABC是等腰三角形．【分析】由条件可得出DE＝DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B＝∠C，再由等腰三角形的判定可得出结论．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE＝DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CDDE=DF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B＝∠C；∴AB=AC∴△ABC为等腰三角形．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用角平分线的性质得出DE＝DF 是解题的关键．【变式7-1】已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，DE∥AB，交AC于点E．求证：△AED是等腰三角形．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠ADE＝∠BAD，等量代换得到∠ADE＝∠CAD于是得到结论．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是底边BC上的中线，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD，∴∠ADE＝∠CAD∴AE＝ED，∴△AED是等腰三角形．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．【变式7-2】如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD ＝BE，求证：△ABC为等腰三角形．【分析】要证△ABC为等腰三角形，须证∠A＝∠C，而由题中已知条件，DF⊥AC，BD＝BE，因此，可以通过角的加减求得∠A与∠C相等，从而判断△ABC为等腰三角形．【解答】证明：∵DF⊥AC，∴∠DFA＝∠EFC＝90°．∴∠A＝∠DFA﹣∠D，∠C＝∠EFC﹣∠CEF，∵BD＝BE，∴∠BED＝∠D．∵∠BED＝∠CEF，∴∠D＝∠CEF．∴∠A＝∠C．∴△ABC为等腰三角形．【点评】本题考查了等腰三角形的判定方法；角的等量代换是正确解答本题的关键．【变式7-3】已知：如图，△ABC中，BC边上有D、E两点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：△ABC是等腰三角形．【分析】由∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据三角形外角的性质，易证得∠B＝∠C，然后由等角对等边，证得：△ABC 是等腰三角形．【解答】证明：∵∠B＝∠3﹣∠1，∠C＝∠4﹣∠2，又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与三角形外角的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．【变式7-4】已知如图，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，FD＝FE．求证：△ABC 是等腰三角形．【分析】过点D作DG∥AE于点G，利用平行线的性质得出∠GDF＝∠CEF，进而利用ASA得出△GDF ≌△CEF，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可．【解答】证明：过点D作DG∥AE于点G，∵DG∥AC∴∠GDF＝∠CEF（两直线平行，内错角相等），在△GDF和△CEF中，∠GDF=∠CEFDF=EF，∠DFG=∠CFE∴△GDF≌△CEF（ASA），∴DG＝CE又∵BD＝CE，∴BD＝DG，∴∠DBG＝∠DGB，∵DG∥AC，∴∠DGB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．【例题8】（2022秋•通州区校级月考）如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，△AMN的周长为33，AB＝15，则AC为（ ）A．15B．18C．20D．23【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△MBO和△NCO是等腰三角形，从而可得MO＝MB，NO＝NC，然后根据线段的和差关系可得，△AMN的周长＝AB+AC，进行计算即可解答．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴MO＝MB，NO＝NC，∵△AMN的周长为33，AB＝15，∴AM+MN+AN＝33，∴AM+OM+ON+AN＝33，∴AM+MB+CN+AN＝33，∴AB+AC＝33，∴AC＝18，故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．【变式8-1】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝2，则BC的长为（ ）A．12B．16C．20D．8【分析】根据角平分线的性质，平行线的性质，可以求得∠B的度数，再根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．【解答】解：∵CM平分∠ACB交AB于点M，∴∠NCM＝∠BCM，∵MN∥BC∴∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，∵MN平分∠AMC，∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC，∴∠B＝30°；∵AN＝2，∠AMN＝∠B＝30°，∴MN＝2AN＝4，∴NM＝NC＝4，∴AC＝AN+NC＝6，∴BC＝2AC＝12，故选：A．【点评】本题考查含30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【变式8-2】如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE，AB＝5，BE＝3，则AC＝（ ）A．10B．11C．13D．15【分析】延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，得出∠3＝∠4，AB＝AM＝5，BM＝2BE＝6，再利用∠4是△BCM的外角，利用等腰三角形判定得到CM＝BM，利用等量代换即可求证．【解答】解：延长BE交AC于M，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEM＝90°∴∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2，∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM＝5，∵BE⊥AE，∴BM＝2BE＝6，∵∠4是△BCM的外角，∴∠4＝∠5+∠C，∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5，∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C，∴∠5＝∠C，∴CM＝BM＝6，∴AC＝AM+CM＝AB+2BE＝11．故选：B．【点评】此题考查等腰三角形的判定与性质，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，准确添加辅助线构建等腰三角形是解题关键．【变式8-3】（2022春•神木市期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BP、CQ是△ABC两腰上的高，BP与CQ交于点O．求证：△BCO是等腰三角形．【分析】由题意可求得∠ABC＝∠ACB，再由高得∠BQC＝∠CPB＝90°，从而可求得∠OBC＝∠OCB，即有OB＝OC，从而得证△BCO是等腰三角形．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BP、CQ是△ABC两腰上的高，∴∠BQC＝∠CPB＝90°，∵∠OBC＝90°﹣∠ACB，∠OCB＝90°﹣∠ABC，∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴△BCO为等腰三角形．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定，等腰三角形的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角之间的关系．【变式8-4】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）求证：∠B＝∠DEF；（3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．【分析】（1）首先根据条件证明△DBE≌△ECF，根据全等三角形的性质可得DE＝FE，进而可得到△DEF 是等腰三角形；（2）根据△BDE≌△CEF，可知∠FEC＝∠BDE，∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B 即可得出结论；（3）由（2）知∠DEF＝∠B，再根据等腰三角形的性质即可得出∠DEF的度数．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE和△ECF中，BD=CE ∠B=∠C BE=CF，∴△DBE≌△ECF，∴DE＝FE，∴△DEF是等腰三角形；。

等腰三角形的判定定理(基础)【学习目标】1. 理解等腰三角形的判定方法及其证明过程.2. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.3.了解命题与逆命题、定理与逆定理、互逆定理以及它们之间的关系.4.线段垂直平分线定理的逆定理及其运用.【要点梳理】要点一、等腰三角形的判定定理1.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.2.等边三角形的判定定理三个角相等的三角形是等边三角形.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系.（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．（3）等边三角形是中考中常考的知识点，需要记住一下数据：边长为a的等边三角形2.要点二、命题与逆命题，定理与逆定理在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题．如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.要点诠释：每一个定理不一定都有逆定理，如果它存在逆定理，那么它一定是正确的.要点三、线段垂直平分线定理的逆定理到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.已知：AB是一条线段，P是一点，且PA=PB.求证：点P在线段AB的垂直平分线上．证明 (1)当点P在线段AB上时，结论显然成立．(2)当点P不在线段AB上时，作PC⊥AB于点O．PA=PB，PO⊥AB，∵ OA=OB，∴PC是AB的垂直平分线．∴点P在线段AB的垂直平分线上．【典型例题】类型一、等腰三角形的判定定理1、数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题（1）．（1）已知：如图①，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D．求证：△ABD与△DBC都是等腰三角形；（2）在证明了该命题后，小乔发现：下面两个等腰三角形如图②、③也具有这种特性．请你在图②、图③中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数；（3）接着，小乔又发现：其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形．请你画出两个不同类型且具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出可能的各内角的度数．（说明：要求画出的两个三角形不相似，且不是等腰三角形．）（4）请你写出两个符合（3）中一般规律的非等腰三角形的特征．【思路点拨】（1）根据等边对等角，及角平分线定义,易得∠1=∠2=36°，∠C=72°，那么∠BDC=72°，可得AD=BD=CB,∴△ABD与△DBC都是等腰三角形；（2）把等腰直角三角形分为两个小的等腰直角三角形即可，把108°的角分为36°和72°即可；（3）由（1），（2）易得所知的两个角要么是2倍关系，要么是3倍关系，可猜测只要所给的三个角中有2个角是2倍或3倍关系都可得到上述图形；（4）按照发现的（3）的特点来写，注意去掉特殊三角形的形式．【答案与解析】∴AD=BD，BD=BC，∴△ABD与△BDC都是等腰三角形．（2）解：如下图所示：（3）解：如图所示：（4）解：特征一：2倍内角关系，如图①．0°＜α＜45°，其中，α≠30°，α≠特征二：3倍内角关系，如图②．0°＜α＜45°，其中，α≠30°，α≠36度．【总结升华】本题考查了等腰三角形的判定；注意应根据题中所给的范例用类比的方法推测出把一般三角形分为两个等腰三角形的一般结论.举一反三【变式】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①∠DBO=∠ECO；②∠BDO=∠CEO；③BD=CE；④OB=OC．（1）上述四个条件中，哪两个可以判定△ABC是等腰三角形？（2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明△ABC是等腰三角形．【答案】解：（1）①③，①④，②③和②④；（2）以①④为条件，理由：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．又∵∠DBO=∠ECO，∴∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．2、如图，在△ABC 中，点E 在AB 上，点D 在BC 上，BD=BE ，∠BAD=∠BCE ，AD 与CE 相交于点F ，试判断△AFC 的形状，并说明理由．【思路点拨】要判断△AFC 的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看∠FAC 和∠FCA 的关系．因为∠BAD=∠BCE ，因此我们只比较∠BAC 和∠BCA 的关系即可．根据题中的条件：BD=BE ，∠BAD=∠BCE ，△BDA 和△BEC 又有一个公共角，因此两三角形全等，那么AB=AC ，于是∠BAC=∠BCA ，由此便可推导出∠FAC=∠FCA ，那么三角形AFC 应该是个等腰三角形．【答案与解析】解：△AFC 是等腰三角形．理由如下：在△BAD 与△BCE 中，B B BAD BCEBD BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（公共角） ∴△BAD ≌△BCE （AAS ），∴BA=BC ，∠BAC=∠BCA ，∴∠BAC-∠BAD=∠BCA-∠BCE ，即∠FAC=∠FCA ．∴AF=CF ，∴△AFC 是等腰三角形．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定等知识点，利用全等三角形来得出角相等是本题解题的关键．3、（2016•常州）如图，已知△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 是高，BD 与CE 相交于点O（1）求证：OB=OC ；（2）若∠ABC=50°，求∠BOC 的度数．【思路点拨】（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB ，然后利用高线的定义得到∠ECB=∠DBC ，从而得证；（2）首先求出∠A 的度数，进而求出∠BOC 的度数．【答案与解析】（1）证明：∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ，∵BD、CE是△ABC的两条高线，∴∠BDC=∠CEB=90°，∴∠DBC=∠ECB，∴OB=OC；（2）∵∠ABC=50°，AB=AC，∴∠A=180°﹣2×50°=80°，∴∠AEC+∠A +∠ADB+∠EOD=360°即90°+80°+90°+∠EOD=360°∴∠EOD=100°∴∠BOC=∠EOD=100°【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；关键是掌握等腰三角形等角对等边．举一反三【变式】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：（1）∠B=∠C；（2）△ABC是等腰三角形．【答案】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B=∠C；（2）由（1）可得∠B=∠C，∴△ABC为等腰三角形．类型二、命题与逆命题，定理与逆定理4、小明在证明“等腰三角形底边上的高线、底边上的中线和顶角的平分线互相重合”这一命题时，画出图形，写出“已知”、“求证”（如图1）．（1）请你帮助小明完成证明过程．（2）请你作出判断：小明写出的“已知”、“求证”是否完整？在横线上填“是”或“否”．_________（3）做完（1）后，小明模仿老师上课时的方法，又提出了如下几个问题：如：①若将题中“AD⊥BC”与“AD平分∠ABC”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中“AD⊥BC”与“BD=CD”的位置交换，得到的是否仍是真命题？请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①__________ ②_________.并对②的判断作出证明．（若是则写出证明过程；若不是则举出一个反例）.(图1) 【思路点拨】（1）由AD ⊥BC 得到∠ADB=∠ADC=90°，然后根据AB=AC,得到∠B=∠C,得到△ADB ≌△ADC ，则∠BAD=∠CAD ，BD=CD ，即AD 平分∠BAC ；（2）小明写出的“已知”、“求证”是完整的；（3）若将题中“AD ⊥BC ”与“AD 平分∠ABC ”的位置交换或将题中“AD ⊥BC ”与“BD=CD ”的位置交换，得到的结论仍是真命题，利用三角形全等的判定与性质进行证明．【答案与解析】（1）证明：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵AB=AC, ∴∠B=∠C.在△ADB 和△ADC 中B C ADB ADC 90AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪⎩＝,∴△ADB ≌△ADC （AAS ），∴∠BAD=∠CAD ，BD=CD ，∴AD 平分∠BAC ；（2）是；（3）①若将题中“AD ⊥BC ”与“AD 平分∠ABC ”的位置交换，得到的仍是真命题；【总结升华】本题考查了命题：判断一件事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．也考查了三角形全等的判定与性质．举一反三【变式】请写出“全等三角形的对应角相等”的逆命题，判断此逆命题的真假性，并给出证明．【答案】解：命题“全等三角形的对应角相等”的题设是“全等三角形”，结论是“对应角相等”，故其逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，举例证明：如图DE∥BC，∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A，但△ADE△ABC不全等．要点三、线段垂直平分线定理的逆定理5、在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．【思路点拨】根据线段的垂直平分线性质求出BD=DE，推出DE+EC=AE+DE，得出EC=AE，根据线段垂直平分线性质推出即可．【答案与解析】证明：∵AD是高，∴AD⊥BC，又∵BD=DE，∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，∴AB=AE，∴AB+BD=AE+DE，又∵AB+BD=DC，∴DC=AE+DE，∴DE+EC=AE+DE∴EC=AE，∴点E在线段AC的垂直平分线上．【总结升华】本题考查了线段的垂直平分线的应用，解此题的关键是熟练地运用性质进行推理，培养了学生分析问题和解决问题的能力．。

等腰三角形性质定理和判定定理
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形
等腰三角形的性质：
等腰三角形的两个底角相等.（简写成“等边对等角”）
等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合（简写成“三线合一”）
等腰三角形的两底角的平分线相等.（两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等）
等腰三角形的底边上到两条腰的距离相等
等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
等腰三角形的判定：
有两条腰相等的三角形是等腰三角形
1.三角形的任何两边的和一定大于第三边,由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边.
2.三角形内角和等于180度
3.等腰三角形的顶角平分线,底边的中线,底边的高重合,即三线合一.
4.;等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)等腰三角形的判定1有两条边相等的三角形是等腰三角形
2有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）3顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合的三角形是等腰三角形（4所有的等边三角形为等腰三角形）。

等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明一、性质定理：1.等腰三角形的顶角定理：等腰三角形的两个底角（与底边相对的两个角）是相等的。

证明如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，要证明∠B=∠C。

由等腰三角形的定义，可得AB=AC，又∠ABC=∠ACB。

再由三角形的内角和定理可知，∠A+∠B+∠C=180°。

将已知条件代入，得到∠A+∠ABC+∠A=180°。

化简可得2∠A+∠B=180°，即2∠A=180°-∠B，再化简可得∠A=90°-∠B/2同样地，我们有2∠A+∠C=180°，即2∠A=180°-∠C，再化简可得∠A=90°-∠C/2将∠A的两个表示式相等，得到90°-∠B/2=90°-∠C/2，即∠B/2=∠C/2、由此可得∠B=∠C，即等腰三角形的顶角定理成立。

2.等腰三角形的底边中线定理：等腰三角形的底边的中线与顶角的角平分线重合。

证明如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，CD为底边AB的中线，要证明CD是∠B和∠C的平分线。

由等腰三角形的定义，可得AB=AC，又CD是AB的中线，所以CD=AD。

再由三角形的两边和定理可知，∠B>∠C，即∠B与∠C不等。

假设CD不是∠B和∠C的平分线，即∠BCD≠∠BCD。

根据∠BCD和∠BCD的不等性，可知∠BCD+∠BCD>180°。

而∠BCD+∠BCD=2∠BCD，且∠BCD<∠B+∠C。

代入已知条件，得到2∠BCD<∠B+∠C<∠B+∠BC，再结合∠B+∠C=180°可知，2∠BCD<180°。

由此推出，∠BCD+∠BCD=2∠BCD<180°，与假设不符。

所以假设不成立，即CD是∠B和∠C的平分线。

从上述证明中可以看出，等腰三角形的底边中线是顶角的角平分线。

二、判定定理：1.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角度相等，那么这个三角形是等腰三角形。

第01讲 等腰三角形的性质与判定(6类热点题型讲练)1.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力.2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容，能证明等腰三角形的性质.3.有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性.知识点01 等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）图形：如下所示；符号：在ABC D 中，AB ＝AC ，1212,,;,,;,12.BD CD AD BC AD B BD CD AD BC C BD CD Ð=Ðìï=^Ð=Ð^Ð=Ðíï^î==若则若则若，则 知识点02 等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)21D C B A题型01根据等腰三角形腰相等求第三边或周长【例题】（2023上·河南商丘·八年级商丘市实验中学校考阶段练习）一个等腰三角形的两条边长分别为8cm 和4cm，则第三边的长为cm．【答案】8【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，是解题的关键．【详解】解：①若一腰长为8cm，则底边为4cm，则第三边的长为8cm，488+>，故能组成三角形；②若一腰长为4cm，则底边为8cm，则第三边的长为4cm，+=，故不能组成三角形．448故答案为：8．【变式训练】解得：4a =，5b =，当4为等腰三角形的腰长，5为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为44513++=，当5为等腰三角形的腰长，4为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为55414++=，故答案为：13或14．题型02 根据等腰三角形等边对等角求角的度数题型03 根据等腰三角形三线合一进行求解【答案】25【详解】解：如图，作BE∵AB BC =，∴AE CE =，∵AC CD ^，90BAD Ð=°∴EBA BAE BAE Ð+Ð=Ð+Ð【答案】10【详解】解：AB Q 5BD CD \==，210BC BD \==，故答案为：10．(1)求AF 的长．(2)求CD 的长．【详解】（1）解：连接AF ，如下图，根据题意，90BAC Ð=°，AB ∴222(2)BC AB AC =+=+∴190452B ACB Ð=Ð=´°=°，∵F 为BC 中点，题型04 根据等腰三角形三线合一进行证明 (1)若106BAC DAE ÐÐ=°，(2)求证：BD EC =．【详解】（1）解：∵AB AC =(1∵,AB AC AD AE ==，∴,BF CF DF EF ==，∴BD CE =.【变式训练】1．（2023上·山东威海·七年级校联考期中）如图，已知AB AE ABC AED BC ED =Ð=Ð=，，，点F 是CD 的中点，连接AF ，请判断AF 与CD 的位置关系．【答案】垂直【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质：连接AC AD ，，证明ABC AED ≌△△，得到AC AD =，根据等腰三角形三线合一的性质得到AF CD ^，熟练掌握全等三角形的判定定理及等腰三角形的性质是解题的关键．【详解】答：AF CD^连接AC AD ，∵AB AE ABC AED BC ED =Ð=Ð=，，∴ABC AED≌△△∴AC AD=又∵点F 是CD 的中点∴AF CD ^．2．如图，在ABC V 中，AB AC =，40BAC а=，AD 是BC 边上的高．线段AC 的垂直平分线交AD 于点E ，交AC 于点F ，连接BE ．(1)试问：线段AE 与BE 的长相等吗？请说明理由；(2)求EBD Ð的度数．【详解】（1）解：线段AE 与BE 的长相等，理由如下：连接CE ，如图所示：=，AD∵AB AC=，∴BD CD∴AD为BC的垂直平分线，∵点E在AD上，=，∴BE CE又∵线段AC的垂直平分线交题型05根据等角对等边证明等腰三角形Ð，【例题】（2023上·广西玉林·八年级统考期中）如图，点E在BA的延长线上，已知AD平分CAE ∥．求证：ABCAD BCV是等腰三角形．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质与角平分线的定义，先根据平行线的性质得到EAD B CAD C Ð=ÐÐ=Ð，，再由角平分线的定义和等量代换得到B C Ð=Ð，即可证明ABC V 是等腰三角形．【详解】证明：∵AD BC ∥，∴EAD B CAD C Ð=ÐÐ=Ð，，∵AD 平分CAE Ð，∴EAD CAD Ð=Ð，∴B C Ð=Ð，∴ABC V 是等腰三角形．【变式训练】【答案】ABC V 是等腰三角形，理由见解析【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形外角的性质，角平分线的定义，设4ACD x Ð=，3ECD x =∠，由角平分线的定义得到1【答案】证明见解析【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，证明根据角平分线的定义可得，以及直线平行的性质证明题型06 等腰三角形的性质和判定综合应用【例题】如图，在ABC V 中，AB AC =，D 是BC 边的中点，连接AD ，BE 平分ABC Ð交AC 于点E ．(1)若40C Ð=°，求BAD Ð的度数；(2)过点E 作EF BC ∥交AB 于点F ，求证：BEF △是等腰三角形．(3)若BE 平分ABC V 的周长，AEF △的周长为15，求ABC V 的周长．【详解】（1）解：AB AC =Q ，C ABC \Ð=Ð，∵40C Ð=°，∴40ABC Ð=°，AB AC =Q ，D 为BC 的中点，AD BC \^，90BDA \Ð=°，∴90904050BAD ABC °°°°Ð=-Ð=-=；（2）证明：BE Q 平分ABC Ð，ABE EBC \Ð=Ð，又∵EF BC ∥，∴EBC BEF Ð=Ð，∴EBF FEB Ð=Ð，BF EF \=，BEF \V 是等腰三角形；（3）解：AEF QV 的周长为15，15AE AF EF \++=，BF EF =Q ，15AE AF BF \++=，即15AE AB +=，BE Q 平分ABC V 的周长，=15AE AB BC CE \++=，ABC \V 的周长+1515=30AE AB BC CE ++=+．【变式训练】1．如图，在ABC V 中，AB AC =，D 为CA 延长线上一点，DE BC ^于点E ，交AB 于点F ．(1)求证：ADF △是等腰三角形(1)试判断折叠后重叠部分△的面积．(2)求重叠部分AFC△【详解】（1）解：AFC∵四边形ABCD是长方形，∥，∴AD BC一、单选题1．（2023上·河南许昌·八年级统考期中）等腰三角形的一个底角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）．A ．20°B ．80°C ．100°D ．20°或100°【答案】A【分析】本题主要查了等腰三角形的性质．根据“等腰三角形两底角相等”，即可求解．【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为80°，∴等腰三角形的顶角为180808020°-°-°=°．故选：A2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，在ABC V 中，,AB AC AD =为BC 边上的中线，30B Ð=°，则CAD Ð的度数为（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°【答案】B【解析】略3．（2023上·广东珠海·八年级校考阶段练习）下列条件中，可以判定ABC V 是等腰三角形的是（ ）A ．40B Ð=°，80C Ð=°B ．123A BC ÐÐÐ=::::C ．2A B CÐ=Ð+ÐD ．三个角的度数之比是2:2:1【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．利A．16【答案】A【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题关键是掌握并会运用全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质定理．二、填空题【答案】117°/117度【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理与外角的性质，根据等边对等角可得54BAC BCA °Ð=Ð=，CAE CEA Ð=Ð127CAE ACB Ð=Ð=°，1BAD Ð=Ð【答案】10°，80°，140°或20°【详解】本题考查了等腰三角形的性质，先利用三角形内角和定理可得：AP AB =时；当AP AB =时；当BA BP =解：∵130ABC Ð=°，30ACB Ð=°，+ ∵BAC Ð是ABP V 的一个外角，∴20BAC APB ABP Ð=Ð+Ð=°，∵AB AP =，∵AB AP =，20BAP Ð=°，∴180802BAP ABP APB °-ÐÐ=Ð==°；当BA BP =时，如图：∵BA BP =，∴20BAP BPA Ð=Ð=°，∴180140ABP BAP BPA Ð=°-Ð-Ð=°；当PA PB =时，如图：∵PA PB =，∴20BAP ABP Ð=Ð=°；综上所述：当ABP V 是等腰三角形时，故答案为：10°，80°，140°或20°．11．（2023上·广东汕尾·八年级校联考阶段练习）用一条长为21cm 的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少?(1)求BD的长．(2)求BE的长．【答案】(1)4 (2)5，AE CD ^Q ，AD AC =AE \平分CAD Ð，CAE DAE \Ð=Ð，在CAE V 和DAE V 中，当AD BC^时，Q AB AC=，\142BD CD BC===，Q DEFV的周长DE DF EF=++，\DEFV的周长CE EF CD=+++(1)若120BAC Ð=°，求BAD Ð(2)求证：ADF △是等腰三角形．【答案】(1)60度(2)见解析(1)求证：BD CE =；(2)若BD AD =，B DAE Ð=Ð，求【答案】(1)见解析(2)108BAC Ð=°∵,AB AC AD AE ==.∴,BF CF DF EF ==,∴BD CE =.（2）∵,AB AC AD AE ==，AF ^∴BAF CAF Ð=Ð，DAF EAF Ð=Ð【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对角对等边．（1）平行线的性质结合角平分线平分角，得到B C Ð=Ð，即可得出结果；（2）平行线的性质结合角平分线平分角，得到A ABC CB =Ð∠，进而得到AB AC =即可；（3）同法（2）可得：BD DE =，利用AB AD BD =+，求解即可；（4）同法（2）得到,FD BD CE EF ==，推出ADE V 的周长等于+AB AC ，即可得出结果；（5）同法（2）得到,PD BD PE CE ==，推出PDE △的周长等于BC 的长即可．掌握平行线加角平分线往往存在等腰三角形，是解题的关键．【详解】解：（1）∵AE BC ∥，∴,DAE B CAE C Ð=ÐÐ=Ð，∵AE 平分DAC Ð，∴DAE CAE Ð=Ð，∴B C Ð=Ð，∴ABC V 是等腰三角形；故答案为：等腰；（2）∵BC 平分ABD Ð，AC BD ∥，∴,ABC DBC ACB DBC Ð=ÐÐ=Ð，∴A ABC CB =Ð∠，∴3AB AC ==；故答案为：3；（3）同法（2）可得：7BD DE ==，∴5712AB AD BD =+=+=；故答案为：12；（4）同法（2）可得：,FD BD CE EF ==，∴ADE V 的周长30AD AE DE AD AE DF EF AD AE BD CE AB AC =++=+++=+++=+=；故答案为：30；（5）同法（2）可得：,PD BD PE CE ==，∴PDE △的周长5cm PD PE DE BD CE DE BC =++=++==；故答案为：5cm ．理解概念：（1）如图1，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，CD AB ^，请写出图中两对概念应用：（2）如图2，在ABC V 中，CD 为角平分线，40A Ð=°，60B Ð=°．求证：动手操作：（3）当ACD V 是等腰三角形，DA DC =时，如图，则50ACD A Ð=Ð=°，BCD Ð=∴100ACB ACD BCD Ð=Ð+=°∠当ACD V 是等腰三角形，DA AC =则65ACD ADC Ð=Ð=°，BCD Ð∴5065115ACB Ð=°+°=°；当ACD V 是等腰三角形，CD AC =则1803ACD BCD B °-Ð=Ð=Ð=∴2603ACB ACD BCD Ð=+=∠∠当BCD △是等腰三角形，DB =则BDC BCD Ð=Ð，设BDC BCD x Ð=Ð=，则B Ð=则1802ACD B x Ð=Ð=°-，由题意得，180250x x °-+°=，230x °。