1.5数环和数域

事实上，因为0=0aS,所以S非空。 设n1 ，n2 Z，那么
n1a n2a=(n1 n2)aS， (n1a)(n2a)=(n1n2a)aS。
例如取a=2，那么S=｛2n|nZ｝就是全体偶数所 组成的数环。特别，如果a=0，那么S={0}。所以 单独一个数0也组成一个数环，称为零环，这是最 小的数环。
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一、代数运算及运算封闭性
代数运算：设A是一个非空集合，定义在A上的一个代数运算 是指存在一个法则，它使A中任意两个元素 都有 A中一个元素与之对应。
运算封闭：如果集合中任两个元素做某一运算后的结果仍在 这个集合中，则称该集合对这个运算封闭。
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例2 令S={a+bi |a,bZ,i2=-1}，证明S是一个数 环。
证明：因为0=0+0iS,所以S非空。 如果a+bi，c+diS，那么 (a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)iS, (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)iS.
1) F1 {a b 2i | a, b Q}
2) F2 {a b | a, b Q} a0 a1 a2 2 an n 3) F3 { | ai , b j Z , 2 m b0 b1 b2 bm
m, n为非零整数 }
二、数环
定义1：设S是复数集C的一个非空子集。如果对于 S中任意两个数a,b来说，a+b，a-b，ab都在S内， 那么就称S是一个数环。 即数环是对加、减、乘三种运算封闭的非空数集。 例如，上面所提到的整数集Z，有理数集Q，实数集 R和复数集C都是数环，分别称为整数环，有理数环， 实数环和复数环我们再看一些数环的例子。
例如两个整数的和、差、积仍是整数，但两个 整数的商就不一定是整数，这证明整数集对加、减、 乘三种运算封闭，但对除法并不封闭；而有理数集 对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭。 同样，实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算 都封闭。
根据数对运算的封闭情况，我们把数集分为两类： 数环和数域。
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或数域是对和、差、积、商（除数不为0）都封闭 的含有非零数的数集。
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例如，有理数集Q，实数集R和复数集C都是数域， 它们分别称为有理数域、实数域、复数域，它 们是三个重要的数域。 然而整数环Z不是数域。例1和例2的数环也不是 数域。 我们再看下列问题。
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1.5
数环和数域
教 学 目 的 1、了解数学问题的讨论与数的范围有关； 2、掌握数环和数域的概念及其判断方法； 3、掌握有理数是最小数域及其证明方法。
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研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的 范围，学习数学也是如此。
比如，先学习自然数，然后整数，再正有理数、 有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分 解、方程的根的情况，都跟数的范围有关。
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作业：P25 : 1， 3， 2，4
讨论题：P25 : 5 选做题： 1、 证明：若数域F包含 2 3 ，
则 一定包含 2和 3 ．
2、包括 3及 5的最小数环最小数环为 数环 能否作成数域？
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3、下列各数集是否作成数环或数域
a, b R, a, b F , bi F , bi b i F
可见F=C。
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证明：首先，容易看出 是一个数环。 F
并且 1 0 2 F，所以（）成立； 1 1
现在设c d 2 0, 那么c d 2 0,
否则，如果 d 2 0， c
在d 0的情形将得出 0, 这与c d 2 0 c 的假设矛盾； c 在d 0的情形将得出 2 Q，这与 2 d 是无理数矛盾。
例如
x 2 2 在有理数范围内不能分解，在实数范围内
就可以分解。
x2 1 0 在实数范围内没有根，在复数范围内就 有根。等等。
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我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数 范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做 这样的限制。 在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减 乘除运算（即代数运算）是否还在这个集合之中， 即运算是否封闭。
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问题： 1、除了Z 、Q、R、C外是否还有其他数环？ 2、一个数环是否一定包含0元？
3、有没有最小的数环？
4、除了零环外，是否还有只含有限个元素的 数环？ 5、除了定义之外，判断一个集合是数环 有没有其他简单的方法？
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例1 取定一个整数a, 令S={na | n Z}，那么S 是一个数环。
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a b 2 (a b 2 )(c d 2 ) 因此 c d 2 (c d 2 )(c d 2 ) ac 2bd bc ad 2 2 2 F， 2 2 c 2d c 2d （2）也成立。
所以F是一个数域。
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问题：6、数域与数环之间有什么关系？
7、除了Q、R、C外，是否还有其他的数域？
8、一个数域必包含哪两个元素？ 9、有没有最小的数域？最小的数域是什么？ 10、在判断一个数集是不是数域时，实际上 要检验几种运算？
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例3、令F a b 2 a, b Q ，则F是一个数域。
4) F4 {a 5 | a Q}
．
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拓展研究
1、设 S1 和 S2 是数环，试问 S1 S2 , S1 S2 是不是数环？若是，给出证明， 若不是举出反例。 若 S1 和 S2 是数域情况又如何？
S1 S2不是数域,反例:S1 a b 2 a, b Q , S2 a b 3 a, b Q
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定理1.5.2：任何数域都包含有理数域Q。
定理1.5.3：设F是一个至少含两个不同数的数集， 则F是数域的充要条件是F中任两数的差与商（除 数不为零）仍属于F。
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小结：
1、代数运算及其封闭性 2、数环的定义 3、数域的定义 4、最小的数域
所以S是一个数环。
定理1.5.1：设S是一个非空数集，S是数环的充 要条件是S中任两个数的差和积仍在S中。
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三、数域
定义2：设F是一个数环。如果 （1）F含有一个不等于零的数， （2）如果a,bF，且b0，则
a F b 那么则称F是一个数域。
即数域是对除法也封闭的非零数环。




两个数域的并，不一定是数域，能不能找出两 个数域的并是一个数域的充要条件并证明之。
（ F1 , F2 是数域，则 F1 F2 是数域的充要条件是 F1 F2 或 F2 F1 ）。
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2、在Q与R之间是否还有别的数域？在R与C 之间是否有别的数域？ 例：对任意素数P， Q P a b p a, b Q 是一个数域。 Q Q P R 在R与C之间不可能有别的数域。 设有数域F，使 R F C x F , x R, x C, 设x=a+bi，且 b 0 （若b=0，则 x a R ，矛盾）。