第五章相交线与平行线 第一节、知识梳理： 相交线与平行线 一、学习目标 1.理解对顶角、邻补角的概念，掌握其性质，会用其性质进行有关推理和计算； 2.掌握垂线、垂线段、点到直线的距离的概念； 3.掌握“三线八角”的内容. 二、学习重点与难点 学习重点：1.邻补角、对顶角以及点到直线距离的概念； 2.掌握两直线平行的三个判定方法. 学习难点： 1.对顶角的性质、垂线性质； 2.灵活运用平行线的判定方法来解题. 三、知识概要 1.要正确理解邻补角、对顶角的含义： （1）判断两个角是否是邻补角，关键要看这两个角的两边，其中一边是公共边，另外两边是互为反向延长线； （2）邻补角是成对的，是具有特殊位置关系的两个互补的角； （3）判断两个角是否是对顶角，看这两个角是不是有公共顶点且有相同的邻补角，只有符合这两个条件时，才能确定这两个角是对顶角. 2.垂线、垂线段和点到直线的距离是三个不同的概念，不要混淆： （1）两条直线互相垂直是两条直线相交的特殊情况，特殊在交角都为直角，垂线是其中一条直线对另一条直线的称呼； （2）垂线是直线，垂线段是一条线段，是图形. （3）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说成垂线段是距离. 3.两条直线的位置关系，是在两条直线在“同一平面内”的前提下提出来的，它们的位置关系只有两种：一是相交（有一个公共点），二是平行（没有公共点）：（1）识别同位角、内错角、同旁内角的关键是要抓住“三线八角”，只有“三线”出现且必须是两线被第三线所截才能出现这三类角；
（2）判定两条直线平行时要正确判断出是什么角，什么关系，由此可以推出哪两条直线平行. 四、知识链接 1.本周相交线、平行线是以前学的直线的位置关系的延伸. 2.通过内错角、同位角、同旁内角等角度的比较得到平行线.而由平行线又可得到下周的平行线性质. 五、中考视点 平行与相交线中的垂直是经常考的内容.一般考其基础知识，以填空选择为主. 平行线的性质与平移 一、学习目标 1.掌握平行线的性质并会应用. 2.理解命题并会判断. 3.理解平移的定义并会应用平移的特征. 二、知识概要 1.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 2.两条平行线的距离 同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离. 对于这个概念，应注意三点： （1）两条直线必须是平行的； （2）第三条直线同时垂直于它们； （3）距离是线段的长度，是个具体的数，而不是线段这个图形. 3.关于命题
第五章相交线与平行线 知识结构图 相交线 相交线垂线 同位角、内错角、同旁内角 平行线 平行线及其判定平行线的判定 平行线的性质 平行线的性质命题、定理 平移 一、相交线:两条直线相交，形成4个角。 1．邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角，互为邻补角。如：∠1、∠2。 2．对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分 别是另一个角的两条边的反向延长线，具有这种关系的两个角， 互为对顶角。如：∠1、∠3。 3．对顶角相等。 二、垂线 1．垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。 2．垂线：垂直是相交的一种特殊情形，两条直线垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 3．垂足：两条垂线的交点叫垂足。 4．垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 5．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。连接直
线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 三、同位角、内错角、同旁内角:两条直线被第三条直线所截形成8个角。 1．同位角：在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。如：∠1和∠5。 2．内错角：在在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这 种位置关系的两个角叫内错角。如：∠3和∠5。 3．同旁内角：在在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有 这种位置关系的两个角叫同旁内角。如：∠3和∠6。 四、平行线 (一)平行线 1．平行：两条直线不相交。互相平行的两条直线，互为平行线。a∥b（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。） 2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 3．平行公理推论： ①平行于同一直线的两条直线互相平行。 ②在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。 (二)平行线的判定： 1.同位角相等，两直线平行。 2.内错角相等，两直线平行。 3.同旁内角互补，两直线平行。 (三)平行线的性质 1.两条直线平行，同位角相等。 2.两条直线平行，内错角相等。 3.两条直线平行，同旁内角互补。
人教版七年级下册数学第五章相交线 与平行线含答案 一、单选题(共15题，共计45分) 1、如图，AB AC，AD BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（） A.5条 B.4条 C.3条 D.2条 2、下列命题是假命题的是（） A.两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C.不相等的角不是对顶角； D.若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补 3、已知点A(4,2)，B(-2,2),则直线AB ( ) A.平行于 x轴 B.平行于 y轴 C.经过原点 D.以上都有可能 4、如图，，已知 ，则的度数为（）
A.60° B.80° C.90° D.100° 5、如图，△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE=EF=FC.则BN：NQ：QM等于（） A. 6：3：2 B.2：1：1 C.5：3：2 D.1：1：1 6、如图，平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（－3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（） A.1 B.1或5 C.3 D.5 7、如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为（） A.24 B.40 C.42 D.48
8、如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=38°，在OB上有一点E，从E 点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（） A.76° B.52° C.45° D.38° 9、如图，在△ABO中，AB⊥OB，OB= ，AB=1．将△ABO绕O点旋转90°后 得到△A 1B 1 O，则点A 1 的坐标为（） A.（-1，） B.（-1，）或（1，- ） C.（-1，- ） D.（-1，- ）或（- ，1） 10、下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形的个数是（） A.0 B.1 C.2 D.3 11、在图示的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（）
第五章 5.2.1平行线 知识1：平行线 1. 平行的定义:同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.如图,AB与CD平行,记作AB∥CD,读作AB平行于CD. 生活中平行线的形象是很常见的.比如,两平行的铁轨、黑板平面相对的两边、数学本子中平行的格子线、立方体相对的棱长…… 平行线的定义包含三层意思:(1)“在同一平面内”是定义的前提条件,是区别于空间内两条不相交的直线;(2)“不相交的两条直线”是平行线的特征;(3)通常所说的线段、射线平行,实际上是指它们所在的直线平行. 2. 两直线的位置关系 同一平面内两条直线只有两种位置关系:平行或者相交. 判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来判断:(1)有且只有一个公共点,则两直线相交;(2)无公共点,则两直线平行;(3)有两个或两个以上公共点,则两直线重合(因为两点确定一条直线). 注意：理解平行线的定义要注意两点:(1)在同一平面内;(2)不相交.特别要注意:互相平行的两条直线没有公共点,但没有公共点的两条直线不一定平行;通常所说的线段与线段平行、射线与射线平行指的是它们所在的直线平行. 知识点2:平行公理及其推论 1．平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行. 注意把握“有且只有”的含义,它包含两层含义:“有”——“存在性”即存在一条与已知直线平行的直线;“只有”——“唯一性”即与已知直线平行的直线是唯一的. 2．推论(平行线的传递性) 如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
即:如果a∥b,c∥b,那么a∥c. 知识点3:平行线的画法 平行线的画法是几何画图的基本技能之一,方法为:一“落”(三角板的一边落在已知直线上);二“靠”(用直尺紧靠在三角板的另一边);三“移”(沿直尺移动三角板,直到落在已知直线上的三角板的一边经过已知点);四“画”(沿三角板过已知点的边画直线).如图. 考点1:相交与平行的综合应用 【例1】在同一平面内有三条直线,它们之间的位置关系共有几种情形?试画图说明. 解:共有4种情形,如图所示. 点拨：由平行线的概念可知,在同一平面内,不相交的两条直线是平行线,也就是说:在同一平面内,两条直线的位置关系有两种:平行和相交. 考点2:利用定义和公理的推论证明平行 【例2】已知直线a∥b,b∥c,c∥d,则a与d的位置关系是什么?请说明理由. 解:a∥d.理由:∵a∥b,b∥c,∴a∥c.∵c∥d,∴a∥d. 点拨：由a∥b,b∥c,可知直线a、c都平行于直线b,根据平行于同一直线的两条直线互相平行可知a∥c;又由c∥d,可得a∥d.
第五章相交线与平行线 一、知识框架 二、知识概念1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。 2.对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边 的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。 3.垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直， 其中一条叫做另一条的垂线。 4.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 5.同位角、内错角、同旁内角： 同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。内错角：∠4与∠6像这样的一对角叫做内错角。 同旁内角：∠4与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。 6.命题：判断一件事情的语句叫命题。 7.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的
这种移动叫做平移变换，简称平移。 8.对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点 移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。 9.定理与性质对顶角的性质：对顶角相等。 10垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 11.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 12.平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等。 性质2：两直线平行，内错角相等。 性质3：两直线平行，同旁内角互补。 13.平行线的判定：判定1：同位角相等，两直线平行。 判定2：内错角相等，两直线平行。 判定3：同旁内角相等，两直线平行。 【难题巧解点拨】 例1求证三角形的内角和为１８０度。 B
第五章 相交线与平行线 5.1相交线 5.1.1 相交线 邻补角与对顶角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 ∠3与∠4 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. ∠3+∠4=180° 注意点： （1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角； （2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角； （3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角； （4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 例：如图，三条直线交于一点，任意找出图中的四对对顶角． 错解：如图， 对顶角为：（1）∠AOC 与∠BOD ； （2）∠AOF 与∠BOD ； （3）∠COF 与∠DOE ； （4）∠AOC 与∠BOE ． 错解分析：错解中把有公共顶点的角误认为是对顶角，导致（2）和（4）错误．如果对对顶角的概念没有真正理解 和掌握，在比较复杂的图形识别中会产生错误．对顶角就是：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线 ． 正解：（1）∠AOC 与∠BOD ；（2）∠BOE 与∠AOF ；（3）∠COF 与∠DOE ； （4）∠COE 与∠DOF ．（答案不唯一：∠ AOE 与∠BOF ，∠BOC 与∠AOD 也是对顶角） 5.1.2 垂线 1、定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 符号语言记作：AB ⊥CD ，垂足为O 2、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 1 2 4 3 A B C D O
第五章相交线与平行线 教材内容 本章主要内容是两条直线的位置关系：相交线和平行线，以及平移变换的内容。 本章首先研究了相交的情形，探索了两条直线相交所成角的位置和大小关系，给出了邻补角和对顶角的概念，得出了“对顶角相等”的结论；并着重研究了相交的特殊情形——垂直，探索了垂直的性质，给出了点到直线的距离的概念。接着研究了平行的情形，教科书首先引入了一个基本事实（平行公理），以此为出发点探讨了两条直线平行的性质和判定，并给出了两条平行线间的距离的概念，还对命题以及命题的构成作了简单的介绍。最后研究了平移的概念和性质，以及利用平移设计图案和分析解决实际生活中的问题。 本章知识是学习线和角的继续，也是学习几何知识的重要基础，以后几乎所有几何图形的学习都用到本章知识。 教学目标 〔知识与技能〕 1、了解两条直线的位置关系有相交与平行两种，理解相交线、平行线、平移的有关概念及性质，会运用这些概念和性质进行简单的推理和计算； 2、会用三角板、量角器等工具熟练地画垂线、平行线及有关简单几何图形，逐步培养学生的识图和绘图能力； 3、进一步熟悉和掌握几何语言，能够把学过的概念和性质，用图形或符号语言表示出来； 4、逐步了解几何推理要步步有据，会准确地填写推理的根据，并会作简单的推理。 〔过程与方法〕 1、通过探索、猜测，进一步体会学会推理的必要性，发展学生初步推理能力； 2、通过揭示一些概念和性质之间的联系，对学生进行创新精神和实践能力的培养. 〔情感、态度与价值观〕 1、通过观察、实验、归纳、类比、推断，体验数学活动的趣味性，以感受推理过程的严谨性以及结论的确定性； 2、开展探究性活动，充分体现学生的自主性和合作精神，激发学生乐于探索的热情。 重点难点 垂线的概念与平行线的判定与性质及平移是重点；学会写推理过程和对直线平行的性质和判定的灵活运用是难点。 课时分配 5.1相交线……………………………………… 2课时 5.2平行线……………………………………… 3课时 5.3平行线的性质……………………………… 3课时 5.4平移………………………………………… 5课时 本章小结………………………………………… 2课时
【知识重点】 1.两直线订交 2.邻补角：有一条公共边，另一条边互为反向延伸线的两个角互为邻补角。 3.对顶角 （ 1）定义：有一个公共极点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延伸线，这样的两个角互 为对顶角( 或两条直线订交形成的四个角中，不相邻的两个角叫对顶角)。 （ 2）对顶角的性质：对顶角相等。 4．垂直定义：当两条直线订交所形成的四个角中，有一个角是90°那么这两条线相互垂直。 5.垂线性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短。 6．平行线的定义：在同一平面内，不订交的两条直线叫平行线，“平行”用符号“∥”表示，如直线a，b 是平行线，可记作“a∥ b” 7．平行公义及推论 （1）平行公义：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 （2）推论：假如两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平 行。注： （1）平行公义中的“有且只有”包括两层意思：一是存在性；二是独一性。 （2）平行拥有传达性，即假如a∥ b，b∥ c，则 a∥ c。 8．两条直线的地点关系：在同一平面内，两条直线的地点关系有订交和平行。 9．平行线的性质： （1）两直线平行，同位角相等（在同一平面内）（2）两直线平行，内错角相等（在同一平面内） （3）两直线平行，同旁内角互补（在同一平面内） 10．平行线的判断 （1）同位角相等，两直线平行；（在同一平面内）（ 2）内错角相等，两直线平行；（在同一平面内） （3）同旁内角互补，两直线平行；（在同一平面内）（ 4）假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条 直线也相互平行； 增补： （5）平行的定义；（在同一平面内）（ 6）在同一平面内，垂直于同向来线的两直线平行。 ．．．．．． 11.平移的定义及特点 定义：将一个图形向某个方向平行挪动，叫做图形的平移。 特点：①平移前后的两个图形形状、大小完整同样；②平移前与平移后两个图形的对应点连线平行且相等。 【典型例题】
【教学目标】 1. 了解两条直线相交形成四个角 2. 理解对顶角、邻补角的概念； 3. 掌握对顶角的性质及它的推导过程 4. 能运用对顶角的性质解决一些问题 5. 培养识图能力. 【教学重点】 5.1相交线 5.1.1相交线 1. 对顶角、邻补角的概念； 2. 对顶角的性质及应用. 【对话设计】 〖探究1〗两条直线相交所得的角 (1) 如图，直线AB 、CD 相交于 O,若/仁140 0,你能求出其它3个角的度数吗？ (2) 两条直线相交所得的四个角之间 ，有怎样的关系(指位置及大小)? ⑶ 〖结论〗在(1)图中，/ 1与/ 2是 ______ 角，/ 1与/ 3是 ____ 角，C Z 2的对顶角是 _______ ，邻补角是 _______________ . 〖了解邻补角及对顶角的特征〗 (见P5) A 〖探究2〗"顾名思义，如果两个角的顶点重合，这两个角是对顶角."这句 B D 话对吗？画 4 O 图说 明. 〖探究3〗如图，C 是直线AB 上一点，CD 是射线，图中有几个角？哪两个角互为邻补角？有两 个角互为对顶角吗？ 〖结论〗在很多图形中，邻补角还可以看成是一条直线与端点在这条直线 上的一条射线组成的两个角. 〖探究4〗判断下列语句是否正确： (1) 互补的两个角一定是邻补角. (2) 一个角的邻补角一定和它互补 . (3) 邻补角是有特殊位置关系的两个互补的角 〖补充练习〗 1. 如图，D 、E 分别是AB 、AC 上的一点，BE 与CD 交于点G ，若/ B= / C ，猜测图中哪些角是相等的. 2. 如图，E 是AD 上一点，图中有互补的角吗？有相等的角吗？为什么？ (注意:什么叫对顶角?) 3. 说明下列语句为什么是错误的 ： (1) 一个锐角和一个钝角一定互补 ； (2) 若两个角互补，则这两个角一定是一个锐角 ，一个钝角. 〖作业〗 C D P9.1,2,7,8. 5.1.2垂线(第一课时) 【教学目标】 1.理解垂线、垂线段的意义；
第五章 相交线与平行线 5.1.1 相交线 〔教学目标〕1、经历探究对顶角、邻补角的位置关系的过程；2、了解对顶角、邻补角的概念；3、知道“对顶角相等”并会运用它进行简单的说理。 〔重点难点〕重点：对顶角、邻补角的概念和“对顶角相等”； 难点：正确区别互为邻补角与互为补角和运用“对顶角相等”说理 〔教学过程〕 一、情景导入 下图是一段铁路桥梁的侧面图，找出图中的相交线、平行线。 “米”字形中的线段都相交，“米”字形中间的线段都平行，等等。 相交线和平行线都有许多重要性质，并且在生产和生活中有广泛应用。我们将在前一章的基础上，进一步研究直线间的位置关系，同时还要介绍一些有关推理证明的常识，为后面的学习做些准备。 二、邻补角和对顶角 下面是一把剪刀，你能联想到什么几何图形？ 两条直线相交，如图。 上图中两条相交直线形成的四个角中，两两相配共能组成六对角，即: ∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4、∠2和∠3、∠2和∠4、∠3和∠4。 量一量各个角的度数，你能将上面的六对角分类吗？ 可分为两类：∠1和∠2、∠1和∠4、∠2和∠3、∠3和∠4为一类，它们的和是1800 ；∠1和∠3、∠2和∠4为二类，它们相等。 第一类角有什么共同的特征？ 一条边公共，另一条边互为反向延长线。 具有这种关系的两个角，互为邻补角。 讨论：邻补角与补角有什么关系？ 邻补角是补角的一种特殊情况，数量上互补，位置上有一条公共边，而互补的角与位置无关。 第二类角有什么共同的特征? 有公共的顶点，两边互为反向延长线。 具有这种位置关系的角，互为对顶角。 思考：下列图形中，∠1和∠2是对顶角的是〔 〕 A B C D 注意：对顶角形成的前提条件是两条直线相交，而邻补角不一定是两条直线相交形成的；每个角的对顶角只有一个，而每个角的邻补角有两个。 三、对顶角的性质 在用剪刀剪布片的过程中，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角也相应变小，直到剪开布片。在这过程中，两个把手之间的角与剪刀刃之间的角有什么关系？ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 O B A C D
第五章复习一（5.1） 姓名： 一、填空：1有 并且两边 的两个角是对顶角；有 并且 的两个角是邻补角。 2、对顶角的性质：对顶角 . 〔1〕下列说法正确的是〔 〕 A 、相等的角是对顶角 B 、一个角的邻补角只有一个 C 、补角即为邻补角 D 、对顶角的平分线在一条直线上 3、垂直和垂线：当两条直线相交所成的四个角中 时，这两条直线互相垂直，其中的 叫做 的垂线。 〔2〕题 [3]题 〔4〕题 〔2〕如图，AB ⊥CD,垂足为O,EF 经过点O ，且∠3＝260 ，则∠1＝ . 4、垂直的性质：（1）经过一点有且只有 与 垂直；（2）垂线段 。 〔3〕如图，三角形ABC 是直角三角形，∠C ＝900 ，其中最长的线段 是 . 5、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 ，叫做点到直线的距离。 〔4〕如图，线段 的长度表示点D 到直线BC 的距离，线段 的长度表示点B 到直线CD 的距离，线段 的长度表示点A 、B 之间的距离。 二、例题导引 2 如图，一辆汽车在笔直的公路AB 上由A 向B 行驶，MN 分别是位于公路AB 两侧的村庄。（1）设汽车行驶到公路AB 上点P 位置时，距离村庄M 最近，行驶到点Q 位置时，距离村庄N 最近，请在图中的AB 上分别画出点P 、Q 的位置；（2）当汽车从A 出发向B 行驶时，在哪一个位置到村庄M 、N 的路程之和最短？请在图中标出这个位置。 例3 如图，直线AB 、CD 相交于点0,OD 平分∠BOF,EO ⊥CD 于O, ∠EOF=1180 ,求∠COA 的度数。 三、2、如图所示,直线AB 与直线CD 的位置关系是_______,记作_______,此时,•∠AOD=∠_______=∠_______=∠_______= . O D C A O F E D C B A 2题 3题 3、如图所示,直线AB,CD,EF 相交于点O,则∠AOD 的对顶角是_____,∠AOC 的邻补角是_______;若∠AOC=50°,则∠BOD=______,∠COB=_____ . 4、如图所示,直线AB,CD 相交于点O,已知∠AOC=70°,OE 平分∠BOD,•则∠ EOD=________. A ·M ·N B A A B C D E F 1 2 3 O A B C D E F O
第五章相交线与平行线 5．1相交线 5．1.1相交线 1．在具体情境中了解邻补角、对顶角，能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角．2．理解对顶角相等，并能运用它解决一些问题． 重点 邻补角、对顶角的概念，对顶角的性质与应用． 难点 理解对顶角相等的性质的探索． 一、创设情境，引入新课 引导语： 我们生活的世界中，蕴涵着大量的相交线和平行线． 本章要研究相交线所成的角和它的特征，相交线的一种特殊形式即垂直，垂线的性质，研究平行线的性质和平行线的判定以及图形的平移问题． 二、尝试活动，探索新知 教师出示一块布片和一把剪刀，表演剪刀剪布的过程． 教师提出问题：剪布时，用力握紧把手，发生了什么变化？进而使什么也发生了变化？ 学生观察、思考、回答，得出： 握紧把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刀刃之间的角相应变小．如果改变用力方向，随着两个把手之间的角逐渐变大，剪刀刀刃之间的角也相应变大．教师提问：我们可以把剪刀抽象成什么简单的图形？ 学生回答：画成两条相交的直线，学生画直线AB、CD相交于点O，并说出图中4个角．教师提问：两两相配共能组成几对角？各对角的位置关系如何？根据不同的位置怎么将它们分类？ 学生用量角器分别量一量各角的度数，发现各对角的度数有什么关系？(学生得出结论：相邻的两个角互补，对顶的两个角相等) 学生根据观察和度量完成下表： 两条直线相交所形成的角分类位置关系数量关系如果改变∠AOC的大小，会改变它与其他角的位置关系和数量关系吗？
学生思考回答： 只会改变数量关系而不会改变位置关系． 师生共同定义邻补角、对顶角： 有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角． 如果两个角有一个公共顶点，而且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角． 教师提问： 你同意下列说法吗？如果错误，如何订正？ 1．邻补角的“邻”就是“相邻”，就是它们有一条“公共边”，“补”就是“互补”，就是这两个角的另一条边在同一条直线上． 2．邻补角可看成是平角被过它的顶点的一条射线分成的两个角． 3．邻补角是互补的两个角，互补的两个角也是邻补角． 学生思考回答：1、2是对的，3是错的． 第3个应改成：邻补角是互补的两个角，互补的两个角不一定是邻补角． 教师让学生说一说在学习对顶角的概念后，通过实际操作获得的直观体验． 教师把说理过程规范地板书： 在右图中，∠AOC的邻补角是∠BOC和∠AOD，所以∠AOC与∠BOC互补，∠AOC 与∠AOD互补，根据“同角的补角相等”，可以得出∠AOD＝∠BOC，类似地有∠AOC＝∠BOD. 教师板书对顶角的性质： 对顶角相等． 强调对顶角的概念与对顶角的性质不能混淆： 对顶角的概念是确定两角的位置关系，对顶角的性质是确定互为对顶角的两角的数量关系． 三、例题讲解 【例】如图，直线a，b相交，∠1＝40°，求∠2，∠3，∠4的度数． 【答案】由邻补角的定义，得∠2＝180°－∠1＝180°－40°＝140°；由对顶角相等，得∠3＝∠1＝40°，∠4＝∠2＝140°. 四、巩固练习 1．判断下列图中是否存在对顶角．