思维特训(十六) 线段计算中的数学思想方法点津·
方程思想是指把数学问题通过适当的途径转化为方程，从而使问题得到解决的思想方法．有关线段比的问题(或倍或几分之一)常常通过列方程求解．
分类讨论思想就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干个不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种解题思想．在线段计算中，由于线段及端点的不确定性往往需要分类讨论．
整体思想就是通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．在线段计算中，求一条线段上两个中点之间的距离时常用到整体的思想．
典题精练·
类型一方程的思想
1．已知：如图16－S－1，B，C是线段AD上两点，且AB∶BC∶CD＝2∶4∶3，M 是AD的中点，CD＝9 cm，求线段MC的长．
图16－S－1
类型二分类讨论的思想
2．如果一点在由两条有公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点就叫做这条折线的“折中点”．如图16－S－2，点D是折线ACB的“折中点”，请解答以下问题：
图16－S－2
(1)已知AC＝m，BC＝n.
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当m＞n时，点D在线段________上；
当m＝n时，点D与________重合；
当m＜n时，点D在线段________上．
(2)若E为线段AC的中点，EC＝4，CD＝3，求BC的长．
类型三整体的思想
3．如图16－S－3所示，点C在线段AB上，AC＝8 cm，CB＝6 cm，M，N分别是AC，BC的中点．
(1)求线段MN的长；
(2)若C为线段AB上任意一点，满足AC＋CB＝a cm，其他条件不变，你能猜想出MN 的长度吗？并说明理由；
(3)若点C在线段AB的延长线上，且满足AC－CB＝b cm，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想出MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
图16－S－3
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详解详析
1．解：因为AB ∶BC ∶CD ＝2∶4∶3， 所以设AB ＝2x cm ，BC ＝4x cm ，CD ＝3x cm ， 所以3x ＝9，解得x ＝3， 所以AB ＝6 cm ，BC ＝12 cm ，
所以AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝6＋12＋9＝27(cm )． 又因为M 是AD 的中点， 所以MD ＝1
2AD ＝13.5 cm ，
所以MC ＝13.5－9＝4.5(cm )． 2．解：(1)AC 点C BC (2)若点D 在线段AC 上，
因为E 为线段AC 的中点，EC ＝4， 所以AC ＝2EC ＝8.
因为CD ＝3，所以AD ＝AC －CD ＝5. 因为BC ＋CD ＝AD ＝5，所以BC ＝5－3＝2；
若点D 在线段BC 上，因为E 为线段AC 的中点，EC ＝4，所以AC ＝2EC ＝8. 因为CD ＝3， 所以AC ＋CD ＝11.
因为BD ＝AC ＋CD ＝11，所以BC ＝11＋3＝14. 综上所述，BC 的长为2或14.
3．解：(1)因为M ，N 分别是AC ，BC 的中点，
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所以MC ＝12AC ＝12×8＝4(cm )，NC ＝12BC ＝1
2×6＝3(cm )，
所以MN ＝MC ＋NC ＝4＋3＝7(cm )． (2)MN ＝1
2
a cm .理由如下：
因为M ，N 分别是AC ，BC 的中点， 所以MC ＝12AC ，NC ＝1
2
BC ，
所以MN ＝MC ＋NC ＝12AC ＋12BC ＝12AB ＝1
2a cm .
(3)如图，因为M ，N 分别是AC ，BC 的中点， 所以MC ＝12AC ，NC ＝1
2
BC ，
所以MN ＝MC －NC ＝12AC －12BC ＝12(AC －BC)＝1
2
b cm .
思维特训(十七) 线段上的动点问题方法点津·
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类问题．
解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．解题时要注意动点的起始位置和终止位置、运动方向，有时还要关注动点的运动速度，注意在运动过程中寻找等量关系．
线段上的动点问题一般有两种类型：
(1)动点无速度型，主要利用两点间的距离、线段的和差关系、线段中点的性质，结合方程求解；
(2)动点有速度型，主要利用路程＝时间×速度，结合线段有关的知识，通过方程来求解．
典题精练·
类型一动点无速度型
1．如图17－S－1所示，A，B，C是一条公路边的三个村庄，A，B间的距离为100 km，A，C间的距离为40 km，现要在A，B之间设一个车站P，设P，C间的距离为x km.
(1)用含x的式子表示车站到三个村庄的距离之和；
(2)若车站到三个村庄的距离之和为105 km，则车站应设在何处？
(3)若要使车站到三个村庄的距离之和最小，则车站应设在何处？
图17－S－1
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2．如图17－S －2，某公司有三个住宅小区A ，B ，C ，A ，B ，C 各小区分别住有职工30人、15人、10人，且这三个小区在一条大道上(即A ，B ，C 三点共线)，已知AB ＝100米，BC ＝200米，为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在某小区设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应该设在哪个小区？
图17－S －2
3．已知数轴上A ，B 两点对应的数分别为a 和b ，且
a ，
b 满足等式(a ＋9)2＋|7－b|＝0，P 为数轴上一动点，对应的数为x.
(1)求线段AB 的长．
(2)数轴上是否存在点P ，使PA ＝3PB ？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由． (3)在(2)的条件下，若M ，N 分别是线段AB ，PB 的中点，试求线段MN 的长．
类型二 动点有速度型
4．如图17－S －3，P 是线段AB 上任意一点，AB ＝12 cm ，C ，D 两点分别从点P ，B 开始，同时向点A 运动，且点C 的运动速度为2 cm /s ，点D 的运动速度为3 cm /s ，运动的时间为t s .
(1)若AP ＝8 cm .
①求运动1 s 后，CD 的长；
②当点D 在线段PB 上运动时，试说明AC ＝2CD. (2)如果t ＝2，CD ＝1 cm ，试探索AP 的长．
