2018年秋人教版七年级数学上思维特训及参考答案(16-18)

2018七年级数学思维训练1⾄12（含答案）2018年七年级数学思维训练1⼀．选择题1．a --是（）（A ）正数（B ）负数（C ）⾮正数（D ）⾮负数 2.如图，在下⾯的数轴上表⽰数（—2）—（—5）的点是（）（A ）M （B ）N . （C ）P. （D ）Q.3.49914991+-----的值的负倒数是（）（A ）314. （B ）133-（C ）1. （D ）—14.)9187()8176()7165()6154()5143(+++++++++)10198(-+ （）（A ）0. （B ）5.65. （C ）6.05 （D ）5.85 5.22)34(34?--?-等于（）（A ）0 （B ）72 （C ）—180 （D ）108 6.x 的54与31的差是（）（A ）x x 3154- （B ）3154-x （C ）)31(54-x （D ）345+x7.n 是整数，那么被3整除并且商恰为n 的那个数是（）（A ）3n （B ）3+n （C ）n 3 （D ）3n 8.如果2:3:=y x 并且273=+y x ，则y x ,中较⼩的是（A ）3 （B ）6（C ）9（D ）129.20°⾓的余⾓的141等于（）（A ） )731( （B ） )7311( （C ）)767( （D ）5°10.7)71()7(71?-÷-?等于（）（A ）1 （B ）49 （C ）—7 （D ）7⼆、A 组填空题11．绝对值⽐2⼤并且⽐6⼩的整数共有__________________个。

12．在⼀次英语考试中，某⼋位同学的成绩分别是93，99，89，91，87．81，100，95，则他们的平均分数是__________________。

13．||||2014-2015|-2016|-2017|-2018|=__________________。

14．数：-1．1，-1．01，-1．001，-1．0101，-1．00101中最⼤的⼀个数与最⼩的⼀个数的⽐值是__________。

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思维特训绝对值与分类讨论方法点津·1．由于去掉绝对值符号时，要分三种情况：即正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，所以涉及绝对值的运算往往要分类讨论．用符号表示这一过程为：错误!＝错误!2．由于在数轴上到原点的距离相等的点（非原点)有两个,一个点表示的数是正数,另一个点表示的数是负数,因此知道某个数的绝对值求该数时，往往需要分两种情况讨论．用符号表示这个过程为:若错误!＝a（a〉0)，则x＝±a。

3．分类讨论的原则是不重不漏，一般步骤为：①分类；②讨论；③归纳．典题精练·类型一以数轴为载体的绝对值的分类讨论1．已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b,且｜a＋4｜＋(b－1）2＝0.现将点A,B之间的距离记作|AB|,定义｜AB｜＝｜a －b|。

(1)|AB｜＝________；(2)设点P在数轴上对应的数是x，当|PA|－|PB|＝2时，求x的值．2．我们知道：点A，B在数轴上分别表示有理数a,b，A,B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离AB＝|a－b｜，所以式子|x－3｜的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．根据上述材料，回答下列问题：（1)｜5－（－2）｜的值为________;（2）若|x－3｜＝1，则x的值为________；(3）若|x－3|＝|x＋1｜，求x的值；(4)若|x－3|＋|x＋1｜＝7，求x的值．类型二与绝对值化简有关的分类讨论问题3．在解决数学问题的过程中,我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程,请仔细阅读，并解答下列问题：【提出问题】三个有理数a，b,c满足abc＞0，求错误!＋错误!＋错误!的值．【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a，b,c都是正数，即a＞0,b＞0，c＞0时，则错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝1＋1＋1 ＝3；②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，则错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝1－1－1＝－1.所以错误!＋错误!＋错误!的值为3或－1。

- 1 -思维特训(七) 含有字母的绝对值的化简 方法点津 ·1．绝对值的性质：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a >0），0（a ＝0），－a （a <0）.2．有理数的加法法则：若a >b >0，则a ＋b >0；若0>b >a ，则a ＋b <0；若a ，b 异号，|a |>|b |，则a ＋b 的符号与a 的符号保持一致．典题精练 ·类型一 以数轴为背景的绝对值的化简1．(1)一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到________的距离；(2)若|a|＝－a ，则a________0；(3)有理数a ，b 在数轴上的位置如图7－S －1所示，请化简：|a|＋|b|＋|a ＋b|.图7－S －12．已知数a ，b ，c 在数轴上的位置如图7－S －2所示，化简：|a ＋b|－|a －b|＋|a ＋c|.图7－S －2- 2 -3．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图7－S －3所示，化简：|a ＋c|－|a －b|＋|b ＋c|－|b|.图7－S －34．有理数a ，b ，c在数轴上的位置如图7－S －4所示，化简：3|a －b|＋|a ＋b|－|c －a|＋2|b －c|.图7－S －45．已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图7－S －5所示，化简：|b －c ＋a|＋|a ＋c|－|b －a ＋c|－|a ＋b ＋c|.图7－S －5类型二以符号为背景的绝对值的化简6．已知x＜0，y＞0，z＜0，且|x|＜|y|，|y|＞|z|，化简：|x＋z|－|y＋z|＋|x＋y|－|x－y＋z|.7．(1)若－2≤a≤2，化简：|a＋2|＋|a－2|＝______；(2)若a≥－2，化简：|a＋2|＋|a－2|；(3)化简：|a＋2|＋|a－2|.- 3 -详解详析1．解：(1)原点(2)因为|a|＝－a，所以a≤0.(3)由a，b在数轴上的位置可知，a＜－1＜0＜b＜1，所以a＜0，b＞0，a＋b＜0，所以|a|＝－a，|b|＝b，|a＋b|＝－a－b，所以原式＝－a＋b－a－b＝－2a.2．解：根据题意，得－2＜c＜－1，0＜a＜1，2＜b＜3，所以a＋b＞0，a－b＜0，a＋c＜0，所以原式＝a＋b－[－(a－b)]＋[－(a＋c)]＝a＋b＋a－b－a－c＝a－c.3．解：由图可知：a＋c＜0，a－b＞0，b＋c＜0，b＜0，所以原式＝－(a＋c)－(a－b)－(b＋c)＋b＝－a－c－a＋b－b－c＋b＝－2a＋b－2c.4．解：由图可知c＞0，a＜b＜0，则a－b＜0，a＋b＜0，c－a＞0，b－c＜0，所以原式＝－3(a－b)－(a＋b)－(c－a)－2(b－c)＝－3a＋3b－a－b－c＋a－2b＋2c＝－3a＋c.5．解：由图可知b－c＋a＜0，a＋c＜0，b－a＋c＞0，a＋b＋c＜0，- 4 -则原式＝－b＋c－a－a－c－b＋a－c＋a＋b＋c＝－b. 6．解：因为x＜0，y＞0，z＜0，|x|＜|y|，|y|＞|z|，所以x＋z＜0，y＋z＞0，x＋y＞0，x－y＋z＜0，所以原式＝－x－z－y－z＋x＋y＋x－y＋z＝x－y－z. 7．解：(1)因为－2≤a≤2，所以a＋2≥0，a－2≤0，所以|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋2－a＝4.故答案为4.(2)①如果－2≤a≤2，那么|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋2－a＝4；②如果a＞2，那么|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋a－2＝2a.(3)①如果a＜－2，那么|a＋2|＋|a－2|＝－a－2＋2－a＝－2a；②如果－2≤a≤2，那么|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋2－a＝4；③如果a＞2，那么|a＋2|＋|a－2|＝a＋2＋a－2＝2a.- 5 -思维特训(八) 整体法求整式的值方法点津·1．整体思想：就是从问题的整体性质出发，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理．2．根据条件进行求值时，我们可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握解的方向和策略，从而使复杂问题简单化．典题精练·类型一已知一个代数式的值进行整体求值1．若mn＝m＋3，则2mn＋3m－5mn＋10＝________．2．理解与思考：在某次作业中有这样的一道题：“如果式子5a＋3b的值为－4，那么式子2(a＋b)＋4(2a ＋b)的值是多少？”小明是这样来解的：原式＝2a＋2b＋8a＋4b＝10a＋6b.把等式5a＋3b＝－4的两边同乘2，得10a＋6b＝－8.仿照小明的解题方法，完成下面的问题：(1)如果a2＋a＝0，那么a2＋a＋2018＝________；(2)已知14x－21x2＝－14，求9x2－6x－5的值；(3)已知a－b＝－3，求3(a－b)－5a＋5b＋5的值；(4)请你仿照以上各题的解法，解决下列问题(写出必要的解题过程)：若a－b＝4，求如图8－S－1所示两个长方形的面积差，即S1－S2的值．图8－S－1- 6 -- 7 -类型二 已知两个代数式的值进行整体求值3．“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．如：已知m ＋n ＝－2，mn ＝－4，则2(mn －3m)－3(2n －mn)的值为________．4．若a ＋c ＝2017，b ＋d ＝－2018，则(a ＋b ＋c －d)＋(a ＋b ＋d －c)＋(a ＋c ＋d －b)－(a －b －c －d)＝________．5．阅读下面例题的解题过程，再解答下面的问题．例题：已知m －n ＝100，x ＋y ＝－1，求(n ＋x)－(m －y)的值．解：(n ＋x)－(m －y)＝n ＋x －m ＋y ＝n －m ＋x ＋y ＝－(m －n)＋(x ＋y)＝－100－1＝－101.问题：(1)已知a ＋b ＝－7，ab ＝10，求(3ab ＋6a ＋4b)－(2a －2ab)的值；(2)已知a 2＋2ab ＝－2，ab －b 2＝－4，求2a 2＋72ab ＋12b 2的值．6．用整体思想解题：为了简化问题，我们往往把一个式子看成一个数(整体)．根据提示解答下列问题．已知A ＋B ＝3x 2－5x ＋1，A －C ＝－2x ＋3x 2－5，当x ＝2时，求B ＋C 的值．- 8 -- 9 -详解详析1．1[解析] 原式＝－3mn ＋3m ＋10，把mn ＝m ＋3代入，得原式＝－3m －9＋3m ＋10＝1.2．解：(1)a 2＋a ＋2018＝0＋2018＝2018.(2)由14x －21x 2＝－14，得21x 2－14x ＝14，即3x 2－2x ＝2，则原式＝3(3x 2－2x)－5＝6－5＝1.(3)3(a －b)－5a ＋5b ＋5＝3(a －b)－5(a －b)＋5＝－2(a －b)＋5.当a －b ＝－3时，原式＝11.(4)两个长方形的面积差是S 1－S 2＝4(5a －2b)－3(6a －2b)＝20a －8b －(18a －6b)＝2a －2b ＝2(a －b)．当a －b ＝4时，S 1－S 2＝2×4＝8.3．－8[解析] 因为m ＋n ＝－2，mn ＝－4，所以原式＝2mn －6m －6n ＋3mn ＝5mn －6(m ＋n)＝－20＋12＝－8.4．－2 [解析] 因为a ＋c ＝2017，b ＋d ＝－2018，所以原式＝a ＋b ＋c －d ＋a ＋b ＋d －c ＋a ＋c ＋d －b －a ＋b ＋c ＋d ＝2a ＋2b ＋2c ＋2d ＝2(a ＋b ＋c ＋d)＝－2.5．解：(1)(3ab ＋6a ＋4b)－(2a －2ab)＝3ab ＋6a ＋4b －2a ＋2ab＝5ab ＋4a ＋4b＝5ab ＋4(a ＋b)．当a ＋b ＝－7，ab ＝10时，原式＝5×10＋4×(－7)＝22.(2)把a 2＋2ab ＝－2左右两边同乘2，得2a 2＋4ab ＝－4，把ab －b 2＝－4左右两边同乘12，- 10 -得12ab －12b 2＝－2. 所以2a 2＋72ab ＋12b 2＝2a 2＋4ab －(12ab －12b 2)＝－4－(－2)＝－2. 6．解：因为A ＋B ＝3x 2－5x ＋1，A －C ＝－2x ＋3x 2－5， 所以B ＋C＝(A ＋B)－(A －C)＝3x 2－5x ＋1－(－2x ＋3x 2－5)＝3x 2－5x ＋1＋2x －3x 2＋5＝－3x ＋6，把x ＝2代入上式，得B ＋C ＝－6＋6＝0.思维特训(九) 整式加减中的“无关”问题方法点津·一般来说，整式的值与整式所含字母的取值是有关的，当字母取唯一数值时，得到的整式的值也是唯一的，但当整式不含这个字母时，整式的值便与这个字母的取值无关．典题精练·类型一同一字母取不同数值时，整式的值不变此种情况说明整式的值与此字母的取值无关，即整式化简后的结果中这个字母的系数为0.1．一天，数学老师布置了一道数学题：已知x＝2018，求整式(x3－6x2－7x＋8)－(－x2－3x＋2x3－3)＋(x3＋5x2＋4x－1)的值，小明观察后提出：“已知x＝2018是多余的．”你认为小明的说法有道理吗？请说明理由．2．课堂上李老师给出了一道整式求值的题目，李老师把要求的整式(7a3－6a3b＋3a2b)－(－3a3－6a3b＋3a2b＋10a3－3)写在黑板上，让王红同学给出一组a，b的值，老师自己说答案，当王红说完：“a＝65，b＝－2005”后，李老师不假思索，立刻就说出答案为3.同学们莫名其妙，觉得不可思议，但李老师用坚定的口吻说：“这个答案准确无误”．你能说出其中的道理吗？- 11 -3．已知x2＋ax－2y＋7－(bx2－2x＋9y－1)的值与x的取值无关，求a＋b的值．4．已知2x2＋ax－y＋6－bx2＋3x－5y－1的值与字母x的取值无关，且A＝4a2－ab＋4b2，B＝3a2－ab＋3b2，求3A－[2(3A－2B)－3(4A－3B)]的值．类型二同一字母取值互为相反数时，整式的值不变此种情况说明整式化简后的结果要么不含有这个字母，要么只含这个字母的偶次方项或绝对值项．5．小强与小亮在同时计算这样一道题：当a＝－3时，求整式7a2－[5a－(4a－1)＋4a2]－(2a2－a＋1)的值．小亮正确求得结果为7，而小强在计算时，错把a＝－3看成了a＝3，但他计算的结果也正确，你能说明为什么吗？- 12 -- 13 -6．有这样一道计算题：求3x 2y ＋[2x 2y －(5x 2y 2－2y 2)]－5(x 2y ＋y 2－x 2y 2)的值，其中x ＝12，y ＝－1.小明同学把“x ＝12”错看成“x ＝－12”，但计算结果仍正确；小华同学把“y ＝－1”错看成“y ＝1”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明．详解详析1．解：小明的说法有道理．理由如下：原式＝x3－6x2－7x＋8＋x2＋3x－2x3＋3＋x3＋5x2＋4x－1＝(1－2＋1)x3＋(－6＋1＋5)x2＋(－7＋3＋4)x＋(8＋3－1)＝10.由此可知整式的值与x的取值无关，所以小明的说法有道理．2．解：原式＝7a3－6a3b＋3a2b＋3a3＋6a3b－3a2b－10a3＋3＝3.整式的结果与a，b的取值无关，恒为3.3．解：原式＝(1－b)x2＋(a＋2)x－11y＋8，因为整式的值与x的取值无关，所以1－b＝0，a＋2＝0，解得a＝－2，b＝1，则a＋b＝－2＋1＝－1.4．解：2x2＋ax－y＋6－bx2＋3x－5y－1＝(2－b)x2＋(a＋3)x－6y＋5，由结果与x的取值无关，得到2－b＝0，a＋3＝0，解得a＝－3，b＝2，则原式＝3A－6A＋4B＋12A－9B＝9A－5B＝9(4a2－ab＋4b2)－5(3a2－ab＋3b2)＝36a2－9ab＋36b2－15a2＋5ab－15b2＝21a2－4ab＋21b2＝189＋24＋84＝297.5．解：原式＝7a2－5a＋4a－1－4a2－2a2＋a－1＝a2－2，当a＝3和a＝－3时，整式的结果都为9－2＝7，故小亮正确求得结果为7，而小强在计算时，错把a＝－3看成了a＝3，但计算的结果也正确．- 14 -6．解：原式＝3x2y＋2x2y－5x2y2＋2y2－5x2y－5y2＋5x2y2＝－3y2，整式化简后的结果不含x，所以整式的值与x的取值无关．当y＝±1时，y2＝1，原式＝－3.- 15 -。

思维特训(一)“填幻方”问题方法点津·中国南宋时期杰出的数学家杨辉在《续古摘奇算法》中介绍了一种排三阶幻方的编写方法，如图1－S －1.九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出．图1－S－1也就是将1～9九个自然数依次斜排为三行三列(如图①)，再把上下两个数(1和9)对换，左右两个数(7和3)对换(如图②)，最后将四角上的数向四个角挺出，就得到三级幻方(如图③)．注意：“九子斜排”的时候，要么都按照从下向上的顺序依次填写，要么都按照从上向下的顺序依次填写，如果打乱顺序，结果可能就错了．二、口诀法一填首行正中央，依次斜上莫要忘，上出下填右出左，若是重了填下方．具体解释如下：如图1－S－2，“一填首行正中央”，指的是1～9这九个数按照从小到大的顺序，第一个数要填在第一行的正中间一个方格中；“依次斜上莫要忘”，指的是后面一个数字填在前一个数的右上方；“上出下填右出左”，指的是如果向上超出幻方，就填在这一列的最下方，如果向右超出幻方，就填在这一行的最左边一个方格中；“若是重了填下方”，若是发现要填的方格已经有数字了，那么就填在前一个数字的正下方．对于数字“7”它正好位于行和列的交叉位置，我们当作重复对待，填在前一个数字“6”的正下方．这种方法适合三阶、五阶、七阶等所有奇数阶幻方．图1－S－2典题精练·1．我国古代的“河图”是由3×3的方格构成的，每个方格内均有数目(个数为1～9)不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．如图1－S－3给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是()图1－S－3图1－S－42．在3×3的方格上做填字游戏，要求每行、每列及每条对角线上的三个方格中的数字和都等于S，填在图中三格中的数字如图1－S－5所示，若要填成，则S＝________.3．教材在七年级数学(上册)的第21页介绍了填幻方，这部分内容就是传说中的“龟背图”，也就是“九宫图”．如图1－S－6，根据所给的“九宫图”请你找找规律，利用发现的规律将3，5，－7，1，7，－3，9，－5，－1这九个数字分别填入图中的九个方格中，使得横、竖、斜对角的三个数字和相等．图1－S－64．将5，7，9，11，13，15，17，19，21填入如图1－S－7所示的小方格中，使之成为一个3×3的幻方，即各行、各列以及各对角线上3个数的和都相等．图1－S－75．试将－2，－1，0，1，2，3，4，5，6填入如图1－S－8所示的3×3的方格中，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和相等．图1－S－86．将－15，－12，－9，－6，－3，0，3，6，9填入如图1－S－9所示的3×3方格中，使大方格的横、竖、斜对角的3个数字之和都相等.7．图1－S－10是一个3×3的幻方，每行的三个数、每列的三个数、每斜对角上的三个数相加的和均相等．如何把9个连续整数迅速填入一个3×3方格中，使每行、每列、每斜对角上的三个数相加的和均相等，是我们祖先早就在研究的问题．古代的“洛书”、汉朝徐岳的“九宫算”就揭示出祖先们得到的神奇填写方法．图①是把－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4填入一个3×3方格中，使每行、每列、每斜对角上的三个数相加的和均相等的一种方法．(1)请观察图①中数字的填写规律，将下列各数组中的9个数分别填入图②③④所示的3×3方格中，使得每行的三个数、每列的三个数、每斜对角上的三个数相加的和均相等．第一组：6，5，4，3，2，1，0，－1，－2；第二组：9，8，7，6，5，4，3，2，1；第三组：－8，－6，－4，－2，0，2，4，6，8.图1－S－10(2)拓展探究：在图1－S－11所示的9个空格中，填入5个2和4个－2，使得每行、每列、每斜对角上的三个数的乘积都是8.图1－S－11(3)拓展探究：将25，24，23，22，21，20，19，18，17，16，15，14，13，12，11，10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这25个数分别填入图1－S－12所示的25个空格中，使得每行、每列、每斜对角上的五个数相加的和均相等.详解详析1．C2．30[解析]如图，因为每行、每列及每条对角线上的三个方格中的数字和都等于S，所以x＋10＋y＝8＋y＋13，所以x＝11.所以b＋11＋a＝8＋10＋a，所以b＝7，所以S＝b＋10＋13＝30.3.解：填法不唯一，如图：4．解：填法不唯一，如图：5．解：填法不唯一，根据杨辉法填图如下：故答案如下：6.解：填法不唯一，填图如下：7.解：(1)如图所示(填法不唯一)：(2)填法不唯一，填写如图所示：(3)填写如图所示(填法不唯一)：。

思维特训(三) 定义新运算方法点津·定义新运算是一种特别设计的、人为的、临时的计算形式，它使用一些特殊的运算符号，如：*，▲，★，◎，Δ，◆，■等来表示的一种运算．其解题方法是：(1)理解新定义的算式含义；(2)严格按照新定义的计算程序，将数值代入，将其转化为常规的加减乘除乘方运算，然后计算得结果．典题精练·类型一定义新运算——运算类1．定义一种新运算※，观察下列式子：1※3＝1×3＋3＝6；3※2＝3×2＋2＝8；3※5＝3×5＋5＝20；5※3＝5×3＋3＝18.(1)填一填：2※4＝________，a※b＝________；(2)请你依照上述运算方法，求(－3※7)※2的值．2．定义一种关于“⊙”的新运算，观察下列式子：1⊙3＝1×4＋3＝7；3⊙(－1)＝3×4＋(－1)＝11；5⊙4＝5×4＋4＝24；4⊙(－3)＝4×4＋(－3)＝13.(1)填空：5⊙(－6)＝________；(2)请你判断：当a ≠b 时，a ⊙b______b ⊙a(填“＝”或“≠”)，并说明理由．3．用[x]表示不超过x 的整数中的最大整数，例如：[2.23]＝2，[－3.24]＝－4.计算下列各式：(1)[3.5]＋[－3]； (2)[－7.25]＋[－13]．类型二 定义新运算——探究类4．在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“#”法则：a#b#c ＝|a －b －c|＋a ＋b ＋c 2.如：(－1)#2#3＝|－1－2－3|＋（－1）＋2＋32＝5.(1)计算：4#(－2)#(－5)＝________．(2)计算：3#(－7)#113＝________．(3)在－67，－57，…，－17，0，19，29，…，89这15个数中： ①任取三个数作为a ，b ，c 的值，进行“a#b#c ”运算，求所有计算结果中的最小值； ②若将这15个数任意分成五组，每组三个数，进行“a#b#c ”运算，得到五个不同的结果，由于分组不同，所以五个运算的结果也不同，求五个结果之和的最大值．详解详析1．解：(1)根据题意，得2※4＝2×4＋4＝8＋4＝12，a ※b ＝a ×b ＋b .(2)根据题意，得(－3※7)※2＝(－21＋7)※2＝(－14)※2＝－28＋2＝－26.2．解：(1)14(2)当a ≠b 时，a ⊙b ≠b ⊙a .理由：依题意，得a ⊙b ＝4×a ＋b ，b ⊙a ＝4×b ＋a .因为a ≠b ，所以4×a ＋b ≠4×b ＋a ，即a ⊙b ≠b ⊙a .3．解：(1)[3.5]＋[－3]＝3－3＝0.(2)[－7.25]＋[－13]＝(－8)＋(－1)＝－9.4．解：(1)原式＝|4＋2＋5|＋4－2－52＝4. (2)原式＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋7－113＋3－7＋1132＝3.(3)当a ≤b ＋c 时，a #b #c ＝b ＋c ；当a >b ＋c 时，a #b #c ＝a .①当a ＝b ＋c 时，a #b #c 的值最小，令b ＝－57，c ＝－17，则原式＝－57－17＝－67. ②因为当a ＝－67，b ＝19，c ＝29时，原式＝19＋29＝13； 当a ＝－57，b ＝39，c ＝49时，原式＝39＋49＝79；当a ＝－47，b ＝59，c ＝69时，原式＝59＋69＝119； 当a ＝－37，b ＝79，c ＝89时，原式＝79＋89＝159； 当a ＝0，b ＝－17，c ＝－27时，原式＝0， 所以五个结果之和的最大值为13＋79＋119＋159＋0＝4.。

1. 计算：七年级思维训练80题（含答案），拔高数学思维能力111113355720212023________． 2. 已知20212021202120222022202220232023202320202020+2020202120212021202220222022a b c，，，则abc ________．3. 123499910001001(1)1(1)1(1)1(1) 的值是________．4. 设11112018201920202050M，则1M的整数部分是________． 5.计算：44444444441032422324343244632458324432416324283244032452324 =________．6.已知5555284110133144□，其中□里的数字是________．7.哪些连续正整数之和为1000？试求出所有的解．8.2023减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，以此类推，一直到最后减去余下的11000，最后的结果为________．9.n个正数的乘积的n次方根称为这n个数的几何平均数．喜羊羊写了4个数，这4个数的几何平均数是2048；美羊羊也写了4个数，这4个数的几何平均数是8．那么，喜羊羊和美羊羊写的这8个数的几何平均数是________．10.有下列三个命题：（1）若α，β是不相等的无理数，则αβ + α – β是无理数；（2）若α，β是不相等的无理数，则是无理数；（3）若α，β是无理数．其中正确的命题个数是________．11. 如果a ，b ，c 是三个任意整数，那么2a b ，2a c ，2b c（ ）． A. 都不是整数B. 至少有两个整数C. 至少有一个整数D. 都是整数12. 有理数m ，n 在数轴上的位置如图所示，在m n ，m n ，n m ，m n 中正数的个数是________．13. 如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式||||a b b c 可以化简为（ ）．A. 2c – aB. 2a – 2bC. –aD. a14. 把4个不同的整数两两相加得到6个和，并且这6个和是5个互不相同的数：23，26，29，32和35．那么这4个整数中最大的是________．15. 从1~26这26个整数中取出两个数，选出的两个数相乘所得的积正好是剩余的24个数之和．选出的两个数分别是________和________．16. 已知a – b = 4，ab + c 2 + 4 = 0，则a + b = ________．17. 已知a 、b 、c 是实数，且13ab a b ，17bc b c ，112ac a c ，则acbc ab abc=________．18. 已知 | x | + x + y =5，x + | y |－y = 10，则 x + y 的值是________．19.________．20. 222 − 4有________个不同的质因数．21. 已知x 是实数，则(x 2－4x +3)(x 2+4x +3)的最小值是________．22. 若实数a ，b ，c 满足等式36b ，96b c ，则c 可能取的最大值为________．23. 已知x ，y 是非负整数，且满足4(2)34x y ，那么满足条件的x + y 的最大值是________．24. 若正整数x ，y ，z 满足11145x y z ，则xyz 的最大值是________．25. 231x x x 的最小值是________．26. 满足24x y y 的整数对（x ，y ）有________个．27. 设a 是整数，关于x 的方程12x a 只有三个不同的整数解，求这三个解．28. 若a 为整数，则关于x 的方程(a – 1) x = a + 1的所有整数解的和是________．29. 已知x 与y 使得x + y ，x – y ，xy ，x y四个数中的三个相等，则这样的数对（x ，y ）有________对．30. 若关于x ，y 的二元一次方程组 132kx y bk x y 有无穷多组解，则22k b 的值为________．31. 若[x ]表示不超过x 的最大整数，且满足方程3x + 5[x ] – 49 = 0，则3x +1=________．32. 如果关于x 的不等式组9080x a x b 的整数解仅有1，2，3，那么整数a ，b 组成的有序数对（a ，b ）共有________对．33. 如果关于x 的不等式组100x x a无解，则a 的取值范围是________．34. 在1~100的自然数中与10互质的自然数共有________个．35. 已知三个质数a ，b ，c 满足133a b c ab bc ac ，则abc ＝________．36.已知三位数abc能被5整除，但不能被6和7整除；三位数cba能被6整除，但不能被5和7整除；三位数cab能被7整除，但不能被5和6整除，则abc ＝________．37.九位数ABCABCBBB能被1~17中的任意整数整除，且A，B，C是不同的数字，则九位数ABCABCBBB是________．38.乘积376×733的个位数字是________．39.四位数aabb是一个整数的平方，aabb=________．p 的不同正因数的个数不超过10，则满足题意的p 40.已知p是质数，且271的个数是________．41.如图所示有4种类型的几何体，每个几何体都是由4个单位正方体组成．选出8个同类型的几何体，把它们组合成一个2×4×4的长方体．可以完成组合的几何体有________种类型．42.已知圆环内直径为a厘米，外直径为b厘米，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为________厘米．43.设有一个边长为1的正三角形，记作A1（如图1），将A1的每条边三等分，以中间的线段为一边向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2（如图2）；将A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3（如图3）；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，那么A4的周长是________．图1 图2 图344. 如图所示，AOB 是一条直线，若1:2:3:41:2:4:5 ，则2 的余角是________度．45. 如图，AB //CD ，那么∠1 –∠2 +∠3 –∠4 +∠5 =________度．46. 如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7=（ ）．A ．450°B ．540°C ．630°D ．720°47.从一个凸n边形的纸板上剪下一个三角形，剩余的是一个内角和为2160°的多边形，则n最大是________．48.一个凸n边形的内角和小于1998°，那么n的最大值是________．49.如果一个凸多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形的边数是（）．A.4B.6C.8D.10E.1250.如图所示，在△ABC中，AC=7，BC=4，D为AB中点，E为AC边上一点，且1902AED C，则CE =________．51.在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积是________．52.△ABC中，∠A为最小角，∠B为最大角，且2∠B = 5∠A，若∠B的最大值为m°，∠B的最小值为n°，则m + n =________．53.如图，在锐角△ABC中，高线CD，BE相交于点F，若∠A=55°，则∠BFC的度数是________度．54.如图，PQ=PR=QS，线段PR与QS相互垂直，则∠PRQ与∠PSQ度数之和是________度．55.在平行四边形ABCD中，AD = 2AB，点M是AD的中点，CE⊥AB于E．如果∠CEM = 40°，那么∠DME的值是（）．A．150° B．140° C．135° D．130°56.若长方形内有一点P，点P到各边的距离从小到大依次为1，2，5，6则长方形面积最小为________．57.如图所示的4×5的方格图中，过格点P的直线与方格图上、下边界相交形成的直角梯形ABCD（其中AB<CD）的面积最大是________．58. 如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线AE 交CD 于H ，交∠BCD 的平分线CF 于G ．求证：HF ∥BC ．59. 由8个相同的小正方体搭成的一个几何体，俯视图如下，那么这个几何体的左视图一定不是（ ）．60. 若n 个人完成一项工程需要m 天，则（m +n ）个人完成这项工程需要（ ）天． A.nm mnB.m nm nC.m nmnD.2mnm n61. 一个商人用m 元（m 为正整数）买来了n 台（n 为质数）电视机，其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构，其余的电视机在商店出售，每台盈利500元，结果该商人获得利润为5500元，则n 的最小值是________．62. 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4％，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是________%． （注：100% 销售价进价利润率进价）63. 小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的最大值是________．64. 图书馆内，在标有号码1，2，3，4的书架上分别有书120，135，142，167本．若干天后，每个书架上都各被借出a 本书，又过了若干天，四个书架又分别被借出0，b ，c ，d 本书，并且四个书架上余下同样本数的书． 若b ，c ，d ≥1，b +c +d =a ，则两次借出书后，1号书架剩有________本书．65.五个不同的数，两两之和依次等于3，4，5，6，7，8，11，12，13，15 则这五个数的平均数是________．66.王明在早晨六点至七点之间外出晨练，锻炼时长不超过一小时，出门和回家的时候，时针与分针的夹角都是110°．则王明晨练的时间为________分钟．67.某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米（b﹤a），再前进c千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（）．68.某届运动会的十一天的比赛中，醒狮队拿了16块金牌，其中每天至少拿一枚金牌，则醒狮队拿金牌的不同的情况可能有________种．(假设金牌都是一样的)69.将正方形的每条边8等分，再以这些分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形的个数是________．70.口袋中装有20个只有颜色不同其他都相同的球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么这样取法有________种．71.将若干红黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球．按这种要求摆放，最多可以摆放________个球．72.在{1000，1001，1002，…，2000}中有________对相邻的数满足下列条件：每对中的两数相加时不需要进位．73.试求所有满足如下性质的四元实数组（a，b，c，d）：组中的任一数都等于其余三个数中某两个数的乘积．（注：四元实数组中的数相同，顺序不同，算作同一组）74.将三位数A各个数位上的数字重新排列，得出的所有数的算术平均值等于A．这样的三位数A共有________个．75.如图，6个人围成一圈做传球游戏，每个人接到球后传给和他不相邻的某一人(如：A接到球后可以传给C、D或E)，开始时，球在A的手中，若球被传递三次后又回到A，此种情况出现的概率是________．76.如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AC的中点，从这8个图形△ABD、△ACD、△ABE、△BCE、△GAB、△GAE、△GBD、四边形CEGD中任取2个图形，取出的2个图形面积相等的概率是________．77.按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是________．78.如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对的两个面上的代数式的值相等，则x – y – z的值是________．79. 设)(n f 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，如14321)123(222 f ．记)()(1n f n f ，))(()(1n f f n f k k ，k =1，2，3……，则2016(2016)f 的值是________．80. 有16枚棋子，都是一面黑色，另一面白色，放在4×4的正方形网格里．最初，所有棋子都是黑面朝上．规定：每次操作，将一个2×2正方形中的4枚棋子都正反面翻转一次．那么，要得到如图所示的排列，至少需要经过________次操作．1.计算：7年级思维训练80题答案1111 13355720212023________．答案：1011 20232.已知202120212021202220222022202320232023 20202020+2020202120212021202220222022 a b c，，，则abc ________．答案：13.123499910001001(1)1(1)1(1)1(1)的值是________．答案：–14.设11112018201920202050M，则1M的整数部分是________．答案：615.计算：4444444444 1032422324343244632458324 432416324283244032452324=________．答案：3736.已知5555284110133144□，其中□里的数字是________．答案：77.哪些连续正整数之和为1000？试求出所有的解．答案：198＋199＋200＋201＋202；55＋56＋...＋70；28＋29＋ (52)8. 2023减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，以此类推，一直到最后减去余下的11000，最后的结果为________．答案：202310009. n 个正数的乘积的n 次方根称为这n 个数的几何平均数．喜羊羊写了4个数，这4个数的几何平均数是2048；美羊羊也写了4个数，这4个数的几何平均数是8．那么，喜羊羊和美羊羊写的这8个数的几何平均数是________． 答案：12810. 有下列三个命题：（1）若α，β是不相等的无理数，则αβ + α – β是无理数； （2）若α，β是不相等的无理数，则是无理数；（3）若α，β是无理数． 其中正确的命题个数是________． 答案：011. 如果a ，b ，c 是三个任意整数，那么2a b ，2a c ，2b c（ ）． A. 都不是整数B. 至少有两个整数C. 至少有一个整数D. 都是整数答案：C12. 有理数m ，n 在数轴上的位置如图所示，在m n ，m n ，n m ，m n 中正数的个数是________．答案：213. 如果实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式||||a b b c 可以化简为（ ）．A. 2c – aB. 2a – 2bC. –aD. a答案：C14. 把4个不同的整数两两相加得到6个和，并且这6个和是5个互不相同的数：23，26，29，32和35．那么这4个整数中最大的是________． 答案：1915. 从1~26这26个整数中取出两个数，选出的两个数相乘所得的积正好是剩余的24个数之和．选出的两个数分别是________和________． 答案：15，2116. 已知a – b = 4，ab + c 2 + 4 = 0，则a + b = ________．答案：017. 已知a 、b 、c 是实数，且13ab a b ，17bc b c ，112ac a c ，则acbc ab abc=________．答案：11118. 已知 | x | + x + y =5，x + | y |－y = 10，则 x + y 的值是________．答案：119.________．答案：20. 222 − 4有________个不同的质因数．答案：621. 已知x 是实数，则(x 2－4x +3)(x 2+4x +3)的最小值是________．答案：–1622. 若实数a ，b ，c 满足等式36b ，96b c ，则c 可能取的最大值为________． 答案：223. 已知x ，y 是非负整数，且满足4(2)34x y ，那么满足条件的x + y 的最大值是________． 答案：424. 若正整数x ，y ，z 满足11145x y z，则xyz 的最大值是________． 答案：16025. 231x x x 的最小值是________．答案：526. 满足24x y y 的整数对（x ，y ）有________个．答案：627. 设a 是整数，关于x 的方程12x a 只有三个不同的整数解，求这三个解．答案：–3，1，528. 若a 为整数，则关于x 的方程(a – 1) x = a + 1的所有整数解的和是________．答案：429. 已知x 与y 使得x + y ，x – y ，xy ，x y四个数中的三个相等，则这样的数对（x ，y ）有________对． 答案：230. 若关于x ，y 的二元一次方程组 132kx y bk x y 有无穷多组解，则22k b 的值为________． 答案：531. 若[x ]表示不超过x 的最大整数，且满足方程3x + 5[x ] – 49 = 0，则3x +1=________． 答案：2032. 如果关于x 的不等式组9080x a x b的整数解仅有1，2，3，那么整数a ，b 组成的有序数对（a ，b ）共有________对． 答案：7233. 如果关于x 的不等式组100x x a无解，则a 的取值范围是________．答案：1a34. 在1~100的自然数中与10互质的自然数共有________个．答案：4035. 已知三个质数a ，b ，c 满足133a b c ab bc ac ，则abc ＝________．答案：15436. 已知三位数abc 能被5整除，但不能被6和7整除；三位数cba 能被6整除，但不能被5和7整除；三位数cab 能被7整除，但不能被5和6整除，则abc ＝________． 答案：67537. 九位数ABCABCBBB 能被1~17中的任意整数整除，且A ，B ，C 是不同的数字，则九位数ABCABCBBB 是________． 答案：30630600038. 乘积376 ×733 的个位数字是________．答案：739. 四位数aabb 是一个整数的平方，aabb =________．答案：774440. 已知p 是质数，且271p 的不同正因数的个数不超过10，则满足题意的p的个数是________． 答案：241. 如图所示有4种类型的几何体，每个几何体都是由4个单位正方体组成．选出8个同类型的几何体，把它们组合成一个2×4×4的长方体．可以完成组合的几何体有________种类型．答案：442. 已知圆环内直径为a 厘米，外直径为b 厘米，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为________厘米． 答案：49a +b43. 设有一个边长为1的正三角形，记作A 1（如图1），将A 1的每条边三等分，以中间的线段为一边向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A 2（如图2）；将A 2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A 3（如图3）；再将A 3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A 4，那么A 4的周长是________．图1 图2 图3答案：64944. 如图所示，AOB 是一条直线，若1:2:3:41:2:4:5 ，则2 的余角是________度．答案：6045.如图，AB//CD，那么∠1 –∠2 +∠3 –∠4 +∠5 =________度．答案：046.如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7=（）．A．450° B．540° C．630° D．720°答案：B47.从一个凸n边形的纸板上剪下一个三角形，剩余的是一个内角和为2160°的多边形，则n最大是________．答案：1548.一个凸n边形的内角和小于1998°，那么n的最大值是________．答案：1349.如果一个凸多边形的内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形的边数是（）．A.4B.6C.8D.10E.12答案：C50.如图所示，在△ABC中，AC=7，BC=4，D为AB中点，E为AC边上一点，且1902AED C，则CE =________．答案：5.551.在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积是________．答案：1652.△ABC中，∠A为最小角，∠B为最大角，且2∠B = 5∠A，若∠B的最大值为m°，∠B的最小值为n°，则m + n =________．答案：17553.如图，在锐角△ABC中，高线CD，BE相交于点F，若∠A=55°，则∠BFC的度数是________度．答案：12554.如图，PQ=PR=QS，线段PR与QS相互垂直，则∠PRQ与∠PSQ度数之和是________度．答案：13555.在平行四边形ABCD中，AD = 2AB，点M是AD的中点，CE⊥AB于E．如果∠CEM = 40°，那么∠DME的值是（）．A．150° B．140° C．135° D．130°答案：A56.若长方形内有一点P，点P到各边的距离从小到大依次为1，2，5，6则长方形面积最小为________．答案：3357.如图所示的4×5的方格图中，过格点P的直线与方格图上、下边界相交形成的直角梯形ABCD（其中AB<CD）的面积最大是________．答案：1258. 如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线AE 交CD 于H ，交∠BCD 的平分线CF 于G ．求证：HF ∥BC ．答案：证明：由∠DCB ＝90°－∠B ＝∠BAC ，知∠HCG ＝12∠DCB ＝12∠BAC ＝∠HAD ．而∠CHG ＝∠AHD ，从而∠CGH ＝180°－(∠HCG ＋∠CHG )＝180°－(∠HAD ＋∠AHD )＝90°，知AG ⊥CG ，即AG ⊥CF ．此时，∠FCA ＝90°－∠GAC ＝90°－∠GAF ＝∠CF A ，故AC ＝AF ，即点A 在CF 的垂直平分线AG 上．又H 在AG 上，则HC ＝HF ，即知∠HFC ＝∠FCH ＝∠FCB ，故HF ∥BC ．59. 由8个相同的小正方体搭成的一个几何体，俯视图如下，那么这个几何体的左视图一定不是（ ）．答案：C60. 若n 个人完成一项工程需要m 天，则（m +n ）个人完成这项工程需要（ ）天． A.nm mnB.m nm nC.m nmnD.2mnm n答案：A61. 一个商人用m 元（m 为正整数）买来了n 台（n 为质数）电视机，其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构，其余的电视机在商店出售，每台盈利500元，结果该商人获得利润为5500元，则n 的最小值是________． 答案：1762. 某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4％，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是________%． （注：100% 销售价进价利润率进价）答案：1763. 小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的最大值是________．答案：864.图书馆内，在标有号码1，2，3，4的书架上分别有书120，135，142，167本．若干天后，每个书架上都各被借出a本书，又过了若干天，四个书架又分别被借出0，b，c，d本书，并且四个书架上余下同样本数的书．若b，c，d≥1，b+c+d=a，则两次借出书后，1号书架剩有________本书．答案：3665.五个不同的数，两两之和依次等于3，4，5，6，7，8，11，12，13，15 则这五个数的平均数是________．答案：4.266.王明在早晨六点至七点之间外出晨练，锻炼时长不超过一小时，出门和回家的时候，时针与分针的夹角都是110°．则王明晨练的时间为________分钟．答案：4067.某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米（b﹤a），再前进c千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（）．答案：C68.某届运动会的十一天的比赛中，醒狮队拿了16块金牌，其中每天至少拿一枚金牌，则醒狮队拿金牌的不同的情况可能有________种．(假设金牌都是一样的)答案：300369.将正方形的每条边8等分，再以这些分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形的个数是________．答案：313670.口袋中装有20个只有颜色不同其他都相同的球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么这样取法有________种．答案：1671.将若干红黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球．按这种要求摆放，最多可以摆放________个球．答案：1572.在{1000，1001，1002，…，2000}中有________对相邻的数满足下列条件：每对中的两数相加时不需要进位．答案：15673.试求所有满足如下性质的四元实数组（a，b，c，d）：组中的任一数都等于其余三个数中某两个数的乘积．（注：四元实数组中的数相同，顺序不同，算作同一组）答案：（0，0，0，0），（1，1，1，1），（－1，－1，1，1），（－1，－1，－1，1）74.将三位数A各个数位上的数字重新排列，得出的所有数的算术平均值等于A ．这样的三位数A 共有________个． 答案：1575. 如图，6个人围成一圈做传球游戏，每个人接到球后传给和他不相邻的某一人(如：A 接到球后可以传给C 、D 或E )，开始时，球在A 的手中，若球被传递三次后又回到A ，此种情况出现的概率是________．答案：22776. 如图，△ABC 中，D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，从这 8个图形△ABD 、△ACD 、△ABE 、△BCE 、△GAB 、△GAE 、△GBD 、四边形CEGD 中任取2个图形，取出的2个图形面积相等的概率是________．答案：2777. 按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是________．答案：7＜x ≤1978. 如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对的两个面上的代数式的值相等，则x – y – z 的值是________．答案：379. 设)(n f 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，如14321)123(222 f ．记)()(1n f n f ，))(()(1n f f n f k k ，k =1，2，3……，则2016(2016)f 的值是________． 答案：14580. 有16枚棋子，都是一面黑色，另一面白色，放在4×4的正方形网格里．最初，所有棋子都是黑面朝上．规定：每次操作，将一个2×2正方形中的4枚棋子都正反面翻转一次．那么，要得到如图所示的排列，至少需要经过________次操作．答案：6。

思维特训(十八)钟表问题方法点津·1．钟表上的夹角：钟表上共有12个大格，每个大格对应的角为30°，共有60个小格，每个小格对应的角为6°.2．时针与分针转动的度数关系：时针每小时转30°，时针每分钟转0.5°；分针每小时转360°，分针每分钟转6°；时针旋转30°时，分针旋转360°，故时针旋转1°时，分针旋转12°.3．以上述两点为基础，利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．通过两个角的和差，可解决有关钟表的问题．典题精练·类型一由时间求时针与分针的夹角1．如图18－S－1，8点整，时针与分针的夹角是()图18－S－1A．60° B．80°C．120° D．150°2．时钟显示为8：30时，时针与分针所夹的角是()A．90° B．120° C．75° D．84°3．当时钟显示上午10：10时，时针与分针的夹角是()A．115° B．120° C．105° D．90°4．在下午3：22时，时针和分针的夹角是多少度？5．某火车站的钟楼上装有一电子报时钟，在钟面的边界上每一分钟的刻度处都装有一只小彩灯，晚上九点三十五分二十秒时，时针与分针所夹的角α内装有多少只小彩灯？类型二 由时针与分针的夹角求时间6．7点与8点之间，分针与时针重合的时刻是( )A ．7点41811分B ．7点41911分 C ．7点42011分 D ．7点42111分 7．某人早晨8点多吃早饭，发现钟面上的分针与时针的夹角为25°，等他吃完早饭后发现钟面上的时间还是8点多，两针的夹角还是25°，则他吃早饭用了多长时间？8．钟面上的角的问题．(1)3点45分时，时针与分针的夹角是多少？(2)在9点与10点之间，什么时候时针与分针成100°的角？9．钟面上从2点到4点有几次时针与分针的夹角为60°？分别是几点几分？详解详析1．C[解析] 钟表上一个大格为30°，8点时针与分针之间有4个大格，夹角是30°×4＝120°.2．C[解析] 8点30分时，钟面上时针指向数字8与9的正中间，分针指向数字6，所以时针与分针所成的角为2×30°＋12×30°＝75°. 3．A[解析] 时针每分钟转0.5°，10分钟时针旋转0.5°×10＝5°，这时时针与分针的夹角为30°×4－5°＝115°.4．解：时针旋转的速度是每分钟0.5°，从中午12时到下午3时22分时针旋转的度数是202×0.5°＝101°，分针旋转的速度是每分钟6°，22分钟旋转的度数是22×6°＝132°，故下午3：22时时钟的时针和分针的夹角是132°－101°＝31°.5．解：晚上九点三十五分二十秒时，时针与分针所夹的角为9×30°＋35×0.5°＋20×0.5°÷60－(35×6°＋20×6°÷60)＝(7523)°，7523÷6≈12.6. 故时针与分针所夹的角α内装有12只小彩灯．6．C[解析] 时针每小时转动30°，每分钟转动0.5°，分针每分钟转动6°.设经过x 分钟分针与时针重合，则有6x －0.5x ＝210，解得x ＝42011. 即7点与8点之间，分针与时针重合的时刻是7点42011分． 7．解：如图所示：设这个人吃早饭用了x 分钟，则(6x)°＝25°＋(0.5x)°＋25°，解得x ＝9111，即这个人吃早饭用了9111分钟． 8．解：(1)因为由3点到3点45分，分针转了270°，时针转了45×0.5°＝22.5°， 所以时针与分针的夹角是270°－90°－22.5°＝157.5°.(2)设分针转的度数为x ，则时针转的度数为112x ，则有如图①②两种情况： ①90°＋x －112x ＝100°，解得x ＝(12011)°，12011÷6＝2011(分)； ②90°＋112x －(x －180°)＝100°， 解得x ＝(204011)°，204011÷6＝34011(分)．综上所述，9时2011分和9时34011分时时针与分针成100°的角． 9．解：第一次正好为2点整；第二次设为2点x 分时，时针与分针的夹角为60°，则5.5x ＝60×2，解得x ＝21911(分)； 第三次设为3点y 分时，时针与分针的夹角为60°，则5.5y ＝90－60，解得y ＝5511(分)； 第四次设为3点z 分时，时针与分针的夹角为60°，则5.5z ＝90＋60，解得z ＝27311(分)． 故钟面上从2点到4点有四次时针与分针的夹角为60°，分别是2点整、2点21911分、3点5511分、3点27311分．。