立体几何的解题方法小结

立体几何中的存在惟一性问题

存在惟一问题是立体几何中的重要题型，但往往被同学们所忽视。下面介绍其证明方法。 解决这类题型必须分两步论证。先证存在性，常用构造法，即作出符合题意的图形，再证惟一性，常用反证法（或同一法）。

例：求证：过两条异面直线中一条有且仅有一个平面与另一条直线平行。 分析；“有一个”——说明图形存在。“仅有一个”——说明图形惟一。 证明：（1）存在性

∴a b //

这与a 、b 是异面直线相矛盾，于是假设不成立 故过b 有且仅有一个平面α与直线a 平行

立体几何中公理2的一个应用

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线。

此公理是立体几何中关于平面的基本性质之一，它除了能判断两个平面是否相交之外，还能得出如下性质：

若A A l ∈∈=αβαβ，，且I ，则A l ∈。用此性质可解决如下题型：证明点在直线上。 以下举例说明。

例1. 已知∆ABC 的三边AB 、BC 、AC 所在的直线分别与平面α相交于E 、F 、G 三点，求证：E 、F 、G 三点共线。

证明：如图1，ΘI I AB E BC F EF EF ααα==⊂.，，联结，则

又平面平面又，

，平面，即是平面与平面的公共点。因此，、、三点共线。

EF ABC ABC EF AC G G G ABC G ABC G EF E F G ⊂∴==∴∈∈∴∈ααααI I .

.

图1

例2. 如图2，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 中点，F 为AA 1中点，求证：CE 、D 1F 、DA 相交于一点。

图2

证明：ΘE AB F AA 为的中点，为的中点，1

∴∴EF A B

A B D C EF D C

//////1111又因，

评注：证明三点共线或三线共点常常转化为证明点在直线上。

反证法在立体几何中的应用

反证法在立体几何中用得最多，课本中有很多定理如直线和平面的平行判定定理、平面和平面的平行判定定理等都是用反证法来证明的。具体地说，反证法常用来证明以下问题： 一、证明两条直线是异面直线

例1. 求证：分别和两条异面直线AB 和CD 同时相交的直线AC 、BD 是异面直线。

证明：假设AC 和BD 不是异面直线，则AC 和BD 在同一平面内，设这个平面为α，由AC BD ⊂⊂αα，，知A B C D 、、、∈α，故AB CD ⊂⊂αα，。这与AB 和CD 是异面直线矛盾，于是假设不成立，故直线AC 和BD 是异面直线。

二、证明有关“惟一性”的命题

例2. 已知a 与b 是异面直线，求证过a 且平行于b 的平面只有一个。

证明：如图1，假设过直线a 且平行于直线b 的平面有两个α和β。在直线a 上取点A ，过b 和A 确定一个平面γ，且γ与α，β分别交于过A 点的直线c 、d 。由b//α，知b//c 。同理b//d 。故c//d ，这与c 、d 相交于点A 矛盾。

故假设不成立。从而过a 且平行于b 的平面只有一个。

三、证明直线在平面内

例3. 已知：直线a ⊂平面α，点A ∈平面α，直线AB//a ，求证：AB ⊂α。

证明：假设AB 不在平面α内。因为A ∈α，所以AB A I α=。由于a ⊂α，从而由异面直线判定定理知AB 与a 是异面直线，这与AB//a 矛盾。因此假设不成立，故AB ⊂α。

四、证明直线与平面的位置关系

例4. 求证：两条平行线中一条与一个平面相交，那么另一条也与这个平面相交。 已知：a b a //，I 平面α=A ，如图2所示。 求证：直线b 和平面α相交。

证明：假设b 和平面α不相交，即b ⊂α或b //α。

（1）若b ⊂α，因为a b a //，⊄α，所以a //α，这与a A I

α=相矛盾。

（2）如果b //α，因为a//b ，所以a 和b 确定一个平面β，显然平面α与平面β相交。设

αβI =c ，因为b //α，所以b c //。又a b //，从而a c //且a c ⊄⊂αα，。故a //α，这与a A I α=矛盾。

由（1）、（2）可知，假设不成立。 故直线b 与平面α相交。

浅议立体几何中的“动”与“静”

动与静是事物状态的两个方面，动中有静，静中寓动，它们互相依存，并在一定条件下互相转化，在解题中，既要善于动中觅静，以静制动，也要能够静中思动，以动求静，直到动静结合。

一、动中有静

例1. 如图1，已知正方体AC 1中，点E 在棱D 1C 1上运动，求A 1D 与AE 所成角的范围。

D E C 1

A 1

图1

B 1

D

分析：A 1D 与AE 所成角为异面直线所成角，求其大小通常要构造平面角，而AE 是动直线平面角难以构造，若考虑动直线AE 在面AD 1上的射影始终为AD 1且AD 1⊥A 1D ，由三垂线定理可知A 1D 与AE 所成角为90°。 解：略。

例2. 在正方体AC 1中，对角线A 1C 上一线段PQ ＝1，AB ＝2，求三棱锥P —BDQ 的体积。 分析：P 、Q 位置没有具体限定，它只要满足在直线A 1C 上；PQ ＝1，所以只要选取Q （或

P ）在C （或A 1）点即可解答。 解：如图2

A 1 D 1

B

（a ）

D

A 1

D 1

B （b ） D

图2

V S S BC CD P BDQ BCD BCD -==⨯=⨯⨯=13121

2

222∆∆， 连AC ，过P 作PH ⊥AC ，则PH h =

而PH A A PQ A C PH PQ A C A A 1111123

23

3=⇒=⨯=⨯=

所以V P BDQ -=

23

9

二、静中有动

例3. 如图3，正三棱锥S —ABC 中，求两侧面所成角的范围。

S

B C

图3

分析：求两侧面所成角就要构造其二面角的平面角，再通过解三角形将角求出，而本题中棱长并未告之，显然常规处理难以奏效，若以运动的眼光，设三棱锥的高SO 无限增大，此时侧棱可近似看作与底面ABC 垂直，则△ABC 中的三个角可看作两侧面所成角即为

π

3

；同理当SO 无限缩短时，则三个侧面与面ABC 重合，两侧面所成角为π，综上可知两侧面所成角范围为ππ3，⎛⎝

⎫⎭

⎪。

例4. 如图4，四面体一条棱长为x ，其余棱长为1，体积为V ，求V f x =()的定义域和单调区间。