分数应用题中比的应用
一、抓不变量
【例1】有一些球，其中红球占1/3，当再放入8个红球后，红球占总球数的5/14，问现在共有多少球？
解：其他球的数量没有改变。增加8个红球后，红球与其他球数量之比是5∶（14－5）＝5∶9。在没有球增加时，红球与其他球数量之比是1∶（3－1）＝1∶2＝4.5∶9。因此8个红球是5－4.5＝0.5（份）。现在总球数是
本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变。把1∶2写成4.5∶9，就是充分利用这一特点。本题也可以列出如下方程求解：（x＋8）∶2x＝5∶9。
【例2】甲、乙两同学的分数比是5∶4，如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是5∶7。甲、乙原来各得多少分？
解一：甲、乙两人的分数之和没有变化。原来要分成5＋4＝9份，变化后要分成5＋7＝12份。如何把这两种分法统一起来？这是解题的关键。9与12的最小公倍数是36，我们让变化前后都按36份来算，5∶4＝（5×4）∶（4×4）＝20∶16.5∶7＝（5×3）∶（7×3）＝15∶21。甲少得22.5分，乙多得22.5分，相当于20－15＝5份。因此原来甲得22.5÷5×20＝90（分），乙得 22.5÷5×16＝72（分）。
我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程。
解二：设原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x。根据得分变化，可列出比例式。
（5x－22.5）∶（4x＋22.5）＝5∶7 即 5（4x＋22.5）＝7（5x－22.5），15x＝12×22.5，x＝18。甲原先得分18×5＝90（分），乙得18×4＝72（分）。
【例3】张家与李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果张家结余240元，李家结余270元。问每家各收入多少元？
解一：我们采用“假设”方法求解。如果他们开支的钱数之比也是8∶5，那么结余的钱数之比也应是8∶5。张家结余240元，李家应结余x元。240∶x＝8∶5，x＝150（元）。
实际上李家结余270元，比150元多120元。这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差，每份是120÷（5－3）＝60。（元）。因此可求出
解二：设张家收入是8份，李家收入是5份。张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多。
我们画出一个示意图：
张家开支的3倍是（8份－240）×3。李家开支的8倍是（5份－270）×8。从图上可以看出 5×8－8×3＝16份，相当于270×8－240×3＝1440（元）。因此每份是1440÷16＝90（元）。张家收入是90×8＝720（元），李家收入是90×5＝450（元）。本题也可以列出比例式：（8x－240）∶（5x－270）＝8∶3。然后求出x。事实上，解方程求x的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些。
【例4】 A和B两个数的比是8∶5，每一数都减少34后，A是B的2倍，求这两个数。
解：减少相同的数34，因此未减时，与减了以后，A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点。 8∶5，就是8份与5份，两者相差3份。减去34后，A是B的2倍，就是2∶1，两者相差1。将前项与后项都乘以3，即2∶1＝6∶3，使两者也相差3份。现在就知道34是8－6＝2（份）或5－3＝2（份）。因此，每份是34∶2＝17。 A数是17×8＝136，B 数是17×5＝85。
本题也可以用例13解一“假设”方法求解，不过要把减少后的2∶1，改写成8∶4。
【例5】小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15张。小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5∶2。问原来两人各有多少张图画纸？
解一：充分利用已知数据的特殊性。4＋3＝7，5＋2＝7，15－8＝7。原来总数分成7份，变化后总数仍分成7份，总数多了7张，因此，新的1份＝原来1份＋1原来4份，新的5份，5－4＝1，因此，新的1份有15－1×4＝11（张）。小明原有图画纸11×5－15＝40（张），小强原有图画纸11×2＋8＝30（张）。
解二：我们也可采用例13解一的“假设”方法。先要将两个比中的前项化成同一个数（实际上就是通分）4∶3＝20∶15，5∶2＝20∶8。
假设小强也买来15×3/4＝45/4（张），那么变化后的比仍应是20:15，但现在是20:8，因此这个比的每一份是（45/8＋8）÷（15－8）＝11/4。小明现有20×11/4＝55（张），原有55－15＝40（张）；小强现有8×11/4＝22（张），原有22＋8＝30（张）。当然，也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法。
解三：设原来小明有4“份”，小强有3“份”图画纸。
把小明现有的图画纸张数乘2，小强现有的图画纸张数乘5，所得到的两个结果相等。我们可以画出如下示意图：
从图上可以看出，3×5－4×2＝7（份）相当于图画纸15×2＋8×5＝70（张）。因此每份是10张，原来小明有40张，小强有30张。
备注：例1至5这五个例题是同一类型的问题。用比例式的方程求解没有多大差别。用算术方法，却可以充分利用已知数据的特殊性，找到较简捷的解法，也启示一些随机应变的解题思路。另外，解方程的代数运算，对小学生说来是超前的，不容易熟练掌握。例3的解一，也是一种通用的方法。“假设”这一思路是很有用的，希望读者能很好掌握，灵活运用。从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特殊性。因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维。
【例6】粗蜡烛和细蜡烛长短一样。粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时。同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍。问这两支蜡烛点了多少时间？
解：设粗、细蜡烛长度是1，每小时粗蜡烛点去1/5，细蜡烛点去1/4，我们把问题改变一下：设细蜡烛长度是2，每小时点去2/4，问过多长时间两支蜡烛长度相等。
现在两者相关是（2－1），每小时能缩小差距（2/4－1/5），因此两者相等需要时间是（2－1）÷（2/4－1/5）＝10/3（小时）。
把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2，使原来要考虑的“2倍”变成“相等”，思考就简捷了。解这类问题这是常用的技巧。再请看一个稍复杂的例子。
【例7】箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只。每次从箱子里取出7只白球，15只红球，经过若干次后，箱子里剩下3只白球，53只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只？
解：因为红球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以对3倍的白球，每次取15只，最后应剩51只。
因为白球每次取7只，最后剩下3只，所以对3倍的白球，每次取 7×3＝21只，最后应剩3×3＝ 9只。因此，共取了（51－ 3×3）÷（7×3－15）＝ 7（次）。
红球有 15×7＋ 53＝ 158（只）。白球有 7×7＋3＝52（只）原来红球比白球多 158－52＝106（只）。
