东北大学大学物理上附加题4和14参考答案

解：在介子的静止系中，半衰期为是本征时间：
t0 1.8108 s
由时间膨胀效应，实验室 参系中的观察者测得的同
t
t0 1 v2
3108 (s)
一过程所经历的时间为：
c2
因而飞行距离为
d vt 7.2m
14
附14-2 一静止体积为V0，静止质量为m0的立方体沿其 一棱的方向相对于观察者A以速度v 运动，则观察者A测 得立方体的体积、质量和质量密度为多少？
(2)杆的最大摆角。 解：(1)选子弹和细杆为研究对象,应
O
h
用角动量守恒定律:
mv0
l 2
mv
l 2
J
J 1 Ml 2 3
Mg
3mv0 v
2Ml
6
(2)杆的最大摆角 选细杆和地球为研究对象,应用机械能 守恒定律:(势能零点如图)
O
EP 0 h
1 J 2 Mgh Mg 1 l1 cos
m m
2
单个圆盘的转动惯量为：
m
R2
，d
S
2r d r
z
R
r dr
dm d S 2r dr
J
dJ
r2dm
R
2r 3
dr
1
mR 2
0
2
J1
1 2
mr
2
J2
1 2
2m 2r2
8 2
mr
2
J
J1
J2
1 mr2 2
8 mr2 2
9 mr2 2
3
(2)为了求圆盘的角加速度，必 须对圆盘和两个重物进行受力 分析，如图所示：对重物进行 受力分析：
根据牛顿第二定律可得：
mg - T1 ma1
(1)
T2 mg ma2
对圆盘进行受力分析可得：
T1 T1，T2 T2 (2)
作用力和反作用力。
O
T1 T2
T2 T1
a1 m a2 m
mg
mg
4
根据转动定律 M=J 可得：
2rT1 rT2 J
2rT1 rT2 J (3)
O
根据线量和角量的关系可得：
附加题
1
附4-1 质量分别为m 和2m，半径分别为r 和2r的两个均 质圆盘，同轴地粘在一起，可绕通过盘心且垂直于盘面 的水平光滑轴转动，在大小盘边缘都绕有细绳，绳下端 都挂一质量为m的重物，盘绳无相对滑动，如图所示， 求:(1)圆盘对水平光滑轴的转动惯量; (2)圆盘的角加速度。
解: (1)和在一起的两个圆盘的转动惯量 是两个圆盘单独存在时转动惯量的和。 首先要求出每一个圆盘的转动惯量。
dω dω dθ ωdω
dt dθ dt dθ
ωd ω 3g sin θ d θ 2l
3g
ωdω
sinθ d θ
0
0 2l
m,l FN
mg
O
ω 3g (1 cos θ) l
13
附14-1 已知介子在其静止系中的半衰期为1.8×10-8s。今 有一束介子以的速度v=0.8c离开加速器，试问，从实验 室参考系看来,当介子衰变一半时飞越了多长的距离?
V0 L30 L0 立方体静止时的边长。
V L0 L0 L0
1
-
v2 c2
V0
1
-
v2 c2
m m0
m0
1
-
v2 c2
15
m m0
1
-
v2 c2
V V0
1
-
v2 c2
m
V
m0
1
-
v2 c2
V0
1
-
v2 c2
0c2
c2 v2
0
m0 V0
16
附14-3 已知一粒子的静止质量为m0，当其动能等于 其静止能量时，求粒子的质量、速率和动量。
T1
T2
a1 2r，a2 r (4) mg - T1 ma1
J 9 mr 2 (5) 2
(1)
T2 mg ma2
把方程(1)、 (4)、(5)代入(3)可得： 2g
19r
5
附4-2 一根长为 l，质量为 M 的均质细杆，其一端挂
在一个光滑的水平轴上，静止在竖直位置。有一质量为
m 的子弹以速度v0从杆的中点穿过，穿出速度为v， 求：(1)杆开始转动时的角速度；
2
2
Mg
cos
1
3m 2 4gM 2l
v0
v2
arccos 1
3m 2 4gM 2l
v0
v
2
7
附4-3 一半圆形均质细杆，半径为R，质量为M，求半 圆形均质细杆对过细杆二端AA`轴的转动惯量
M r Rsin d s Rd
R
dm d s M Rd M d
R
A
d
ds R
r
A
J
r2
dm
0
R sin
2
M
d
MR 2 1 cos 2 d MR 2
2 0
2
8
附4-4 一绕中心轴转动的圆盘,角速度为ω若将它放在
摩擦系数为μ水平Hale Waihona Puke Baidu面上,问经过多长时间停下来？(已知
圆盘质量为m半径为R)
解：
m
R2
，d
S
2r d r
R
z
r dr
dm d S 2r dr
d f g dm g 2r dr d M r d f g 2r2 dr
9
M
d
M
R
0
g
2r 2
dr
2 gR3
3
2 3
g
m
R2
R3
2 gmR
3
10
M 2 gmR J 1 mR2
3
2
M J
2 gmR
3 1 mR2
4g
3R
2
t 0 0 3R0
4g
11
附4-5 一长为l 质量为m 匀质细杆竖直放置,其下端与一 固定铰链O相接,并可绕其转动。由于此竖直放置的细杆
m1
m0
1
-
v2 c2
5 3
m0
碰撞前后体系的总能量不变，可得：
m0c2 m1c2 Mc 2
18
M
8 3
m0
碰撞前后动量守恒，可得：
m1v MV
合成小球的静止质量为：
V 0.5c
M0 M
1
-
u2 c2
4
3 3
m0
19
处于非稳定平衡状态,当其受到微小扰动时，细杆将在重
力作用下由静止开始绕铰链O转动。试计算细杆转动到
与竖直线成θ角时的角加速度和角速度。
解：细杆受重力和铰链对细杆的
约束力FN作用，由转动定律得：
1 mgl sin J
2
J 1 ml 2 3
3g sin
2l
m,l FN
mg
O
12
由角加速度的定义
解: 1 EK mc 2 m0c2 E E0 E0
E 2E0 m 2m0
m m0 2
3
2
vc
3 c
2
p mv 3m0c
17
附14-4 两个静止质量都是m0的小球，其中一个静止， 另一个以v=0.8c运动，在它们做对心碰撞后粘在一起， 求：碰后合成小球的静止质量。
解：设碰撞前运动的小球的质量为m1，碰撞后合成的小 球的质量和速度分别为M和V。