一阶线性微分方程及其解法

P ( x )dx dx
Ce
P ( x ) dx
P ( x ) dx
Q( x )e
齐次的 通解
非齐次 的特解
关于通解公式要注意：
ye
P ( x ) dx

( Q( x)e
P ( x ) dx
dx C )
只表示某一 个函数
若 P ( x ) dx
二、可分离变量的微分方程
一阶微分方程的一般形式：
y f ( x , y ) (1 )
若方程（1）可以写成如下形式：
g ( y ) dy f ( x ) dx (1 . 2 )
则称方程（1）为可分离变量的微分方程. 解法

设函数
g( y)和 f ( x) 是
连续的,
(1.3)
1 当 g ( y ) 0时， dy (1.2) h( x ) d x g ( y)
所以，原方程通解为
：y e
y
x c
五、小结
本节主要内容是：
x f 或 1．齐次方程 dy y y 2．齐次方程的解法：关键是令 u ，从而 x
dy
y f dx x
dx
y xu
，则
dy dx
u x
du dx
，代入原方程后，
原方程转化为可分离变量方程去求解；
dM M
kdt
ln M kt ln t
M Ce
kt
M |t 0 M
0
故
M
0
C
故,衰变规律为
M M 0e
kt
练习
12.1第3题,增加一个条件:曲线过(2,3)点,求曲线方程
y
变量分离 两端积分 即 又
y x
dy y 1 x d x,
ln | y | ln | x | ln | C |
dy dx
dy 1 y
1 y
dx
变量分离
注意:这里隐藏一个初始条件
f (0) 0
变量代换是解方程的一种常用的手段 利用变量代换求微分方程的解 例6
解
求 dy dx
dy dx
du dx 1 u
2
( x y ) 的通解.
2
令 x y u,

du dx
1
代入原方程
解得 arctan u x C ,
(2)
一阶线性微分方程的分类
Q ( x ) 0 时，方程（1）称为一阶线性齐次微
分方程。
当
Q(x) 0
时，方程（1）称为一阶线性非齐次
微分方程。
求解法: 1. 常数变易法
1º 齐次线性方程：
分离变量：
dy y
dy y
dy dx
P( x) y 0
( 2.2)
P ( x ) d x,
代回 u x y , 得 arctan( x y ) x C ,
原方程的通解为
y tan( x C ) x .
求
dy dx

1 x y
的通解.
令u x y
求xy y y ln xy的通解.
令u xy
二、齐次方程
形如 或
dy y f 的一阶微分方程称为齐次方程 dx x
x yu
，故
dx dy
u y
du dy
代入得：
1 e
u
du u y 1 u 0 dy
这是关于变量u与x的可分离变量方程， 分离变量 ，并两边积分，得：
ue
故
1 e
u u
du
u
y
x
1
dy
ln ( u e ) ln y ln c
1

u 1 u
2
du
2
1 2x
dx
1 1
( ) ln (1 u ) ( ) ln x ( ) ln c 2 2 2
c x (1 u ) 1
2
代入上式，于是所求方程的通解为
c(x y ) x
2 2
2
把初始条件
y
c 1 代入上式，求出 ，故所求方程的特解为 y 2 x 2 x
(u ) u
1
du
x
1
dx
例1 求方程
y
2
x
2
dy dx
xy
dy dx
的通解
y dy x y dx 1 x
2
解 原方程化为
dy dx

y
2 2
xy x
,即
这是齐次方程， 令 故 代入得：
dy dx
u x
u
y x
,即 y
du dx
2
xu
求微分方程 ( x
2
y ) d x 2 x y d y，满足初始条件 y
2
x 1
0
的特解
解： 方程可化为：
dy dx

x y
2
2
1 ( 2(
y x y x
) )
2
2 xy
它是齐次方程。令
u
y x
du dx 1 u 2 xu
2
代入整理后，有 分离变量，则有 两边积分，得 即
y C ( x )e
P ( x )d x
P ( x )d x
y C ( x ) e
P ( x )d x
C ( x ) [ P ( x )]e
,
将 y 和 y 代入原方程, 得
C ( x )e
P ( x )d x
Q( x ),
可分离变量方程
ln | xy | ln | C |
xy C
x 2时 ，y
3， 故 C 6 xy 6
即所求曲线方程为：
练习:12.2第3题
x
ห้องสมุดไป่ตู้
f ( x) x f (u )du
0
f ( u )为可微函数
， 求 f (x)
两边求导得:
f ( x) 1 f ( x)
y 1 y

注: 若题目只需求通解，则不必讨论 g( y ) 0情形.
例1 求微分方程
解 分离变量
dy dx
2 xy 的通解.
dy y
2 x d x,
两端积分
2

dy y

2 x d x,
y e
C1
ln y x C1 ,
y Ce
x
2
e
x
2
,
y e
C1
C
e
x
2
,
为所求通解.
x Ce
x 2 e x
2 2 1 把它们代入公式得 1 ( ) dx 1 2 2 x y e e e 2 x x
e 2 (e 2 C)
P(x)
1
, Q (x)
1 e
x
dx dx C
例2
(3) y y
2
x
2
(4)
dy dx

1 x
y sin x
2
2
（是）
(5) y y y x
( 6 ) y x sin y x
1
2.
一阶线性微分方程的一般式
dy dx P ( x ) y Q( x ) (1)
或
3. 当
dx dy
P( y ) x Q( y )
x f dy y dx
解法： 针对齐次方程 即
y xu
dy
y dx x
，作变量代换 u

y x
，则
du dx
dy dx
u x
du dx
du dx
将其代入原式，得：

u
u ，即
u u
x
这是一个关于变量u与x的可分离变量的方程； 然后，利用分离变量法求得
积分得 C ( x ) Q( x ) e
P ( x )d x
~ d x C,
一阶非齐次线性微分方程(2.1)的通解为:
y [ Q( x )e
P ( x )d x
~ P ( x )d x d x C ]e
~ 其中C为任意常数.
2. 常数变易公式
dy dx P( x) y Q( x)
1 2
x
1 1 2 C ( x)e 2
x
代入原方程得
1 C ( x ) e 2
x
1 1 2 C ( x)e 2
x
1 1 2 C ( x)e 2
x
1 2 e
x
化简得
C ( x )
1 2 e
x
x 2 C
两边积分，得 所以，原方程的通解 解法2（用公式法）
C (x) e
1 y C ( x)e 2
x 1
0
例3 求方程
1 e
x y
ydx y x dy 0
的通解
解：这是一个齐次方程。先将方程变形为
1 e
x y
dx 1 x 0 dy y
令u

x y
,即
变量分离 两端积分
g( y ) h( x ) d x
dy
设函数G ( y ) 和 H ( x ) 是依次为 则
1 g ( y)
和 h( x ) 的原函数,
G( y ) H ( x ) C
(C为任意常数).
(1.4)
可以验证: (1.4)式为微分方程 (1) 的(隐式)通解.
2 当 g ( y0 ) 0时， y y0也是方程(1)的解.
P( x)d x
的通解为：
ye

[ Q( x)e
P( x)d x
d x C]
（2）一阶线性非齐次微分方程
dy
1）一般式
P(x)y Q(x)
dx
2）解法 常数变易法 3）通解公式
ye

P ( x ) dx
[ Q( x )e
e
P ( x ) dx
dx C ]
一、一阶线性微分方程及其解法
1. 一阶线性微分方程的定义
在微分方程中，若未知函数和未知函数的导数都是一次
的，则称其为一阶线性微分方程。 例1 判下列微分方程是否为一阶线性微分方程：
（是） ( 2 ) ( y ) 3 xy sin( 2 x 1 ) 2y x2 (1 ) 3 y
P ( x ) d x,

ln y P ( x ) d x ln C ,
齐次线性方程的通解为：y Ce P ( x ) d x .
2º非齐次线性方程：
变易
dy dx
P ( x ) y Q( x ).
将 C C ( x ) ( 待定)
作变换
x
的通解.
解法1（常数变易法） 1 1 x 原方程变形为 : y y e 2 2 对应的齐次方程为 ：
y 1 2 y 0
Ce 1 2 dx Ce 1 2 x
得通解为
y Ce
P ( x ) dx
设原方程的解为
y C ( x)e
1 2
x
从而
y C ( x ) e
解
求 y
P(x)
1 x
1 x
y x
,
1 x
2
的通解.
2
Q ( x ) x 则通解为 ,
dx
y e

e
1 x
ln x
x
3


x
2
e

1 x
dx
dx C
2
e
ln x
dx C

x
x
3
dx C C x

1 4

练习 求 x dy ( 2 xy x 1)dx 0 满足 y x 1 0 的特解. 解 原方程变形为
P(x) 2 x
dy dx 2 x y x 1 x
2
2
2
,
其中
, Q(x)
2 x dx
x 1 x
则通解为

2 x dx
y e


x 1 x
2
e
dx C
e
2 ln x
( x 1 ) dx
1 2
C
1 x

C x
ln | ( x ) | 时，绝对值符号可不写
即 e P ( x ) dx
e
ln | ( x )|
e
ln ( x )
(x)
特别注意：
ln ( x )
e
( x ) 而是 e
ln ( x )

1
(x)
例1、求微分方程
2 y y e
u x
du dx

u
u 1
这是关于变量u与x的可分离变量方程， 进行分离变量整理，并两边积分，
得：

1 1 du u
x
1
dx
u ln | u | ln | x | ln | c
故所求通解为：
y x
ln | y | c
书上还有一个例子，自己可以练习练习
例2
求微分方程 分离变量
两端积分
dy dx
e y 的通解.
x
解
dy y
e d x,
x

dy y
e d x
x
ln y e C1 ,
x
y e e
C1
e
x
,
y e e ,
C1 e
x
C

y Ce 为所求通解. (C为任意常数).
e
x
注意到:当C=0时即y=0也是方程的解
应用:
衰变问题: 放射性元素铀不断地放射出微粒子而变成 其它元素,铀的含量不断减少,由物理学知识,铀的衰变速度与未 衰变的原子的含量M成正比,已知t=0时,铀的含量为M0,求衰变过程 中铀含量M(t)随t的变化规律
解
v
dM dt
kM , (k 0)
(这里显然有
dM dt
0)
变量分离 两端积分 即 又
2
2 1 x x C 2 x 2