高三第一学期期中数学考试卷(理科)(3)

海淀区高三年级第一学期期中练习数 学(理科)本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则AB =( A ) A. {1,1,2}- B. {1,2} C. {1,2}-D. {2} 2. 下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是( C )A. ()f x =B. ()ln f x x =C. ()2x f x =D. ()tan f x x = 3. 在ABC ∆中，若tan 2A =-，则cos A =( B )B.D. 4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC ，则实数m 的值为( C )A. 2-B. 12-C. 12D. 2 5.若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（ B ） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)n n a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是（ B ）A. 3SB. 4SC. 5SD. 6S7. 已知0a >，函数2πsin ,[1,0),()21,[0,),x x f x ax ax x ⎧∈-⎪=⎨⎪++∈+∞⎩若11()32f t ->-，则实数t 的取值范围为（ D ） A. 2[,0)3- B. [1,0)- C. [2,3) D. (0,)+∞8. 已知函数sin cos ()sin cos x x f x x x+=，在下列给出结论中： ① π是()f x 的一个周期；。

三明一中2024-2025学年上学期半期考高三数学试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第一部分（选择题共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数3i 1i z =++在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据复数的运算法则化简z ，再写出其对应的点即得.【详解】3i 1iz =++()()()()31i 331i i 1i i 1i 1i 222-=+=+-=-+-，故其在复平面对应的点为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限.故选：D.2. 设,a b 均为单位向量，则“a b a b -=+ ”是“a b ⊥”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据向量的运算法则和公式22a a = 进行化简，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由a b a b -=+ ，则22a b a b -=+ ，即222222a b a b a b a b +-⋅=++⋅，可得0a b ⋅= ，所以a b ⊥，即充分性成立；反之：由a b ⊥ ，则0a b ⋅=，可得2222()a b a b a b -=-=+ 且2222()a b a b a b +=+=+ ，所以a b a b -=+，即必要性成立，综上可得，a b a b -=+ 是a b ⊥的充分必要条件.故选：C.3. 已知数列{}n a 满足()111n n a a +-=，若11a =-，则10a =（ ）A. 2 B. ―2C. 1- D.12【答案】C 【解析】【分析】根据递推式求出2a ,3a ,4a 的值,可以发现数列为周期数列,从而推出10a 的值.【详解】因为111n n a a +=-,11a =-,所以212a =,32a =,41a =-,所以数列{}n a 的周期为3,所以101a =-．故选:C ．4. 已知实数1a >，0b >，满足3a b +=，则211a b+-的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】实数1a >，0b >，由3a b +=，得(1)2a b -+=，因此211211211[(1)]()(3)(3121212b a a b a b a b a b -+=-++=++≥+---，当且仅当211-=-b a a b，即14a -==-所以211a b +-.故选：B5. 中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中1320cm O O =，122cm O O =，16cm AB =，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据：π3≈，铜的密度为8.963g /cm ）（ ）A. 1kgB. 2kgC. 3kgD. 0.5kg【答案】A 【解析】【分析】根据圆锥的体积公式，结合质量公式求解即可.【详解】由题意可得惊鸟铃的体积约为长()22311π820π818128cm 33⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，所以该惊鸟铃的质量约为()1288.961146.88g 1⨯=≈（kg ）．故选：A ．6. 已知函数()()sin 10f x x ωω=+>在区间()0,π上有且仅有2个零点，则ω的取值范围是（ ）A. 711,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 711,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C. [)3,5D. (]3,5【答案】B 【解析】【分析】利用三角函数的性质结合整体思想计算即可.【详解】因为0πx <<，所以0πx <ω<ω，令()sin 10f x x ω=+=，则方程sin 1x ω=-有2个根，所以711πππ22ω<≤，解得71122ω<≤，则ω的取值范围是711,22⎛⎤ ⎥⎝⎦．故选：B7. 在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a c b +-==sin 21cos 2CC+，则角A 的大小为（ ）A.π12B.5π12C.7π12D.3π4【答案】B 【解析】【分析】借助余弦定理计算可得π6B =，4BC π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，代入计算即可得角A 的大小.【详解】因为222a c b +-=，由余弦定理得2cos ac B =，所以cos B =(0,π)B ∈，所以π6B =，2sin 22sin cos sin 1cos 22cos cos C C C CCC C ===+，所以cos cos sin sin C A C C A C +=-，)sin cos A C C C +=-，又πA C B +=-4B C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以π4B C =-或π4B C π+-=（舍），所以56412C πππ=+=，所以5561212A B C πππ=π--=π--=.故选：B.8. 已知函数()()()e ln 0xf x a ax a a a =--+>，若存在x 使得关于x 的不等式()0f x <成立，则实数a 的取值范围（ ）A. ()20,eB.()e0,e C.()2e ,+∞ D.()ee ,+∞【答案】C 【解析】【分析】将不等式变形为()ln eln 1ln 1x ax a x x -+-<-+-，构造函数()ln g x x x =+，分析可知该函数为增函数，可得出()ln ln 1a x x >--，求出函数()()ln 1h x x x =--的最小值，可得出关于实数a 的不等式，即可得出实数a 的取值范围.【详解】因为0a >，由0ax a ->可得1x >，即函数()f x 的定义域为()1,+∞，()()e ln ln 10xf x a a a x a =---+<可得()e ln ln 11x a x a-<--，即()ln eln 1ln 1x ax a x x -+-<-+-，构造函数()ln g x x x =+，其中0x >，则()110g x x'=+>，故函数()g x 在()0,∞+上单调递增，所以，()()ln e 1x agg x -<-，可得ln e1x ax -<-，则()ln ln 1x a x -<-，即()ln ln 1a x x >--，其中1x >，令()()ln 1h x x x =--，其中1x >，则()12111x h x x x -'=-=--，当12x <<时，()0h x '<，此时函数()h x 单调递减，当2x >时，()0h x '>，此时函数()h x 单调递增，所以，()()min ln 22a h x h >==，解得2e a >.故选：C.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将不等式变形为()ln eln 1ln 1x ax a x x -+-<-+-，结合不等式的结果构造函数()ln g x x x =+，转化为函数()g x 的单调性以及参变量分离法求解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法中正确的是（ ）A. 若//a b ，//b c，则//a cB. 若ABC V 是锐角三角形，则sin cos A B>C. 若点G 为ABC V 的重心，则0GA GB GC ++=D. 命题：x ∀∈R ，21x >-的否定是：x ∃∈R ，21x ≤-．【答案】BCD 【解析】【分析】若0b =可判断A ；根据正弦函数单调性和诱导公式可判断B ；由重心的向量表示可判断C ；由全称命题的否定可判断D.【详解】对于A ，若0b = ，则,a c不一定平行，故A 不正确；对于B ，若ABC V 是锐角三角形，则可得π2A B +>且π,0,2A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得2A B π>-，且0,22B ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的单调性，可得πsin sin 2A B ⎛⎫>-⎪⎝⎭，所以sin cos A B >，所以B 正确；对于C ，分别取BC ，AC ，AB 中点D ，,E F ，则2GB GC GD +=，G 为ABC V 的重心，2GD AG ∴=，20GA GB GC GA GD ∴++=+=，故C 正确；对于D ，根据全称命题的否定可得：x ∀∈R ，21x >-的否定是：x ∃∈R ，21x ≤-，故D 正确.故选：BCD.10. 已知数列{}n a 的前n 项和为2113622n S n n =-+，则下列说法正确的是（ ）A. 7n a n =- B.23344556111145a a a a a a a a +++=C. 使0n S >的最小正整数n 为13 D.nS n的最小值为3-【答案】BCD 【解析】【分析】对A ，根据n S 与n a 关系，求出通项n a 判断；对B ，利用裂项求和得解可判断；对C ，令0n S >求得答案；对D ，求出nS n，利用对勾函数单调性求最值.【详解】对于A ，由2113622n S n n =-+，当1n =时，110a S ==，当2n ≥时，()()221113113611672222n n n a S S n n n n n -⎛⎫=-=-+----+=- ⎪⎝⎭，0,17,2n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩，故A 错误；对于B ，因为()()111118787n na a n n n n -==-----，2n ≥，所以23344556111111111111411453423255a a a a a a a a +++=-+-+-+-=-=，故B 正确；对于C ，由0n S >，即21136022n n -+>，解得12n >，故C 正确；对于D ，101S =，2n ≥时，1613112132222n S n n n n n ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，因为函数12y x x =+在(0,上单调递减，在()∞+上单调递增，∴当3n =或4时，n Sn取得最小值为3-，故D 正确．故选：BCD.11. 已知函数()ln 1x xf x x -=+，则下列结论中正确的是（ ）A. 函数()f x 有两个零点B. ()13f x <恒成立C. 若方程()2k f x x x =+有两个不等实根，则k 的范围是10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭D. 直线14y x =-与函数()f x 图象有两个交点【答案】BCD 【解析】【分析】分01x <<和1x >两种情况探讨()f x 的符号，判断A 的真假；转化为研究函数()11ln 33g x x x x =++的最小值问题，判断B 的真假；把方程()2k f x x x=+有两个不等实根，为2ln k x x =-有两个根的问题，构造函数()2ln m x x x =-，分析函数()m x 的图象和性质，可得k 的取值范围，判断C 的真假；直线14y x =-与函数()f x 图象有两个交点转化为11ln 044x x --=有两解，分析函数()11ln 44n x x x =--的零点个数，可判断D 的真假.【详解】对A ：当01x <<时，()0f x >；当1x >时，()0f x <；1x =时，()0f x =，所以函数()f x 只有1个零点.A 错误；对B ：欲证()13f x <，须证ln 113x x x -<+⇔11ln 033x x x ++>在()0,∞+上恒成立.设()11ln 33h x x x x =++，则()4ln 3h x x '=+，由()0h x '>⇒43e x ->；由()0h x '<⇒430e x -<<.所以()h x 在430,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在43e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.所以()h x 的最小值为443343111e e 33e h --⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为433e <，所以43e 0h -⎛⎫> ⎪⎝⎭.故B 正确；对C ：()2k f x x x=+⇒()1ln 1x x k x x x =++-⇒2ln k x x =-.设()2ln m x x x =-，0x >则()()2ln 2ln 1m x x x x x x '=--=-+，0x >.由()0m x '>⇒120e x -<<；由()0m x '<⇒12e x ->.所以()m x 120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.所以()m x 的最大值为：121e 2em -⎛⎫= ⎪⎝⎭，又当120,e x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x >.如图所示：所以2ln k x x =-有两个解时，10,2e k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故C 正确；对D ：问题转化为方程：ln 114x x x x -=-+有两解，即11ln 044x x --=有两解.设()11ln 44n x x x =--，0x >，所以()11444xn x x x-'=-=.由()0n x '>⇒04x <<；由()0n x '<⇒4x >.所以()n x 在()0,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减.所以()n x 的最大值为()54ln 44n =-.因为82256=，53243=，所以85523e >>⇒454e >⇒544e >⇒5ln 44>在所以()54ln404n =->.且当0x >且0x →时，()0n x <；x →+∞时，()0n x <.所以函数()11ln 44n x x x =--的图象如下：所以11ln 044x x --=有两解成立，所以D 正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：导数问题中，求参数的取值范围问题，通常有如下方法：（1）分离参数，转化为不含参数的函数的值域问题求解.（2）转化为含参数的函数的极值问题求解.第二部分（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. =______.【答案】12##0.5【解析】【分析】利用二倍角公式结合诱导公式化简，即可求得答案.sin50sin 40cos40sin 40cos10cos10===sin 80cos1012cos102cos102=== .故答案为：1213. 已知集合2{|290}A x x x a =-+-=，2{|4100}B x ax x a =-+=≠，，若集合A ，B 中至少有一个非空集合，实数a 的取值范围_______.【答案】{8a a ≥或4a ≤且}0a ≠【解析】【分析】先考虑A ，B 为空集得出a 的范围，再利用补集思想求得结果.【详解】对于集合A ，由()Δ4490a =--<，解得8a <;对于集合B ，由1640a ∆=-<，解得4a >.因为A,B 两个集合中至少有一个集合不为空集,所以a 的取值范围是{8a a ≥或4a ≤，且}0a ≠故答案为：{8a a ≥或4a ≤且}0a ≠14. 在四面体V ABC -中，VA VB ==3VC =，4CA CB ==，VC 的中点为P ，AB 的中点为Q ，则PQ 的取值范围为______.【答案】43⎛ ⎝【解析】【分析】设出线段AB 的长度，然后利用勾股定理表示出QV 和QC ，进而利用2221)4||QP QP QV QC ==(+ 表示出线段PQ 的长度，然后转化为函数求最值即可，但是要注意确定解析式中自变量的取值范围.【详解】如图所示，连接VQ 和CQ，根据VA VB ==4CA CB ==可知，VQ AB ⊥和CQ AB ⊥.不妨设2AB x =，则根据勾股定理可知VQ =，CQ =，其中根据三角形中三边的长度关系可知，0280233x x <<⎧⎪<<⎪>-<，解得2287036x <<.因为12QP QV QC =(+) ，所以22222222113123944442||||||||||||||||||QV QC QP QV QC QV QC QV QC x QV QC +-=(+)=(++⋅⋅)=(-)⋅.因2287036x <<，所以2163994||QP <<，即43QP <<.为。

兰州一中2022-2023-1学期期中考试试题高三数学（理）说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟. 答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合{3,1,0,2,4}U =--，{1,0}A =-，{0,2}B =，则()U A B ⋃=( ) A ．{3,1}- B ．{3,4}- C ．{3,1,2,4}--D ．{1,0,2}-2．已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则=a ( ) A ．1-B ．1C ．3-D ．33．已知()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数，它们的部分图像如图，则()()⋅f x g x 的图像大致是( )A ．B ．C ．D ．4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且918S =，71a =，则1a =( ) A ．4B ．2C ．12-D ．1-5．已知x 、y 都是实数，那么“x y >”的充分必要条件是( )．A ．lg lg x y >B ．22x y >C ．11x y> D ．22x y >6．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为2的一个半圆，则该几何体的体积为( ) A 3π B 3πC 3πD 3π 7．设x ，y 满足约束条件23250y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则z x y =-+的最小值为( )A ．2B ．1-C ．2-D ．3-8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()x f x e x =+，则32(2)a f =-，2(log 9)b f =，(5)c f =的大小关系为( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>9．设函数()f x 定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列结论错误的是( )A ．7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()7f x +为奇函数C ．()f x 在()6,8上为减函数D ．()f x 的一个周期为810．已知函数222,2,()366,2,x ax x f x x a x x ⎧--≤⎪=⎨+->⎪⎩若()f x 的最小值为(2)f ，则实数a的取值范围为( ) A ．[2,5]B ．[2,)+∞C ．[2,6]D ．(,5]-∞11．已知双曲线2221x y a-=（0a >）的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作一条渐近线的垂线，垂足为P 若12PF F △的面积为22率为( ) A 23B 32C ．3D 1412．已知函数3()5()R f x x x x =+∈，若不等式()22(4)0f m mt f t ++<对任意实数2t ≥恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(2,2-- B ．4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．((),22,-∞+∞D ．(,2-∞第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生，现有2男2女共4名学生承担这三项任务，不同的安排方法种数是______．（用数字作答）14．已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为______．15．已知()f x 是R 上的奇函数，()g x 是在R 上无零点的偶函数，()20f =，当0x >时，()()()()0f x g x f x g x ''-<，则使得()()lg 0lg f x g x <的解集是________16．已知0x >，0y >，且24x y +=，则112x y y ++最小值为________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)（一）必考题：共五小题，每题12分，共60分。

江苏省镇江市2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷姓名一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}22log 1,230,A x x B x x x A B =<=+-=⋃=则 （ ） A ．(3,2)-B．C ．(0,2)D ．2．已知复数(12)2,z i z i z -=+=满足则 （ ） A ．15B．C ．1D ．3．已知ABC G ABC ∆∆中，点为所在平面内一点，则“30AB AC AG +-=uu u r uu u r uuu r r”是“G ABC ∆点为重心”的A ．充分不必要条件B．C ．充要条件D ．4．已知26,13x y x y x y+=+均为正数，且，则的最小值为 （ ） A ．12B．C ．20D ．5．已知函数()sin().()f x x y f x θ=+=甲：函数数()f x 为偶函数；丙：当()x f x π=时，函数取得极值；丁：函数()y f x =图象的一个对称中心为(,0)π.甲、乙、丙、丁四人对函数()f x 的论述中有且只有两人正确，则实数θ的值为 （ ）A ．()2k k Z π∈ B． C ．1()2k k Z π+∈ D ． 6．棱长都相等的正四棱锥的侧面与底面所成的二面角大小为α，两相邻侧面所成的二面角大小为β，则（ ）A ．4πα<B．C ．2αβα<<D ．7．已知330,sin sin ,3ln sin 3ln sin ,3sin 3sin 2a b c παββαβαβα<<<==-=-则下列选项正确的是A ．b c a >>B．C ．b a c >>D ．（ ）8．等比数列{}10121011101212121111,,()()()0n n na a a a a a a a a a =>-+-++->中，则满足L 的最大整数n 为 A ．2021B．C ．2023D ．二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列结论正确的是 （ ） A ．若0,c ca b c a b>>>>则B ．C ．若1,1,22a ba b a b ⋅+=>为正数满足则 D ．若2,,2a b aba b a b+≥+为正数则10．已知函数3()1()f x x x f x αβ'=-++的导函数为，两个极值点为，，则 （ ）A ．()f x 有三个不同的零点B ．C ．()()1f f αβ+=D ．的切线11．已知数列{}11003,n n a a d n S ==-中，，公差前项和为，则 （ ） A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B ．当值取得最大C ．存在不同的正整数,i j i j S S =，使得D ．值最大12．在正三棱柱111112312,ABC A B C AB AA P AP AB AC AA λλλ-===++中，已知空间点满足uu u r uu u r uu u r uuu r，则（ ）A ．当1231112P B BCC λλλ===时，为正方形对角线交点B ．当C ．当313P ABC λ=-时，三棱锥的体积为D ．当1312,1P AP BC λλλλ=+=⊥且时，有且仅有一个点，使得三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．已知向量(3,1),(1,0),(1,2),()=a b c c a mb m ===⊥+若，则r r r r r r.14．已知三个互不相等的一组实数,,a b c 成等比数列，适当调整顺序后，这三个数又能成等差数列，满足条件的一组实数,,a b c 为 .15．半径为32r O r O O 的球内有一圆锥的高为，底面圆周在球的球面上，则求的体积与该圆锥的体积之比为 .16．海岛上有一座高塔，高塔顶端是观察台，观察台海拔1000m .在观察台上观察到有一轮船，该轮船航行的速度和方向保持不变，上午11时，测得该轮船在海岛北偏东060，俯角为030处，11时20分测得该轮船在海岛北偏西060，俯角为060处，则该轮船的速度为 /m h ，再经过 分钟后，该轮船到达海岛的正西方向.四､解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知集合{}2221210.2A x B x x x m x ⎧⎫=≥=--+<⎨⎬-⎩⎭，集合（1）若2()R m C A B =⋂，求；（2）若 ，求实数m 的取值范围.在以下两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并给出解答 . ①“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件；②.A B B ⋂=18．设函数3()log (933)x x f x k k =-⋅-，其中为常数.（1）当2()k f x =时，求的定义域；（2）若对任意[1,)()x x f x x k ∈+∞≥，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.19．在1,,cos sin()sin sin().632ABC A B C a b c C A C A ππ∆+--=中，角，，对边分别， （1）求B ；（2）若1ABC AC ABC ∆=∆为锐角三角形，且，求周长的取值范围.20．已知数列{}13.12nn n na a n N a a *+∈=+对任意满足（1）如果数列{}n a 为等差数列，求1a ；（2）如果132a =，①是否存在实数λ，使得数列1n a λ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列？如果存在，请求出所有的λ，如果不存在，请说明为什么？②求数列{}n a 的通项公式.21．如图，四棱锥.P ABCD PD ABCD -⊥的底面为平行四边形，底面 （1）若平面PDB PBC BC BD ⊥⊥平面，证明：； （2）若四边形32ABCD PD DC M PC PM MC N PB ===是正方形，，点在棱上，且满足，点是棱上的动点，问：当点N PD DMN 在何处时，直线与平面所成角的正弦值取最大值.22．已知函数()ln .1a f x x x =-+ （1）若函数()f x 存在两个不同的极值点12,x x a ，求实数的取值范围； （2）在（1）的条件下，不等式12()()412ln02f x f x kke k x x +-+≥+-恒成立，求实数的最小值，并求此时a 的值.镇江市2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷姓名一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}22log 1,230,A x x B x x x A B =<=+-=⋃=则 （ A ） A ．(3,2)-B．C ．(0,2)D ．2．已知复数(12)2,z i z i z -=+=满足则 （ C ） A ．15B．C ．1D ．3．已知ABC G ABC ∆∆中，点为所在平面内一点，则“30AB AC AG +-=uu u r uu u r uuu r r”是“G ABC ∆点为重心”的A ．充分不必要条件B．C ．充要条件D ．4．已知26,13x y x y x y+=+均为正数，且，则的最小值为 （ D ） A ．12B．C ．20D ．5．已知函数()sin().()f x x y f x θ=+=甲：函数数()f x 为偶函数；丙：当()x f x π=时，函数取得极值；丁：函数()y f x =图象的一个对称中心为(,0)π.甲、乙、丙、丁四人对函数()f x 的论述中有且只有两人正确，则实数θ的值为 （ B ）A ．()2k k Z π∈ B． C ．1()2k k Z π+∈ D ． 6．棱长都相等的正四棱锥的侧面与底面所成的二面角大小为α，两相邻侧面所成的二面角大小为β，则（ D ）A ．4πα<B．C ．2αβα<<D ．7．已知330,sin sin ,3ln sin 3ln sin ,3sin 3sin 2a b c παββαβαβα<<<==-=-则下列选项正确的是A ．b c a >>B．C ．b a c >>D ．（ A ）8．等比数列{}10121011101212121111,,()()()0n n na a a a a a a a a a =>-+-++->中，则满足L 的最大整数n 为 A ．2021B．C ．2023D ．二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列结论正确的是 （ BCD ） A ．若0,c ca b c a b>>>>则B ．C ．若1,1,22a ba b a b ⋅+=>为正数满足则 D ．若2,,2a b aba b a b+≥+为正数则10．已知函数3()1()f x x x f x αβ'=-++的导函数为，两个极值点为，，则 （ BD ）A ．()f x 有三个不同的零点B ．C ．()()1f f αβ+=D ．的切线11．已知数列{}11003,n n a a d n S ==-中，，公差前项和为，则 （ ABD ） A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列 B ．当值取得最大C ．存在不同的正整数,i j i j S S =，使得D ．值最大12．在正三棱柱111112312,ABC A B C AB AA P AP AB AC AA λλλ-===++中，已知空间点满足uu u r uu u r uu u r uuu r，则（ ACD ）A ．当1231112P B BCC λλλ===时，为正方形对角线交点 B ．当 C ．当32313P ABC λ=-时，三棱锥的体积为D ．当1312,1P AP BC λλλλ=+=⊥且时，有且仅有一个点，使得三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．已知向量(3,1),(1,0),(1,2),()=a b c c a mb m ===⊥+若，则r r r r r r3- .14．已知三个互不相等的一组实数,,a b c 成等比数列，适当调整顺序后，这三个数又能成等差数列，满足条件的一组实数,,a b c 为 4,2,1-- .15．半径为32r O r O O 的球内有一圆锥的高为，底面圆周在球的球面上，则求的体积与该圆锥的体积之比为329. 16．海岛上有一座高塔，高塔顶端是观察台，观察台海拔1000m .在观察台上观察到有一轮船，该轮船航行的速度和方向保持不变，上午11时，测得该轮船在海岛北偏东060，俯角为030处，11时20分测得该轮船在海岛北偏西060，俯角为060处，则该轮船的速度为 100039 /m h ，再经过 10 分钟后，该轮船到达海岛的正西方向.四､解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知集合{}2221210.2A x B x x x m x ⎧⎫=≥=--+<⎨⎬-⎩⎭，集合（1）若2()R m C A B =⋂，求；（2）若 ，求实数m 的取值范围.在以下两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并给出解答 . ①“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件；②.A B B ⋂=17．解：（1）22,12m A x=≥-中：18．设函数3()log (933)x xf x k k =-⋅-，其中为常数.（1）当2()k f x =时，求的定义域；（2）若对任意[1,)()x x f x x k ∈+∞≥，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 18．解：（1）32()log (9233)x x k f x ==-⋅-时，，19．在1,,cos sin()sin sin().632ABC A B C a b c C A C A ππ∆+--=中，角，，对边分别， （1）求B ；（2）若1ABC AC ABC ∆=∆为锐角三角形，且，求周长的取值范围.19．解：（1）有条件得1cos cos()sin sin(A )332C A C ππ---=，20．已知数列{}13.12nn n na a n N a a *+∈=+对任意满足（1）如果数列{}n a 为等差数列，求1a ；（2）如果132a =，①是否存在实数λ，使得数列1n a λ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列？如果存在，请求出所有的λ，如果不存在，请说明为什么？②求数列{}n a 的通项公式.20．解：（1）112112311211933129,6121218112a a a a a a a a a a a a +====+++++，21．如图，四棱锥.P ABCD PD ABCD -⊥的底面为平行四边形，底面 （1）若平面PDB PBC BC BD ⊥⊥平面，证明：； （2）若四边形32ABCD PD DC M PC PM MC N PB ===是正方形，，点在棱上，且满足，点是棱上的动点，问：当点N PD DMN 在何处时，直线与平面所成角的正弦值取最大值.21．证明：（1）PD ABCD ⊥底面Q ，22．已知函数()ln .1a f x x x =-+ （1）若函数()f x 存在两个不同的极值点12,x x a ，求实数的取值范围； （2）在（1）的条件下，不等式12()()412ln02f x f x kke k x x +-+≥+-恒成立，求实数的最小值，并求此时a 的值.22．解：（1）2221(2)1()0(1)x(1)a x a x f x x x x +++'=+==++，。

2019-2020学年度第一学期期中考试高三数学(理科）本试卷分为第I 卷和第II 卷，试卷满分150分，考试时间120分钟。

考试范围：【集合、函数、导数、三角函数、解三角形、平面向量、数列、不等式】第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A ＝{x |x ＜1}，B ＝{x |3x ＜1}，则（ ）{}.|x<0A A B x ⋂=.B A B R ⋃= {}.|1C A B x x ⋃=>.D A B ⋂=Φ2. 若函数f (x )＝()()212xx x a +-为奇函数，则a 等于()A.2 B ． 1 C ．12 D ． －123 .若x∈（0，1），a ＝lnx ，b ＝ln 12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝ln x e ,则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＞c ＞a B ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c24.()23--3]1(2)2f x x ax a A x a x a x =+-∞+≥>∈∈-记函数在区间（，上单调递减时的取值集合为，不等式恒成立时实数的取值集合为B ，则"x A"是"x B"的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 正三角形ABC 中,D 是线段BC 上的点,AB=6, BD=2,则AB AD ⋅=（ ）A.12B. 18C. 24D. 30 6. 在下列给出的四个结论中,正确的结论是( )A. 已知函数()f x 在区间(,)a b 内有零点,则()()0f a f b <B.1,333a ba b +=若则是和的等比中项C. 121212,2,36,//e e m e e n e e m n =-=-若是不共线的向量，且则D. 已知角α终边经过点 (3,-4),则4cos 5α=-{}457621222107.(,),(,),4,log log ...log ()n a a a a b a a a b a a a ==⋅=+++=等比数列的各项均为正数，已知向量且A. 12B. 10C. 5 2.2log 5D +2228.,,,ABC A B C b c a B +-=在中，内角所对边分别是a 、b 、c,若csinC=acosB+bcosA,且 则角的大小（ ）A.6πB.3π C.2π D.23π219.()ln (2)2f x a x x =--∞已知函数在[1,+)上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）.[1,)A -+∞ .(1,)B -+∞ .(,1)C -∞- .(,1]D -∞-210.()2sin cos (0)0f x x x x ωωωωπω=->已知函数在区间（，）内有且只有一个极值点，则的取值范围为（ ）5.(0,]12A 11.(0,]12B 511.(,]1212C 511.[,]1212D23111.()log )f x x a b=+已知函数，若对任意的正数a 、b,满足f(a)+f(3b-1)=0则的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．24'23312.()(1)1,2()1,[,](2cos )2sin 2222x R f x f f x x f x ππ=>∈-+>定义在上的可导函数满足且当时，不等式的解集为（ ）4.()33A ππ， 4.()33B ππ-， .(0)3C π， .()33D ππ-，第II 卷二、填空题（本题共4道小题，每题5分,共20分,其中第16题第一空2分,第二空3分,请将正确的答案填在横线上）13.sin()cos()___ ____.633ππαα+=-=已知则3214.()(2)2,()()1,3f x x a x x f x f x =+-+设函数若为奇函数，则曲线y=在点（）处的切线方程为________.1,210,______.4a b a a b b π=-==15.已知，的夹角为,且则16. 将正整数12分解成两个正整数的乘积有112,26,34⨯⨯⨯三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解.当(,)p q p q p q N *⨯≤∈且是正整数n 的最佳分解时我们定义{}(),(12)43 1.(88)(5))2020n f n q p f f f n N *=-=-=∈函数例如则的值为_______，数列（的前项和为_______.三、解答题（第17题10分，第18题至22题每题12分，共计70分）{}.1),(log 21222.17n 121T n b b N n a b a a n n n n n n n 项和的前求数列）若（的通项公式；）求数列（为公比的等比数列，为首项，是以已知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+*-.sin sin 333)2()1(1)cos(32cos ,,,,,.18的值，求，的面积为若的值；求已知的对边分别为中，在C B b ABC A C B A c b a C B A ABC =∆=+-∆.(2019)f ...(2)f (1)f 2)()()1(.4),21()(,20,0),22,22()),(2cos 2,2(.19的值计算的单调递减区间；求函数离为与其相邻的最高点的距点，的图像过点函数其中已知向量+++⋅=<<>-=+=x f B B ba x fb x aπϕωϕω20.如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD .在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ 始终为45°(其中点P ，Q 分别在边BC ，CD 上)，设BP ＝t （百米）．(1)用t 表示出PQ 的长度，并探求△CPQ 的周长L 是否为定值；(2)设探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积为S (平方百米)，求S 的最大值.{}{}{}{}11121.2,2(1),b .(1)b 11c ,c , 2.n n n n n n nn n n n n n nna a a a na n a a a nb ++=⋅+=+=-=<+已知数列满足设求证：数列为等比数列，并求的通项公式.(2)设数列的前n 项和为S 求证：S22.()+(0,0,1,1)1(1)2,,2()2(2)()6201,1,()(),21.x x f x a b a b a b a b f x f x mf x m a b g x f x a x R b =>>≠≠==∀=≥-<<>-∈=①求方程②若对不等已知函数当时的根；恒成立，求实数的最大值；（）若函数有且只有个零点，求的值式2019-2020学年度第一学期期中考试高三数学(理科）答案一、选择题1.A【解析】：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，所以A正确，D错误，A∪B={x|x＜1}，所以B和C都错误。

辽南协作体高三上学期期中考试高三数学〔理科〕试卷本试卷分第I 卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，考生作答时，将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。

第一卷〔选择题，共60分〕一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每题的四个选项中，只有一项为哪项符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上〕 1、设全集U 是实数集R ，{|||2},{|13}M x x N x x =≥=<<，那么图中阴影局部所表示的集合是A ．{|21}x x -<<B ．{|12}x x <<C ．{|22}x x -<<D ．{|2}x x < 2．向量(1,2),(cos ,sin ),//,tan()4a b a b πααα==+=且则A ．13 B ．13- C ．3 D ．-3 3．假设平面向量,a b 满足(2,1)a b +=-，(1,2)b =，那么向量a 与b 的夹角等于 A ．45︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．135︒ 4．2:11xp x <-:()(3)0q x a x +->，假设p 是q 的充分不必要条件，那么实数a 的取值范围是A ．(]3,1--B ．[]3,1--C ．(],1-∞-D ．(],3-∞-5．设O 为坐标原点，点A 〔1，1〕，假设点(,)B x y 满足222210,12,12,x y x y x y ⎧+--+≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩那么OA OB⋅取得最小值时，点B 的个数是A ．1B ．2C ．3D ．无数6．正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，假设存在两项,m n a a1144,a m n=+则的 最小值为A ．32 B ．53 C ．94D ．不存在 7.假设.1)8(),()4(,)cos(2)(-=-=+++=ππφωf t f t f t m x x f 且都有对任意实数那么实数m 的值等于A ．1±B ．－3或1C ．3±D ．－1或38．A 、B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点，假设l 上一点C 满足2cos cos OC OA OB θθ=+，那么246sin sin sin sin θθθθ+++的最大值是A 9．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，)(x f 单调递减，假设数列}{n a 是等差数列，且03<a ，那么)()()()()(54321a f a f a f a f a f ++++的值A ．恒为正数 B.恒为负数 C.恒为0 D.可正可负10．①函数()ln 2f x x x =+-的图像与x 轴有2个交点；②向量b a ,不共线, 那么关于x 方程02=+x b x a 有唯一实根；③函数y =A ．①③ B ．② C ．③ D ．②③ 11、函数x y x -+=)14(log 2的值域是 A.),0[+∞ B.),(+∞-∞ C.),1[+∞D.),1[]1,(+∞--∞12．设⎩⎨⎧-=-)1(3)(x f x f x (0)(0)x x ≤> ， 假设a x x f +=)(有且仅有三个解，那么实数a 的取值范围是A. )1,(-∞B. ]1,(-∞C. ]2,(-∞D. )2,(-∞第二卷〔非选择题，共90分〕二、填空题〔本大题共4小题，每题4分，共16分，把正确答案填在答题卡中的横线上〕。

七宝中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．函数的定义域为______．2．计算______．3．已知是1与9的等比中项，则正实数______．4．在的展开式中，的系数为______（用数字作答）．5．在复平面内，复数对应的点位于第______象限。

6．已知，则______．7．已知集合，其中可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为______．8．已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为______（从中选择作答）．9．已知函数．在中，，且，则______．10．如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为______．11．抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段y =(4log =a a =4(x -2x 2ii-π1sin 42θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭πcos 4θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭{}22,,A a a x y x y ==+∈N ,x y A ()f x '()f x ()f x y e '=()f x ,,,a b c d ()22cos 2xf x x =+ABC △()()f A f B =a b ≠C ∠=,AD BC O ,,,AB AD BC CD {}1,3,5,,90x ABO DCO ∠=∠=︒x 24y x =F ,,l A B π3AFB ∠=AB的中点在准线上的投影为，则的最大值是______．12．平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知满足，则的取值范围为______．二、选择题（本大题共4题，满分20分）13．已知是非零实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．B ．C ．D14．已知直线，动直线，则下列结论正确的为（）A ．不存在，使得的倾斜角为B ．对任意的与都不垂直C ．存在，使得与重合D ．对任意的与都有公共点15．一组学生站成一排．若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．816．若，有限数列的前项和为，且对一切都成立．给出下列两个命题：①存在，使得是等差数列；②对于任意的，都不是等比数列．则（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．如图，为正方体，动点在对角线上（不包含端点），记．M l N MNAB(0,1)λλλ>≠,,a b c 1,2,1a c b a b ===⋅=1122c a c b ++-a 1a a>2211a a a a+≥+12a a+>-≥-1:10l x y --=()()2:10l k x ky k k +-+=∈R k 2l π21,k l 2l k 1l 2l 1,k l 2l 3n ≥12,,,n a a a k k S 1k k S S +>11k n ≤≤-3n ≥12,,,n a a a 3n ≥12,,,n a a a 1111ABCD A B C D -P 1BD 11D PD Bλ=（1）求证：；（2）若异面直线与所成角为，求的值．18．已知点是坐标原点．（1）若，求的值：（2）若实数满足，求的最大值．19．英语学习中学生喜爱用背单词"神器"提升自己的英文水平，为了解上海中学生和大学生对背单词“神器”的使用情况，随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款背单词“神器”，结果如下：百词斩扇贝单词秒词邦沪江开心词场中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对背单词“神器”的喜爱互不影响．（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用“百词斩”的概率；（2）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人．记X 为这3人中最喜爱使用“扇贝单词”的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）记样本中的中学生最喜爱使用这四款背单词“神器”的频率依次为，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款背单词“神器”的频率依次为，其方差为的方差为．写出的大小关系．（结论不要求证明）20．在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左右焦点，设不经过的直线与椭圆交于两个不同的点，焦点到直线的距离为．（1）求该粗圆的离心率；（2）若直线经过坐标原点，求面积的最大值；（3）如果直线的斜率依次成等差数列，求的取值范围．21．若斜率为的两条平行直线，曲线满足以下两条性质：（Ⅰ）分别与曲线至少有两个切点；（Ⅱ）曲线上的所有点都在之间或两条直线上．则称直线为曲线的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线在“方向上的宽度”，记为．已知曲线1AP B C ⊥AP 11D B π3λ()())1,1,1,1,,A B CO θθ-BC BA -=sin2θ,m n π,0,2mOA nOB OC θ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭22(3)m n ++1234,,,x x x x 21s 1234,,,y y y y 2212341234;,,,,,,,s x x x x y y y y 23s 222123,,s s s 12,F F 22143x y +=1F l ,A B 2F l d l 2F AB △11,,AF l BF d k 12,l l ():C y f x =12,l l C C 12,l l 12,l l C C k ()d k．（1）判断时，曲线是否存在“双夹线”，并说明理由；（2）若，试问：和是否是函数的一对“双夹线”？若是，求此时的值；若不是，请说明理由．（3）对于任意的正实数，函数是否都存在"双夹线"？若是，求的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由．2025届七宝中学高三（上）期中考试参考答案一、填空题1、； 2、； 3、3； 4．18； 5、四；6．；7、； 8、a ； 9、；10、4；11、1； 12、10、【答案】412、【答案】二、选择题13～16、BDBC三、解答题17、（1）证明：如图，连接．由已知可得，平面平面，所以，又是正方形，所以，又平面平面，所以平面，又动点在对角线上，所以平面，所以平面，所以．():sin C f x mx n x =+0,1m n ==C 1,1m n ==-1:1l y x =+2:1l y x =-()y f x =()d k ,m n ()y f x =()d k ()1,+∞3412{}0,1,2,4π311,BC AD AB ⊥111,BCC B B C ⊂11BCC B 1AB B C ⊥11BCC B 11B C BC ⊥1BC ⊂11,ABC D AB ⊂111,ABC D AB BC B = 1B C ⊥11ABC D P 1BD P ∈11ABC D AP ⊂11ABC D 1AP B C ⊥（2）以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系，设，则，则．由已知，可得，设点，则，所以，所以，即，所以，．又异面直线与所成角为，所以，即，解得或0，因为，所以满足条件．18、【答案】（1）； （2）16．19、【答案】（1）； （2）； （3）20．【答案】（1）； （2 （3）．21、【答案】（1）存在；（2）是，3）是，C 1CD CB CC 、、x y z 、、1CD =()()()()()()()1110,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1,0C D B C D B A ()11111,1,0,D B D B =-=11D PD Bλ=11D P D B λ= ()000,,P x y z ()10001,,1D P x y z =-- 00011x y z λλλ-=-⎧⎪=⎨⎪-=-⎩00011x y z λλλ=-+⎧⎪=⎨⎪=-+⎩()1,,1P λλλ-+-+(),1,1AP λλλ=---+AP ==AP 11D B π311π1cos ,cos 42AP D B 〈==〉 11cos ,2AP D 1λ=01λ<<45λ=12-320[]34E X =222231s s s <<12()d k =()0)d k n =>。

2024—2025学年第一学期11月高三期中考试数学考试说明：1．本试卷共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填在答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知平面向量，且∥，则（ ）A ．B ．C．D ．13．已知，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，有以下结论：①②函数为偶函数③④在上单调递增所有正确结论的序号是（ ）A ．①②④B ．①②③C ．②③④D ．①③④6．若函数在（1，3）上不单调，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．1()ln(22)1f x x x =++-(1,)+∞(0,1)(1,)-+∞ (,1)-∞(1,1)(1,)-+∞ (1,2),(1,1)a b λ=+()a b +a λ=12-1-123()2sin 2f x x x =-+()f m a -=()f m =4a-2a -2a +a-tan 3α=3cos 2sin 2cos 3sin αααα-=+511511-311311-()cos()f x A x B ωϕ=++0A >0ω>πϕ<23π()(6f x f ≤π(3f x +()()26f x f x π+-=()f x 4π13π[,]363()2ln f x x t x x=--7)(7,)+∞[7,)+∞7]7．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且函数是奇函数，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．18．在锐角△中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知下列函数中，最小正周期为的是（）A ．B ． C ．D ．10．在△中，，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是（ ）A ．B ．C ．的最大值为D ．的最小值为911．过点（2，）可以作两条直线与曲线相切，则实数的可能取值为（ ）A ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知复数（为虚数单位），若是纯虚数，则实数________．13．已知平面向量，，则在上的投影向量为________（结果用坐标表示）14．在等边三角形的三边上各取一点，满足，，°，则三角形的面积的最大值是________．π()sin()(0)6f x x ωω=+>π3()g x ()g x ω132312ABC a b c A B C 23cos cos b c C A-=3a =b c +(3,6)(3,6]6]6)πcos 2y x=π2sin(213y x =++sin 2y x =tan()4y x π=-ABC 14CD CA = P BD ,,(0,)CP CA CB λμλμ=+∈+∞41λμ+=41λμ+=λμ1911λμ+a xy xe =a e 26e -21e -2e 122,3z a i z i =+=-12z z a =(2,1)a = (1,3)b =-b a ABC ,,M N P MN =4MP =30PMN ∠=ABC四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）已知向量，满足．（1）求向量与夹角的余弦值；（2）求的值．16．（本题满分15分）（1）已知都是锐角，若，求的值；（2）已知，求的值．17．（本题满分15分）设函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数有两个极值点，且，求的最小值．18．（本题满分17分）△的内角的对边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若是△边上的中线，且，求△面积的最大值．19．（本题满分17分）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．（1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；（2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量；（3）已知为函数的相伴特征向量，若在△中，，，若点为该△的外心，求的最大值．2024-2025学年第一学期11月高三期中考试数学答案1．D 2．D 3．A4．D5．B6．A7．C8．C9．ABD10．AD11．ABDa b 2,3,(2)a b a b b ==-⊥a b2a b -,αβ38sin ,cos()517ααβ=+=sin β1sin cos ,(0,π)3ααα-=∈πsin(26α-21()ln 1()2f x x x ax a R =+-+∈52a =()f x ()f x 12,x x 11(0,]2x ∈12()()f x f x -ABC ,,A B C ,,a b c cos sin 2A Cc b C +=B BE ABC AC 3BE =ABC O ()sin cos f x a x b x =+(,)OM a b =()f x ()f x OM(3,ON =()f x ()3f x =ππ(,33x ∈-x ππ())cos()()36g x x x x R =++-∈()g x OM OM(0,1)OA = ()h x ABC 2AB =πcos ()6C h =G ABC GC AB CA CB ⋅+⋅12． 13． 1415．【解析】（1）设与的夹角为，因为，所以，又，所以，所以所以向量与夹角的余弦值为；（2）由，所以．16．【解析】（1）∵已知、都是锐角，且，∴．∵，∴，∴．（2）因为，所以，即，所以，又，所以，故，故，故，所以，所以，，故17．【解析】（1），则定义域为（0，），23-21,55⎛⎫⎪⎝⎭a b θ(2)a b b -⊥2(2)20a b b a b b -⋅=⋅-=2,3a b == 223cos 90θ⨯⨯⨯-=3cos 4θ=a b 342223244442349224a b a a b b -=-⋅+=-⨯⨯⨯+⨯= 2a b -=αβ3sin 5α=4cos ,0π5ααβ==<+<8cos()17αβ+=15sin()17αβ+==1548336sin sin[()]sin()cos cos()sin 17517585βαβααβααβα=+-=+-+=⨯-⨯=1sin cos 3αα-=21(sin cos )9αα-=112sin cos 9αα-=4sin cos 9αα=(0,π)α∈sin 0α>cos 0α>π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭22217(sin cos )sin cos 2sin cos 9αααααα+=++=sin cos αα+=8sin 22sin cos 9ααα==22cos 2cos sin (sin cos )(sin cos )ααααααα=-=-+-=81sin(2sin 2cos cos 2sin 66692πππααα-=-=+⨯=21()ln 12f x x x ax =+-+()f x +∞211()x ax f x x a x x-+'=+-=当时，，令，解得或，令，解得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为（2）∵定义域为，由（1）可知当时有两个极值点等价于在上有两个不等实根，∴，∴ ∴设，则，∴在上单调递减，∴，即，∴的最小值为18．【解析】（1）在△中，由，根据正弦定理可得因为为△的内角可知，，且，所以，即因为为△的内角，，故；所以，即（2）由题知是边的中线，所以．两边平方得：52a =2511(2)(21)22()x x x x f x x x -+--'==()0f x '>2x >102x <<()0f x '<122x <<()0f x '>1(0,),(2,)2+∞1(,2)2()f x 211(0,),()x ax f x x a x x-+'+∞=+-=2a >()f x 12,x x 210x ax -+=(0,)+∞12,x x 1212,1x x a x x +==211x x =221211122211()()ln 1ln 122f x f x x x ax x x ax -=+-+--+-22211211112221111111111ln ln ()2ln 2222x x a x x x x x x x x x ==--+-=+-+-21121112ln 22x x x =-+22111()2ln 0222g x x x x x ⎛⎫=-+<≤ ⎪⎝⎭24223332121(1)()0x x x g x x x x x x---'=--==-≤()g x 1(0,]21115()2ln 222ln 2288g x g ⎛⎫≥=--+=-+ ⎪⎝⎭1215()()2ln 28f x f x -≥-+12()()f x f x -152ln 28-+ABC cos sin 2A Cc b C +=sin cos sin sin 2A CC B C+=C ABC sin 0C ≠A B C π++=πsin coscos sin 2222A C B B B +⎛⎫==-= ⎪⎝⎭2sin cos sin222B B B =B ABC sin02B ≠1cos 22B =π23B =2π3B =BE AC 2BE BA BC =+222(2)2cos BE c a ac B =++ 2236c a ac=+-又，故，当且仅当时等号成立．所以面积的最大值为19．【解析】（1）根据题意知，向量的相伴函数为当时，，又，则，所以，故（2）因为，故函数的相伴特征向量，则与同向的单位向量为（3）由题意得，，在△中，，，因此，设△外接圆半径为，根据正弦定理，，故所以，代入可得，所以当时，取得最大值14．222c a ac +≥2236c a ac ac =+-≥6a c ==11sin 3622ABC S ac B =≤⨯=V ABC (3,ON =π()3sin 6f x x x x =+=+π()36f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭πsin 6x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ,33x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭πππ,662x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭ππ63x +=π6x =ππππππ()cos cos cos sin sin cos cos sin sin363366g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎫=++-=-++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭sin x x =-+()g x (1,OM =-(1,OM =- 11(1,,22OM OM ⎛=-=- ⎝()cos h x x =ABC 2AB =ππcos (cos 66C h ===π6C =ABC R 24sin ABR C==2R =2GA GB GC ===()()()GC AB CA CB GC GB GA GA GC GB GC ⋅+⋅=⋅-+-⋅- =2GC GB GC GA GA GB GA GC GC GB GC⋅-⋅+⋅-⋅-⋅+ 228cos 4cos 4GC GA GA GB GC AGC AGB =-⋅+⋅+=-∠+∠+ πππ1,2,cos cos 6332C AGB C AGB =∠==∠==68cos GC AB CA CB AGC ⋅+⋅=-∠ πAGC ∠=GC AB CA CB ⋅+⋅。

成都2022级半期考试数学试卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；2.本堂考试时间120分钟，满分150分；3.答题前考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并用2B 铅笔填涂；4.考试结束后将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题部分，共58分）一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2.若函数是周期为4的奇函数，且，则（ ）A.2B. C.3D.3.已知，，则为第几象限角（ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角4.若向量，，且，，三点共线，则（ ）A. B. C. D.5.若，则（ ）A.3 B. C. D.66.为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A.向左平移个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）B.向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）C.所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位D.所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位7.已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）{}2log 1A x x =≤{}04B x x =<≤A B = {}04x x <≤{}4x x ≤{}2x x ≤{}02x x <≤()f x ()13f =()3f =2-3-()sin π0θ-<()cos π0θ+>θ()2,5AB = (),1AC m m =+A B C m =23-2332-32tan 3θ=-sin cos sin cos 2θθθθ+=103-56-()sin 2cos 2f x x x =+()g x x =π4π41212π4π8x 2230ax x a -+<(]0,2aA. B. C. D.8.设，，且，则下列结论正确的个数为（ ）① ② ③ ④A.1B.2C.3D.4二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列说法不正确的是（ ）A.钝角三角形的内角是第一象限角或第二象限角B.若向量，满足且，同向，则C.若，，三点满足，则，，三点共线D.将钟表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数为10.函数（，）的部分图象如图所示，则（ ）A. B.C.的图象关于点对称 D.在区间上单调递增11.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且时，单调递增，则下列结论正确的为（ ）A.是偶函数 B.的图象关于点中心对称C. D.第Ⅱ卷（非选择题部分，共92分）三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知角的终边经过点，则______.4,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭⎛-∞ ⎝(],0-∞(),0-∞0a >0b >1a b +=22log log 2a b +≥-22a b +≥ln 0a b +<1sin sin 4a b <a b a b > a b a b>P A B 3OP OA OB =+P A B π3()()sin f x x ωϕ=+0ω>π2ϕ<2ω=π6ϕ=()f x π,012⎛⎫⎪⎝⎭()f x 5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭()f x R ()1f x +()2f x +[]0,1x ∈()f x ()f x ()f x ()1,0-()20240f =51044f f ⎛⎫⎛⎫+-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭α()3,4P -sin α=13.设函数，则满足的的取值范围是______.14.若，则的最大值为______.四、解答题：本题共5个小题，共70分，其中15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）已知数列为等差数列，，前项和为，数列为等比数列，，公比为2，且，.（1）求数列与的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.16.（本小题15分）在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择.学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为1:1，现将一周内在食堂就餐超过8次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过8次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”.“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人.男生女生合计喜欢食堂就餐不喜欢食堂就餐10合计100（1）将上面的列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关；（2）用频率估计概率，从该校学生中随机抽取3名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为.事件“”的概率为，求随机变量的期望和方差.参考公式：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817.（本小题15分）已知锐角，内角，，所对的边分别为，，，面积为，.（1）求角；（2）若，求的取值范围.18.（本小题17分）已知抛物线：（）经过点，直线：与的交()11,02,0x x x f x x -+≤⎧=⎨>⎩112f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭x ()()sin cos 2sin αβααβ+=-()tan αβ+{}n a 11a =n n S {}n b 11b >2354b S =3216b S +={}n a {}n b {}n c n n n c a b =+{}n c n n T 0.001α=X X k =()P X k =X ()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++αx αABC △A B C a b c S πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B 2a =S E 22y px =0p >()1,2P l y kx m =+E点为，，且直线与倾斜角互补.（1）求抛物线在点处的切线方程；（2）求的值；（3）若，求面积的最大值.19.（本小题17分）设函数（），.（1）当时，判断在上的单调性；（2）当时，证明：；（3）设函数，若函数在上存在唯一极值点，求实数的取值范围.A B PA PB ()1,2P k 3m <PAB △()()cos sin f x a x x x =-a ∈R ()e x g x =1a =()f x ()0,2π0x >()2112g x x x >++()()()2112h x g x f x x x =----()h x ()0,πa成都2022级半期考试数学参考答案及评分标准一、单选题：1. A2. D3. C4. B5. C6. B7. B8.C二、多选题：9. BCD 10. ACD 11. ABD三、填空题：12.13.四、解答题15.（1）设等差数列的公差为，由题知，解得，，∴，.（2）∵，∴.16.（1）列联表见图，男生女生合计喜欢食堂就餐402060不喜欢食堂就餐103040合计5050100零假设：假设食堂就餐与性别无关，由列联表可得：，根据小概率的独立性检验推断不成立，即可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001（2）由题意可知，抽取的3名学生，喜欢饭堂就餐的学生人数服从二项分布，453,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭{}n a d ()11233544216b d b d ⎧+=⎨++=⎩13b =2d =()11221n a n n =+-⨯=-132n n b -=⋅()12132n n n n c a b n -=+=-+⋅()()2112132131222n n n T c c c n -⎡⎤=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+⎣⎦()()()21121213321212nn n n n ⨯-⎡⎤+-⎣⎦=+⨯=+--0H 0H ()221004030102016.66710.82850506040χ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯0.001α=0H X且喜欢饭堂就餐的频率为，则，故其期望，方差.17.（1）因为，由正弦定理可得，，且，且故，所以，.（2）由正弦定理可得，，且，则，由（1）知，则，且是锐角三角形，即，，所以，即，，..18.（1）由题意可知，，所以，所以抛物线的方程为；（），，则，则切线方程为.（2）如图：设，，将直线的方程代入，得，所以，，因为直线与倾斜角互补，所以600.6100=()3,0.6X B~() 1.8E X np ==()()10.72D X np p =-=πsin cos 6b A a B ⎛⎫=-⎪⎝⎭1sin sin sin sin 2B A A B B ⎫=+⎪⎪⎭1sin 0sin 2A B B ≠=cos 0B ≠tan B =π02B <<π3B =sin sin sin a b c A B C ==2a =2sin sin Cc A=π3B =2π3A C +=ABC △π02C <<2ππ032A <-<π2π63A <<ππ62A <<π113sin 22S ac B ⎫⎛⎫⎪⎪====⎪ ⎪⎝⎭ππ62A <<S <<42p =2p =E 24y x =y =0x >y '=11x k y ='==1y x =+()11,A x y ()22,B x y l 24y x =()222240k x km x m +-+=12242km x x k -+=2122m x x k=PA PB，即，所以，即，所以.（3）由（1）可知，所以，，则因为，所以，即，又点到直线的距离为所以因为，所以，即时，等号成立，所以19.（1）当时，，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.（2）证明：令（），则，令，则，21212121222201111PA PB y y kx m kx m k k x x x x --+-+-+=+=+=----()()()()122121211222201111x x k k m k k m x x x x ⎛⎫+-++-+=++-=⎪----⎝⎭()()()242222022km k k k m k m k m --++-=+-++2422442022km k k k k m k m --++==++++1k =-()22240x m x m -++=1242x x m +=+212x x m =AB ==()222440m m ∆=+->1m >-13m -<<P AB d 12S =⨯()()()()()213133222m m m m m -+=--+3133222562327m m m -+-++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭S ≤322m m -=+13m =PAB △1a =()cos sin f x x x x =-()cos sin cos sin f x x x x x x x =--=-'()0,πx ∈()0f x '<()π,2πx ∈()0f x '>()f x ()0,π()π,2π()()22111e 122x G x g x x x x x ⎛⎫=-++=---⎪⎝⎭0x >()e 1x G x x =--'()e 1x k x x =--()e 1x k x '=-当时，，所以在上单调递增，即在上单调递增；所以，所以在上单调递增，所以，所以不等式成立.（3）由题可知：，则，令且，所以函数在上存在唯一极值点等价于在上存在唯一变号零点，又因为且，令，则且①当时，，（ⅰ）当时，在上单调递减，所以在上单调递增.又因为，，由零点存在性定理知：存在唯一，使得，所以当时，；当时，，（ⅱ）当时，，所以，所以由（ⅰ）（ⅱ）知：在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，又因为，0x >()0k x '>()k x ()0,+∞()G x '()0,+∞()()00G x G '>='()G x ()0,+∞()()00G x G >=()2112g x x x >++()()21e 1cos sin 2xh x x x a x x x =-----()e 1sin x h x x ax x =--+'()e 1sin x m x x ax x =--+()00m =()h x ()0,π()m x ()0,π()()e 1sin cos x m x a x x x =-++'()00m '=()()()e 1sin cos x n x m x a x x x =-+'=+()()e 2cos sin x n x a x x x =+-'()012n a '=+12a <-()0120n a =+<'π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2cos sin y x x x =-π0,2⎛⎫⎪⎝⎭()()e 2cos sin x n x a x x x =+-'π0,2⎛⎫⎪⎝⎭π2ππe 022n a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭'()0120n a =+<'0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00n x '=()00,x x ∈()0n x '<0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0n x '>π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭2cos sin 0y x x x =-<()()e 2cos sin 0x n x a x x x '=+->()n x ()00,x ()0,πx ()m x '()00,x ()0,πx ()00,x x ∈()()00m x m '<='()ππe 1π0m a =-->'所以由零点存在性定理知：存在唯一，使得，所以当时，；当时，所以在上单调递减，上单调递增，所以当时，，又因为，由（2）知：，所以由零点存在性定理知：存在唯一，使得，当时，；当时，，即为在上唯一变号零点，所以符合题意；②当时，由时，得：，令且，则且，令，又因为，则在上单调递增，即在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，所以当时，，即在上无零点，所以不符合题意.综上：，即实数的取值范围为.()10,πx x ∈()10m x '=()10,x x ∈()0m x '<()1,πx x ∈()0m x '>()m x ()10,x ()1,πx ()10,x x ∈()()00m x m <=()ππe π1m =--()π0m >()21,πx x ∈()20m x =()20,x x ∈()0m x <()2,πx x ∈()0m x >2x ()m x ()0,π12a <-12a ≥-()0,πx ∈sin 0y x x =>()1e 1sin e 1sin 2x x m x x ax x x x x =--+≥---()1e 1sin 2xM x x x x =---()00M =()()1e 1sin cos 2xM x x x x =--+'()00M '=()()()1e 1sin cos 2xx M x x x x ϕ=--+'=()01e cos sin e cos 0002x x x x x ϕ'=-+>-+=()x ϕ()0,π()M x '()0,π()()00M x M '>='()M x ()0,π()()00M x M >=()0,πx ∈()0m x >()m x ()0,π12a ≥-12a <-a 1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭。

南阳市2022年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（理）注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上,在本试卷上答题无效.2.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂,非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁,不折叠、不破损．第Ⅰ卷 选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合40,{54}1x A x B x x x -⎧⎫=≤=-<<⎨⎬+⎩⎭∣∣, 则()R A B ⋂=ðA. (,1](4,)-∞-⋃+∞B. (,1)(4,)-∞-⋃+∞C. (-5,-1)D. (-5,-1]2. 若||||2z i z i +=-=, 则||z = A. 1D. 23. 若,x y 满足3020x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩ 则2y -的最小值是A. -1B. -3C. -5D. -74. 已知数列{}n a 的前n 项和211n S n n =-. 若710k a <<, 则k = A. 9B. 10C. 11D. 125.已知sin 12x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 则cos 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭A. 58-B. 58C. 4-D.46. 在ABC 中,30,C b c x ︒===. 若满足条件的ABC 有且只有一个, 则x 的可能取值是 A.12B.2C. 17. 若函数()(sin )x f x e x a =+在点(0,(0))A f 处的切线方程为3y x a =+, 则实数a 的值为 A. 1B. 2C. 3D. 48. 在ABC 中, 角,,A B C所对的边分别为,,cos ),a b c c b A a b -==则ABC 的外接圆面积为A. 4πB. 6πC. 8πD. 9π9. 函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像如图所示, 将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半 (纵坐标不变), 再向右平移(0)θθ>个单位长度后, 所得到的图像关于点7,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称, 则θ的最小值为A.76π B. 6πC. 8πD. 724π10. 已知定义在R 上的函数()f x 满足:(3)(3),(6)(6)f x f x f x f x +=-+=--, 且当[0,3]x ∈时,()21()x f x a a =⋅-∈R , 则(1)(2)(3)(2023)f f f f ++++=A. 14B. 16C. 18D. 2011. 已知:2221tan log 38,21tan 8a b c ππ-===+, 则 A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. c b a <<12. 已知正数,a b 满足221ln(2)ln 1a a b b +≤-+, 则22a b +=A.52C.32第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分)二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 已知2()lg5lg(10)(lg )f x x x =⋅+, 则(2)f =_____.14. 在ABC 中,3,4,8AB BC CA CB ==⋅=, 则AB 边上中线CD 的长为_____.15. 已知函数sin ,sin cos ,()cos ,sin cos ,x x x f x x x x ≤⎧=⎨>⎩则1()2f x <的解集是_____.16. 若方程2ln 1x x e ax x -=--存在唯一实根,则实数a 的取值范围是_____.三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本题满分 10 分)已知函数22()2cos sin 3f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.(1)求函数()y f x =的单调递增区间;(2) 若函数()()02g x f x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图像关于点,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称,求()y g x =在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.18. (本题满分 12 分)已知数列{}n a 和{}n b 满足:)*121,2,0,n n a a a b n ==>=∈N ,且{}n b 是以 2 为公比的等比数列. (1) 证明: 24n n a a +=;(2) 若2122n n n c a a -=+, 求数列{}n c 的通项公式及其前n 项和n S . 19. (本题满分 12 分)已知函数()ln ,()(1)f x x x g x k x ==-. (1) 求()f x 的极值;(2) 若()()f x g x ≥在[2,)+∞上恒成立, 求实数k 的取值范围. 20. (本题满分 12 分)数列{}n a 中,n S 为{}n a 的前n 项和,()()*24,21n n a S n a n ==+∈N . (1)求证: 数列{}n a 是等差数列,并求出其通项公式;(2) 求数列12n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .21. (本题满分 12 分)已知,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边, 向量(sin ,sin ),(cos ,cos )A B B A ==m n（1）若234,cos 3a b C ==, 证明: ABC 为锐角三角形; （2）若ABC 为锐角三角形, 且sin 2C ⋅=m n , 求ba的取值范围.22. (本题满分 12 分)已知函数21()12x f x e x ax =---, 若()()()2g x h x f x +=, 其中()g x 为偶函数,()h x 为奇函数.（1）当1a =时,求出函数()g x 的表达式并讨论函数()g x 的单调性;(2) 设()f x '是()f x 的导数. 当[1,1],[1,1]a x ∈-∈-时,记函数|()|f x 的最大值为M , 函数()f x '的最大值为N . 求证:M N <.高三（理）数学参考答案第1页（共6页）2022年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案DCDBBDBDCABA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.114．215．13(2,2)()36k k k Z ππππ++∈16．(]1,01e ⎧⎫-∞⋃+⎨⎬⎩⎭三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解析】(1)211cos 21cos 221cos 21cos 2322()2222x x x x x f x π⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭=+=+31sin 2cos 21sin 24423x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭．………………………………3分令5222,,2321212k x k k k x k πππππππππ-+≤+≤+∈-+≤≤+Z，∴()y f x=的单调递增区间为5,,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ……………………5分(2)()12()12233g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=+++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．………………6分∵()y g x =关于点,12π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，高三（理）数学参考答案第2页（共6页）∴222,,2332k k k ππππϕπϕ⋅++=∈=-+Z ，……………………………………7分∵02πϕ<<，∴3πϕ=．∴()1)1sin 222g x x x π=++=-………………………………………8分当2,,2,6333x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴sin 2x ⎤∈⎥⎣⎦…………………………………9分所以1()1,24g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.………………………………………………………10分18．【解析】(1)由n b =得，2211==a a b ，故211222--=⋅=n n n b …………………………………………………………2分则12212)(-+==n n n n b a a ①所以，12212+++=n n n a a ②………………………………………………………4分由①②得，n n a a 42=+．…………………………………………………………6分(2)由（1）知数列}{2n a 和数列}{12-n a 均为公比为4的等比数列，…………8分所以，1212224--=⋅=n n n a a ，22111-224--=⋅=n n n a a 2122n n n c a a -=+=1122245222---⨯=⋅+n n n .…………………………………10分所以，)14(3541455-=-⨯-=nn n S ………………………………………………12分高三（理）数学参考答案第3页（共6页）19．【解析】(1)()f x 的定义域是(0,)+∞,()ln 1f x x '=+,令()0,f x '=则1x e=，……………………………………………………………2分当1(0,)x e∈，()0,f x '<()f x 单调递减，当1(,)x e∈+∞，()0,f x '>()f x 单调递增，所以()f x 在1x e=处取得极小值，………………………………………………4分故()f x 有极小值1e-，无极大值.…………………………………………………5分(2)（法一）由()()f x g x ≥在[)2,+∞上恒成立,即ln 1x x k x ≤-在[)2,+∞上恒成立，只需min ln ()1x xk x ≤-…………………………7分令ln ()1x xh x x =-，则2ln 1()(1)x x h x x --'=-，………………………………………9分令()ln 1x x x ϕ=--，则1()x x xϕ-'=，………………………………………10分易知当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，所以()(0)0x ϕϕ≥=，所以ln 10x x -->，即()0h x '>，即()h x 单调递增，故min ()(2)2ln 2h x h ==.…………………………………………………………11分所以k 的取值范围是(],2ln 2-∞.…………………………………………………12分（法二）由题(ln 1)k x x x -≥，即(n 1)l k x x x -≥，令(1)()ln h x x k x x=--………6分则22(11())kx k x x kh x xx x '=--=--，…………………………………………………7分高三（理）数学参考答案第4页（共6页）当2k ≤时，0x k ->，()0f x '>，()f x 递增，所以min ()(2)ln 202kh x h ==-≥，所以2ln 2k ≤；…………………………………9分当2k >时，有x k >时，()0f x '>，()f x 递增，x k <时，()0f x '<，()f x 递减，即min ()()ln (1)h x h k k k ==--，可证ln (1)0k k --<，显然不合题意，舍去.…11分综上，所以k 的取值范围是(],2ln 2-∞.…………………………………………………12分20．【解析】(1)当1n =时，则1121a a =+，所以11a =，因为)1(2+=n n a n S ①所以，当2n ≥时，)1(1-21-1-+=n n a n S ）（②…………………………2分①-②得：()()()1211,2n n n a n a n --=--≥，③故，()()()12321,3n n n a n a n ---=--≥，④③-④得：()1223n n n a a a n --=+≥，所以{}n a 为等差数列，…………………………5分又213d a a =-=，所以，()13132n a n n =+-=-；…………………………6分(2)由()()21n n S n a n N *=+∈得2)13(-=n n S n ，故1221211(2(33)3(1)31n S n n n n n n n ==⋅=-++++，.………………………9分故1231111211111...)()...()]246232231n n T S S S S n n n =++++=-+-+++++++212(1313(1)nn n =-=++…………………………………………………………12分21．【解析】高三（理）数学参考答案第5页（共6页）（1）令3412(0)a b k k ==>，由2222222(4)(3)cos ,32243a b c k k c C ab k k +-+-===⨯⋅3c k ∴=.………………………………………………………………………………2分即4,3,3a k b k c k ===，从而a 边最大，…………………………………………3分又222222(3)(3)(4)21cos 02233189b c a k k k A bc k k +-+-====>⋅⋅，即A 为锐角,………5分∴ABC ∆为锐角三角形．……………………………………………………………6分（2）因为sin cos sin cos sin()A B B A A B ⋅=⋅+⋅=+m n ，而在ABC △中，π,0πA B C C +=-<<，所以sin()sin A B C +=，又sin 2C ⋅=m n ，所以sin 2sin ,C C =得1cos 2C =，所以π3C =.……………………………………7分又ABC ∆为锐角三角形，1022π1032A A ππ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<-<⎪⎩，解得,tan 623A A ππ<<>, (8)分1sin sin sin 1322sin sin sin 2A A Ab B a A A A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭==== ,………………………10分结合3tan 3A >12+∈1,22⎛⎫⎪⎝⎭.…………………………………………11分所以1,22b a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.………………………………………………………………………12分22．【解析】(1)当1=a 时，21()12xf x e x x =---，由题()()()2g x h x f x +=，其中)(x g 为偶函数，)(x h 为奇函数，易知()()()g x f x f x =+-，从而得2()2x x g x e e x -=+--.………2分所以'()2x x g x e e x -=--.令()'()x g x ϕ=，则'()2x x x e e ϕ-=+-.因为'()220x x x e e ϕ-=+-≥=，当且仅当0x =时等号成立，高三（理）数学参考答案第6页（共6页）所以'()g x 在R 上单调递增.………………………………………………………………4分注意到()'00g =，当(,0)x ∈-∞时，'()0g x <，(0,)x ∈+∞时，'()0g x >.所以()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.………………………………5分（2）由()f x 的定义域是R .'()x f x e x a =--，设函数()x h x e x a =--，则'()1x h x e =-.令'()0h x =，得0x =.……………………6分因为)'(h x 在R 上单调递增，所以当(,0)x ∈-∞时'()0h x <，当(0,)x ∈+∞时'()0h x >.因此()h x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.于是()()010h x h a ≥=-≥，即'()0f x ≥,所以()f x 在R 上单调递增..………………………………………………………………7分注意到()00f =，所以在(),0-∞上()0f x <，在()0,∞+上()0f x >.所以函数(),0()(),0f x x y f x f x x -<⎧==⎨≥⎩，()y f x =在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增.故()(){}()-1,1max f x maxf f =，…………………………………………………8分又]1,1[-∈a ()()3313311,12222f e a e a f a a e e=--=---=-+=--|(1)||(1)|f f --=013<--e e ，因此max 3|()||(1)|2f x f e a ==--.……………9分又()max max 3|'()|111|()|2f x f e a e a e a f x '≥=--=-->--=，……………11分所以|()||'()|max max f x f x <,即M N <…………………………………………………12分。

2023-2024学年度上期高2024届半期考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．本试卷分选择题和非选择题两部分．3．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．4．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定位置上．5．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．6．考试结束后，只将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{}{}220,21xA x x xB x =-<=>，则（）A ．B A ⊆B ．A B⊆C ．A B =RD ．A B =∅2．复数34i2iz +=+，则z =（）A B ．5C ．3D 3．执行如图所示程序框图，则输出结果是（）A ．热B ．爱C ．生D ．活4．某公司一种型号的产品近期销售情况如表：月份x23456销售额y （万元）15.116.317.017.218.4根据上表可得到回归直线方程ˆˆ0.75yx a =+，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为（）A ．18.85万元B ．19.3万元C ．19.25万元D ．19.05万元5．已知空间两不同直线m n 、，两不同平面αβ、，下列命题正确的是（）A ．若//m α且//n α，则//m nB ．若m β⊥且m n ⊥，则//n βC ．若m α⊥且//m β，则αβ⊥D ．若m 不垂直于α，且n α⊂，则m 不垂直于n6．如图，在ABC △中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=︒==是BC 边一点，2DC BD =，则AD BC ⋅等于（）A ．83-B ．83C ．23D ．23-7．将函数()cos2f x x =的图象向左平移2π个单位得到函数()g x 的图象，则关于函数()y g x =以下说法正确的是（）A ．最大值为1，图象关于直线2x π=对称B ．周期为π，图象关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数D ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，为奇函数8．如图，平面四边形ABCD 中，1,2,AB AD CD BD BD CD ====⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A ．43πB ．32C ．43πD ．239．已知双曲线C 的两个顶点分别为12,A A ，若C 的渐近线上存在点P ，使122PA =，则C 的离心率范围是（）A ．(]1,3B ．[)3,+∞C ．(]1,2D ．[)2,+∞10．已知函数()()2ln 2x f x kx x kx k R =--∈，在()20,e 有且只有一个极值点，则k 的取值范围是（）A ．[)0,e B ．(){}2,0,2e e ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭C ．()2,0,2e ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭D ．(]0,e11．已知数列{}n a 满足()12121,1,54032n n n a a a a a n --=-=-+=≥，则1013a =（）A ．202321-B ．202421-C ．202621-D ．101321-12．已知0,0a b >>，则在下列关系①222a b +≤②1a b e -≤③1cos 23a b≥-④a b e ea e eb -=-中，能作为“2a b +≤”的必要不充分条件的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．曲线22ln 2y x x x =--+在点()1,1处的切线的倾斜角为______．14．已知40n xdx =⎰ ，则二项式()310nx x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭展开式中的常数项为______．15．数列{}n a 满足：2212212121,2,2n n n na a a a a a ++-==-==，数列{}n a 的前n 项和记为n S ，则23S =______．16．12F F 、分别是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，12PF F △的内切圆的圆心为I ，设直线12,IF IF 的斜率分别为11,23-，则椭圆的离心率为______．三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分12分）在ABC △中，内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，其外接圆半径为1，4,sin sin 11cos bA C B=+=-．（1）求cos B ；（2）求ABC △的面积．18．（本小题满分12分）一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中正视图和俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形，M 是AB 的中点．（1）求证：CM ⊥平面FDM ；（2）若N 为线段FC 上一点，且FN FC λ= ，二面角F DM N --的余弦值为3，求λ的值．19．（本小题满分12分）体育强国是新时期我国体育工作改革和发展的目标和任务，我国要力争实现体育大国向体育强国的转变。

市一中高校区2022—2021学年度第一学期期中考试 高三数学（理科）试题命题人：付 功一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）. 1. 已知集合{11}A x x =+<,1{|()20}2x B x =-≥,则=⋂B C A R ( )(A))1,2(-- (B))0,1(- (C))0,1[- (D)]1,2(--2.下列命题正确的个数是 ( )①命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；②函数22()cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π”是“1a =”的必要不充分条件； ③22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立⇔max min 2)()2(ax x x ≥+在[]1,2x ∈上恒成立； ④“平面对量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b ⋅<”. (A)1 (B)2 (C)3 (D)43．复数z 满足i z i 34)23(+=⋅-，则复平面内表示复数z 的点在( )（A ）第一象限 （B ）其次象限 （C ）第三象限（D ）第四象限4.将函数()3cos sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) （A ） 12π （B ）6π （C ） 3π（D ）56π5. 已知数列{}n a 为等差数列，满足OC a OB a OA 20133+=，其中C B A ,,在一条直线上，O 为直线AB 外一点，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2015S 的值为（ ） （A ）22015（B ） 2015 （C ）2016 （D ）2013 6. 已知函数)91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，则[])()(22x f x f y +=的最大值为（ ）（A ）33 （B ）22 （C ） 13 （D ）67.在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是 （ ）A ．（0，6π] B ．[ 6π，π） C ．（0，3π] D ．[ 3π，π）8. 在ABC∆中，060=A ，2=AB ，且ABC ∆的面积为23，则BC 的长为（ ） （A ）2 （B ）23 （C ）32 （D ）39.已知向量（，），（，），与的夹角为060,则直线021sin cos =+-ααy x 与圆()()21sin cos 22=++-ββy x 的位置 关系是（ ）（A ）相交 （B ）相离 （C ）相切 （D ）随的值而定10．设动直线m x =与函数x x g x x f ln )(,)(2==的图象分别交于点N M ,，则MN 的最小值为（ ）（A ）2ln 2121+ （B ）2ln 2121- （C ） 2ln 1+ （D ）12ln - 11.等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数()128()()()f x x x a x a x a =---，则()'0f =（ ） （A ）62 （B ）92 （C ） 122 （D ）15212．已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( )．（A ）f (x 1)＞0，f (x 2)＞－12 （B ）f (x 1)＜0，f (x 2)＜－12 （C ）f (x 1)＞0，f (x 2)＜－12 （D ）f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12二、填空题 :(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上). 13. 设向量)2,1(),1,(=+=b x x a ,且b a ⊥,则=x .１４．已知函数)(x f =x+sinx.项数为19的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若0)()()()(191821=++⋯++a f a f a f a f ，则当k =______时，0)(=k a f15在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,设S 为△ABC 的面积，满足2223()4S a b c =+- 则角C 的大小为。

南航附中2023-2024学年度第一学期期中考试高三数学一､单选题（每题5分）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D.2.若复数满足（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则（ ）A.的实部是B.的虚部是C.复数在复平面内对应的点在第一象限D.3.向量在向量上的投影向量为，且，则数量积（ ）A.8B.-8C.32D.164.已知，则（ ）B.D.5.三棱锥中，与均为边长为2的等边三角形，若平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A.B. C. D.6.已知数列为无穷项等比数列，为数列的前项和，则“且公比”是“恒成立”的（）A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的离心率可能是（ ）{}*24,A x x x B x y ⎧=∈==⎨⎩N ∣…A B ⋂=R ð[]0,3{}1,2,3{}1,2[]1,3z ()12i 34i z +⋅=+i z z z 115-z 25z 5z =a b 4b 2b = a b ⋅= tan 2α=-cos πcos 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭A BCD -ABD V BCD V ABD ⊥BCD 8π320π8π20π3{}n a n S {}n a n 10a >0q >0n S >13y x t =-+2222:1(0)x y C a b a b+=>>,A B AB 1,(2)2P m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭CA. B. C. D.8.已知函数满足：，对任意恒成立.若成立，则实数的取值范围是（ ）A. B.C.D.二､多选题（每题5分，漏选得2分，错选不得分）9.下列选项中，正确的命题是（）A.已知随机变量，若，则B.的展开式中的系数为10C.用独立性检验进行检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系D.样本相关系数越接近1，成对样本数据的线性相关程度越弱10.将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，则（ ）A.在上是减函数B..C.是奇函数D.在上有4个零点11.甲､乙､丙三人玩传球游戏，第1次由甲传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第次传球后球在甲手中的概率为，则下列结论正确的有（ ）A.B.C.D.⎫⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎭⎫⎪⎪⎭()f x ()()22f x f x -+=[)()()()()12122121,1,,0x x x x f x f x x x ∞⎡⎤∈+≠-⋅->⎣⎦()()422622f x ax f x ++-…a (]{},20∞--⋃(],2∞--[)2,∞-+[)()2,00,∞-⋃+(),X B n p ~()()30,20E X D X ==13p =5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭23x y 2χ2χr ()π2cos 24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭π8()y g x =()y f x =ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y g x =()1y g x =-[]π,π-k *,k p k ∈N 10p =213p =121k k p p ++=202313p >12.曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线上点处的曲率半径公式为，则下列说法正确的是（ ）A.若曲线上某点处的曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小B.若某焦点在轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为（半焦距），则该椭圆离心率为C.椭圆上一点处的曲率半径的最大值为D.若椭圆上所有点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1，则椭圆方程为三､填空题（每题5分）13.已知的展开式中第9项､第10项､第11项的二项式系数成等差数列，则正整数__________.14.已知的内角所对的边分别为，若，且内切圆面积为，则周长的最小值是__________.15.已知抛物线，点为直线上一动点，过点作直线与分别切于点，则__________.16.已知函数，若，则的最小值为__________.四､解答题（共70分）17.（10分）已知的前项和为是公比为的等比数列.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.22221(0)x y a b a b+=>>()00,P x y 3222220044x y R a b a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x c 22221(0)x y a b a b +=>>2b a22221(0)x y a b a b +=>>221164x y +=(1n n =ABC V ,,A B C ,,a b c ()sin sin 2B Ca A Cb ++=ABC V 4πABC V 2:4C x y =M 1y =-M ,MA MB C ,A B MA MB ⋅=()()()()e 1,1ln xf x xg x x x =+=+()()12(1)f x g x m m ==>112ln x x x m+{}n a n 1,2,2n n n S S a a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭12{}n a ()2212221log log log log n n n n n n a a b a a a +++=+⋅{}n b n n T18.（12分）记锐角的内角的对边分别为，已知.（1）求证：；（2）若，求的最大值.19.（12分）如图，在四棱锥中，侧面底面是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中.（1）求到平面的距离.（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.20.（12分）已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若，求的取值范围.21.（12分）数据中心是全球协作的特定设备网络，用于在网络上处理､存储和传递数据信息.由于数据中心对算力的要求很高，在高速运转时往往会产生巨大的热量.如果不对设备进行散热，会对设备的正常运作造成不可忽视的影响.氟化液是最为适合浸没式液冷系统的电子设备冷却液.由于氟化液技术壁垒较高，此前高性能电子氟化液长期被国外垄断.2020年巨化集团技术中心成功开发出高性能巨芯冷却液，填补了国内高性能大数据中心专用冷却液的空白.一工厂生产某型号的氯化液其抗张强度⩾100为合格品，否则为不合格品.该厂有新旧两套生产设备同时生产，按两设备生产量分层抽样进行检测，其中新设备和旧设备生产的产品中分别抽取了12桶和8桶，测得每桶抗张强度值（单位：）如下表所示：甲102.1101.0100.8103.6107.699.9100.2100.9105.798.8103.2104.1乙103.3102.6107.199.5102.8103.699.5102.3（1）根据抽检结果请完成下面的列联表，试根据小概率值的独立性检验，分析新设备是否比旧设备好.ABC V ,,A B C ,,a b c ()()sin sin cos cos A B A C BC--=B C =sin 2a C =2211a b+P ABCD -PAD ⊥,ABCD PAD V ABCD BC ∥,,1AD AB AD AB BC ⊥==B PCD PD E EAC DAC PEPD()2e e 7xf x ax =-+-7a =-()y f x =1x =[)()270,,4x f x x ∞∀∈+…a Mpa Mpa 22⨯0.10α=合格（桶）不合格（桶）合计新设备旧设备合计（2）从旧设备产品抽得的样本中随机抽取3桶，求抽到的不合格桶数的分布列和数学期望；（3）从该厂所有产品中任取一桶，用抽检频率估计概率，求抽到的一桶不合格的概率.参考公式：，其中.0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.02422.（12分）已知椭圆的左，右顶点分别为，上，下顶点分别为，，四边形的内切圆的面积为，其离心率；抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合.斜率为的直线过抛物线的焦点且与椭圆交于两点，与抛物线交于两点.（1）求椭圆及抛物线的方程；（2）是否存在常数，使得为一个与无关的常数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.X ()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++αx α22122:1(0)x y E a b a b +=>>12,A A 1B 2B 1122A B A B 5π6e =22:2(0)E y px p =>1E k l 2E 1E ,A B 2E ,C D 1E 2E λ1AB CDλ+k λ南航附中2023-2024学年度第一学期期中考试高三数学一､单选题（每题5分）1.【答案】B【解析】解：由，得，由，得，.故选：B.2.【答案】C【解析】解：，，的实部是，故A 错误；的虚部是，故B 错误；复数在复平面内对应的点在第一象限，故C 正确；D 错误.故选：C.3.【答案】D【解析】解：向量在向量上的投影向量为，所以，又，所以.故选：D.4.【答案】A{}*24A x x x =∈N ∣…{}1,2,3,4A =B x y ⎧==⎨⎩()3,B =+∞(]{},3,1,2,3B A B =-∞⋂=R R ðð()12i 34i z +⋅=+ ()()()()34i 12i 34i 112i 12i 12i 12i 55z +-+∴===-++-z ∴115z 25-z 112,55⎛⎫⎪⎝⎭z ==ab 4b 24||a b b ⋅=2b = 16a b ⋅=【解析】解：因为，，故选：A.5.【答案】D 【解析】解：如图，取中点，连接，则，平面平面，平面平面，取的外心的外心，分别过作平面与平面的垂线交于点，即为球心，连接，由与均为边长为2的等边三角形，得三棱锥外接球的表面积.故选：D.6.【答案】B【解析】解：若，且公比，则，恒成立，故充分性成立；若，且时，tan 2α=-cos πcos 4αα∴====⎛⎫+ ⎪⎝⎭BD E ,AE CE ,AE BD CE BD ⊥⊥ ABD ⊥CBD AE ∴⊥,CBD CE ⊥ABD ABD V 1,O BCD V 2O 12,O O ABD BCD O O OC ABD V BCD V 221CO OO O E ===22222253R OC CO OO ∴==+=∴220π4π3S R ==10a >0q >110n n a a q -=>0n S ∴>10a >12q =-，由恒成立推不出，且公比，故必要性不成立，故“且公”是“恒成立”的充分不必要条件.故选：B.7.【答案】D【解析】解：设，则，则，故，线段的中点为，，故，又，则，即，，故椭圆的离心率，故椭圆离心率范围为，故选：D.8.【答案】C【解析】解：因为对任意，所以在上单调递增，111112212111(1)01323212n n nnn a S a a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==--=--⨯>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-- ⎪⎝⎭∴0n S >10a >0q >10a >0q >0n S >()()1122,,,A x y B x y 22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22221212220x x y y a b --+=2121221212y y x x b x x a y y -+=--+ AB 1,(2)2P m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭12122,1x x m y y ∴+=+=2122122y y mb x x a-=--121213y y x x -=--22213mb a -=-2216b a m =22112,612b m a m >∴=< C e =>=⎫⎪⎪⎭[)()()()()12122121,1,,0x x x x f x f x x x ∞⎡⎤∈+≠-⋅->⎣⎦()f x [)1,∞+又因为，所以，所以，即，所以在上恒成立，即以在上恒成立，令，则，问题转化为在上恒成立，又因为，当，即时，满足题意；当时，则有，解得：，综上所述，的取值范围为.故选：C.二､多选题（每题5分，漏选得2分，错选不得分）9.【答案】AC【解析】解：对于选项：因为随机变量，所以由可得：，所以本选项正确；对于选项B ：二项式的通项公式为，令，所以的系数为，因此本选项不正确；对于选项C ：由的意义可知的值越大，说明有更大的把握认为两事件有关系，因此本选项说法正确；()()22f x f x -+=()()22f x f x =--()()422622f x ax f x ++-…()()()()42222262222424f x axf x f xf x ⎡⎤+--=---=-⎣⎦…42224x ax x +-…[)1,∞+()42240x a x +-+…[)1,∞+2t x =1t …()2240t a t +-+…[)1,∞+2(2)16a =--V 0V …26a -……0>V ()2(2)16021212140a a a ⎧-->⎪-⎪-⎨⎪+-⨯+⎪⎩……6a >a [)2,∞-+A (),X B n p ~()()30,20E X D X ==()3011203np p np p =⎧⇒=⎨-=⎩5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭52551551C (2)C 2(1)2rr r rr r r r r T x y x y ---+⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅-⋅⋅ ⎪⎝⎭3r =23x y 323535C 2(1)20⨯-⋅⋅-=-2χ2χ对于选项D ：因为样本相关系数越接近1，成对样本数据的线性相关程度越高，所以本选项说法不正确，故选：AC.10.【答案】ACD【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，当，故在上是减函数，故A 正确；当时，，所以的图象不关于直线对称，所以，故B 错误；由于为奇函数，故C 正确；当，令，则，可得，故，即在上有4个零点，故D 正确，故选：ACD.11.【答案】AC【解析】解：表示第1次传球后球在甲手中的概率，所以，故正确；表示第2次传球后球在甲手中的概率，则，故错误；，即，故正确；，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，r ()π2cos 24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭π8()ππ2cos 22sin284y g x x x ⎡⎤⎛⎫==--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππππ3π,,2,42444x x ⎡⎤⎡⎤∈-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()y f x =ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦π4x =π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x π4x =ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫-≠+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2sin2g x x =[][]π,π,22π,2πx x ∈-∈-()10g x -=2sin21x =1sin22x =11π7ππ5π2,,,6666x =--()1y g x =-[]π,π-1p 10p =A 2p 212p =B ()11012k k k p p p +=⨯+-⨯121k k p p ++=C 1111111111,22322323k k k k k p p p p p ++⎛⎫=-+-=-+-=-- ⎪⎝⎭13k p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭13-12-11111111,332332k k k k p p --⎛⎫⎛⎫-=-⨯-=-⨯- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误.故选：AC.12.【答案】ABD【解答】解：由题意可知取得最大值时，曲率半径最大，取得最小值时，曲率半径最小，点在椭圆上，，，，当时，的最大值为，当时，的最小值为，由曲率半径公式为，可得曲率半径的最大值为，最小值为，故错误；若曲线上某点处的曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小，故A 正确；若某焦点在轴上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为（半焦距），则，，解得或（舍去），，故B 正确；若椭圆上所有点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1，，解得，椭圆方程为，故D 正确.20222023202211111113323323p ⎛⎫=-⨯-=-⨯< ⎪⎝⎭220044x y a b+R R ()00,P x y 2222200002221,1x y x y b a b a ⎛⎫∴+=∴=- ⎪⎝⎭2220004422221111x y x a b b a a b ⎛⎫∴+=+- ⎪⎝⎭22022110,0x a a b -< (2)0x =220044x y a b+21b 22x a =220044x y a b+21a 3222220044x y R a b ab ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭R 2a b 2b a C xc 2bc a=22220,10,10a ac c e e e e ∴--=∴--=+-=e =e =∴22221(0)x y a b a b +=>>228,1a b b a∴==4,2a b ==∴221164x y +=故选：ABD.三､填空题（每题5分）13.【答案】14或23【解析】解：的展开式中第9项､第10项､第11项的二项式系数成等差数列，则，即，化简整理可得，，解得或23.故答案为：14或23.14.【答案】【解析】解：角为的内角，，，，由正弦定理可知，，，，，，，，解得，设内切圆的半径为，内切圆面积为，，解得，，，当且仅当时，等号成立，(1n +8109C C 2C ,10nnnn +=…()()()!!2!8!8!10!10!9!9!n n n n n n +=---2373220n n -+=14n = ,,A B C ABC V πA B C ∴++=()sin sin2B Ca A Cb ++= πsin sin cos 222A A a B b b ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭∴sin cossin sin 2AB A B =sin 0B > cos sin 2sin cos 222A A A A ∴==()0,πA ∈ cos02A∴>1sin 22A ∴=π26A ∴=π3A =ABC V r ABC V 4π2π4πr ∴=2r =()1π1sin 2232ABC S bc a b c ∴==⨯++V a b c =++222π2cos 23a b c bc bc bc bc =+--= …b c =，，解得，当且仅当时，等号成立，.故答案为：.15.【答案】0【解析】解：抛物线，导数为，设切点分别为，，切线的方程为，即，同理切线的方程为，又因为切线过点，所以得，①又因为切线也过点，所以得，②所以是方程的两实根，由韦达定理得，因为，所以，将代入，得，故答案为：0.a ∴…abc =+++…48bc …a b c ===ABC ∴V 48=2:4C x y =11242y x x =⋅='221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1211,22MA MB k x k x ∴==MA ()2111142x y x x x -=-2111124y x x x =-MB 2221124y x x x =-MA ()0,1M x -201111124x x x -=-MB ()0,1M x -202211124x x x -=-12,x x 2011124x x x -=-120122,4x x x x x +==-2210120211,1,,144MA x x x MB x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()22102012111144MA MB x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=--+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()22221201201212111164x x x x x x x x x x =-++++++()()()2221201201212121121164x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-+⎣⎦120122,4x x x x x +==-0MA MB ⋅=16.【答案】【解析】解：，则，因为，故，又当时，恒成立，即单调递增，所以，则，令，当时，，当时，，所以在处取得最小值，，即的最小值为.故答案为：.四､解答题（共70分）17.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）是公比为的等比数列，，，则，①当时，，②由①-②得，，e()()()()ln 1ln e 1ln ln xg x x x x f x =+=+=()()12ln (1)f x f x m m ==>()()111e 11xf x x =+>10x >0x >()()1e 10xf x x =++>'()()e 1xf x x =+12ln x x =()()()111211121e 1ln ln ln ln ln x x x x f x x x x m m m m m m+++====()()2ln 1(1),ln (ln )x x h x x h x x x ->'==()1,e x ∈()0h x <()e,x ∞∈+()0h x '>()h x e x =()ee e lne h ==112ln x x x m+e e 2nn a =12121(1)n n T n +=--+2n n S a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭12112211S a ∴-=-=1122n n n S a -⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭1122n n n S a -⎛⎫=-⎪⎝⎭2n …112122n n n S a ---⎛⎫=-⎪⎝⎭1112112222n n n n n n S S a a ----⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，即，数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以.（2），可得.18.【答案】（1）见解析；（2）【解析】解：（1）证明：由于，所以，整理的，即，因为为锐角，所以，故，由为锐角可得；（2）由（1）得，因为，且由正弦定理得，所以，则112111222n n n n a a ---⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()11112212122n n nn n n a a -------∴=12nn a a -=∴{}n a 2nn a =()22122222221log log 211122(1)(1)log log nn n n n n n n a a n b a n n n n a a ++⎡⎤++=+=+=-+⎢⎥++⋅⎣⎦()222322111111222223(1)nn T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-++++ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12221211121(1)12(1)n n n n +-=-+=--+-+2564()()sin sin cos cos A B A C BC--=sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos A B A B A C A CB C--=()cos sin cos cos sin 0A B C B C -=()cos sin 0A B C -=A cos 0A >()sin 0B C -=,B C B C =b c =sin 2a C =sin sin sin sin 2a C c A b A a B ====22,sin sin a b B A==()2222111sin sin 4A B a b +=+()221sin sin 4B B C ⎡⎤=++⎣⎦221sin sin 24B B ⎡⎤=+⎣⎦，因为所以，则，所以，根据二次函数的性质可知，当时，（*）取得最大值.19.【答案】（1；（2）存在点，理由见解析【解析】解：（1）取中点，连接，为等边三角形，.又平面底面，平面平面平面，平面.又在直角梯形中，易得；所以以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.则；，设平面的法向量为，则，令，得，又，故点到平面的距离.211cos21cos 242B B -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()2*113cos 2cos2488B B =--+π0,2π0π2,2B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ42B <<π2π2B <<1cos20B -<<1cos24B =-25641,3PE E PD =AD O ,PO OC PAD V PO AD ∴⊥ PAD ⊥ABCD PAD ⋂,ABCD AD PO =⊂PAD PO ∴⊥ABCD ABCD OC AD ⊥O OC x OD y OPz (()()()(),0,1,0,1,1,0,1,0,0,0,1,0P A B C D --((),1,1,0CP CD ∴=-=-PDC (),,n x y z = 00n CP x n CD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 1z =)n = ()0,1,0BC =B PCD BC n d n ⋅====（2）假设存在点，设，，，则，设平面的法向量为，则令，则，又平面的法向量为，于是化简，得.解得或（舍去），所以存在点，此时.20.【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）当时，，则，则又，所以所求切线方程为，即.（2）等价于，①当时，显然成立；②当时，不等式等价于，E (),,,(01)E s t r PE PD λλ=<<((,,0,1,s t r λ∴-=()0,E λ∴()()1,1,0,0,AC AE λ==+-EAC (),,m a b c = ())0,10,m AC a b m AE b c λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩)1b λ=-)))11,1m λλλ=--+DAC (OP =cos ,OP m OP m OP m ⋅====231030λλ-+=13λ=3λ=E 13PE PD =()2e 7e 7y x =++-(2,e 7∞⎤--⎦7a =-()2e 7e 7xf x x =++-()e 7xf x '=+()1e 7f '=+()21e e f =+()()()2e e e 71y x -+=+-()2e 7e 7y x =++-[)()270,,4xf x x ∞∀∈+…[)2270,,e e 74x x ax x ∞∈+-+-…0x =2e 60-…0x >227e e 74xax x -+-…224e 74e 284x x a x-+-…设，则.设，则时，，当时，，则在上单调递减，上单调递增.因为，所以，且，则当时，，当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，则，则，故的取值范围为.21.【答案】（1）不可以认为新设备比旧设备好；（2）见解析；（3）【解析】解：（1）易知抗张强度为合格品，否则为不合格品，在新设备和旧设备生产的产品中分别抽取了12桶和8桶，其中新设备中合格的有10桶，不合格的有2桶；旧设备中合格的有6桶，不合格的有2桶，列联表如下：合格（桶）不合格（桶）合计新设备10212旧设备628合计16420零假设：设备新旧与产品合格没有关系，此时，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，则不可以认为新设备比旧设备好；()224e 74e 28x x g x x -+-=()()22241e 74e 28x x x g x x'---+=()()2241e 74e 28xh x x x =---+()()74e 1422e 7,0,ln2xxh x x x x x ⎛⎫=-=-∈ ⎪⎝⎭'()0h x '<7ln ,2x ∞⎫⎛⎫∈+ ⎪⎪⎝⎭⎭()0h x '>()h x 70,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭7ln ,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()2046e0h =-<7ln 02h ⎛⎫< ⎪⎝⎭()20h =()0,2x ∈()0g x '<()2,x ∞∈+()0g x '>()g x ()0,2()2,∞+()2min ()24e 28g x g ==-244e 28a -…a (2,e 7∞⎤--⎦15100Mpa …22⨯0H 2220(10262)0.2083 2.706128164χ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯0.10α=0H（2）易知的所有取值为，，则的分布列为：012此时；（3）易知该厂所有产品中新设备生产的占比为，旧设备生产的占比为，新设备的不合格率为，旧设备的不合格率，记“任取一桶产品不合格”为事件，记“产品为新设备生产”为事件，记“产品为旧设备生产”为事件，此时，可得，则从该厂所有产品中任取一桶，该桶不合格的概率为.22.【答案】（1）的方程为的方程为：；（2）.【解析】解：（1）已知椭圆，所以，则直线的方程为：，即因为四边形的内切圆的面积为，所以原点到直线，，①X 0,1,2()()()3211266262333888C C C C C 51530,1,2C 14C 28C 28P X P X P X =========X X P5141528328()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=12208201614A B C ()()()()1238211,,,20520564P B P C P A B P A C ======∣∣()()()()()3121156545P A P B P AB PC P A C =+=⨯+⨯=∣∣151E 2221,5x y E +=28y x =λ=22122:1x y E a b+=()()21,0,0,A a B b 21A B 1x ya b+=0,bx ay ab +-=1122A B A B 5π6O 21A B =因为椭圆离心率，所以，②又，③联立①②③，解得，所以梢圆的方程为，因为抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，所以，解得，则抛物线的方程为：.（2）由（1）知：抛物线焦点为，不妨设直线，联立，消去并整理得，由韦达定理得，所以联立，消去并整理得，由韦达定理得，因为直线过抛物线的焦点，e =c a =222a b c =+1,2a b c ===1E 2215x y +=22:2(0)E y px p =>1E 22pc ==4p =2E 28y x =2E ()2,0()()()()()()11223344:20,,,,,,,,l y k x k A x y B x y C x y D x y =-≠()22215y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y ()222251202050k x k x k +-+-=2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++2AB x =-===()228y k x y x⎧=-⎨=⎩y ()22224840k x k x k -++=234248k x x k ++=l 2E所以，此时，可得，所以，解得.()223422814844k k CD x x kk ++=++=+=()22181k AB CD k λλ+=+=+m =()22040k -+-=20040⎧-=⎪⎨-=⎪⎩λ=。

2024年高三摸底考数学试题本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，请务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和容题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.已知，则（）A.B. C. D.2.已知是的共轭复数，则（）A.0 B. C.2D.3.已知向量，且，则（）A.1B.2C.D.04.若一个球的体积和表面积数值相等，则该球的半径的数值为（）A.2B.3C.45.设函数为偶函数.当满足时，|有最小值2，则和的值分别是（）A. B.C. D.6.若中，角所对的边分别为平分交于，且，则（）{}1,{5,}A xx B x x x ==<∈N ∣∣…A B ⋂={}0,1{}1[]0,1(]0,1()21i ,1i z z -=+z z =2i 2-()()1,1,2,a b λ==- ()0b λ=> a b ⋅= 1-r ()()πcos 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭12,x x ()()122f x f x -=12x x -∣ωϕπ,0ωϕ==ππ,2ωϕ==ππ,22ωϕ==π,02ωϕ==ABC ,,A B C ,,,4,16,a b c a b CD ==ACB ∠AB D 4CD =BD =B.3C.D.7.已知且，则的最小值是（）A.12 B.16 C.15 D.148.已知函数若关于的方程至少有5个不等的实数解，则的取值范围是（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.函数的图象经过（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.若是平面的一条斜线，，直线平面且直线，记直线与平面所成的角为，则下列说法正确的是（）A.与是一对异面直线B.若点和分别为直线上和平面内异于点的点，则C.若和分别是直线与上的动点，则满足且的直线不唯一D.过直线有且只有唯一平面与直线平行11.若函数存在两个极值点，下列说法正确的是（）A.时满足条件B.不存在实数使得均为正整数C.当时，D.对任意正整数，均存在对应的，使得三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.12.已知曲线在处的切线斜率为4，则实数的值为__________.13.函数的最小正周期是__________，在上的单调递减区间是__________.0ab >21a b +=221a b ab++()()1,11,22,17,x x f x f x x ⎧--<⎪=⎨-⎪⎩………x ()f x a =a []1,0-[]2,0-[]4,0-[]8,0-()11x y a a a=->αl O α⋂=a ⊂αO ∉a αθa A B αO AOB ∠θ…M N a MN l ⊥MN a ⊥a ()21ln 2f x x x mx x =--()1221,x x x x >1m =m 12,x x 321x x …m n 12,x x ()222112ln x x n x x -=13e 1x y ax -=++1x =a ()2cos sin cos 1f x x x x =++()f x ()0,π14.已知递增数列共有项（为定值）且各项均不为零，末项.若从数列中任取两项和，当时，仍是数列中的项，则数列的通项公式__________（用含和的式子表示.）四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知向量.（1）若，且，求的值；（2）设函数，求函数的值域.16.（15分）已知直三棱柱中，，且，点分别为线段和的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角.17.（15分）在中，角的对边分别为.（1）求角；（2）若，求的值；（3）在（2）的条件下，若边，点为线段上的动点，点为线段上的动点，且线段平分的面积，求线段长度的最小值.18.（17分）已知函数.{}n a m *,m m ∈N 1m a ={}n a i a j a i j <j i a a -{}n a {}n a n a =m n ()3cos ,1,sin ,2a x b x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ a ∥b ()0,πx ∈sin cos x x -()()π2,0,4f x a b a x ⎡⎤=+⋅∈⎢⎥⎣⎦ ()f x 111ABC A B C -12AB BC BB ===AB BC ⊥,E F AC 1CC 1A E ⊥BEF 1ABC BEF ABC ,,A B C 2,,,cos cos b a c a b c B C-=B 2222b c ac =+cos C 2c =D AB E BC DE ABC DE ()()e sin 2,2cos x f x x x g x x =+-=-（1）已知直线是曲线的切线，求实数a 的值；（2）求函数的单调区间；（3）求证：恒成立.19.（17分）已知数列，其前项和为，对任意正整数恒成立，且.（1）证明：数列为等比数列，并求实数的值；（2）若，数列前项和为，求证：；（3）当时，设集合，集合中元素的个数记为，求数列的通项公式.0x y a -+=()[],0,πy g x x =∈()f x ()()f x g x …{}n a n n S ,2n n n S a μ=-1212a a +={}n a μ21log n n b a =()n b n n T 2ln 2n n T +>1n …{}123232,1n n n i j i j B a a a a i j ++=+⋅<+<⋅<∣…*,i j ∈N n B n c {}n c2024年高三数学摸底试题参考答案一､选择题：（每小题5分，共40分）1.A2.B3.C4.B5.D6.C7.D8.B8.解析：由题意的图象如图所示，问题转化为函数的图象与直线的至少有5个公共点，故的范围是B 正确.二､多选题：（每小题6分，共18分）9.ABC11.解析：当时在上单调递增.此时至多有一个极值点，不符合题意.当时，若；若.在上单调递增，在上单调递减.又当时.当时，故只需A 错误.此时且由于是的两个零点且.则若为正整数则.此时.()f x ()f x y a =a []2,0.-()()()()1ln 0;0mx f x x mx x f x x x'-=->='>'0m ≤()()0f x f x ≥∴'''()0,∞+()f x 0m >()10,,0x f x m ⎛⎫⎪⎭''∈> ⎝()1,,0x f x m ∞⎛⎫∈+⎭''< ⎪⎝()f x ∴'10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,m ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭0x +→()f x ∞'→-x ∞→+()f x ∞'→-1110ln 100.e f m m m '⎛⎫>⇒->⇒<< ⎪⎝⎭1e m>()()e 1e 0,10f m f m '=->-'=<12,x x ()f x '12x x <121e 1e x x m <<⎧⎪⎨>>⎪⎩1x 12x =()()2ln22ln2242ln242ln22ln2042f m m f m x '=-⇒=⇒='-=-=⇒=所以存在使得均为正整数，B 错误.由于和是函数与直线交点的横坐标.当时恰有.所以当时，必有当（注：由图象与直线交点变化情况可知m 越小，越小，越大.m 越大，越大，越小）所以当时，m正确..由于当时此时，当时此时故的取值范围是，即对任意正整数均存在使得.D 正确综上可知：CD 正确.三､填空题：（每个小题5分，共15分）12.113.；（开闭区间均给分）14.14.解析：由题意：，若则.而是递增数列中的项，这与是ln22m =12x x 111212212ln ln ln ln x mx x x m x x mx x x =⎧⇒==⇒⎨=⎩2x ()ln x g x x =y m ===m =12x x ==321x x =0m <≤321x x ≥m >321x x <ln x y x=y m =1x 2x 1x 2x 321x x ≥()()()()()22212121212121121212ln ln ln x x x x x x x x x x x x x x x x mx mx m+-+---===++0m +→21x x ∞-→+21x x m∞-→+1e m →210x x +-→210x x m-→()222112ln x x x x -()0,∞+n 12,x x ()222112ln x x n x x -=ππ5π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦n m 10a ≠10a <11m m a a a ->=1m a a -{}n a 1m a =数列的最大项矛盾.故必有.因为数列是单调递增数列，所以有.从而有且它们均为数列中的项.因此由上可知所以数列是以为首项，以为公差的等差数列.所以四､解答题：（本题共5小题，共77分）15.（13分）解：（1），，又，，；（2）由题意：10a >{}n a 12301m a a a a <<<<<=2131411m m a a a a a a a a a -<-<-<<-< {}n a 121212a a a a a =-⇒=23131213a a a a a a a =-⇒=+=34143114a a a a a a a =-⇒=+=.⋯⋯⋯11111m m m m a a a a a a ma --=-⇒=+=11a m ={}n a 11a m=1m n n a m=a ∥3,cos sin 2b x x ∴-= 3tan 2x ∴=-()0,πx ∈ sin x x ∴==sin cos x x ∴-=1cos sin ,2a b x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭ ()()()2122cos sin ,cos ,12cos 2sin cos 12f x a b a x x x x x x ⎛⎫∴=+⋅=+-⋅=+- ⎪⎝⎭ πsin2cos224x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，的值域是16.（15分）（1）证明平面平面，又，又平面又平面.又即.又平面.（2）解：如图所示，以点为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，易得设平面的法向量，则，取，则法向量.由（1）可知平面的法向量.平面与平面的夹角为.πππ3π0,,2,4444x x ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()∴f x ⎡⎣1A A ⊥ ,ABC BE ⊂1,ABC A A BE ∴⊥,.AB BC AE EC BE AC ==∴⊥ 1A A AC A BE ⋂=∴⊥ 11ACC A 1A E ⊂ 111,A ACC A E BE ∴⊥1tan tan A EA EFC ∠∠== 11ππ22A EA EFC EFC FEC A EA FEC ∠∠∠∠∠∠∴=+=∴+= 1A E EF ⊥1.EF BE E A E ⋂=∴⊥BEFB BA x BC y 11(2,0,0),(0,0,0),(0,2,2),(2,0,2),(1,1,0)A B C A E ()()12,0,0,0,2,2,BA BC == 1ABC (),,n x y z = 120,220n BA x n BC y z ⋅==⋅=+= 1y =()0,1,1n =-()11,1,2A E =-- BEF 111cos ,||A E n A E n A E n ⋅∴<>===⋅ 1ABC BEF π617.（15分）解：（1），，，（2），又，（3）若边由（1）（2）可知，，令，则，又由余弦定理得：（当时等号成立）.18.（17分）解：（1），，解得切点为，2,sin cos 2sin cos cos sin cos cos b a c B C A B B C B C -=∴=- sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B∴+=1sin 2sin cos ,cos 2A A B B ∴=∴=()π0,π,3B B ∈∴=222π1,232B b a c ac =∴=+-⋅ 2222b c ac =+ 233,,22ac a a c b ∴=∴=∴=222cos 2a b c C ab +-∴===2c =π3,3a b B ===1sin 2ABC BDE S ac B S ∴==∴= ,BD m BE n ==132BDE S mn ==∴= 2221232DE m n mn mn =+-≥=m n ==DE ∴()[]sin ,0,πg x x x =∈' ()sin 1g x x ='∴=π,2x =∴π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ππ20,222a a ∴-+=∴=-（2），当时，单调递减当时，，单调递增，单调递递增.综上所述，在上单调递减，在上单调递增.（3）证明：恒成立恒成立恒成立.令，则令则单调递增，又，当时，，即单调递减；当时，，即单调递增；恒成立.19.（17分）解：（1）令可得，即.令可得，即，所以又.，两式相减可得，数列为首项为4，公比为2得等比数列.（2）证明：由（1）可知，所以.()e cos 2xf x x =+'- (],0x ∞∈-()()e 1,cos 1,0,xx f x f x ≤'≤≤∴[)0,x ∞∈+()e sin ,e 1,sin 1x xf x x x =-≥'≤'()()0,f x f x ≥'∴''∴()()()00,f x f f x ='≥'∴()f x (],0∞-[)0,∞+()()f xg x ≥e sin 2cos 20x x x x ⇔+-+-≥sin cos 2210e xx x x +--⇔+≥()sin cos 221e x x x x h x +--=+()()()()cos sin 2sin cos 222sin e e x x x x x x x x x h x ---+'---==()sin m x x x =-()()1cos 0,m x x m x =-≥∴'()00m = ∴(],0x ∞∈-()0m x ≤()()0,h x h x '≤[)0,x ∞∈+()0m x ≥()()0,h x h x '≥()()()()00,h x h f x g x ∴≥=∴≥1n =112S a μ=-1a μ=2n =222S a μ=-1222a a a μ+=-22a μ=1212,4a a μ+=∴= 112424n n n n S a S a --=-⎧⎨=-⎩ 1122,2n n n n n a a a a a --=-∴=∴{}n a 12n n a +=211log 1n n b a n ==+要证成立，只需证，即令，当时，单调递增，（3）时，集合，即3中元素个数，等价于满足的不同解，如果.则.盾!如果j ，则，矛盾!，又，，即，共个不同解，所以.11122,ln ln .121n n n i i n i T i i ==++==++∑∑ ∴2ln 2n n T +>12ln 11n n n +>++11ln 111n n ⎛⎫>+ ⎪++⎝⎭()()()()1ln 1,10,0,11x f x x x f x x x x ∞=-+==>'-∈+++∴()0,x ∞∈+()f x ()()()1ln 100,01f x x x f f n ⎛⎫=-+>=∴> ⎪+⎝⎭112ln 1,ln 112n n T n n +⎛⎫∴>+∴> ⎪++⎝⎭1n ≥{}123232n n n i j i j B a a a a ++=+⋅<+<⋅∣1*22232,1,,,n i j n n i j i j B +⋅<+<⋅≤<∈N 1322232n i j n +⋅<+<⋅(),i j 2j n <+1122222232i j i n n n n +++++=⋅……2n >+31222232i j i n n +++≥+>⋅2j n ∴=+()12223224232220n n n n n ++-⋅=+⋅-⋅=+> 1222212322222222232n n n n n n n n ++++++∴⋅<+<+<<+<+=⋅ 1,2,3,,i n = n (),i j ()1n c n n =≥。

西北师大附中2022—2023学年第一学期期中考试试题高三数学（理） 命题人：张丽娇 审题人：惠银东一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60项是符合题目要求的．）1.已知集合{}3,2,1,2A =---，{B x =2|56x x --≤}0，则A ⋂C R B =（ ）A ．{}3-B ．{}3,2,1---C ．{}3,2--D ．{}1,2- 2.集合{}{}201A x x ax a =++=⊆，则a 为（ ）A ．12-B ．()0,4a ∈C ．()[),04,a ∈-∞⋃+∞D ．()10,42a ⎧⎫∈-⋃⎨⎬⎩⎭ 3.已知m ∈R ，“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的（ ）A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.已知命题000:,3sin 4cos p x x x ∃∈+=R ；命题 1:,1xq x e ⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭R ，则下列命题中为真命题的是( )A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∨⌝D ．()p q ⌝∨5.中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C ＝W log 2⎝⎛⎭⎫1＋S N .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比S N从1000提升到8000，则C 大约增加了(lg 2≈0.301)( )A ．10%B ．20%C ．30%D ．50%6.已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，以下命题正确的是（ ）①若m ∥n ，,m n αβ⊂⊂，则α∥β；②若,m n αβ⊂⊂，α∥l m β⊥，，则l n ⊥； ③若,,m n αβα⊥⊥∥β，则m ∥n ；④若αβ⊥，m ∥α，n ∥β，则m n ⊥；A ．②③B ．③④C ．②④D ．③7.已知非常数函数f(x)满足f (−x )f (x )=1(x ∈R)，则下列函数中，不是奇函数的是（ ）A ．f (x )−1f (x )+1B ．f (x )+1f (x )−1C ．f (x )−1f (x )D ． f (x )+1f (x )8．已知3log 2a =，4log 3b =，23c =，则( ) A ．a c b << B ．c a b << C ．b a c << D ．b c a <<9．函数f (x )＝3|x |·cos 2x x的部分图象大致是( )10.若()f x 的定义域为R ，对,x y R ∀∈，()()()()(),11f x y f x y f x f y f ++-== 则()221k f k ==∑( )A ．－3B ．－2C ．0D ．111.已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为36π， 且3≤l ≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是( )A.[18,814]B.[274,643]C.[274,814]D.[18,27]12.定义在R 上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若f′(x)<f(x)，则不等式e x f(x +1)<e 4f(2x －3)的解集是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若()3,01,0x x f x x x⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则()()2f f -=__________． 14.函数y ＝lg(c ＋2x －x 2)的定义域是(m ，m ＋4)，则实数c 的值为__________． 15.∫(3−3sinx +√9−x 2)dx =__________．16．已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且在区间[0,2]上单调递增，则 ①函数f (x )的一个周期为4；②直线x ＝－4是函数f (x )图象的一条对称轴；③函数f (x )在[－6，－5)上单调递增，在[－5，－4)上单调递减；④函数f (x )在[0,100]上有25个零点．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题序号都填上)三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.（14分）在以下三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．“①函数y =√x 2+2x −k 的定义域为R ，②∃x ∈R ，使得|x −1|+|x −2|+k ⩽0， ③方程x 2+k =0有一根在区间[1,+∞)内”问题：已知条件p ：______，条件q ：函数f(x)=2x 2−kx 在区间(−3,a)上不单调，若p 是q 的必要条件，求实数a 的最大值．18.（14分）已知函数f (x )=ln (m x x+1−1)(其中m ∈R 且m ≠0)是奇函数．（1）求m 的值；（2）若对任意的x ∈[ln2,ln4]，都有不等式f (e x )−x +lnk ≥0恒成立， 求实数k 的取值范围．19.（14分）已知函数f (x )＝x 2－2x +aln x(a ∈R)．(1)若函数在x ＝1处的切线与直线x －4y －2＝0垂直，求实数a 的值；(2)当a >0时，讨论函数f(x)的单调性．20.（14分）已知函数f (x )=2a+1a −1a 2x ，a >0 (1)证明:函数f (x )在（0，+∞）上单调递增；(2)设0<m <n ，若f (x )的定义域和值域都是[m,n ]，求n −m 的最大值.21.(14分)已知函数()212x f x e x ax =--有两个极值点12x x ，， （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：()()122f x f x +>.。