2021届新高考版高考数学专项突破训练：专项4 新高考·新题型专练

目录专题01 集合与常用逻辑用语（解析版）专题02 函数（1）（解析版）专题03 函数（2）（解析版）专题04 函数（3）（解析版）专题05 导数及其应用（解析版）专题06 不等式（解析版）专题07 数列（1）（解析版）专题08 数列（2）（解析版）专题09 平面向量（解析版）专题10 复数、推理与证明（解析版）专题11 排列组合和概率统计（解析版）专题12 三角函数（1）（解析版）专题13 三角函数（2）（解析版）专题14 三角函数（3）（解析版）专题15 平面解析几何（1）（解析版）专题16 平面解析几何（2）（解析版）专题17 平面解析几何（3）（解析版）专题18 立体几何（1）（解析版）专题19 立体几何（2）（解析版）专题20 立体几何（3）（解析版）专题01 集合与常用逻辑用语多项选择题1．（2019秋•启东市期末）已知全集U R =，集合A ，B 满足A B Ü，则下列选项正确的有()A ．AB B= B ．A B B= C ．()U A B =∅ ðD ．()U A B =∅ ð【分析】利用A B Ü的关系即可判断．【解答】解：A B Ü，A B A ∴= ，A B B = ，()U C A B =≠∅ ，()U A C B =∅ ， 故选：BD ．2．（2019秋•宿迁期末）已知集合[2A =，5)，(,)B a =+∞．若A B ⊆，则实数a 的值可能是( ) A ．3−B ．1C ．2D ．5【分析】利用A B ⊆，求出a 的范围，即可判断． 【解答】解：A B ⊆ ， 2a ∴<，故选：AB ．3．（2019秋•临高县校级期末）已知{A =第一象限角}，{B =锐角}，{C =小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是( )A ．B AC = B ．B C C = C ．B A B =D ．A B C ==【分析】可看出，“小于90°的角“和”第一象限的角“都包含”锐角“，从而可判断出选项B ，C 都正确；而小于90°的角里边有小于0°的角，而小于0°的角里边有第一象限角，从而可判断选项A 错误，而选项D 显然错误，从而可得出正确的选项．【解答】解： “小于90°的角”和“第一象限角”都包含“锐角”，B C ∴⊆，B A ⊆B C C ∴= ，B A B = ；“小于90°的角“里边有”第一象限角”，从而B A C ≠ ． 故选：BC ．4．（2019秋•聊城期末）若“2340x x +−<”是“22(23)30x k x k k −+++>”的充分不必要条件，则实数k 可以是( ) A ．8−B ．5−C ．1D ．4【分析】分别解出” 2340x x +−<”，“ 22(23)30x k x k k −+++>”，根据2340x x +−<”是“22(23)30x k x k k −+++>”的充分不必要条件，即可得出． 【解答】解：“2340x x +−<” 43x ⇔−<<． “22(23)30x k x k k −+++>” x k ⇔<，或3x k >+．“2340x x +−<”是“22(23)30x k x k k −+++>”的充分不必要条件，3k ∴…，或43k −+…，解得：3k …，或7k −…， 则实数k 可以是AD ． 故选：AD ．5．（2019秋•临沂期末）对于①sin 0θ>，②sin 0θ<，③cos 0θ>，④cos 0θ<，⑤tan 0θ>，⑥tan 0θ<，则θ为第二象限角的充要条件为( ) A ．①③B ．①④C ．④⑥D ．②⑤【分析】根据三角函数角的符号和象限之间的关系分别进行判断即可． 【解答】解：假设θ为象限角则①sin 0θ>，则θ为第一象限角或θ为第二象限角， ②sin 0θ<，则θ为第三象限角或θ为第四象限角 ③cos 0θ>，则θ为第一象限角或θ为第四象限角 ④cos 0θ<，则θ为第二象限角或θ为第三象限角 ⑤tan 0θ>，则θ为第一象限角或θ为第三象限角 ⑥tan 0θ<，则θ为第二象限角或θ为第四象限角， 若θ为第二象限角，则①④可以④⑥可以， 故选：BC ．6．（2019秋•泰安期末）下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．:37p m <<；q ：方程22173x y m m +=−−的曲线是椭圆B ．:8p a …；q ：对[1x ∀∈，3]不等式20x a −…恒成立C ．设{}n a 是首项为正数的等比数列，p ：公比小于0；q ：对任意的正整数n ，2120n n a a −+<D ．已知空间向量(0a = ，1，1)−，(b x = ，0，1)−，:1p x =；q ：向量a与b 的夹角是3π【分析】A ，根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可；B ，求出，[1x ∀∈，3]不等式20x a −…恒成立等价于2a x …恒成立，即等价于9a …，即可判断；C ，根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可；D ，根据空间两向量的夹角大小求出x 的值，再根据充分必要条件的定义即可判断；【解答】解：A ，若方程22173x y m m +=−−的曲线是椭圆， 则703073m m m m −>−> −≠−，即37m <<且5m ≠， 即“37m <<”是“方程22173x y m m +=−−的曲线是椭圆”的必要不充分条件； B ，[1x ∀∈，3]不等式20x a −…恒成立等价于2a x …恒成立，等价于9a …； ∴ “8a …”是“对[1x ∀∈，3]不等式20x a −…恒成立”必要不充分条件； :{}n C a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，∴当11a =，12q =−时，满足0q <，但此时12111022a a +=−=>，则2120n n a a −+<不成立，即充分性不成立，反之若2120n n a a −+<，则2221110n n a q a q −−+< 10a > ，22(1)0n q q −∴+<，即10q +<，则1q <−，即0q <成立，即必要性成立，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a −+<”的必要不充分条件．D ：空间向量(0a =，1，1)−，(b x = ，0，1)−，则001a b =++ ， cos a ∴<，1cos 32||||a bb a b π>===×，解得1x =±，故“1x =”是“向量a与b 的夹角是3π”的充分不必要条件．故选：ABC ．7．（2019秋•青岛期末）已知集合{(M x =，)|()}y y f x =，若对于1(x ∀，1)y M ∈，2(x ∃，2)y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“互垂点集”．给出下列四个集合：21{(,)|1}M x y y x ==+；{2(,)|M x y y ==；3{(,)|}x M x y y e =；4{(,)|sin 1}M x y y x ==+．其中是“互垂点集”集合的为( )A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M【分析】根据题意即对于任意点1(P x ∀，1)y ，在M 中存在另一个点P ′，使得OP OP ⊥′．，结合函数图象进行判断．【解答】解：由题意，对于1(x ∀，1)y M ∈，2(x ∃，2)y M ∈，使得12120x x y y +=成立即对于任意点1(P x ∀，1)y ，在M 中存在另一个点P ′，使得OP OP ⊥′．21y x =+中，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P ′．所以所以1M 不是“互垂点集”集合，y=所以在2M 中的任意点1(P x ∀，1)y ，在2M 中存在另一个点P ′，使得OP OP ⊥′ ． 所以2M 是“互垂点集”集合，x y e =中，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P ′．所以3M 不是“互垂点集”集合，sin 1y x =+的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ．8．（2019秋•淮安期末）已知函数2()43f x x x =−+，则()0f x …的充分不必要条件是( ) A ．[1，3]B ．{1，3}C ．(−∞，1][3 ，)+∞D ．(3,4)【分析】由()0f x …，得2430x x −+…，解得3x …或1x …．由此能求出()0f x …的充分不必要条件． 【解答】解：函数2()43f x x x =−+，由()0f x …，得2430x x −+…， 解得3x …或1x …．()0f x ∴…的充分不必要条件是{1，3}和(3,4)， 故选：BD ．9．（2019秋•镇江期末）使不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是( ) A ．2x > B ．0x …C ．1x <−或1x >D ．10x −<<【分析】不等式110x+>，即10x x +>，(1)0x x +>，解得x 范围，即可判断出结论． 【解答】解：不等式110x +>，即10x x+>，(1)0x x ∴+>，解得0x >，或1x <−． 使不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是：2x >．及1x <−，或1x >． 故选：AC ．10．（2019秋•连云港期末）已知p ，q 都是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，则( ) A ．p 是q 的既不充分也不必要条件 B ．p 是s 的充分条件 C ．r 是q 的必要不充分条件 D ．s 是q 的充要条件【分析】由已知可得p r s q ⇒⇒⇒；q r s ⇒⇒，然后逐一分析四个选项得答案． 【解答】解：由已知得：p r s q ⇒⇒⇒；q r s ⇒⇒．p ∴是q 的充分条件；p 是s 的充分条件；r 是q 的充要条件；s 是q 的充要条件．∴正确的是B 、D ．故选：BD ．11．（2019秋•苏州期末）已知集合{|2}A x ax =…，{2B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是( ) A ．1−B ．1C ．2−D ．2【分析】通过集合的包含关系，判断元素的关系，通过选项的代入判断是否成立．【解答】解：因为集合{|2}A x ax =…，{2B =，B A ⊆， 若1a =−，[2A −，)+∞，符合题意，A 对； 若1a =，(A −∞，2]，符合题意，B 对； 若2a =−，[1A −，)+∞，符合题意，C 对；若1a =，(A −∞，1]，不符合题意，D 错； 故选：ABC ．12．（2019秋•济宁期末）下列命题中的真命题是( ) A ．x R ∀∈，120x −> B ．*x N ∀∈，2(1)0x −> C ．x R ∃∈，1lgx <D ．x R ∃∈，tan 2x =【分析】根据指数函数的值域，得到A 项正确；根据一个自然数的平方大于或等于0，得到B 项不正确；根据对数的定义与运算，得到C 项正确；根据正弦函数tan y x =的值域，得D 项正确．由此可得本题的答案．【解答】解： 指数函数2t y =的值域为(0,)+∞∴任意x R ∈，均可得到120x −>成立，故A 项正确；当*x N ∈时，1x N −∈，可得2(1)0x −…，当且仅当1x =时等号 ∴存在*x N ∈，使2(1)0x −>不成立，故B 项不正确；当1x =时，01lgx =<∴存在x R ∈，使得1lgx <成立，故C 项正确；正切函数tan y x =的值域为R∴存在锐角x ，使得tan 2x =成立，故D 项正确 故选：ACD ．13．（2019秋•薛城区校级月考）已知集合{|1}A x ax ==，{0B =，1，2}，若A B ⊆，则实数a 可以为( ) A ．12B ．1C ．0D ．以上选项都不对【分析】由子集定义得A =∅或{1}A =或{2}A =，从而1a 不存在，11a=，12a =，由此能求出实数a ．【解答】解： 集合{|1}A x ax ==，{0B =，1，2}，A B ⊆， A ∴=∅或{1}A =或{2}A =，∴1a 不存在，11a=，12a =，解得1a =，或1a =，或12a =． 故选：ABC ．14．（2019秋•桥西区校级月考）设集合2{|0}A x x x =+=，则下列表述不正确的是( ) A ．{0}A ∈B ．1A ∉C ．{1}A −∈D ．0A ∈【分析】求出集合2{|0}{0A x x x =+==，1}−，利用元素与集合的关系能判断正确结果． 【解答】解：集合2{|0}{0A x x x =+==，1}−， 0A ∴∈，1A −∈，{0}A ⊂，{1}A −⊂，1A ∉． AC ∴选项均不正确，BD 选项正确．故选：AC ．15．（2019秋•葫芦岛月考）已知集合2{|20}Ax x x =−=，则有( ) A ．A ∅⊆B ．2A −∈C ．{0，2}A ⊆D ．{|3}A y y ⊆<【分析】可以求出集合A ，根据子集的定义及元素与集合的关系即可判断每个选项的正误． 【解答】解：{0A = ，2}，A ∴∅⊆，2A −∉，{0，2}A ⊆，{|3}A y y ⊆<．故选：ACD ．16．（2019秋•临淄区校级月考）设全集U ，则下面四个命题中是“A B ⊆”的充要条件的命题是( ) A ．A B A =B ．U UA B ⊇痧C ．U B A =∅ ðD ．U A B =∅ ð【分析】根据集合的补集，两个集合的交集、并集的定义，再由充要条件的定义判断哪些选项符合条件． 【解答】解：对于选项A ，由A B A = ，可得A B ⊆．由A B ⊆ 可得A B A = ，故选项A ，A B A = 是命题A B ⊆的充要条件，故A 满足条件． 对于选项B ，由S SA B ⊇痧 可得A B ⊆，由A B ⊆ 可得S SA B ⊇痧，故S SA B ⊇痧 是命题A B ⊆的充要条件，故B 满足条件．对于选项C ，由S B A φ= ð，可得A B ⊆，由A B ⊆ 可得S B A φ= ð，故S B A φ= ð 是命题A B ⊆的充要条件，故C 满足条件．对于选项D ，由S A B φ= ð，可得B A ⊆，不能退出A B ⊆，故选项D ，S A B φ= ð不是命题A B ⊆的充要条件，故D 不满足条件． 故选：ABC ．17．（2019秋•葫芦岛月考）已知集合{||4}A x Z x =∈<，B N ⊆，则( )A ．集合B N N =B ．集合A B 可能是{1，2，3}C ．集合A B 可能是{1−，1}D ．0可能属于B【分析】根据Z ，N 的定义，及集合元素的特点进行逐一判断即可． 【解答】解：因为B N ⊆，所以B N N = ，故A 正确．集合A 中一定包含元素1，2，3，集合B N ⊆，1，2，3都属于集合N ，所以集合A B 可能是{1，2，3}正确．1−不是自然数，故C 错误．0是最小的自然数，故D 正确． 故选：ABD ．18．（2019秋•市中区校级月考）给出下列关系，其中正确的选项是( ) A ．{{}}∅∈∅B ．{{}}∅∉∅C ．{}∅∈∅D ．{}∅⊆∅【分析】根据元素与集合的关系，集合并集的运算，空集是任何集合的子集即可判断每个选项的正误． 【解答】解：显然∅不是集合{{}}∅的元素，A ∴错误；∅不是集合{{}}∅的元素，∅是{}∅的元素，∅是任何集合的子集，从而得出选项B ，C ，D 都正确．故选：BCD ．19．（2019秋•罗庄区期中）给出下列四个条件：①22xt yt >；②xt yt >；③22x y >；④110x y<<．其中能成为x y >的充分条件的是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】首先分清条件与结论，条件是所选答案，结论是x y >，充分性即为所选答案推出x y >． 【解答】解：①．由22xt yt >可知，20t >，故x y >．故①是．②．由xt yt >可知，0t ≠，当0t <时，有x y <；当0t >时，有x y >．故②不是． ③由22x y >，则||||x y >，推不出x y >，故③不是； ④．由110x y <<．由函数1y x=在区间(0,)+∞上单调递减，可得0x y >>，故④是． 故选：AD ．20．（2019秋•宁阳县校级期中）若220x x −−<是2x a −<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】求解一元二次不等式，把若220x x −−<是2x a −<<的充分不必要条件转化为(1−，2)(2−Ü，)a ，由此得到a 的范围，则答案可求．【解答】解：由220x x −−<，解得12x −<<． 又220x x −−<是2x a −<<的充分不必要条件，(1∴−，2)(2−Ü，)a ，则2a …． ∴实数a 的值可以是2，3，4． 故选：BCD ．21．（2019秋•薛城区校级期中）若集合M N ⊆，则下列结论正确的是( ) A ．M N M =B ．M N N =C ．M M N ⊆D ．M N N ⊆【分析】利用子集、并集、交集的定义直接求解． 【解答】解： 集合M N ⊆， ∴在A 中，M N M = ，故A 正确；在B 中，M N N = ，故B 正确； 在C 中，M M N ⊆ ，故C 正确； 在D 中，M N N ⊆ ，故D 正确． 故选：ABCD ．22．（2019秋•凤城市校级月考）下列命题正确的有( ) A ．A ∅=∅ B ．()U UU A B A B = 痧?C ．A B B A =D ．()U U A A =痧【分析】利用集合的交、并、补运算法则直接求解． 【解答】解：在A 中，A A ∅= ，故A 错误； 在B 中，()()()U U U A B A B = 痧?，故B 错误； 在C 中，A B B A = 同，故C 正确； 在D 中，()U U A A =痧，故D 正确． 故选：CD ．23．（2019秋•北镇市校级月考）已知集合{2M −，2334x x +−，24}x x +−，若2M ∈，则满足条件的实数x 可能为( ) A ．2B ．2−C ．3−D ．1【分析】根据集合元素的互异性2M ∈必有22334x x =+−或224x x =+−，解出后根据元素的互异性进行验证即可．【解答】解：由题意得，22334x x =+−或224x x =+−， 若22334x x =+−，即220x x +−=， 2x ∴=−或1x =，检验：当2x =−时，242x x +−=−，与元素互异性矛盾，舍去； 当1x =时，242x x +−=−，与元素互异性矛盾，舍去． 若224x x =+−，即260x x +−=， 2x ∴=或3x =−， 经验证2x =或3x =−为满足条件的实数x ． 故选：AC ．24．已知集合{|32A x x a b ==+，a ，}b Z ∈，{|23B x x a b ==−，a ，}b Z ∈，则( ) A ．A B ⊆B ．B A ⊆C ．A B =D ．A B =∅【分析】利用集合的基本关系可判断集合的关系．【解答】解：已知集合{|32A x x a b ==+，a ，}b Z ∈，{|23B x x a b ==−，a ，}b Z ∈， 若x 属于B ，则：233*(2)2*(2)x a b a b a =−=−+−； 2a b −、2a −均为整数，x 也属于A ，所以B 是A 的子集；若x 属于A ，则：322*(3)3*x a b a b =+=+−（a ）； 3a b +、a 均为整数，x 也属于B ，所以A 是B 的子集；所以：A B =， 故选：ABC ．25．已知集合2{|10}A x x =−=，则下列式子表示正确的有( ) A ．{1}A ∈B ．1A −⊆C ．A ∅⊆D ．{1，1}A −⊆【分析】利用集合与集合基本运算求出A 集合，再由集合与集合的关系，元素与集合的关系判断可得答案， 【解答】解：已知集合2{|10}{1A x x =−==−，1}，由集合与集合的关系，元素与集合的关系判断可得：以上式子表示正确的有：A ∅⊆，{1，1}A −⊆． 故选：CD ．26．已知集合{|13}A x x =−<…，集合{|||2}B x x =…，则下列关系式正确的是( ) A ．A B =∅B ．{|23}A B x x =− 剟C ．{|1R A B x x =− …ð或2}x >D ．{|23}R A B x x =< …ð【分析】求解绝对值不等式化简集合B ，再利用交、并、补集的运算性质逐一分析四个选项得答案． 【解答】解：{|13}A x x =−< …，{|||2}{|22}B x x x x ==−剟?， {|13}{|22}{|12}A B x x x x x x ∴=−<−=−< 剟剟，故A 不正确； {|13}{|22}{|23}A B x x x x x x =−<−=− 剟剟?，故B 正确； {|2R Bx x =<− ð或2}x >， {|13}{|2R A B x x x x ∴=−<<− …ð或2}{|2x x x >=<−或1}x >−，故C 不正确； {|13}{|2R A B x x x x =−<<− …ð或2}{|23}x x x >=<…，故D 正确．∴正确的是B ，D ．故选：BD ．27．下列命题正确的是( )A ．“26x <<”是“24120x x −−<”的必要不充分条件B ．函数()tan 2f x x =的对称中心是(2k π，0)()k Z ∈ C ．“x R ∀∈，3210x x −+…”的否定是“x R ∃∈，3210x x −+>”D ．设常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[0，2]π上恰有三个解1x ，2x ，3x 则12373x x x π++=【分析】A 由24120x x −−<，解得26x −<<，可得“26x <<”是“24120x x −−<”的充分不必要条件； B 由tan 20x =，解得2x k π=，即2k x π=，()k Z ∈，即可得出函数()tan 2f x x =的对称中心； C 取1x =−，则32110x x −+=−<，即可判断出；:sin D x x a +=化为sin()32ax π+=，由于常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[0，2]π上恰有三个解1x ，2x ，3x ，则2a =，解得即可． 【解答】解：由24120x x −−<，解得26x −<<，因此“26x <<”是“24120x x −−<”的充分不必要条件，A不正确；由tan 20x =，解得2x k π=，即2k x π=，()k Z ∈因此函数()tan 2f x x =的对称中心是(2k π，0)()k Z ∈，B 正确；取1x =−，则32110x x −+=−<，因此“x R ∀∈，3210x x −+>” C 不正确；sin x x a =化为sin()32ax π+=，由于常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[0，2]π上恰有三个解1x ，2x ，3x ，则2a=，解得33x ππ+=，3ππ−，23ππ+，12373x x x π∴++=，D 正确． 故选：BD ．28．有限集合S 中元素的个数记做()card S ，设A ，B 都为有限集合，下列命题中真命题是( ) A ．A B =∅ 的充要条件是()card A B card = （A ）card +（B ）B ．A B ⊆的必要条件是card （A ）card …（B ）C ．A B à的充要条件是card （A ）card …（B ）D ．A B =的充要条件是card （A ）card =（B ）【分析】分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，比如第四个句子元素个数相等，元素不一定相同．【解答】解：?A B =∅ 集合A 与集合B 没有公共元素，A 正确A B ⊆集合A 中的元素都是集合B 中的元素，B 正确A B à集合A 中至少有一个元素不是集合B 中的元素，因此A 中元素的个数有可能多于B 中元素的个数，C错误A B =集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，D 错误故选：AB ．29．使“a b <”成立的必要不充分条件是“( )”A ．0x ∀>，a b x +…B ．0x ∃…，a x b +<C ．0x ∀…，a b x <+D ．0x ∃>，a x b +… 【分析】根据不等式的关系结合必要不充分条件分别进行判断即可．【解答】解：若a b <，0x ∀>，则a x b x +<+，a a x <+ ，a a xb x ∴<+<+，即a b x <+，则a b x +…不一定成立；故A 错误，若a b <，当2a =，4b =，10x ∃=…，有a x b +<成立，反之不一定成立；故B 满足条件．0x ∀…，由a b <得a x b x +<+， 0x …，a x a ∴+…，即a a x b x +<+…则a b x <+成立，故C 满足条件，若a b <，当2a =，3b =，10x ∃=>，有a x b +…成立，反之不一定成立；故D 满足条件． 故选：BCD ．30．在下列结论中正确的是( )A ．“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件B ．“p q ∧”为假是“p q ∨”为真的充分不必要条件C ．“p q ∧”为真是“p ¬”为假的充分不必要条件D ．“p ¬”为真是“p q ∧”为假的充分不必要条件 【分析】利用复合命题真假的判定方法即可判断出结论．【解答】解：“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件，A 正确； “p q ∧”为假是“p q ∨”为真的充分不必要条件，B 不正确； “p q ∧”为真是“p ¬”为假的充分不必要条件，C 正确；“p ¬”为真，p 为假⇒ “p q ∧”为假，反之不成立，可能q 为假，p 为真，因此“p ¬”为真是“p q ∧”为假的充分不必要条件，D 正确． 故选：ACD ．专题02 函数（1）多项选择题1．（2019秋•清江浦区校级期末）已知函数()f x 是偶函数，且(5)(5)f x f x −=+，若()()sin g x f x x π=，()()cos h x f x x π=，则下列说法正确的是( ) A ．函数()y g x =是偶函数 B ．10是函数()f x 的一个周期C ．对任意的x R ∈，都有(5)(5)g x g x +=−D ．函数()y h x =的图象关于直线5x =对称【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，()()sin g x f x x π=，()()sin ()()sin g x f x x f x x ππ−=−−=−−，又由函数()f x 是偶函数，则()()sin g x f x x π−=−， 即函数()g x 为奇函数，A 错误对于B ，由于()f x 是偶函数，且(5)(5)f x f x −=+，得(5)(5)(5)f x f x f x −=+=−，即(10)()f x f x +=， 则()f x 是周期为10的周期函数，所以(10)(10)cos(10)()cos ()h x f x x f x x h x πππ+=++==， 则()y h x =是的最小正周期为10，故B 正确；对于C ，(5)(5)sin((5))(5)sin(5)(5)(sin )(5)(sin )(5)sin (5)g x f x x f x x f x x f x x f x x g x ππππππ+=++=−+=−−=−−−=−=−，故C 正确；对于D ，(5)(5)cos(55)(5)cos(55)(5)cos(5510)(5)cos(55)(5)h x f x x f x x f x x f x x h x πππππ−=−−=+−=+−+=++=+， 所以函数()y h x =的图象关于直线5x =对称，D 正确； 故选：BCD ．2．（2019秋•胶州市期末）下列函数是偶函数的是( ) A ．()tan f x x =B ．()sin f x x =C ．()cos f x x =D ．()||f x lg x =【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，()tan f x x =，是正切函数，是奇函数，不符合题意； 对于B ，()sin f x x =，是正弦函数，是奇函数，不符合题意； 对于C ，()cos f x x =，是余弦函数，是偶函数，符合题意；对于D ，()||f x lg x =，其定义域为{|0}x x ≠有()||||()f x lg x lg x f x −=−==，是偶函数，符合题意； 故选：CD ．3．（2019秋•菏泽期末）对数函数log (0a y x a >且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =−−在同一坐标系内的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．【分析】对a 分类讨论，利用对数函数的单调性、二次函数的性质即可判断出结论．【解答】解：若1a >，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，二次函数2(1)y a x x =−−开口向上，对称轴102(1)xa >−，经过原点，可能为A ，不可能为B ．若01a <<，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，二次函数2(1)y a x x =−−开口向下，对称轴102(1)xa <−，经过原点，可能为C ，不可能为D ．故选：BD ．4．（2019秋•龙岩期末）函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x −与(2)f x −都为偶函数，则( ) A ．()f x 为偶函数 B ．(1)f x +为偶函数C ．(2)f x +为奇函数D ．()f x 为同期函数【分析】根据题意，由(1)f x −为偶函数，可得函数()f x 的图象关于直线1x =−对称，则有()(2)f x f x −−，由(2)f x −都为偶函数，可得函数()f x 的图象关于直线2x =−对称，则有()(4)f x f x −−，联立分析可得(2)()f x f x +=，即函数()f x 是周期为2的周期函数，据此分析可得()f x 和(1)f x +为偶函数，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，若(1)f x −为偶函数，即函数()f x 的图象关于直线1x =−对称，则有()(2)f x f x −−， 若(2)f x −都为偶函数，即函数()f x 的图象关于直线2x =−对称，则有()(4)f x f x −−，则有(2)(4)f x f x −−−−，变形可得(2)()f x f x +=，即函数()f x 是周期为2的周期函数，则D 正确； 又由函数()f x 的图象关于直线2x =−对称且()f x 的周期为2，则()f x 的图象也关于y 轴对称，即()f x 为偶函数，A 正确；又由函数()f x 的图象关于直线1x =−对称且()f x 的周期为2，则()f x 的图象也关于直线1x =对称，即(1)f x +为偶函数，B 正确； 同理：(2)f x +为偶函数，C 错误； 故选：ABD ．5．（2019秋•启东市期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间(,0)−∞上单调递减的函数是( ) A．y =B ．||1()2x y =C ．121log ||y x = D ．sin y x =【分析】结合奇偶性及单调性的定义，再结合指数与对数函数，幂函数及余弦函数的性质即可判断．【解答】解；结合幂函数的性质可知y =(,0)−∞上单调递减，符合题意； 结合指数函数的性质可知，||1()2x y =在(,0)−∞上单调递增，不符合题意；结合对数函数的性质可知，121log (,0)||y x −∞上单调递减且为偶函数，符合题意；结合正弦函数的性质可知sin y x =为奇函数，不符合题意． 故选：AC ．6．（2019秋•淮安期末）下列函数中定义域是R 的有( ) A ．2x y =B ．y lgx =C ．3y x =D ．tan y x =【分析】根据常见的基本初等函数的定义域，判断是否满足题意即可． 【解答】解：对于A ，函数2x y =，定义域为R ，满足题意； 对于B ，函数y lgx =，定义域为(0,)+∞，不满足题意； 对于C ，函数3y x =，定义域为R ，满足题意； 对于D ，函数tan y x =，定义域为(2k ππ−+，)2k ππ+，k Z ∈，不满足题意．故选：AC ．7．（2019秋•泰州期末）德国数学家狄里克雷(Dirichlet ，PeterGustavLejeune ，1805~1859)在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄里克雷函数()D x ，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．下列关于狄里克雷函数()D x 的性质表述正确的是( )A ．()0D π=B ．()D x 的值域为{0，1}C ．()D x 的图象关于直线1x =对称D ．()D x 的图象关于直线2x =对称【分析】结合已知定义可写出函数解析式，然后结合函数的性质即可判断． 【解答】解：由题意可得()0,1,x D x x Q =∈为无理数， 由于π为无理数，则()0D π=，故A 正确；结合函数的定义及分段函数的性质可知，函数的值域{0，1}，故B 正确；结合函数可知，当x Q ∈时，()1D x =关于1x =，2x =都对称，当x 为无理数时，()0D x =关于1x =，2x =都对称． 故选：ABCD ．8．（2019秋•连云港期末）下列函数中，既是奇函数，又在区间[1−，1]上单调递增的是( ) A ．()2f x x =B ．()2x f x =C ．()tan f x x =D ．()cos f x x =【分析】结合基本初等函数的奇偶性及单调性的定义及性质对各选项进行判断． 【解答】解：结合指数函数的性质可知，2x y =为非奇非偶函数，A 不符合题意； cos y x =为偶函数，不符合题；2y x =为奇函数且在[1−，1]上单调递增，符合题意；结合正切函数的性质可知，tan y x =为奇函数且在[1−，1]上单调递增． 故选：AC ．9．（2019秋•三明期末）下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有( )A ．()f x x =与()g x =B ．()|1|f t t =−与()|1|g x x =−C ．()f x x =与2()log 2xg x =D ．21()1x f x x −=+与()1g x x =−【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断是相同函数．【解答】解：对于A ，函数()f x x =与()||g x x =的解析式不同，表示相同函数；对于B ，函数()|1|f t t =−的定义域为R ，()|1|g x x =−的定义域为R ，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于C ，函数()f x x =的定义域为R ，2()log 2g x =x x =的定义域为R ，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于D ，函数21()11x f x x x −==−+的定义域为(−∞，1)(1−−∪，)+∞，()1g x x =−的定义域为R ，定义域不同，不是相同函数． 故选：BC ．10．（2019秋•宿迁期末）已知2(21)4f x x −=，则下列结论正确的是( ) A ．f （3）9=B ．(3)4f −=C ．2()f x x =D ．2()(1)f x x =+【分析】利用配凑法求出函数解析式，进而得解．【解答】解：2(21)(21)2(21)1f x x x −=−+−+，故2()21f x x x =++，故选项C 错误，选项D 正确；f （3）16=，(3)4f −=，故选项A 错误，选项B 正确． 故选：BD ．11．（2019秋•泉州期末）已知1(A x ，)m 和2(B x ，)m 为函数()2sin3xf x =的图象上两点，若21||x x k π−=，{1k ∈，2，3，4，5}，则m 的值可能为( )A ．0B ．1CD 【分析】由已知可得()f x 的周期为6π，再分k 的不同取值即可求出结论． 【解答】解：由已知可得()f x 的周期为6π， 当3k =时，如下图所示，此时0m =当2k =或4k =时，如下图所示，结合对称性，此时1m =±当1k =或5k =时，如下图所示，结合对称性，此时m =综上，本题答案为ABD 故选：ABD ．12．（2019秋•清远期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +−=，且当0x …时，()1x f x e x =+−．若(sin )((2sin ))f x f k x +…在x R ∈上恒成立，则k 的可能取值为( )A ．1B ．0C ．1−D ．2−【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，得到sin (2sin )x k x +…，再根据题意，利用检验法判断即可． 【解答】解：定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +−=，()f x 为奇函数， 当0x …时，()1x f x e x =+−，显然()f x 在(0,)+∞递增，所以()f x 在R 上递增，(sin )((2sin ))f x f k x +…在x R ∈上恒成立， 可得sin (2sin )x k x +…，(1)sin 2k x k −…，当1k =时，02…，不成立，故A 错误；当0k =时，sin 0x …成立，不恒成立，故B 错误；当1k =−时，2sin 2x −…，即sin 1x −…，恒成立，故C 正确； 当2k =−时，3sin 4x −…，即4sin 3x −…恒成立，故D 正确； 故选：CD ．13．（2019秋•海南期末）已知函数2()361f x x x =−−，则( ) A ．函数()f x 有两个不同的零点 B ．函数()f x 在(1,)−+∞上单调递增C ．当1a >时，若()x f a 在[1x ∈−，1]上的最大值为8，则3a =D ．当01a <<时，若()x f a 在[1x ∈−，1]上的最大值为8，则13a =【分析】结合二次函数的零点及单调性及复合函数的单调性与最值的关系分别检验各选项即可判断． 【解答】解：因为二次函数对应的一元二次方程的判别式△2(6)43(1)480=−−××−=>， 所以函数()f x 有两个不同的零点，A 正确；因为二次函数()f x 图象的对称轴为1x =，且图象开口向上， 所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，B 不正确； 令x t a =，则22()()3613(1)4x f a g t t t t ==−−=−−． 当1a >时，1t a a 剟，故()g t 在1[,]a a 上先减后增，又112a a +>，故最大值为g （a ）23618a a =−−=，解得3a =（负值舍去）． 同理当01a <<时，1a t a 剟，()g t 在1[,]a a 上的最大值为2136()18g a a a=−−=， 解得13a =（负值舍去）．故选：ACD ．14．（2019秋•滨州期末）已知函数2()23f x x x =−−，则下列结论正确的是( ) A ．函数()f x 的最小值为4− B ．函数()f x 在(0,)+∞上单调递增C ．函数(||)f x 为偶函数D ．若方程(|1|)f x a −=在R 上有4个不等实根1x ，2x ，3x ，4x ，则12344x x x x +++=【分析】由二次函数的性质，可判断选项A ，B 真假，根据奇偶性定义，可判断选项C 真假，作出()y h x =的图象，结合对称性，可判断选项D 真假．【解答】解：二次函数()f x 在对称轴1x =处取得最小值，且最小值f （1）4=−，故选项A 正确；二次函数()f x 的对称轴为1x =，其在(0,)+∞上有增有减，故选项B 错误；由()f x 得，2(||)||2||3f x x x =−−，显然(||)f x 为偶函数，故选项C 正确； 令2()(|1|)|1|2|1|3h x f x x x =−=−−−−，方程(|1|)f x a −=的零点转化为()y h x =与y a = 的交点， 作出()h x 图象如右图所示：图象关于1x = 对称，当()y h x = 与y a = 有四个交点时， 两两分别关于1x =对称，所以12344x x x x +++=， 故选项D 正确． 故选：ACD ．15．（2019秋•费县期末）已知函数()x x f x e e −=−，()x x g x e e −=+，则以下结论错误的是( ) A ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x −<−B ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有1212()()0g x g x x x −<−C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值【分析】由函数()f x 及函数()g x 的性质直接判断即可． 【解答】解：1()x xf x e e =−在R 上单调递增，无最值，故选项AC 错误； 1()x xg x e e =+为偶函数，易知其在(,0)−∞为减函数，在(0,)+∞为增函数，且在1x =处取得最小值，无最大值，故选项B 错误； 故选：ABC ．16．（2019秋•枣庄期末）具有性质：1()()f f x x=−的函数，我们称为满足“倒负”变换的T函数．下列函数中T 函数有( )A ．1y x x=−B ．1y x x=+C ．,010,11,1x x y x x x<<== −> D ．1(0)1xy lnx x−≠+ 【分析】根据题意，逐项判断即可．【解答】解：由1()()f f x x=−可知，若函数()f x 在1x =处有意义，则f （1）0=，故排除B ；对于A ，11()()f x f x x x=−=−，符合题意，故A 正确；对于C ，当01x <<时，11x>，则1()()f x f x x =−=−，符合题意； 当1x >时，101x <<，则11()()f f x x x==−，符合题意； 当1x =时，f （1）0=符合题意，故C 正确；对于D ，函数的定义域为(1−，0)(0∪，1)，1111()()111x x f ln ln f x x x x −−==≠−++，故D 错误． 故选：AC ．17．（2019秋•泰安期末）已知集合{(M x =，)|()}y y f x =，若对于任意实数对1(x ，1)y M ∈，存在2(x ，2)y M ∈，使12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是( ) A ．21(,)|M x y y x==B ．{(,)|sin 1}M x y y x ==+C ．{(,)|22}x M x y y ==− D ．2{(,)|log }M x y y x ==【分析】由题意可得：集合M 是“垂直对点集”，即满足：曲线()y f x =上过任意一点1(A x ，1)y 与原点的直线，曲线()y f x =上都存在过点2(B x ，2)y 与原点的直线与之垂直，根据题意，对四个选项逐一分析即可得到答案．【解答】解：由题意可得：集合M 是“垂直对点集”，即满足：曲线()y f x =上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直． 对于A ，21{(,)|}M x y yx ==，其图象向左向右和x 轴无限接近，向上和y 轴无限接近，如图，在图象上任取一点1(A x ，1)y ，连OA ，过原点作OA 的垂线OB 必与21y x =的图象相交， 即一定存在点2(B x ，2)y ，使得OB OA ⊥成立， 故21{(,)|}M x y yx ==是“垂直对点集”，故A 正确． 对于B ，{(,)|sin 1}M x y y x ==+，在图象上任取一点A ，连OA ，过原点作直线OA 的垂线OB ，因为sin 1y x =+的图象沿x 轴向左向右无限延展，且与x 轴相切， 因此直线OB 总会与sin 1y x =+的图象相交．所以{(,)|sin 1}M x y y x ==+是“垂直对点集”，故B 正确； 对于C ，{(,)|22}x Mx y y ==−，其图象过点(0,1)−，且向右向上无限延展，向左向下无限延展， 据指数函数的图象和性质可知，在图象上任取一点A ，连OA ，过原点作OA 的垂线OB 必与22x y =−的图象相交， 即一定存在点B ，使得OB OA ⊥成立，故{(,)|22}x M x y y ==−是“垂直对点集”，故C 正确． 对于D ，2{(,)|log }M x y y x ==，(0)x >，取(1,0)，则不存在点2(x ，222log )(0)x x >，满足2100x ×+=， 因此集合M 不是“垂直对点集”，故D 不正确； 故选：ABC ．18．（2019秋•菏泽期末）下列函数中是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数的有( ) A ．cos y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．2log ||y x =【分析】根据函数的图象和性质判断即可．【解答】解：其中A ，B ，D 函数是偶函数，排除C ，B ，D 且在(0,)+∞上为增函数，对于D 根据翻折变换图象如下：故选：BD ．19．（2019秋•葫芦岛期末）已知函数3()2bx f x ax +=+在区间(2,)−∞上单调递增，则a ，b 的取值可以是（ ） A ．1a =，32b >B ．01a <…，2b =C ．1a =−，2b =D ．12a =，1b = 【分析】根据题意，将函数的解析式变形可得23()2bb a f x ax a−=++，结合反比例函数的性质以及函数图象平移的规律可得22a −− (230)a−<，分析可得a 、b 的关系，据此分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，函数22(2)333()222b b bax bx b a a a f x ax ax ax a ++−−+===++++，其定义域为2{|}x x a≠−， 若函数3()2bx f x ax +=+在区间(2,)−∞上单调递增， 必有22a −−…且230b a−<，即01a <…且23ba<， 据此分析选项：A 、B 、D 符合； 故选：ABD ．。

2021届新高考版高考数学专项突破训练专项1 提素养·数学文化1.[干支纪年法]干支纪年法源于中国,中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法是按顺序将一个天干和一个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起.例如,第一年为“甲子”,第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅”,…,排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新开始,即“甲戌”,“乙亥”,然后地支回到“子”重新开始,即“丙子”,以此类推.已知1949年为“己丑”年,那么到中华人民共和国成立80周年时为()A.丙酉年B.戊申年C.己亥年D.己酉年2.[高斯算法]德国数学家高斯在年幼时进行的1+2+3+…+100的求和运算中体现了倒序相加法的原理,该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而产生,此方法也称为高斯算法.现有函数f (x)=(m>0),则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (m+2 018)等于()A.B.C.D.3.[2020贵阳四校联考]中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题:“今有七人差等均钱,甲乙均七十七文,戊己庚均七十五文.”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人分钱,他们所分钱数构成等差数列,甲、乙两人共分77文,戊、己、庚三人共分75文.问:丙、丁两人各分多少文钱? () A.丙分34文,丁分31文 B.丙分37文,丁分40文C.丙分40文,丁分37文D.丙分31文,丁分34文4.[2020湖北八校第一次联考]鲁班锁是中国古代传统的土木建筑固定结合器,也是广泛流传于中国民间的智力玩具,它起源于中国古代建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,外观则是严丝合缝的十字几何体,十分巧妙.鲁班锁的种类各式各样,其中,六根和九根的鲁班锁最为著名.某种九根的鲁班锁由如图2 - 1所示的九根木榫拼成,每根木榫都是由一根正四棱柱状的木条挖出一些凹槽制成的.若九根正四棱柱的底面边长均为1,六根短条的高均为3,三根长条的高均为5,现将拼好的鲁班锁(如图2 - 2)放进一个圆柱形容器内,使其最高的一个正四棱柱形木榫的上、下底面分别在圆柱的两个底面内,则该圆柱形容器的体积(容器壁的厚度忽略不计)的最小值为()图2 - 1图2 - 2A.πB.πC.135πD.π5.[幻方]我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方(如图2 - 3(1)所示).将1,2,…,9填入3×3的方格内(如图2 - 3(2)所示),使三行、三列及两条对角线上的三个数字之和都等于15,这个方阵叫作3阶幻方.一般地,将连续的正整数1,2,3,…,n2填入n×n的方格中,使得每行、每列及两条对角线上的数字之和都相等,这个方阵叫作n(n≥3)阶幻方.记n阶幻方的对角线上的数的和为N n,如N3=15,那么N9=()(1)(2)图2 - 3A.41B.45C.369D.3216.[刍童]“刍童”是中国古代的一个数学名词,关于“刍童”体积计算的描述,《九章算术》注曰:“倍上袤,下袤从之.亦倍下袤,上袤从之.各以其广乘之,并,以高若深乘之,皆六而一.”其计算方法是:将上底面的长乘二,与下底面的长相加,再与上底面的宽相乘;将下底面的长乘二,与上底面的长相加,再与下底面的宽相乘;把这两个数值相加,与高相乘,再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形,上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,则该“刍童”的体积的最大值为()A. B. C.39 D.7.[割圆术]刘徽(约公元225年—295年)是魏晋期间伟大的数学家,是中国古典数学理论的奠基人之一.他提出的“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”(即割圆术)蕴含了极限思想.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(图2 - 4为n=9时的情形),当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想,得到sin 2°的近似值为()图2 - 4A. B.C. D.答案解析1.D易知到2029年,中华人民共和国成立80周年.从1949年到2029年经过80年,且1949年为“己丑”年,80÷10=8,则2029年对应的天干为己;80÷12=6……8,则2029年对应的地支为酉.故选D.【试题评析】本题以我国独有的传统文化为背景命制,体现了周期在实际生活中的应用.2.A设x+y=m+2 019,则f (x)+f (y)=.所以f (1)+f (2)+f (3)+…+f (m+2 018)={[f (1)+f (m+2 018)]+[f (2)+f (m+2 017)]+…+[f (m+2 018)+f (1)]}=(m+2 018)=.故选A.【试题评析】本题以高斯算法为背景命制,传承了经典的数学文化.3.A解法一设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数依次是a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,公差为d,根据题意可得即解得所以丙所分钱数a3=a1+2d=34(文),丁所分钱数a4=a1+3d=31(文),故选A.解法二依题意,设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为a - 3d,a - 2d,a - d,a,a+d,a+2d,a+3d,则解得所以丙所分钱数为a - d=34(文),丁所分钱数为a=31(文),故选A.4.B设圆柱的底面半径为r,用平行于圆柱底面的平面截圆柱和鲁班锁中间横向最长木条,截面如图D 2 - 1所示,图D 2 - 1记截面圆的圆心为O,连接OA,过点O作OC⊥AB于点C,则OA2=OC2+AC2,即r2=()2+()2=,所以该圆柱形容器的体积的最小值为πr2·5=π,故选B.5.C根据题意得,幻方对角线上的数成等差数列,则根据等差数列的性质可知对角线上的首尾两个数相加恰好等于1+n2.根据等差数列的求和公式得N n=,则N9==369.故选C.【试题评析】幻方又称为魔方,它最早起源于我国,宋代数学家杨辉称之为纵横图.本题借助幻方考查等差数列的性质及求和公式.6.B设下底面的长为x(≤x<9),则下底面的宽为=9 - x.由题可知上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,所以其体积V=3×[(3×2+x)×2+(2x+3)(9 - x)]= - x2+,故当x=时,体积取得最大值,最大值为- ()2+.故选B.7.A将一个单位圆等分成180个扇形,则每个扇形的圆心角度数均为2°.因为这180个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积,所以1801×1×sin 2°=90sin 2°≈π,所以sin 2°≈,所以选A.专项2 析情境·数学应用1.[2019郑州国际马拉松赛]“郑州银行杯”2019郑州国际马拉松赛于10月13日上午鸣枪开赛.马拉松是一项历史悠久的长跑运动,全程约42千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验,专业的马拉松运动员经过长期的训练,跑步时的步幅(一步的距离)一般略低于自身的身高,若某运动员跑完一次全程马拉松用了2.5时,则他平均每分的步数可能为()A.60B.120C.180D.2402.[中国高铁]2008年8月,我国第一条高速铁路——京津城际铁路开通运营.近年来,中国高铁成为中国铁路旅客运输的主渠道,中国高铁的安全可靠性和运输效率世界领先.图 3 - 1是2013—2018年全国高铁旅客运输量及增速的统计图.则下面结论中不正确的是()图3 - 1A.2016年旅客运输量增速超过14%B.旅客运输量增速最大的是2014年C.2016—2018年旅客运输量减少D.2016—2018年旅客运输量逐年增长3.[垃圾分类]垃圾分类,一般指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运,从而转变成公共资源的一系列活动的总称.分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值,力争物尽其用.为响应国家号召,各地区采取多种措施推行此项活动.某商家设计了一种新式分类垃圾桶,它是长方体状,高为0.5米,长和宽之和为2.4米,现用铁皮制作该垃圾桶,要使得这个垃圾桶的容量最大(不考虑损耗),若不考虑桶盖,则需要耗费铁皮的面积为()A.2.4平方米B.3平方米C.3.84平方米D.5.28平方米4.[黄金三角形]17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:“几何学里有两件宝,一件是勾股定理,另一件是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如,如图3 - 2所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,图3 - 2在其中一个黄金三角形ABC中,.根据这些信息,可得sin 234°=()A. B. - C. - D. -5.2019年3月10日,长征三号乙运载火箭托举“中星6C”卫星成功发射升空.这一刻,中国长征系列运载火箭的发射次数刷新为“300”.长征系列运载火箭实现第一个“百发”用了37年,第二个“百发”用了不到8年,第三个“百发”用时仅4年多.已知在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:米/秒)和燃料的质量M(单位:千克)、火箭(除燃料外)的质量m(单位:千克)的函数关系式是v=2 000·ln(1+).当燃料质量是火箭质量的倍时,火箭的最大速度可达12 000米/秒.6.[爱国主义教育活动]某学校开展爱国主义教育活动,要在6名男生和3名女生中选出5名学生参加关于庆祝新中国成立70周年阅兵式知识的初赛,要求每人回答一个问题,答对得2分,答错得0分.已知6名男生中有2人所有题目都不会答,只能得0分,其余4人可保证得2分;3名女生每人得2分的概率均为.现选择2名男生和3名女生,每人答一题,则所选队员得分之和为6分的概率为.7.[2020洛阳市第一次联考]水车在古代是进行灌溉引水的工具,是中国古代劳动人民的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征,图3 - 3是一个半径为R的水车的示意图,一个水斗从点A(3, - 3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒,经过t秒后,水斗旋转到点P,设点P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f (t)=R sin(ωt+φ)(t≥0,ω>0,|φ|<),则下列叙述正确的是.(填序号)图3 - 3①R=6,ω=,φ= - ;②当t∈[35,55]时,点P到x轴的距离的最大值为6;③当t∈[10,25]时,函数y=f (t)单调递减;④当t=20时,|PA|=6.答案解析1.C2.5时=150分,42千米=42 000米,故该运动员每分的路程为=280(米),由题意及选项知,若每分的步数为180,则其步幅为≈1.56(米),符合题意.若每分的步数为60,则其步幅为≈4.67(米),不合题意,同理,当每分的步数分别为120,240时,也不合题意.故选C.【素养落地】试题侧重考查数据处理、运算求解能力及应用意识,提升了考生的逻辑推理、数据分析、数学抽象及数学运算等核心素养.2.C根据题图中的曲线,通过计算可得A,B正确;题图中的柱状图表示全国高铁旅客运输量,根据数据得C错误,D正确.故选C.3.C设长和宽分别为x米,y米,则该垃圾桶的体积V=0.5xy米3,而0.5xy≤0.5×()2=0.72,当且仅当x=y=1.2时取等号,此时所需耗费铁皮的面积为1.2×1.2+0.5×1.2×4=3.84(米2),故选C. 【素养落地】试题以生活中的垃圾分类为背景,考查空间几何体的表面积,侧重考查运算求解能力、空间想象能力及应用意识,考查了考生的数学抽象、直观想象及数学运算等核心素养.4.C解法一由题可知∠ACB=72°,且cos 72°=,cos 144°=2cos272°- 1= - ,则sin 234°=sin(144°+90°)=cos 144°= - .故选C.解法二由正弦定理得,即,得cos 36°=,则sin 234°=sin(270° - 36°)= - cos 36°= - .故选C.解法三如图D 3 - 1,取BC的中点为D,连接AD,图D 3 - 1由题意知∠BAC=36°,AB=AC,∴∠BAD=∠CAD=18°,AD⊥BC,∵,∴sin∠CAD=,即sin 18°=,∴sin 234°=sin(270° - 36°)= - cos 36°= - (1 - 2sin218°)=2sin218° - 1=2×()2 - 1= - .故选C.【素养落地】试题考查三角函数求值,侧重考查推理论证能力、运算求解能力,考查了考生的逻辑推理、数学抽象等核心素养.5.e6 - 1∵v=2 000·ln(1+),又火箭的最大速度可达12 000米/秒,∴12 000=2 000·ln(1+),可得ln(1+)=6,1+=e6,解得=e6 - 1.【素养落地】试题考查函数的应用,侧重考查运算求解能力、数据处理能力及应用意识,考查了考生的数学抽象、数学运算等核心素养.6.由题意知,得分之和为6分有以下三种情况:“男生得0分,女生得6分”,设为事件A;“男生得2分,女生得4分”,设为事件B;“男生得4分,女生得2分”,设为事件C.P(A)=()3=;P(B)=()2×()1=;P(C)=()1×()2=.故所选队员得分之和为6分的概率P=P(A)+P(B)+P(C)=.7.①②④由题意可知函数f (t)的最小正周期T=60,所以=60,解得ω=,又从点A(3, - 3)出发,所以R=6,6sin φ= - 3,又|φ|<,所以φ= - ,故①正确;y=6sin(t- ),当t∈[35,55]时,t-∈[π,],则sin(t - )∈[ - 1,0],y∈[ - 6,0],点P到x轴的距离为|y|,所以点P到x轴的距离的最大值为6,故②正确;当t∈[10,25]时,t - ∈[,],所以函数y=6sin(t - )在[10,25]上不单调,故③不正确;当t=20时,t- ,则y=6sin=6,且x=6cos=0,所以P(0,6),则|PA|==6,故④正确.综上,正确的是①②④.专项3 重应用·数学建模1. [解三角形模型]如图5 - 1,图5 - 1为了测量A,B两点间的距离,观察者找到在同一直线上的三点C,D,E.从D点测得∠ADC=67.5°,从C点测得∠ACD=45°,∠BCE=75°,从E点测得∠BEC=60°.若测得DC=2km,CE=km,则A,B两点间的距离为()A.kmB.2kmC.3 kmD.2km2.[古典概型]古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了“完全数”(完全数,即它所有的真因子的和恰好等于它本身)6和28,后人进一步研究发现后续3个“完全数”分别为496,8 128,33 550 336.现将这5个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个,则6和28恰好在同一组的概率为()A.B.C.D.3.[构建长方体模型]已知m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,有下列四个命题:①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;②若m∥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;③若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n.其中正确的命题是()A.①④B.②④C.①③D.④4.[多选题]在正四面体ABCD中,已知E,F分别是AB,CD上的动点(不含端点),则下列说法不正确的是()。

2021新高考新题型——数学多选题专项练习(1)(含答案解析)2021新高考新题型——数学多选题专项练（1）一、多选题1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是线段AB，CC1的中点，△MB1P的顶点P在棱CC1与棱C1D1上运动，有以下四个命题，其中正确的命题是() A。

平面MB1P⊥ND1B。

平面MB1P⊥平面ND1A1C。

△MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值D。

△MB1P在侧面DD1C1C上的射影图形是三角形2.下列说法正确的是()A。

“若a>1，则a^2>1”的否命题是“若a>1，则a<=1”B。

“若a<b，则am^2<bm^2”的逆命题为真命题C。

“若sinα≠1/π，则α≠π/2”是真命题D。

在命题“若p，则q”的否命题、逆命题、逆否命题中真命题的个数最多是3个3.设抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F。

点M在y轴上，若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为32，则点M的坐标为()A。

(0,-4)B。

(0,-2)C。

(0,2)D。

(0,4)4.抛物线E:x^2=4y与圆M:x^2+(y-1)^2=16交于A、B两点，圆心M(0,1)，点P为劣弧AB上不同于A、B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则△PMN的周长的可能取值是()A。

8B。

8.5C。

9D。

105.下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP的图形是()A。

B。

C。

D。

6.在空间中，给出下面四个命题，则其中不正确的命题为()A。

过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直B。

若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α//βC。

若直线1与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥αD。

两条异面直线在同一平面内的射影可以是两条平行线7.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，下面结论正确的是()A。

专项突破 新高考·新题型专练一、多项选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 1.已知集合M ={0,1,2},N ={x ||x - 1|≤1},则 ( ) A.M =N B.N ⊆M C.M ∩N =M D.(∁R M )∪N =R 2.已知i 为虚数单位,则下列结论正确的是 ( )A .复数z =1+2i 1-i的虚部为32B .复数z =2+5i -i的共轭复数z -= - 5 - 2iC .复数z =12 − 12i 在复平面内对应的点位于第二象限 D .若复数z 满足1z ∈R ,则z ∈R3.采购经理指数(简称PMI )是国际上通行的宏观经济监测指标体系之一,对国家经济活动的监测和预测具有重要作用.制造业PMI 在50%以上,通常反映制造业总体扩张,低于50%,通常反映制造业总体衰退.如图1 - 1是2018年10月到2019年10月我国制造业PMI 的统计图,下列说法正确的是( )图1 - 1A.大部分月份制造业总体衰退B.2019年3月制造业总体扩张最大C.2018年11月到2019年10月中有3个月的PMI 比上月增长D.2019年10月的PMI 为49.3%,比上月下降0.5个百分点 4.已知函数f (x )={x 2,x ≤0,-x 2,x >0,则下列结论中正确的是( )A.f ( - 2)=4B.若f (m )=9,则m =±3C.f (x )是偶函数D.f (x )在R 上单调递减5.已知(ax 2+√x )n (a >0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式中各项系数之和为1 024,则下列说法正确的是( )A.展开式中奇数项的二项式系数之和为256B.展开式中第6项的系数最大C.展开式中存在常数项D.展开式中含x 15项的系数为456.已知向量a =(1,2),b =(m ,1)(m <0),且满足b ·(a +b )=3,则 ( )A.|b |=√2B.(2a +b )∥(a +2b )C.向量2a - b 与a - 2b 的夹角为π4 D.向量a 在b 方向上的投影为√557.已知函数f (x )=sin (2x - π6),下列结论正确的是 ( )A.f (x )的最小正周期是πB.f (x )=12是x =π2的充分不必要条件C.函数f (x )在区间(π3,5π6)上单调递增D.函数y =|f (x )|的图象向左平移π12个单位长度后所得图象的对称轴方程为x =k4π(k ∈Z ) 8.同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次,记事件A ={第一个四面体向下的一面出现偶数},事件B ={第二个四面体向下的一面出现奇数},事件C ={两个四面体向下的一面同时出现奇数,或者同时出现偶数}.则下列说法正确的是 ( )A.P (A )=P (B )=P (C )B.P (AB )=P (AC )=P (BC )C.P (ABC )=18 D.P (A )P (B )P (C )=189.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且x >0时,f (x )=(x - 2)e x ,则下列结论正确的是 ( ) A .f (x )>0的解集为( - 2,0)∪(2,+∞) B .当x <0时,f (x )=(x +2)e - x C .f (x )有且只有两个零点D .∀x 1,x 2∈[1,2],|f (x 1) - f (x 2)|≤e10.设圆A :x 2+y 2 - 2x - 3=0,则下列说法正确的是 ( ) A.圆A 的半径为2B.圆A 截y 轴所得的弦长为2√3C.圆A 上的点到直线3x - 4y +12=0的最小距离为1D.圆A 与圆B :x 2+y 2 - 8x - 8y +23=0相离11.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,C 为钝角,且c - b =2b cos A ,则下列结论中正确的是( )A.a 2=b (b +c )B.A =2BC.0<cos A <12D.0<sin B <1212.设f ' (x )是函数f (x )的导函数,若f ' (x )>0,且∀x 1,x 2∈R (x 1≠x 2),f (x 1)+f (x 2)<2f (x 1+x 22),则下列各项中正确的是 ( )A.f (2)<f (e )<f (π)B.f ' (π)<f ' (e )<f ' (2)C.f ' (2)<f (3) - f (2)<f ' (3)D.f ' (3)<f (3) - f (2)<f ' (2)13.已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列,{b n }是公差不为0的等差数列,且a 2=b 2,a 8=b 8,则( )A.a 5=b 5B.a 5<b 5C.a 4<b 4D.a 6>b 6 14.[2020山东省统考]如图1 - 2,正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E ,F ,G 分别为BC ,CC 1,BB 1的中点,则( )图1 - 2A .直线D 1D 与直线AF 垂直B .直线A 1G 与平面AEF 平行C .平面AEF 截正方体所得的截面面积为98 D .点C 与点G 到平面AEF 的距离相等15.已知矩形ABCD ,AB =1,BC =√3,将△ADC 沿对角线AC 进行翻折,得到三棱锥D - ABC ,则在翻折的过程中,下列结论正确的是 ( )A.三棱锥D - ABC 的体积的最大值为13B.三棱锥D - ABC 的外接球的体积不变C.三棱锥D - ABC 的体积最大时,二面角D - AC - B 的大小是60°D.异面直线AB 与CD 所成角的最大值为90°16.已知椭圆x 23+y 26=1上有A ,B ,C 三点,其中B (1,2),C ( - 1, - 2),tan ∠BAC =92,则下列说法正确的是( )A.直线BC 的方程为2x - y =0B.k AC =12或4C.点A 的坐标为( - 19,229) D.点A 到直线BC 的距离为4√5917.在数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,a 3=3,a n +3+( - 1)n a n +1=1(n ∈N *),数列{a n }的前n 项和为S n ,则下列结论正确的是( )A.数列{a n }为等差数列B.a 18=10C.a 17=3 D .S 31=14618.过抛物线y 2=3x 的焦点f 的直线与抛物线交于A (x 1,y 1)(y 1>0),B (x 2,y 2)两点,点A ,B 在抛物线准线上的射影分别为A 1,B 1,直线AO 交准线于点M (O 为坐标原点),则下列说法正确的是( )A.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0B.∠A 1F B 1=90°C.直线MB ∥x 轴D.|AF |·|BF |的最小值是94二、双空题.19.已知函数g (x )=2sin [ω(x +π12)](ω>0)的图象是由函数f (x )的图象先向左平移π6个单位长度,再将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)得到的.若f (x )的最小正周期为π,则f (x )= ;若函数f (x )在区间[0,π6]上单调递增,在区间[π6,π3]上单调递减,则实数ω的值为 .20.如图1 - 3,在平面四边形ABCD 中,E ,F 分别为边CD ,AD 上的点,△DEf 为等边三角形,CE =Ef ,且∠ABC =π3,AE =√13,AF =3,则AC = ,△ABC 面积的最大值为 .图1 - 321.[2020长春市第一次质量监测]已知数列{a n }的前n 项和为S n ,满足a 1= - 12,且a n +a n +1=2n 2+2n (n ∈N *),则S 2n = , a n = .22.[2019北京市顺义区第二次统考]已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点和双曲线x 2 - y 23=1的右焦点F 2重合,则抛物线的方程为 ;P 为抛物线和双曲线的一个公共点,则点P 与双曲线左焦点F 1之间的距离为 .23.设函数f (x )(x ∈R )的导函数为f ' (x ),f (0)=2 020,且f ' (x )=f (x ) - 2,则f (x )= ,f (x )+4 034>2f ' (x )的解集是 .24.如图1 - 4,在棱长均为3的正四棱锥P - ABCD 中,E ,F ,G ,H 分别是PA ,PB ,PC ,PD 上异于端点的点,且平面EF GH 与平面ABCD 平行,S 为AC 和BD 的交点,当四棱锥S - EFGH 的体积最大时,PEPA = ,此时四棱锥S - EFGH 外接球的表面积为 .图1 - 4答案及解析1.CD由|x - 1|≤1得0≤x≤2,即N=[0,2],又M={0,1,2},所以M∩N=M,M⊆N,(∁R M)∪N=R,故选CD.2.ABD对于A,z=1+2i1-i =(1+2i)(1+i)(1-i)(1+i)= - 12+32i,其虚部为32,故A正确;对于B,z=2+5i-i=(2+5i)i= - 5+2i,故z= - 5 - 2i,故B正确;对于C,z=12 − 12i在复平面内对应的点的坐标为(12,-12),位于第四象限,故C不正确;对于D,设z=a+b i(a,b∈R),则1z =1a+bi=a-bia2+b2,又1z∈R,则b=0,所以z=a∈R,故D正确.故选ABD.3.ABD根据折线图可知,大部分月份制造业总体衰退,A正确;2019年3月制造业总体扩张最大,B正确;2018年11月到2019年10月中有4个月的PMI比上月增长,C错误;2019年10月的PMI为49.3%,比上月下降0.5个百分点,D正确.故选ABD.4.AD由于- 2<0,所以f ( - 2)=( - 2)2=4,故A选项正确;由f (m)=9>0知m≤0,且m2=9,因此m= - 3,故B选项错误;由f (x)的图象(图略)可知f (x)是奇函数,且在R上单调递减,故C选项错误,D选项正确.故选AD.5.BCD因为(ax2+√)n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,所以C n4=C n6,解得n=10.因为展开式中各项系数之和为1 024,所以令x=1,得(a+1)10=1 024,解得a=1.故给定的二项式为(x2+√)10,其展开式中奇数项的二项式系数之和为12×210=512,故A不正确.由n=10可知二项式系数最大的项是展开式的第6项,而(x2+√x)10的展开式的系数与对应的二项式系数相等,故B 正确.展开式的通项公式为T k +1=C 10k (x 2)10 - k ·(√)k =C 10k x 20 -5k 2(k =0,1,2,…,10),令20 - 5k2=0,解得k =8,即常数项为第9项,故C 正确.令20 - 5k2=15,得k =2,故展开式中含x 15项的系数为C 102=45,故D 正确.故选BCD .6.AC 将a =(1,2),b =(m ,1)代入b ·(a +b )=3,得(m ,1)·(1+m ,3)=3,即m 2+m =0,解得m = - 1或m =0(舍去),所以b =( - 1,1),所以|b |=√(-1)2+12=√2,故A 正确;因为2a +b =(1,5),a +2b =( - 1,4),1×4 - ( - 1)×5=9≠0,所以2a +b 与a +2b 不平行,故B 错误;设向量2a - b 与a - 2b 的夹角为θ,易知2a -b =(3,3),a - 2b =(3,0),所以cos θ=(2a -b)·(a -2b)|2a -b||a -2b|=√22,所以θ=π4,故C 正确;向量a 在b 方向上的投影为a ·b |b |=√=√22,故D 错误.故选AC.7.AD 对于A ,由最小正周期T =2πω=2π2=π知A 正确;对于B ,由f (x )=12得2x - π6=2k π+π6(k ∈Z )或2x - π6=2k π+5π6(k ∈Z ),即x =k π+π6(k ∈Z )或x =k π+π2(k ∈Z ),可知f (x )=12是x =π2的必要不充分条件,B 不正确;对于C ,由π3<x <5π6得π2<2x - π6<3π2,因为y =sin x 在(π2,3π2)上单调递减,故C 不正确;对于D ,y =|f (x )|的图象向左平移π12个单位长度得y =|sin [2(x +π12) - π6]|=|sin 2x |的图象,由y =|sin x |的图象的对称轴为直线x =kπ2(k ∈Z )得y =|sin 2x |的图象的对称轴为直线x =kπ4(k ∈Z ),D 正确.故选AD .8.ABD 由古典概型的概率计算公式,得P (A )=P (B )=24=12,P (C )=84×4=12,所以P (A )=P (B )=P (C )=12,A正确;P (A )P (B )P (C )=18,D 正确;而事件A ,B ,C 不可能同时发生,故P (ABC )=0,所以C 不正确;又P (AB )=2×24×4=14,P (AC )=2×24×4=14,P (BC )=2×24×4=14,所以P (AB )=P (AC )=P (BC ),B 正确.故选ABD .9.ABD 当x >0时,f (x )<0的解集为(0,2),f (x )>0的解集为(2,+∞),由f (x )为奇函数可知选项A 正确;当x <0时,f (x )= - f ( - x )= - ( - x - 2)e - x =(x +2)e - x ,选项B 正确;当x >0时,x =2为f (x )的零点,又f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (0)=0,f ( - 2)=0,故f (x )有且只有三个零点,选项C 错误;当x >0时,f ' (x )=(x - 1)e x ,故f (x )在[1,2]上单调递增,所以f (x )min =f (1)= - e ,f (x )max =f (2)=0,所以|f (x 1) - f(x2)|≤f (x)max - f (x)min=e,选项D正确.故选ABD.10.ABC把圆A的方程x2+y2 - 2x - 3=0化成标准方程,为(x - 1)2+y2=4,所以圆A的圆心坐标为(1,0),半径为2,A正确;圆A截y轴所得的弦长为2×√4-1=2√3,B正确;圆心(1,0)到直线3x-4y+12=0的距离为3,故圆A上的点到直线3x- 4y+12=0的最小距离为3 - 2=1,C正确;易知圆B:x2+y2 - 8x - 8y+23=0的圆心为(4,4),半径为3,根据√(4-1)2+42=5可知,圆A与圆B相切,D错误.故选ABC.11.ABD因为c - b=2b cos A,所以由余弦定理得c - b=2b·b2+c2-a22bc,所以c(c - b)=b2+c2 - a2,整理得a2=b(b+c),故A选项正确;因为c- b=2b cos A,所以由正弦定理得sin C- sin B=2sin B cos A,即sin(A+B) - sin B=2sin B cos A,所以sin A cos B - sin B cos A=sin B,即sin(A - B)=sin B,由于C是钝角,所以A- B=B,即A=2B,故B选项正确;由于A=2B,且C>90°,所以0°<A<60°,0°<B<30°,因此12<cosA<1,0<sin B<12,故C选项错误,D选项正确.故选ABD.12.ABD由f ' (x)>0知,f (x)在R上单调递增,则f (2)<f (e)<f (π),故A正确;∀x1,x2∈R(x1≠x2),恒有f (x1)+f (x2)<2f (x1+x22),即f(x1)+f(x2)2<f (x1+x22),所以y=f (x)的图象是向上凸起的,如图D 1 - 1所示,图D 1 - 1由导数的几何意义知,随着x的增加,f (x)的图象越来越平缓,即切线斜率越来越小,所以 f ' (π)<f ' (e)<f ' (2),故B正确;因为k AB=f(3)-f(2)3-2=f (3)–f (2),所以由图易知f ' (3)<k AB<f ' (2),故D正确,C错误.故选ABD.13.BC解法一设{a n}的公比为q(q>0),{b n}的公差为d(d≠0).a5=√a2a8=√b2b8,b5=b2+b82,由基本不等式得√b2b8≤b2+b82,当且仅当b2=b8时等号成立,易知数列{b n}不是常数列,故B正确,A错误.因为a2q6=a8=b8=b2+6d=a2+6d,所以d=a2(q6-1)6,所以a4 - b4=a2q2 - a2 - 2d=a2(q2 - 1 - q6-13)=a23(3q2 - q6- 2)=a23(q2 - q6+2q2 - 2)=a23(1 - q2)(q4+q2 - 2)= - a23(1 - q2)2(q2+2)<0,a6 - b6=a2q4 - a2 - 4d=a23(3q4 - 1 -2q6)= - a23(1 - q2)2(2q2+1)<0,所以a4<b4,a6<b6,故C正确,D错误.故选BC.解法二设{a n}的公比为q(q>0),{b n}的公差为d(d≠0).a n=a1q n - 1=a1q·q n,b n=b1+(n- 1)d=b1- d+nd,将其分别理解成关于n的指数函数乘以正数a1q(指数函数的图象为下凹曲线)和一次函数(一次函数的图象为直线),则两函数图象分别在n=2,n=8处相交,故当3≤n≤7时,a n<b n,从而a4<b4,a5<b5,a6<b6.故选BC.14.BC假设D1D⊥AF,易知DD1⊥AE,所以D1D⊥平面AEF,又D1D⊥平面ABCD,所以平面AEF∥平面ABCD,显然不正确,故选项A不正确;连接AD1,D1F,易知EF∥AD1,所以平面AEF即平面AEFD1,又A1G∥D1F,所以A1G∥平面AEFD1,所以选项B正确;平面AEF截正方体所得的截面为梯形AEFD1,EF=√22,AD1=√2,梯形的高为√2√4=3√24,所以其面积为√2+√222×3√24=98,故选项C正确;连接CG交EF于点H,显然H不是CG的中点,所以C,G到平面AEF的距离不相等,故选项D不正确.故选BC.15.BD对于A,三棱锥D- ABC的体积V D- ABC=13S△ABC·h(h为点D到平面ABC的距离),S△ABC=12×1×√3=√32,所以当h最大时,三棱锥D - ABC的体积取得最大值,又当平面ADC⊥平面ABC时,h最大,为√32,此时V D- ABC=13×√32×√32=14,故A错误;对于B,设AC的中点为O,连接OB,OD,则OA=OB=OC=OD,所以O为三棱锥D - ABC的外接球的球心,则外接球的半径为12AC=1,所以外接球的体积为43π,翻折的过程中,三棱锥D - ABC的外接球的体积不变,故B正确;对于C,三棱锥D - ABC的体积最大时,平面ADC⊥平面ABC,所以此时二面角D - AC - B的大小是90°,故C错误;对于D,当△ADC沿对角线AC翻折到点D与点B的距离为√2,即BD=√2时,在△BCD 中,BC2=BD2+CD2,所以CD⊥BD,又CD⊥AD,BD∩AD=D,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB,即异面直线AB与CD所成角的最大值为90°,故D正确.故选BD.16.AD设A(x A,y A),直线AB,AC的倾斜角分别为θ1,θ2,不妨记θ1>θ2,由tan∠BAC=92>0,知∠BAC <π2,则数形结合易知当θ1 - θ2=∠BAC 时,才能满足题意,故tan (θ1 - θ2)=92,即kAB-k AC1+kAB ·k AC=92,又k AB ·k AC =y A -2x A-1·y A +2x A+1=y A2-4x A2-1=6-2x A 2-4x A 2-1= - 2,所以k AB - k AC = - 92,结合k AB ·k AC = - 2,解得{k AC =4,k AB =-12或{k AC =12,k AB =-4.而当{k AC =12,k AB =-4时,数形结合易知∠BAC ≠θ1 - θ2,且∠BAC >π2,故舍去.当{k AC =4,k AB =-12时,直线AC 、直线AB 的方程分别为y +2=4(x +1),y - 2= - 12(x - 1),可得A (19,229).由椭圆的对称性可知:当θ1<θ2时,同理可得{k AC =-12,k AB =4,A ( - 19, - 229),故B ,C 错误.易得直线BC 的方程为2x - y =0,故当点A为(19,229)时,点A 到直线BC 的距离为|29-229|√5=4√59,当点A 为( - 19, - 229)时,点A 到直线BC 的距离也为4√59.故A ,D 正确,选AD .17.BD 依题意得,当n 是奇数时,a n +3 - a n +1=1,即数列{a n }中的偶数项构成以a 2=2为首项、1为公差的等差数列,所以a 18=2+(9 - 1)×1=10.当n 是偶数时,a n +3+a n +1=1,所以a n +5+a n +3=1,两式相减,得a n +5=a n +1,即数列{a n }中的奇数项从a 3开始,每间隔一项的两项相等,即数列{a n }的奇数项呈周期变化,所以a 17=a 4×3+5=a 5.在a n +3+a n +1=1中,令n =2,得a 5+a 3=1,因为a 3=3,所以a 5= - 2,所以a 17= - 2.在数列{a n }中,a 3+a 5=1,a 7+a 9=1,…,a 27+a 29=1,a 31=a 4×7+3=a 3=3,偶数项构成以a 2=2为首项、1为公差的等差数列,所以S 31=1+7+3+15×2+15×(15-1)2=146.故选BD.18.BCD 由题意可知,抛物线y 2=3x 的焦点F 的坐标为(34,0),准线方程为x = - 34.易知直线AB 的斜率不为0,设直线AB 的方程为x =my +34,代入y 2=3x ,得y 2 - 3my - 94=0,易知Δ>0,所以y 1+y 2=3m ,y 1y 2= - 94,则x 1x 2=(my 1+34)(my 2+34)=916,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)·(x 2,y 2)= x 1x 2+ y 1y 2=916 − 94= - 2716≠0,所以A不正确;因为A (y 123,y 1),O (0,0), M ( - 34,y M )三点共线,所以y1y 123=y M -34,所以y 1y M = - 94,又y 1y 2= - 94,所以y M =y 2,所以直线MB ∥x 轴,所以C 正确;易知A 1,B 1的坐标分别为( - 34,y 1),( - 34,y 2),所以FA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( - 34 − 34,y 1)·( - 34 − 34,y 2)=94+ y 1 y 2=94 − 94=0,所以∠A 1FB 1=90°,所以B 正确;设直线AB 的倾斜角为θ(θ≠0) ,则|AF |=321-cosθ,|BF |=321+cosθ,所以|AF |·|BF |=321-cosθ·321+cosθ=94sin 2θ≥94,当且仅当AB ⊥x 轴时取等号,所以D 正确.故选BCD .19. sin(2x - π6)6因为函数g(x)=2sin[ω(x+π12)](ω>0)的图象是由函数f (x)的图象先向左平移π6个单位长度,再将所得图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)得到的,所以 f(x)=sin[ω(x - π12)].①若f (x)的最小正周期为π,则f (x)=sin(2x - π6).②若函数f (x)在区间[0,π6]上单调递增,在区间[π6,π3]上单调递减,则有f (π6)=sinωπ12=1,且2πω≥π3,结合ω>0,得ω=6.20.2√33√3在△AEF中,易知∠AFE=2π3,又AF=3,AE=√13,由余弦定理得(√13)2=32+EF2-2×3×EF×cos 2π3,可得EF=1.所以CE=DE=DF=EF=1,AD=4,CD=2.又∠ADC=π3,所以在△ACD中,由余弦定理得AC2=42+22- 2×4×2×cos π3=12,得AC=2√3.解法一设∠ACB=θ,则∠BAC=π - π3- θ=2π3- θ,所以在△ABC中,由正弦定理得ABsin∠ACB=BC sin∠BAC =ACsin∠ABC=4,所以AB=4sin θ,BC=4sin(2π3- θ),于是△ABC的面积S△ABC=12AB·BC sin π3=4√3sinθsin(2π3- θ)=4√3sin θ(√32cos θ+12sin θ)=2√3(√32sin 2θ- 12cos 2θ+12)=2√3sin(2θ- π6)+√3,则当2θ -π6=π2,即θ=π3时,S△ABC取得最大值,为3√3.解法二在△ABC中,cos∠ABC=BC2+AB2-AC22BC·AB ,结合基本不等式,得12=BC2+AB2-122BC·AB≥2BC·AB-122BC·AB,化简得BC·AB≤12(当且仅当AB=BC时取等号),所以△ABC的面积S△ABC=12BC·AB·sin∠ABC≤12×12×√32=3√3,即△ABC面积的最大值为3√3.21.2n2n+1( - 1)n+1n(n+1)因为a n+a n+1=2n2+2n=1n− 1n+2,所以S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n - 1+a2n=1 - 13+1 3 − 15+…+12n-1− 12n+1=1 - 12n+1=2n2n+1.因为a n+a n+1=2n2+2n ,所以a n+1=2n2+2n- a n.又a1= - 12=11×2- 1,所以a2=23+12=76=12×3+1,a3=22×4− 76=- 1112=13×4- 1,a4=23×5+1112=2120=14×5+1,…,归纳可得,a n=( - 1)n+1n(n+1).22.y2=8x7易知双曲线x2 - y23=1的右焦点F2的坐标为(2,0),左焦点F1的坐标为( - 2,0),则抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(2,0),则p2=2,解得p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.设点P 的坐标为(x 0,y 0),易知x 0>0,由{y 2=8x,x 2-y 23=1得3x 2 - 8x - 3=0,解得x 0=3,则P (3,2√6)或P (3, - 2√6),则点P 与双曲线左焦点F 1( - 2,0)之间的距离为√[3-(-2)]2+(0±2√6)2=7.23.2+2 018e x ( - ∞,ln 2) 令h (x )=f(x)-2e x ,则h' (x )=f '(x)e x -[f(x)-2]e x (e x )=f '(x)-f(x)+2e x , 又f ' (x )=f (x ) - 2,∴h' (x )=0,故h (x )为常数函数.设h (x )=c ,则f(x)-2e x =c ,∴f (x )=2+c e x .∵f (0)=2 020,∴f (0)=2+c =2020,∴c =2 018,故f (x )=2+2 018e x ,f ' (x )=2 018e x .由f (x )+4 034>2f ' (x ),得4 036+ 2 018e x >2×2 018e x ,故e x <2,故x <ln 2.24.23 25π2 因为平面EFGH 与平面ABCD 平行,易知四边形EFGH 与四边形ABCD 相似,所以四边形EFGH 是正方形.设PE PA =x (0<x <1),则S 正方形EFGHS 正方形ABCD =x 2,易知四棱锥S - EFGH 与四棱锥P - ABCD 的高的比值为1 - x ,设V 四棱锥P - ABCD =V 0,则V 四棱锥S - EFGH =x 2(1 - x )V 0.设f (x )=x 2(1 - x )(0<x <1),则f ' (x )=2x - 3x 2,则当0<x <23时,f ' (x )>0,函数f (x )单调递增,当23<x <1时,f ' (x )<0,函数f (x )单调递减,所以当x =23,即PE PA =23时,f (x )取得最大值,此时V 四棱锥S - EFGH 取得最大值.此时,连接PS ,FH ,EG ,设FH 与EG 交于点M ,易知点M 在PS 上,且EF =2,SM =√22,HM =√2.设四棱锥S - EFGH 的外接球的球心为O ,半径为R ,易知点O 在直线PS 上,连接OH ,易知点O 在四棱锥S - EFGH 的外部,则(R -√22)2+(√2)2=R 2,解得R =5√24,所以四棱锥S - EFGH 的外接球的表面积为4πR 2=25π2.。

2021新高考新题型——数学多选题专项练习（4）一、多选题1． 我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点，则直线:(l y kx b =+ ) A ．存在k ，b R ∈使得直线l 上无整点B ．存在k ，b R ∈使得直线l 上恰有一个整点C ．存在k ，b R ∈使得直线l 上恰有两个整点D ．存在k ，b R ∈使得直线l 上有无数个整点2． 已知实数a ，b 满足0a >，0b >，1a ≠，1b ≠，且lgb x a =，lga y b =，lga z a =，lgb w b =，则( )A ．存在实数a ，b ，使得x y z w >>>B ．存在a b ≠，使得x y z w ===C ．任意符合条件的实数a ，b 都有x y =D ．x ，y ，z ，w 中至少有两个大于13． 已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，下列关于函数()f x 的性质，描述正确的是( ) A ．()f x 是增函数 B ．()f x 是周期函数 C ．()f x 的值域为[0，1)D ．()f x 是偶函数 4． 正方体截面的形状有可能为( ) A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形5． 已知集合{|32A x x a b ==+，a ，}b Z ∈，{|23B x x a b ==-，a ，}b Z ∈，则( ) A ．A B ⊆B ．B A ⊆C ．A B =D ．AB =∅6． 设全集{0U =，1，2，3，4}，集合{0A =，1，4}，{0B =，1，3}，则( ) A ．{0A B =，1} B ．{4}UB =C ．{0AB =，1，3，4}D ．集合A 的真子集个数为87． 定义“正对数”： 0011x ln x lnx x +<<⎧=⎨⎩若0a >，0b >，则下列结论中正确的是( )A ．()b ln a bln a ++=B ．()ln ab ln a ln b +++=+C ．()aln ln a ln b b+++-D ．()ln a b ln a ln b +++++E ．()2ln a b ln a ln b ln ++++++8． 如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，点C 是圆周上异于A ，B 的任一点，则下列结论中正确的是( )A ．PB AC ⊥ B ．PC BC ⊥C ．AC ⊥平面PBCD ．平面PAB ⊥平面PBCE ．平面PAC ⊥平面PBC 9． 下面说法中错误的是( )A ．经过定点0(P x ，0)y 的直线都可以用方程00()y y k x x -=-表示B ．经过定点0(P x ，0)y 的直线都可以用方程00()x x m y y -=-表示C ．经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示D ．不经过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示 E ．经过任意两个不同的点11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y 的直线都可以用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示10． 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>23，右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则有( ) A ．渐近线方程为3y x = B ．渐近线方程为3y x = C ．60MAN ∠=︒D ．120MAN ∠=︒11． 设有一组圆224:(1)()(*)C x y k k k N -+-=∈，下列四个命题正确的是( )A ．存在k ，使圆与x 轴相切B ．存在一条直线与所有的圆均相交C ．存在一条直线与所有的圆均不相交D ．所有的圆均不经过原点12． 一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD 为正方形，E 、F 分别为PB 、PC 的中点，在此几何体中，给出的下面结论中正确的有( )A ．直线AE 与直线BF 异面B ．直线AE 与直线DF 异面C ．直线//EF 平面PADD ．直线DF ⊥平面PBC13． 已知函数()2sin(2)13f x x π=-+，则下列说法正确的是( )A ．()2()6f x f x π-=-B ．()6f x π-的图象关于4x π=对称C ．若1202x x π<<<，则12()()f x f x <D ．若123,,[,]32x x x ππ∈，则123()()()f x f x f x +>14． 已知函数()2x x e e f x --=，()2x xe e g x -+=，则()f x 、()g x 满足( )A ．()()f x f x -=-，()()g x g x -=B ．(2)f f -<（3），(2)g g -<（3）C ．(2)2()()f x f x g x =D ．22[()][()]1f x g x -=15． 现有一段长度为n 的木棍，希望将其锯成尽可能多的小段，要求每一小段的长度都是整数，并且任何一个时刻，当前最长的一段都严格小于当前最短的一段长度的2倍，记对n 符合条件时的最多小段数为()f n ，则( ) A ．f （7）3=B ．f （7）4=C ．(30)6f =D ．(30)7f =16． 已知O ，A ，B ，C 为平面上两两不重合的四点，且(0)xOA yOB zOC O xyz ++=≠，则( )A ．当且仅当0xyz <时，O 在ABC ∆的外部B ．当且仅当::3:4:5x y z =时，4ABC OBC S S ∆∆= C ．当且仅当x y z ==时，O 为ABC ∆的重心D ．当且仅当0x y z ++=时，A ，B ，C 三点共线 17． 下列说法，正确的有( )A ．函数()36f x lnx x =+-的零点只有1个且属于区间(1,2)B ．若关于x 的不等式2210ax ax ++>恒成立，则(0,1)a ∈C ．函数y x =的图象与函数sin y x =的图象有3个不同的交点D ．函数sin cos sin cos ,[0,]4y x x x x x π=++∈的最小值是118． 已知x ，y ，z R ∈，且x y z π++=，则cos cos cos f x y z =++的最值情况为( ) A ．最大值为3B ．最小值为3-C ．最大值为32D ．最小值为32-19． 在数列{}n a 中，*n N ∈，若211(n n n na a k k a a +++-=-为常数），则称{}n a 为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断正确的为( ) A ．k 不可能为0B ．等差数列一定是“等差比数列”C ．等比数列一定是“等差比数列”D ．“等差比数列”中可以有无数项为02021新高考新题型——数学多选题专项练习（4）答案解析一、多选题1． 我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点，则直线:(l y kx b =+ ) A ．存在k ，b R ∈使得直线l 上无整点B ．存在k ，b R ∈使得直线l 上恰有一个整点C ．存在k ，b R ∈使得直线l 上恰有两个整点D ．存在k ，b R ∈使得直线l 上有无数个整点 【解析】解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，当1k =，13b =时，直线l 的方程为13y x =+，直线l 上无整点，A 正确；对于B ，当k 0b =时，直线l 的方程为y =，直线l 上恰有一个整点(0,0)，B 正确；对于C ，假设直线l 上恰有两个整点为1(m ，1)n 和2(m ，2)n ，则有0k ≠， 此时直线l 存在第三个整点：21(2m m -，212)n n -，C 错误；对于D ，当0k =，1b =时，直线l 的方程为1y =，直线l 上有无数个整点； 则ABD 正确； 故选：ABD ．2． 已知实数a ，b 满足0a >，0b >，1a ≠，1b ≠，且lgb x a =，lga y b =，lga z a =，lgb w b =，则( )A ．存在实数a ，b ，使得x y z w >>>B ．存在a b ≠，使得x y z w ===C ．任意符合条件的实数a ，b 都有x y =D ．x ，y ，z ，w 中至少有两个大于1【解析】解：设lga p =，lgb q =．则有10p a =，10q b =，则(10)10lgb p q pq x a ===，(10)10q p pq y ==，2(10)10p p p z ==，2(10)10q q q w ==． 所以任意符合条件的a ，b 都有x y =．C 正解，A 错误． 若a b ≠，则p q ≠，则x z ≠，B 错误．因为1a ≠，1b ≠，所以0p ≠，0q ≠，所以20p >，20q >，故1z >，且1w >，D 正确． 故选：CD ．3． 已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，下列关于函数()f x 的性质，描述正确的是( ) A ．()f x 是增函数 B ．()f x 是周期函数 C ．()f x 的值域为[0，1)D ．()f x 是偶函数【解析】解：当21x -<-时，[]2x =-，此时()[]2f x x x x =-=+． 当10x -<时，[]1x =-，此时()[]1f x x x x =-=+． 当01x <时，[]0x =，此时()[]f x x x x =-=． 当12x <时，[]1x =，此时()[]1f x x x x =-=-． 当23x <时，[]2x =，此时()[]2f x x x x =-=-． 当34x <时，[]3x =，此时()[]3f x x x x =-=-．⋯由此可得函数[][0y x x =-∈，1)，故C 正确； 函数[]y x x =-为非奇非偶函数，故A ，D 错误； 函数[]y x x =-是周期为1的周期函数，故B 正确；函数[]y x x =-在区间[0，1)上为增函数，但整个定义域为不具备单调性，故A 错； 故选：BC ．4． 正方体截面的形状有可能为( ) A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形【解析】解：画出截面图形如图：可以画出正三角形但不是直角三角形（如图1)； 可以画出正方形（如图2)经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形（如图3)；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形（如图4)； 故选：ABD ．5． 已知集合{|32A x x a b ==+，a ，}b Z ∈，{|23B x x a b ==-，a ，}b Z ∈，则( ) A ．A B ⊆B ．B A ⊆C ．A B =D ．AB =∅【解析】解：已知集合{|32A x x a b ==+，a ，}b Z ∈，{|23B x x a b ==-，a ，}b Z ∈， 若x 属于B ，则：233*(2)2*(2)x a b a b a =-=-+-； 2a b -、2a -均为整数，x 也属于A ，所以B 是A 的子集；若x 属于A ，则：322*(3)3*x a b a b =+=+-（a ）； 3a b +、a 均为整数，x 也属于B ，所以A 是B 的子集；所以：A B =， 故选：ABC ．6． 设全集{0U =，1，2，3，4}，集合{0A =，1，4}，{0B =，1，3}，则( ) A ．{0A B =，1} B ．{4}UB =C ．{0AB =，1，3，4}D ．集合A 的真子集个数为8【解析】解：全集{0U =，1，2，3，4}，集合{0A =，1，4}，{0B =，1，3}， {0AB ∴=，1}，故A 正确，{2UB =，4}，故B 错误， {0AB =，1，3，4}，故C 正确，集合A 的真子集个数为3217-=，故D 错误 故选：AC ．7． 定义“正对数”： 0011x ln x lnx x +<<⎧=⎨⎩若0a >，0b >，则下列结论中正确的是( )A ．()b ln a bln a ++=B ．()ln ab ln a ln b +++=+C ．()aln ln a ln b b+++-D ．()ln a b ln a ln b +++++E ．()2ln a b ln a ln b ln ++++++【解析】解：对于A ，由定义，当1a 时，1b a ，故()()b b ln a ln a blna +==，又bln a blna +=， 故有()b ln a bln a ++=；当01a <<时，1b a <，故()0b ln a +=，又1a <时0bln a +=，所以此时亦有()b ln a bln a ++=． 由上判断知A 正确；对于B ，此命题不成立，可令2a =，13b =，则23ab =，由定义()0ln ab +=，2ln a ln b ln +++=， 所以()ln ab ln a ln b +++≠+；由此知B 错误； 对于C ，当0a b >时，1a b ，此时()aln ln b+= ()0a b ，当1a b 时，()aln a ln b lna lnb ln b++-=-=，此时命题成立；当1a b >>时，ln a ln b lna ++-=，此时aa b>，故命题成立； 同理可验证当10a b >>时，()aln ln a ln b b++-+成立；当1ab<时，同理可验证是正确的，故C 正确； 对于D ，若01a b <+<，0b >时，左0=，右端0，显然成立； 若1a b +>，则()22a bln a b ln a ln b ln ln ln a ln b ++++++++++⇔+，成立，故D 错误，E 正确．故选：ACE ．8． 如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，点C 是圆周上异于A ，B 的任一点，则下列结论中正确的是( )A ．PB AC ⊥ B ．PC BC ⊥C ．AC ⊥平面PBCD ．平面PAB ⊥平面PBCE ．平面PAC ⊥平面PBC【解析】解：由题意，BC AC ⊥，若PB AC ⊥，则AC ⊥平面PBC ，可得AC PC ⊥，与AC PA ⊥矛盾，故A 、C 错误；BC AC ⊥，又PA ⊥底面ABC ，PA BC ∴⊥，则BC ⊥平面PAC ，则BC PC ⊥，故B 、E 正确；平面PAC ⊥平面PBC ，若平面PAB ⊥平面PBC ，而平面PAB ⋂平面PAC PA =，则PA ⊥平面PBC ，可得PA PC ⊥，与AC PA ⊥矛盾，故D 错误． 故选：BE ．9． 下面说法中错误的是( )A ．经过定点0(P x ，0)y 的直线都可以用方程00()y y k x x -=-表示B ．经过定点0(P x ，0)y 的直线都可以用方程00()x x m y y -=-表示C ．经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示D ．不经过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示 E ．经过任意两个不同的点11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y 的直线都可以用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示【解析】解：当直线的斜率不存在时，经过定点0(P x ，0)y 的直线方程为0x x =，不能写成00()y y k x x -=-的形式，故A 错误．当直线的斜率等于零时，经过定点0(P x ，0)y 的直线方程为0y y =，不能写成00()x x m y y -=- 的形式，故B 错误．当直线的斜率不存在时，经过定点(0,)A b 的直线都方程为0x =，不能用方程y kx b =+表示，故C 错误．不经过原点的直线，当斜率不存在时，方程为(0)x a a =≠的形式，故D 错误．经过任意两个不同的点11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y 的直线，当斜率等于零时，12y y =，12x x ≠，方程为1y y =，能用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示；当直线的斜率不存在时，12y y ≠，12x x =，方程为1x x =，能用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示，故E 正确，故选：ABCD ．10． 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则有( ) A．渐近线方程为y = B．渐近线方程为y x = C ．60MAN ∠=︒ D ．120MAN ∠=︒【解析】解：由题意可得c e a =2c t =，a ，0t >，则b t =，A ，0)， 圆A的圆心为，0)，半径r 为t ，双曲线的渐近线方程为by x a=±，即y =，圆心A到渐近线的距离为3|3t d ==， 弦长||MN t b ===，可得三角形MNA 为等边三角形， 即有60MAN ∠=︒． 故选：BC ．11． 设有一组圆224:(1)()(*)C x y k k k N -+-=∈，下列四个命题正确的是( ) A ．存在k ，使圆与x 轴相切 B ．存在一条直线与所有的圆均相交 C ．存在一条直线与所有的圆均不相交 D ．所有的圆均不经过原点【解析】解：对于A ：存在k ，使圆与x 轴相切2*()k k k N ⇔=∈有正整数解0k ⇔=或1k =，故A 正确；对于B ：因为圆心(1,)k 恒在直线1x =上，故B 正确；对于C ：当k 取无穷大的正数时，半径2k 也无穷大，因此所有直线与圆都相交，故C 不正确；对于D ：将(0,0)代入得241k k +=，即221(1)k k =-，因为右边是两个相邻整数相乘为偶数，而左边为奇数，故方程恒不成立，故D 正确． 故选：ABD ．12． 一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD 为正方形，E 、F 分别为PB 、PC 的中点，在此几何体中，给出的下面结论中正确的有( )A ．直线AE 与直线BF 异面B ．直线AE 与直线DF 异面C ．直线//EF 平面PADD ．直线DF ⊥平面PBC【解析】解：如图，把几何体恢复原状，显然AE ，BF 异面，可知A 正确； //EF BC ，//BC AD ， //EF AD ∴，//EF ∴平面PAD ，可知C 正确；易知AEFD 为等腰梯形，可知B ，D 错误． 故选：AC ．13． 已知函数()2sin(2)13f x x π=-+，则下列说法正确的是( )A ．()2()6f x f x π-=-B ．()6f x π-的图象关于4x π=对称C ．若1202x x π<<<，则12()()f x f x <D ．若123,,[,]32x x x ππ∈，则123()()()f x f x f x +>【解析】解：()2sin(2)13f x x π=-+，对:()2sin[2()]12sin 212()663A f x x x f x πππ∴-=--+=-+≠-，故A 错误；对B ：当4x π=时，()2sin 1162f x ππ-=-+=-，故()6f x π-关于4x π=对称，故B 正确； 对:()C f x 在(0,)2π上不单调，∴1202x x π<<<，不一定12()()f x f x <，故C 错误；对:()D f x 在5(,)312ππ上单调递增，在5(,)122ππ上单调递减，∴当123,,[,]32x x x ππ∈，由()f x 的图象知123()()()f x f x f x +>，故D 正确． 故选：BD ．14． 已知函数()2x x e e f x --=，()2x xe e g x -+=，则()f x 、()g x 满足( )A ．()()f x f x -=-，()()g x g x -=B ．(2)f f -<（3），(2)g g -<（3）C ．(2)2()()f x f x g x =D ．22[()][()]1f x g x -=【解析】解：()()22x x x x e e e e f x f x -----==-=-，()()2x xe e g x g x -+-==．故A 正确，()f x 为增函数，则(2)f f -<（3），成立，22(2)2e e g -+-=，g （3）33(2)2e e g -+=>-，故B 正确，222()()222(2)222x x x x x xe e e e e ef xg x f x ----+-=⨯=⨯=，故C 正确，22[()][()][()()]f x g x f x g x -=+．[()()]()1x x f x g x e e --=-=-，故D 错误， 故选：ABC ．15． 现有一段长度为n 的木棍，希望将其锯成尽可能多的小段，要求每一小段的长度都是整数，并且任何一个时刻，当前最长的一段都严格小于当前最短的一段长度的2倍，记对n 符合条件时的最多小段数为()f n ，则( ) A ．f （7）3=B ．f （7）4=C ．(30)6f =D ．(30)7f =【解析】解：当7n =时，最多可锯成3段：734322=+=++，f ∴（7）3=，故A 正确，B 不正确；当30n =时，最多能锯6段，具体如下：301218121086610866558665544=+=++=+++=++++=+++++．下证大于6段是不可能成立的：若可锯成7段，设为1x ，2x ，⋯，7x （其中127)x x x ⋯，显然14x >，若14x ，则74x ，而4673130⨯+=>，矛盾，因此15x =或16x =， 当16x =时，只能是6444444++++++，退一步必出现6410+=，或448+=， 8与4共同出现在等式中，由题意知这是不可能的，矛盾同理，当15x =时，∴情况为5544444++++++，或5554443++++++，或5555433++++++，针对以上情形采取还原的方法都可得出矛盾，综上，30n =时最多能锯成6段，即(30)6f =，故C 正确，D 不正确． 故选：AC ．16． 已知O ，A ，B ，C 为平面上两两不重合的四点，且(0)xOA yOB zOC O xyz ++=≠，则( )A ．当且仅当0xyz <时，O 在ABC ∆的外部B ．当且仅当::3:4:5x y z =时，4ABC OBC S S ∆∆= C ．当且仅当x y z ==时，O 为ABC ∆的重心D ．当且仅当0x y z ++=时，A ，B ，C 三点共线【解析】解：对于A ，如图1，若x ，y ，z 只有一个为负时，不妨设0y <，0x >，0z >， 则有xOA yOC +与OB 同向．则O 在ABC ∆的外部， 若x ，y ，z 均为负时，不妨取1x y z ===-，可得0OA OB OC ++=，显然O 为ABC ∆的重心，则O 在ABC ∆的内部， 综上，A 错．对于B ．::3:4:5x y z =时，不妨取3x =，4y =，5z =．分别作3OD OA =，4OE OB =，5OF OC =．则点O 为DEF ∆的重心．11112020360OBC OEF DEF DEF S S S S ∆∆∆∆==⨯=， 111545OAC ODF DEF S S S ∆∆∆==， 111236OAB ODE DEF S S S ∆∆∆==， 1111()60453615ABC DEF DEF S S S ∆∆∆∴=++= 113204155OEF OBC OBC S S S ∆∆∆=⨯=⨯=，正确． 对于C ．当且仅当x y z ==时，且(0)xOA yOB zOC O xyz ++=≠，⇔0OA OB OC ++=O ⇔为ABC ∆的重心，正确．对于D ．0x y z ++=时，且(0)xOA yOB zOC O xyz ++=≠，()0xOA yOB x y OC ⇔+-+=，化为：xCA yBC =，可得A ，B ，C 三点共线． 综上可得：BCD 都正确． 故选：BCD ．17． 下列说法，正确的有( )A ．函数()36f x lnx x =+-的零点只有1个且属于区间(1,2)B ．若关于x 的不等式2210ax ax ++>恒成立，则(0,1)a ∈C ．函数y x =的图象与函数sin y x =的图象有3个不同的交点D ．函数sin cos sin cos ,[0,]4y x x x x x π=++∈的最小值是1【解析】解：①对于选项A ，由函数()36f x lnx x =+-在(0,)+∞为增函数，又f （1）f （2）0<，即函数()36f x lnx x =+-的零点只有1个且属于区间(1,2)，即A 正确，②对于选项B ，关于x 的不等式2210ax ax ++>恒成立，则10a ︒=时，满足题意，202440a a a >⎧︒⎨-<⎩，解得：01a <<，综上可得：[0a ∈，1)，即B 错误，③对于选项C ，设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x '=-，即()y g x =在R 上为增函数，又(0)0g =，即()g x 只有一个零点，即函数y x =的图象与函数sin y x =的图象有1个不同的交点，即C 错误，④对于选项D ，设sin cos )4t x x x π=+=+，因为[0x ∈，]4π，所以[1t ∈，所以211()22h t t t =+-，[1t ∈，，所以()min h t h =（1）1=，即D 正确，综合①②③④得： 正确的有A ，D ， 故选：AD ．18． 已知x ，y ，z R ∈，且x y z π++=，则cos cos cos f x y z =++的最值情况为( ) A ．最大值为3B ．最小值为3-C ．最大值为32D ．最小值为32-【解析】解：x ，y ，z R ∈，且x y z π++=，可得x y π==，z π=-时，oosx ，cos y ，cos z 取得最小值1-，即f 取得最小值3-； 当cos x ，cos y ，cos 0z >，可得f 取得最大值， 由cos y x =，02x π<，sin y x '=-，cos 0y x ''=-<，即有函数cos y x =在[0，)2π为凸函数，由()y f x =为区间I 上的凸函数，可得 1212()()()()n nf x f x f x x x x f n n++⋯+++⋯+，可得3cos cos cos 3cos 3cos 332x y z f x y z π++=++==， 即有f 的最大值为32． 故选：BC ．19． 在数列{}n a 中，*n N ∈，若211(n n n na a k k a a +++-=-为常数），则称{}n a 为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断正确的为( ) A ．k 不可能为0B ．等差数列一定是“等差比数列”C ．等比数列一定是“等差比数列”D ．“等差比数列”中可以有无数项为0 【解析】解：对于A ，k 不可能为0正确；对于B ，1n a =时，{}n a 为等差数列，但不是等差比数列； 对于C ，若等比数列11n n a a q -=，则2110n n n na a k q a a +++-==≠-，所以{}n a 为等差比数列；对于D ，数列0，1，0，1，0，1，⋯，0，1．是等差比数列，且有无数项为0， 故选：ACD ．。

三角函数1．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的知识】1、平面向量数量积的重要性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：（1）＝＝||cosθ；（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）（4）cosθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）（5）||≤||||2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：；（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；（3）分配律：（）•≠•（）【平面向量数量积的运算】平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．【例题解析】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“”②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是①②．解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“”，即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，即③错误；∵||≠||•||，∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴”不能类比得到，即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．【考点分析】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．2．象限角、轴线角【知识点的认识】在直角坐标系内讨论角（1）象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就认为这个角是第几象限角．（2）若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．（3）所有与角α终边相同的角连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α+k•360°，k∈Z}．【命题方向】已知α是第二象限角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第二或第四象限角D．第一或第三象限角【分析】用不等式表示α是第二象限角，将不等式两边同时除以2，即得的取值范围（用不等式表示的），分别讨论当k取偶数、奇数时，所在的象限．解：∵α是第二象限角，∴2kπ+＜α＜2kπ+π，k∈z，∴kπ+＜＜kπ+，k∈z，当k取偶数（如 0）时，是第一象限角，当k取奇数（如 1）时，是第三象限角，故选D．【点评】本题考查象限角的表示方式，利用了不等式的性质，体现了分类讨论的数学思想．【解题方法点拨】（1）注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．（2）角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．（3）注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．3．弧长公式【知识点的认识】弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝lr ＝r2α．【命题方向】已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2 B．C．2sin1 D．sin2【分析】解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值．解：如图：∠AOB＝2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交于D，∠AOD＝∠BOD＝1，AC＝AB＝1，Rt△AOC中，AO＝＝，从而弧长为α•r＝，故选B．【点评】本题考查弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径AO的值，是解决问题的关键．【解题方法点拨】弧长和扇形面积的计算方法（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．4．扇形面积公式【知识点的认识】弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝lr ＝r2α．【命题方向】扇形的周长为6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．1 B．4 C．1或4 D．2或4【分析】设出扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，根据扇形的周长为6 cm，面积是2 cm2，列出方程组，求出扇形的圆心角的弧度数．解：设扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，则，解得α＝1或α＝4．选C．【点评】本题考查扇形面积公式，考查方程思想，考查计算能力，是基础题．【解题方法点拨】弧长和扇形面积的计算方法（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．5．任意角的三角函数的定义【知识点的认识】任意角的三角函数1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝．2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．【命题方向】已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r＝＝5．∴cosα＝＝＝﹣，故选：D．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．【解题方法点拨】利用三角函数的定义求三角函数值的方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．6．三角函数的恒等变换及化简求值【概述】三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．【公式】①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sin x，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cos x②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cos x，cos（﹣x）＝sin x③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tan x，tan（﹣x）＝cot x，④余切函数有y＝cot（﹣x）＝tan x，cot（kπ+x）＝cot x．【例题解析】例：sin60°cos（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cos（﹣570°）的值等于解：，，，，∴原式＝．先利用诱导公式把sin（﹣420°）和cos（﹣570°）转化成﹣sin60°和﹣cos30°，利用特殊角的三角函数值求得问题的答案．这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一定要是恒等变换．【考点点评】本考点是三角函数的基础知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所有有必要认真掌握三角函数的每一个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简单的．7．同角三角函数间的基本关系【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：＝tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan 2α＝．【解题方法点拨】诱导公式记忆口诀：对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．8．三角函数中的恒等变换应用【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：＝tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sin α，tan（﹣α）＝cotα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣cotα．3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan 2α＝．9．运用诱导公式化简求值【知识点的认识】利用诱导公式化简求值的思路1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．10．两角和与差的三角函数【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．11．二倍角的三角函数【二倍角的三角函数】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．【例题解析】例：y＝sin2x+2sin x cos x的周期是π．解：∵y＝sin2x+2sin x cos x＝+sin2x＝sin2x﹣cos2x+＝sin（2x+φ）+，（tanφ＝﹣）∴其周期T＝＝π．故答案为：π．这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．【考点点评】本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．12．三角函数的周期性【知识点的认识】周期性①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．③函数y＝A sin（ωx+φ），x∈R及函数y＝A cos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．【解题方法点拨】1．一点提醒求函数y＝A sin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．2．两类点y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．3．求周期的三种方法①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）②利用公式：y＝A sin（ωx+φ）和y＝A cos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．③利用图象．图象重复的x 的长度． 13．正弦函数的图象 【知识点的知识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 RRk ∈Z 值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R单调性递增区间：（2k π﹣，2k π+） （k ∈Z ）； 递减区间：（2k π+，2k π+）（k ∈Z ）递增区间：（2k π﹣π，2k π） （k ∈Z ）； 递减区间：（2k π，2k π+π）（k ∈Z ）递增区间：（k π﹣，k π+）（k ∈Z ）最 值 x ＝2k π+（k ∈Z ）时，y max ＝1；x ＝2k π﹣（k ∈Z ）时，y min ＝﹣1x ＝2k π（k ∈Z ）时，y max＝1；x ＝2k π+π（k ∈Z ） 时，y min ＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性 对称中心：（k π，0）（k ∈Z ） 对称轴：x ＝k π+，k ∈Z对称中心：（k π+，0）（k ∈Z ）对称轴：x ＝k π，k ∈Z对称中心：（，0）（k ∈Z ） 无对称轴周期2π2ππ14．正弦函数的单调性【知识点的知识】三角函数的单调性的规律方法1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．2．求形如y＝A sin（ωx+φ）或y＝A cos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．15．正弦函数的奇偶性和对称性【正弦函数的对称性】正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin （﹣x）＝﹣sin x．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ+，k∈z．【例题解析】例：函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为x＝．解：由于函数y＝sin2x+2sin2x＝sin2x+1﹣cos2x＝，而函数y＝sin t的对称轴为则，解得（k∈Z）则函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为故答案为．这个题很有代表性，一般三角函数都是先化简，化成一个单独的正弦或者余弦函数，然后把2x﹣看成一个整体，最后根据公式把单调性求出来即可．【考点点评】这个考点非常重要，也很简单，大家熟记这个公式，并能够理解运用就可以了．16．余弦函数的图象【知识点的知识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象定义域R R k∈Z 值域[﹣1，1] [﹣1，1] R单调性递增区间：（k∈Z）；递减区间：（k∈Z）递增区间：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）；递减区间：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）递增区间：（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）时，y max＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）时，y min＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，y max＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）时，y min＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+，k∈Z对称中心：（k∈Z）对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（k∈Z）无对称轴周期2π2ππ17．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换【知识点的知识】函数y＝sin x的图象变换得到y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤两种变换的差异先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x 而言的．【解题方法点拨】1．一个技巧列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．2．两个区别（1）振幅A与函数y＝A sin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．（2）由y＝sin x变换到y＝A sin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝A sin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．3．三点提醒（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由y＝A sin ωx的图象得到y＝A sin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．18．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【知识点的知识】根据图象确定解析式的方法：在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．19．复合三角函数的单调性【概念】所谓复合三角函数就是含有两个或两个以上的三角函数，包括其中一个或多个三角函数为另外三角函数的自变量的函数．这样的函数我们要对每一个函数进行一一讨论，是函数比较复杂的一种情况．【例题解析】例：已知函数f（x）＝sin x+cos x，（1）若f（x）＝2f（﹣x），求的值；（2）设函数F（x）＝f（x）•f（﹣x）+f2（x），试讨论函数F（x）的单调性．解：（Ⅰ）∵f（x）＝sin x+cos x，∴f（﹣x）＝cos x﹣sin x．又∵f（x）＝2f（﹣x），∴sin x+cos x＝2（cos x﹣sin x）且cos x≠0∴tan x＝，则＝＝＝＝，（Ⅱ）由题意知，F（x）＝cos2x﹣sin2x+1+2sin x cos x＝cos2x+sin2x+1＝，由（k∈z）得（k∈z），由（k∈z）得，（k∈z），∴函数F（x）的单调递增区间为（k∈z），单调递减区间为（k∈z）．这个题第一问考查的是化简求值，第二问主要是考查了复合三角函数的单调性，其一般思路是把复合函数化成一个单一的三角函数，有的时候还需要把这个单一的三角函数看成是一个自变量t，也就是常数的换元法．【考点点评】复合函数基本上是必考点，重要性可见一般．这类题型最重要的方法就是化简和换元，其次我们在解题的时候要注意到三角函数的定义域等一些限制条件，总之大家要认真掌握．20．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin Acos A ＝，cos B ＝，cos C ＝解决三①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角其他两角角形的问题在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S ＝a•h a（h a表示边a上的高）；2．S ＝ab sin C ＝ac sin B ＝bc sin A．3．S ＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．21．余弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos_B，c2＝a2+b2﹣2ab cos_C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；②sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin Acos A ＝，cos B ＝，cos C ＝解决①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其三角形的问题②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角他两角【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．22．三角形中的几何计算【知识点的知识】1、几何中的长度计算：（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．（2）利用余弦定理可以求解：①解三角形；②判断三角形的形状；③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．2、与面积有关的问题：（1）三角形常用面积公式①S＝a•h a（h a表示边a上的高）；②S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．③S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．（2）面积问题的解法：①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．3、几何计算最值问题：（1）常见的求函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：①当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．②当角度在90°～180°间变化时，正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．23．解三角形【知识点的知识】1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．7．关于三角形面积问题①S△ABC ＝ah a ＝bh b ＝ch c（h a、h b、h c分别表示a、b、c上的高）；②S△ABC ＝ab sin C ＝bc sin A ＝ac sin B；③S△ABC＝2R2sin A sin B sin C．（R为外接圆半径）④S△ABC ＝；⑤S△ABC ＝，（s ＝（a+b+c））；⑥S△ABC＝r•s，（r为△ABC内切圆的半径）在解三角形时，常用定理及公式如下表：名称公式变形内角和定理A+B+C＝π+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos Ab2＝a2+c2﹣2ac cos Bc2＝a2+b2﹣2ab cos C cos A ＝cos B ＝cos C ＝正弦定理＝2RR为△ABC的外接圆半径a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin Csin A ＝，sin B ＝，sin C ＝射影定理a cos B+b cos A＝ca cos C+c cos A＝bb cos C+c cos B＝a面积公式①S△＝ah a ＝bh b ＝ch c②S△＝ab sin C ＝ac sin B ＝bc sin A sin A ＝sin B＝③S△＝sin C ＝④S△＝，（s ＝（a+b+c））；⑤S△＝（a+b+c）r（r为△ABC内切圆半径）24．三角函数的最值【三角函数的最值】三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．【例题解析】例1：sin2x﹣sin x cos x+2cos2x ＝+cos（2x +）．解：sin2x﹣sin x cos x+2cos2x＝﹣+2•＝+（cos2x﹣sin2x）＝+cos（2x+）．故答案为：+cos（2x+）．这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．例2：函数y＝sin2x﹣sin x+3的最大值是．解：令sin x＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t＝∴当t＝时函数有最小值，而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值。

中难提分突破特训(四)1 •在△ ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,其面积S= b2sin A(1)求c的值;⑵设内角A的平分线AD交BC于D, AD- #, a= 3，求b.1 2 c解(1)由S^ -bc sin A= b sin A,可知c = 2b,即卩=2.2 b⑵由角平分线定理可知，BD= 甘,C**3,4b2+ 3- b2在厶ABC中, cos B=--- —•2b • 24 44b + -- 亠亠 3 3在厶ABD中, cos B= -----------3 2・2b・丁2 4 44b + 一一4b2+ 3-b2T 3 3即= ，解得b= 1.•2b • 3 2 2•2b •2 •现代社会，“鼠标手”已成为常见病，一次实验中, 10名实验对象进行160分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率(sEMG)等指标.(1)10名实验对象实验前、后握力(单位：N)测试结果如下:实验前：346,357,358,360,362,362,364,372,373,376实验后：313,321,322,324,330,332,334,343,350,361完成下列茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少N?323334353637(2)实验过程中测得时间t(分)与10名实验对象前臂表面肌电频率(sEMG)的中位数y(Hz) 的9 组对应数据(t , y)为(0,87) , (20,84) , (40,86) , (60,79) , (80,78) ,(100,78) , (120,76), (140,77) , (160,75).建立y关于时间t的线性回归方程;(3)若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据(2)中9组数据分析,使用鼠标多少分钟就该进行休息了?9参考数据：耳=i ( t i— t )( y i— y ) =— 1800;A A A参考公式：回归方程y = bx + a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:nA召 t i — t y i—y A — A_ b =——n , a = y — b t .2召(t i- t )解(1)根据题意得到茎叶图如下图所示，― 1由图中数据可得 x 1 = 10 X (346 + 357 + 358 + 360 + 362 + 362 + 364 + 372 + 373 + 376)=363,— 1X 2 = 10X (313 + 321 + 322 + 324 + 330 + 332 + 334 + 343+ 350 + 361) = 333, /• x 1 — X 2= 363 — 333 = 30(N), •••故实验前后握力的平均值下降了 30 N.1(2)由题意得 t = - X (0 + 20 + 40 + 60 + 80+ 100 + 120+ 140+ 160) = 80, —1y = -X (87 + 84 + 86 + 79+ 78 + 78 + 76 + 77 + 75) = 80,9 __ _ - 2 2 2 2 2 2 2召(t i — t ) = (0 — 80) + (20 — 80) + (40 — 80) + (60 — 80) + (80 — 80) + (100 —80) +(120 — 80) 2+ (140 — 80) 2+ (160 —80) 2= 24000,9____ 又葛(t i —T)( y i—y) =— 1800,9___A召 ti— tyi—y— 1800 _• b= — — = 2^000 =—0.075,=ti—tA A二 a = y —b t = 80 — ( — 0.075) X 80= 86, • y 关于时间t 的线性回归方程为y =— 0.075 t + 86.⑶9组数据中40分钟到60分钟y 的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状 态，故使用鼠标60分钟就该休息了.n 13.如图，四棱锥 P — ABCD 中, AB// DC / ，AB= AD= g C* 2, PD= PB=y/6, PD实脸后3124 0243丄BC(1) 求证：平面PBDL平面PBCn(2) 在线段PC上是否存在点M使得平面ABM与平面PBD所成锐二面角为—?若存在，求CM勺值；若不存在，说明理由.解(1)证明：因为四边形ABC西直角梯形，n且AB// DC AB= AD-2,Z ADC=—,所以BD- 2 2,又因为CD-4，/ BD(--.4根据余弦定理得BO 2 2,所以cD= B D + BC,故BCL BD又因为BCL PD PDA BD- D,且BD PD?平面PBD所以BCL平面PBD又因为BC?平面PBC所以平面PBC L平面PBD(2)由(1)得平面ABC丄平面PBD设E为BD的中点，连接PE因为PB= PD- 6 ,所以PE L BD PE= 2 ,又因为平面ABC丄平面PBD平面ABC A平面PB—BD所以PE!平面ABCD如图，以A为坐标原点，分别以AD AB, E~P的方向为x , y , z轴正方向，建立空间直角坐标系Axyz ,则 A (0,0,0) , B (0,2,0) , C (2,4,0) , D (2 , 0,0) , P (1,1,2), 假设存在Ma , b , c )满足要求， 设當入(o 三入三1)，即CM=入S P(a — 2, b — 4, c )=入(—1, — 3,2)，得 a = 2 —入，b = 4 — 3 入，c =2 入， 贝U M2 —入，4 -3入，2入),易得平面PBD 勺一个法向量为B C = (2,2,0). 设n = (x , y , z )为平面ABM 勺一个法向量，XB= (0,2,0) , AM= (2 -入，4 - 3入，2 入),n • AB= 0,2y = 0,由得n • AM= 0,2—入 x + 4 -3 入 y+ 2 入 z= 0,不妨取n = (2入，0,入一2).n因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为 §，所以S|4入丨1|C0S 〈 B C, n〉1= 2 2= 2 , 2p 2X p 4 入 +(入—2)22解得入=3,入=-2(不符合题意，舍去).CM 2故存在点M 满足条件，且Cp= 3.x = 2t — 1, 4.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为＜ (t 为参数) |y =- 4t — 2原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为 p =—1 — (1) 求曲线C 的直角坐标方程；(2) 设M 是曲线C 上的点，M 是曲线Q 上的点，求|MM |的最小值. ” 2解⑴.=1,，以坐标2 __cos 厂•'•p — p cos 0 = 2，即卩 p = p cos 0 + 2.2 2 2x = p cos 0 , p = x + y ,• x 2+ y 2= (x + 2)2,化简得 y 2_ 4x - 4 = 0.•曲线C 2的直角坐标方程为 y 2— 4x -4= 0.x = 2t - 1,⑵•••• 2x + y + 4 = 0.|y = - 4t - 2,•曲线C 的普通方程为2x + y + 4= 0,表示直线2x + y + 4 = 0. •/ M 是曲线C 上的点，M 是曲线C 2上的点，• | MM |的最小值等于点 M 到直线2x + y + 4 = 0的距离的最小值.2不妨设M (r - 1,2 r )，点M 到直线2x + y + 4 = 0的距离为d ,当且仅当r = -*时取等号.3」5105 .已知函数 f (x ) = | x - 1|.(1) 求不等式f (2x ) -f (x + 1) >2的解集；(2) 若 a >0， b >0且 a + b = f (3)，求证：；a + 1 + .」b + 1W2「2. 解(1)因为 f (x ) = |x - 1|， 所以 f (2x ) -f (x + 1) = |2x - 1| - |x |.1 - x ，x W 0，11 - 3x ，0<x <2,A 1x - 1，x >-，2 *由 f (2x ) - f (x + 1) >2 得 r 1 1x < 0, 0<x <；,x >；,或2，或21-x >2J - 3x >2iX —解得x <- 1或x € ?或x >3,22| r + r +1|10，所以不等式的解集为(一8, —1] u [3 ,+^).⑵证明：a+ b= f(3) = 2,又a>0, b>0,所以要证-...£+ 1 + ：jb+ 1W2 J2成立，只需证(0+1 + b + l)2< (2 2)2成立，即证a+ b+2 + 2；£a+ 1 b+ 1 <8,只需证計:a+ 1 b+ 1 W2成立，因为a>0, b>0,所以根据基本不等式a+ 1 b+ 1 w a +1；b+1■ = 2成立，故命题得证.。

专题4新高考数学小题提分限时训练3（解析版）一、单选题1．已知集合{}{}11,21M x x N x x =-≤=-<≤，则M N =（ ）A ．{}20x x -≤≤ B ．{}01x x ≤≤C ．{}21x x -≤≤D ．{}22x x -≤≤【答案】B 【分析】先求得集合M ，根据交集运算的定义，即可求得答案. 【详解】因为11x -≤，所以02x ≤≤，所以{}02M x x =≤≤， 所以{}01M N x x ⋂=≤≤， 故选：B2．已知复数z 满足(2)z i i -=(i 为虚数单位)，则z =（ ） A ．125i-+ B ．125i-- C ．125i- D ．125i+ 【答案】A 【分析】 由已知可得2iz i=-，再根据复数的除法运算可得答案. 【详解】因为(2)z i i -=，所以()()()2122225i i i i z i i i +-+===--+. 故选：A.3．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b +＞ B ．1a b -＞C ．22a b ＞D ．33a b ＞【答案】A 【解析】 试题分析：由，但无法得出，A 满足；由、均无法得出，不满足“充分”；由，不满足“不必要”.考点：不等式性质、充分必要性.4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A．－45B．－35C．35D．45【答案】B【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值．【详解】解：根据题意可知：tanθ＝2，所以cos2θ22221115cossin cos tanθθθθ===++，则cos2θ＝2cos2θ﹣1＝215⨯-135=-．故选B．【点睛】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．5．设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A．14 B．16 C．17 D．19【答案】B【解析】依题意作出可行性区域如图，目标函数z=3x+4y在点（4，1）处取到最小值z=16．故选B．6．（2011•湖北）已知定义在R 上的奇函数f （x ）和偶函数g （x ）满足f （x ）+g （x ）=a x ﹣a ﹣x +2（a ＞0，且a≠0）．若g （a ）=a ，则f （a ）=（ ） A ．2 B ． C ． D ．a 2【答案】B【解析】∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，g （x ）是定义在R 上的偶函数 由f （x ）+g （x ）=a x ﹣a ﹣x +2 ①得f （﹣x ）+g （﹣x ）=a ﹣x ﹣a x +2=﹣f （x ）+g （x ） ② ①②联立解得f （x ）=a x ﹣a ﹣x ，g （x ）=2 由已知g （a ）=a ∴a=2∴f （a ）=f （2）=22﹣2﹣2=故选B7．(1+2x)5的展开式中，x 2的系数等于 A ．80 B ．40C ．20D ．10【答案】B 【详解】()512x + 的展开式的通项515(2)r r r T C x -+= ，令52r解得3r =∴(1+2x)5的展开式中，x 2的系数为325C 240=8．设圆锥曲线τ的两个焦点分别为12,F F ，若曲线τ上存在点P 满足1122::PF F F PF 4:3:2=，则曲线τ的离心率等于A ．12或32B ．23或2 C ．12或2 D ．23或32【答案】A 【分析】设1122432PF t F F t PF t ===，，，讨论两种情况，分别利用椭圆与双曲线的定义求出,a c 的值，再利用离心率公式可得结果.【详解】因为1122::PF F F PF 4:3:2=，所以可设1122432PF t F F t PF t ===，，， 若曲线为椭圆则123262a PF PF t c t =+==，，则12c e a ==； 若曲线为双曲线则，324222a t t t a t c t ，，=-===，∴32c e a ==，故选A .【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率以及双曲线的定义及离心率，属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．二、多选题 9．下列各式中值为12的是（ ）． A ．2sin 75cos75B ．2π12sin12- C ．cos 45cos15sin 45sin15- D ．()tan 77tan 3221tan 77tan 32-+⋅【答案】ACD 【分析】利用二倍角正弦公式即可判断选项A ；利用二倍角余弦公式即可判断选项B ； 利用两角和的余弦公式可判断选项C ；利用两角差的正切公式可判断选项D ； 【详解】对于选项A ：由二倍角正弦公式可得12sin 75cos75sin1502==，故选项A 正确；对于选项B ：由二倍角余弦公式2ππ312sin cos 1262-==，故选项B 不正确； 对于选项C ：由两角和的余弦公式()cos 45cos15sin 45sin15cos 4515-=+1cos602==；故选项C 正确； 对于选项D ：由两角差的正切公式可得：()()tan 77tan 32111tan 7732tan 4522221tan 77tan 32-=-==+⋅故选项D 正确. 故选：ACD10．已知{}n a 为等比数列，下面结论中错误的是( ) A ．1322a a a +B ．2221322a a a + C ．若13a a =，则12a a = D ．若31a a >，则42a a >【答案】ACD 【分析】根据等比数列的通项公式对各选项一一分析即可判断； 【详解】解：设等比数列的公比为q ，则2132a a a a q q+=+， 当20a >，0q <时，1322a a a +<，故A 不正确；2222221322()()2a a a a q a q+=+，∴2221322a a a +当且仅当13a a =时取等号，故B 正确； 若13a a =，则211a a q =，21q ∴=，1q ∴=±，12a a ∴=或12a a =-，故C 不正确；若31a a >，则211a q a >，2421(1)a a a q q ∴-=-，其正负由q 的符号确定，故D 不正确 故选：ACD ．11．若直线0ax by +=与圆22420x y x +-+=有公共点，则（ ） A ．ln ln a b B ．||||a bC ．()()0a b a b +-D ．a b【答案】BC【分析】根据题意可得圆心到直线的距离小于等于半径，可得22a b ≤，即可判断.【详解】解析：圆的标准方程为()2222x y -+=，圆心为(2,0)，半径为2， 因为直线0ax by +=与圆22420x y x +-+=有公共点，所以222a b≤+，解得22a b ≤，即()()0a b a b +-≤，等价于||||a b ≤，所以BC正确，AD 错误. 故选：BC.12．已知四边形ABCD 是等腰梯形（如图1），3AB =，1DC =，45BAD ∠=︒，DE AB ⊥．将ADE 沿DE 折起，使得AE EB ⊥（如图2），连结AC ，AB ，设M 是AB 的中点.下列结论中正确的是（ ）A ．BC AD ⊥B ．点E 到平面AMC 6C ．//EM 平面ACD D ．四面体ABCE 的外接球表面积为5π【答案】BD 【分析】过C 做CF AB ⊥，交AB 于F ，根据题意，可求得各个边长，根据线面垂直的判定定理，可证AE ⊥平面BCDE ，即AE BC ⊥，假设BC AD ⊥，根据线面垂直的判定及性质定理，可得BC ⊥DE ，与已知矛盾，可得A 错误，利用等体积法，可求得点E 到平面AMC 的距离，即可判断B 的正误；由题意可证//EB 平面ADC ，假设//EM 平面ACD ，则平面ACD //平面AEB ，与已知矛盾，可得C 错误；根据四棱锥的几何性质，可确定球心的位置，代入公式，即可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】因为DE AB ⊥，45BAD ∠=︒，所以ADE 为等腰直角三角形，过C 做CF AB ⊥，交AB 于F ，如图所示：所以ADE BCF ≌，即AE=BF ，又3AB =，1DC =， 所以1AE EF FB DE CF =====，则=2AD BC =， 对于A ：因为AE EB ⊥，AE DE ⊥，,BE DE ⊂平面BCDE ， 所以AE ⊥平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ， 所以AE BC ⊥，若BC AD ⊥，且,AE AD ⊂平面ADE ， 则BC ⊥平面ADE ， 所以BC ⊥DE与已知矛盾，所以BC 与AD 不垂直，故A 错误； 对于B ：连接MC ，如图所示，在DEC Rt △中，DE=DC =1，所以2EC ==2BC ，EB =2，所以222EC BC EB +=，所以EC BC ⊥， 又因为AE BC ⊥，,AE EC ⊂平面AEC ， 所以BC ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ， 所以BC AC ⊥，即ABC 为直角三角形， 在Rt AEC 中，1,2AE EC ==3AC =因为M 是AB 的中点，所以AMC 的面积为Rt ABC 面积的一半，所以1163222AMCS =⨯=因为,DE AE DE EB ⊥⊥，所以DE 即为两平行线CD 、EB 间的距离，因为E AMC C AEM V V --=，设点E 到平面AMC 的距离为h ，则1133AMEAMCSDE S h ⨯⨯=⨯⨯，即1111113234h ⨯⨯⨯⨯=⨯，所以h =，所以点E 到平面AMC ，故B 正确； 对于C ：因为//EB DC ，EB ⊄平面ADC ，DC ⊂平面ADC ， 所以//EB 平面ADC ，若//EM 平面ACD ，且,,EB EM E EB EM ⋂=⊂平面AEB ， 所以平面ACD //平面AEB ，与已知矛盾，故C 错误.对于D ：因为EC BC ⊥，所以BCE 的外接圆圆心为EB 的中点， 又因为AE EB ⊥，所以ABE △的外接圆圆心为AB 的中点M ， 根据球的几何性质可得：四面体ABCE 的外接球心为M ，又E 为球上一点，在ABE △中，12EM AB ==所以外接球半径2R ME ==, 所以四面体ABCE 的外接球表面积254454S R ，故D 正确. 故选：BD 【点睛】解题的关键是熟练掌握线面平行的判定定理，线面垂直的判定和性质定理等知识，并灵活应用，求点到平面距离时，常用等体积法将点到面的距离转化为椎体的高，再求解，考查逻辑推理，分析理解的能力，综合性较强，属中档题.三、填空题13．已知向量(1,2)a =-，(,1)b m =．若向量a 与b 平行，则m =_______. 【答案】12- 【分析】根据向量a 与b 平行，由21m =-求解. 【详解】向量(1,2)a =-，(,1)b m =，因为向量a 与b 平行， 所以21m =-，解得12m =-， 故答案为：12-14．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 【答案】2y x = 【分析】设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =. 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.15．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______． 【答案】4 【分析】结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得{}{},n n a b 的公差和公比，由此求得d q +. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意1q ≠. 等差数列{}n a 的前n 项和公式为()2111222n n n d d P na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，等比数列{}n b的前n项和公式为()111 1111nnnb q b bQ qq q q-==-+---，依题意n n nS P Q=+，即22111212211n nb bd dn n n a n qq q⎛⎫-+-=+--+⎪--⎝⎭，通过对比系数可知111212211ddaqbq⎧=⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪=⎪⎪=-⎪-⎩⇒11221daqb=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，故4d q+=.故答案为：4【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前n项和公式，属于中档题.16．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=35，//BH DG，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．【答案】542π+【分析】利用3tan5ODC∠=求出圆弧AB所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB 的面积，求出直角OAH△的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.试卷第11页，总11页 【详解】设==OB OA r ，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =，因为5AP =,所以45AGP ︒∠=，因为//BH DG ，所以45AHO ︒∠=，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥，即OAH △为等腰直角三角形；在直角OQD △中，252OQ r =-，272DQ r =-， 因为3tan 5OQ ODC DQ ∠==，所以3252212522r r -=-， 解得22r =等腰直角OAH △的面积为11222242S =⨯=； 扇形AOB 的面积(221322324S ππ=⨯⨯=， 所以阴影部分的面积为1215422S S ππ+-=+. 故答案为：542π+. 【点睛】 本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.。

强化小题（4）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3A =，集合{}3,4B =，则()U C A B ⋃=A. {}4B. {}2,3,4C. {}3,4,5D. {}2,3,4,5 2. 已知集合{}1,0,1A =-，{|124}x B x =≤<，则A B 等于（ ） A. {}1 B. {}11-， C. {}10，D. {}1,0,1- 3. 下列函数中是偶函数，且在区间(0，+∞)上是减函数的是（ ） A. 1y x =+ B. 2y x C. 1y x x =- D. 2x y = 4. 已知奇函数()f x 在区间[1,6]上是增函数，且最大值为10，最小值为4，则在区间[6,1]--上()f x 的最大值、最小值分别是( )A. 4,10--B. 4,10-C. 10,4D. 不确定 5. 已知集合A =x-20x 1x ⎧⎫<⎨⎬+⎩⎭，B ={}x x a <，若“1a =”是“B A ⊆”的（ ） A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 命题“[)2x ∀∈-+∞，，31x +≥”的否定为（ ） A. “[)02x ∃∈-+∞，，031x +<” B. “[)02x ∃∈-+∞，，031x +≥” C. “[)2x ∀∈-+∞，，31x +>” D. “[)2x ∀∈-+∞，，31x +<” 7. 已知实数a b c d ,,,均为正数，满足1a b +=，1c d +=，则11abc d+的最小值是( )A. 10B. 9C.D.8. 函数(1)()f x x R -∈是偶函数，且函数()f x 图象关于点(1,0)成中心对称，当[1,1]x ∈-时，()1f x x ，则(2019)f =( )A.B. C. 0 D. 2二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9. 在疫情防控阻击战之外，另一条战线也日渐清晰——恢复经济正常运行.国人万众一心，众志成城，防控疫情、复工复产，某企业对本企业1644名职工关于复工的态度进行调查，调查结果如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 0.384x =B. 从该企业中任取一名职工，该职工是倾向于在家办公的概率为0.178C. 不到80名职工倾向于继续申请休假D. 倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过986名10. 已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ）A. a 与b 的夹角为钝角B. 向量a 在bC. 2m +n =4D. mn 的最大值为2 的11. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，点Q 在圆()()22:344E x y ++-=上，且圆E 上的所有点均在椭圆C 外，若PQ PF -的最小值为6，且椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则下列说法正确的是（ ）A. 椭圆C 焦距为2B. 椭圆CC. PQ PF +的最小值为D. 过点F 的圆E的切线斜率为43-± 12. 已知函数()=cos sin f x x x -，则下列结论中，正确的有（ ）A. π是()f x 的最小正周期B. ()f x 在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 C. ()f x 的图象的对称轴为直线()4x k k Z ππ=+∈ D. ()f x 的值域为[]0,1三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 若曲线()ln f x x x x =+在点()()11f ，处的切线与直线240x ay +-=平行，则a =_________. 14. 已知圆锥的顶点为S ，顶点S 在底面的射影为O ，轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为__________，点D 为母线SB 的中点，点C 为弧AB 的中点，则异面直线CD 与OS 所成角的正切值为________.15. CES 是世界上最大的消费电子技术展，也是全球最大的消费技术产业盛会.2020CES 消费电子展于2020年1月7日—10日在美国拉斯维加斯举办.在这次CES 消费电子展上，我国某企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机，惊艳了全场.若该公司从7名员工中选出3名员工负责接待工作(这．3名员工的工作视为相．．．．．．．．．同的工作．．．．)，再选出2名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能，若其中甲和乙至多有1人负责接待工作，则不同的安排方案共有__________种. 的16. 已知点12F F ，分别为双曲线()222210,0x y C a b a b -=>>：的左、右焦点，点A ，B 在C 的右支上，且点2F 恰好为1F AB 的外心，若11()0BF BA AF +⋅=，则C 的离心率为__________.。

2021届山东省新高考高考模拟冲关押题卷（四）数学（解析版）第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}，B ＝{x |x <2}，则A ∩B ＝( ) A ．[0,2] B ．[0,1] C ．(0,2] D ．[－1,0]2．若复数z ＝1＋i1＋a i(i 表示虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为( )A ．1B ．0C ．－12 D ．－13．设{a n }为公差不为0的等差数列，p ，q ，k ，l 为正整数，则“p ＋q >k ＋l ”是“a p ＋a q >αk ＋a l ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ＝213，b ＝log 2 13，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a5．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级．现有每个级别的诸侯各一人，共五人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m 个(m 为正整数)，若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是( )A.18B.17C.16D.156．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，BCAC ＝5－12.根据这些信息，可得sin 234°＝( )A.1－254 B ．－3＋58C ．－5＋14D ．－4＋587．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，直线l 为双曲线C 的一条渐近线，F 1关于直线l 的对称点F ′1在以F 2为圆心，以半焦距c 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．38．已知△ABC 为等边三角形，动点P 在以BC 为直径的圆上，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋2μ的最大值为( )A.12 B ．1＋33 C.52 D ．2＋32二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知a >b ≥2，则( )A ．b 2<3b －aB ．a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2C ．ab >a ＋b D.12＋2ab >1a ＋1b10．如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，若M 为线段A 1C 的中点，则△ADE 在翻折过程中，下列说法正确的是( )A ．线段BM 的长是定值B ．存在某个位置，使DE ⊥A 1C C ．点M 的运动轨迹是一个圆D ．存在某个位置，使MB ⊥平面A 1DE11．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线C ：(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论正确的是( )A ．曲线C 经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)B ．曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2 C ．曲线C 围成区域的面积大于4πD ．方程(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2(xy >0)表示的曲线C 在第一象限和第三象限12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)满足f (x 0)＝f (x 0＋1)＝－12，且f (x )在(x 0，x 0＋1)上有最小值，无最大值．则( )A ．f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＝－1 B ．若x 0＝0，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2πx －π6 C ．f (x )的最小正周期为3D ．f (x )在(0,2 019)上的零点个数最少为1 346个第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．为做好社区新冠疫情防控工作，需将六名志愿者分配到甲、乙、丙、丁四个小区开展工作，其中甲小区至少分配两名志愿者，其它三个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有________种．(用数字作答)14．已知函数f (x )＝x ＋2cos x ＋λ，在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上任取三个数x 1，x 2，x 3，均存在以f (x 1)，f (x 2)，f (x 3)为边长的三角形，则λ的取值范围是________．15．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F (1,0)，准线为l ，过焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足为C ，D ，若|AF |＝4|BF |，则p ＝________，三角形CDF 的面积为________．16．在三棱锥P - ABC 中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，且AB ＝2，P A ＝PC ＝5，PB 与底面ABC 所成的角的正弦值为13，则三棱锥P - ABC 的外接球的体积为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)如图，在△ABC 中，C ＝π4，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，且tan ∠CBD ＝12.(1)求sin A ；18.(12分)在①a2n＋1－a2n＝3(a n>0)，②a2n－a n a n－1－3a n－1－9＝0，③S n＝n2－2n＋2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．已知：数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，________.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对大于1的自然数n，是否存在大于2的自然数m，使得a1，a n，a m成等比数列．若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．19．(12分)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点(与点B，C 不重合)．(1)证明：平面EMN⊥平面PBC；(2)是否存在点N，使得二面角B -EN -M的余弦值为66，若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由．20．(12分)沙漠蝗虫灾害年年有，今年灾害特别大．为防范罕见暴发的蝗群迁飞入境，我国决定建立起多道防线，从源头上控制沙漠蝗群．经研究，每只蝗虫的平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．平均温度x i ℃ 21 23 25 27 29 32 35 平均产卵数y i 个711 21 24 66115325∑i ＝17x i ＝192，∑i ＝17y i ＝569，∑i ＝17x i y i ＝18 542，∑i ＝17x 2i＝5 414，∑i ＝17z i ＝25.2848，∑i ＝17x i z i ＝733.7079.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫其中z i ＝ln y i ，z ＝17∑i ＝17z i(2)根据以往统计，该地每年平均温度达到28℃以上时蝗虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为p (0<p <1)．①记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为f (p )，求f (p )的最大值，并求出相应的概率p . ②当f (p )取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X ，求X 的数学期望和方差．附：线性回归方程系数公式b ^＝∑i ＝1n(x i －x )·(y i －y )∑i ＝1n (x i －x )2，a ^＝y －b ^x .21．(12分)已知圆O ：x 2＋y 2＝4，定点A (1,0)，P 为平面内一动点，以线段AP 为直径的圆内切于圆O ，设动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点Q (2，3)的直线l 与C 交于E ，F 两点，已知点D (2,0)，直线x ＝x 0分别与直线DE ，DF 交于S ，T 两点．线段ST 的中点M 是否在定直线上，若存在，求出该直线方程；若不是，说明理由．22．(12分)已知函数f(x)＝e x－ax－cos x，其中a∈R.(1)求证：当a≤－1时，f(x)无极值点；四1．答案：A解析：求得A＝[－1,2]，B＝[0,4)，所以A∩B＝[0,2]，故选A. 2．答案：D解析：设z＝b i，b∈R且b≠0，则1＋i1＋a i＝b i，得到1＋i＝－ab＋b i，∴1＝－ab，且1＝b，解得a＝－1，故选D.3．答案：D解析：设等差数列的公差为d，a p＋a q>a k＋a l⇒a1＋(p－1)d＋a1＋(q－1)d >a1＋(k－1)d＋a1＋(l－1)d⇒d [(p ＋q )－(k ＋l )]>0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ d >0p ＋q >k ＋l 或⎩⎪⎨⎪⎧d <0p ＋q <k ＋l ， 显然由p ＋q >k ＋l 不一定能推出a p ＋a q >a k ＋a l ， 由a p ＋a q >a k ＋a l 也不一定能推出p ＋q >k ＋l ，因此p ＋q >k ＋l 是a p ＋a q >a k ＋a l 的既不充分也不必要条件， 故选D. 4．答案：C解析：a ＝1-32＝1312⎛⎫⎪⎝⎭∈(0,1)；b ＝log 2 13<0；c ＝121log 3＝log 23>1，∴c >a >b ，故选C. 5．答案：B解析：设首项为a 1，因为和为80，所以5a 1＋12×5×4×m ＝80，故m ＝8－12a 1.因为m ，a 1∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，m ＝7，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，m ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝6，m ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝8，m ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝10，m ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝12，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，m ＝1.因此“公”恰好分得30个橘子的概率是17.故选B. 6．答案：C解析：由题可知∠ACB ＝72°，且cos 72°＝12BC AC ＝5－14，cos 144°＝2cos 2 72°－1＝－5＋14，则sin 234°＝sin(144°＋90°)＝cos 144°＝－5＋14.故选C. 7．答案：C解析：方法一：直线l 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线，则不妨设直线l 为y ＝bax ，∵F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点， ∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，∵F 1关于直线l 的对称点为F ′1，则F ′1为(x ，y )，解得x ＝b 2－a 2c ，y ＝－2abc ，∴F ′1⎝⎛⎭⎫b 2－a 2c，－2ab c ，∵F ′1在以F 2为圆心，以半焦距c 为半径的圆上， ∴⎝⎛⎭⎫b 2－a 2c －c 2＋⎝⎛⎭⎫－2ab c－02＝c 2， 整理可得4a 2＝c 2，即2a ＝c ，∴e ＝ca＝2，故选C.方法二：由题意知|F ′1O |＝|OF 1|＝|OF 2|＝|F ′1F 2|，所以三角形F ′1F 1F 2是直角三角形，且∠F ′1F 1F 2＝30°， 又由焦点到渐近线的距离为b ，得|F ′1F 1|＝2b ， 所以2b ＝3c ，所以e ＝2. 故选C.8．答案：C解析：设△ABC 的边长为2，不妨设线段BC 的中点O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，则点A (0，3)、B (－1,0)、C (1,0)，以线段BC 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， 设点P (cos θ，sin θ)，则＝(－1，－3)，＝(1，－3)，＝(cos θ，sin θ－3)， 由于＝λ＋μ，则－λ＋μ＝cos θ，－3λ－3μ＝sin θ－3，解得λ＝12－36sin θ－12cos θ，μ＝12－36sin θ＋12cos θ， 所以λ＋2μ＝⎝⎛⎭⎫12－36sin θ－12cos θ＋2⎝⎛⎭⎫12－36sin θ＋12cos θ＝32－32sin θ＋12cos θ ＝32－sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6， 因此，λ＋2μ的最大值为52.故选C.9．答案：BC解析：对于A ，因为a >b ≥2，所以b 2－(3b －a )＝(a －b )＋b (b －2)>0， 故A 错误；对于B ，可通过作差证明，B 正确；对于C ，ab －(a ＋b )＝ab －2a ＋ab －2b2＝a (b －2)＋b (a －2)2>0，故C 正确；对于D ，若12＋2ab >1a ＋1b成立，当a ＝10，b ＝2时，左边＝右边＝35，故D 错误． 所以，选BC. 10．答案：AC解析：对A ，取CD 中点F ，连接MF ，BF ，则MF ∥DA 1，BF ∥DE ，由∠A 1DE ＝∠MFB ，MF ＝12A 1D 为定值，FB ＝DE 为定值，由余弦定理可得所以FB 为定值，A 正确；若B 正确，即DE ⊥A 1C ，由∠AED ＝∠BEC ＝45°， 可得DE ⊥CE ，则DE ⊥平面A 1EC ，所以DE ⊥A 1E ，而这与DA 1⊥A 1E 矛盾，故B 错误；因为B 是定点，所以M 在以B 为圆心，MB 为半径的圆上，故C 正确； 取CD 中点F ，连接MF ，BF ， 则MF ∥DA 1，BF ∥DE ，由面面平行的判定定理得平面MBF ∥平面A 1DE ， 即有MB ∥平面A 1DE ，可得D 错误． 故选AC.11．答案：BD解析：(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2≤16⎝⎛⎭⎫x 2＋y 222，解得x 2＋y 2≤4(当且仅当x 2＝y 2＝2时取等号)，则B 正确； 将x 2＋y 2＝4和(x 2＋y 2)3＝16x 2y 2联立， 解得x 2＝y 2＝2，即圆x 2＋y 2＝4与曲线C 相切于点(2，2)，(－2，2)，(－2，－2)，(2，－2)， 则A 和C 都错误；由xy >0，得D 正确．综上，选BD. 12．答案：AC解析：(x 0，x 0＋1)区间中点为x 0＋12，根据正弦曲线的对称性知f ⎝⎛⎭⎫x 0＋12＝－1， 故选项A 正确；若x 0＝0，则f (x 0)＝f (x 0＋1)＝－12，即sin φ＝－12，不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2πx －π6，满足条件， 但f ⎝⎛⎭⎫13＝1为(0,1)上的最大值，不满足条件， 故选项B 错误；不妨令ωx 0＋φ＝2k π－5π6，ω(x 0＋1)＋φ＝2k π－π6，k ∈Z ，两式相减得ω＝2π3，即函数的周期T ＝2πω＝3，故C 正确；区间(0,2 019)的长度恰好为673个周期， 当f (0)＝0时，即φ＝k π(k ∈Z )时，f (x )在开区间(0,2 019)上零点个数至少为673×2－1＝1 345， 故D 错误．故正确的是AC. 13．答案：660解析：若甲小区2人，乙、丙、丁其中一小区2人，共有C 26C 24A 33种，若甲小区3人，乙、丙、丁每小区1人，共有C 36A 33种，则不同的分配方案共有C 26C 24A 33＋C 36A 33＝660种．14．答案：⎝⎛⎭⎫3－5π6，＋∞ 解析：求导得f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )＝0，得x ＝π6，易得f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝π6＋3＋λ，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2＋λ，又由题意知f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2＋λ>0，且f ⎝⎛⎭⎫π2＋f ⎝⎛⎭⎫π2>f ⎝⎛⎭⎫π6，由此解得λ的取值范围为λ>3－5π6.15．答案：2 5解析：抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F (1,0)， 所以p ＝2，准线为x ＝－1，设过焦点的直线方程为x ＝my ＋1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0，∴y 1y 2＝－4 ①又|AF |＝4|BF |，y 1＝－4y 2 ②由①②解得y 1＝－4，y 2＝1或y 1＝4，y 2＝－1， 所以|CD |＝|y 1－y 2|＝5，所以三角形CDF 的面积为12×2×5＝5.16．答案：9π2或8989π6解析：如图，取AC 中点O ′，因为P A ＝PC ＝5，AB ＝BC ， 所以AC ⊥PO ′，AC ⊥O ′B ，所以AC ⊥平面PO ′B ，所以平面PO ′B ⊥平面ABC ， 易知∠O ′BP 即为PB 与底面ABC 所成的角或补角． O ′B ＝2，O ′P ＝3，所以在△O ′PB 中，因为sin ∠O ′BP ＝13，当cos ∠O ′BP ＝223时，求得PB ＝3，此时∠PCB ＝∠P AB ＝90°.故PB 为三棱锥P ABC 外接球直径，V ＝9π2；当cos ∠O ′BP ＝－223时，求得PB ＝13，延长BO ′交外接球于Q ，则BQ 为圆O ′的直径， 则△QBP 的外接圆直径为球的直径，球的直径为2R ＝PQsin ∠QBP ＝89，可求得V ＝8989π6.综上外接球的体积为9π2或8989π6.17．解析：(1)设∠CBD ＝θ，因为tan θ＝12，又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故sin θ＝55，cos θ＝255， 则sin ∠ABC ＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×55×255＝45，cos ∠ABC ＝cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×45－1＝35， 故sin A ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋2θ ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋2θ＝22(sin 2θ＋cos 2θ) ＝22×⎝⎛⎭⎫45＋35＝7210. (2)由正弦定理BC sin A ＝AC sin ∠ABC， 即BC 7210＝AC 45，所以BC ＝728AC ，所以||||＝282，所以AC ＝42，又由AB sin C ＝AC sin ∠ABC ，得AB 22＝AC 45，所以AB ＝5. 18．解析：方案一：选条件①.(1)由a 2n ＋1－a 2n ＝3，得{a 2n }是公差为3的等差数列， 由a 1＝1，得a 21＝1，则a 2n ＝3n －2，又a n >0，所以a n ＝3n －2.(2)根据a 1，a n ，a m 成等比数列，得到a 2n ＝a 1a m ，即3n －2＝3m －2，则有m ＝3n 2－4n ＋2，因为n ∈N *且n ≥2，所以m ＝3n 2－4n ＋2∈N *，当n ＝2时，m min ＝6；方案二：选条件②.(1)因为a 2n －a n a n －1－3a n －1－9＝0⇔(a n ＋3)(a n －a n －1－3)＝0，因为a 1＝1，所以a n －a n －1－3＝0，则{a n }是等差数列，则a n ＝3n －2.(2)要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1a m ，即(3n －2)2＝3m －2，则有m ＝3n 2－4n ＋2，因为n ∈N *且n ≥2，所以m ＝3n 2－4n ＋2∈N *，当n ＝2时，m min ＝6；方案三：选条件③.(1)由S n ＝n 2－2n ＋2，得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝12n －3 n ≥2. (2)要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2n ＝a 1a m ，即(2n －3)2＝2m －3，则有m ＝2n 2－6n ＋6，因为n ∈N *且n ≥2，所以m ＝2n 2－6n ＋6∈N *，当n ＝2时，m min ＝2.19．解析：(1)证明：因为PE ⊥EB ，PE ⊥ED ，EB ∩ED ＝E ，所以PE ⊥平面EBCD ，又PE ⊂平面PEB ，所以平面PEB ⊥平面EBCD ，而BC ⊂平面EBCD ，BC ⊥EB ，所以平面PBC ⊥平面PEB ，由PE ＝EB ，PM ＝MB 知，EM ⊥PB ，于是EM ⊥平面PBC .又EM ⊂平面EMN ，所以平面EMN ⊥平面PBC .(2)假设存在点N 满足题意，取E 为原点，直线EB ，ED ，EP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系E xyz ，不妨设PE ＝EB ＝2，显然平面BEN 的一个法向量为n 1＝(0,0,1)，设BN ＝m (0<m <2)，则＝(1,0,1)，＝(2，m,0)．设平面EMN 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )，即⎩⎪⎨⎪⎧ (1，0，1)·(x ，y ，z )＝0(2，m ，0)·(x ，y ，z )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝02x ＋my ＝0， 故可取n 2＝(m ，－2，－m )，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝(0，0，1)·(m ，－2，－m )2m 2＋4＝－m 2m 2＋4， 依题意⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m 2m 2＋4＝66， 解得m ＝1∈(0,2)，此时N 为BC 的中点．综上知，存在点N ，使得二面角B EN M 的余弦值为66， 此时N 为BC 的中点．20．解析：(1)根据散点图可以判断，y ＝c e dx 更适宜作为平均产卵数y 关于平均温度x 的回归方程类型；对y ＝c e dx 两边取自然对数，得ln y ＝ln c ＋dx ；令z ＝ln y ，a ＝ln c ，b ＝d ，得z ＝a ＋bx ； 因为＝∑i ＝17(x i －x )(z i －z )∑i ＝17 (x i －x )2＝＝40.1820147.7143≈0.272， ＝z －x ＝3.612－0.272×27.429≈－3.849；所以z 关于x 的回归方程为＝0.272x －3.849；所以y 关于x 的回归方程为＝e 0.272x －3.849.因为0<p <1，令f ′(p )>0，得3－5p >0， 解得0<p <35； 所以f (p )在⎝⎛⎭⎫0，35上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫35，1上单调递减，所以f (p )有唯一的极大值为f ⎝⎛⎭⎫35，也是最大值；所以当p ＝35时，f (p )max ＝f ⎝⎛⎭⎫35＝216625； ②由①知，当f (p )取最大值时，p ＝35，所以X ～B ⎝⎛⎭⎫5，35， 所以X 的数学期望为E (X )＝5×35＝3， 方差为D (X )＝5×35×25＝65. 21．解析：(1)设以AP 为直径的圆的圆心为B ，切点为N ， 则|OB |＝2－|BA |，∴|OB |＋|BA |＝2.取A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′P ，故|A ′P |＋|AP |＝2(|BO |＋|BA |)＝4>2.所以点P 的轨迹是以A ′，A 为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，a ＝2，c ＝1，曲线C 方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线l 的方程为x ＝ty ＋(2－3t )，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，直线DE 的方程为y ＝y 1x 1－2(x －2)， 故y S ＝y 1x 1－2(x 0－2)， 同理y T ＝y 2x 2－2(x 0－2)； 所以2y 0＝y S ＋y T ＝y 1x 1－2(x 0－2)＋y 2x 2－2(x 0－2)， 即2y 0x 0－2＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝y 1t (y 1－3)＋y 2t (y 2－3)＝2y 1y 2－3(y 1＋y 2)t [y 1y 2－3(y 1＋y 2)＋3]③ 联立⎩⎨⎧x ＝ty ＋(2－3t )3x 2＋4y 2－12＝0， 化简得(3t 2＋4)y 2＋(12t －63t 2)y ＋9t 2－123t ＝0，所以y 1＋y 2＝63t 2－12t 3t 2＋4，y 1y 2＝9t 2－123t 3t 2＋4代入③得，2y 0x 0－2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫9t 2－123t 3t 2＋4－3×63t 2－12t 3t 2＋4t ⎣⎢⎡⎦⎥⎤9t 2－123t 3t 2＋4－3×63t 2－12t 3t 2＋4＋3 ＝－123t 12t＝－3⇒3x 0＋2y 0－23＝0， 所以点M 都在定直线3x ＋2y －23＝0上．22．解析：(1)证明：对f (x )求导得f ′(x )＝e x ＋sin x －a ，显然e x >0，sin x ≥－1，所以e x ＋sin x －a >0－1－a ≥0，即f ′(x )>0，所以f (x )在其定义域上是单调递增函数，故f (x )无极值点；(2)解法一：对g (x )求导得g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－a ＋sin x (x >－1)，又注意到g ′(0)＝2－a ，令g ′(0)＝2－a ＝0，得a ＝2.此时g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－2＋sin x ， 令h (x )＝g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－2＋sin x ， 则h ′(x )＝e x －1(x ＋1)2＋cos x ， 显然，在x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2上，e x >1>1(x ＋1)2，cos x >0， 此时h ′(x )＝e x －1(x ＋1)2＋cos x >0， 故h (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数， 所以h (x )>h (0)＝0，即g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－2＋sin x >0； 又当x ∈(－1,0)时，令s (x )＝(x ＋1)2e x ，t (x )＝(x ＋1)2cos x ，则s ′(x )＝(x ＋1)(x ＋3)e x >0，s (x )是(－1,0)上的增函数，所以s (－1)<s (x )<s (0)，即0<s (x )<1，故存在区间(x 1,0)⊂(－1,0)，使s (x )>12，即e x >12(x ＋1)2； 又0<(x ＋1)2<1，cos 1<cos x <1，即0<t (x )<1，故存在区间(x 2,0)⊂(－1,0)，使t (x )>12，即cos x >12(x ＋1)2， 现设(x 1,0)∩(x 2,0)＝(x 0,0)，则在区间(x 0,0)上，e x >12(x ＋1)2，cos x >12(x ＋1)2同时成立， 即h ′(x )＝e x －1(x ＋1)2＋cos x >0， 故h (x )在(x 0,0)上是增函数，h (x )<h (0)＝0.从而存在区间(x 0,0)，使得g ′(x )＝e x ＋1x ＋1－2＋sin x <0； 因此存在a ＝2，使得g (x )在x ＝0处取得极小值．解法二：x ＝0是f (x )的极小值点的必要条件是f ′(0)＝2－a ，即a ＝2.此时，g ′(x )＝e x ＋11＋x－2＋sin x ， 显然当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时， g ′(x )＝e x ＋11＋x－2＋sin x ≥1＋x ＋11＋x－2＋sin x >0； 当－14<x <0时， (1＋x )⎝⎛⎭⎫1－x ＋32x 2＝1＋x 22(3x ＋1)>1⇒11＋x<1－x ＋32x 2.令m (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋x ＋x 22e －x ，m ′(x )＝－x 22e －x ≤0， 故m (x )是减函数．因此，当x <0时，m (x )>m (0)＝1，即e x <1＋x ＋x 22. 令h (x )＝sin x －12x ，h ′(x )＝cos x －12. 当－1<x <0时，h ′(x )>cos 1－12>0， 故h (x )在(－1,0)上单调递增．因此，当－1<x <0时，h (x )<h (0)＝0，即sin x <12x . 故当x ∈⎝⎛⎭⎫－14，0时， g ′(x )＝e x ＋11＋x－2＋sin x ≤⎝⎛⎭⎫1＋x ＋x 22＋⎝⎛⎭⎫1－x ＋32x 2－2＋x 2＝2x 2＋x 2<0； 因此，a ＝2时x ＝0是g (x )的极小值点．。

专题四 函数及其表示【高频考点解读】1.了解构成函数的要素，会求一些简洁函数的定义域和值域；了解映射的概念．2.在实际情境中，会依据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简洁的分段函数，并能简洁的应用.通过对近几年高考试题的分析看出，本课时内容也是高考考查的重点之一，题型是选择题、填空题．主要考查函数的概念、解析式及分段函数等，试题难度较小.【热点题型】 题型一 函数定义域例1、(2021年高考安徽卷)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 【提分秘籍】求函数的定义域时，应留意(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应当用并集符号“∪”连接．【举一反三】 求函数f (x )＝lgx 2－2x 9－x 2的定义域；(2)已知函数f (2x )的定义域是[－1,1]，求f (x )的定义域． 【热点题型】题型二 函数解析式的求法【例2】 (1)已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式． (2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )． 【提分秘籍】求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要留意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可依据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )．【举一反三】已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋3【热点题型】题型三 分段函数求值例3、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，f x ＋1，x <4，则f (2＋log 23)的值为A.124B.112C.16D.13【举一反三】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12 B.45 C ．2D ．9【热点题型】题型四 分类争辩思想在分段函数中的应用例4、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋1，x >32x －3＋1，x ≤3满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( )A ．log 23 B.1716 C.32 D ．1【提分秘籍】由于分段函数在不同定义区间上具有不同的解析式，在处理分段函数问题时应对不同的区间进行分类求解，然后整合，这恰好是分类争辩的一种体现．1．解决本题时，由于a 的取值不同限制了f (a )的表达，从而对a 进行分类争辩． 2．运用分类争辩的思想解题的基本步骤 (1)确定争辩对象和确定争辩的区域；(2)对所争辩的问题进行合理的分类(分类时需要做到不重不漏，标准统一、分层不越级)； 【举一反三】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈－∞，1x 2，x ∈[1，＋∞若f (x )>4，则x 的取值范围是________．【高考风向标】1．（2022·安徽卷）设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( ) A.12 B.32 C ．0 D ．－122．（2022·北京卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)3．（2022·福建卷）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)4．（2022·江西卷）函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0，1] B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞) 5．（2022·山东卷）函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 6．（2021·江西卷）已知函数f(x)＝a ⎝⎛⎭⎫1－2⎪⎪⎪⎪x －12，a 为常数且a>0. (1)证明：函数f(x)的图像关于直线x ＝12对称；(2)若x 0满足f(f(x 0))＝x 0，但f(x 0)≠x 0，则称x 0为函数f(x)的二阶周期点．假如f (x)有两个二阶周期点x 1，x 2，试确定a 的取值范围；(3)对于(2)中的x 1，x 2和a ，设x 3为函数 f(f(x))的最大值点，A(x 1，f(f(x 1)))，B(x 2，f(f(x 2)))，C(x 3，0)．记△ABC 的面积为S(a)，争辩S(a)的单调性．7．（2021·江西卷）设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x )＝x ＋e x ，则f′(1)＝________．10．（2021·江西卷）如图1－3所示，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x(0<x<π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f(x)的图像大致是( )图1－3图1－48．（2021·江西卷）函数y ＝xln(1－x)的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1) C ．(0，1] D ．[0，1]9．（2021·辽宁卷）已知函数f(x)＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g(x)＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x)＝max {}f （x ），g （x ），H 2(x)＝min {}f （x ），g （x ）(max {}p ，q 表示p ，q 中的较大值，min {}p ，q 表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x)的最小值为A ，H 2(x)的最大值为B ，则A －B ＝( )A ．16B ．－16C ．a 2－2a －16D ．a 2＋2a －1610．（2021·全国卷）已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1，1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1，0) D.⎝⎛⎭⎫12，111． （2021·陕西卷）设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －1x 6，x<0，－x ，x≥0，则当x>0时，f[f(x)]表达式的开放式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15 12． （2021·四川卷）函数y ＝x 33x －1的图像大致是( )图1－513． （2021·新课标全国卷Ⅱ] 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．依据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图1－4所示，经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品，以X(单位：t ，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)依据直方图估量利润T 不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100，110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率)，求T 的数学期望．图1－4【随堂巩固】1．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( ) A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx2．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( )A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x >0，f x ＋1＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．1 C ．2D ．34．现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是( )5．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( )A ．x －1B ．x ＋1C ．2x ＋1D ．3x ＋36．依据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,167．具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①8．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x ＜2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．10．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的是________．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.12．若函数的定义域为{x |－3≤x ≤6，且x ≠4}，值域为{y |－2≤y ≤4，且y ≠0}，试在下图中画出满足条件的一个函数的图象．13．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x . (1)若f (2)＝3，求f (1)；又若f (0)＝a ，求f (a )；(2)设有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，求函数f (x )的解析式．14．若函数f (x )＝xax ＋b(a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．15.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时动身前往乙家．如图所示，表示甲从家动身到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．试写出y＝f (x )的函数解析式．16．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能依据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？17．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.。

专题四 高考中的立体几何问题1.(2021·广东)某四棱台的三视图如下图，那么该四棱台的体积是( ) A.4 B.143C.163D.6 答案 B 解析 由三视图知四棱台的直观图为由棱台的体积公式得：V ＝13(2×2＋ 1×1＋2×2×1×1)×2＝143. 2.(2021·课标全国Ⅱ)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l满 足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，那么( )A.α∥β且l ∥αB.α⊥β且l ⊥βC.α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l答案 D 解析 假设α∥β，由m ⊥平面α，n ⊥平面β，那么m ∥n ，这与已知m ，n 为异面直线矛盾，那么α与β相交，设交线为l 1，那么l 1⊥m ，l 1⊥n ，在直线m 上任取一点作n 1平行于n ，那么l 1和l 都垂直于直线m 与n 1所确信的平面，因此l 1∥l .3.如图，点O 为正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的中心，点E 为面B ′BCC ′的中心，点F 为B ′C ′的中点，那么空间四边形D ′OEF在该正方体的各个面上的投影不可能是( ) 答案 D解析 空间四边形D ′OEF 在正方体的面DCC ′D ′上的投影是A ；在面BCC ′B ′上的投影是B ；在面ABCD 上的投影是C ，应选D.4．在如下图的四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是( ) 答案 A解析 A 中，∵CD ⊥平面AMB ，∴CD ⊥AB ；B 中，AB 与CD 成60°角，C 中，AB 与CD 成45°角；D 中，AB 与CD 夹角的正切值为 2.5.如图，四棱锥P －ABCD 的底面是一直角梯形，AB ∥CD ，BA ⊥AD ，CD ＝2AB ，PA ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点，那么BE 与平面PAD的 位置关系为________.答案 平行解析 取PD 的中点F ，连接EF ，在△PCD 中，EF 綊12CD . 又∵AB ∥CD 且CD ＝2AB ，∴EF 綊AB ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∴EB ∥AF .又∵EB ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，∴BE ∥平面PAD .题型一 空间点、线、面的位置关系例1 (2021·山东)如图，四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ， F ，G ，M ，N 别离为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点.(2)求证：平面EFG ⊥平面EMN .思维启发 (1)在平面PAD 内作直线CE 的平行线或利用平面CEF ∥平面PAD 证明；(2)MN 是平面EFG 的垂线.证明 (1)方式一 取PA 的中点H ，连接EH ，DH .又E 为PB 的中点，因此EH 綊12AB .又CD 綊12AB ，因此EH 綊CD .因此四边形DCEH 是平行四边形，因此CE ∥DH .又DH ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD .因此CE ∥平面PAD .方式二 连接CF .因为F 为AB 的中点，因此AF ＝12AB .又CD ＝12AB ，因此AF ＝CD .又AF ∥CD ，因此四边形AFCD 为平行四边形.因此CF ∥AD ，又CF ⊄平面PAD ，因此CF ∥平面PAD .因为E ，F 别离为PB ，AB 的中点，因此EF ∥PA .又EF ⊄平面PAD ，因此EF ∥平面PAD .因为CF ∩EF ＝F ，故平面CEF ∥平面PAD .又CE ⊂平面CEF ，因此CE ∥平面PAD .(2)因为E 、F 别离为PB 、AB 的中点，因此EF ∥PA .又因为AB ⊥PA ，因此EF ⊥AB ，同理可证AB ⊥FG .因此AB⊥平面EFG.又因为M，N别离为PD，PC的中点，因此MN∥CD，又AB∥CD，因此MN∥AB，因此MN⊥平面EFG.又因为MN⊂平面EMN，因此平面EFG⊥平面EMN.思维升华高考对该部份的考查重点是空间的平行关系和垂直关系的证明，一样以解答题的形式显现，试题难度中等，但对空间想象能力和逻辑推理能力有必然的要求，在试卷中也可能以选择题或填空题的方式考查空间位置关系的大体定理在判定线面位置关系中的应用.如下图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，M，N别离为A1B，B1C1的中点.求证：(1)BC∥平面MNB1；(2)平面A1CB⊥平面ACC1A.证明(1)因为BC∥B1C1，且B1C1⊂平面MNB1，BC⊄平面MNB1，故BC∥平面MNB1.(2)因为BC⊥AC，且ABC－A1B1C1为直三棱柱，故BC⊥平面ACC1A1.因为BC⊂平面A1CB，故平面A1CB⊥平面ACC1A1.题型二平面图形的翻折问题例2如图1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC 上，CE＝4.如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，BE，设点F是AB的中点.(1)求证：DE⊥平面BCD；(2)假设EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B－DEG的体积.思维启发(1)翻折前后，△ACD内各元素的位置关系没有转变，易知DE⊥DC，再依照平面BCD⊥平面ACD(2)注意从条件EF ∥平面BDG 得线线平行，为求高作基础.(1)证明 ∵AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，∴∠ACB ＝60°.∵CD 为∠ACB 的平分线，∴∠BCD ＝∠ACD ＝30°.∴CD ＝2 3. ∵CE ＝4，∠DCE ＝30°， ∴DE 2＝CE 2＋CD 2－2CE ·CD ·cos 30°＝4，∴DE ＝2，那么CD 2＋DE 2＝EC 2.∴∠CDE ＝90°，DE ⊥DC .又∵平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD ∩平面ACD ＝CD ，DE ⊂平面ACD ，∴DE ⊥平面BCD .(2)解 ∵EF ∥平面BDG ，EF ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面BDG ＝BG ，∴EF ∥BG .∵点E 在线段AC 上，CE ＝4，点F 是AB 的中点，∴AE ＝EG ＝CG ＝2.如图，作BH ⊥CD 于H .∵平面BCD ⊥平面ACD ，∴BH ⊥平面ACD .由条件得BH ＝32， S △DEG ＝13S △ACD ＝13×12AC ·CD ·sin 30°＝3， ∴三棱锥B －DEG 的体积V ＝13S △DEG ·BH ＝13×3×32＝32. 思维升华 平面图形的翻折问题，关键是弄清翻折前后图形中线面位置关系和气宇关系的转变情形.一样地翻折后还在同一个平面上的性质不发生转变，不在同一个平面上的性质发生转变.(2021·北京)如图(1)，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 别离为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图(2).(2)求证：A1F⊥BE.(3)线段A1B上是不是存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由.(1)证明因为D，E别离为AC，AB的中点，因此DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，因此DE∥平面A1CB.(2)证明由已知得AC⊥BC且DE∥BC，因此DE⊥AC.因此DE⊥A1D，DE⊥CD.又A1D∩CD＝D，因此DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，因此DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，因此A1F⊥平面BCDE，又因为BE⊂平面BCDE，因此A1F⊥BE.(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，别离取A1C，A1B的中点P，Q，那么PQ∥BC.又因为DE∥BC，因此DE∥PQ.因此平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，因此DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，因此A1C⊥DP.因此A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.题型三 线面位置关系中的存在性问题例3 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ，P 、Q 别离是线段AB 、CD的 中点，EP ⊥平面ABCD .(1)求证：DP ⊥平面EPC ；(2)问在EP 上是不是存在点F ，使平面AFD ⊥平面BFC ？假设存在，求出FP AP的值；假设不存在，说明理由.思维启发 先假设EP 上存在点F 使平面AFD ⊥平面BFC ，然后推证点F 的位置.(1)证明 ∵EP ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥DP .又ABCD 为矩形，AB ＝2BC ，P 、Q 别离为AB 、CD 的中点，连接PQ ，则PQ ⊥DC 且PQ ＝12DC . ∴DP ⊥PC .∵EP ∩PC ＝P ，∴DP ⊥平面EPC .(2)解 假设存在F 使平面AFD ⊥平面BFC ，∵AD ∥BC ，BC ⊂平面BFC ，AD ⊄平面BFC ，∴AD ∥平面BFC .∴AD 平行于平面AFD 与平面BFC 的交线l .∵EP ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥AD ，而AD ⊥AB ， AB ∩EP ＝P ，∴AD ⊥平面EAB ，∴l ⊥平面FAB .∴∠AFB 为平面AFD 与平面BFC 所成二面角的平面角.∵P 是AB 的中点，且FP ⊥AB ，∴当∠AFB ＝90°时，FP ＝AP .∴当FP ＝AP ，即FP AP ＝1时，平面AFD ⊥平面BFC .思维升华 关于线面关系中的存在性问题，第一假设存在，然后在那个假设下利用线面关系的性质进行推理论证，寻求假设知足的条件.假设条件知足那么确信假设，假设取得矛盾那么否定假设.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)求证：D1C⊥AC1；(2)问在棱CD上是不是存在点E，使D1E∥平面A1BD.假设存在，确信点E位置；假设不存在，说明理由.(1)证明在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，连接C1D，∵DC＝DD1，∴四边形DCC1D1是正方形，∴DC1⊥D1C.又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，∴AD⊥平面DCC1D1，又D1C⊂平面DCC1D1，∴AD⊥D1C.∵AD⊂平面ADC1，DC1⊂平面ADC1，且AD∩DC1＝D，∴D1C⊥平面ADC1，又AC1⊂平面ADC1，∴D1C⊥AC1.(2)解假设存在点E，使D1E∥平面A1BD.连接AD1，AE，D1E，设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连接MN，∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，要使D1E∥平面A1BD，可使MN∥D1E，又M是AD1的中点，则N是AE的中点.又易知△ABN≌△EDN，∴AB＝DE.综上所述，当E 是DC 的中点时，可使D 1E ∥平面A 1BD .(时刻：80分钟)1.如下图，在边长为5＋2的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M ，N ，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积.解 设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为h ，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＋r ＋2r ＝5＋2×22πrl ＝π2，解得r ＝2，l ＝42，S ＝πrl ＋πr 2＝10π，h ＝l 2－r 2＝30，V ＝13πr 2h ＝230π3.2.如图，在四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，D 1D ⊥平面ABCD ，底面ABCD是平行四边形，AB ＝2AD ，AD ＝A 1B 1，∠BAD ＝60°.(1)证明：AA 1⊥BD ；(2)证明：CC 1∥平面A 1BD .证明 (1)方式一 因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，因此D 1D ⊥BD .又因为AB ＝2AD ，∠BAD ＝60°，在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos 60°＝3AD 2，因此AD 2＋BD 2＝AB 2，因此AD ⊥BD .又AD ∩D 1D ＝D ，因此BD ⊥平面ADD 1A 1.故AA 1⊥BD .方式二 因为D 1D ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，因此BD ⊥D 1D .如图，取AB 的中点G ，连接DG ，在△ABD 中，由AB ＝2AD 得AG ＝AD .又∠BAD ＝60°，因此△ADG 为等边三角形，因此GD ＝GB ，故∠DBG ＝∠GDB .又∠AGD ＝60°，因此∠GDB ＝30°，故∠ADB ＝∠ADG ＋∠GDB ＝60°＋30°＝90°，因此BD ⊥AD .又AD ∩D 1D ＝D ，因此BD ⊥平面ADD 1A .又AA 1⊂平面ADD 1A ，故AA 1⊥BD .(2)如图，连接AC ，A 1C 1，设AC ∩BD ＝E ，连接EA 1，因为四边形ABCD 为平行四边形，因此EC ＝12AC . 由棱台概念及AB ＝2AD ＝2A 1B 1知A 1C 1∥EC 且A 1C 1＝EC ，因此四边形A 1ECC 1为平行四边形，因此CC 1∥EA .又EA 1⊂平面A 1BD ，CC 1⊄平面A 1BD ，因此CC 1∥平面A 1BD .3.如图，四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段 AD 上，且CE ∥AB .(1)求证：CE ⊥平面PAD ；(2)假设PA ＝AB ＝1，AD ＝3，CD ＝2，∠CDA ＝45°，求四棱锥P —ABCD 的体积.因此PA ⊥CE .因为AB ⊥AD ，CE ∥AB ，因此CE ⊥AD .又PA ∩AD ＝A ，因此CE ⊥平面PAD .(2)解 由(1)可知CE ⊥AD .在Rt△ECD 中，DE ＝CD ·cos 45°＝1，CE ＝CD ·sin 45°＝1.又因为AB ＝CE ＝1，AB ∥CE ，因此四边形ABCE 为矩形.因此S 四边形ABCD ＝S 矩形ABCE ＋S △ECD ＝AB ·AE ＋12CE ·DE＝1×2＋12×1×1＝52.又PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1，因此V 四棱锥P —ABCD ＝13S 四边形ABCD ·PA ＝13×52×1＝56.4.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 别离是CD 、A 1D 1的中点．(1)求证：AB 1⊥BF ；(2)求证：AE ⊥BF ；(3)棱CC 1上是不是存在点P ，使BF ⊥平面AEP ？假设存在，确信点P 的位置，假设不存在，说明理由．(1)证明 连接A 1B ，那么AB 1⊥A 1B ，又∵AB 1⊥A 1F ，且A 1B ∩A 1F ＝A 1，∴AB 1⊥平面A 1BF .又BF ⊂平面A 1BF ，∴AB 1⊥BF .(2)证明 取AD 中点G ，连接FG ，BG ，那么FG ⊥AE ，又∵△BAG ≌△ADE ，∴∠ABG ＝∠DAE .∴AE ⊥BG .又∵BG ∩FG ＝G ，∴AE ⊥平面BFG .又BF ⊂平面BFG ，∴AE ⊥BF .(3)解 存在．取CC 1中点P ，即为所求．连接EP ，AP ，C 1D ，∵EP∥C1D，C1D∥AB1，∴EP∥AB1.由(1)知AB1⊥BF，∴BF⊥EP.又由(2)知AE⊥BF，且AE∩EP＝E，∴BF⊥平面AEP.5．(2021·安徽)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点．(1)证明：BD⊥EC1；(2)若是AB＝2，AE＝2，OE⊥EC1，求AA1的长．(1)证明连接AC，A1C1.由底面是正方形知，BD⊥AC.因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，因此AA1⊥BD.又AA1∩AC＝A，因此BD⊥平面AA1C1C.因为EC1⊂平面AA1C1C知，BD⊥EC1.(2)解方式一设AA1的长为h，连接OC1.在Rt△OAE中，AE＝2，AO＝2，故OE2＝(2)2＋(2)2＝4.在Rt△EA1C1中，A1E＝h－2，A1C1＝22，故EC21＝(h－2)2＋(22)2.在Rt△OCC1中，OC＝2，CC1＝h，OC21＝h2＋(2)2.因为OE⊥EC1，因此OE2＋EC21＝OC21，即4＋(h－2)2＋(22)2＝h2＋(2)2，解得h＝32，因此AA1的长为3 2.方式二∵OE⊥EC1，∴∠AEO＋∠A1EC1＝90°.又∵∠A1C1E＋∠A1EC1＝90°，∴∠AEO＝∠A1C1E.又∵∠OAE＝∠C1A1E＝90°，∴△OAE∽EA1C1，∴AEA1C1＝AOA1E，即222＝2A1E，∴A1E＝22，∴AA1＝AE＋A1E＝3 2.6．(2021·辽宁)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.证明(1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，因此BC⊥平面PAC.(2)连接OG并延长交AC于M，连接QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点．由Q为PA中点，得QM∥PC，又O为AB中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM⊂平面QMO，MO⊂平面QMO，BC∩PC＝C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC.因此平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO，因此QG∥平面PBC.。

2021届高考数学（新高考）仿真模拟卷（四）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．已知复数2i1iz =+，则z z ⋅的值 A ．0B ．2iC ．2D ．12．命题“x R ∀∈，2210x x ++>”的否定是 A ．0x R ∃∈，使得200210x x ++> B ．0x R ∃∈，使得200210x x ++≤ C ．x R ∀∈，2210x x ++≤ D ．x R ∀∈，2210x x ++<3．已知向量()2,1m =-，(),2n λ=，若()2m n m -⊥，则λ= A ．94B ．94-C ．7-D ．74．如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME -7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A ===⋯==，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记12,,,,n OA OA OA 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为A ．n a n =，*n N ∈B ．n a =*n N ∈C ．n a =，*n N ∈D ．2n a n =，*n N ∈5．已知正实数a ，b 满足1a b +=，则1231⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭a b 的最小值为A ．14+B ．25C ．24D ．6．在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()2sin 2BA C +=.2a =，3c =，则sin 2A 的值为A ．7-B ．14C ．7D ．14-7．已知a 、b 满足0a b e <<<，则ln +ba a a 与ln +ab b b的大小关系为 A ．ln ln +>+a ba ba b a b B ．ln ln +=+a ba b a b a bC ．ln ln +<+a ba b a b a bD ．不能确定8．在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．德国数学家狄里克雷（1805—1859）在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数.”这个定义较清楚的说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围内的每一个x ，都有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示.他还发现了狄里克雷函数D(x )，即：当自变量x 取有理数时，函数值为1，当自变量x 取无理数时，函数值为0.狄里克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，下列关于狄里克雷函数D(x )的性质表述正确的是A ．()0D π=B ．()D x 是奇函数C ．()D x 的值域是{}0,1D ．()()1D x D x +=10．若2nx⎛ ⎝的展开式中第6项的二项式系数最大，则n 的可能值为A ．9B ．10C ．11D ．1211．已知函数()sin xf x x=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有 A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，线段11B D 上有两个动点,E F ，且1EF =，以下结论正确的有A ．AC BE ⊥B ．异面直线,AE BF 所成的角为定值C ．点A 到平面BEF 的距离为定值D ．三棱锥A BEF -的体积是定值三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．在Rt ABC 中，2A π∠=，2AC =，那么CB CA ⋅=_____；14．夏､秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长到15厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为____.15．设函数()()21,11,1x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，()lg g x x =，则函数()()()F x f x g x =-零点的个数有______个.16．若n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2121232222n n a a a a n n -++++=+，则n a =______n S =_____四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．如图，ABC 中的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，8c =，1cos 7ACB ∠=-且14cos b B =．（1）求B（2）点D 在BC边的延长线上，且AD =CD 的长．18．设33M a =-，22N a =，4T a =，给出以下四种排序：①M ，N ，T ；②M ，T ，N ；③N ，T ，M ；④T ，N ，M ．从中任选一个，补充在下面的问题中，解答相应的问题．已知等比数列{}n a 中的各项都为正数，11a =，且__________依次成等差数列． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅰ）设,01,{1,1,n n n n na ab a a <≤=>数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足100n n S b >的最小正整数n ．注：若选择多种排序分别解答，按第一个解答计分．19．为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km h 的有40人，不超过100km h 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km h 的有20人，不超过100km h 的有25人.（1）完成下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的前提下认为“平均车速超过100km h 与性别有关”？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.（2）在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100km h 的人中随机抽取2人，求这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；（3）以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100km h 且为男性驾驶员的车辆数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .20．如图，在四棱锥P −ABCD 中，AD //BC ，AD =2BC =4，AB =2√3，∠BAD =90∘，M,O 分别为线段CD,AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ．（1）求证：平面PBM ⊥平面PAC ；（2）是否存在线段PM 上一点N ，使得ON //平面PAB ，若存在，求PN PM的值；若不存在，请说明理由．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C ：22221x y a b +=和椭圆2C ：22221x yc b+=，其中0a c b >>>，222a b c =+，1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，且满足12:e e =A ，B 分别是椭圆2C 的右、下顶点，直线AB 与椭圆1C 的另一个交点为P ，且185PB =.（1）求椭圆1C 的方程；（2）与椭圆2C 相切的直线MN 交椭圆1C 与点M ，N ，求MN 的最大值. 22．已知函数()22xf x x ax e =+-在R 上单调递减.（1）求实数a 的取值范围；（2）若存在非零实数1x ，2x 满足1f x ，()0f ，2f x 依次成等差数列.求证：120x x +<.参考答案1．C 2．B 3．A 4．C 5．A 6．C 7．C 8．C 9．ACD 10．ABC 11．ACD 12．ACD 13．4 14．1315．8 16．1212n n -+ 125102n n -+- 17．（1）3B π=；（2）7CD =.【解析】（1）因为1cos 7ACB ∠=-，(0,)ACB π∠∈，所以sin ACB ∠== 在ABC 中，由正弦定理得：sin sin b c B ACB=∠，所以sin sin 3c B b B ACB ==∠，又14cos b B =14cos B B =，所以tan B = 因为(0,)B π∈，所以3B π=.（2）由（1）可得11472b =⨯=，在ACD △中，1cos cos 7ACD ACB ∠=-∠=， 由余弦定理可得：2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅⋅∠，即22217277CD CD =+-⋅⋅⋅，即22350CD CD -⋅-=， 解得：7CD =或5-（舍去）， 所以7CD =.18．（Ⅰ）答案见解析；（Ⅰ）答案见解析. 【解析】（解答一）选②或③：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，则0q >．由条件得423223a a a =-，又因为11a =，所以32223q q q =-，即22320q q +-=，解得12q =（负值舍去）．所以112n n a -=．（Ⅰ）由题意得112n n b -=，则1112121212n nn n S ---==-．由100n n S b >得 112110022n n n --->，即2101>n ，又因为*n ∈N ，所以n 的最小值为7． （解答二）选①或④：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，则0q >．由条件得24343a a a =-，又因为11a =，所以3243q q q =-，即2340q q --=，解得4q =（负值舍去）．所以14n n a -=．（Ⅰ）由题意得114n n b -=，则11141413414n n n n S ---==⨯-．由100n n S b >得 1141100344n n n --->⨯，即4301n >，又因为*n ∈N ，所以n 的最小值为5． 19．（1）答案见解析，能；（2）2552；（3）答案见解析，65.【解析】（1）完成的22⨯列联表如下：()22100402515208.2497.87955456040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为“平均车速超过100km h 与性别有关”. （2）平均车速不超过100km h 的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为240C ，记“这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A ， 则事件A 所包含的基本事件数为111525C C ，所以所求的概率()111525240152525203952C C P A C ⨯===⨯. （3）根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车， 平均车速超过100km h 且为男性驾驶员的概率为4021005=， 故2(3,)5XB .所以0332327(0)()()55125P X C ===；()12323541()()55125P X C ===； ()22323362()()55125P X C ===；3303238(3)()()55125P X C ===. 所以X 的分布列为()2701231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（或()26355E X =⨯=）.20．（1）证明见解析；（2）λ=13. 【解析】试题分析：（1）以A 为原点建立空间直角坐标系A −xyz ，可得BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,3,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,2,0)， BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，BM ⊥AC 又BM ⊥PO 得BM ⊥平面PAC ，进而得结论；（2）设OP =ℎ，可得平面PAB 的一个法向量为n ⃗ =(0,−ℎ,1)，再根据ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2λℎ+ℎ−λℎ=0可解得λ. 试题解析：（1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A −xyz ，B(2√3,0,0)，C(2√3,2,0)，D(0,4,0)，所以CD 中点M(√3,3)，则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,3,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3,2,0)，则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3)×(2√3)+3×2=0，所以BM ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD ，所以BM ⊥PO ，由AC ∩PO =O ， 所以BM ⊥平面PAC ，又BM ⊂平面PBM ，所以平面PBM ⊥平面PAC .（2）法一：设OP =ℎ，则O(√3,1,0)，P(√3,1,ℎ)，则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−ℎ)， 设平面PAB 的一个法向量为n ⃗ =(x 0,y 0,z 0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,ℎ)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)， 所以{n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，则{√3x 0+y 0+ℎz 0=02x 0=0 ，令z 0=1，得n ⃗ =(0,−ℎ,1)，设PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2λ,−λℎ) (0≤λ≤1)，则 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2λ,ℎ−λℎ)， 若ON//平面PAB ，则ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2λℎ+ℎ−λℎ=0，解得λ=13.法二：（略解）：连接MO 延长与AB 交于点E ，连接PE ，若存在ON//平面PAB ，则ON//PE ， 证明OE EM=13即可.21．（1）22193x y +=；（2）2. 【解析】（1）由题意知1c e a =，2e c c==，因为12:e e =2c a c=⋅，22， 将等号两边同时平方，得42243840c a c a -+=，即()()22222230a c a c --=，所以2232a c =，又222a b c =+，所以3a b ，c =，所以),0A ，()0,B b -，所以直线AB 的方程为2y x b =-，与椭圆1C ：222213x y b b +=联立并消去y ，得222332x x b b ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，整理得10x =，25x =，所以,55b P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因为185PB =185=，得b =3a =，椭圆1C 的方程为22193x y +=. （2）当直线MN 的斜率不存在时，易得2MN =.当直线MN 的斜率存在时，设直线MN ：()0y kx m k =+≠，与椭圆2C ：22163x y +=联立并消去y ， 得()222124260k x knx m +++-=，因为直线MN 与椭圆2C 相切，所以()()222216412260k m km ∆=-+-=，整理得()22630*k m +-=， 将直线MN 与椭圆1C 方程联立并消去y ，得()222136390k x kmx m +++-=， 由()*式可得()()()22222223641339129336k m k m k m k ∆=-+-=+-=.设(),M M M x y ，(),N N N x y ，则2613M N km x x k -+=+，223913M N m x x k-=+，所以213M NMN xk=-==+设213k t+=，则1t>，2MN==≤，22<，所以当4t=，即1k=±时，MN最大，且最大值为2.22．（1）(],2-∞；（2）证明见解析.【解析】（1）根据题意，()220xf x x a e'=+-≤恒成立，即()maxf x'≤，设()()g x f x'=，则()22xg x e='-.令0g x，得0x=，当0x<时，0g x，()g x 单调递增；当0x>时，0g x，()g x单调递减.所以()()max02g x g a==-.所以20a-≤，即2a≤.故a的取值范围为(],2-∞.（2）由题意得()()()1202f x f xf+=，因为()f x单调递减，不妨设12x x<<.设()()()22x xf x f xF x x e e-+-==--，则()2x xF x x e e-'=-+.设()()G x F x'=，则()20x xG x e e-'=--≤，所以()G x单调递减，即()F x'单调递减.当0x<时，()()00F x F''>=，所以()F x在,0上单调递增.因为10x<，所以()()1F x F<，即()()()()()1112022f x f x f x f x f +-+<=，整理可得()()12f x f x -<. 因为()f x 在R 上单调递减，所以12x x ->，即120x x +<.。

专题突破练4 从审题中寻找解题思路一、单项选择题 1.已知sin π4-2x =35,则sin 4x 的值为( )A.1825B.±1825C.725D.±7252.(2020山东济南6月模拟,7)已知水平直线上的某质点,每次等可能的向左或向右移动一个单位长度,则在第6次移动后,该质点恰好回到初始位置的概率是( ) A.14B.516C.38D.123.已知△ABC 中,sin A+2sin B cos C=0,√3b=c ,则tan A 的值是( ) A.√33B.2√33C.√3D.4√334.(2020天津河东区检测,8)已知实数a ,b ,ab>0,则aba 2+b 2+a 2b 2+4的最大值为( ) A.16B.14C.17D.65.(2020广东江门4月模拟,理12)四棱锥P-ABCD ,AD ⊥平面PAB ,BC ⊥平面PAB ,底面ABCD 为梯形,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠BPC ,满足上述条件的四棱锥顶点P 的轨迹是( ) A.线段 B.圆的一部分 C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分6.(2020湖北高三期末,12)已知函数f (x )={|lnx |,0<x ≤2,f (4-x ),2<x <4,若方程f (x )=m 有四个不等实根x 1,x 2,x 3,x 4(x 1<x 2<x 3<x 4)时,不等式kx 3x 4+x 12+x 22≥k+11恒成立,则实数k 的最小值为( )A.98B.2516C.2-√32D.√3−12二、多项选择题 7.在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,如图,则下列等式成立的是( ) A.|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B.|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗D.|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )×(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |28.函数f (x )=A sin(2x+φ)A>0,|φ|<π2部分图象如图所示,对不同x 1,x 2∈[a ,b ],若f (x 1)=f (x 2),有f (x 1+x 2)=√3,则( ) A.a+b=π B.b-a=π2 C.φ=π3D.f (a+b )=√39.已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为e 1,椭圆C 1的上顶点为M ,且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,双曲线C 2和椭圆C 1有相同焦点,且双曲线C 2的离心率为e 2,P 为曲线C 1与C 2的一个公共点,若∠F 1PF 2=π3,则正确的是( )A.e2e 1=2B.e 1·e 2=√32C.e 12+e 22=52D.e 22−e 12=110.(2020山东历城二中模拟四,12)已知函数f (x )=2sin (ωx -π6)的图象的一条对称轴为x=π,其中ω为常数,且ω∈(0,1),则以下结论正确的是( ) A.函数f (x )的最小正周期为3πB.将函数f (x )的图象向左平移π6所得图象关于原点对称C.函数f (x )在区间[-π6,π2]上单调递增D.函数f (x )在区间(0,100π)上有66个零点 三、填空题11.若△ABC 的面积为√34(a 2+c 2-b 2),则∠B= .12.(2020天津河东区检测,15)函数f (x )=x ,g (x )=x 2-x+3,若存在x 1,x 2,…,x n ∈[0,92],使得f (x 1)+f (x 2)+…+f (x n-1)+g (x n )=g (x 1)+g (x 2)+…+g (x n-1)+f (x n ),n ∈N *,则n 的最大值为 . 四、解答题13.(2020山东青岛二模,19)已知数列{a n }的各项均为正数,其前n 项和为S n ,2S n +n+1=a n+12,n ∈N *.(1)证明:当n ≥2时,a n+1=a n +1;(2)若a 4是a 2与a 8的等比中项,求数列{2n ·a n }的前n 项和T n .专题突破练4 从审题中寻找解题思路1.C 解析由题意得cos π2-4x =1-2sin 2π4-2x =1-2×925=725,sin4x=cos π2-4x =725.故选C .2.B 解析在经过6次移动后,该质点恰好回到初始位置,则每次都有向左或者向右两种选择,共有26=64种可能;要回到初始位置,则只需6次中出现3次向左移动,3次向右移动,故满足题意的可能有C 63=20种可能.故恰好回到初始位置的概率P=2064=516.故选B .3.A 解析∵sin A+2sin B cos C=0,∴sin(B+C )+2sin B cos C=0. ∴3sin B cos C+cos B sin C=0. ∵cos B ≠0,cos C ≠0,∴3tan B=-tan C .∵√3b=c ,∴c>b ,∴C>B.∴B 为锐角,C 为钝角.∴tan A=-tan(B+C )=-tanB+tanC1-tanBtanC =2tanB 1+3tan 2B=21tanB+3tanB ≤2√3=√33, 当且仅当tan B=√33时取等号.∴tan A 的最大值是√33.故选A .4.A 解析由于a 2+b 2≥2ab>0,所以ab a 2+b 2+a 2b 2+4≤ab2ab+a 2b 2+4,故ab2ab+a 2b 2+4=12+ab+4ab≤2+2√ab ·4ab=16,当且仅当a=b 时,等号成立,故其最大值为16.5.B 解析在平面PAB 内,以AB 所在直线为x 轴,AB 的中垂线为y 轴,建立平面直角坐标系.设点P (x ,y ),则由题意可得A (-3,0),B (3,0).∵AD ⊥平面PAB ,BC ⊥平面PAB ,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠CPB , ∴Rt △APD ∽Rt △CPB ,∴APBP =ADBC =48=12.即BP 2=4AP 2,故有(x-3)2+y 2=4[(x+3)2+y 2], 整理得(x+5)2+y 2=16,表示一个圆.由于点P 不能在直线AB 上,故点P 的轨迹是圆的一部分,故选B . 6.C 解析函数f (x )={|lnx |,0<x ≤2,f (4-x ),2<x <4的图象如下图所示:当方程f (x )=m 有四个不等实根x 1,x 2,x 3,x 4(x 1<x 2<x 3<x 4)时, |ln x 1|=|ln x 2|,即x 1•x 2=1,x 1+x 2>2√x 1x 2=2,|ln(4-x 3)|=|ln(4-x 4)|,即(4-x 3)·(4-x 4)=1,且x 1+x 2+x 3+x 4=8,若不等式kx 3x 4+x 12+x 22≥k+11恒成立,则k ≥11-(x 12+x 22)x 3x 4-1恒成立,由11-(x 12+x 22)x 3·x 4-1=11-(x 1+x 2)2+2x 1x 24(x 3+x 4)-16=13-(x 1+x 2)216-4(x 1+x 2)=14[(x 1+x 2)-4+3(x1+x 2)-4+8]≤2-√32,故k ≥2-√32,故实数k 的最小值为2-√32,故选C. 7.ABD 解析由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos A=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB⃗⃗⃗⃗⃗ |,由射影定理可得|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选项A 正确; 由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos B=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,由射影定理可得|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选项B 正确; 由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π-∠ACD )<0,又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2>0,故选项C 错误; 由题图可知Rt △ACD ∽Rt △ABC ,所以|AC⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |, 由选项A,B 可得|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )×(BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |2,故选项D 正确. 故选ABD .8.BD 解析根据函数f (x )=A sin(2x+φ)A>0,|φ|<π2部分图象如图所示,所以函数的周期为2π2=π,即b-a=T 2=π2,故B 正确.由图象知A=2,则f (x )=2sin(2x+φ),在区间[a ,b ]中的对称轴为x=a+b 2,由f (x 1)=f (x 2)得,x 1,x 2也关于x=a+b 2对称,则x 1+x 22=a+b 2,即x 1+x 2=a+b ,则f (a+b )=f (x 1+x 2)=√3,故D正确,故选BD .9.BD 解析因为MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,且|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,故三角形MF 1F 2为等腰直角三角形,设椭圆的半焦距为c ,则c=b=√22a ,所以e 1=√22.在焦点三角形PF 1F 2中,∠F 1PF 2=π3,设|PF 1|=x ,|PF 2|=y ,双曲线C 2的实半轴长为a',则{x 2+y 2-xy =4c 2,x +y =2√2c ,|x -y |=2a ',故xy=43c 2,从而(x-y )2=x 2+y 2-xy-xy=8c 23,所以(a')2=2c 23,即e 2=√62,故e2e 1=√3,e 2e 1=√32,e 12+e 22=2,e 22−e 12=1.故选BD .10.AC 解析由函数f (x )=2sin ωx-π6的图象的一条对称轴为x=π,得ωπ-π6=k π+π2(k ∈Z ),因为ω∈(0,1),所以k=0,ω=23,则f (x )=2sin23x-π6,所以周期T=2π23=3π,A 正确;将函数f (x )的图象向左平移π6,得g (x )=f (x +π6)=2sin 23x+π6-π6=2sin (23x -π18),显然g (x )的图象不关于原点对称,B 错误;由2k π-π2≤23x-π6≤2k π+π2(k ∈Z ),即k=0,得-π2≤x ≤π,即[-π2,π]是函数f (x )的一个单调递增区间,又[-π6,π2]⊆[-π2,π],所以函数f (x )在区间[-π6,π2]上单调递增,C 正确;由f (x )=0,得23x-π6=k π(k ∈Z ),解得x=32(kπ+π6),由0<32k π+π6<100π,得-16<k<66.5,因为k ∈Z ,所以k=0,1,2,…,66,所以函数f (x )在区间(0,100π)上有67个零点,D 项错误. 11.π3 解析由三角形面积公式可得,S=12ac sin B=√34(a 2+c 2-b 2),∴14sin B=√34×a 2+c 2-b 22ac=√34cos B ,∴tan B=√3.∵B ∈(0,π),∴B=π3.12.8 解析函数f (x )=x ,g (x )=x 2-x+3.f (x 1)+f (x 2)+…+f (x n-1)+g (x n )=g (x 1)+g (x 2)+…+g (x n-1)+f (x n ),即为x 1+x 2+…+x n-1+x n 2-x n +3=x 12-x 1+3+x 22-x 2+3+…+x n -12-x n-1+3+x n ,化为x n 2-2x n +3=x 12-2x 1+3+x 22-2x 2+3+…+x n -12-2x n-1+3,设h (x )=x 2-2x+3,可得存在x 1,x 2,…,x n ∈[0,92],使得h (x n )=h (x 1)+h (x 2)+…+h (x n-1),故h (x )在x=1处取得最小值2,在x=92处取得最大值574,即有574≥h (x n )=h (x 1)+h (x 2)+…+h (x n-1)≥2(n-1),即为n ≤658,可得n 的最大值为8.13.解(1)因为2S n +n+1=a n+12,所以2S n-1+n=a n 2(n ≥2).两式相减得2a n +1=a n+12−a n 2(n ≥2), 所以a n 2+2a n +1=a n+12, 即(a n +1)2=a n+12(n ≥2).因为数列{a n }的各项均为正数, 所以当n ≥2时,a n+1=a n +1. (2)由(1)得a 4=a 2+2,a 8=a 2+6, 因为a 4是a 2与a 8的等比中项,所以a 42=a 2·a 8,即(a 2+2)2=a 2·(a 2+6),解得a 2=2.又2a 1+2=a 22,所以a 1=1.所以a 2-a 1=1,从而a n+1-a n =1对n ∈N *恒成立.所以数列{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列,所以a n =n ,所以2n ·a n =n·2n ,所以T n =1×2+2×22+…+(n-1)×2n-1+n×2n , 2T n =1×22+2×23+…+(n-1)×2n +n×2n+1, 两式相减得-T n =2+22+…+2n -n×2n+1=2(1-2n )1-2-n×2n+1=(1-n )·2n+1-2,所以T n =(n-1)·2n+1+2.。

强化小题（1）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2|320A x x x =-+<，{}|1|1B=x|x -<，则A B =（ ）A. {}|02x x <<B. {}1|0x x <<C. {}|2x x <D. {}|12x x << 2. 已知()2i i 2i z +=-，则z =（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 123. 下列结论正确的是（ ）A. 残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越低.B. 在线性回归模型中，相关指数0.96=2R ，说明解释变量对于预报变量变化的贡献率约为96%.C. 已知随机变量2(2,)X N σ，若(02)0.4P X <<=，则(4)0.2P X >=.D. 设,a b 均为不等于1的正实数，则“log 2log 2b a >”的充要条件是“1a b >>”.4.若nx ⎛+ ⎝的展开式中各项系数之和为256，则展开式中x 的系数是（ ） A. 54 B. 81 C. 96 D. 106 5. 若圆锥的侧面展开图是半径为l 的半圆，则这个圆锥的表面积与侧面积比值是（ ） A. 32 B. 2 C. 43D. 53 6. 已知点00(,)M x y 在直线320x y ++=上，且满足001x y >-，则00y x 取值范围为（ ） A. 1(3,]3--B. ()1,3(,)3-∞--+∞C. 1(,3](,3+)-∞--∞D. 1(3,)3-- 7. 函数()cos 2lg 22x x x f x π-⎛⎫- ⎪⎝⎭=-在区间[)(]3,00,3-上的大致图象为（ ）A. B.C. D.8. 已知函数4(),[,)a f x x b x b x=++∈+∞，其中0,b a R >∈，记M 为()f x 的最小值，则当2M =时，a 的取值范围为（ ） A. 13a > B. 13a < C. 14a > D. 14a < 二、多项选择题9. 下列说法正确是（ ）A. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一、二、三、四年级本科生人数之比为6：5：5：4，则应从一年级中抽取90名学生B. 10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率为12 C. 已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得x =3，y =3．5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是y =0.4x +2.3D. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件10. 已知定义在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的函数()f x ，()'f x 是()f x 的导函数，且恒有cos ()sin ()0xf x xf x '+<成立，则( )A. 64f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭64ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11. 设函数g (x )=sinωx (ω＞0)向左平移5πω个单位长度得到函数f (x )，已知f (x )在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（ ） 的A. f (x )图象关于直线2x π=对称B. f (x )在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f (x )在(0，2π)上有且只有2个极小值点C. f (x )在(0,)10π上单调递增 D. ω取值范围是[1229,510) 12. 如图，在矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将△AMB 沿直线AM 翻折成△AB 1M ，连接B 1D ，N 为B 1D 的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A. 存在某个位置，使得CN ⊥AB 1B. CN 的长是定值C. 若AB =BM ，则AM ⊥B 1DD. 若AB =BM =1，当三棱锥B 1－AMD体积最大时，三棱锥B 1－AMD 的外接球的表面积是4π 三、填空题13. 某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17），将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，如图是根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组中的人数为 _________．14. 41()(1)x x x --的展开式中x 3的系数为_______． 的的的15. 已知函数3log (1)2,0()(3),0x x f x f x x +-≥⎧=⎨+<⎩，则(2020)f -=________． 16. 已知直线l ：340x y m ++=，圆C ：22420x y x +-+=，则圆C 的半径r =______；若在圆C 上存在两点A ，B ，在直线l 上存在一点P ，使得90APB ∠=︒，则实数m 的取值范围是______．。

强化小题（2）一、单项选择题1. 设集合{}012M =,,，{}2320N x x x =-+≤，则M N =（ ）A. {}1B. {}2C. {}0,1D. {}1,22. 已知复数z 满足()1i z i +=，i 为虚数单位，则z 等于（ ）A. 1i -B. 1i +C. 1122i -D. 1122i + 3. 若向量a ，b 满足：1a =，()a b a +⊥，()2a b b +⊥，则b =（ ）A. 2B.C. 1D. 4. 已知抛物线E ：y 2=2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，OF 为菱形OBFC 的一条对角线，另一条对角线BC 的长为2，且点B ，C 在抛物线E 上，则p =（ ）A. 1B.C. 2D. 5. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则“S n ＞na n 对n ≥2恒成立”是“a 3＞a 4”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A. B. C.D.7. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(],0x ∈-∞时，()22f x x x =-+，若实数m 满足()2log 3f m ≤，则m 的取值范围是（ ）A. (]0,2B. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. (]0,8D. 1,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦8. 如图，在三棱锥A —BCD 中，AB =AC =BD =CD =3，AD =BC =2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是（ ）A. 58B.C. 78D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ）A. 此数列的第20项是200B. 此数列的第19项是182C. 此数列偶数项的通项公式为222n a n =D. 此数列的前n 项和为(1)n S n n =⋅-10. 已知1F 、2F 是双曲线22:142y x C -=的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段12F F 为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的是（ ）A. 双曲线C 的渐近线方程为y =B. 以12F F 为直径的圆的方程为222x y +=C. 点M 的横坐标为D. 12MF F △的面积为11. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0,(6)()f x +f x f x f x -=+=-，且对[]12,3,0x x ∀∈-，当12x x ≠时，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +<+，则以下判断正确的是（ ）A. 函数()f x 是偶函数B. 函数()f x 在[]9,6--单调递增 C. 3x =是函数()f x 的对称轴 D. 函数()f x 的最小正周期是1212. 如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为ABCD 为矩形，CD =Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A. CQ ⊥平面PADB. PC 与平面AQC 所成角的余弦值为3C. 三棱锥B ACQ -的体积为D. 四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成________个三位正整数14. 函数()2sin cos sin 222x x x f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在[]0,π上的最小值是________. 15. 已知一袋中装有红，蓝，黄，绿小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回.当四种颜色的小球全部取出时即停止，则恰好取6次停止的概率为______.16. 已知圆F ：()2231x y ++=，直线:2l y =，则与直线l 相切且与圆F 外切的圆的圆心M 的轨迹方程为_________.点P 是圆心M 轨迹上的动点，点A 的坐标是()0,3，则使|PF||PA|取最小值时的点P 的坐标为__. .。

姓名，年级：时间：专题限时集训(四）数列1．（2020·全国卷Ⅱ)记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a5－a3＝12,a6－a4＝24，则错误!＝（)A．2n－1 B．2－21－nC．2－2n－1D．21－n－1B[法一:设等比数列｛a n}的公比为q，则由错误!解得错误!所以S n＝错误!＝2n－1，a n＝a1q n－1＝2n－1，所以错误!＝错误!＝2－21－n，故选B．法二:设等比数列｛a n｝的公比为q，因为错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝2，所以q＝2,所以错误!＝错误!＝错误!＝2－21－n，故选B．] 2．（2018·全国卷Ⅰ）记S n为等差数列{a n｝的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2,则a5＝（)A．－12 B．－10 C．10 D．12B［法一:设等差数列{a n｝的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴3错误!＝2a1＋d＋4a1＋错误!d，解得d＝－错误!a1，∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×（－3)＝－10。

故选B．法二：设等差数列{a n}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－a3，∴3a1＋3×22d＝d.∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10。

故选B．］3．(2017·全国卷Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{a n｝的公差为（)A．1 B．2 C．4 D．8C[设｛a n｝的公差为d,则由错误!得错误!解得d＝4。

故选C．]4．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列｛a n｝的首项为1，公差不为0。

若a2，a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为（）A．－24 B．－3 C．3 D．8A[由已知条件可得a1＝1，d≠0，由a错误!＝a2a6可得（1＋2d）2＝(1＋d)（1＋5d），解得d＝－2.所以S6＝6×1＋错误!＝－24。