直角三角形 知识讲解

解直角三角形 知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则有： ①三边之间的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理). ②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. ③边角之间的关系：sin ,cos ,tan ,cot a bab A A A Ac c b a ==== sin ,cos ,tan ,cot b aba B B B B c c a b==== ④，h 为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). (3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 要点二、解直角三角形的常见类型及解法由由，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算；2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别地：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图；2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解；3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，b = 【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由tan bB a =知， 由cos =a B c 知，48cos cos 60a c B ===°．(2)由tan bB a==B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ 222a b c +=，∴ 2c =．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值． 举一反三：【变式】（1）已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA=23, c=6 ，求a 和b.【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°； （2）a=4；b=2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，b ＝20，解这个直角三角形．【答案与解析】由∠C ＝90°知，∠A+∠B ＝90°，而∠B ＝30°， ∴ ∠A ＝90°-30°＝60°．又 sin 30b c =°，∴ 1202c=． ∴ c ＝40．由勾股定理知222a cb =-．∴ 2224020a =-，a =．【总结升华】解这个直角三角形就是根据已知∠C ＝90°，∠B ＝30°，b ＝20，求∠A 、a 、c 的过程． 类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．如图所示，BC 是半圆⊙O 的直径，D 是的中点，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，(1)求证：△ABE ∽△DBC ； (2)已知BC ＝52，CDsin ∠AEB 的值； (3)在(2)的条件下，求弦AB 的长．【答案与解析】(1)∵，∴ ∠1＝∠2，又BC 是⊙O 的直径，∴ ∠BAC ＝∠BDC ＝90°． ∴ △ABE ∽△DBC ．(2)由△ABE ∽△DBC ，∴ ∠AEB ＝∠DCB ． 在Rt △BDC 中，BC ＝52，CD＝ ∴ BD= ∴ sin ∠AEB ＝sin ∠DCB＝552BD BC ==． (3)在Rt △BDC 中，BD1＝∠2＝∠3，∠ADE ＝∠BDA ，∴ △AED ∽△BAD ． ∴AD DEDB AD=，∴ 2AD DE DB =． 又∵2CD AD ==，∴ CD 2＝(BO －BE)·BD ，∴BE =在Rt △ABE 中，AB ＝BE ．sin ∠AEB32=．【总结升华】本题综合了三角函数、相似三角形、勾股定理、圆等方面知识，尤其涉及三角函数问题，都是通过找出或构造盲角三角形来解决问题． (1)根据圆周角定理易证△ABE ∽△DBC ．(2)利用(1)的结论，将∠AEB 转化为Rt △BCD 中的DCB ∠．(3)在Rt △ABE 中求AB ．举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，AC=12cm ，AB=16cm ，sinA=13． （1）求AB 边上的高CD ；（2）求△ABC 的面积S ；（3）求tanB ．【答案】（1）CD=4cm ；（2）S=32 cm 2；（3）类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为i =i ＝铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)． 【答案与解析】(1)在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==．(2)在Rt △DEC 中，∵ tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°． 又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AG AFG FG ∠=55FB =+，解得5 3.66(m)FB ==．答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ． 【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.11.73)．【答案与解析】过点C 作CE ⊥AB 于E ．∵ ∠D ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°，∴ ∠CAD ＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD ＝10，∴ AC ＝12CD ＝5． 在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin ∠ACE ＝5×sin 30°＝52，CE ＝AC ·cos ∠ACE ＝5×cos 30 在Rt △BCE 中，∵ ∠BCE ＝45°，∴ 551)22AB AE BE =+=+=≈6.8(米)． ∴ 雕塑AB 的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．。

直角三角形知识点总结直角三角形是一种特殊的三角形，其中包含一个内角为90度的角。

本文将对直角三角形的定义、性质及相关定理进行总结。

一、直角三角形的定义和性质1. 定义：直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

2. 性质：(1) 直角三角形的两条边相互垂直。

(2) 直角三角形的两条边叫做直角边，另一条边叫做斜边。

(3) 直角三角形的斜边是直角边的最长边。

二、直角三角形的相关定理1. 勾股定理：直角三角形的任意两条直角边的平方和等于斜边的平方。

设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则有：a² + b² = c²2. 相关角定理：(1) 正弦定理：在直角三角形中，以直角边和斜边为参照，边长之间的比例关系如下：正弦定理可表示为：sinA = a / c，sinB = b / c(2) 余弦定理：在直角三角形中，以直角边和斜边为参照，利用余弦定理可以求得直角边之间的夹角大小关系，以及直角边与斜边的夹角大小关系：余弦定理可表示为：cosA = b / c，cosB = a / c3. 边长比例定理：在直角三角形中，直角边与斜边的长度之比为根号2与1的比值：a / c = 1 / √2，b /c = 1 / √24. 特殊直角三角形：(1) 等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形。

特殊性质是两条直角边的边长相等。

(2) 30度-60度-90度特殊直角三角形：其中一个角为直角，另外两个角为30度和60度。

特殊性质是斜边的长度是直角边的两倍，直角边之间的长度比为1: √3 : 2。

(3) 45度-45度-90度特殊直角三角形：其中一个角为直角，另外两个角为45度。

特殊性质是斜边的长度是直角边的根号2倍，直角边之间的长度比为1 : 1 : √2。

总结：本文总结了直角三角形的定义、性质以及相关定理。

通过了解直角三角形的特点和定理，我们可以在求解相关问题时依据这些知识点进行推导和计算。

完整版)解直角三角形知识点总结解直角三角形直角三角形的性质：直角三角形有以下几个性质：1.直角三角形的两个锐角互余，即∠A+∠B=90°，因为∠C=90°。

2.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即BD=AB/2=DC。

这是因为∠A=30°，∠C=90°，根据正弦定理得到BD=AB/2，根据余弦定理得到BD=DC。

3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD=AB/2.这是因为D为AB的中点，且∠ACB=90°。

4.勾股定理：a²+b²=c²，其中c为斜边，a、b为直角边。

5.射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。

这是因为CD⊥AB，根据相似三角形的性质得到CD²=AD×BD，同时根据勾股定理得到AC²=AD×AB，BC²=BD×AB，因此CD²=AC²-AD²=BC²-BD²。

锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角A的正弦、余弦、正切、余切分别为sinA、cosA、XXX、cotA，它们的定义如下：sinA=a/c，cosA=b/c，tanA=a/b，cotA=b/a。

锐角三角函数的取值范围是：-1≤sinα≤1，-1≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.锐角三角函数之间的关系：1.平方关系：sin²A+cos²A=1.2.倒数关系：tanA×tan(90°-A)=1.3.弦切关系：XXX，XXX。

4.互余关系：sinA=cos(90°-A)，cosA=sin(90°-A)，tanA=cot(90°-A)，cotA=tan(90°-A)。

解直角三角形一、锐角三角函数(一)、锐角三角函数定义在直角三角形ABC中,ZC=90°,设BC=a, CA=b,AB=c，锐角A得四个三角函数就就是：(1)正弦定义:在直角三角形中A B C,锐角A得对边与斜边得比叫做角A得正弦，记作s i nA,BPsin A =，(2)余弦得定义:在直角三角行ABC,锐角A得邻边与斜边得比叫做角A得余弦，记作co s A,即c o s A =,(3)正切得定义:在直角三角形ABC中，锐角A得对边与邻边得比叫做角A得正切，记作tanA,即t an A =,(4)锐角A得邻边与对边得比叫做ZA得余切，记作c otA 即锐角A得正弦、余弦，正切、余切都叫做角A得锐角三角函数。

这种对锐角三角函数得定义方法，有两个前提条件：⑴锐角ZA必须在直角三角形中，且ZC=9 0 °；(2)在直角三角形ABC中，每条边均用所对角得相应得小写字母表示。

否则，不存在上述关系注意 :锐角三角函数得定义应明确(1), ”四个比值得大小同△ ABC得三边得大小无关，只与锐角得大小有关，即当锐角A取固定值时，它得四个三角函数也就就是固定得；(2 )s i nA不就就是sinA得乘积，它就就是一个比值，就就是三角函数记号，就就是一个整体，其她三个三角函数记号也就就是一样；(3)利用三角函数定义可推导出三角函数得性质，如同角三角函数关系，互余两角得三角函数关系、特殊角得三角函数值等；(二)、同角三角函数得关系(1)平方关系：(2)倒数关系:tan a cota=l(3)商数关系：注意: (1)这些关系式都就就是恒等式，正反均可运用，同事还要注意它们得变形公式。

(2)得简写，读作“得平方”，不能将前者就就是a得正弦值得平方，后者无意义；(3)这里应充分理解“同角”二字，上述关系式成立得前提就就是所涉及得角必须相同，如，而就不一定成立。

(4 )同角三角函数关系用于化简三角函数式。

解直角三角形知识点讲解及例题解析 一、知识点讲解： 1、解直角三角形的依据 在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么 （1）三边之间的关系为（勾股定理） （2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系为 2、其他有关公式 面积公式：（hc为c边上的高） 3、角三角形的条件 在除直角C外的五个元素中，只要已知其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余三个元素。

4、直角三角形的关键是正确选择关系式 在直角三角形中，锐角三角函数是勾通三角形边角关系的结合部，只要题目中已知加未知的三个元素中有边，有角，则一定使用锐角三角函数，应如何从三角函数的八个公式中迅速而准确地优选出所需要的公式呢？ （1）若求边：一般用未知边比已知边，去寻找已知角的某三角函数 （2）若求角：一般用已知边比已知边（斜边放在分母），去寻找未知角的某三角函数。

（3）在优选公式时，尽量利用已知数据，避免“一错再错”和“累积误差”。

5、直角三角形时需要注意的几个问题 （1）在解直角三角形时，是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角的大小，这是数形结合为一种形式，所以在分析问题时，一般先根据已知条件画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之间的关系去进行计算，这样可以帮助思考，防止出错。

（2）有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而把它们转化为直角三角形的问题来解决。

（3）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算 二、例题解析： 例1、已知直角三角形的斜边与一条直角边的和是16cm，另一条直角边为8cm，求它的面积， 解：设斜边为c，一条直角边为a，另一条直角边b=8cm，由勾股定理可得，由题意，有c+a=16 ，b=8 说明：（1）由于知两边和及第三边的长，故相当于存在两个未知量，因为是在直角三角形中，所以可以利用勾股定理来沟通关系。

直角三角形边角关系专题复习一. 知识体系：1. 三种三角函数与直角三角形中边与角的关系，在Rt△中在此应注意的问题是无论是求哪一个角的三角函数，一定要先把这个角放在直角三角形中 2. 特殊角的三角函数值3. 三角函数的有关计算（对于一般角的三角函数值可利用计算器）41 2 3 4.三角函数的应用（）测山的高度（）测楼的高度（）测塔的高度（）其它⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪题型一：三角形内的计算问题（计算三角函数值、面积等） 例1．在ABC Rt ∆中，∠C=90° ，且21sin =A ，AB=3，求BC ，AC 及B ∠.例2．已知，四边形ABCD 中，∠ABC = ∠ADB =090，AB = 5，AD = 3，BC = 32，求四边形ABCD 的面积。

例3．如图，在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=︒，CD 是中线，5,4BC CD ==，求AC 的长。

B变式训练：1、ABC Rt ∆中，∠C=90°，AC=4，BC=3，B cos 的值为…………………【 】 A 、51 B 、53 C 、 34 D 、 432、在菱形ABCD 中，∠ABC=60° ， AC=4，则BD 的长是…………………【 】 A 、 38 B 、34 C 、32 D 、83、在ABC Rt ∆中，∠C=90° ，A tan =3，AC=10，则S △ABC 等于………【 】 A 、 ３ B 、３00 C 、350D 、1５0 4、在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（ ） A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化5、在ABC Rt ∆中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c 三边，则下列式子一定成立的是………………………………………………………………【 】 A 、B c a sin ⋅= B 、B c a cos ⋅= C 、Bac tan =D 、A a c sin ⋅= 6、等腰三角形的腰长为10cm ，顶角为120，此三角形面积为 。

九年级直角三角形知识点直角三角形是初中数学中的一个重要的几何概念。

在初中九年级的数学学习中，对直角三角形的认识和应用是必不可少的。

在本文中，将介绍直角三角形的基本概念、性质以及常见的解题方法，希望能够帮助九年级的同学更好地理解和掌握直角三角形知识。

一、直角三角形的定义直角三角形是指一个角为90度的三角形。

直角三角形中，有一个角是直角（即90度），而另外两个角是锐角。

直角三角形的特殊性质在于，直角三角形的斜边与两个直角边之间具有特殊的关系，这一点在接下来的内容中会有所体现。

二、直角三角形的性质1. 边长关系直角三角形中，斜边是最长的边，而直角边是两条短边。

根据勾股定理，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a² + b² = c²。

这一性质是解直角三角形的基础。

2. 三角函数在直角三角形中，可以引入三角函数，包括正弦、余弦和正切。

正弦函数是指对于一个锐角A来说，其对边与斜边的比值；余弦函数是指对于一个锐角A来说，其邻边与斜边的比值；正切函数是指对于一个锐角A来说，其对边与邻边的比值。

通过三角函数，可以方便地求解直角三角形的各边长和角度大小。

三、直角三角形的解题方法1. 已知两边求第三边当已知直角三角形的一条直角边和斜边时，可以通过勾股定理求解另一条直角边的长度。

例如，已知直角三角形的斜边c为5，直角边a为3，可以使用勾股定理计算直角边b的长度，即 b² = c²- a²，b² = 5² - 3²，b = √(5² - 3²) = √(25 - 9) = √16 = 4。

因此，直角三角形的另一条直角边的长度为4。

2. 已知一个角和一条边求其他边长当已知直角三角形的一条直角边和一个角度时，可以通过三角函数求解其他边长。

例如，已知直角三角形的直角边a为3，角A为30度，可以使用正弦函数计算斜边c的长度，即 sinA = 对边c / 斜边a，sin30° = c / 3，c = 3 * sin30° = 3 * 0.5 = 1.5。

一、直角三角形的性质1. 直角三角形的定义：直角三角形是一种特殊的三角形，其中有一个角是直角，即为90度。

2. 直角三角形的三边关系：直角三角形的三条边之间有特定的关系。

根据毕达哥拉斯定理可得出：直角三角形的斜边平方等于两直角边平方的和，即c^2 = a^2 + b^2。

3. 直角三角形的三角函数：在直角三角形中，角的正弦、余弦、正切等三角函数有着特定的定义和性质。

例如，正弦为对边与斜边之比，余弦为邻边与斜边之比，正切为对边与邻边之比。

这些三角函数的性质对于解决直角三角形相关的问题非常重要。

4. 直角三角形的角平分线、高、中线等性质：直角三角形中的角平分线将对边分成相等的两部分，高是指从直角顶点到斜边的垂直距离，中线是指连接斜边的中点与对边中点的线段。

这些线段与角的关系、长度的关系、位置的关系等都是直角三角形的重要性质。

5. 直角三角形的应用：在日常生活和数学问题中，直角三角形的应用非常广泛。

例如，利用正弦定理、余弦定理、面积公式等来解决实际问题，如计算高楼的高度、测量远处物体的距离等。

因此，掌握直角三角形的性质和应用是十分重要的。

二、圆的性质1. 圆的定义：圆是平面上到一个定点距离等于定长的点的全体的轨迹。

这个定点叫做圆心，到这个定点的距离叫做半径。

圆的直径是连接圆上两点的线段并经过圆心。

2. 圆的周长和面积公式：圆的周长公式为C= 2πR，圆的面积公式为A=πR^2。

其中，π是一个无理数，近似值为3.14。

掌握圆的周长和面积公式对于解决圆相关的实际问题非常有帮助。

3. 圆心角和弧度的关系：圆心角是由圆心上的两条射线所夹的角，弧度是指圆上一弧所对的圆心角的度数。

圆心角和弧度之间有一个重要的关系式：弧长 = 半径 * 弧度。

这个公式对于圆弧的计算非常有用。

4. 圆周角的性质：在一个圆中，圆周角是指一个角的顶点位于圆周上，两条边是圆的两条弧。

圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数。

这个性质对于解决圆周角相关的问题非常有用。

直角三角形（基础）【学习目标】1．认识直角三角形, 学会用符号和字母表示直角三角形．2．掌握直角三角形的性质定理,并能灵活的应用性质定理解答和证明相关问题.3. 掌握直角三角形的判定定理，并能灵活应用.【要点梳理】要点一、直角三角形的概念有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”.要点诠释：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质.要点二、直角三角形的性质定理定理1：直角三角形的两个锐角互余.要点诠释：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形.定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.定理3：在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.已知：如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，则证明：取AB中点D，连接CD则CD=BD=AD=，∵在Rt△ ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°∴∠B=60°，∴△BCD为等边三角形∴要点三、直角三角形的判定定理定理1：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形.定理2：在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.如图：已知：CD为AB的中线，且CD=AD=BD，求证：△ABC是直角三角形．证明：∵AD=CD，∴∠A=∠1．同理∠2=∠B．∵∠2+∠B+∠A+∠1=180°，即2（∠1+∠2）=180°，∴∠1+∠2=90°，即：∠ACB=90°，∴△ABC是直角三角形．【典型例题】类型一、直角三角形两锐角互余性质的应用1、（2015春•秦淮区期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：CD⊥AB．【思路点拨】根据∠ACB=90°，得出∠A+∠B=90°，根据∠ACD=∠B，得出∠A+∠ACD=90°，再根据两锐角互余的三角形是直角三角形即可得出答案．【解析】证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AB．【总结升华】此题考查了直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出∠A+∠B=90°．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C.类型二、含有30°角的直角三角形2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，求AB的长．【思路点拨】根据直角三角形中，30°角的对边等于斜边的一半，得出AB与BC 的数量关系．【答案与解析】解：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=6，∴AB=2BC=12．【总结升华】本题考查了含30°的直角三角形．含30°的直角三角形中，斜边等于30°角的对边的2倍.3、如图，测量旗杆AB的高度时，先在地面上选择一点C，使∠ACB=15°．然后朝着旗杆方向前进到点D，测得∠ADB=30°，量得CD=13m，求旗杆AB的高．【思路点拨】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CAD，再根据等角对等边的性质可得AD=CD，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．【答案与解析】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，AB=AC=8cm，∠A=30°，求△ABC的面积．【答案】类型三、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、（2016•丰台区二模）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，E为BC的中点，连接DE．求证：DE=DC．【思路点拨】根据等边三角形的性质得到AC=BC，CD=AC，∠BDC=90°，根据直角三角形的性质得到DE=BC，于是得到结论．【答案与解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∵BD⊥AC于点D，∴CD=AC，∠BDC=90°，∵E为BC的中点，∴DE=BC，∴DE=DC．【总结升华】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，将△ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，得四边形ABCE．求证：EC∥AB．【答案】证明：∵CD是AB边上的中线，且∠ACB=90°，∴CD=AD．∴∠CAD=∠ACD．又∵△ACE是由△ADC沿AC边所在的直线折叠而成的，∴∠ECA=∠ACD．∴∠ECA=∠CAD．∴EC∥AB．【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=AB．求证：∠B=30°．请填空完成下列证明．证明：如图，作Rt△ABC的斜边上的中线CD，则 CD=AB=AD （）．∵A C=AB，∴AC=CD=AD 即△ACD是等边三角形．∴∠A=°．∴∠B=90°﹣∠A=30°．【答案】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；60；证明：如图，作Rt△ABC的斜边上的中线CD，则CD=AB=AD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．∵AC=AB，∴AC=CD=AD 即△ACD是等边三角形．∴∠A=60°．∴∠B=90°﹣∠A=30°．故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；60．类型四、直角三角形的判定5、一个三角形，它的一个内角占内角和的，其余两个角按剩下的度数2：3来分配，这个三角形是什么三角形？【思路点拨】三角形的内角度数和是180°，用“180°×”求出三角形一个内角的度数，然后求出另两个内角度数和，进而根据三角形的分类判断三角形的类别．【答案与解析】解：180×=30°，180°﹣30°=150°，150°×=60°，150°×=90°，答：该三角形是直角三角形．【总结升华】此题考查了三角形的内角和定理，按比例分配应用题和三角形的分类的方法．举一反三：【变式】等腰三角形的一个底角与顶角度数之比是1：2，这个三角形是三角形．【答案】等腰直角；等腰三角形中，一个底角与顶角度数的比是1：2，即三个角的比为2：1：1；进而根据按比例分配知识分别求出最大角为：80°×=90°，得出该三角形为等腰直角三角形．。

直角三角形的性质和定理知识点总结直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。

在数学中，直角三角形是研究三角函数和几何概念的基本形式之一。

本文将对直角三角形的性质和定理进行总结，并探讨其在几何学中的应用。

一、性质1. 直角三角形的性质直角三角形的两条直角边分别称为两条腿，而与直角相对的边称为斜边。

直角三角形的性质包括以下几点：- 直角三角形的两条腿相互垂直。

- 直角三角形的斜边是两条腿长度的平方和的平方根。

- 直角三角形的两条腿的平方和等于斜边的平方。

- 直角三角形的两条腿的长度可以通过勾股定理计算。

2. 直角三角形的角度关系直角三角形中，直角角度为90度，其余两个角度之和为90度。

- 如果已知直角三角形中两个角的度数，可以求得第三个角的度数。

- 利用三角函数，可以求出直角三角形中各个角的正弦、余弦和正切值。

二、定理1. 勾股定理勾股定理是直角三角形中最为著名的定理之一，描述了直角三角形的边长关系：在直角三角形中，设两直角边长分别为a和b，斜边长为c，那么有a² + b² = c²。

2. 肯定定理和否定定理肯定定理和否定定理也是直角三角形的两个重要定理。

- 肯定定理：如果一个三角形的两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形。

- 否定定理：如果一个三角形不是直角三角形，那么它的两条边的平方和一定不等于第三条边的平方。

三、应用直角三角形的性质和定理在几何学中有广泛的应用，例如：1. 测量未知边长：在已知一个角度和一个边长的情况下，可以利用三角函数和勾股定理求解未知边长。

2. 判断角度关系：通过已知两个边长求解角度大小，进而判断三角形的类型。

3. 解决实际问题：直角三角形的应用不仅局限于数学领域，还包括工程学、物理学等实际问题的解决。

总结：本文对直角三角形的性质和定理进行了总结，并探讨了其在几何学中的应用。

直角三角形作为最基础的三角形之一，它的性质和定理为我们理解和运用三角函数提供了重要基础。

直角三角形-知识讲解-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN直角三角形（提高）【学习目标】1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）. 2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.3. 能应用直角三角形的性质解题.【要点梳理】要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。

这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.要点三、直角三角形的性质定理1：直角三角形的两个锐角互余.定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等．（）【答案】（1）全等，“AAS ”；（2）全等，“AAS ”；（3）全等，“SAS ”；（4）全等，“HL ”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.举一反三：【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（ ）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）【答案】（1）√；（2）×；在△ABC 和△DBC 中，AB ＝DB ，AE 和DF 是其中一边上的高，AE ＝DF（3）×. 在△ABC 和△ABD 中，AB ＝AB ，AD ＝AC ，AH 为第三边上的高，2、已知：如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，AD ＝BC ，DE ＝BF.求证：AB ∥DC.【答案与解析】证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∴在Rt △ADE 与Rt △CBF 中.AD BC DE BF ⎧⎨⎩＝，＝∴Rt △ADE ≌Rt △CBF （HL ）∴AE ＝CF ，DE ＝BF∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE在Rt △CDE 与Rt △ABF 中，DE BF DEC BFA EC FA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △CDE ≌Rt △ABF （SAS ）∴∠DCE ＝∠BAF∴AB ∥DC.【总结升华】从已知条件只能先证出Rt △ADE ≌Rt △CBF ，从结论又需证Rt △CDE ≌Rt △ABF.我们可以从已知和结论向中间推进，证出题目.3、如图 AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 、CE 相交于F ．求证：AF 平分∠BAC ．【答案与解析】证明：在Rt △ABD 与Rt △ACE 中∴Rt △ABD ≌Rt △ACE(AAS)∴AD ＝AE(全等三角形对应边相等) 在Rt △ADF 与Rt △AEF 中∴Rt △ADF ≌Rt △AEF(HL)∴∠DAF ＝∠EAF(全等三角形对应角相等)∴AF 平分∠BAC(角平分线的定义)【总结升华】若能证得AD ＝AE ，由于∠ADB 、∠AEC 都是直角，可证得Rt △ADF ≌Rt △AEF ，而要证AD ＝AE ，就应先考虑Rt △ABD 与Rt △AEC ，由题意已知AB ＝AC ，∠BAC 是公共角，可证得Rt △ABD ≌Rt △ACE ．条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论.举一反三：【变式】已知，如图，AC 、BD 相交于O ，AC ＝BD ，∠C ＝∠D ＝90° .求证：OC ＝OD.【答案】∵∠C ＝∠D ＝90°∴△ABD 、△ACB 为直角三角形在Rt △ABD 和Rt △BAC 中AB BA BD AC =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △BAC(HL)∴AD ＝BC在△AOD 和△BOC 中D C AOD BOC AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOD ≌△BOC(AAS)∴OD ＝OC ．类型二、直角三角形性质的应用4、如图所示，在等边△ABC 中，AE ＝CD ，AD 、BE 相交于点P ，BQ ⊥AD 于Q ，求证：BP ＝2PQ ．【答案与解析】证明：∵ △ABC 为等边三角形，∴ AC ＝BC ＝AB ，∠C ＝∠BAC ＝60°．在△ACD 和△BAE 中，,AC AB C BAE CD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ACD ≌△BAE(SAS)．∴ ∠CAD ＝∠ABE ．∵ ∠CAD ＋∠BAP ＝∠BAC ＝60°，∴ ∠ABE ＋∠BAP ＝60°，∴∠BPQ＝60°．∵ BQ⊥AD，∴∠BQP＝90°，∴∠PBQ＝90°－60°＝30°，∴ BP＝2PQ．【总结升华】(1)从结论入手，从要证BP＝2PQ联想到要求∠PBQ＝30°．(2)不能盲目地用截长补短法寻找要证的“倍半”关系．本题适合用“两头凑”的方法，从结论入手找已知条件，即BP＝2PQ⇒∠PBQ＝30°，另一方面从已知条件找结论，即由条件⇒△ACD≌△BAE⇒∠BPQ＝60°⇒∠PBQ＝30°，分析时要注意联想与题目有关的性质定理．。

直角三角形的边角关系知识考点知识讲解:1.锐角三角函数的概念如图，在ABC 中，∠C 为直角，则锐角A 的各三角函数的定义如下：(1)角A 的正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ， 即sinA ＝a c (2)角A 的余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ， 即cosA ＝bc (3)角A 的正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作t an A ， 即t an A ＝ab (4)角A 的余切：锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作c ot A ， 即c ot A ＝ba 2.直角三角形中的边角关系(1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2(2)锐角之间的关系：A ＋B ＝90°(3)边角之间的关系：sinA ＝cosB ＝a c ， cosA ＝sinB ＝bc t an A ＝c ot B ＝a b ， cot A ＝t an B ＝ba3.三角函数的关系(1)同角的三角函数的关系1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝12)倒数关系：t an A·c ot A ＝13)商的关系：t an A ＝sinA cosA ，c ot A ＝cosA sinA(2)互为余角的函数之间的关系sin(90°－A)＝cosA ， cos(90°－A)＝sinAt an (90°－A)＝c ot A ， cot (90°－A)＝t an A4．一些特殊角的三角函数值0°30° 45° 60° 90° sin α0 1 cos α1 0 tan α0 1 ----- cot α----- 15．锐角α的三角函数值的符号及变化规律.(1)锐角α的三角函数值都是正值(2)若0＜α＜90°则sinα，tanα随α的增大而增大，cosα，cotα随α的增大而减小.6．解直角三角形(1)直角三角形中的元素：除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角.(2)解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知的元素的过程叫做解直角三角形.7．解直角三角形的应用，解直角三角形的应用，主要是测量两点间的距离，测量物体的高度等，常用到下面几个概念：(1)仰角、俯角视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角(2)坡度=坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度，常用字母i表示，即i=hl(3)坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示，则tanα＝i=hl (4)方位角:从某点的指北方向线，按顺时针方向转到目标方向线所成的角.。

中考解直角三角形考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）；若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c asin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c bcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即batan =∠∠=的邻边的对边A A A2、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ； （2）平方关系：1cos sin 22=+A A （3）倒数关系：tanA ∙tan(90°—A)=1 （4）商（弦切）关系：tanA=AAcos sin 3、一些特殊角的三角函数值三角函数30°45°60°sinα cos αtan α 1 cot α15、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

直角三角形的性质知识点总结直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

在几何学中，直角三角形有许多独特的性质和特点。

本文将总结直角三角形的性质，以帮助读者更好地理解和应用这一重要的几何概念。

一、直角三角形的定义和特点直角三角形是指一个角为90度的三角形。

其中，90度的角称为直角。

直角三角形的特点如下：1. 边长关系：假设直角三角形的两边分别为a和b，斜边为c。

根据勾股定理，有a² + b² = c²，这是直角三角形的重要性质之一。

2. 角度关系：直角三角形的另外两个角称为锐角和钝角。

锐角指小于90度的角，而钝角指大于90度而小于180度的角。

直角三角形的锐角和钝角之和等于90度。

3. 唯一性：直角三角形中的直角是唯一的，只有一个角度为90度的三角形才是直角三角形。

二、直角三角形的重要性质直角三角形存在许多与边长、角度以及三角函数相关的重要性质。

以下是其中一些常见的性质：1. 斜边与其他两条边的关系：斜边是直角三角形中最长的边，也是其他两边长度的平方和的平方根。

即c = √(a² + b²)。

2. 正弦定理：对于直角三角形中的一个锐角A，正弦定理为sin(A)= a/c，其中a为锐角A对应的边的长度，c为斜边的长度。

3. 余弦定理：对于直角三角形中的一个锐角A，余弦定理为cos(A) = b/c，其中b为锐角A的邻边长度，c为斜边的长度。

4. 正切定理：对于直角三角形中的一个锐角A，正切定理为tan(A)= a/b，其中a为锐角A对应的边的长度，b为锐角A的邻边长度。

5. 特殊比例关系：直角三角形中的特殊比例关系包括3：4：5和5：12：13。

即两条直角边长度比例为3:4时，斜边长度为5；两条直角边长度比例为5:12时，斜边长度为13。

6. 边上的角度关系：直角三角形中，直角的对边上的角是锐角或钝角。

三、直角三角形的应用直角三角形的性质在实际应用中得到广泛的运用。

直角三角形全等判定要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求证：（1）AB＝CD：（2）AD∥BC．【思路点拨】先由“HL”证Rt△ABD≌Rt△CDB，再由内错角相等证两直线平行.【答案与解析】证明：（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°在Rt△ABD 和Rt△CDB中，AD BCBD DB⎧⎨=⎩＝∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB＝∠CBD∴AD∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.【变式】已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．【答案】证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，∴∠DAE＝∠CBA＝90°在Rt△DAE 与Rt△CBA中，ED ACAE AB⎧⎨⎩＝＝，∴Rt△DAE≌Rt△CBA （HL）∴∠E＝∠CAB∵∠CAB＋∠EAF＝90°，∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90°即ED ⊥AC ．2、 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）（2）一个锐角和斜边对应相等； （ ）（3）两直角边对应相等； （ ）（4）一条直角边和斜边对应相等． （ ）【答案】（1）全等，“AAS ”；（2）全等，“AAS ”；（3）全等，“SAS ”；（4）全等，“HL ”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（ ）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）【答案】（1）√；（2）×；在△ABC 和△DBC 中，AB ＝DB ，AE 和DF 是其中一边上的高，AE ＝DF（3）×. 在△ABC 和△ABD 中，AB ＝AB ，AD ＝AC ，AE 为第三边上的高，3、已知：如图，AC ＝BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD ．求证：AD ＝BC ；【答案与解析】证明：连接DC∵AD ⊥AC ，BC ⊥BD∴∠DAC ＝∠CBD ＝90°在Rt △ADC 与Rt △BCD 中，DC CD AC BD=⎧⎨⎩＝∴Rt △ADC ≌Rt △BCD （HL ）∴AD ＝BC .（全等三角形对应边相等）【变式】已知，如图，AC 、BD 相交于O ，AC ＝BD ，∠C ＝∠D ＝90° .求证：OC ＝OD.【答案】∵∠C＝∠D＝90°∴△ABD、△ACB为直角三角形在Rt△ABD和Rt△BAC中AB BABD AC=⎧⎨=⎩∴Rt△ABD≌Rt△BAC(HL)∴AD＝BC在△AOD和△BOC中D CAOD BOCAD BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOD≌△BOC(AAS)∴OD＝OC．4、如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.【答案与解析】解：全等三角形为：△ACD≌△CBE.证明：由题意知∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE在△ACD与△CBE中，90ADC CEBCAD BCEAC BC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD≌△CBE（AAS）.【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.【巩固练习】一、选择题1．下列说法正确的是（）A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等2．如图，AB＝AC，AD⊥ BC于D，E、F为AD上的点，则图中共有（）对全等三角形．A．3 B．4 C．5 D．63. 能使两个直角三角形全等的条件是( )A.斜边相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.两直角边对应相等4. 在Rt △ABC 与Rt △'''A B C 中, ∠C ＝ ∠'C ＝ 90, A ＝ ∠'B , AB ＝''A B , 那么下列结论中正确的是( ) A. AC ＝ ''A C ＝ ''B C C. AC ＝ ''B C D. ∠A ＝ ∠'A5. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（ ）A ．形状相同B ．周长相等C ．面积相等D ．全等6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（ ）A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是二、填空题7．如图，BE ，CD 是△ABC 的高，且BD ＝EC ，判定△BCD ≌△CBE 的依据是“______”．8. 已知，如图，∠A ＝∠D ＝90°，BE ＝CF ，AC ＝DE ，则△ABC ≌_______.9. 如图，BA ∥DC ，∠A ＝90°，AB ＝CE ，BC ＝ED ，则AC ＝_________.10. 如图，已知AB ⊥BD 于B ，ED ⊥BD 于D ，EC ⊥AC ，AC ＝EC ，若DE ＝2，AB ＝4，则DB ＝______.11．有两个长度相同的滑梯，即BC ＝EF ，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯的水平方向的长度DF 相等，则∠ABC ＋∠DFE ＝________．12. 如图，已知AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且BF ＝AC ，FD ＝CD.则∠BAD＝_______.三、解答题13. 如图，工人师傅要在墙壁的O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B 点处打开，墙壁厚是35cm ，B点与O 点的铅直距离AB 长是20cm ，工人师傅在旁边墙上与AO 水平的线上截取OC ＝35cm ，画CD⊥OC ，使CD ＝20cm ，连接OD ，然后沿着DO 的方向打孔，结果钻头正好从B 点处打出，这是什么道理呢请你说出理由．13.【解析】解：在Rt △AOB 与Rt △COD 中，(3590AOB COD AO CO A C ∠=∠⎧⎪==⎨⎪∠=∠=︒⎩对顶角相等） ∴Rt △AOB ≌Rt △COD （ASA ） ∴AB ＝CD ＝20cm14. 如图，已知AB ⊥BC 于B ，EF ⊥AC 于G ，DF ⊥BC 于D ，BC ＝DF. 求证：AC ＝EF.证明：由EF ⊥AC 于G ，DF ⊥BC 于D ，AC 和DF 相交，可得：∠F ＋∠FED ＝∠C ＋∠FED ＝90°即 ∠C ＝∠F （同角或等角的余角相等），在Rt △ABC 与Rt △EDF 中B EDF BC DF C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△EDF （ASA ），∴AC ＝EF （全等三角形的对应边相等）.15. 如图，已知AB ＝AC ，AE ＝AF ，AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，垂足分别是点E 、F.求证：∠1＝∠2.证明：∵AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，∴△AEC 、△AFB 为直角三角形在Rt △AEC 与Rt △AFB 中AB AC AE AF⎧⎨⎩＝＝∴Rt △AEC ≌Rt △AFB （HL ）∴∠EAC ＝∠FAB∴∠EAC －∠BAC ＝∠FAB －∠BAC ，即∠1＝∠2.【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C ； 【解析】等腰直角三角形确定了两个锐角是45°，可由AAS 定理证明全等.2. 【答案】D ；【解析】△ABD ≌△ACD ；△ABF ≌△ACF ；△ABE ≌△ACE ；△EBF ≌△ECF ；△EBD ≌△ECD ；△FBD ≌△FCD.3. 【答案】D ；4. 【答案】C ；【解析】注意看清对应顶点，A 对应'B ，B 对应'A .5. 【答案】C ；【解析】等底等高的两个三角形面积相等.6. 【答案】C ；【解析】如果这对角不是直角，那么全等，如果这对角是直角，那么不全等.二、填空题7. 【答案】HL ；8. 【答案】△DFE9. 【答案】CD ；【解析】通过HL 证Rt △ABC ≌Rt △CDE.10.【答案】6；【解析】DB ＝DC ＋CB ＝AB ＋ED ＝4＋2＝6；11.【答案】90°；【解析】通过HL 证Rt △ABC ≌Rt △DEF ，∠BCA ＝∠DFE.12.【答案】45°；【解析】证△ADC 与△BDF 全等，AD ＝BD ，△ABD 为等腰直角三角形.。

初中数学知识归纳平面几何中的直角三角形与斜三角形初中数学知识归纳：平面几何中的直角三角形与斜三角形一、直角三角形的定义与性质直角三角形是指其中一个角为直角（即90度）的三角形。

直角三角形有一些重要的性质：1. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理。

如在直角三角形ABC中，若AB为直角边，BC为直角边，AC为斜边，则有AB²+BC²=AC²。

2. 直角三角形的任一锐角的正弦、余弦和正切比值都是有理数。

例如，在直角三角形ABC中，若∠ABC为直角，则有sin∠ABC=a/c，cos∠ABC=b/c，tan∠ABC=a/b，其中a、b、c分别为三角形ABC的三边。

3. 直角三角形的垂线、中线和高线重合，并且都是斜边的一半。

例如，在直角三角形ABC中，若AD为BC的中线，则AD也是BC的高线和垂线，且AD=BC/2。

二、斜三角形的定义与性质斜三角形是指不含直角（即角度不为90度）的三角形。

斜三角形也有一些重要的性质：1. 斜三角形的内角和为180度。

在三角形ABC中，∠A+∠B+∠C=180度。

2. 斜三角形的两边之间的夹角对应的正弦、余弦和正切比值都是有理数。

例如，在三角形ABC中，若∠A为夹角，则sin∠A=a/c，cos∠A=b/c，tan∠A=a/b，其中a、b、c分别为三角形ABC的三边。

3. 斜三角形的重心、外心和内心都有重要意义。

其中，重心是三角形三条中线的交点，外心是三角形外接圆的圆心，内心是三角形内接圆的圆心。

三、直角三角形与斜三角形的联系与运用直角三角形和斜三角形在平面几何中经常运用到，它们之间存在一些重要的联系：1. 直角三角形可以作为斜三角形的特殊情况，直角三角形的性质也可以应用到斜三角形中。

例如，在斜三角形ABC中，若∠C=90度，则可以得到直角三角形A'C'B'，其中∠C'=∠C，∠A'=∠B，∠B'=∠A。

第2讲 直角三角形的性质知识要点--直角三角形的性质（1）（2） 一、普通直角三角形的性质： 性质一：直角三角形两锐角互余. 数学语言: ∵∠C=90°∵∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）性质二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

数学语言:∵∠BCA=90°，D 是AB 的中点 ∵AB CD 21=(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)二、基本图形：（定理的实质）1、直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形。

∵∠BCA=90°，D 是AB 的中点∵BD=CD DA=DC （(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

) ∵∠B=∠DCB ∠A=∠DCA （等边对等角）2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的两个逆命题都是真命题，但不是定理，不可以直接使用。

（1）已知：BD=CD=AD ，我们怎么证明∠BCA=90°？（2）已知：BD=CD ，∠BCA=90°，我们怎么证明DA=DC ？【例1】（1）直角三角形的两个锐角（2）直角三角形斜边上的中线等于 （3）ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，︒=∠48A ，则=∠B（4）ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，D 为斜边AB 的中点，若10=AB ，则CD =【例2】（1）ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，︒=∠20A ，D 为BC 边中点，则BCD ∠的度数是 度 （2）ABC Rt ∆中，CD 是斜边AB 上的高，︒=∠25A ，那么BCD ∠= 度（3）如果直角三角形的面积是12，斜边上的高是2，那么斜边上的中线长是 （4）等腰直角三角形斜边上的中线为5cm ，则这个三角形的面积为 2cm【例3】如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,交BC 于点D ,BE ⊥AD ,交AD 的延长线于点E ,BF =EF .求证：EF ∥AC .【例4】如图，ABC ∆中，︒=∠90ACB ，D 为AB 的中点，CD BE ⊥于F ，交AC 于E ，求证：CBE A ∠=∠【例5】已知：如图，ABC Rt ∆和ADC Rt ∆，∠ABC =∠ADC =90°，点E 是AC 的中点.求证：∠EBD =∠EDB .【例6】已知，如图BCD ∆中，BD CE ⊥于点E ，点A 是边CD 的中点，EF 垂直平分线段AB （1）求证：CD BE 21=（2）当BC AB =，︒=∠25ABD 时，求ACB ∠的度数第22题图EDCBA【例7】已知，如图，在ABC ∆中，︒=∠45ACB ，AD 是边BC 上的高，G 是AD 上一点，联结CG 点E 、F 分别是AB 、CG 的中点，且DF DE =，求证：GD BD =【例8】已知：如图，在ABC ∆中，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高，点M 是BC 的中点，且DE MN ⊥，垂足为点N 。

直角三角形知识点直角三角形是指其中一角为90度的三角形。

在数学中，直角三角形具有一些特殊的性质和关系，对于几何学和三角学的学习非常重要。

本文将介绍直角三角形的基本定义、性质、定理以及应用等知识点。

一、基本定义直角三角形是指其中一角为90度的三角形。

一个直角三角形可以用直角标记（一个小方框）来表示，该标记通常放在直角顶点处。

二、直角三角形的性质1. 直角三角形的两条直角边（即与直角相邻的两边）长度分别为a和b，斜边（即与直角不相邻的边）长度为c。

这三条边之间有特定的关系，即勾股定理：c² = a² + b²。

2. 直角三角形中，由直角顶点到斜边中点的线段称为斜高线。

斜高线的长度等于斜边的一半，即c/2。

3. 直角三角形中，直角边的长度比斜边短。

设直角边长度为a，斜边长度为c，则有a < c。

4. 直角三角形中，两个直角边的较长边对应的角一定是直角。

三、直角三角形的定理1. 勾股定理：直角三角形的斜边的平方等于直角边的平方和。

2. 正弦定理：对于任意三角形ABC，有a/sin(A) = b/sin(B) =c/sin(C)，其中a、b、c分别表示三边的长度，A、B、C分别表示对应的角度。

3. 余弦定理：对于任意三角形ABC，有c² = a² + b² - 2ab cos(C)，其中a、b、c分别表示三边的长度，C表示对应的角度。

四、直角三角形的应用1. 测量距离：利用直角三角形的性质和定理，可以通过测量一个参考点到目标点的水平距离和高度差，然后应用正切函数计算出目标点与参考点的距离。

2. 解决倾斜问题：在实际生活中，经常遇到需要倾斜物体的问题，如修建斜坡、放置倾斜地板等。

利用直角三角形的性质，可以计算出倾斜角度、倾斜距离等相关信息。

3. 解决影子问题：在日常生活中，人体或物体的影子常常出现在地面上。

通过观察影子的长度和角度，结合直角三角形的相关知识，可以计算出物体的高度或距离。