第四章 整环里的因子分解
1、求出Gauss 整环][i Z 中所有的单位及5在][i Z 中所有真因子.
2、证明：9在有单位元的整环 {}Z b a i b a i Z ∈+=,|5]5[
中不能唯一分解.
3、环中的素元一定是不可约元.
4、证明：在Gauss 整环][i Z 中，如果p =2||α为素数，则α必是环][i Z 的不可约元.
5、证明：在有单位元的整环中，二元素相伴的充要条件是二者互相整除.
6、求出][x Z 中的单位与不可约元.
7、证明：在Gauss 整环][i Z 中，5可以唯一分解，并给出一种分解.
8、证明：整数环上的多项式环是唯一分解环..
9、设K 是有单位元的整环，证明：a a K >⇔=<是K 的是单位.
10、设K 是有单位元的整环，K b a ∈,，证明：b a b a ,>⇔>=<<相伴.
11、证明：Gauss 整环][i Z 是主理想环.
12、证明：在主理想环中，P 是素理想当且仅当P 由素元生成.
13、问：主理想环的子环是否仍为主理想环？
14、证明：整环]2[i Z 是主理想环.
15、设K 为有单位元的整环，K a ∈≠0，证明：在.K 中有且仅有有限个理想包含a .
16、证明：整数环Z 是欧氏环.
17、证明：域F 上的多项式环是欧氏环.
18、证明：域一定是欧氏环.
19、证明：Gauss 整环][i Z 关于映射
2
2:b a bi a ++ φ
作成一个欧氏环.
20、假定R 是模16的剩余类环. ][x R 的多项式2x 在R 中有多少个根.
