矩阵的初等变换与矩阵的秩

具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解，
就称这两个线性方程组等价
4
例1
2 1 1 1 2
A
1
1 2
1
4
4 6 2 2 4
3
6 9
7
9
1 1 2 1 4
r1 r2 r3 2
2 2 3
1 3
6
1 1
9
1 1
7
2 2
B1
9
5
r2 r31 1 12 12 41 r2 4r3
对任何非零矩阵A总可以经过有限次的初等行变换 化为行阶梯矩阵与行最简型阶梯矩阵． 注意1：行最简型矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形 矩阵的行数也是由方程组唯一确定的． 注意2：任意可逆矩阵也可以经过有限次的初等行变换化 为单位矩阵.
9
1 2 3
例2
将
A
2 3
2 4
1 3
化为单位矩阵.
1 2 3
对于 AT， 显有 R( AT ) R( A).
15
例3
求矩阵
A
1 2
2 3
3 5
的秩.
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
23
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
16
2 1 0 3 2
例4
求矩阵
B
0 0
3 0
1 0
2 4
5 3
的秩.
0 0 0 0 0
14
定义2.19 设在矩阵A中有一个不等于 0 的 k 阶子 式 D，且所有 r 1 阶子式（如果存在的话 ）全等 于 0，那末 D 称为矩阵A的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R( A) .并规定零矩阵的秩 等于零.
m n 矩阵 A 的秩 R( A) 是 A 中不等于零的 子式的最高阶数.
ri rj;
ri
(1) k
或
ri
k;
ri (k)rj 或 ri krj .
3
定义 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A B． 等价关系的性质： （1） 反身性 A A；
（2）对称性 若 A B ,则 B A; （3）传递性 若 A B,B C,则 A C.
条阶梯线，线的 下方全为零；
（2）每个台 阶只有一行，
1 0 1 0 4
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
B
5
0 0 0 0 0
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非 零元．
8
行阶梯形矩阵B5还称为行最简型阶梯矩阵，即非零 行的第一个元素是1，且这些非零元素所在列的其它元素 都为零．
1 2 3
解
A
2
3
2 4
1
3
r2 2r1 r3 3r1
0 0
2 2
5 6
r1 r2 r3 r2
1 0 2
1 0 0
1 0 0
0
2
5
0 0 1
r1 2r3 r2 5r3
0
2
0
0 0 1
r2 (2) r3 (1)
0
1
0
0 0 1
10
定义2.17 若一个矩阵具有如下特征：
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri krj）.
2
同理可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成“c”)．
初等行变换 矩阵的初等变换包括 初等列变换
通常称变换为 (1) 对换变换 (2) 倍乘变换 (3) 倍加变换
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同．
ri rj 逆变换 ri k 逆变换 ri krj 逆变换
§2.4 矩阵的初等变换与矩阵的秩
主要内容 1.矩阵的初等变换 2.矩阵的秩 3.初等变换求逆矩阵
矩阵的初等变换是矩阵分析的重要工具，在 线性代数中有十分广泛的应用，所以必须熟练掌 握矩阵初等变换的方法。
1
一. 矩阵的初等变换
1. 矩阵的初等变换 定义2.14 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
1 对调两行（对调i, j两行,记作ri rj）； 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素; 3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
注意 5 有时仅用初等行变换或初等列变换不一定能将矩阵 化为标准形矩阵．
二.矩阵秩的概念
任何矩阵总可经过有限次初等行变换把它变为行阶 梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的.它 反映了矩阵的一个本质特征 ——— 矩阵的秩.
13
定义2.18 在 m n 矩阵 A中任取 k 行 k 列（k m,
Br13 r4
22r1 332r1
01 03 06
21 51 39
12 15 73
2 2 23 9 4
r3 r4
36032rr11
B2
r2 2 r3 5r2 r4 3r2
1 1 2 1 4
0 0
1 0
1 0
1 2
0 6
B3
0 0 0 1 3
6
1 rBr343 2rr34000
11
例如，
1 0 1 0 4
B5
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
0 0 0 0 0
c3 c4 c4 c1 c2
1 0
0
c5
4c1
3c2
3c3
0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 044
0 0 0
1 0 0
000033033
F
矩阵 F 称为矩阵 B 的标准形.
12
注意 4 行最简形阶梯矩阵是唯一的，
解 B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，
B 的所有 4 阶子式全为零.
2 1 3 而 0 3 2 0,
11 10 00 00
12 11 00 00
12 11 20 10
14 10 16 03
Baidu Nhomakorabea
4 030rr34 2Brr344
r1 r2 r2 r3
1 0 1 0 4
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
B
5
0 0 0 0 0
7
矩阵 B4 和 B5 都称为行阶梯形矩阵 . 其特点：
（1）可划出一
（1）位于左上角的子块是一个 r 阶的单位矩阵；
（2）其余的子块都是零矩阵； 则称为标准形矩阵．
A
Er O
O
O
mn
此标准形由m,n,r 三个数唯一确定，其中r 就是 行阶梯形矩阵中非零行的行数.
定理2.6 任意非零矩阵都可经过初等变换化为标准形矩阵.
注意 3 行最简形阶梯矩阵再经过初等列变换，可化成 标准 形矩阵．
k n），位于这些行列交叉 处的个 k 2 元素,不改
变它们在 A中所处的位置次序而得 的k阶行列式，
称为矩阵 A 的 k 阶子式.
1 2 3 0
12 3 2 3 0
例如
A
2 4
3 7
5 1
2 4
，
则
2 4
3 7
5 ，3 17
－5 1
－2 4
1 3 0 12 0 2 －5 －2 ，2 3 －2 都是A的全部4个3阶子式. 4 1 4 47 4