沪教版八年级 正比例函数图像与性质,带答案

第16讲 正比例函数的图像及性质【学习目标】正比例函数的图像及性质是八年级数学上学期第三章第二节内容，主要对正比例函数的图像及性质进行讲解，重点是对正比例函数的性质的理解，难点是正比例函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习正比例函数的应用提供依据．【基础知识】一、正比例函数的图像1.一般地，正比例函数y kx =(k 是常数, 0k ≠)的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图象叫做直线y kx =；2.图像画法：列表、描点、连线． 二、正比例函数的性质：（1） 当0k >时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值 也随着逐渐增大．（2） 当0k <时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小．【考点剖析】考点一：正比例函数的图像例1．已知正比例函数2y x =．列表：取自变量x 的一些值，根据正比例函数的解析式，填写下表．x…… 1.5- -1 0.5- 0 0.5 1 1.5 2 …… 2y x =……-4-3 -2-1 01 234……描点：分别以所取x 的值和相应函数值作为点的横坐标和纵坐标，描出相应点． 连线：用光滑的曲线（包括直线）把描出的点按照横坐标由小到大的顺序连接． 【难度】★【解析】考查正比例函数图像的画法．例2．在同一直角坐标平面内画出下列函数图像．（1）4y x =；（2）14y x =；（3）32y x =-；（4）32y x =．【难度】★【解析】考查正比例函数图像的画法．例3．函数15y x =-的图像是经过点________、________的________．【难度】★【答案】，，一条直线．【解析】考查正比例函数图像的特点．例4．（1）正比例函数y kx =的图像是____________，它一定经过点_______和_______．（2）函数y kx =的图像经过点1(5)2A -，，写出函数解析式，并说明函数图像经过哪几个象限？ 【难度】★★【答案】（1）一条直线，，； （2）x y 10-=，经过二、四象限．【解析】考查正比例函数解析式的解法和图像性质．例5．已知2y -与x 成正比例，且x =2时，y =4； （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）若点(m ，2m +7)，在这个函数的图象上，求m 的值．【难度】★★【答案】（1）2+=x y ；（2）-5．【解析】（1）设kx y =-2，将x =2时，y =4代入其中可得：1=k ，则2+=x y ；（2）点(m ，2m +7)在这个函数的图象上，则272+=+m m ，解得：5-=m ．【总结】本题一方面考查利用待定系数法求函数解析式，另一方面考查根据函数解析式求函数值或者是自变量的值．例6．已知正比例函数图像上的一点到x 轴距离与到y 轴距离之比为1:2，则此正比例函数的解析式是________________． 【难度】★★【答案】x y 21=或x y 21-=． 【解析】由题意可知，该点的横坐标的绝对值是纵坐标绝对值的两倍，然后再求解析式． 【总结】注意距离需要分正负．例7．如果正比例函数的图像经过点(24)-，，说明是否在这个图像上，并作出该正比例函数的图像．【难度】★★【答案】x y 2-=，不在这个图像上，图像略．【解析】设正比例函数解析式为，将点(24)-，代入，可得：2k =-，所以该正 比例函数的解析式为x y 2-=．当4x =-时，，所以点不在该函数的图像上．【总结】考查正比例函数解析式的求法、图像的画法．例8．已知函数2(2)21y t x t =-+-,当t 为何值时该函数图像经过原点？此时函数解析式是什么？【难度】★★ 【答案】21=t ；x y 47-=．【解析】函数2(2)21y t x t =-+-经过原点，则012=-t ，解得：21=t ．代入表达式中可得，函数解析式为：x y 47-=．【总结】本题主要考查正比例函数的概念．例9．一个正比例函数的图像经过点A ，B ，求a 的值．【难度】★★【答案】41-=a ．【解析】设正比例函数的解析式为， ∵图像经过点A ， ∴3=-k ，则3-=k ． ∵图像经过点B ，∴a a 31=--，则41-=a ．【总结】本题一方面考查利用待定系数法求正比例函数的解析式，另一方面考查利用解析式求图像上点的坐标．考点二：正比例函数的性质：例1．直线经过一、三象限，则m ________．【难度】★【答案】2<m ．【解析】考查的图像经过一、三象限．例2．已知正比例函数的图像经过第二、四象限，求k 的取值范围．【难度】★ 【答案】25>k ． 【解析】由题意，可得：520k -<，解得：25>k ． 【总结】考查的图像经过二、四象限．例3．若正比例函数(3)y m x =-，y 的值随x 的增大而减小，则m _______．【难度】★ 【答案】3<m ．【解析】由题意，可得：30m -<，解得：3m <． 【总结】考查的图像性质y 的值随x 的增大而减小．例4．(3)y x π=-图像经过_______象限，y 的值随x 的值增大而_______．【难度】★【答案】一、三；增大．【解析】由题意，可得：30π->，所以图像过一、三象限． 【总结】考查的图像y 的值随x 的增大而增大．例5．当a =_______时，2(3)(9)y a x a =-+-是正比例函数，图像经过第______象限．【难度】★ 【答案】；二、四．【解析】因为正比例函数，所以，解得：3a =-，所以图像过二、四象限． 【总结】考查的图像y 的值随x 的增大而减小．例6．已知点（11,x y ），（22,x y ）在正比例函数()2y k x =-的图像上，当12x x >时，12y y <，那么k 的取值范围是多少？ 【难度】★★ 【答案】2<k ．【解析】当12x x >时，12y y <，可以理解成y 的值随x 的增大而减小． 【总结】本题主要考查正比例函数图像的性质．例7．已知正比例函数25(3)mm y m x +-=+，那么它的图像经过____________象限．【难度】★★ 【答案】一、三．【解析】∵152=-+m m ，∴3-=m 或2=m ，又∵03≠+m ，∴2=m ．∴图像过一、三 象限． 【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质．例8．正比例函数2mmy mx +=的图像经过第一、三象限，求m 的值．【难度】★★ 【答案】．【解析】由题意，可得：12=+m m ，则251±-=m ． ∵正比例函数2m my mx +=的图像经过第一、三象限，∴0>m ，∴215-=m ． 【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质．例9．已知0mn <，那么函数my x n =经过______象限，y 的值随x 的值增大而______．【难度】★★【答案】二、四；减小．【解析】∵0mn <，∴，所以图像过二、四象限，并且y 的值随x 的值增大而减小． 【总结】考查的图像y 的值随x 的增大而减小．例10．函数()2(2)2k y k x -=-是正比例函数，且y 的值随着x 的减小而增大，求k 的值．【难度】★★ 【答案】1．【解析】由题意，可得：()122=-k ，则3=k 或1=k ．∵y 的值随着x 的减小而增大，∴02<-k ，∴1=k ．【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质．例11．如果正比例函数y kx =的自变量增加5，函数值减少2，那么当3x =时，y =_______．【难度】★★【答案】56-．【解析】∵正比例函数y kx =的自变量增加5，函数值减少2，∴52-=k∴正比例函数解析式为x y 52-=．∴当3x =时，26355y =-⨯=-．【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质．例12．（1）已知y ax =是经过第二、四象限的直线，且3a +在实数范围内有意义， 求a 的取值范围；（2）已知函数的值随自变量x 的值增大而增大，且函数的值随自变量x 的增大而减小，求m 的取值范围． 【难度】★★【答案】（1）03<≤-a ；（2）3121-<<-m ． 【解析】（1）由题意，可得：，所以；（2）由题意，可得：，解得：，所以1123m -<<-．【总结】考查正比例函数图像的性质．例13．正比例函数()41y m x =-的图像经过点11(,)A x y 和22(,)B x y ，且该图像经过第 二、四象限．(1)求m 的取值范围；(2)当12x x >时，比较1y 与2y 的大小，并说明理由．【难度】★★ 【答案】（1）41<m ；（2）1y 2y <，正比例函数y 的值随着x 的增大而减小． 【解析】考查正比例函数图像的变化情况．【过关检测】一、填空题1．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知正比例函数的图像过点（3，2），（a ，6），则a 的值＝_________． 【答案】9【分析】先根据点（3，2）坐标求出正比例函数解析式，再把点（a ，6）代入解析式，即可求解． 【详解】解：设正比例函数解析式为y=kx （k≠0）， ∵正比例函数的图像过点（3，2）， ∴3k=2， ∴k=23， ∴正比例函数解析式是23y x =，再把x=a ，y=6代入23y x =得， 263a =， 解得a =9． 故答案为：9【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数和已知正比例函数求字母的值，根据待定系数法求出正比例函数解析式是解题关键．2．（2019·上海凉城第二中学八年级月考）若正比例函数()231my m x-=-的图像经过一、三象限，则函数解析式是_______________. 【答案】y x =.【分析】根据正比例函数的定义和图像所经过的象限即可求出m ，从而求出函数解析式. 【详解】解：∵正比例函数()231m y m x -=-的图像经过一、三象限，∴解得：2m =∴函数解析式是y x =. 故答案为：y x =.【点睛】此题考查的是求正比例函数的解析式，掌握正比例函数的定义和图像所经过的象限与比例系数的关系是解决此题的关键.3．（2020·上海市位育实验学校八年级月考）已知直线y kx =（k≠0）,当直线与x 轴正半轴夹角为30º时，直线解析式是____________ 【答案】y=x.【分析】依题意作图，根据含30°的直角三角形的特点设AO=2a ，得到故求出A 点坐标，再代入解析式即可求解.【详解】如图，AB ⊥x 轴，设OA=2a,∵∠AOB=30°，∴=∴A ，a ）代入y kx =，即∴直线解析式是y=x 故填：y=x.【点睛】此题主要考查正比例函数的解析式，解题的关键是熟知含30°的直角三角形的性质. 4．（2019·上海市西南模范中学）正比例函数3y x =-的图像经过_____象限. 【答案】二、四．【分析】由题目可知，该正比例函数过原点，且系数为负数，故函数图象过二、四象限． 【详解】由题意，y=-3x ， 可知函数过二、四象限． 故答案为：二、四．【点睛】此题主要考查了正比例函数的性质，同学们应熟练掌握根据函数式判断出函数图象的位置，这是考查重点内容之一．5．（2017·上海市青浦区金泽中学八年级期末）如果正比例函数的图象经过点（2，12），则正比例函数解析式是_____． 【答案】y ＝14x 【分析】设正比例函数解析式为y ＝kx （k ≠0），把经过的点的坐标代入解析式求出k 值，即可得解． 【详解】设正比例函数的解析式是y ＝kx （k ≠0），把（2，12）代入就得到：2k ＝12， 解得：k ＝14，因而这个函数的解析式为：y ＝14x ．故答案为：y ＝14x.【点睛】本题考查待定系数法求正比例函数解析式.6．（2020·上海八年级期中）已知正比例函数y kx =的图像经过点()4,3A -，则函数图像经过______象限． 【答案】第二、第四【分析】将点()4,3A -代入正比例函数解析式中，即可求出k 的值，再根据k 的符号即可得出结论． 【详解】解：将点()4,3A -代入y kx =中，得解得：34k =-∴正比例函数34y x =- ∵34-＜0 ∴函数图像经过第二、第四象限 故答案为：第二、第四．【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，熟知利用待定系数法求正比例函数解析式是解答此题的关键． 7．（2020·上海八年级期中）已知正比例函数()21y a x =-，如果y 的值随着x 的值增大而减小，则a 的取值范围是______． 【答案】12a <【分析】根据正比例函数的性质可知关于a 的不等式，解出即可．【详解】解：∵正比例函数()21y a x =-，y 的值随着x 的值增大而减小， ∴21a -＜0 解得：12a <故答案为：12a <． 【点睛】此题考查的是正比例函数图象的性质，掌握正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k ＞0时，图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小，是解题关键．8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）正比例函数()21y k x =+的图像经过第二、四象限，则k ______． 【答案】12k <-【分析】根据正比例函数经过象限，得到关于k 的不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：∵正比例函数()21y k x =+的图像经过第二、四象限， ∴210k +<， 解得12k <-．故答案为：12k <-【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，在正比例函数中当k>0时，图象经过第一、三象限，当k<0时，图象经过第二、四象限．9．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）函数y =的图像过点（b ，则b=________． 【答案】-1【分析】把点（b b ．【详解】解：∵函数y =的图像过点（b ∴， ∴b=-1． 故答案为：-1【点睛】本题考查了已知正比例函数解析式求点的坐标的参数，把点的坐标代入函数解析式是解题关键． 10．（2018·上海八年级期末）如果正比例函数y kx =的图像经过点(2-，6)，那么y 随x 的增大而______． 【答案】减小【分析】求出k 的值，根据k 的符号确定正比例函数的增减性． 【详解】解：∵正比例函数y kx =的图像经过点(2-，6)， ∴-2k =6， ∴k =-3，∴y 随x 的增大而减小． 故答案为：减小【点睛】本题考查了求正比例函数和正比例函数的性质，求出正比例系数k 的值是解题关键． 二、解答题11．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知y 与x 成正比例，且当x=12时， 求（1）y 关于x 的函数解析式？ （2）当y=-2时，x 的值？【答案】（1）y =；（2）2x =．【分析】（1）首先设反比例函数解析式为y ＝k x（k≠0），再把x=12时，y=k 的值，进（2）把y=-2代入函数解析式即可．【详解】（1）设，把x=12，12k ，∴k =故y 关于x 的函数解析式是y =．（2）把y=-2代入解析式y =中，得-2=，解得2x =-． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是掌握正比例函数解析式的形式． 12．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）正比例函数的图像经过点P （-3，2）和Q （-m ，m-1 ），求m 的值．【答案】3【分析】图象经过点，即点的坐标符合图象解析式，据此解题，先用待定系数法设正比例函数解析式，再代入点坐标求m 的值即可．【详解】设正比例函数解析式为(0)y kx k =≠，因为正比例函数的图像过点P （-3，2），将点P 坐标代入得，23y x =- 再代入点Q 坐标，即把x=-m ，y=m-1代入23y x =-左右两边， 解得m=3．【点睛】本题考查正比例函数图象性质、待定系数法等知识，是典型考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．13．（2020·上海市格致初级中学八年级期中）已知点（2，﹣4）在正比例函数y ＝kx 的图象上． （1）求k 的值；（2）若点（﹣1，m ）也在此函数y ＝kx 的图象上，试求m 的值．【答案】（1）-2；（2）2【分析】（1）结合点（2，-4）在正比例函数y ＝kx 的图象上，根据正比例函数的性质，列方程并求解，即（2）根据（1）的结论，得到正比例函数的解析式；结合题意，通过计算即可得到答案．【详解】（1）∵点（2，-4）在正比例函数y＝kx的图象上∴-4＝2k解得：k＝-2；（2）结合（1）的结论得：正比例函数的解析式为y＝-2x∵点（-1，m）在函数y＝-2x的图象上∴当x＝-1时，m＝-2×（-1）＝2．【点睛】本题考查了正比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握正比例函数、坐标的性质，从而完成求解．14．（2018·上海）已知y与x﹣1成正比例，且当x=3时，y=4．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当x=﹣1时，求y的值；（3）当﹣3＜y＜5时，求x的取值范围．【答案】（1）y=2x﹣2；（2）﹣4；（3）x的取值范围是﹣12＜x＜72．【分析】（1）利用正比例函数的定义，设y=k（x-1），然后把已知的一组对应值代入求出k即可得到y与x的关系式；（2）利用（1）中关系式求出自变量为-1时对应的函数值即可；（3）先求出函数值是-3和5时的自变量x的值，x的取值范围也就求出了．【详解】（1）设y=k（x﹣1），把x=3，y=4代入得（3﹣1）k=4，解得k=2，所以y=2（x﹣1），即y=2x﹣2；（2）当x=﹣1时，y=2×（﹣1）﹣2=﹣4；（3）当y=﹣3时，x﹣2=﹣3，解得：x=﹣12，当y=5时，2x﹣2=5，解得：x=72，∴x的取值范围是﹣12＜x＜72．【点睛】本题考查考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b ；再将自变量x 的值及与它对应的函数值y 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．15．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）正比例函数23my mx -=的图象经过第一、三象限，求m 的值．【答案】2【分析】根据正比例函数的定义和图象经过象限得到关于m 的方程和m 的取值范围，即可求解．【详解】解：∵函数函数23my mx -=为正比例函数， ∴231m -=，∴2m =±，又∵正比例函数的图像经过第一、三象限，∴m ＞0，∴2m =【点睛】本题考查了正比例函数的定义和性质，注意正比例函数是一次函数，自变量次数为1，熟知正比例函数图象与性质是解题关键．。

主 题正比例函数图像与性质教学内容1.理解函数的概念，会求函数的解析式和函数值和函数定义域；2.理解正比例函数的概念，会用待定系数法、数形结合法求正比例函数解析式；3.熟练掌握正比例函数的图像和性质，会解相关题目.（以提问的形式回顾）1. 请填写下表：正比例函数的定义、图像和性质：定义 形如(0)y kx k =≠的函数叫正比例函数图像经过定点 （0，0） 和 （1，k ） 的一条 直 线 性质k >0图形经过第 一、三 象限 y 随x 的增大而 增大 k <0图形经过第 二、四 象限 y 随x 的增大而 减小2.填空：（1）函数21y x =-自变量的取值范围是 . （2）函数3121x y x -=-自变量的取值范围是 . （3）函数21y x =-自变量的取值范围是 .（4）函数3121x y x -=-自变量的取值范围是 .答案：（1）全体实数；（2）12x ≠；（3）12x ≥；（4）13x ≥且12x ≠（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1：已知函数2()21f x x x =--.求：（1）(0)f ；（2）(1)f -；（3）(2)f ；（4）()f a -.答案：（1）-1；（2）2；（3）221-+；（4）221a a +-例2：下列函数中，是正比例函数的是（ ） A A ．12y x = B ．4y x= C ．53y x =- D ．2621y x x =--试一试： （1）若325m y x-=是正比例函数，则m = .（2）若函数(4)y m x =-是关于x 的正比例函数，则m 的取值范围是 . （3）若函数23(2)ay a x -=+是正比例函数，则a 的值是 .（4）若函数2(2)4y a x a =++-是正比例函数，则a 的值是 . 答案： 1； 4m ≠； 2； 2例3：已知正比例函数的比例系数是-5，则解析式为 .答案：5y x =-试一试：已知y 是x 的正比例函数，且当2x =时，12y =，求这个正比例函数的解析式. 答案：6y x =例4：一个函数的图像是经过原点的直线，并且这条直线经过点(1,3)，则这个函数的解析式为 . 答案：y =3x试一试：（1）已知正比例函数图像上有一个点A 到x 轴的距离为4，这个点A 的横坐标是-2，则这个正比例函数的解析式为 .（2）已知正比例函数图像上一点到x 轴距离与到y 轴距离之比为1︰2，则此函数解析式是 . （3）已知点A （4，-2）、B （a ，32）都在同一个正比例函数的图像上，则a 的值为 .答案： y =2x 或y =—2x ； y =12x 或y =12-x ； -3例5：（1）正比例函数(1)y m x =-，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是 . （2）若正比例函数2-3(-1)m y m x =的图像经过第二、四象限，则m 的值是 .答案：1m >；-2试一试：1. 已知函数22(4)(1)y k x k x =-++是正比例函数，且y 随x 的增大而减小，则k = . 答案：-22. 已知正比例函数(21)y m x =-的图像上有两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，当12x x <时，有12y y >，那么m 的取值范围是（ ）A . 2m <B . 2m >C . 12m <D . 12m > 答案：C3. 如图,三个正比例函数的图像分别对应的解析式是 ①y a x =；② y b x =；③ y c x =，则a 、b 、c 的大小关系是( )A . a >b >cB . c >b >aC . b >a >cD . b >c >a答案：C例6. 若点A 纵坐标为4，且A 在直线y kx =上，过点A 坐AD 垂直y 轴于点D .若△ADO 的面积为4，求点A 坐标和直线y kx =的解析式. 答案：解：设点A 纵坐标为x ，则1442x ⨯⨯=，解得 2x =± 所以点A 的坐标是（2，4）或（-2，4）. 将点A 的坐标代入y kx =，得 2k =±， 所以直线的解析式为2y x =或2y x =-.（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）1.下列函数中，是正比例函数的有（ ）①31y x =+；②4y x =；③15s t -=+；④22m x +=-. A .①② B . ②③ C .②④ D .③④ 2.如果1(3)n y m x -=+是正比例函数，那么m ，n = .3. 若1(2)n y n x-=-是正比例函数，则n = .4. 一根蜡烛长20厘米，点燃后平均每小时燃烧5厘米，燃烧后剩下的蜡烛高度y 厘米与燃烧时间x 小时之间的函数关系用图像可表示为( )xy xy xy xy 2042020420(B)(C)(D)(A)44OOOO5. 已知正比例函数的图像经过点P （2，3）． （1）求此函数解析式；（2）若在x 轴上有点Q ，且△POQ 的面积等于6，求点Q 的坐标.6. 已知12y y y =+，其中1y 与2x 成正比例，2y 与x 成反比例，并且当12x =时5y =，当1x =时1y =-，求y 与x 之间的函数关系式。

沪教版八年级上册数学第十八章正比例函数和反比例函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣1，﹣1），C（2，﹣1），D（2，2），当双曲线y＝（k＞0）与正方形有四个交点时，k的取值范围是（）A.0＜k＜1B.1＜k＜4C.k＞1D.0＜k＜22、如图，直线与反比例函数的图象相交于A、B两点，线段的中点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为点D.直线过原点O和点C.若直线上存在点，满足，则的值为（）A. B.3或 C. 或 D.33、在平面直角坐标系xOy中，A为双曲线y=-上一点，点B的坐标为（4，0）．若△AOB的面积为6，则点A的坐标为（）A.（﹣4，）B.（4，- ）C.（﹣2，3）或（2，﹣3） D.（﹣3，2）或（3，﹣2）4、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE＝2EC.若四边形ODBE的面积为6，则k为（）A.3B.4C.6D.125、下表反映的是某地区用电量x（千瓦时）与应交电费y（元）之间的关系：用电量x（千瓦1 2 3 4 …时）应交电费y0.55 1.1 1.65 2.2 …（元）下列说法：①x与y都是变量，且x是自变量，y是x的函数；②用电量每增加1千瓦时，电费增加0.55元；③若用电量为8千瓦时，则应交电费4.4元；④若所交电费为2.75元，则用电量为6千瓦时，其中正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个6、函数的自变量x的取值范围是（）A. B. C. D.7、已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则函数y=kx﹣k 的图象大致是( )A. B. C. D.8、下列说法正确的是（）A.若y＜2x，则y是x的函数B.正方形面积是周长的函数C.变量x，y满足y 2=2x，y是x的函数D.温度是变量9、已知抛物线y=x2﹣2x+m+1与x轴有两个不同的交点，则函数y=的大致图象是（）A. B. C.D.10、李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（）A.金额B.数量C.单价D.金额和数量11、若某反比例函数y= 的图象经过点（3，-4），则该函数图象位于（）。

沪教版八年级上册数学第十八章正比例函数和反比例函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（）A.（，0）B.（2，0）C.（，0）D.（3，0）2、若点A(-2，y1)，B(1，y2)，C(2，1)在反比例函数y= 的图象上，则( )A.y2<y1<1 B.y1<y2<1 C.1<y2<y1D.y1<1<y23、已知：如图在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为（10，0），对角线OB、AC相交于D点，双曲线( x >0)经过D点，交AB于E点，且OB∙AC=160，则点E的坐标为（）.A.（3，8）B.（12，）C.（4，8）D.（12，4）4、若点（x1， y1）、（x2， y2）、（x3， y3）都是反比例函数y= 的图象上的点，并且x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（）A.y1＜y3＜y2B.y1＜y2＜y3C.y3＜y2＜y1D.y2＜y3＜y15、王小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯：王小红由A处匀速直行到B处（如图所示），她与路灯的距离S与行走的时间t之间的变换关系用图象刻画出来：大致图象是（）A. B. C. D.6、如图，在反比例函数的图原上有A，B，C，D四点，他们的横坐标依次是1，2，3，4，分别过这些点作x轴和y轴的垂线，图中构成的阴影部分的面积从左到右依次是S1， S2， S3.则下列结论正确的是（）A. B. C. D.7、如图，边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A′B′C′，它们的边B′C′，BC位于同一条直线l上，开始时，点C′与B重合，△ABC固定不动，然后把△A′B′C′自左向右沿直线l平移，移出△ABC外（点B′与C重合）停止，设△A′B′C′平移的距离为x，两个三角形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是（）A. B. C. D.8、如图是某公司今年1到4月份的总产值相对上个月的增长率统计图，下列说法：①2月份总产值与去年12月份总产值相同；②3月份与2月份的总产值相同；③4月份的总产值比2月份增长7%；④在1到4月份中，4月份的总产值最高；其中正确的个数是（）A.4B.3C.2D.19、如图，矩形ABCD的周长是28cm，且AB比BC长2cm.若点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→D→C方向匀速运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B-→C方向匀速运动，当一个点到达点C时，另一个点也随之停止运动.若设运动时间为t(s)，的面积为S(cm2)，则s(cm2)与t(s)之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.10、下列选项中，函数y= 对应的图象为（）。

18.2（3）正比例函数的性质一、填空题1. 正比例函数y ＝2x 的图像经过第______象限，并且y 随x 的增大而__________．2. 正比例函数y ＝－2x 的图像经过第________象限，并且y 随x 的增大而________．3. 如果正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图像经过第二、四象限，那么y 随x 的增大而________.4. 如果正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图像经过第一、三象限，那么y 随x 的增大而________．5. 如果点P (a ，b )在第二象限，则函数y ＝b ax 的图像经过第________象限，那么y 随x 的增大而________．6. 已知正比例函数y ＝(1－k )x 的图像经过第一、三象限，则k 的取值范围为________．7. 已知正比例函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23a x 中，y 随x 的增大而减小，则a 的取值范围为________． 8. 正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图像与直线y ＝－2x 关于y 轴对称，则k ＝________.9.正比例函数y ＝kx 的图像经过第二、四象限，点A (a ，1)、B (－1，b )都在这个函数图像上，则a －b ________0.10. 已知点P 在直线y ＝－3x 上，若点P 的纵坐标大于3，则点P 的横坐标x 的取值范围为________．11．已知（x 1，y 1）和（x 2，y 2）是直线y = -3 x 上的两点，且x 1> x 2，则y 1与y 2•的大小关系是二、简答题12．正比例函数()x a y 15-=的图像经过点（1，4），求a 的值13．正比例函数1212-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=k x k y 的图像经过第一、第三象限，求函数的解析式14．在函数y = -3x 的图象上取一点P ，过P 点作PA ⊥x 轴，已知P 点的横坐标为-2，求△POA 的面积（O 为坐标原点）．15. 已知：正比例函数图像经过点(－2，4).(1)如果点(a ，1)和(－1，b )在函数图像上，求：a 、b 的值；(2)过图像上一点P 作y 轴的垂线，垂足为Q (0，－8)，求：△OPQ 的面积．16. 在正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图像上有一点P (2，a )，过P 作PA ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，垂足分别为A 、B ，若S 四边形OAPB ＝6，求：此正比例函数的解析式．三、提高题17. 如图，长方形OABC边BC＝4，AB＝2.(1)直线y＝kx(k≠0)，交边AB于点P，求k的取值范围；(2)直线y＝kx(k≠0)，将长方形OABC的面积分成两部分，靠近y轴的一部分记作S，试写出S关于k的解析式；(3)直线y＝kx(k≠0)，是否可能将长方形OABC的面积分成两部分的面积比为2∶3？若能，求出k的值；若不能，说明理由．18.2（3）正比例函数的性质一．1.一、三 增大 2.二、四 减小 3.减小 4.增大 5.二、四 减小6.k ＜17.a ＞23 8.2 9. ＜ 10.x ＜-3 11. 12y y ＜ 二．12. a=1 13.y=23x 14.6 15.(1)a=-21 b=2 (2)16 16.y=23x 或y=-23x 三． 17.⑴(0＜k ≤21) ⑵ ①当点P 在BC 边上时21()2s k k =＞ ②当点P 在AB 边上时188(0)2s k k =-＜≤（3）①当点P 在BC 边上时58k = ② 当点P 在AB 边上时25k =。

18.2 正比例函数一、正比例函数的定义1、正比例函数的定义一般的，形如y kx = （k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k 叫做比例系数. 2、正比例函数的等价形式 （1）、y 是x 的正比例函数； （2）、y kx =（k 为常数且k ≠0）； （3）、若y 与x 成正比例； （4）、k xy=（k 为常数且k ≠0）. 二、待定系数法求正比例函数的解析式由于正比例函数y kx =（k 为常数，k ≠0 ）中只有一个待定系数k ，故只要有一对x ，y 的值或一个非原点的点，就可以求得k 值.三、正比例函数的图象与性质（图像画法：列表；描点；连线）正比例函数y kx =（k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y kx =.当k ＞0时，直线y kx =经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k ＜0时，直线y kx =经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小.题型1：正比例函数的概念1．下列问题中，两个变量成正比例的是（ ） A ．圆的面积和它的半径；B ．长方形的面积一定时，它的长和宽；C ．正方形的周长与边长；D ．三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高． C【分析】先列出函数关系式，然后再根据正比例函数的定义即可解答． 解：A 、圆的面积S =πr 2，不是正比例函数，故此选项不符合题意；B 、长方形的面积S 一定时，它的长a 和宽b 的关系S =ab ，不是正比例函数，故此选项不符合题意；2．下列函数是正比例函数的是（ ）． A ．22y x = B ．()21y x =-C ．3y x =-D ．3y x=3．函数2(1)m y m x =+是正比例函数，则m 的值为（ ） A ．±1 B ．1C ．1-D ．不存在B【分析】根据正比例函数的定义，得m 2=1，且m +1≠0，求解即可． 解：∵函数y =（m +1）xm 2是正比例函数，∴m 2=1，且m +1≠0， 解得，m =1． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如y =kx ，且k ≠0，叫正比例函数． 4．若函数()221y k x k =-++是正比例函数，则k 的值是（ ）A ．2k ≠B ．2k =C ．12k =-D ．2k =-解：函数5．若函数y ＝（2m +6）x +m 2﹣9是关于x 的正比例函数，则m 的值为（ ） A ．3 B ．﹣3C ．±3D ．0A【分析】根据正比例函数的定义求解即可． 解：由题意得：m 2﹣9＝0， 解得：m ＝3或m ＝-3， ∵2m +6≠0， ∴m ≠-3， ∴m ＝3， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义，形如y =kx （k 是常数，k ≠0）的函数，其中k 叫做比例系数．题型3：求函数的值与待定系数法6．已知y 与x 成正比例，如果x =2时，y =1，那么x =3时，y 为( )A ．32B ．2C ．3D ．0A【分析】根据y 与x 成正比例，如果x =4时，y =2，用待定系数法可求出函数关系式．再将x =3代入求出y 的值．解：∵y 与x 成正比例， ∴y =kx ，7．若y 与x 成正比例，且当x ＝3时，y ＝6，则y 与x 之间的函数关系式为 __． 2y x =【分析】首先设y ＝kx ，再代入x ＝3，y ＝6可得k 的值，进而可得函数解析式．解：设y ＝kx ， ∵当x ＝3时，y ＝6， ∴6＝3k ， 解得：k ＝2， ∴y ＝2x ， 故答案为：y ＝2x ．【点睛】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是掌握形如y ＝kx （k ≠0）的形式是正比例函数．8．正比例函数y kx =经过点()2,6，则k 的值是______． 3【分析】把点（2，6）代入正比例函数y ＝kx ，可以求得k 的值，本题得以解决． 解：∵正比例函数y ＝kx 的图象经过点（2，6），∴6＝2k ， ∴k ＝3． 故答案为：3．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 9．变量x ，y 的一些对应值如表：根据表格中的数据规律，当x ＝11时，y 的值是（ ）A ．﹣22B ．﹣11C ．11D ．22A【分析】根据表格中变量x 、y 的变化关系，得出函数关系式，再代入计算即可． 解：由表格中变量x 每增加1个单位，y 就减少2个单位，且经过点(0，0)， 所以变量x 、y 的变化关系为正比例函数关系，即y =-2x ， 当x =11时，y =-2×11=-22， 故选：A ．【点睛】本题考查了函数值，根据表格中变量之间的变化关系和对应值得出函数关系式是解决问题的关键． 10．已知A （﹣3，4），B （3，﹣4），C （2，﹣5），D （﹣5，203），其中点（ ）与其它三个点不在同一正比例函数的图象上． A ．A B ．B C ．C D ．D11．已知2y -和21x +成正比例，且2x =-时，7y =-，则y 与x 之间的函数表达式为_________．65y x =+【分析】根据题意设出函数解析式，把当x =-2时，y =-7代入解析式，便可求出未知数的值，从而求出其解析式．解：∵2y -和21x +成正比例， ∴设2(21)y k x -=+当x =-2时，y =-7代入解析式得，72[2(2)1]k --=⨯⨯-+ 解得，3k = ∴23(21)y x -=+ 整理得 ，65y x =+ 故答案为：65y x =+【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，注意掌握待定系数法的运用． 12．已知y 与x 之间成正比例关系，且当x = 1时，y =-3． (1)求y 与x 之间的函数关系式； (2)当x =-2时，求y 的值． (1)3y x =- (2)6y =【分析】（1）利用待定系数法解题； （2）把x =-2代入（1）中的解析式． (1)解：y 与x 之间成正比例关系， 设(0)y kx k =≠ 当x = 1时，y =-33k ∴=-3y x ∴=-； (2)当x =-2时，33(2)6y x =-=-⨯-=6y ∴=【点睛】本题考查正比例函数的定义，涉及待定系数法，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．13．已知：y ＝y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x ﹣2成正比例，当x ＝1时，y ＝0；当x ＝3时，y ＝4． (1)求y 与x 之间的关系式； (2)当x ＝﹣1时，求y 的值． (1)22y x =- (2)4-【分析】（1）根据题意分别设出y 1，y 2，代入y ＝y 1＋y 2，表示出y 与x 的解析式，将已知两对值代入求出k 与b 的值，确定出解析式；（2）将x ＝－1代入计算即可求出值． (1)设y 1＝ax ，y 2＝k （x ﹣2）， ∴y ＝ax +k （x ﹣2）由当x ＝1时，y ＝0．当x ＝3时，y ＝4可得， ()()0124332a k a k ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩，解得：11a k =⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的关系式为：y ＝2x ﹣2； (2)当x ＝﹣1时,()2124y ⨯-=﹣=﹣． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解题关键是熟练掌握待定系数法．题型5：正比例函数的图像14．画出下列正比例函数的图象： （1）4y x =； （2）23y x =；（3）23y x =-． （1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】根据三条直线的解析式其图象均过原点，再分别求另一个点，描出各点，根据两点确定一条直线画出函数图象．解：（1）当0,0x y ==， 当1,4x y ==， 如图，描点后连线得： （2）当3,2x y ==， 当0,0x y ==， 如图，描点后连线得： （3）当0,0x y ==， 当3,2x y ==-， 如图，描点后连线得：【点睛】本题考查了正比例函数的图象的作法，解题的关键是掌握理函数图象的作法，列表、描点、连线． 15．已知：函数2y x =-． (1)画出此函数的图象；(2)若点P （m ，4）在图象上，求出m 的值． (1)画图见解析 (2)2m =-【分析】（1）先列表，再描点并连线即可； （2）把(),4P m 代入函数解析式求解即可． (1) 解：列表： x 0 1 y 0-2描点并连线(2)解：当点P （m ，4）在图象上，则 24,m 解得： 2.m =-【点睛】本题考查的是画正比例函数的解析式，正比例函数的性质，掌握“利用描点法画函数图象”是解本题的关键．16．点A （1，m ）在函数y =2x 的图象上，则m 的值是（ ） A ．2 B ．1C ．0.5D ．2-A【分析】直接把点A （1，m ）代入函数y =2x ，求出m 的值即可．解：把x =1，y =m 代入y =2x ， 得m =2×1， 解得：m =2． 故选：A ．【点睛】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．17．已知正比例函数()0y kx k =≠的图像如图所示，则下列各点在该函数图像上的是（ ）A ．()2,4-B ．()1,1--C ．()4,8D ．()8,10C【分析】根据函数图像经过点（2，4）可求出k 的值，得到函数解析式，将各点坐标代入验证即可． 由图像可知，正比例函数()0y kx k =≠的图像经过点（2，4）， ∴4=2k ， 解得：k =2，∴函数解析式为y =2x ，A.当x =-2时，y =2×(-2)=-4，故A 错误；B.当x =-1时，y =2×(-1)=-2，故B 错误；C.当x =4时，y =2×4=8，故C 正确；D.当x =8时，y =2×8=16，故D 错误． 故选：C ．【点睛】本题考查了正比例函数，通过函数经过的点的坐标求函数解析式是解题的关键． 18．若一个正比例函数的图象经过A (2，﹣4)，B (m ，﹣6)两点，则m 的值为（ ） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．3D ．2C【分析】运用待定系数法求得正比例函数解析式，把点B 的坐标代入所得的函数解析式，即可求出m 的值． 解：设正比例函数解析式为：y ＝kx ， 将点A （2，﹣4）代入可得：2k ＝﹣4， 解得：k ＝﹣2，∴正比例函数解析式为：y ＝﹣2x ，将B （m ，﹣6）代入y ＝﹣2x ，可得：﹣2m ＝﹣6， 解得m ＝3， 故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．解题时需灵活运用待定系数法求出函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程思想解决问题是解本题的关键．19．如图，直线l 是某正比例函数的图象，点()4,12A -，()3,9B -是否在该函数的图象上？点()4,12A -与点()3,9B -都在该函数图象上．【分析】根据题意先设直线l 的解析式为y =kx （k ≠0），再把（-1，3）代入求出k 的值，把A 、B 两点代入进行检验即可．解：设直线l 的解析式为y =kx （k ≠0），∵直线过点（-1，3），∴3=-k ，解得k =-3，∴直线l 的解析式为y =-3x ．∵当x =-4时，y =12；当x =3时，y =-9，∴点A （-4，12），B （3，-9）在该函数的图象上．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．20．根据下表写出y 与x 之间的一个关系式，并求出表中m ，n 的值x﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 y n 6 0 ﹣6 ﹣12﹣18 m 6y x =-，m 的值为-24，n 的值为12【分析】根据表格中的数据，x 与 y 的比值不变，即可判断是一个正比例函数，设正比例函数的解析式为：y kx =，再根据已知点代入，即可求出解析式，进而可求出m ，n 的值解：根据表中数据知：y 是x 的正比例函数．设正比例函数的解析式为：y kx =∴当1x =时，6y =-，y ∴与x 的关系式为6y x =-．当2x =-时，6(2)12,12y n =-⨯-=∴=；当4x =时，6424,24y m =-⨯=-∴=-．m ∴的值为24-，n 的值为12．【点睛】本题考查了求正比例函数解析式，要注意正比例函数的特点，x 与 y 的比值不变题型6：根据正比例函数的图像求参数21．已知正比例函数()0y kx k =≠的图象经过第一、三象限，且经过点（k ，k +2），则k =________． 2【分析】先根据正比例函数的图象可得0k >，再将点(,2)k k +代入函数的解析式可得一个关于k 的一元二次方程，解方程即可得．解：正比例函数()0y kx k =≠的图象经过第一、三象限，0k ∴>，由题意，将点(,2)k k +代入函数()0y kx k =≠得：22k k =+， 解得2k =或10k =-<（舍去），故答案为：2．【点睛】本题考查了正比例函数的图象、一元二次方程的应用，熟练掌握正比例函数的图象特点是解题关键．22．如果正比例函数y ＝（k ﹣2）x 的图象经过第二、四象限，那么k 的取值范围是 _____． 2k <【分析】根据正比例函数的性质列不等式求解即可．解：∵正比例函数y ＝（k ﹣2）x 的的图象经过第二、四象限，∴k ﹣2＜0，解得，k ＜2．故填：k ＜2．【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质、正比例函数的图象等知识点，根据正比例函数图象所在的象限列出不等式是解答本题的关键．题型7：正比例函数的性质23．已知正比例函数y kx =（0k ≠）的图象经过点（3，6-）．（1）求这个函数的解析式；（2）直接在图中画出这个函数的图象；（3）判断点A （4，2-）、点B （ 1.5-，3）是否在这个函数图象上；（4）已知图象上两点C （1x ，1y ）、D （2x ，2y ），如果12x x >，比较1y ，2y 的大小．（1）2y x =-；（2）见解析；（3）点A 不在2y x =-函数图象上，点B 在2y x =-函数图象上；（4）12y y <．【分析】（1）将点（3，6-）代入y kx =即可求得；（2）通过描点，连线作图；（3）将已知点代入解析式，分析判断即可；（4）根据正比例函数的性质或者结合图像分析即可． （1）正比例函数y kx =（0k ≠）的图象经过点（3，6-），63k ∴-=，解得：2k =-，∴这个函数的解析式为：2y x =-．（2）正比例函数2y x =-经过原点，且是一条直线，当1x =时，2y =-，则在图中找到P (1,2)-，作直线OA 即可，如图：（3）将A （4，2-）、点B （ 1.5-，3）分别代入2y x =-，224-≠-⨯,则点A 不在2y x =-函数图象上，32 1.5=-⨯，则点B 在2y x =-函数图象上；（4）20k =-<，∴ y 随着x 增大而减小，当12x x >时，12y y <．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正比例函数图像的作图，正比例函数图像的性质，掌握正比例函数的相关知识是解题的关键．24．正比例函数的图像是______，当0k >时，直线y kx =过第______象限，y 随x 的增大而______. 一条直线 一、三 增大【分析】正比例函数的图象是一条过原点的直线，当k ＞0时，过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，过二、四象限，y 随x 的增大而减小．据此解答即可.解：正比例函数的图象是一条直线，当k ＞0时，直线y=kx 过第 一、三象限，y 随x 的增大而增大． 故答案为一条直线；一、三；增大．【点睛】本题考查了正比例函数的图象和性质，注意图像的特点：是一条经过原点的直线．25．若14(,)3M y -、21(,)2N y -、3(0,)P y 三点都在函数(0)y kx k =<的图像上，那么123、、y y y 的大小关系是（ ）A ．312y y y >>B ．321y y y >>C ．231y y y >>D ．123y y y >>D 【分析】由于k ＜0时，函数y 随x 的增大而减小．又因为41032-<-<，所以123y y y >>．26．已知()1M y ，()22,N y 是直线3y x =-上的两个点，则1y ，2y 的大小关系是（ ）A ．12y y <B ．12y y >C ．12y y ≥D ．12y y = 的增大而减小．再根据32,即可得出结论．解： 30,k 的增大而减小，()22,y 是直线上的两个点，而32,【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，掌握“正比例函数的增减性27．关于函数y ，以下说法错误的是（ ）A ．图象经过原点B ．图象经过第二、四象限C ．图象经过点2)-D ．y 的值随x 的增大而增大28．点A （x 1，y 1）、点B （x 2，y 2）在正比例函数y ＝4x 的图象上，当x 1＜x 2时，则y 1与y 2的大小关系是（ ） A ．y 1＜y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1＝y 2D ．无法判断 A【分析】由正比例函数的性质可知，当0k >时，y 随x 的增大而增大，随着x 的减小而减小，结合40k =>，即可作答．解：∵y ＝4x 中k ＝4＞0，∴y 随x 的减小而减小，∵x 1＜x 2，∴y 1＜y 2．故选：A ．【点睛】本题主要考查了正比例函数图象的性质，正比例函数图象上点的坐标的特征，利用图象的性质解答是解题的关键．29．已知函数()231m x y m -=﹣是正比例函数．(1)若函数关系式中y 随x 的增大而减小，求m 的值；(2)若函数的图象过第一、三象限，求m 的值． (1)2m =-；(2)2m =【分析】（1）由函数关系式中y 随x 的增大而减小，利用正比例函数的性质可得出10m <-，解之即可得出m 的取值范围，进而可确定m 的值；（2）由函数的图象过第一、三象限，利用正比例函数的性质可得出10m >-，解之即可得出m 的取值范围，进而可确定m 的值．(1)解：∵函数()231m x y m-=﹣是正比例函数，∴21031m m -≠⎧⎨-=⎩， 解得：1222m m =-=，．∵函数关系式中y 随x 的增大而减小，∴10m <-，∴1m <，∴2m =-．(2)∵函数的图象过第一、三象限，∴10m >-，∴1m ，∴2m =．【点睛】此题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，牢记“当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，且函数图象经过第一、三象限；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，且函数图象经过第二、四象限”是解题的关键．30．已知正比例函数的图象经过点(3，−6)．（1）求这个函数的解析式：（2）图象上有两点B （x 1，y 1）、C （x 2，y 2），如果12x x >，比较1y ，2y 的大小．（1）y =-2x ；（2）y 1＜y 2．【分析】（1）利用待定系数法把（3，-6）代入正比例函数y =kx 中计算出k 即可得到解析式；（2）根据正比例函数的性质：当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，即可判断．解：（1）设正比例函数的解析式为y =kx ，∵正比例函数的图象经过点（3，-6），∴-6=3•k ，解得：k =-2，∴这个正比例函数的解析式为：y =-2x ；（2）∵k =-2＜0，∴y 随x 的增大而减小，∵x 1＞x 2，∴y 1＜y 2．【点睛】本题考查了用待定系数求正比例函数的关系式，判断点是否在函数的图象上及正比例函数的性质，解（1）的关键是能正确代入即可；解（2）的关键是：熟记当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大．题型7：正比例函数的定义、图像与性质综合题31．若y =（m -1）x +m 2-1是y 关于x 的正比例函数，如果A （1，a ）和B （-1，b ）在该函数的图象上，那么a 和b 的大小关系是（ ）A ．a b <B ．a b >C ．a b ≤D ．a b ≥ A 【分析】利用正比例函数的定义，可求出m 的值，进而可得出m -1=-2＜0，利用正比例函数的性质可得出y 随x 的增大而减小，结合1＞-1，即可得出a ＜b ．解：∵y =（m -1）x +m 2-1是y 关于x 的正比例函数，∴m 2-1=0，m -1≠0，解得：m =-1，∴m -1=-1-1=-2＜0，∴y 随x 的增大而减小．又∵A （1，a ）和B （-1，b ）在函数y =（m -1）x +m 2-1的图象上，且1＞-1，∴a ＜b ．故选：A ．【点睛】本题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，牢记“当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小”． 题型8：分段函数图像的画法32．当0x >时，y 与x 之间的函数解析式为2y x =，当0x ≤时，y 与x 之间的函数解析式为2y x =-，则在同一直角坐标系中y 与x 之间的函数关系图象大致为图中的（ ）A ．B ．C ．D ．C【分析】根据正比例函数的图象和性质判断即可；解：∵当0x >时，2y x =，∴此时函数在第一象限，∵当0x ≤时，2y x =-，∴此时函数过原点及第二象限，故选： C ．【点睛】本题考查了正比例函数的性质：在y =kx （k ≠0）中，当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，直线经过原点及第一、三象限， 当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，直线经过原点及第二、四象限．一、单选题1．下列函数中，正比例函数是（ ）.A ．25y x =B ．25y x =C ．245y x =D ．25y x =- B【分析】正比例函数的定义：形如(0)y kx k =≠的函数叫做正比例函数.根据正比例函数的定义可得：A 、是反比例函数，B 、是正比例函数，C 、是二次函数,D 、是反比例函数.故选B【点睛】本题属于基础应用题，只需学生熟知正比例函数的定义，即可完成．2．一个正比例函数的图象过点(2，﹣3)，它的表达式为（ ）A ．32y x =-B ．23y x =-C ．32y x =D ．23y x = A【分析】根据待定系数法求解即可．解：设函数的解析式是y ＝kx ，根据题意得：2k ＝﹣3，解得：k ＝﹣32． 故函数的解析式是：y ＝﹣32x ． 故选：A ．【点睛】本题考查了利用待定系数法求正比例函数的解析式，属于基础题型，熟练掌握待定系数法求解的方法是解题关键．3．已知正比例函数()y kx k 0=≠的图象经过点（1，－2），则正比例函数的解析式为（ ） A ．y 2x = B ．y 2x =- C ．12y x = D ．1y x 2=-B【分析】利用待定系数法把（1，-2）代入正比例函数y=kx 中计算出k 即可得到解析式．根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将（1，－2）代入y kx =，得：k 2=-，∴正比例函数的解析式为y 2x =-.故选B.4．如果一盒圆珠笔有12支，售价18元，用y （元）表示圆珠笔的售价，x 表示圆珠笔的支数，那么y 与x 之间的解析式为（ ）.A ．32y x =B ．23y x =C ．12y x =D ．18=y x5．设a 为常数，且()33,1P a a ++，则该点位于正比例函数（ ）上．A ．3y x =B ．33x y -=C ．13y x =D ．31y x =-6．当k ＞0时，正比例函数y =kx 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． A【分析】正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当k ＞0时，经过一、三象限．解：正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当k ＞0时，经过一、三象限．故选A ．【点睛】本题比较简单，主要考查了正比例函数的图象特点：是一条经过原点的直线．7．已知函数y ＝kx(k≠0)的函数值随x 的增大而增大，则函数的图象经过( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限 B【分析】根据正比例函数的性质解答．根据题意，函数值随x 的增大而增大，k 值大于0，图象经过第一、三象限．故选B ．8．关于函数12y x =，下列结论正确的是 （ ） A ．函数图像必经过点（1，2）B ．函数图像经过二、四象限C ．y 随x 的增大而增大D ．y 随x 的增大而减小 C【分析】根据正比例函数图象的性质分析．A 、当x =1时，y =12，错误；B 、因为k ＞0，所以图象经过第一、三象限，错误；C 、因为k ＞0，所以y 随x 的增大而增大，C 正确；D 、错误．故选：C ．9．如图，在同一直角坐标系中，正比例函数1y k x =，2y k x =，3y k x =，4y k x =的图象分别为1l ，2l ，3l ，4l ，则下列关系中正确的是（ ）A ．1234k k k k <<<B ．2143k k k k <<<C ．1243k k k k <<<D ．2134k k k k <<< B 【分析】首先根据直线经过的象限判断k 的符号，再进一步根据直线的陡峭趋势（直线越陡k 越大）判断k 的绝对值的大小，最后判断四个数的大小.解：根据直线经过的象限，知20k <，10k <，40k >，30k >，根据直线越陡k 越大，知21k k >，43k k <，所以2143k k k k <<<．故选B ．【点睛】此题主要考查了正比例函数图象的性质，直线越陡k 越大，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键．10．下列说法中不成立的是（ ）A ．在y=3x ﹣1中y+1与x 成正比例B ．在y=﹣2x 中y 与x 成正比例C ．在y=2（x+1）中y 与x+1成正比例D ．在y=x+3中y 与x 成正比例D解：A.∵y =3x −1，∴y +1=3x ，∴y +1与x 成正比例，故本选项正确；B.∵2x y =-，∴y 与x 成正比例，故本选项正确；C.∵y =2(x +1)，∴y 与x +1成正比例，故本选项正确；D.∵y =x +3，不符合正比例函数的定义，故本选项错误．故选：D ．二、填空题11．若()12k y k x-=-是正比例函数，则k =______.【分析】根据正比例函数的定义可得2k -≠0，且|k-1|=1.根据函数是正比例函数知x 的幂是一次得，2k -≠0，且|k-1|=1,解得k=0.故答案为0【点睛】考核知识点：正比例函数定义.理解定义是关键.12．已知y 与x 成正比例，且当1x =时，2y =，那么当3x =时，y =______. 6【分析】根据待定系数法求出函数解析式，再求y 值.因为y 与x 成正比例，所以设正比例函数的解析式为y=kx （k≠0），把x=1时，y=2代入得：k=2，故此正比例函数的解析式为：y=2x ，当x=3时，y=2×3=6． 故答案为6．【点睛】考核知识点：求正比例函数解析式.利用待定系数法求解是关键.13．如果正比例函数y ＝(k －1)x 的图象经过第二、四象限，那么k 的取值范围是__________．k ＜1【分析】根据正比例函数的性质（正比例函数y=kx （k≠0），当k ＜0时，该函数的图象经过第二、四象限）解答．正比例函数y=(k−1)x 的图象经过第二、四象限，∴k−1<0，解得k<1.故答案为：k<1.【点睛】本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是熟练的掌握正比例函数的性质.14．若点()1,P n ，()3,6Q n +在正比例函数y kx =的图像上，则k =______. 3【分析】把点P 与Q 分别代入解析式，即可求出k 的值.解：把点()1,P n ，()3,6Q n +代入解析式，得36k n k n =⎧⎨=+⎩ ，解得：33k n =⎧⎨=⎩， ∴k 的值为3.故答案为3.【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法.15．放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28kg ，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考你. 图（1）、图（2）分别表示你和我的工作量与工作时间的关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了______kg.” 20 【分析】依题意，因为两个图都是正比例函数，可设图1，图2的解析式，把已知坐标代入求解． 两个图都是正比例函数，可设图1的解析式为：y=k 1t ，把（1，8）代入得k 1=8，∴y=8t ．此时小明加工了28千克，∴t=3.5．同理设图2的解析式为：y=k 2t ，把（7，40），代入得7k 2=40，解得：k 2=407， ∴y=407t ． 因为他们用的时间是相等的，∴当t=3.5时，y=20．故答案为20．【点睛】考核知识点：实际问题与正比例函数.从函数图象获取信息是关键.16．如图，过点()2,0A 作x 轴的垂线与正比例函数y x =和3y x =的图象分别相交于点B ，C ，则OCB 的面积为________．4.【分析】把点A （2，0）的横坐标分别代入正比例函数y=x 和y=3x ，求得B 、C 点的坐标，进一步求得BC 的长度，利用三角形的面积求得答案即可．解：把2x =分别代入y x =和3y x =中，可得点B 的坐标是()2,2，点C 的坐标是()2,6，所以624BC =-=．因为点()2,0A ，所以2OA =，所以1142422OCB S BC OA =⋅=⨯⨯=．【点睛】此题考查两条直线的交点问题，三角形的面积，利用代入的方法求得B 、C 两点的坐标是解决问题的关键．17．已知正比例函数()0y kx k =≠，当31x -≤≤时，对应的y 的取值范围是113y -≤≤，且y 随x 的减小而减小，则k 的值为________．13【分析】先根据题意判断直线经过点（-3，-1）、（1，13），再用待定系数法求出解析式即可． 解：因为y 随x 的减小而减小，所以当3x =-时，1y =-；当1x =时，13y =．把()3,1--代入y kx =，得31k -=-，解得13k =． 【点睛】此题考查正比例函数的性质，根据y 随x 的减小而减小判断直线经过点（-3，-1）、（1，13）是解答此题的关键．18． 如图，直线l 1⊥x 轴于点（1，0），直线l 2⊥x 轴于点（2，0），直线l 3⊥x 轴于点（3，0），…，直线l n ⊥x 轴于点（n ，0）．函数y=x 的图象与直线l 1，l 2，l 3，…，l n 分别交于点A 1，A 2，A 3，…，A n ；函数y=2x 的图象与直线l 1，l 2，l 3，…，l n 分别交于点B 1，B 2，B 3，…，B n ．如果△OA 1B 1的面积记作S 1，四边形A 1A 2B 2B 1的面积记作S 2，四边形A 2A 3B 3B 2的面积记作S 3，…，四边形A n-1A n B n B n-1的面积记作S n ，那么S 2019=______．40372【分析】先结合图形确定n n A B 的长度规律及图形形状为梯形的规律，再根据所得规律将具体值代入梯形面积公式即得．解：由题意可得：当x n =时，()n A n n ，，()2n B n n ，∴n n A B n =∴201820182018A B =，201920192019A B =∵直线l 1⊥x 轴，直线l 2⊥x 轴，直线l 3⊥x 轴，...，直线l n ⊥x 轴∴l 1∥l 2∥l 3∥...∥l n∴当2n ≥时四边形A n-1A n B n B n-1是梯形∵平行线间距离处处相等，所以梯形A n-1A n B n B n-1的高为1三、解答题19．已知正比例函数y=kx．（1）若函数图象经过第二、四象限，则k的范围是什么？（2）点（1，-2）在它的图象上，求它的表达式．（1）k＜0；（2）y=-2x分析：(1)根据正比例函数图象的性质,得;(2)只需把点的坐标代入即可计算.本题解析：（1）∵函数图象经过第二、四象限，∴k＜0；（2）当x=1，y=-2时，则k=-2，即：y=-2x．20．正比例函数的图像经过点P（-3，2）和Q（-m，m-1 ），求m的值．21．已知y=y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例．当x=﹣1时，y=2；当x=3时，y=﹣2．求y与x的函数关系式，并画出该函数的图象．y=﹣x+1；画出该函数的图象见解析．【分析】根据题意分别设出y 1，y 2，代入y =y 1+y 2，表示出y 与x 的解析式，将已知两对值代入求出k 1与k 2的值，确定出解析式．利用两点法画出函数图象即可．解：根据题意设y 1=k 1x ，y 2=k 2(x ﹣2)，即y =y 1+y 2=k 1x +k 2(x ﹣2)，将x =﹣1时，y =2；x =3时，y =﹣2分别代入得：12123232k k k k --=⎧⎨+=-⎩， 解得：k 1=﹣12，k 2=﹣12，则y =﹣12x ﹣12(x ﹣2)=﹣x +1．即y 与x 的函数关系式为y =﹣x +1；画出该函数的图象为: 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据题意设出y 与x的函数关系式是解本题的关键．22．已知y 与x ﹣1成正比例，且当x=3时，y=4．（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）当x=﹣1时，求y 的值；（3）当﹣3＜y ＜5时，求x 的取值范围．（1）y=2x ﹣2；（2）﹣4；（3）x 的取值范围是﹣12＜x ＜72． 【分析】（1）利用正比例函数的定义，设y=k （x-1），然后把已知的一组对应值代入求出k 即可得到y 与x 的关系式；（2）利用（1）中关系式求出自变量为-1时对应的函数值即可；（3）先求出函数值是-3和5时的自变量x 的值，x 的取值范围也就求出了．（1）设y=k （x ﹣1），把x=3，y=4代入得（3﹣1）k=4，解得k=2，所以y=2（x ﹣1），即y=2x ﹣2；（2）当x=﹣1时，y=2×（﹣1）﹣2=﹣4；（3）当y=﹣3时，x﹣2=﹣3，解得：x=﹣12，当y=5时，2x﹣2=5，解得：x=72，∴x的取值范围是﹣12＜x＜72．【点睛】本题考查考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．23．如图，是小王和小李在一次跑步比赛中的时间和路程图．(1)这次比赛的路程是_______米；(2)小王的平均速度是_________米/秒；(3)他们先到达终点的是_______；(4)小李跑步的路程S(米)与时间t(秒)的函数关系式是_________．(1)100；(2)253；(3)小李；(4)10S t．试题分析：（1）观察一次函数图象易得到甲乙都跑了100米；（2）由速度=路程÷时间即可得到结论；（3）这次赛跑中先到达终点的是用时较少的；（4）先根据图象得出小李跑100米用了10秒，再根据速度=路程÷时间，计算出小李的速度，即可得到结论．试题解析：解：（1）根据图象可以得到路程s的最大值是100米，因而这次赛跑的赛程为100米；（2）从图象可知，小王跑完全程用时12秒，所以小王的速度为：100÷12=253；（3）从图象可知，小李跑完全程用时10秒，小王跑完全程用时12秒，所以先到达终点的是小李；（4）∵小李跑100米用了10秒，∴小李的速度=100÷10=10（米/秒）；∴S =10t ． 点睛：本题主要考查了观察一次函数图象，从中获取信息的能力，以及路程、速度与时间的关系． 24．已知如图，在平面直角坐标系中，点A （3，7）在正比例函数图像上．（1）求正比例函数的解析式．（2）点B （1，0）和点C 都在x 轴上，当△ABC 的面积是17.5时，求点C 的坐标．（1）73y x =；（2）(6,0)或(4,0)-．【分析】（1）根据点A 的坐标，利用待定系数法即可得；（2）如图（见解析），过点A 作AD x ⊥轴于点D ，从而可得7AD =，设点C 的坐标为(,0)a ，从而可得1BC a =-，再根据三角形的面积公可求出a 的值，由此即可得出答案．解：（1）设正比例函数的解析式为y kx =，将点(3,7)A 代入得：37k =，解得73k =， 则正比例函数的解析式为73y x =； （2）如图，过点A 作AD x ⊥轴于点D ，(3,7)A ，7AD ∴=，。

正比例函数的性质及应用课前测试【题目】课前测试物体所受的重力与它的质量之间有如下的关系：G mg =，其中m 表示质量，G 表示重力，9.8g =牛/千克，物体所受重力G 是不是它的质量m 的函数？【答案】是．【解析】由公式变形可得Gm g=，在g 一定的情况下，对任一G 值，有唯一确定的m 值与 之相对应，即m 与G 之间有确定的依赖关系，可知G 是m 的函数．【总结】本题主要考查函数的概念，对两个变量而言，对一个变量取值范围内任意值，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应，则为函数关系，否则不是． 【难度】3【题目】课前测试 已知13()21xf x x -=+． （1）求(0)f ，(1)f ，1()3f ，1()()2f a a ≠-；（2）当x 为何值时，()f x 没有意义？ （3）当x 为何值时，()2f x =-？ 【答案】（1）()01f =，()213f =-，103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1321a f a a -=+；（2）12x =-；（3）3x =-． 【解析】（1）()1301012011f -⨯===⨯+，()13122121133f -⨯-===-⨯+，11313013213f -⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭⨯+，()1321a f a a -=+； （2）()f x 没有意义，可知210x +=，即得12x =-；（3）()2f x =-，即13221xx -=-+，解得3x =-． 【总结】计算函数值时，只需要将其中的自变量用数值替换并计算出结果即可；求自变量的取值范围则需要考虑以下几点：①分式的分母不为零；②偶次根式被开方数是非负数；③当前两种情况同时出现时，自变量应取两者的公共部分；④实际问题要考虑实际意义。

【难度】3知识定位适用范围：沪教版，初二年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：正比例函数的概念、图像及性质是初二常考的知识点，考查的形式包括选择题、填空题和简答题，难度在中等或中等偏上，要求学生熟练掌握，对学习反比例函数、一次函数、二次函数也是一个很好的铺垫.适用对象：成绩中等以及中等以下注意事项：学生主要想听正比例函数的性质及其应用 重点选讲：①正比例函数的概念 ②正比例函数的图像 ③正比例函数的性质知识梳理知识梳理1：正比例函数的概念❖ 1.函数❖ 2. 正比例函数在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量； 在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 允许的取值范围内，变量y 随着x 变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量.函数用记号()y f x =表示，()f a 表示x a =时的函数值；表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式．1.正比例如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量x 、y 成正比例，就是yk x=，或表示为y kx =（x 不等于0），k 是不等于零的常数. 2.正比例函数解析式形如y kx =（k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数k 叫做比例系数.正比例函数y kx =的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式.知识梳理2：正比例函数的图像知识梳理3：正比例函数的性质例题精讲【题目】题型1：正比例函数的概念已知122y y y =-，1y 与3x 成正比例，2y 与()5x +成正比例，且1x =时，12y =，1x =-时2y =-，求y 与x 的函数解析式．【答案】75y x =+．1.正比例函数的图像一般地，正比例函数y kx =(k 是常数, 0k ≠)的图象是经过(00)，，(1)k ，这两点的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图象叫做直线y kx =；2.正比例函数作图方法 图像画法：列表、描点、连线．（1） 当0k >时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值 也随着逐渐增大．（2） 当0k <时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值 则随着逐渐减小．【解析】设113y k x =⋅，()225y k x =+，(1200k k ≠≠，)，则()()121212226565y y y k x k x k k x k =-=-+=--，1x =时，12y =，1x =-时，2y =-；即得：12126612642k k k k -=⎧⎨--=-⎩，解得：1211k k =⎧⎨=-⎩．代入即得：y 与x 的函数解析式是：75y x =+．【总结】解决这类型问题主要通过以下三步：（1）明确函数关系；（2）写出函数关系的一般形式；（3）通过待定系数法求解. 【难度】3【题目】题型1变式练习1：正比例函数的概念2(1)56y k x k k =++--k 已知函数是正比例函数，求的值． 【答案】6．2560k k --=()()610k k -+=【解析】函数是正比例函数，可知，即，同时一次函数未知10k +≠60k -=6k =数系数不为0，可知，由此，解得．【总结】正比例函数常数项为0，注意自变量系数不为0的隐含条件． 【难度】 3【题目】题型1变式练习2：正比例函数的概念写出下列各题中x 与y 的关系式，并判断y 是否是x 的正比例函数？ （1）圆面积y （cm 2）与半径x （cm ）的关系；（2）地面气温是28℃，如果每升高1km ，气温下降5℃，则气温y （℃）与高度x （km ）的关系；（3）电报收费标准是每个字0.1元，电报费y （元）与字数x （个）之间的函数关系． 2y x π=285y x =-【答案】（1），不是正比例函数；（2），不是正比例函数；（3）0.1y x =，是正比例函数．2y x π=【解析】（1）根据圆的面积公式可知.5x 285y x =-（2）中随高度升高，降低的温度为，则实际气温.0.1y x =（3）中根据等量关系总价=单价×数量，可知，根据正比例 函数定义，形如()0y kx k =≠的函数是正比例函数，可知（1）（2）不是正比例函数， （3）是正比例函数．【总结】根据实际问题等量关系可求出函数解析式，再根据正比例函数定义和特征相应判断． 【难度】3【题目】题型2：正比例函数的图像 在同一直角坐标平面内画出下列函数图像．（1）； （2） ； （3）．【答案】【解析】分析：根据三条直线的解析式其图象均过原点，再分别令x=1求出y 的值，描出各点，根据两点确定一条直线画出函数图象【总结】本题考查了函数的图象的作法，理解作函数图象的作法，列表、描点、连线．解答此题的关键是画出函数的图象 【难度】3【题目】题型2变式练习1：正比例函数的图像 已知y 是x 的正比例函数，且当6x =时，2y =-． (1)求出这个函数的解析式；(2)在直角坐标平面内画出这个函数的图像；(3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，求a 的值；(4)试问点A (62)-，关于原点对称的点B 是否也在这个图像上？ 【答案】（1）x y 31-=；（2）如图：（3）12-=a ；（4）在．【解析】（1）设正比例函数解析式为(0)y kx k =≠，当6x =时，2y =-，代入可得：13k =-．所以这个函数的解析式为x y 31-=；（2）如图所示：（3）将（a ，4）代入x y 31-=中，得：12-=a ；（4）易得点B 坐标为2)(6-，，将6x =代入x y 31-=，得2y =-，所以点B 也在这个 函数的图像上．【总结】正比例函数的一般形式：y kx =(k 是常数, 0k ≠)，图像是经过(00)，，(1)k ，这两点的一条直线，图像上的点的坐标都满足正比例函数的解析式 【难度】3【题目】题型2变式练习2：正比例函数的图像已知直线y kx =过点1(3)2，，A 是直线y kx =上一点，若过点A 向x 轴引垂线，垂足为B ，且5AOB S ∆=，求点B 的坐标．【答案】0⎫⎪⎪⎭，0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． 【解析】∵直线y kx =过点1(3)2，，∴321=k ，∴6=k ，∴x y 6=．∵A 是直线x y 6=上一点， ∴可设()m m A 6,，∴5621=⋅⋅m m ． ∴315±=m ．∴B 点坐标为0⎫⎪⎪⎭，0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． 【总结】求函数解析式常用方法：待定系数法；根据三角形的面积公式、函数解析式，即可得出结果. 【难度】3【题目】题型3：正比例函数的性质 正比例函数2m my mx +=的图像经过第一、三象限，求m 的值．【答案】215-． 【解析】由题意，可得：12=+m m ，则251±-=m ． ∵正比例函数2m my mx +=的图像经过第一、三象限，∴0>m ，∴215-=m ． 【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质． 【难度】3【题目】题型3变式练习1：正比例函数的性质（1）已知y ax =在实数范围内有意义， 求a 的取值范围；（2）已知函数()21y m x =+的值随自变量x 的值增大而增大，且函数()31y m x =+的 值随自变量x 的增大而减小，求m 的取值范围． 【答案】（1）03<≤-a ；（2）3121-<<-m ． 【解析】（1）由题意，可得：030a a <⎧⎨+≥⎩，所以30a -≤<；（2）由题意，可得：210310m m +>⎧⎨+<⎩，解得：1213m m ⎧>-⎪⎪⎨⎪<-⎪⎩，所以1123m -<<-．【总结】正比例函数的性质：当0k >时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值 也随着逐渐增大．当0k <时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值 则随着逐渐减小． 【难度】3【题目】题型3变式练习2：正比例函数的性质 已知在正比例函数()()22723m f x m x -=-中，y 随x 的值减小而减小．（1）求m 的值； （2）求23f ⎛⎫⎪⎝⎭32【答案】（1）2；（2）； 1722=-m 2±=m 【解析】（1）由题意，得：，则．032>-m 2=m∵y 随x 的值减小而减小，∴，∴；x y =3232=⎪⎭⎫ ⎝⎛f （2）由（1）可得：，∴；【总结】本题主要考查正比例函数的概念及性质． 【难度】3【题目】兴趣篇1一种豆子在市场上出售，豆子的总售价与所售豆子的数量之间的数量关系如下表：（1）上表反映的变量是_____和_____，___________是自变量，___________是因变量，_____ 随_____的变化而变化，___________是___________的函数．（2）若出售2.5千克豆子，售价应为_____元．（3）根据你的预测，出售_____千克豆子，可得售价21元．（4）请写出售价与所售豆子数量的函数关系式. ________________（解析式）．【答案】（1）所售豆子数量，售价，所售豆子数量，售价，售价，所售豆子数量，售价，所售豆子数量；（2）5；（3）10.5；（4）2y x =【解析】（1）根据变量和函数的相关定义，即可判定x 和y 是变量，其中x 是自变量，y 是 因变量，y 随x 的变化而变化，y 是x 的函数；（2）查看上表可知 2.5x =，5y =；（3）根据上表，可知每1kg 豆子的价格应为2元，21元可购得21210.5kg ÷=豆子；（4）依据上表，可知豆子的单价为2元，根据总价=单价×数量，可知售价与所售豆子关 系式为2y x =．【总结】把握正比例函数的定义积一般形式，根据实际问题等量关系可求出函数解析式作出相应判断．【难度】3x【题目】兴趣篇2如图，在直角坐标系中，OA = 3，OB = 4，直线OP 与线段AB 相交于点P ，(1) 求△ABO 的面积；(2) 若直线OP 将△ABO 的面积等分，求直线OP 的解析式；(3) 若点P 是直线OP 与线段AB 的交点，是否存在点P ，使△AOP 与△BOP 中，一个面积是另一个面积的4倍？若存在，求直线OP 的解析式；若不存在，请说明理由．x y 2-=x y 316-=x y 31-=【答案】（1）6；（2）；（3）存在，解析式为：或． 【解析】（1）64321=⨯⨯=ABO S △； （2）∵621321⨯=⨯⨯y P ，621421⨯=⨯⨯x P ， ∴2=y P ，23=x P ． ∵点P 在第二象限， ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-323，P ． ∴直线OP 的解析式为x y 2-=．（3）存在．直线OP 的解析式为x y 316-=或x y 31-=． 当△AOP 面积是△BOP 面积的4倍时，则△AOP 面积是△AOB 面积的54， △BOP 面积是△AOB 面积的51． ∵654321⨯=⨯⨯y P ，651421⨯=⨯⨯x P ，∴516=y P ，53=x P ． ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-51653，P ， ∴直线OP 的解析式为x y 316-=； 当△BOP 面积是△AOP 面积的4倍时，则△AOP 面积是△AOB 面积的51， △BOP 面积是△AOB 面积的54． ∵651321⨯=⨯⨯y P ，654421⨯=⨯⨯x P ，∴54=y P ，512=x P ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-54512，P ，∴直线OP 的解析式为x y 31-=． 【总结】本题综合性较强，主要考查函数与几何图形面积间的关系，解题时注意点坐标与线段长度之间的转化，还要注意分类讨论思想的运用．【难度】3【题目】备选试题1如果()43123t y t x +=-是关于x 的正比例函数，又函数()22324t y t x +=++，当x 取何值时12y y >？【答案】1x >．【解析】()43123t y t x +=-是关于x 的正比例函数，可知431t +=，解得1t =-，代入可求得15y x =，24y x =+，12y y >，即54x x >+，解得1x >， 即1x >时，12y y >．【总结】1. 正比例函数的一般形式：y kx =(k 是常数, 0k ≠)2.正比例函数(0)y kx k k =≠是常数，的性质： （1） 当0k >时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值 也随着逐渐增大．（2） 当0k <时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值 则随着逐渐减小．【难度】3【题目】备选试题2两个正比例函数11y k x =与22y k x =，当2x =-时，122y y +=，当x =时，12y y -=．(1) 求这两个函数的解析式；(2) 当x = 3时，求2212y y -的值．【答案】（1）12y x =，23y x =-；（2）45-．【解析】（1）由题意，可知：⎩⎨⎧=-=--25222222121k k k k ， ∴⎩⎨⎧-==3221k k ．∴这两个函数的解析式为：12y x =与23y x =-；（2）当x = 3时，126y x ==，239y x =-=-， ∴()2222126945y y -=--=-． 【总结】本题主要考查复合函数的运用，注意对题目条件的准确理解．【难度】3【题目】备选试题3已知23y -与45x +成正比例，且当1x =时，15y =，求y 与x 的函数关系式．【答案】69y x =+．【解析】23y -与45x +对应成比例，可设()2345y k x -=+(0k ≠)，当1x =时，15y =，即()2153415k ⨯-=⨯+，解得：3k =，则有()23345y x -=+，整理得69y x =+．【总结】式子对应成比例，依题意可按照待定系数法的方法进行求解．。