《应用随机过程》A卷及其参考答案

1 2
cWt
1 4
c
2t
2
Zt
Xt
e cWt
1 2
c
2t
at
b
2
e ds t
1 2
cWs
c2 4
a 2
s
0
2
X
0
。
四、应用分析题（共 14 分）
得分
试从对冲欧式看涨期权空头的角度导出原生资产遵循几
何布朗运动的欧式看涨期权价值的 Black-Scholes-Merton 偏微分方
程，并给出风险中性测度下的定价公式。
Xt
)dt
cX tdWt
，M t
e
cWt
1 2
c
2t
，
试证：ⅰ） d M t X t M t (aX t b X t )dt ；ⅱ）令 Yt Mt Xt ，并证明其满
足 ODE： dYt
dt
aYt
be
1 2
cWt
1 4
c
2t
Yt ；ⅲ）求证： Zt
Yt
满足 dZt
dt
a 2
Zt
；ⅳ）通过解 证明： b e
别为其时间间隔序列和等待时间序列，则 X1, X2, , X n, 独立同参数
为 的指数分布， Sn ～ ________， X1 Nt1 ～ _____________，
S1, S2, , Sn Ntn d __________________________________________；
0, 其他;
，
0
Y
1 2
,
1 2
Y
2 3
,
2 3
Y
1
，
试求 E Y ；
4、（10 分，选做一题）（1）假设N1 t ,t 0与N2 t ,t 0 分别是参数
为 1与 2 的独立 Poisson 过程，试求“过程 N1 t 的任意两个相邻事件 的时间间隔内，过程 N2 t 恰好有 k 个事件到达（发生）”的概率；（2）
《 应用随机过程 》考试试卷（A 卷）
（闭卷 时间 120 分钟）
院/系
年级
__专业
姓名
学号
题号
一
二
三
四
得分
总分
一、填空题（每小题 4 分，共 16 分）
得分
1、设 X 是概率空间 , F, P 上的一个随机变量，且 EX 存在，C 是 F 的
子 －域，定义 E X C 如下：（1）____________________________；
得分
1、设Xt ,t 0 是独立增量过程，且对每一个 t 0 ， EXt 0 ， X0 0 ；
又设 E Xt X s 2 F t F s ， 0 s t ， F t 是 t 的非减函数，试证明：
X
2 t
F
t ,t
0
关于域流Ft
Xs,0
s
t
,t
0 是鞅；
2、设适应过程t ,0 t T 满足平方可积条件，即： E
x
0
，且
q
x
dx
1
；（b）存在
a
0
，使得
p q
x x
a（当
p
x
0
时），令 r x a qpxx（当 p x 0 时，规定 r x 0 ）；又记 M U r X ，
3
试证明：
P
X
z
M
z
q
x dx
，即
X
在
M
发生的条件下的条件密度
函数恰是 q x ；（2）设有 SDE：dXt (aXt b
二、证明分析题
1、由 E Xt X s 2 F t F s , 0 s t ；即有：E Xt X s 2 E
立同U 0,1 分布， Y max X1, X 2, , X n ，试分别由条件数学期望的直
观方法和条件数学期望的一般定义求 E X1 Y E X1 Y ；
2
3、（10 分）设有概率空间 , F, P 0,1, 0,1, m ，其上随机变量Y
具有密度
fY
y
2 y, y 0,1;
设W t ,t 0为一维标准布朗运动，试求：
（a） P W 0 0,W 1 2,W 2 3 ；
（b）
P
1
W 0
t
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1
；
3
5、（12 分，选做一题）（1）设随机变量 X 与U 相互独立， X 的密度
函数为 p x ，U 服从0,1上的均匀分布，又函数 q x 满足条件：
（a）q
，求
E
X
X
c；
2、（15 分，选做一题）（1）设 Xi E i ， i 1, 2 ，且 X1, X 2 独立，试
由条件数学期望的一般定义以及初等条件概率定义的极限分别求
E IX1X2 X1 X 2 t P X1 X 2 X1 X 2 t ，t 0 ；（2）设 X1, X 2 , , X n 独
4
《 应用随机过程 》A 卷参考答案
一、 填空题
1、（1） E X C 为 C -可测的；
（2） AC
， A XdP
A E X
C dP
A E
X
C
dPC
；
2、
X
IA，C
Y
,Y
fY
y， PA
PA
Y
y
fY
y dy
；
3、 n, ，U 0,t ， X1, X 2,, X n ，其中， X1, X 2,, X n 为独立
（2） ___________________________________________________；
2、在全数学期望公式 EX E E X C 中，取 X ＝____，C ＝______，
即得连续型（广义）全概率公式_______________________________；
3、设N t ,t 0 是强度为 的 Poisson 过程，X n, n 1 、Sn, n 1 分
T 2 t dt 0
，令
Z
t
exp
t
0
u
dW
u
1 2
t 0
2
u
du
，则
dZ
t
t
Z
t
dW
t
，
从而Z t ,0 t T 是一个连续鞅。
1
三、计算证明题（共 60 分）
得分
1、（13 分）假设 X～E ，给定 c 0 ，试分别由指数分布的无记忆性、
条件密度和 E X
A
E
P
XI A
A
同U 0,t 分布的 X1, X 2,, X n 对应的顺序统计量；
4、
dX
t
g
X
t
,Y t dt Y X T ;
t
dW
t
,t
0,T
;
，随机微分方程处
理问题的实质在于：尽管现在时刻投资者无法预知将来某时
刻的收益（随机变量），但投资者仍可确切地计算出今天如
何去做，才能达到将来时刻的不确定收益！
4、倒向随机微分方程（BSDE）典型的数学结构为_______________ ______________________________，其处理问题的实质在于________ __________________________________________________________。
二、证明分析题（共 10 分，选做一题）