不等式和绝对值不等式(二)

（当且仅当 ab≥0 时，等号成立.）
证明:10 .当ab≥0时,
20. 当ab<0时,
ab | ab |,
ab | ab |,
| a b | (a b)2 a2 2ab b2
| a b | (a b)2 a2 2ab b2 | a |2 2 | ab | | b |2
| a |2 2 | a || b | | b |2 | a |2 2 | a || b | | b |2
⑵ xa xb ≤ ab
Байду номын сангаас
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地 点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10公里 和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共 同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地 点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程 之和最小,生活区应该建于何处?
·
·
·
10
答: 生活区建于两路碑 间的任意位置都满足条
20
件.
0
10 20 30
课外思考:
1.已知函数 f ( x) ax2 bx c ,当 0≤ x ≤1 时, f ( x) ≤1 求证: a b c ≤17
2. a、b、c 均为实数, a b,b c, a c ,
求证: 3 ≤ a b 2c b c 2a c a 2b 2 .
2
ab bc ca
1.提示:恰当运用重要不等式: a1 a2 a3 ≤ a1 a2 a3 .
2.提示:
⑴ a b 2c a c b c ,…… ⑵ 3a 3c (a b 2c) (b c 2a) ,……
作业:课本 P20 第 2，4，5 题
第一讲不等式和绝对值不等式（二）
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探究性质
绝对值三角 例2 形不等式
作业:课本 P20 第 2，4，5 题
第一讲不等式和绝对值不等式（二）
[欣赏] 已知 a 、b 、c R ，
求证： a2 b2 b2 c2 c2 a2 ≥ 2(a b c)
证明:对于 a2 b2 ，可想到直角三角形的斜边， 这时可构造出图形： 以 a+b+c 为边长画一个正方形，如图 则 AP1 a2 b2 , P1P2 b2 c2 ,
(| a | | b |)2
(| a | | b |)2
| a | | b |
| a | | b |
综合10,20知定理成立.
定理 1 如果 a, b 是实数，则 a b ≤ a b （当且仅当 ab≥0 时，等号成立.）
⑴若把 a, b 换为复数 z1 , z2 ，
结论： z1 z2 ≤ z1 z2 成立吗？
ab b
a
ab
ab
由这个图，你还能发现什么结论？
推论
练习
定理（绝对值三角形不等式） 如果 a, b 是实数，则 a b ≤ a b ≤ a b 注：当 a、b 为复数或向量时结论也成立.
我们还可讨论涉及多个实数的绝对值不等式的问题：
推论 1（运用数学归纳法可得）：
a1 a2 an ≤ a1 a2 an .
P2B c2 a2 ， AB 2(a b c) . 显然 AP1 P1P2 P2B ≥ AB ，
即 a2 b2 b2 c2 c2 a2 ≥ 2(a b c).
可以看到,几何背景在问题解决中有其独特的魅力。
这节课我们来研究:绝对值有什么性质? 我们知道,一个实数 a 的绝对值的意义:
推论2：如果 a、b、c 是实数,那么 a c ≤ a b b c , 当且仅当 (a b)(b c)≥ 0 时,等号成立.
课堂练习： 1.(课本 P15 例 1)已知ε 0, x a ε , y b ε ， 求证： 2x 3 y 2a 3b 5ε . 2.(课本 P20 习题 1.2 第 1 题)求证: ⑴ a b a b ≥ 2 a ;⑵ a b a b ≤ 2 b 3. (课本 P20 习题 1.2 第 3 题)求证: ⑴ xa xb≥ ab ;
z1 z2
z2
z1
z1 z2
z2
z2
⑵若把 a, b 换为向量 a, b 情形又怎样呢？
定理 1（绝对值三角形不等式）如果a, b 是实数， 则 a b ≤ a b （当且仅当 ab≥0 时，等号成立.）
如果把 a, b 换为向量 a, b ，根据向量加法的三 角形法则,易知 a b ≤ a b .(同向时取等号)
a (a 0)
⑴ a 0 (a 0) ;（定义）
a (a 0)
|a|
⑵ a 的几何意义:
0
O
ax A
表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离.
关于绝对值还有什么性质呢?
① a a2 ② ab a b , a a ,……(从运算的角度来看绝
bb
对值的特点,你发现了什么?)
思考:用恰当的方法在数轴上把 a , b , a b 表示出 来，你能发现它们之间的什么关系? 注：绝对值的几何意义:
⑴ a 表示数轴上的数 A 对应的点与原点 O 的距离 OA ;
⑵ a b 表示数轴上的数 A 对应的点与数 b 对应的点 B
的距离.如图:
即 a = OA ， a b AB
猜想： a b ≤ a b
（当且仅当 ab≥0 时，等号成立.）
证明猜想
定理延伸
已知 a, b 是实数，试证明： a b ≤ a b
x
20
解：如果生活区建于公路路碑的第 x km处，两
施工队每天往返的路程之和为S(x)km
那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
答案继续
-2x 30 (x 10) S(x) 10 (10 ≤ x ≤ 20)
2x 30 (x 20)
所以（ S x）的最小值是10, 60
当10≤ x ≤20 时取到. 40