不等式和绝对值不等式(二)

学习必备欢迎下载不等式的性质与绝对值不等式典题探究例 1 解不等式 2＜｜ 2x－ 5｜≤ 7．例 2 解关于x的不等式：(1) ｜ 2x＋ 3｜－ 1＜a( a∈ R)；(2)｜2x＋1｜＞x＋1．例 3 解不等式 | x－ |2 x＋ 1|| ＞1．例 4.求证：a2b2ab a b 1演练方阵A档（巩固专练）1．下列各式中，最小值等于2的是（）x yB．x 25C．tan1x2xA ．2D．2y x tanx42x, y R且满足x3y2，则 3x27 y 1 的最小值是（）．若A．339B．122C．6D．73．不等式 |8 － 3x| ＞0 的解集是 ()A．B． R C． { |≠8 ，∈R} D ．{ 8 } 334．下列不等式中，解集为R的是()A．｜x＋ 2｜＞ 1B．｜ x＋2｜＋1＞1 C． ( x－ 78)2＞－ 1 D ． ( x＋ 78)2－1＞05．在数轴上与原点距离不大于 2 的点的坐标的集合是()A．｛x｜－ 2＜x＜ 2 }B ．｛x｜ 0＜x≤ 2 }C ．｛x｜－ 2≤x≤ 2｝ D ．｛x｜x≥ 2 或x≤－ 2｝6．不等式｜ 1－ 2x｜＜3的解集是( )A．｛x｜x＜1 } B ．｛x｜－ 1＜x＜ 2 }C．｛ x｜ x＞2｝D．｛ x｜ x＜－1或 x＞2｝7．若a b 0 ，则a1的最小值是 _____________。

b(a b)128．函数 f ( x) 3xx 2 ( x 0) 的最小值为 _____________。

9．不等式｜ x ＋ 4｜＞ 9 的解集是 __________．10．当 a ＞0 时，关于 x 的不等式｜ b －ax ｜＜ a 的解集是 ________．B 档（提升精练）1．不等式｜ x ＋ a ｜＜ 1 的解集是 ()A ．｛ x ｜－ 1＋ a ＜x ＜ 1＋ aB ．｛ x ｜－ 1－ a ＜ x ＜ 1－ a}C ．｛ x ｜－ 1－｜ ｜＜ ＜ 1－｜ a ｜} D ．｛ x ｜ ＜－ 1－｜ a ｜或 x ＞ 1－｜ a ｜｝a xx2．不等式 1≤｜ x －3｜≤ 6 的解集是 ()A ．｛ x ｜－ 3≤ x ≤2 或 4≤ x ≤ 9｝ B．｛ x ｜－ 3≤ x ≤ 9｝ C ．｛ x ｜－ 1≤ x ≤2｝D．｛ x ｜4≤ x ≤9｝3．下列不等式中，解集为｛x ｜ x ＜ 1 或 x ＞ 3｝的不等式是 ( )A ．｜ x －2｜＞ 5B ．｜ 2x － 4｜＞ 3C ． 1－｜ x － 1｜≤1D．1－｜ x －1｜＜122 2 24．已知集合 A ＝ { x || x － 1| ＜2} ， B ＝ { x || x － 1| ＞ 1} ，则 A ∩ B 等于 ( )A ． { x | －1＜ x ＜ 3}B ． { x | x ＜0 或 x ＞ 3}C ． { x | －1＜ x ＜ 0}D． { x | － 1＜ x ＜ 0 或 2＜ x ＜ 3}5． 若 x (,1) ，则函数 yx 2 2x2有（）2x 2A ．最小值 1B ．最大值 1C ．最大值 1D ．最小值16．设 a,b, cR ，且 a b c1，若 M(11)( 1 1)( 11) ，则必有（）ab cA ．0 M1 1M1C ．1M8D ．M88B ．87．已知不等式｜ x －2｜＜ a ( a ＞ 0) 的解集是｛ x ｜－ 1＜ x ＜ b } ，则 a ＋ 2b ＝．8．不等式 | x ＋ 2| ＞ x ＋ 2 的解集是 ______．9．解下列不等式： (1)|2－3x | ≤ 2；(2)|3x － 2| ＞ 2．10．求函数 y3 x 54 6 x 的最大值。

绝对值不等式（二） 例1：解不等式|23||3|4x x ++->；解：3339|23|3||||3||42222x x x x x x ++-=++++-≥++>；故不等式的解集为R 。

例2：3232≤-++x x解：3337|23|2||||2||32222x x x x x x ++-=++++-≥++>；故不等式的解集为φ。

解：（Ⅰ）()25212521213312≥-+≥-+-+-≥-+-=x x x x x x x f ，当仅当21=x 时，等号成立。

（Ⅱ）()()11--+>y y m x f ，由于2112≤--+≤-y y ，故()m x f 2>恒成立，即m 225>，故⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈45,m 。

解：（Ⅰ）f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-+--<-1312423x x x x x x ，令﹣x+4=4 或 3x=4，得x=0，x=34，所以，不等式 f （x ）≥4的解集是(][)+∞∞-,0,34；（Ⅱ）f （x ）在（﹣∞，1]上递减，[1，+∞）上递增，所以，f （x ）≥f （1）=3，由于不等式f （x ）＜|m ﹣2|的解集是非空的集合，所以，|m ﹣2|＞3，解之，m ＜﹣1或m ＞5，即实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）．解：∵原方程有实根，Δ＝36－4[|a ＋2|＋|2a －1|]≥0，∴|a ＋2|＋|2a －1|≤9.①当a ≥12时，∵a ＋2＋2a －1≤9，∴12≤a ≤83.②当－2≤a ＜12时，∵a ＋2＋1－2a ≤9，∴－2≤a ＜12. 秒杀秘籍:()b x n a x m x f -+-=结论：在绝对值不等式中，系数大的决定不等式的最值。

绝对值之和只有最小值，并在大系数绝对值取到零点时取到最小值；书写过程：323221221≥-+≥-+-+-≥-+-x x x x x x③当a ＜－2时，∵－a －2＋1－2a ≤9，∴－103≤a ＜－2.综上所述，由①②③得a 的取值范围为108,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

绝对值与不等式的解法绝对值和不等式是高中数学中重要的概念和解题方法。

绝对值常常出现在不等式中，对于解决这类问题，我们需要掌握一些基本的解法和技巧。

本文将介绍绝对值与不等式的解法，包括绝对值不等式和绝对值方程两个方面。

一、绝对值不等式的解法绝对值不等式是指形如|f(x)| ≤ g(x)，或|f(x)| ≥ g(x) 这样的数学不等式。

解决这类问题的关键在于将绝对值不等式转化为不等式组或分段函数。

下面以一个具体的例子来说明解答绝对值不等式的步骤。

例题：解不等式 |2x - 3| ≤ 5首先，我们需要根据绝对值的定义进行分情况讨论。

当 2x - 3 ≥ 0 时，|2x - 3| = 2x - 3；当 2x - 3 < 0 时，|2x - 3| = -(2x - 3)。

针对每一种情况，我们可以得到以下两个不等式：当 2x - 3 ≥ 0 时，2x - 3 ≤ 5，解得x ≤ 4；当 2x - 3 < 0 时，-(2x - 3) ≤ 5，解得x ≥ -1。

因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 -1 ≤ x ≤ 4。

二、绝对值方程的解法绝对值方程是指形如 |f(x)| = g(x) 的方程。

解决这类问题的关键在于将绝对值方程转化为分段函数，并通过分析不同情况求解。

下面以一个具体的例子来说明解答绝对值方程的步骤。

例题：解方程 |4x - 7| = 3同样地，我们根据绝对值的定义进行分情况讨论。

当4x - 7 ≥ 0 时，|4x - 7| = 4x - 7；当 4x - 7 < 0 时，|4x - 7| = -(4x - 7)。

针对每一种情况，我们可以得到以下两个方程：当 4x - 7 ≥ 0 时，4x - 7 = 3，解得 x = 2；当 4x - 7 < 0 时，-(4x - 7) = 3，解得 x = 1/4。

因此，综合两种情况的解集，得到最终的解为 x = 2 或 x = 1/4。

不等式与绝对值不等式的应用不等式在数学中扮演着重要的角色，它们有着广泛的应用领域，其中包括解决实际问题和证明数学定理等。

在不等式的基础上，绝对值不等式则在解决一些涉及绝对值的问题时非常有用。

本文将探讨不等式与绝对值不等式的应用，并通过例子详细说明其运用方法和效果。

一、不等式的应用不等式的应用涵盖了很多领域，其中包括经济学、物理学、几何学等等。

下面将以一个实际问题为例，展示不等式在解决实际问题时的应用。

例1：假设某公司生产一种产品，每个产品的成本为C元，售价为P元。

设该公司的固定成本为F元，求该公司的盈利情况。

解：首先，我们可以列出该问题的不等式表示形式：P > C + F其中，P表示售价，C表示成本，F表示固定成本。

不等式P > C + F表示售价要大于成本和固定成本的总和，才能够获得盈利。

通过观察不等式，我们可以看到，当售价超过成本和固定成本的总和时，该公司将盈利。

如果售价等于成本和固定成本的总和，该公司将实现收支平衡。

而如果售价低于成本和固定成本的总和，该公司将亏损。

通过这个例子，我们可以看到不等式在实际问题中的应用。

通过建立恰当的不等式关系，我们可以对经济利益进行分析和预测。

二、绝对值不等式的应用绝对值不等式在许多问题中都有重要的应用，尤其是涉及到绝对值的问题。

下面将以一个实际问题为例，展示绝对值不等式的应用。

例2：假设小明家离学校有一段距离为D公里，他每天骑自行车上学，速度为V千米/小时。

他希望能够在t小时内到达学校，求t的取值范围。

解：首先，我们可以列出该问题的绝对值不等式表示形式：|D| ≤ V × t其中，|D|表示距离的绝对值，V表示速度，t表示时间。

绝对值不等式|D| ≤ V × t表示距离的绝对值必须小于等于速度乘以时间的乘积，才能够按时到达学校。

通过观察绝对值不等式，我们可以得出以下结论：当距离小于等于速度乘以时间的乘积时，小明可以按时到达学校；当距离大于速度乘以时间的乘积时，小明无法按时到达学校。

掌握初中数学中的绝对值与不等式（二）绝对值与不等式是初中数学中非常重要的概念，掌握好这一部分内容对于学生的数学能力的提升具有关键性的作用。

本文将继续探讨初中数学中的绝对值与不等式，并介绍一些相关的解题技巧和应用场景。

一、绝对值的基本性质绝对值是取一个数的非负值，可以用来表示数与零的距离。

而在不等式的求解过程中，绝对值则常常用来表示数值的范围。

1. 绝对值的非负性对于任意实数a，有|a| ≥ 0，即绝对值永远不会是负数。

2. 绝对值的定义对于实数a，若a ≥ 0，则|a| = a；若a < 0，则|a| = -a。

3. 绝对值的运算律（1）|a × b| = |a| × |b|（2）|a ÷ b| = |a| ÷ |b|（3）|a + b| ≤ |a| + |b|二、绝对值不等式的求解绝对值不等式是指在不等式中涉及到绝对值符号的不等式。

解绝对值不等式的关键是要找出绝对值符号的取值范围，并将其转化为不等式的形式。

1. 一元绝对值不等式（1）|x| < a，其中a > 0解法：将绝对值去掉，得到-ａ < x < a，即数轴上以原点为中心，以a为半径的一个开区间。

（2）|x| > a，其中a > 0解法：根据绝对值的定义，可以分为两种情况，当x > 0时，可以得到x > a，当x < 0时，可得-x > a，进而得到x < -a或者x > a。

综合两种情况，可以写成x < -a或者x > a。

2. 二元绝对值不等式二元绝对值不等式是指不等式中存在两个变量，并且涉及到绝对值符号的不等式。

解这类不等式可以使用代数法和图像法两种方法。

（1）代数法通过分类讨论的方法，将不等式转化为多个一元绝对值不等式进行求解。

（2）图像法将不等式转化为数轴上的几何问题，来求解不等式的解集。

将一元绝对值不等式在数轴上进行几何操作，可以得到最终的解集。

絕對值不等式的解法目的要求： 會利用絕對值的幾何意義解絕對值不等式 重點難點： 絕對值不等式的解法。

教學設計：一、 復習： 復習：如果a>0，則|x|<a 的解集是(-a, a)；|x|>a 的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞)二、型不等式的解法和c b ax c b ax ≥+≤+||||學生自己解決()我们有或对于绝对值不等式一个正实数是例如而得到通过转化为上述不等式值不等式的解一般可以即其他绝对的基础是解其他绝对值不等式上述绝对值不等式,)||(||,,.,,11a x x a x x a >-<-*⇔>--<-⇔>-a x x a x x a x x 111,||或.,11a x x a x x +>-<或.92.1,,,||11所示如图数轴上表示出来以上不等式的解可以在所以的点的距离为的点与坐标标为的几何意义是数轴上坐由于绝对值--x x x x 92.1-图ax x <-||1ax x >-||1().的不等式可以解一些含有绝对值式及绝对值的几何意义利用上述*()型不等式的解法和c b ax c b ax ≥+≤+||||1.2|13|3≤-x 解不等式例,2132,2|13|≤-≤-≤-x x 得由解得解,131≤≤-x .131,⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-x x 原不等式的解集为因此.102.1,3231,3231,32|13|,所示如图合的点的集离不大于的点的距标为它的解集是数轴上到坐得两边除以如果将从几何上看-≤-≤-x x .7|32|4≥-x 解不式例|ax+b|<c 和|ax+b|>c(c>0)型不等式比較：.,.5,,,1,2,112.1.,以得出不等式的解就可点的位置确定出具有上述特点的所以我们只要在数轴上数的点所对应的实两点的距离之和不小于的解就是数轴上到那么不等式对应的点分别是设数轴上与如图分析我们从它的几何意义来式比较复杂分析：这个绝对值不等B A B A --1B 112.1-图;5||||,1.5,,111=+B A A A A A B A 这时有位到点个单向左移动将点的点的距离之和为点关键要在数轴上找出与为了求出不等式的解;5||||,1,111=+B B A B B B 这时也有个单位到点向右移动将点同理的的左边或点点和都小于的距离之之间的任何点到点与点点从数轴上可以看到1111;5,,B A B A B A [].1,2,3,,1,2,112.1都不是原不等式的解上的数因此区间两点的距离是那么为对应的点分别设数轴上与如图解法一---B A B A .5,的距离之和都大于右边的任何点到B A (][).,23,,+∞⋃-∞-原不等式的解集是所以(]()[).,,,1,1,2,2,,1,2,5|2||1|,,等式的解集们综合在一起就得到不把后然况的情解的三个区间上讨论不等式分别在这先集分成了三个区间实数把的点对应数轴上与时解可以发现解法述上分析+∞--∞--≥++-B A x x ..,,,,,因此我们有如下解法绝对值的不等式为不含绝对值不等式可以转化在这三个区间上将数分为三个区间为分界点以点事实上B A 不等式的解法和三、c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-.5|2||1|5≥++-x x 解不等式例(]≥≥++--<<--∞--≤≥+----≤，x x x x x x ，x ： ,53,5)2()1( ,123, ,3,5)2()1( ,22此时不等式的解集为矛盾即原不等式可以化为时当此时不等式的解集为解得原不等式可以化为时当解法φ①利用絕對值不等式的幾何意義 ②零點分區間法 ③構造函數法 四、小結總結兩種絕對值不等式的常用解法，以及各自的幾何意義.()()().,,.,0,数图象求不等式的解集利用函点我们也可以从函数的观类似地根近似程的可以利用函数图象求方的关系的根的零点与方程由函数时我们知道在学习函数知识==x f x f y (][)+∞⋃-∞-⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--=-++-=≥-++-,23,1 x , 4-2x 1x 2- 2,-6252105213解集为由图象可知原不等式的作出函数图象即构造函数将原不等式转化为解法，x y ，x x y x x：122.1-图型不等式的解法和c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-。

不等式的解法及应用★★★高考在考什么【考题回放】 1．不等式112x <的解集是（ D ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．(,0)-∞⋃(2,)+∞2．“a ＞0，b ＞0”是“ab>0”的（ A ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不允分也不必要条件 3．已知函数f(x)=ax 2+2ax+4(a>0),若x 1<x 2 , x 1+x 2=0 , 则( A )A.f(x 1)<f(x 2)B.f(x 1)=f(x 2)C.f(x 1)>f(x 2)D.f(x 1)与f(x 2)的大小不能确定4．不等式0121>+-x x的解集是 1(1,)2- . 5．已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为 . 46．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线l 1：x ＝m (|m |＞1)，P 为l 1上的动点，使∠F 1PF 2最大的点P 记为Q ，求点Q 的坐标(用m 表示)．【专家解答】（Ｉ）设椭圆方程为22221y x a b+=（0a b >>），半焦距为c, 则21||a MA a c=-,11||A F a c =-,由题意，得 22222()24a a a c c a a b c ⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩,解得 2,1a b c ===故椭圆方程为22143y x += （II ）设P(0,),||1m y m >, 当00y =时，120F PF ∠=当00y ≠时, 12102F PF PF M π<∠<∠< ∴只需求12tan F PF ∠的最大值即可。

第二课时●课题§1.4.2 含绝对值的不等式解法（二）●教学目标(一)教学知识点1.熟练掌握|ax+b|>c与|ax+b|<c(c>O)型不等式的解法.2.掌握含两个或两个以上绝对值的不等式解法.(二)能力训练要求1.进一步加强学生的运算能力.2.进一步提高学生运用数学思想的能力.(三)德育渗透目标1.用联系的观点看问题.2.渗透由特殊到一般的思维，能准确寻求事物的一般规律.●教学重点含两个或两个以上绝对值的不等式解法.●教学难点分类讨论思想在解含有两个或两个以上绝对值的不等式问题中的应用.●教学方法师生共同讨论法通过师生共同对含有两个或两个以上绝对值的不等式解法的探讨，为进一步解决实际问题奠定基础.●教具准备幻灯片两张第一张：本课时教案例1(记作§1.4.2 A)第二张：本课时教案例2(记作§l.4.2 B)●教学过程I.复习回顾[师]请同学们回忆不等式|ax+b|>c与|ax+b|<c(c>O)的解法步骤．[生] |ax+b|>c(c>O)的解法是：先化不等式为ax+b>c或ax+b<-c，再由不等式的性质求出原不等式的解集，|ax+b|<c(c>O)的解法是：先化不等式为-c<ax+b<c,再由不等式的性质求出原不等式的解集.[师]回答得很好．在解以上类型不等式时.一定要注意先看a的正负符号．若n为负数.则应先将其化成正数，然后再进一步转化不等式求解.对于含两个或两个以上的绝对值不等式如何去求得其解集呢?这就是今天我们所要研究的问题.Ⅱ.讲授新课幻灯片：(§1.4.2 A)[例1]解不等式|x-1|+|x-2|>3+x.(学生分组讨论,教师提醒，绝对值符号的存在是解含有绝对值不等式的一大障碍，所以如何将绝对值符号去掉，使其转化为等价的、不含绝对值符号的不等式是解这一类型问题的关键)[师]将如何同时去掉两个绝对值符号?[生甲]找出使得x-1=0,x-2=0的x值，即x=1，x=2,这样，1,2就将数轴分成了三段．再分段讨论求解.[师]甲同学找出使得x-l=0，x-2=O 的x 值的依据是什么?[生乙]绝对值的定义,即|a|=⎩⎨⎧<->.0,,0,a a a a[师]请同学按照：找零点、划区间、分段讨论去掉绝对值符号的步骤整理解题过程. (生整理，师巡视，查看，及时找出存在的问题加以点拨)解：把原不等式变为|x-1|+|x-2|>3+x.若|x-1|=0,x=1；若|x-2|=0,x=2.至此，1，2把数轴分成了三部分.(1)当x≤1时，x-1≤O，x-2<O原不等式变为-(x-1)-(x-2)>3+x ，即x<O.此时，得{x|x ≤1}∩{x|x<O}={x|x<O}.(2)当l<x≤2时，x-1>0,x-2≤O,原不等式变为x-1-(x-2)>3+x ，即x<-2.此时,得{x|1<x ≤2}∩{x|x<-2}=∅.(3)当x>2时,x-1>O ，x-2>0.原不等式变为x-1+x-2>3+x ，即x>6.此时，得{x|x>2}∩{x|x>6}={x|x>6}.∴取(1)（2）(3)的并集得原不等式解集为{x|x<0或x>6}.[师]用绝对值定义去掉绝对值符号，在分段讨论时，一定要注意两点：一是分段要“不重不漏”，二是要对所分的段与该段的结果求交集，最后再将所求得的各个交集并起来. 幻灯片：(§1.4.2 B)[例2]解不等式|x+1|+|x-1|<1.[师]观察这个不等式具有怎样的特点?[生丙]与例1属于同一类型题目，因此解法与例1完全相同，即找出零点,划分区间，利用分段讨论去掉绝对值，求得其解集.[师]请同学们仔细观察，互相讨论，寻找例2与例1的不同之处，从而得到解决例2的不同方法.(生讨论，师提示：结合绝对值的几何意义思考)[生丁]发现例2不等式具有明显的几何意义：即设数轴上的点P 表示数x ，点A 表示1，点B 表示-l ，这样，|x+1|,|x-1|分别表示数轴上的线段PB 、PA 的长，而线段AB 的长为2，从图形中可直观地发现数轴上找不到这样的P 点,使得PB 、PA 的长度和小于l ，故可得解集为∅.[师]丁同学表述得很清楚，从中我们也看到解含有绝对值的不等式，对于有的问题,利用绝对值的几何意义处理起来，会使问题变得简便、直观、明了.Ⅲ.课堂练习解不等式|x+1|+|x-1|≤2.解法一：①当x ≥l 时,不等式化为⎩⎨⎧≤-++≥.211,1x x x即⎩⎨⎧≤≥,1,1x x 得x=1.②当-1<x<1时，不等式化为⎩⎨⎧≤-++<<-,211.11x x x 即⎩⎨⎧≤<<-,22,11x 得-1<x<1.③当x ≤1时，不等式化为⎩⎨⎧-≥-≤,1,1x x 得x=-1.综上，原不等式解集为{x|-1≤x ≤1}.解法二：不等式|x+1|+|x-1|≤2表示数轴上点x 与A 、B 两点的距离和小于或等于2，而A 、B 两点的距离为2，故x 对应的点只能在线段AB 上，故原不等式解集为{x|-1≤x ≤1}.Ⅳ.课时小结1.解含有两个或两个以上绝对值的不等式，常用零点分段讨论法求解，首先找到绝对值为零的点，然后划分区间，分段讨论，求得各段结果的并集.2.解含有绝对值的不等式，对于有的问题，利用绝对值的几何意义也是一种简便有效的方法.Ⅴ.课后作业（一）1.解不等式|x-1|+|x+2|>5.2.解不等式|x+3|+|x+2|+|x+1|>3.答案：1.{x|x>2或x<-3}.2.{x|x>-1或x<-3}.(二)1.预习内容：课本P 17～P 20.2．预习提纲：(1)“三个一次”，即一元一次方程。

1.2.2 绝对值不等式的解法课堂导学三点剖析一、绝对值不等式的典型类型和方法(一) 【例1】 解下列不等式: (1)1<|x+2|<5; (2)|3-x|+|x+4|>8.解析：(1)法一:原不等式⇔⎩⎨⎧<<--<->⇔⎩⎨⎧<+<->+⇔⎩⎨⎧<+>+.37,31525125|2|1|2|x x x x x x x 或 故原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<-3}.法二:原不等式⎩⎨⎧<--<<+⎩⎨⎧<+<≥+⇔521,02521,02x x x x 或, ⇔⎩⎨⎧-<<--<⎩⎨⎧<<--≥⇔37,231,2x x x x 或-1<x<3或-7<x<-3.∴原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<3}.(2)法一:原不等式⎩⎨⎧>++-<<-⎩⎨⎧>---≤⇔,843,34843,4x x x x x x 或⎩⎨⎧>≥⎩⎨⎧><<-⎩⎨⎧>---≤⇔⎩⎨⎧>++-≥.72,387,34821,4843,3x x x x x x x x 或或或 ∴x>27或x<29-. ∴原不等式的解集为{x|x<29-或x>27}.法二:将原不等式转化为|x-3|+|x+4|-8>0,构造函数y=|x-3|+|x+4|-8,即y=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<---≤--.3,72,34,1,492x x x x作出函数的图象如图.从图象可知当x>27或x<29-时,y>0,故原不等式的解集为{x|x>27或x<29-}. 温馨提示在本例中主要利用了绝对值的概念,|x|<a(或|x|>a)的解集以及数形结合的方法,这些方法都是解绝对值不等式的典型方法. 各个击破 类题演练1 解下列不等式:(1)|432-x x|≤1; (2)|x+3|-|2x-1|>2x+1.解析:(1)原不等式⎩⎨⎧≥+-±≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≤≠-⇔016172)4(904242222x x x x x x ⇔⎩⎨⎧≥≤±≠⇔161222x x x 或-1≤x≤1或x≤-4或x≥4. 故原不等式的解集为{x|-1≤x≤1或x≤-4或x≥4}. (2)由x+3=0,得x 1=-3, 由2x-1=0,得x 2=21. ①当x<-3时,不等式化为x-4>2x+1,解得x>10,而x<-3,故此时无解; ②当-3≤x<21时,不等式化为3x+2>2x +1,解得x>52-,这时不等式的解为52-<x<21;③当x≥21时,不等式化为-x+4>2x +1,即x<2,这时不等式的解为21≤x<2.综合上述,原不等式的解集为{x|52-<x<2}.变式提升1(1)解不等式|x 2-5x+5|<1.解析:不等式可化为-1<x 2-5x+5<1,即⎪⎩⎪⎨⎧->+-<+-.155,15522x x x x解之,得1<x<2或3<x<4.所以原不等式的解集为{x|1<x<2或3<x<4}.(2)求使不等式|x-4|+|x-3|<a 有解的a 的取值范围. 解法一:将数轴分为(-∞,3),［3,4］,(4,+∞)三个区间. 当x<3时,得(4-x)+(3-x)<a,x>27a -有解条件为27a-<3,即a>1; 当3≤x≤4,得(4-x)+(x-3)<a,即a>1; 当x>4时,得(x-4)+(x-3)<a,则x<27+a有解条件为27+a >4.∴a>1. 以上三种情况中任何一个均可满足题目要求,故是它们的并集,即仍为a>1.解法二:设数x 、3、4在数轴上对应的点分别为P 、A 、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求|PA|+|PB|<a 成立.因为|AB|=1,故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于(等于)1,即|x-4|+|x-3|≥1,故当a>1时,|x-4|+|x-3|<a 有解.另外,本题还可利用绝对值不等式性质求函数的最值方法处理: ∵|x -4|+|x-3|=|x-4|+|3-x| ≥|x -4+3-x|=1,∴a 的取值范围是a>1.二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)【例2】 解不等式|x 2-9|≤x+3.解析：方法一:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-⇔39,0922x x x ⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-39,0922x x x 或 由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3,∴原不等式解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.方法二:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤-≥⇔⎩⎨⎧+≤-≤+-≥+⇔433339)3(032x x x x x x x x ⇔或2≤x≤4. ∴原不等式的解集为{x|x=-3或2≤x≤4}. 温馨提示对于|f(x)|≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0,⎩⎨⎧≤-<⎩⎨⎧≤≥).()(,0)()()(,0)(x g x f x f x g x f x f 或 另一种则是转化为⎩⎨⎧≤≤-≥)()()(,0)(x g x f x g x g 来求.当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考). 类题演练2解不等式|2x-1|>3x.解析:①当x<0时,原不等式显然成立;②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2>9x 2,即5x 2+4x-1<0,解之,得-1<x<51, ∴0≤x<51. 由①②知原不等式的解集为{x|x<51}. 变式提升2(1)解不等式|x 2-3x+2|>x 2-3|x|+2.解析:在同一坐标系内分别画出函数y=|x 2-3x+2|和y=x 2-3|x|+2=|x|2-3|x|+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为{x|x<0或1<x<2}. (2)解不等式|x+1|(x-1)≥0. 解析:1° x+1=0,适合不等式;2° x+1≠0,则|x+1|>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0. ∴原不等式的解集为{x|x≥1或x=-1}. 三、绝对值不等式的证明【例3】 设f(x)=ax 2+bx+c,当|x|≤1时,总有|f(x)|≤1,求证:当|x|≤2时,|f(x)|≤7. 证明:由于f(x)是二次函数,|f(x)|在［-2,2］上的最大值只能是|f(2)|,|f(-2)|或|f(a b 2-)|,故只要证明|f(2)|≤7,|f(-2)|≤7;当|a b 2-|≤2时,有|f(ab 2-)|≤7. 由题意有|f(0)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1.由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=⎪⎩⎪⎨⎧+-=-++==).0()],1()1([21)],0(2)1()1([21,)1(,)1(,)0(f c f f b f f f a c b a f c b a f c f 得∴|f(2)|=|4a+2b+c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|≤3+1+3=7, |f(-2)|=|4a-2b+c|=|f(1)+3f(-1)-3f(0)|≤|f(1)|+3|f(-1)|+3|f(0)|≤1+3+3=7. ∵|b|=21|f(1)-f(-1)|≤21(|f(1)|+|f(-1)|)≤21(1+1)=1, ∴当|ab2-|≤2时,|f(a b 2-)|=|a b ac 442-|=|c a b 42-|=|c a b 2-·2b |≤|c|+|a b 2|·2||b ≤1+2×21=2<7.因此当|x|≤2时,|f(x)|≤7.类题演练3已知f(x)=x 2+ax+b(x 、a 、b∈R ,a 、b 是常数),求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 证明:假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|全都小于21,即有|f(1)|<21,|f(2)|<21,|f(3)|<21. 于是|f(1)+f(3)-2f(2)|≤|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|<21+21+2×21=2.又f(1)+f(3)-2f(2)=2,二者产生矛盾,故|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 变式提升3已知函数f(x)=ax+b,满足|x|≤1,a 2+b 2=1,求证:|f(x)|≤2.证法一:|f(x)|≤2⇔2-≤f(x)≤2⇔f(x)min ≥2-且f(x)max ≤2.若a>0,则f(x)max =f(1)=a+b≤2)(222=+b a ,f(x)min =f(-1)=-a+b≥2])[(222-=+--b a . 若a=0,则f(x)=b 且b 2=1, ∴|f(x)|≤2.若a<0,则f(x)max =f(-1)=-a+b≤2)(222=+b a ,f(x)min =f(1)=a+b≥2)(222-=+-b a . 综上,知不等式成立. 证法二:|f(x)|2-(2)2=(ax+b)2-2(a 2+b 2)=a 2x 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)≤a 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)=2abx-a 2-b 2≤2abx -a 2x 2-b 2=-(ax-b)2≤0, ∴|f(x)|≤2.。

三角不等式与绝对值不等式三角不等式和绝对值不等式是数学中常见且重要的概念。

它们在不同的数学领域中广泛应用，包括代数、几何和数论等。

本文将详细介绍三角不等式和绝对值不等式的定义、性质和应用。

一、三角不等式三角不等式是指在任意三角形中，任意两边之和必大于第三边。

具体而言，对于一个三角形的三边a、b、c，满足以下不等式：a +b > cb +c > ac + a > b三角不等式的证明可以使用几何方法、代数方法或三角函数方法。

无论哪种方法，都能够证明三角不等式的正确性。

三角不等式还可以推广到更一般的形式，即对于任意的a、b，有：|a + b| ≤ |a| + |b|其中，|a| 表示数a的绝对值。

这个不等式称为绝对值不等式。

二、绝对值不等式绝对值不等式是指在不等式中含有绝对值的表达式。

解绝对值不等式的关键是根据绝对值的定义找出各种情况并进行分析。

1. 绝对值的定义：对于一个实数a，其绝对值定义如下：当a≥0时，|a| = a；当a<0时，|a| = -a。

2. 绝对值不等式的解法：对于一个绝对值不等式，可以通过以下方法来解答：（1）情况讨论法：将绝对值表达式中的正负情况进行分情形讨论，并根据实际条件进行求解。

（2）不等式性质法：利用绝对值不等式的性质进行数学推导和计算。

（3）化简法：通过适当的变量替换或等式转换，将绝对值不等式化简为其他形式的不等式。

（4）区间法：绘制实数的数轴，根据绝对值的定义和不等式的性质得出绝对值不等式的解集。

三、三角不等式与绝对值不等式的应用三角不等式在几何领域中的应用非常广泛，如判定三角形的存在性、计算三角形的周长和面积等。

同时，在证明数学定理和不等式时，三角不等式也经常起到重要的作用。

绝对值不等式在代数中具有重要的应用，涉及到绝对值函数的性质和不等式的解法。

在求解问题时，我们常常需要通过绝对值不等式来确定变量的取值范围，或者通过绝对值不等式将问题转化为更容易求解的形式。

绝对值不等式的解法2上学期我们学了我们讲了绝对值的方程的解法.这学期我们学了不等式，不等式中同样有绝对值的不等式，绝对值不等式的解法怎么解呢？含绝对值的一元一次不等式，需要用讨论的方法求解.今天我们讲讲含多个绝对值不等式的解法，从此以后，这类问题将不再成为学习中的难点了，而是成为同学们在考试中得分的热点了.欢迎同学们在巧学网上咨询答疑板块与我们联系，我们会按照同学们的需要调整网上的内容，同学们的需要是我们创作的原动力.大思路解绝对值不等式，自然是要先考虑去绝对值了。

怎么去绝对值，尤其是含多个绝对值去绝对值的方法是零点分区间法。

即先令绝对值里面的数为零，.然后进行讨论求解.解不等式体验思路：先找出x体验过程：|x-4|与可以把x的取值范32-x+4+2x-3≤1.x≤0-x+4-2x+3≤12解之得x≥2 ∴此时原不等式的解集为2≤x≤4(3)当x>4时，原不等式可化为x-4-2x+3≤1解之得，x≥-2 ∴此时原不等式的解集为x>4综上所述，原不等式的解集为x≤0或x≥2。

小结: 解含多个绝对值的不等式的解法是先找出绝对值为0的零点,然后分类讨论.解完后,要进行总结,将能合并的解集合并，否则的话，改卷老师到哪里去找答案呢？好，看了上面的体验题，你明白这类问题的解法吧!现在咱们实践一下，毕竟实践出真知吗？实践题1|3x-2|+|x+1|<9实践题2解不等式|x+1|-|x-4|>3实践题答案实践题1实践详解：|3x-2|，这样可以把数轴分成三段，x≤-1；-1<x≤2 3（1）当x≤-1解得x>-2,(2)当-1<x≤2 3解得x>-3,(3)当x>2 3解得x<5 2 ,综上所述：原不等式的解集为-2<x<52.实践题2实践详解：|x+1|,|x-4|的零点分别是x=-1和x=4,将数轴分成三段：x≤-1;-1<x≤4;x>4. （1）当x<-1时，原不等式可化为：-x-1+x-4>3,即-5>3，∴此时不等式的解集为空集。