中国科技大学
一九九七年招收硕士学位研究生去学考试试题 试题名称：固体物理
一 很多元素晶体具有面心立方结构，试
1 绘出其晶胞形状，指出它所具有的对称元素
2 说明它的倒易点阵类型及第一布里渊区形状
3 面心立方的Cu 单晶（晶格常熟a=3.61Å）的x 射线衍射图（x 射线波长λ＝1.54Å）中，为什么不出现（100），（422），（511）衍射线？ 4它们的晶格振动色散曲线有什么特点？
二 已知原子间相互作用势n
m
r r
r
U β
α
+
−
=)(，其中α，β，m,n 均为>0的常数，试证明此
系统可以处于稳定平衡态的条件是n>m。
三 已知由N 个质量为m ，间距为的相同原子组成的一维单原子链的色散关系为
2sin 42
1
qa m ⎟⎠
⎞⎜⎝⎛=βω
1 试给出它的格波态密度()ωg ，并作图表示
2 试绘出其色散曲线形状，并说明存在截止频率max ω的意义
四 半导体材料的价带基本上填满了电子（近满带），价带中电子能量表示式
，其中能量零点取在价带顶。这时若处电子被激
发到更高的能带（导带）而在该处产生一个空穴，试求此空穴的有效质量，波矢，准动量，共有化运动速度和能量。（已知，())(10016.1234J k k E ×−=cm k 6101×=s J ⋅×=−34
10054.1h 2
3
35101095s
w ⋅×−0.9cm =m ）
五 金属锂是体心立方晶格，晶格常数为5.3=a Å，假设每一个锂原子贡献一个传导电子而构成金属自由电子气，试推导时，金属自由电子气费米能表示式，并计算出金属锂费米能。（已知）
K T 0=J 19
10
−eV 602.11×=
六 二维自由电子气的电子能量表达式是
()
m k m k k E y
x 222
222h h +
=
当方向有磁场入射时，电子能量本征值将为一系列Landau 能级。Landau 能级是高简并度分立能级，试导出其简并度。
z k
中国科学院1997年硕士研究生入学试题参考答案 一 （每题5分，工20分）
1 晶胞如图：
对称元素：3个立方轴，4个3次轴，6个2次轴，1个一次轴，一个中心反映。 2 倒易点阵为体心立方点阵，第一布里渊区为截角八面体。
3 面心立方结构的消光条件不允许出现奇偶混杂的面指数，所以（100），（110）衍射线不出现，又因为衍射条件要求d 2≤λ，所以，74.0)422(=d Å，09.0)511(=d Å，不符合衍射条件，不出现衍射峰。
4 只有3支声学振动，没有光学支。在[100]和[111]方向，两支横声学波是简并的。 二 解：满足稳定态的条件
()()0)()1()1(,0,020
202
02222>−=+++−=>=+++m n r m r n n r m m dr r u d dr r u d dr du m n m α
α 所以n>m 。
三 解：1 根据态密度定义可以给出
()dq L
d g π
ωω2=
（这里L ＝Na ） 一维原子链应考虑正负两支
所以 ()dq
d L
dq d L
g ωπωπω=×
=22 将2
sin
42
1
qa
m ⎟
⎠
⎞
⎜⎝⎛=βω代入得： 21
22
)(2
2cos 2ωωωω−==m m a qa a dq d 得：()()
2
1222ω
ω
π
ω−=m
N
g ，其中m
m βω4=
2
截止频率是只有频率在ω到ωm 之间的格波才能在晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减，一维单原子晶格看作成低通滤波器。
四 解：02
22
6.0m k
E m e
−=∂∂=∗h
所以，空穴的有效质量为： 06.0m m m e h =−=∗
∗ 空穴波矢：cm k k e h 6
101×−=−= 空穴准动量：cm
s
J k h •×−=×××−=−−28
634
10105410110054.1h 空穴速度为：()
s cm k dk
dE v k
6341093.110016.121
1×=×××=
=
−h
h 空穴能量：
()J k E E h 22
10
016.1−×=−=
五 解：按自由电子气模型，能量E －E ＋dE 之间的电子数为
()dE E f E m V dN 2
1
2
322242⎟⎠
⎞⎜⎝⎛•=h π
在时
K T 0= 1)(=E f 当
F E E <0)(=E f 当
F E E > 故∫
⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛•=
00
21
2
322242F
E dE E m V N h π
23
02
322231F E m ⎟⎠
⎞⎜⎝⎛=h π 令V
N n =
，得：()
32
2
2032n m E F πh = 锂晶体电子浓度 ()3223
81066.4105.31
cm n ×=×=
−
所以(
)
eV n m
E F
72.4323
222
0==πh
六 解：()
m
k m k k k E t y x 222
22
222h h h r =+=
，等能面是一个圆，其半径h
mE
k t 2= 园内状态数()()A mE
k A
E N t •=
••
=2
22
22h πππ
