随机变量及其分布小结与复习

随机变量及其分布小结与复习本章是数学中相对独立的内容，不论是思考方法还是解题技巧，与其他章节都有很大不同。

高考对本章的要求特点是基础和全面。

纵观近几年高考试题，离散型随机变量的分布列、均值与方差这部分内容综合性强，涉及排列组合、二项式定理和概率的相关知识，是近几年高考的热点，在命题上侧重于考查基本概念、基本公式，主要以考查基本技能和基本运算为主，考查分析问题和解决问题的能力，三种题型都有，但更多的是中低档解答题.一 知识整合：1离散型随机变量实质上就是用数来表示事件，求其分布列时首先要明确随机变量X 取哪些值，然后求X 取每一个值的概率，最后列成表格的形式。

求出随机变量的分布列后，可用分布列的两条性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确。

在超几何分布中，只要知道参数N 、M 、n ，就可以根据公式求出X 取不同的m 值时的概率，从而列出分布列。

2 要求条件概率，必须理解条件概率的定义及公式，公式中()P A B ⋂是指事件A 和B 同时发生的概率，因此学习中要结合例题去体会求条件概率的方法及公式的应用，不能仅去记忆公式，如何求出()P A B ⋂是关键。

3．n 次独立重复试验中的每一次试验只有两个结果，即成功与失败，每次试验两种结果发生的概率是不变的．在n 次独立重复试验的问题中，必须清楚是求哪一个试验结果出现k 次的概率．4离散型随机变量的期望和方差是随机变量中两种最重要的特征数，它们反映了随机变量取值的平均值及其稳定性，期望与方差在实际优化问题中有大量的应用，关键是要将实际问题数学化，然后求出它们概率分布列。

要注意运用二点分布、二项分布等特殊分布的期望、方差公式以及灵活运用其线性性质，如2(),()E aX b aEX b D aX b a DX +=++=。

5．对于正态分布要正确地运用其性质，记住正态总体在三个区间内取值时的概率，运用对称性结合图象求相应概率．二学法点拨：1．求离散型随机变量的分布列时，要解决好以下两个问题：一是求出X 的所有取值，二是求出x 取每一个值时的概率，这是难点，也是关键，一般要联系排列、组合知识，古典概型、互斥事件、相互独立事件的概率等知识进行解决．对于超几何分布的概率公式，不要死记硬背，应结合实例，理解其意义，弄清参数N 、M 、n 之间的关系。

随机变量及其分布知识网络知识要点梳理知识点一：离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量：2．离散性随机变量的分布列：3．离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：（1）p i≥0,i=1,2…；（2）P1+P2+…=1知识点二：离散型随机变量的二点分布知识点三：离散型随机变量的二项分布在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量，如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是，于是得到随机变量的概率分布如下：若～，则，。

知识点四：离散型随机变量的几何分布独立重复试验中，某个事件第一次发生时所作试验的次数也是一个正整数的离散型随机变量。

表示在第k次独立重复试验时该事件第一次发生，如果把第k次重复试验时事件A发生记作A k，事件A不发生记作且称这样的随机变量服从几何分布，记作其中若随机变量服从几何分布，则，知识点五：超几何分布在含M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件发生的概率为：，其中，为超几何分布列。

离散型随机变量X服从超几何分布。

若随机变量X服从超几何分布，则，。

知识点六：离散型随机变量的期望与方差1、离散型随机变量的期望：2、离散型随机变量的方差：经典例题精析类型一：独立重复试验的概率1、把n个不同的球随机地放入编号为1，2，…，m的m个盒子内，求1号盒恰有r个球的概率【变式1】十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？【变式2】实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．（2）按比赛规则甲获胜的概率．类型二：分布列的性质2试求出常数c与ξ的分布列。

求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．【变式2】随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则的值是_______．类型三：离散型随机变量的分布列3、某人参加射击，击中目标的概率是。

圆梦教育中心 随机变量及其分布知识点整理一、离散型随机 量的分布列一 般 地 ， 离 散 型 随 机 量 X 可 能 取 的x 1 , x 2 , , x i ,, x n ， X 取 每 一 个 x i (i1,2, , n) 的 概 率P( Xx i ) p i ， 称以下表格Xx 1 x 2 ⋯ x i ⋯ x n Pp 1p 2⋯p i⋯p n随机 量 X 的概率分布列， 称X 的分布列 .离散型随机 量的分布列具有下述两个性 ：（ 1） P i ≥ 0, i1,2, , n （ 2） p 1 p 2 p n 11．两点分布如果随机 量X 的分布列X1P 1-p p称 X 服从两点分布，并称p=P(X=1) 成功概率 .2．超几何分布 一般地，在含有M 件次品的 N 件 品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品， 事件X k 生的概率 ：P( X k ) C M k C N n k M , k 0,1,2,3,..., mC nN 随机 量 X 的概率分布列如下：X1 ⋯ mPC M 0 C N n 0MC M 1 C N n 1M⋯C M m C N n m MC N nC N nC N n其中 mmin M , n , 且nN , M N , n, M , N N * 。

注：超几何分布的模型是不放回抽 二、条件概率一般地， A,B 两个事件 , 且 P( A)0 ,称P(B | A)P( AB )在事件 A 生的条件下 , 事件 B 生的条件概率 .P( A)0≤ P(B | A) ≤ 1如果 B 和 C 互斥，那么 P[( B U C ) | A] P( B | A) P(C | A)三、 相互独立事件A ，B 两个事件， 如果事件 A 是否 生 事件 B 生的概率没有影响( 即 P( AB) P( A)P( B) ), 称事件 A 与事件B 相互独立。

即 A 、 B 相互独立P( AB) P( A) P(B)一般地，如果事件A ,A , ⋯,A n 两两相互独立，那么n 个事件同 生的概率，等于每个事件 生的概率的 ，12即 P( A 1A 2... A n ) P( A 1 ) P( A 2 )...P( A n ) .注： (1) 互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响.四、 n 次独立重复试验一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验.在 n 次独立重复试验中，记A i是“第i次试验的结果” ，显然， P( A1 A2A n ) P( A1 )P( A2 )P( A n )“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征第一：每次试验是在同样条件下进行；第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.n次独立重复试验的公式：一般地，在 n次独立重复中，事件 A生的次数 X，在每次中事件 A生的概率 p，那么在 n次独立重复中，事件 A 恰好生 k次的概率P( X k ) C n k p k (1 p)n k C n k p k q n k , k 0,1,2,..., n.(其中 q 1 p) ，而称p为成功概率.五、二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为p，则P( X k ) C n k p k (1 p)n k， k 0,1,2, ,nX01⋯k⋯nP C n0 p0q n C n1 p1q n 1⋯C n k p k q n k⋯C n n p n q0此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ~ B(n, p) ，并称p为成功概率.六、离散随机变量的均值（数学期望）一般地，随机变量X 的概率分布列为X x1 x2 ⋯x i ⋯x nP p1 p2 ⋯p i ⋯p n则称 E( X ) x1 p1 x2 p2x i p i x n p n为X 的数学期望或均值，简称为期望 . 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 .1．若Y aX b ，其中a，b常数，则Y 也是变量Y ax1 b ax2 b ⋯ax i b ⋯ax n bP p1 p2⋯p ⋯pi n则 EY aE( X ) b ，即 E(aX b) aE ( X ) b 2．一般地，如果随机变量X 服从两点分布，那么E( X )=1 p 0 (1 p)p 3．若X ~ B(n, p)，则E( X ) np七、离散型随机变量取值的方差和标准差一般地 , 若离散型随机变量x 的概率分布列为X x1 x2 ⋯x i ⋯x nP p1 p2 ⋯p i ⋯p n则称 DX ( x1 E (X )) 2 p1 ( x2 E( X )) 2 p2 (x n E ( X 并称DX 为随机变量 X的标准差 .1．若 X 服从两点分布，则 D ( X ) p(1 p)2．若X ~ B(n, p)，则D ( X )np(1 p)3．D ( aX b)a2 D ( X )即若 X 服从两点分布，则E( X )p。

随机变量及其分布知识点总结随机变量是数学中的一个基本概念,描述了一个随机事件的可能结果。

在概率论和统计学中,随机变量的分布是研究随机变量性质的重要工具。

本文将总结随机变量及其分布的相关知识,包括随机变量的定义、表示、分布、期望、方差等。

一、随机变量的定义随机变量是一种描述随机事件可能的变量,通常用符号 $X$ 表示。

随机变量的取值可以是离散的或连续的。

离散的随机变量只取有限或可数个取值,而连续的随机变量则取无限个取值。

二、随机变量的表示随机变量的表示通常用概率密度函数 $f_X(x)$ 或概率质量函数$g_X(x)$ 表示。

概率密度函数是描述随机变量取值分布的函数,通常用$f_X(x)$ 表示。

概率质量函数是描述随机变量离散程度的函数,通常用$g_X(x)$ 表示。

三、随机变量的分布随机变量的分布描述了随机变量取值的概率分布。

离散分布描述了随机变量只取有限或可数个取值的概率分布,连续分布描述了随机变量取无限个取值的概率分布。

1. 离散分布离散分布通常用 $P(X=x)$ 表示,其中 $x$ 是随机变量的取值。

离散分布的概率质量函数通常用 $g_X(x)$ 表示。

例如,正态分布的概率质量函数为:$$g_X(x) = frac{sqrt{2pi}}{x!}e^{-frac{(x-1)^2}{2}}$$2. 连续分布连续分布通常用 $P(X leq x)$ 表示,其中 $x$ 是随机变量的取值。

连续分布的概率质量函数通常用 $f_X(x)$ 表示。

例如,均匀分布的概率质量函数为: $$f_X(x) = begin{cases}1, & x in [0,1],0, & x in [1,2],end{cases}$$四、期望和方差随机变量的期望是随机变量的取值的总和。

离散分布的期望通常用$E(X)$ 表示,连续分布的期望通常用 $E[X]$ 表示。

期望的概率质量函数通常用$f_X(x)$ 表示。

赞皇中学高二年级数学学科导学案课型____ 主备人______ 审核人_____ 时间年__月__日班级____ 姓名______ 小组______第二章随机变量及其分布小结与复习【学习目标】1 在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性。

2 通过实例，理解超几何分布及其推到过程，并能进行简单的应用。

3 了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际应用。

4 理解离散型随机变量的均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量得均值、方差，并能解决一些实际问题。

5 通过实际问题，借助直观模型，认识正态分布曲线的特点及表示的意义。

【知识结构】【达标练习】一、选择题1．给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；②在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．其中正确的个数是（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．42．设离散型随机变量X的分布列为：3．袋中有3个红球、2个白球,从中任取2个，用表示取到白球的个数，则X的分布列为（）4．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拔，他第一次失败，第二次成功的概率是（） Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5．甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率是0.8，乙击中目标的概率是0.6，则两人都击中目标的概率是（ ）Ａ．1.4 Ｂ．0.9 Ｃ．0.6 Ｄ．0.486．某厂大量生产一种小零件，经抽样检验知道其次品率是，现把这种零件中6件装成一盒，那么该盒中恰好含一件次品的概率是（ ） Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．7．设随机变量，则等于（ ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．8．两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分别为a ，b ，则产生故障的电脑台数的均值为（ ）1102108109101%299100⎛⎫ ⎪⎝⎭0.01516111100100dy C dx ⎛⎫- ⎪⎝⎭·2426111100100C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭·1~62X B ⎛⎫⎪⎝⎭，(3)P X =51631658716Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．9．设，则落在内的概率是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．10．正态分布在下面几个区间内的取值概率依次为（ ）①② ③Ａ．① ② ③Ｂ．① ② ③ Ｃ．① ② ③Ｄ．① ② ③11节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X 服从如Ａ．706元 Ｂ．690元 Ｃ．754元 Ｄ．720元 12．某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（ ） Ａ．甲学科总体的方差最小 Ｂ．丙学科总体的均值最小 Ｃ．乙学科总体的方差及均值都居中 Ｄ．甲、乙、丙的总体的均值不相同13．事件相互独立，若，则 ．14．两台独立在两地工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，则恰有1台雷达发现飞行目标的概率为 ．15．某灯泡厂生产大批灯泡，其次品率为1.5%，从中任意地陆续取出100个，则其中正品数X 的均值为 个，方差为 ．16．设，当在内取值的概率与在内取值的概率相等时， ．三、解答题17．一批产品分一、二、三级，其中一级品的数量是二级品的两倍，三级品的数量是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检查其品级，用随机变量描述检验的可能结果，写出它的分布列． 18．甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分ab a b +1ab -1a b --1~24X N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，X (][)3.50.5---+ ，，∞∞95.4%99.7% 4.6%0.3%2()N μσ，(]33μσμσ-+，(]22μσμσ-+，(]μσμσ-+，68.3%95.4%99.7%99.7%95.4%68.3%68.3%99.7%95.4%95.4%68.3%99.7%A B C ，，111()()()688P A B P B C P A B C ===，，····()P B =2~()X N μσ，x (]13，(]57，μ=别为和，求（1）恰有1人译出密码的概率； （2）若达到译出密码的概率为，至少需要多少乙这样的人．19．生产工艺工程中产品的尺寸偏差，如果产品的尺寸与现实的尺寸偏差的绝对值不超过4mm 的为合格品，求生产5件产品的合格率不小于的概率． （精确到0.001）．20．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所出次品数分别为，，且和的分布列为：试比较两名工人谁的技术水平更高．21．张华同学上学途中必须经过四个交通岗，其中在岗遇到红灯的概率均为，在岗遇到红灯的概率均为．假设他在4个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，X 表示他遇到红灯的次数．（1）若，就会迟到，求张华不迟到的概率；（2）求EX ．1314991002(mm)~(02)X N ，80%1XX X X A B C D ，，，A B ，12C D ，133x ≥。

随机变量及其分布知识点总结(一)前言•随机变量及其分布是概率论中的重要概念，是描述随机现象的数值特征的数学工具。

深入理解随机变量及其分布有助于我们对概率和统计的理解，从而更好地应用于实际问题的解决。

•本文将介绍随机变量的定义与分类、随机变量的概率分布函数与密度函数、常见的随机变量分布及其特性。

正文1. 随机变量的定义与分类•随机变量是随机试验结果的实值函数，通常用大写字母表示，如X、Y等。

它可以是离散的（只能取有限或可列个值）或连续的（可以取任意实数值）。

•离散随机变量表示一个事件的可能结果是离散的，例如掷骰子的点数。

•连续随机变量表示一个事件的可能结果是连续的，例如人的身高或温度的测量值。

2. 随机变量的概率分布函数与密度函数•对于离散随机变量，其概率分布函数（Probability Mass Function，PMF）表示随机变量取某个特定值的概率。

•对于连续随机变量，其概率密度函数（Probability Density Function，PDF）表示连续随机变量在某个数值范围内取值的概率密度。

•概率分布函数和概率密度函数都具有以下特点：非负性、归一性和单调性。

3. 常见的随机变量分布及其特性3.1. 离散随机变量分布•伯努利分布：描述两个可能结果的随机试验。

•二项分布：描述多次伯努利试验中成功次数的随机变量。

•泊松分布：描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数的随机变量。

3.2. 连续随机变量分布•均匀分布：在一个区间上的取值是等可能的。

•正态分布：一种常见的连续随机变量分布，呈钟形曲线，常用于自然和社会科学中建模。

•指数分布：描述独立随机事件发生时间间隔的分布。

结尾•随机变量及其分布是概率论中的重要概念，通过对随机变量、概率分布函数、概率密度函数以及常见的分布特性的学习，我们可以更好地理解随机现象，并在实际问题中应用概率和统计的方法。

•随机变量及其分布的深入研究对统计学、机器学习、金融等领域具有重要意义，帮助我们更好地分析数据、建立模型、做出决策。

概率与统计中的随机变量及其分布知识点总结在概率与统计学中，随机变量是一种具有概率分布的变量，它可以用来描述不确定性的现象和事件。

随机变量的理论是概率论的核心内容之一，掌握随机变量及其分布知识点对于理解概率与统计学的基本原理及应用具有重要意义。

本文将对概率与统计中的随机变量及其分布进行知识点总结。

一、随机变量的概念与分类随机变量（Random Variable）是指对于随机试验结果的数值描述。

随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两类。

1. 离散型随机变量离散型随机变量（Discrete Random Variable）的取值为有限个或可数个。

常见的离散型随机变量有伯努利随机变量、二项分布随机变量、泊松随机变量等。

2. 连续型随机变量连续型随机变量（Continuous Random Variable）的取值可以是任意的实数。

通常用于表示测量结果或特定区间内的变化。

常见的连续型随机变量有均匀分布随机变量、正态分布随机变量等。

二、随机变量的分布函数与概率函数随机变量的分布函数和概率函数是描述随机变量的重要工具。

1. 分布函数分布函数（Distribution Function）是随机变量取值小于或等于某个值的概率，通常记作F(x)，其中x为随机变量的取值。

分布函数的性质包括：非递减性、右连续性、左极限性质。

2. 概率函数（密度函数）概率函数（Probability Density Function）用于描述连续型随机变量的概率分布情况，通常记作f(x)，其中x为随机变量的取值。

概率函数的性质包括：非负性、归一性。

三、常见的随机变量及其分布在概率与统计学中，有一些常见的随机变量及其分布是被广泛应用的。

1. 伯努利随机变量伯努利随机变量（Bernoulli Random Variable）是最简单的离散型随机变量，它只有两个取值，通常用来描述成功或失败的情况。

2. 二项分布随机变量二项分布随机变量（Binomial Random Variable）描述了n个独立的伯努利试验中成功的次数，其中n为试验次数，p为单次成功的概率。

随机变量及其分布总结一、随机变量随机变量（Random Variable）是概率论中的重要概念，它是表示一个随机实验的可能结果及这些结果发生的概率的指标，是随机现象中的重要解释指标。

随机变量由它的取值所确定，特点是：（1）它是一类不能确定的数，因此不能被直接测量，但是可以用概率来描述它；（2）它表示了实验结果的取值；（3）它可以表示有一定规律的实验结果，也可以表示没有规律的实验结果；（4）它用其取值及概率分布表示一个随机实验的结果，即实验结果的不确定性；（5）它可以用来描述随机实验中各可能结果对概率的影响，从而探究随机现象的规律性。

二、随机变量的分类根据随机变量的取值类型，随机变量可分为定型随机变量和随机变量。

（1）定型随机变量定型随机变量也称为离散型随机变量，它会取值完全可以确定的一组可数的取值。

其具体分类包括：（a）伽玛分布（Gamma Distribution）：它是一种对数正态分布，可用来模拟某些自然现象，如系统失效时间的分布。

（b）指数分布（Exponential Distribution）：这是一种特殊的定型随机变量，它可以用来模拟服从指数分布的概率分布函数或者指数函数，常用来描述生存分析中系统的衰减过程。

（c）伯努利分布（Bernoulli Distribution）：这是一种概率分布，它是一种若干独立实验中，某个事件出现的概率。

（d）泊松分布（Poisson Distribution）：它是描述某一时间段内发生的事件的概率分布，可用来模拟客流量等自然现象中的随机变量。

（2）随机变量随机变量又称为连续型随机变量，它的取值范围是无限的，其取值受随机实验影响，其取值不能确定，但可以描述它的概率分布。

具体分类包括：（a）正态分布（Normal Distribution）：正态分布具有非常广泛的应用，它可用来描述许多现实世界中的现象，如智力、体重等。

（b）卡方分布（Chi-square Distribution）：卡方分布是在实验设计中非常常见的概率分布，它包含了有关实验结果的统计量，如样本均值、样本方差等。

随机变量及其分布知识点总结随机变量是概率论中的基础概念之一，是描述随机事件的数学模型。

随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量，它们分别对应两种不同的概率分布函数。

随机变量及其分布是概率论和统计学中的重要概念，掌握它们的知识对理解概率和统计学的应用至关重要。

一、随机变量的定义在概率论中，将随机试验中的所有可能结果对应的实数量称为随机变量。

可以通过随机变量的取值和概率分布函数来描述随机试验的结果。

二、随机变量的分类1. 离散随机变量如果随机变量只能取离散的值，则称其为离散随机变量。

离散随机变量的概率分布函数(discrete probability function )可以用概率质量函数(probability mass function，PMF)表示。

离散随机变量的概率分布函数具有以下性质：1) P(X = x) ≥ 0，即每个值的概率非负。

2) ΣP(X = x) = 1，即所有可能取值的概率和为1。

3) PMF可以用折线图表示。

例如：伯努利试验中，试验的结果只有两种可能性，即成功和失败。

设X为成功的次数，则X是离散随机变量。

成功的概率为p，失败的概率为1-p。

则X的概率分布函数为：P(X = k) = p^k(1-p)^(1-k), k = 0,12. 连续随机变量如果随机变量可以取任意实数值，则称其为连续随机变量。

由于随机变量可以取无限多的值，因此相对于离散随机变量，它的概率分布函数有一些特殊的性质。

连续随机变量的概率密度函数(Probability Density Function，PDF)可以用函数表示。

由于随机变量连续，因此PDF不是一条折线，而是一条连续曲线。

连续随机变量的概率分布函数具有以下性质：1) P(X = x) = 0，即连续随机变量的每个单独取值的概率为0。

2) ∫f(x)dx = 1，即PDF下的所有面积和为13) 可以用PDF曲线下的面积计算概率。

例如：假设X表示一个信号在某个时间段内的功率，则X是一个连续随机变量。

选修2-3第二章随机变量及其分布知识点总结(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第二章 概率 总结一、知识点1.随机试验的特点:①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．2.分类 随机变量（如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母 ξ、η等表示。

）离散型随机变量：连续型随机变量：3.离散型随机变量的分布列一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为 x 1, x 2, ,x i , ,x n X 取每一个值 xi(i=1,2, ）的 概率 P(ξ=x i ）＝P i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列性质： ① ----------------------------------------------② -------------------------------------------------．二点分布如果随机变量X 的分布列为：其中0<p<1，q=1-p ，则称离散型随机变量X 服从参数p的二点分布二点分布的应用：如抽取彩票是否中奖问题、新生婴儿的性别问题等.超几何分布一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件, 这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N MnNC C P X k k m C --===，其中则称随机变量X 的分布列,为超几何分布列,且称随机变量X 服从参数N 、M 、n 的超几何分布 注意：（1）超几何分布的模型是不放回抽样；（2）超几何分布中的参数是N 、M 、n ，其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量条件概率1.定义：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率2.事件的交（积）:由事件A 和事件B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与事件B的交（或积）.记作D=A ∩B 或D=AB3.条件概率计算公式:例题、10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二个又取到次品的概率.相互独立事件1.定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

随机变量及其分布例题和知识点总结在概率论与数理统计中，随机变量及其分布是非常重要的概念。

理解和掌握随机变量及其分布对于解决各种概率问题至关重要。

下面，我们将通过一些具体的例题来深入理解相关知识点。

一、随机变量的概念随机变量是指定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每个样本点对应到一个实数。

随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。

例如，抛一枚硬币，出现正面记为 1，出现反面记为 0，这里定义的变量就是一个离散型随机变量。

二、离散型随机变量及其分布离散型随机变量的取值是有限个或可列无限个。

常见的离散型随机变量分布有二项分布、泊松分布等。

例题 1：一批产品的次品率为 01，从中有放回地抽取 10 次，每次取一件，求抽到次品数 X 的概率分布。

解：这是一个二项分布问题，其中 n ＝ 10，p ＝ 01。

P(X ＝ k) ＝ C(10, k) × 01^k × 09^（10 k) ，k ＝ 0, 1, 2,， 10知识点：二项分布的概率质量函数为 P(X ＝ k) ＝ C(n, k) × p^k ×（1 p)＾（n k) ，其中 n 是试验次数，p 是每次试验成功的概率。

例题 2：某商店每月销售某种商品的数量服从泊松分布，平均每月销售 5 件。

求每月销售 3 件的概率。

解：设每月销售的商品数量为 X，λ ＝ 5P(X ＝ 3) ＝（e^（－5) × 5^3) ／ 3!知识点：泊松分布的概率质量函数为 P(X ＝ k) ＝（e^（λ) × λ^k)／ k! ，其中λ 是平均发生的次数。

三、连续型随机变量及其分布连续型随机变量的取值是连续的区间。

常见的连续型随机变量分布有均匀分布、正态分布等。

例题 3：设随机变量 X 在区间 a, b 上服从均匀分布，求 X 的概率密度函数。

解：概率密度函数 f(x) ＝ 1 ／（b a) ，a ≤ x ≤ b ；f(x) ＝ 0 ，其他。

复习课: 随机变量及其分布列教学目标重点：理解随机变量及其分布的概念，期望与方差等的概念；超几何分布，二项分布，正态分布等的特点；会求条件概率，相互独立事件的概率，独立重复试验的概率等. 难点：理清事件之间的关系，并用其解决一些具体的实际问题.能力点：分类整合的能力，运算求解能力，分析问题解决问题的能力. 教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构. 自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻.易错点：容易出现事件之间的关系混乱，没能理解问题的实际意义. 学法与教具1.学法：讲授法、讨论法.2.教具：投影仪. 一、【知识结构】二、【知识梳理】 1．随机变量⑴随机变量定义:在随机试验中，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．简单说，随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．常用希腊字母x 、y 、ξ、η等表示． ⑵如果随机变量可能取的值可以按次序一一列出（可以是无限个）这样的随机变量叫做离散型随机变量. ⑶如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2．概率分布定义（分布列）设离散型随机变量ξ可能取的值为123,,,,i x x x x ，ξ取每一个值(1,2,)i x i =的概率()i i P x p ξ==，则称表ξ1x 2xi x P1P2Pi P称为随机变量ξ的概率分布列，简称ξ的分布列. 注:1.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：(1)0,123≥，，，i p i =；123(2)1p p p +++=3．常见的分布列⑴二项分布：在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰发生k 次的概率为()(1)k k n kn p X k C p p -==-，显然x 是一个随机变量.随机变量x 的概率分布如下：x1knP00n n C p q111n n C p q -k k n kn C p q -n n n C p q我们称这样的随机变量x 服从二项分布,记作~(,)X B n p ⑵两点分布列:如果随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1P1P - P这样的分布列称为两点分布列,称随机变量服从两点分布,而称(1)p P ξ==为成功概率.两点分布是特殊的二项分布(1)p ξ~B ,⑶超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有x 件次品数，则事件{}x k =发生的概率为(),0,1,2,3,,k N kM N MnNC C P X k k m C --===．其中{}min ,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ≤≤∈，则称分布列x0 1mP00n M N M n N C C C -- 11n M N MnNC C C --m n m M N MnNC C C -- 为超几何分布列，如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布．4．条件概率一般地,设,A B 为两个事件,且()0P A >,称()(|)()P AB P B A P A = 为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率.注意:⑴0(|)P B A ≤≤1；⑵可加性：如果B C 和互斥，那么[]()|(|)(|)P B C A P B A P C A =+5．相互独立事件的概率 ⑴相互独立事件的定义:设,A B 两个事件, ()()()P AB P A P B =若 (即事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响), 则称事件A 与事件B 相互独立.若事件A 与B 相互独立, 则以下三对事件也相互独立:①A B 与； ②与；A B ③.A B 与解决概率问题的一个关键：分解复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件. ⑵n 次独立重复试验:一般地,在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验. 在n 次独立重复试验中，记i A 是“第i 次试验的结果”， 显然，12()n P A A A =12()()()n P A P A P A重要结论：结论1：,若a b ηξ=+则E aE b ηξ=+，2D a D ηξ= 结论2：若~(,)B n p ξ，则,E nP ξ=(1)D np p ξ=-ξ特别地，若服从两点分布，则,(1)E P D p p ξξ==-6．正态分布⑴正态分布密度曲线 22()2(),(,)x x x μσμσϕ--,=∈-∞+∞μ(0)σσ>分别表示总体的平均数与标准差，这个总体是有无限容量的抽象总体，其分布叫做正态分布.正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作2(,)N μσ.如果随机变量ξ服从正态分布,则记为2(,)N ξμσ~⑵正态曲线有以下特点：①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，图像关于直线μ=x 对称； ③曲线在μ=x 处达峰值σπ21；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤若σ固定, 随μ值的变化而沿x 轴平移, 故μ称为位置参数；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定. σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，故σ称为形状参数.⑶3σ原则：()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=三、【范例导航】 考点1 条件概率例1：在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求： ⑴第1次抽到理科题的概率；⑵第1次和第2次都抽到理科题的概率；⑶在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率． 【分析】：解决概率问题要注意“三个步骤，一个结合” ⑴求概率的步骤是： 第一步，确定事件性质； 第二步，判断事件的运算； 第三步，运用公式．⑵概率问题常常与排列、组合知识相结合. 【解答】：设“第1次抽到理科题”为事件A ，“第2次抽到理科题”为事件B ，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB .⑴从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为25()20n A Ω==.根据分步乘法计数原理1134()12n A A A =⋅=，于是()123()()205n A P A n ===Ω. ⑵因为23()6n AB A ==，所以()63()()2010n AB P AB n ===Ω. ⑶法一：由⑴⑵可得在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为：3()15()3()210P AB P B A P A ===.法二：因为23()6n AB A ==，1134()12n A A A =⋅=，所以()61()()122n AB P B A n A ===.【点评】条件概率通常有两种求法，一定义法()()()P AB P B A P A =，二古典法()()()n AB P B A n A =.变式训练:某校在组织自主招生考试时，需要进行自荐、考试和面试三关．规定三项都合格者才能录取.假定每个项目相互独立，学生A 每个项目合格的概率组成一个公差为18的等差数列，且第一个项目不符合格的概率超过12，第一个项目不合格但第二个项目合格的概率为9.32 ⑴求学生A 被录取的概率；⑵求学生A 合格的项目数x 的分布列和数学期望.答案：⑴364；⑵15291739()0123E x =⨯+⨯+⨯+⨯=.考点2 相互独立事件的概率例2. 甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为14，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为112，甲丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为29．⑴分别求出甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率； ⑵从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．【分析】1求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解． 2特别注意以下两公式的使用前提： ⑴若,A B 互斥，则()()()P AB P A P B =+，反之不成立．⑵若,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =⋅，反之成立．【解答】⑴设,,A B C 分别为甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件是一等品的事件，依题意得1()()[1()]41()()[1()]122()()()9P AB P A P B P BC P B P C P AC P A P C ⎧=⋅-=⎪⎪⎪=⋅-=⎨⎪⎪=⋅=⎪⎩得227[()]51()220P C P C -+= 解得211()()39或（舍）P C P C ==，所以211()()()343,,P C P B P A ===. 即甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率分别为112,,343⑵记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件．2315()1()1[1()][1()][1()]13436P D P D P C P B P A =-=--⋅-⋅-=-⨯⨯=即从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56【点评】主要考查相互独立事件的概率及正难则反的原则分析解决问题的能力. 解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解． 变式训练:某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列，并求李明在一年内领到驾照的概率.答案：李明在一年内领到驾照的概率为 1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)(1－0.9)=0.9976. 考点3 离散型随机变量的分布列、均值与方差例3. 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23．假设各局比赛结果相互独立． ⑴分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率；⑵若比赛结果为求3:0或3:1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分x 的分布列及数学期望． （2013年山东高考理科题19）【分析】1离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种：超几何分布与二项分布，由于这两种分布列在生活中应用较为广泛，故在高考中对该知识点的考查相对较灵活，常与期望、方差融合在一起，横向考查．2对于分布列的求法，其难点在于每个随机变量取值时相关概率的求法，计算时可能会用到等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式等．3均值与方差都是随机变量重要的数字特征，方差是建立在均值这一概念之上的，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者联系密切，在现实生产生活中特别是风险决策中有着重要意义，因此在当前的高考中是一个热点问题．【解答】⑴331328()327p C ==，22232128()33327p C =⋅=，222342114()()33227p C =⋅=． ⑵由题意可知x 的可能取值为：3，2，1，0，相应的概率依次为：14416,,,()321092727279E x =⨯+⨯+⨯+⨯=【点评】本题考查相互独立事件的概率、二项分布、离散型随机变量的概率分布与数学期望等基础知识，考查分类与整合的思想，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力．变式训练:某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试时间间隔恰当．每次测试通过与否互相独立． ⑴求该学生考上大学的概率；⑵如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为x ，求x 的分布列及x 的数学期望． 答案：⑴131243；⑵1441638()234592727279E x =⨯+⨯+⨯+⨯= 考点4 正态分布例4．某市去年高考考生成绩服从正态分布2(500,50)N ，现有25000名考生，试确定考生成绩在550600~分的人数．【分析】正态密度曲线恰好关于参数μ对称，因此充分利用该图形的对称性及3个特殊区间内的概率值来求解其他区间的概率值，是一种非常简捷的方式，也是近几年高考的一个新动向．本小题主要考查正态密度函数及3σ原则的应用. 【解答】1(500600)[(500250500250)(5005050050)]2P x P X P X <<=-⨯<≤+⨯--<≤+1(0.95440.6826)0.13592-=. 【点评】正态分布是一种连续型随机变量的分布，是一种非常简捷的方式，应用较为广泛. 也是近几年高考的一个新动向． 变式训练:若随机变量x 的概率分布密度函数是()228,(),()x x x R μσϕ+-=∈，则(21)E X -= ．答案：5-四、【解法小结】1.离散型随机变量的分布列在高中阶段主要学习两种：超几何分布与二项分布，由于这两种分布列在生活中应用较为广泛，故在高考中对该知识点的考查相对较灵活，常与期望、方差融合在一起，横向考查．2.对于分布列的求法，其难点在于每个随机变量取值时相关概率的求法，计算时可能会用到等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式等．3.均值与方差都是随机变量重要的数字特征，方差是建立在均值这一概念之上的，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者联系密切，在现实生产生活中特别是风险决策中有着重要意义，因此在当前的高考中是一个热点问题．4.本章知识在高考中占有十分重要的地位，这是因为：一方面本章知识在实际生活中应用十分广泛；另一方面本章知识又是进一步学习高等数学知识的基础．从近几年高考试题来看，一般是一小(一个选择或填空题)一大(一个解答题)，属中档难度试题，主要考查概率的求法、随机变量的分布列、以及随机变量的期望方差等问题． 五、【布置作业】 必做题：1.袋中有大小相同的10个编号为1、2、3的球，1号球有1个，2号球有m 个，号球有n 个．从袋中依次摸出2个球，已知在第一次摸出3号球的前提下，再摸出一个2号球的概率是 ⑴求m 、n 的值；⑵从袋中任意摸出2个球，记得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．2.如图，,A B 两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量.⑴设选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为x ， 当6x ≥时，则保证信息畅通.求线路信息畅通的概率； ⑵求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.3.甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分. ⑴求随机变量ξ分布列和数学期望；⑵用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求()P AB .必做题答案：1.6,3==n m ；5=ξE2.11313(6)4420104P x ≥=+++=；131131()456789 6.51020442010E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.3.451043434()()()3353243P AB P C P D =+=+==选做题：“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性 女性 合计 反感 10 不反感 8 合计30已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是15. ⑴请将上面的列联表补充完整（在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？ ⑵若从这30人中的女性路人．．．．中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为x ，求x 的分布列和数学期望.选做题答案：⑴没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关； ⑵x 的数学期望为：448156()012.1391917E x =⨯+⨯+⨯= 六、【教后反思】1.本教案的亮点是：首先以结构图呈现随机变量的知识，直观简明；其次，复习相关知识充分关注贯穿本章始末的随机变量的分布列及条件概率等.再次，例题选择典型，关注应用问题的一般解法，讲练结合，学生落实较好.最后，在作业的布置上，以关注时代特征的低档题为主，对学生理解、巩固知识能够起到良好的作用.2.本教案的弱项是：课堂容量较大，在一些具体问题中，学生动手较少，选做题需要用到卡方公式要事先提供给学生，放在期末复习用更合适，此处有点不适.。