2020山东新高考数学二轮复习专题突破练1选择题、填空题的解法

专题突破练1选择题、填空题的解法一、单项选择题1.(2020河南开封三模,理1)已知集合A={x|x2-4x+3>0},B={x|2x-3>0},则集合(∁R A)∩B=()A. B.C. D.2.(2020山东历城二中模拟四,2)已知复数z满足|z+1-i|=|z|,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.y=x+1B.y=xC.y=x+2D.y=-x3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列,则等于()A. B. C. D.4.(2020北京东城一模,7)在平面直角坐标系中,动点M在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动,每12分钟转动一周.若点M的初始位置坐标为,则运动到3分钟时,动点M所处位置的坐标是()A. B.C. D.5.已知a,b,c,d都是常数,a>b,c>d.若f(x)=2 020+(x-a)(x-b)的零点为c,d,则下列不等式正确的是()A.a>c>d>bB.a>d>c>bC.c>d>a>bD.c>a>b>d6.(2020浙江,10)设集合S,T,S⊆N*,T⊆N*,S,T中至少有2个元素,且S,T满足:①对于任意的x,y∈S,若x≠y,则xy∈T;②对于任意的x,y∈T,若x<y,则∈S.下列命题正确的是()A.若S有4个元素,则S∪T有7个元素B.若S有4个元素,则S∪T有6个元素C.若S有3个元素,则S∪T有5个元素D.若S有3个元素,则S∪T有4个元素7.(2020天津河东区检测,9)已知函数f(x)=sin4x+x∈,函数g(x)=f(x)+a有三个零点x1,x2,x3,则x1+x2+x3的取值范围是()A. B.C. D.二、多项选择题8.(2020山东济南三模,9)已知复数z=1+cos 2θ+isin 2θ-<θ<(其中i为虚数单位),下列说法正确的是()A.复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限B.z可能为实数C.|z|=2cos θD.的实部为9.一几何体的平面展开图如图所示,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PB,PC的中点,在此几何体中,给出的下面结论中正确的有()A.直线AE与直线BF异面B.直线AE与直线DF异面C.直线EF∥平面PADD.直线EF∥平面ABCD10.对于定义域为D的函数f(x),若存在区间[m,n]⊆D,同时满足下列条件:①f(x)在[m,n]上是单调的;②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n],则称[m,n]为该函数的“和谐区间”,下列函数存在“和谐区间”的是()A.f(x)=2xB.f(x)=3-C.f(x)=x2-2xD.f(x)=ln x+211.(2020海南天一大联考三模,12)已知函数f(x)=x3+ax+b,其中a,b∈R,则下列选项中的条件使得f(x)仅有一个零点的有()A.a<b,f(x)为奇函数B.a=ln(b2+1)C.a=-3,b2-4≥0D.a<0,b2+>0三、填空题12.(2020山东烟台模拟,13)已知向量a=(2,m),b=(1,-2),且a⊥b,则实数m的值是.13.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数记为f'(x),若对于∀x∈R,有f(x)>f'(x),且y=f(x)-1是奇函数,则不等式f(x)<e x的解集为.14.(2020山东聊城二模,14)已知f(x)=若f(a)=f(b),则的最小值为.15.(2020广东广州一模,16)已知△ABC的三个内角为A,B,C,且sin A,sin B,sin C成等差数列,则sin2B+2cos B的最小值为,最大值为.专题突破练1选择题、填空题的解法1.D解析因为A={x|x2-4x+3>0}={x|x>3或x<1},B={x|2x-3>0}=,则集合(∁R A)∩B={x|1≤x≤3}故选D.2.A解析(方法1:直接法)设z=x+y i,x∈R,y∈R,由|z+1-i|=|z|,得(x+1)2+(y-1)2=x2+y2,化简整理得y=x+1.(方法2:数形结合法)|z+1-i|=|z|的几何意义为点P(x,y)到点O(0,0)和A(-1,1)的距离相等,所以点P的轨迹为两点(-1,1)和(0,0)的垂直平分线,其对应方程为y-=x+,即y=x+1.3.B解析(方法一)由题意知,可取符合题意的特殊值a=3,b=4,c=5,则cos A=,cos C=0,故选B.(方法二)由题意可取特殊角A=B=C=60°,cos A=cos C=故选B.4.C解析由题意得,动点M每12分钟转动一周,则运动到3分钟时,动点M转过的角为2π=点M的初始位置坐标为,运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是M'故选C.5.A解析由题意设g(x)=(x-a)(x-b),则f(x)=2020+g(x),所以g(x)=0的两个根是a,b.由题意知f(x)=0的两个根c,d,也就是g(x)=-2020的两个根,画出g(x)(开口向上)以及直线y=-2020的大致图象,则g(x)的图象与y=-2020的交点横坐标为c,d,g(x)图象与x轴交点横坐标为a,b.又a>b,c>d,则由图象得,a>c>d>b.故选A.6.A解析当集合S中有3个元素时,若S={1,2,4},则T={2,4,8},S∪T中有4个元素;若S={2,4,8},则T={8,16,32},S∪T中有5个元素,故排除C,D;当集合S中有4个元素时,若S={2,4,8,16},则T={8,16,32,64,128},S∪T={2,4,8,16,32,64,128},包含7个元素,排除选项B.下面来说明选项A的正确性:设集合S={a1,a2,a3,a4},且a1<a2<a3<a4,a1,a2,a3,a4∈N*,则a1a2<a1a4,且a1a2,a2a4∈T,则S,同理S,S,S,S,S,且若a1=1,则a2≥2,=a2,则<a3,故=a2,即a3=,=a2,则a4=a3a2=故S={1,a2,},此时{a2,}⊆T,可得S,这与S矛盾,故舍去.若a1≥2,则<a3,故=a2,=a1,即a3=,a2=又a4>>1,故=a1,所以a4=,故S={a1,},此时{}⊆T.若b∈T,不妨设b>,则S,故,i=1,2,3,4,故b=,i=1,2,3,4,即b∈{},其他情况同理可证.故{}=T,此时S∪T={a1,},即S∪T中有7个元素.故A正确.7.D解析根据题意画出函数f(x)的图象,如图所示,因为函数g(x)=f(x)+a有三个零点,即函数y=f(x)与函数y=-a有三个交点,当直线l 位于直线l1与直线l2之间时,符合题意,由图象可知,x1+x2=2x3<,所以x1+x2+x3<故选D.8.BCD解析z=1+cos2θ+isin2θ=2cosθ(cosθ+isinθ),∵-<θ<,∴cosθ>0,sinθ∈(-1,1),则复数z在复平面上对应的点不可能落在第二象限,故A错误;当θ=0时,z=2,则z可能为实数,故B正确;|z|=====2cosθ,故C正确;tanθ,所以的实部为,故D正确.故选BCD.9.ACD解析由题可知,该几何体为正四棱锥,如图所示.对于A,可假设AE与BF共面,由图可知,点F不在平面ABE中,与假设矛盾,故A正确;对于B,因E,F为BP,CP中点,故EF ∥BC,又四边形ABCD为正方形,所以AD∥BC,故EF∥AD,所以A,D,E,F四点共面,故B 错误;对于C,由B可知,EF∥AD,又AD⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,故直线EF∥平面PAD,故C正确;对于D,因为EF∥BC,又BC⊂平面ABCD,EF⊄平面ABCD,故直线EF∥平面ABCD,D正确.故选ACD.10.BD解析对于A,可知函数单调递增,则若定义域为[m,n]时,值域为[2m,2n],故f(x)=2x 不存在“和谐区间”;对于B,f(x)=3-,可假设在x∈(0,+∞)存在“和谐区间”,函数为增函数,若定义域为[m,n]时,值域为[m,n],则解得(符合)(舍去)故函数存在“和谐区间”;对于C,f(x)=x2-2x,对称轴为x=1,当x∈(-∞,1)时,函数f(x)单调递减,若定义域为[m,n]时,值域为[m,n],则满足解得m=n=0,故与题设矛盾;同理当x∈(1,+∞)时,应满足解得m=n=3,所以f(x)=x2-2x 不存在“和谐区间”;对于D,f(x)=ln x+2在(0,+∞)内单调递增,则应满足可将解析式看作h(x)=ln x,g(x)=x-2,由图可知,两函数图象有两个交点,则存在“和谐区间”.故选BD.11.BD解析由题知f'(x)=3x2+a.对于A,由f(x)是奇函数,知b=0,因为a<0,所以f(x)存在两个极值点,由f(0)=0,易知f(x)有三个零点,故A错误;对于B,因为b2+1≥1,所以a≥0,f'(x)≥0,所以f(x)单调递增,则f(x)仅有一个零点,B 正确;对于C,若取b=2,f'(x)=3x2-3,则f(x)的极大值为f(-1)=4,极小值为f(1)=0,此时f(x)有两个零点,C错误;对于D,f(x)的极大值为f=b-,极小值为f=b+因为a<0,所以b2+>b2+>0,所以b2>-,则b>-或b<,从而f<0或f>0,可知f(x)仅有一个零点,D正确.12.1解析∵a⊥b,∴a·b=2-2m=0,解得m=1.13.(0,+∞)解析由题意令g(x)=,则g'(x)=,∵f(x)>f'(x),∴g'(x)<0,故函数g(x)=在R上单调递减.∵y=f(x)-1是奇函数,∴f(0)-1=0,即f(0)=1,g(0)=1,则不等式f(x)<e x等价为<1=g(0),即g(x)<g(0),解得x>0.14解析因f(x)=所以函数在区间(0,1],(1,+∞)内是单调函数.令0<a≤1,b>1,又f(a)=f(b),得1-ln a=-1+ln b,所以ln ab=2,即ab=e2.设y=,令y'==0,则b=e,即函数在(1,e]内单调递减,在(e,+∞)内单调递增,所以当b=e时,有最小值,最小值为15+1解析由sin A,sin B,sin C成等差数列可得,2sin B=sin A+sin C, 所以2b=a+c,即b=又cos B=,化简可得cos B=当且仅当a=c时取等号.又B∈(0,π),所以B令f(B)=sin2B+2cos B,则f'(B)=2cos2B-2sin B=2-4sin2B-2sin B=-4(sin B+1).当sin B>,即B时,f'(B)<0;当sin B<,即B时,f'(B)>0.则f(B)=sin2B+2cos B在内单调递增,在内单调递减,所以f(B)max=f=sin+2cos,由f(0)=sin0+2cos0=2,f=sin+2cos+1,所以f(B)min=f+1,所以sin2B+2cos B的最小值为+1,最大值为。

第一练一、选择题1.下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,π2)上单调递增的是( ) A.y=2x -sin xB.y=2x -(12)xC.y=sin x-xD.y=x-cos x答案 B 对于选项A,令f(x)=2x -sin x,由f(-x)=2-x -sin(-x)=(12)x+sin x ≠-f(x),可知y=2x -sin x 不是奇函数,排除选项A;对于选项B,令g(x)=2x -(12)x ,由g(-x)=2-x -(12)-x=(12)x -2x =-2x -(12)x=-g(x),可知y=2x -(12)x 是奇函数,因为y=2x 在(0,π2)上单调递增,y=-(12)x在(0,π2)上单调递增,所以y=2x -(12)x在(0,π2)上单调递增,故选项B 正确;对于选项C,易知y=sin x-x 为奇函数,因为x ∈(0,π2)时,y'=cos x-1<0,所以y=sin x-x 在(0,π2)上单调递减,排除选项C;易知y=x-cos x 不是奇函数,排除选项D.故选B.2.已知直线l:x+y-5=0与圆C:(x-2)2+(y-1)2=r 2(r>0)相交所得的弦长为2√2,则圆C 的半径r=( ) A.√2B.2C.2√2D.4答案 B 依题意知圆C 的圆心为(2,1),圆心到直线l 的距离d=√22=√2,又弦长为2√2,所以2√r 2-d 2=2√2,所以r=2,故选B. 3.设a=(57)37,b=(37)57,c=(37)37,则a,b,c 的大小关系为( )A.b<c<aB.a<b<cC.a<c<bD.c<a<b答案 A 因为y=(37)x单调递减,且b=(37)57,c=(37)37,所以b<c. 因为y=x37在(0,+∞)上单调递增,a=(57)37,c=(37)37,所以c<a.综上,b<c<a.故选A.4.已知f(x)=13x 3+ax 2+(b-4)x(a>0,b>0)在x=1处取得极值,则2a +1b 的最小值为( ) A.3+2√23B.3+2√2C.3D.2√2答案 C 由f(x)=13x 3+ax 2+(b-4)x(a>0,b>0),得f '(x)=x 2+2ax+b-4.由题意得f '(1)=12+2a+b-4=0,则2a+b=3,所以2a +1b =(2a +1b )×2a+b 3=13(2a +1b )(2a+b)=13(5+2b a+2ab)≥13(5+2√2b a ·2ab)=3,当且仅当2b a =2ab ,即a=b=1时,等号成立.故2a +1b 的最小值为3.故选C. 二、填空题5.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2AA 1,则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为 . 答案 15解析 如图,连接A 1D,BD,因为A 1D ∥B 1C,所以∠BA 1D 或其补角即A 1B 与B 1C 所成的角.设A 1A=1,则AB=BC=2,在△A 1BD 中,A 1B=A 1D=√5,BD=2√2,所以cos ∠BA 1D=A 1D 2+A 1B 2-BD 22A 1D ·A 1B=5+5-82×5=15.6.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 1+2S 2=3S 3,则{a n }的公比为 . 答案 -13解析 通解:设公比为q,当q=1时,S 1,S 2,S 3不满足S 1+2S 2=3S 3.当q ≠1时,由S 1+2S 2=3S 3,可得a 1+2·a 1(1-q 2)1-q=3·a 1(1-q 3)1-q ,即1-q+2-2q 2=3-3q 3,即3q 3-2q 2-q=0,所以q(q-1)·(3q+1)=0,因为q ≠0且q ≠1,所以q=-13.优解:设公比为q,由S 1+2S 2=3S 3可得a 1+2(a 1+a 2)=3(a 1+a 2+a 3),a 3a 2=-13,即q=-13.三、解答题7.已知在△ABC 中,a,b,c 分别是角A,B,C 所对边的长,bcos B 是acos C 和ccos A 的等差中项. (1)求角B;(2)若△ABC 的面积S △ABC =√3cos B,且b=√3,求△ABC 的周长. 解析 (1)由已知得acos C+ccos A=2bcos B, 由正弦定理得sin Acos C+sin Ccos A=2sin Bcos B, 即sin(A+C)=2sin Bcos B.∵A+C=π-B,∴sin(A+C)=sin B,∴sin B=2sin Bcos B. 易知sin B>0,∴cos B=12.又B ∈(0,π),∴B=π3. (2)由S △ABC =√3cos B 得12acsin B=√3cos B, 由(1)知B=π3,代入上式得ac=2. ∴b 2=a 2+c 2-2accos B=a 2+c 2-ac=3,∴(a+c)2=3+3ac=9,∴a+c=3,∴△ABC的周长为3+√3.8.如图,在多面体ABCDE中,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,△ABC是边长为2的等边三角形,BD=CD=√5,AE=2.(1)求证:平面EBD⊥平面BCD;(2)求二面角A-EB-D的余弦值.解析(1)证明:取BC的中点O,连接AO,DO.因为BD=CD=√5,所以DO⊥BC,DO=√CD2-OC2=2.又因为DO⊂平面BCD,平面BCD∩平面ABC=BC,平面BCD⊥平面ABC,所以DO⊥平面ABC.因为AE⊥平面ABC,所以AE∥DO.又因为DO=2=AE,所以四边形AODE为平行四边形,所以ED∥AO.因为△ABC为等边三角形,所以AO⊥BC.又因为AO⊂平面ABC,平面BCD∩平面ABC=BC,平面BCD⊥平面ABC,所以AO⊥平面BCD,所以ED⊥平面BCD.又因为ED⊂平面EBD,所以平面EBD⊥平面BCD.(2)由(1)得,AO⊥平面BCD,因为DO⊂平面BCD,所以AO⊥DO,又DO⊥BC,AO⊥BC,故以OB,AO,OD所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则A(0,-√3,0),B(1,0,0),D(0,0,2),E(0,-√3,2). 设平面ABE 的法向量为m=(x 1,y 1,z 1), AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-√3,2), 则{m ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1+√3y 1=0,m ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x 1-√3y 1+2z 1=0,取x 1=√3,则m=(√3,-1,0).设平面BED 的法向量为n=(x 2,y 2,z 2), BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-√3,2), 则{n ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x 2+2z 2=0,n ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x 2-√3y 2+2z 2=0,取x 2=2,得n=(2,0,1). 所以cos<m,n>=m ·n|m||n|=√155. 设二面角A-EB-D 的平面角为θ, 由图可知θ为钝角,所以cos θ=-√155.。

题型强化练1 客观题8+4+4标准练(A )一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020天津滨海新区联考,1)设集合U={x|x ≥-1},A={1,3,5,7},B={x|x>5},则A ∩∁U B=( ) A.{1,3,5} B.{3,5}C.{1,3}D.{1,3,5,7}2.(2020山东日照二模,2)在复平面内,已知复数z 对应的点与复数1+i 对应的点关于实轴对称,则z i=( )A.1+iB.-1+iC.-1-iD.1-i 3.(2020北京西城二模,6)设a=30.2,b=log 32,c=log 0.23,则 ( )A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c4.(2020山东日照一模,3)南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上提出祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.其含义是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等,如图,夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V 1,V 2,被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S 1,S 2,则“S 1,S 2总相等”是“V 1,V 2相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2019广东深圳适应性考试,文8)已知△ABC 是边长为1的等边三角形,D ,E 分别是边AB ,BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得DE=2EF ,则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( ) A.-58 B.118C.14D.186.(2020广东东莞一模,8)函数y=cos x ·2x +12x -1的部分图象大致为( )7.(2020河北石家庄5月检测,8)若双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2+y2-4y+2=0所截得的弦长为2,则双曲线C的离心率为()A.√3B.2√33C.2D.√28.(2020山东聊城一模,8)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,为了纪念数学家高斯,人们把函数y=[x],x∈R称为高斯函数,其中[x]表示不超过x的最大整数.设{x}=x-[x],则函数f(x)=2x{x}-x-1的所有零点之和为()A.-1B.0C.1D.2二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(2020海南线上诊断测试,9)如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图,则下列判断正确的是()A.1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了13B.1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C.2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D.2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率10.(2020山东德州一模,10)1970年4月24日,我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”,从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时,其运行速度是变化的,速度的变化服从面积守恒规律,即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ,2c ,下列结论正确的是( )A.卫星向径的取值范围是[a-c ,a+c ]B.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大,椭圆轨道越扁平D.卫星运行速度在近地点时最大,在远地点时最小11.(2020山东淄博一模,10)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P ,Q 分别为棱BC 和棱CC 1的中点,则下列说法正确的是( ) A.BC 1∥平面AQPB.平面APQ 截正方体所得截面为等腰梯形C.A 1D ⊥平面AQPD.异面直线QP 与A 1C 1所成的角为60°12.(2020海南海南中学月考,12)已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在x=1处取得最大值,且最小正周期为2,则下列说法正确的有( ) A.函数f (x-1)是奇函数B.函数f (x+1)是偶函数C.函数f (x+2)在[0,1]上单调递增D.函数f (x+3)是周期函数三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2020山东泰安考前模拟,14)(x -1x )(1-x )4的展开式中x 3的系数为 .14.《九章算术》中的“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则该竹子最上面一节的容积为 升. 15.(2019四川攀枝花统考,文16)已知函数f (x )=(x -b )2-lnx x (b ∈R ).若存在x ∈[1,2],使得f (x )+xf'(x )>0,则实数b 的取值范围是 .16.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的表面上,AB=3,异面直线AC 1与BC 所成角的余弦值为310,则球O 的表面积为 .题型强化练题型强化练1 客观题8+4+4标准练(A )1.A 解析 由题意∁U B={x|-1≤x ≤5},∴A ∩∁U B={1,3,5}. 2.C 解析 由题意得z=1-i,所以zi =1-ii =i+1-1=-1-i .3.B 解析 指数函数y=3x 为R 上的增函数,则a=30.2>30=1;对数函数y=log 3x 为(0,+∞)内的增函数,则log 31<log 32<log 33,即0<b<1;对数函数y=log 0.2x 为(0,+∞)内的减函数,则c=log 0.23<log 0.21=0.故a>b>c.4.A 解析 根据祖暅原理,当S 1,S 2总相等时,V 1,V 2相等,所以充分性成立;当两个完全相同的四棱台,一正一反的放在两个平面之间时,此时体积固然相等但截得的面积未必相等,所以必要性不成立.所以“S 1,S 2总相等”是“V 1,V 2相等”的充分不必要条件.5.D 解析 由DE=2EF ,可得DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DE ⃗⃗⃗⃗⃗ .如图所示,连接AE ,则AE ⊥BC ,所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0+12·|DE ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos π3=0+12×12×1×12=18.故选D .6.A 解析 令f (x )=y=cos x ·2x+12x -1(x ≠0),则f (-x )=cos(-x )·2-x+12-x -1=cos x ·12x +112x -1=cos x ·2x +11-2x =-f (x ),所以函数f (x )为奇函数,可排除B,D; 当x ∈(0,π2)时,cos x>0,2x +12x -1>0,所以f (x )>0,故排除C.7.C 解析 双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±ba x ,由对称性,不妨取y=ba x ,即bx-ay=0.圆x 2+y 2-4y+2=0可化为x 2+(y-2)2=2,其圆心的坐标为(0,2),半径为√2. 圆心(0,2)到渐近线的距离d=√(√2)2-12=1. 由点到直线的距离公式,可得√b +a 2=2a c =2e =d=1,所以e=2.8.A 解析 由题意知,当x=0时,f (x )=-1,所以0不是函数f (x )的零点.当x ≠0时,由f (x )=2x {x }-x-1=0可得,2{x }=1x +1,令y 1=2{x }=2x-2[x ],y 2=1x +1,作出函数y 1=2{x }=2x-2[x ],y 2=1x +1的图象如图所示, 由图象可知,除点(-1,0)外,函数y 1=2{x }=2x-2[x ],y 2=1x +1图象其余交点关于(0,1)中心对称,所以横坐标互为相反数.由函数零点的定义知,函数f (x )=2x {x }-x-1的所有零点之和为-1.9.ABC 解析 1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例,其中西安32例,所以西安所占比例为3287>13,故A 正确;由曲线图可知,1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势,故B 正确;2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了213-116=97(例),故C 正确;2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率为98-8888=544,2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例的增长率为88-7474=737,显然737>544,故D 错误.10.ABD解析根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a-c,a+c],故A正确;当卫星在左半椭圆弧运行时,对应的面积更大,根据面积守恒规律,速度应更慢,故B 正确;a-c a+c =1-e1+e=21+e-1,比值越大,则e越小,椭圆轨道越接近于圆,故C错误.根据面积守恒规律,卫星在近地点时向径最小,故速度最大,在远地点时向径最大,故速度最小,故D正确.11.ABD解析如图,因为P,Q分别为棱BC和棱CC1的中点,所以PQ∥BC1, 又因为BC1⊄平面AQP,PQ⊂平面AQP,由线面平行的判定定理,知BC1∥平面AQP,故A正确;由AD1∥PQ,知平面APQ截正方体所得截面为四边形APQD1,又因为PQ≠AD1,所以四边形APQD1是等腰梯形,故B正确;若A1D⊥平面AQP,则A1D⊥AP,又因为AA1⊥AP,AA1∩A1D=A1,所以AP⊥平面A1AD,而AB⊥平面A1AD,这与垂直于同一平面的两条直线平行矛盾,故C不正确;异面直线QP与A1C1所成的角为∠A1C1B,而△A1C1B为等边三角形,故D正确. 12.BCD解析因为f(x)=A sin(ωx+φ)的最小正周期为2,所以2=2πω,所以ω=π.又因为f(x)=A sin(ωx+φ)在x=1处取得最大值,所以ω+φ=2kπ+π2(k∈Z).所以φ=2kπ-π2(k∈Z).所以f(x)=A sin(ωx+φ)=-A cos πx.设g(x)=f(x-1)=-A cos [π(x-1)]=A cos πx,因为g(-x)=A cos [π(-x)]=A cos πx=g(x),所以g(x)=f(x-1)是偶函数,故A不正确;设h (x )=f (x+1)=-A cos [π(x+1)]=A cos πx ,因为h (-x )=A cos [π(-x )]=A cos πx=h (x ),所以h (x )=f (x+1)是偶函数,故B 正确; 设m (x )=f (x+2)=-A cos [π(x+2)]=-A cos πx ,因为x ∈[0,1],所以πx ∈[0,π],又因为A>0,所以函数m (x )=f (x+2)在[0,1]上单调递增,故C 正确; 设n (x )=f (x+3)=-A cos [π(x+3)]=A cos πx ,函数n (x )最小正周期为2ππ=2,故D 正确.13.5 解析 (1-x )4的通项为T r+1=C 4r 14-r (-x )r =(-1)r C 4r x r ,令r=2,此时x 3的系数为(-1)2C 42=6,令r=4,此时x 3的系数为-(-1)4C 44=-1,则x 3的系数为6-1=5.14.1322 解析 设竹子自上而下各节的容积分别为a 1,a 2,…,a 9,且为等差数列,根据题意得{a 1+a 2+a 3+a 4=3,a 7+a 8+a 9=4,即{4a 1+6d =3,3a 1+21d =4,解得a 1=1322,故最上面一节的容积为1322升.15.-∞,74解析 ∵f (x )=(x -b )2-lnx x ,x>0,∴f'(x )=2x (x -b )-1-(x -b )2+lnxx 2,∴f (x )+xf'(x )=(x -b )2-lnx x +2x (x -b )-1-(x -b )2+lnxx=2x (x -b )-1x. 存在x ∈[1,2],使得f (x )+xf'(x )>0,即2x (x-b )-1>0,∴b<x-12x 在[1,2]上有解. 设g (x )=x-12x (1≤x ≤2),∴b<g (x )max .g (x )=x-12x 在[1,2]上为增函数, 故g (x )max =g (2)=74,∴b<74. 故实数b 的取值范围是-∞,74. 16.28π 解析 由题意BC ∥B 1C 1,所以∠AC 1B 1或其补角为异面直线AC 1与BC 所成的角.设AA 1=b ,在△AC 1B 1中,AB 1=AC 1,则cos ∠AC 1B 1=12B 1C 1AC 1=12·√32+b =310,所以AA 1=b=4.设外接球的半径为R ,底面外接圆的半径为r ,则R 2=r 2+(b 2)2.因为底面为等边三角形,所以2r=3sin π3,即r=√3,所以R 2=3+4=7,所以球O 的表面积为4π×7=28π.。

高考二轮数学步步题 高考填空题的常用方法答案1解：.)2(,)4()2(j m mi b a j m i m b a +-=--++=+∵)()(b a b a -⊥+，∴0)()(=-⋅+b a b a ∴0)4)(2()]4()2([)2(222=-+-⋅-++-++j m m j i m m m j m m ，而i ，j 为互相垂直的单位向量，故可得,0)4)(2()2(=-+-+m m m m ∴2-=m 。

2解：22121)(+-+=++=x a a x ax x f ，由复合函数的增减性可知，221)(+-=x a x g 在),2(+∞-上为增函数，∴021<-a ，∴21>a 。

3解：由题设，此人猜中某一场的概率为31，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为1331。

4．解：特殊化：令5,4,3===c b a ，则△ABC 为直角三角形，0cos ,53cos ==C A ，从而所求值为53。

5．解：设k = 0，因抛物线焦点坐标为),41,0(a 把直线方程a y 41=代入抛物线方程得ax 21±，∴a FQ PF 21||||==，从而a qp 411=+。

6．分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令 0=a ，得结果为23。

7．解：根据不等式解集的几何意义，作函数24x x y -=和函数x a y )1(-=的图象（如图），从图上容易得出实数a 的取值范围是[)+∞∈,2a 。

8．解：=+)21arctan3sin(π)21sin(arctan 21)21cos(arctan 23+， 构造如图所示的直角三角形，则其中的角θ即为21arctan ，从而 .51)21sin(arctan ,52)21cos(arctan ==所以可得结果为101525+。

9．解：1-x y 可看作是过点P （x ，y ）与M （1，0）的直线的斜率，其中点P 的圆3)3(22=+-y x 上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率1-x y 最大，最大值为3tan =θ。

专题一 选择、填空题常用的10种解法 抓牢小题，保住基本分才能得高分________________________________________________________________________ 原则与策略：1.基本原则：小题不用大做．2.基本策略：充分利用题干和选项所供应的信息作出推断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，选择题可先排解后求解．解题时应认真审题、深化分析、正确推演运算、谨防疏漏． 题型特点：1.高中低档题，且多数按由易到难的挨次排列.2.留意基本学问、基本技能与思想方法的考查.3.解题方法机敏多变不唯一.4.具有较好的区分度，试题层次性强.方法一 定义法所谓定义法，就是直接利用数学定义解题，数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来的．简洁地说，定义是对数学实体的高度抽象，用定义法解题是最直接的方法．一般地，涉及圆锥曲线的顶点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决．[例1] 如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 216－y 29＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1A |＝|F 1F 2|，则C 2的离心率是( )A.56B.23C.25D.45解析：由双曲线C 1的方程可得|F 1F 2|＝216＋9＝10， 由双曲线的定义可得|F 1A |－|F 2A |＝216＝8， 由已知可得|F 1A |＝|F 1F 2|＝10， 所以|F 2A |＝|F 1A |－8＝2.设椭圆的长轴长为2a ，则由椭圆的定义可得2a ＝|F 1A |＋|F 2A |＝10＋2＝12. 所以椭圆C 2的离心率e ＝2c 2a ＝1012＝56.故选A.答案：A[增分有招] 利用定义法求解动点的轨迹或圆锥曲线的有关问题，要留意动点或圆锥曲线上的点所满足的条件，机敏利用相关的定义求解．如[本例]中依据双曲线的定义和已知条件，分别把A 到两个焦点的距离求出来，然后依据椭圆定义求出其长轴长，最终就可依据离心率的定义求值． [技法体验]1．(2021·广州模拟)假如P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( ) A ．n ＋10 B ．n ＋20 C ．2n ＋10D ．2n ＋20解析：由题意得，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义，可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，故|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋n ＝n ＋10，选A. 答案：A2．(2022·高考浙江卷)设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________． 解析：借助双曲线的定义、几何性质及余弦定理解决．∵双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，∴|F 1F 2|＝4，||PF 1|－|PF 2||＝2.若△F 1PF 2为锐角三角形，则由余弦定理知|PF 1|2＋|PF 2|2－16>0，可化为(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|>16①.由||PF 1|－|PF 2||＝2，得(|PF 1|＋|PF 2|)2－4|PF 1||PF 2|＝4.故2|PF 1||PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|2－42，代入不等式①可得(|PF 1|＋|PF 2|)2>28，解得|PF 1|＋|PF 2|>27.不妨设P 在左支上，∵|PF 1|2＋16－|PF 2|2>0，即(|PF 1|＋|PF 2|)·(|PF 1|－|PF 2|)>－16，又|PF 1|－|PF 2|＝－2，∴|PF 1|＋|PF 2|<8.故27<|PF 1|＋|PF 2|<8. 答案：(27，8)方法二 特例法特例法，包括特例验证法、特例排解法，就是充分运用选择题中单选题的特征，解题时，可以通过取一些特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊向量等对选项进行验证的方法．对于定性、定值的问题可直接确定选项；对于其他问题可以排解干扰项，从而获得正确结论．这是一种求解选项之间有着明显差异的选择题的特殊化策略．[例2] (2022·高考浙江卷)已知实数a ，b ，c ( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 解析：结合特殊值，利用排解法选择答案． 对于A ，取a ＝b ＝10，c ＝－110， 明显|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2>100，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立．对于B ，取a 2＝10，b ＝－10，c ＝0， 明显|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2＝110，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立．对于C ，取a ＝10，b ＝－10，c ＝0，明显|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2＝200，即a 2＋b 2＋c 2<100不成立． 综上知，A ，B ，C 均不成立，所以选D. 答案：D[增分有招] 应用特例排解法的关键在于确定选项的差异性，利用差异性选取一些特例来检验选项是否与题干对应，从而排解干扰选项． [技法体验]1．函数f (x )＝cos x ·log 2|x |的图象大致为( )解析：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (12)＝cos 12log 2|12|＝－cos 12，f (－12)＝cos(－12)·log 2|－12|＝－cos 12，所以f (－12)＝f (12)，排解A ，D ；又f (12)＝－cos 12＜0，故排解C.综上，选B. 答案：B2．已知E 为△ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB →＝a ，AC →＝b ，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP →＝m a ，AQ →＝n b ，则1m ＋1n＝( )A ．3B ．4C ．5D.13解析：由于题中直线PQ 的条件是过点E ，所以该直线是一条“动”直线，所以最终的结果必定是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．法一：如图1，PQ ∥BC ，则AP →＝23AB →，AQ →＝23AC →，此时m ＝n ＝23，故1m ＋1n＝3.故选A.法二：如图2，取直线BE 作为直线PQ ，明显，此时AP →＝AB →，AQ →＝12AC →，故m ＝1，n ＝12，所以1m ＋1n ＝3.故选A.答案：A方法三 数形结合法数形结合法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用分为两种情形：一是代数问题几何化，借助形的直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是几何问题代数化，借助于数的精确性阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．[例3] (2021·安庆模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0ln x ，e －2≤x ≤e ，g (x )＝x 2－2x ，设a 为实数，若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,3]C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，3]解析：∵g (x )＝x 2－2x ，a 为实数，∴2g (a )＝2a 2－4a .∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0ln x ，e －2≤x ≤e ，作出函数f (x )的图象可知，其值域为[－2,6]，∵存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，∴－2≤2a 2－4a ≤6，即－1≤a ≤3， 故选B.答案：B[增分有招] 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，如[本例]中求解，可通过作出图象，数形结合求解． [技法体验]1．(2021·珠海摸底)已知|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°解析：通解：设a 与b 的夹角为θ，由已知可得a 2＋2a ·b ＋b 2＝3(a 2－2a ·b ＋b 2)，即4a ·b ＝a 2＋b 2，由于|a |＝|b |，所以a ·b ＝12a 2，所以cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12，θ＝60°，选C.优解：由|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |可构造边长为|a |＝|b |＝1的菱形，如图，则|a ＋b |与|a －b |分别表示两条对角线的长，且|a ＋b |＝3，|a －b |＝1，故a 与b 的夹角为60°，选C. 答案：C2．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，则点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线的焦点F 的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( ) A ．(14，1)B ．(14，－1)C ．(1,2)D ．(1，－2)解析：如图，由于点Q (2，－1)在抛物线的内部，由抛物线的定义可知，|PF |等于点P 到准线x ＝－1的距离．过Q (2，－1)作x ＝－1的垂线QH ，交抛物线于点K ，则点K 为点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到准线x ＝－1的距离之和取得最小值时的点．将y ＝－1代入y 2＝4x 得x ＝14，所以点P 的坐标为(14，－1)，选B.答案：B方法四 待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后依据所给条件来确定这些未知系数的方法叫作待定系数法，其理论依据是多项式恒等——两个多项式各同类项的系数对应相等．使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决．待定系数法主要用来解决所求解的数学问题具有某种确定的数学表达式，例如数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等． [例4] (2021·天津红桥区模拟)已知椭圆C 的焦点在y 轴上，焦距等于4，离心率为22，则椭圆C 的标准方程是( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1C.x 24＋y 28＝1 D.x 28＋y 24＝1 解析：由题意可得2c ＝4，故c ＝2，又e ＝2a ＝22，解得a ＝22，故b ＝222－22＝2，由于焦点在y 轴上，故选C. 答案：C[增分有招] 待定系数法主要用来解决已经定性的问题，如[本例]中已知椭圆的焦点所在坐标轴，设出标准方程，依据已知列方程求解． [技法体验]1．若等差数列{a n }的前20项的和为100，前45项的和为400，则前65项的和为( ) A ．640 B ．650 C ．660D ．780解析：设等差数列{a n}的公差为d ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 20a 1＋20×192d ＝10045a 1＋45×442d ＝400⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9245d ＝1445，则前65项的和为65a 1＋65×642d ＝65×9245＋65×642×1445＝780.答案：D2．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，则f (π4)的值为( )A. 2 B ．0 C ．1D. 3解析：由题图可知，A ＝2，34T ＝11π12－π6＝34π，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由f (π6)＝2sin(2×π6＋φ)＝2得2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又0＜φ＜π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)，∴f (π4)＝2sin(2×π4＋π6)＝2cos π6＝3，故选D.答案：D 方法五 估值法估值法就是不需要计算出代数式的精确 数值，通过估量其大致取值范围从而解决相应问题的方法．该种方法主要适用于比较大小的有关问题，尤其是在选择题或填空题中，解答不需要具体的过程，因此可以猜想、合情推理、估算而获得，从而削减运算量．[例5] 若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a解析：由指数函数的性质可知y ＝2x在R 上单调递增，而0<0.5<1，所以a ＝20.5∈(1,2)．由对数函数的性质可知y ＝log πx ，y ＝log 2x 均在(0，＋∞)上单调递增，而1<3<π，所以b ＝log π3∈(0,1)；由于sin 2π5∈(0,1)，所以c ＝log 2sin 2π5<0.综上，a >1>b >0>c ，即a >b >c .故选A. 答案：A[增分有招] 估算，省去很多推导过程和比较简单的计算，节省时间，是发觉问题、争辩问题、解决问题的一种重要的运算方法．但要留意估算也要有依据，如[本例]是依据指数函数与对数函数的单调性估量每个值的取值范围，从而比较三者的大小，其实质就是找一个中间值进行比较． [技法体验]已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π.若f (x )>1对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3恒成立，则φ的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3D.⎝⎛⎦⎥⎤π6，π2解析：由于函数f (x )的最小值为－2＋1＝－1，由函数f (x )的图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π可得，该函数的最小正周期为T ＝π，所以2πω＝π，解得ω＝2.故f (x )＝2sin(2x ＋φ)＋1.由f (x )>1，可得sin(2x ＋φ)>0.又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3，所以2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3.对于选项B ，D ，若取φ＝π2，则2x ＋π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，7π6，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π，7π6上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意；对于选项C ，若取φ＝π12，则2x ＋π12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，3π4，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0上，sin(2x ＋φ)<0，不合题意．选A.答案：A方法六 反证法反证法是指从命题正面论证比较困难，通过假设原命题不成立，经过正确的推理，最终得出冲突，因此说明假设错误，从而证明白原命题成立的证明方法．反证法证明问题一般分为三步：(1)反设，即否定结论；(2)归谬，即推导冲突；(3)得结论，即说明命题成立．[例6] 已知x ∈R ，a ＝x 2＋32，b ＝1－3x ，c ＝x 2＋x ＋1，则下列说法正确的是( )A ．a ，b ，c 至少有一个不小于1B ．a ，b ，c 至多有一个不小于1C ．a ，b ，c 都小于1D ．a ，b ，c 都大于1解析：假设a ，b ，c 均小于1，即a <1，b <1，c <1，则有a ＋b ＋c <3，而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋72＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋3≥3.明显两者冲突，所以假设不成立．故a ，b ，c 至少有一个不小于1.选A. 答案：A[增分有招] 反证法证明全称命题以及“至少”“至多”类型的问题比较便利．其关键是依据假设导出冲突——与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实冲突或自相冲突．如[本例]中导出等式的冲突，从而说明假设错误，原命题正确． [技法体验]假如△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：由条件知△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形． 假设△A 2B 2C 2是锐角三角形，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1，所以A 2＋B 2＋C 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 1，即π＝3π2－π，明显该等式不成立，所以假设不成立．易知△A 2B 2C 2不是锐角三角形，所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．故选D. 答案：D 方法七 换元法换元法又称帮助元素法、变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者变为生疏的形式，把简单的计算和推证简化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．理论依据是等量代换，目的是变换争辩对象，将问题移至新对象的学问背景中去争辩，从而使非标准型问题标准化、简单问题简洁化．换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等． [例7] 已知正数x ，y 满足4y －2yx＝1，则x ＋2y 的最小值为________．解析：由4y －2y x ＝1，得x ＋2y ＝4xy ，即14y ＋12x ＝1，所以x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫14y ＋12x ＝1＋x 4y ＋y x ≥1＋2x 4y ×yx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x 4y ＝yx ，即x ＝2y 时等号成立.所以x ＋2y 的最小值为2.答案：2[增分有招] 换元法主要有常量代换和变量代换，要依据所求解问题的特征进行合理代换．如[本例]中就是使用常数1的代换，将已知条件改写为“14y ＋12x ＝1”，然后利用乘法运算规律，任何式子与1的乘积等于本身，再将其开放，通过构造基本不等式的形式求解最值． [技法体验]1．(2022·成都模拟)若函数f (x )＝1＋3x＋a ·9x，其定义域为(－∞，1]，则a 的取值范围是( ) A ．a ＝－49B ．a ≥－49C ．a ≤－49D ．－49≤a <0解析：由题意得1＋3x ＋a ·9x≥0的解集为(－∞，1]，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋a ≥0的解集为(－∞，1]．令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则t ≥13，即方程t 2＋t ＋a ≥0的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13＋a ＝0，所以a ＝－49.答案：A2．函数y ＝cos 2x －sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为________．解析：y ＝cos 2x －sin x ＝－sin 2x －sin x ＋1. 令t ＝sin x ，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22，∴y ＝－t 2－t ＋1，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22.∵函数y ＝－t 2－t ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，22上单调递减，∴t ＝0时，y max ＝1.答案：1 方法八 补集法补集法就是已知问题涉及的类别较多，或直接求解比较麻烦时，可以通过求解该问题的对立大事，求出问题的结果，则所求解问题的结果就可以利用补集的思想求得．该方法在概率、函数性质等问题中应用较多． [例8]某学校为了争辩高中三个班级的数学学习状况，从三个班级中分别抽取了1,2,3个班级进行问卷调查，若再从中任意抽取两个班级进行测试，则两个班级不来自同一班级的概率为________． 解析：记高一班级中抽取的班级为a 1，高二班级中抽取的班级为b 1，b 2， 高三班级中抽取的班级为c 1，c 2，c 3.从已抽取的6个班级中任意抽取两个班级的全部可能结果为(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(a 1，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15种．设“抽取的两个班级不来自同一班级”为大事A ，则大事A 为抽取的两个班级来自同一班级． 由题意，两个班级来自同一班级的结果为(b 1，b 2)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共4种． 所以P (A )＝415，故P (A )＝1－P (A )＝1－415＝1115. 所以两个班级不来自同一班级的概率为1115.答案：1115[增分有招] 利用补集法求解问题时，肯定要精确 把握所求问题的对立大事．如[本例]中，“两个班级不来自同一班级”的对立大事是“两个班级来自同一班级”，而高一班级只有一个班级，所以两个班级来自同一班级的可能性仅限于来自于高二班级，或来自于高三班级，明显所包含基本大事的个数较少． [技法体验]1．(2022·四川雅安中学月考)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,3) C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)解析：依题意可知“∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0”为真命题，所以Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，即(a ＋1)·(a －3)＜0，解得－1＜a ＜3.故选B. 答案：B2．已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为________． 解析：f ′(x )＝2ax －1＋1x.(1)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x≥0，得a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.①令t ＝1x ，由于x ∈(1,2)，所以t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， 设h (t )＝12(t －t 2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋18，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，明显函数y ＝h (t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，所以h (1)＜h (t )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即0＜h (t )＜18. 由①可知，a ≥18.(2)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x≤0，得a ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.②结合(1)可知，a ≤0.综上，若函数f (x )在区间(1,2)上单调，则实数a 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞. 所以若函数f (x )在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 方法九 分别参数法分别参数法是求解不等式有解、恒成立问题常用的方法，通过分别参数将问题转化为相应函数的最值或范围问题求解，从而避开对参数进行分类争辩的繁琐过程．该种方法也适用于含参方程有解、无解等问题的解决．但要留意该种方法仅适用于分别参数后能够求解相应函数的最值或值域的状况．[例9] 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是________．解析：由于x >0，则由已知可得a ≥－x －1x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，而当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52， ∴a ≥－52，故a 的最小值为－52.答案：－52[增分有招] 分别参数法解决不等式恒成立问题或有解问题，关键在于精确 分别参数，然后将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系．分别参数时要留意参数系数的符号是否会发生变化，假如参数的系数符号为负号，则分别参数时应留意不等号的变化，否则就会导致错解． [技法体验]1．(2022·长沙调研)若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，518 B ．(－∞，3] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫518，＋∞D ．[3，＋∞)解析：f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间[1,4]上单调递减，则有f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立， 即3x 2－2tx ＋3≤0在[1,4]上恒成立，则t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上恒成立，由于y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在[1,4]上单调递增，所以t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋14＝518，故选C.答案：C2．(2022·湖南五校调研)方程log 12(a －2x)＝2＋x 有解，则a 的最小值为________．解析：若方程log 12(a －2x )＝2＋x 有解，则⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋x ＝a －2x有解，即14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ＝a 有解，∵14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ≥1，故a 的最小值为1. 答案：1 方法十 构造法构造法是指利用数学的基本思想，经过认真的观看，深化的思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决．构造法的内涵格外丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点实行相应的解决方法，其基本的方法是借用一类问题的性质，来争辩另一类问题的相关性质．常见的构造法有构造函数、构造方程、构造图形等． [例10] 已知m ，n ∈(2，e)，且1n 2－1m 2<ln mn，则( )A ．m >nB ．m <nC ．m >2＋1nD ．m ，n 的大小关系不确定解析：由不等式可得1n 2－1m2<ln m －ln n ，即1n 2＋ln n <1m2＋ln m .设f (x )＝1x2＋ln x (x ∈(2，e))，则f ′(x )＝－2x 3＋1x ＝x 2－2x3.由于x ∈(2，e)，所以f ′(x )>0，故函数f (x )在(2，e)上单调递增． 由于f (n )<f (m )，所以n <m .故选A. 答案：A[增分有招] 构造法的实质是转化，通过构造函数、方程或图形等将问题转化为对应的问题来解决．如[本例]属于比较两个数值大小的问题，依据数值的特点，构造相应的函数f (x )＝1x2＋ln x .[技法体验]1．a ＝ln 12 014－12 014，b ＝ln 12 015－12 015，c ＝ln 12 016－12 016，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b解析：令f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1＝1－xx.当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，即函数f (x )在(0,1)上是增函数．∵1＞12 014＞12 015＞12 016＞0，∴a ＞b ＞c .答案：A2．如图，已知球O 的面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．解析：如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝22＋22＋22＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR33＝6π.答案：6π。

2019-2020年高三数学第二轮专题复习填空题解答策略方法课堂资料一、基础知识整合数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题.填空题缺少选择支的信息，故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上.但填空题既不用说明理由，又无须书写过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题.求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫.常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。

下面以一些典型的问题为例，介绍解填空题的几种常用方法与技巧，从中体会到解题的要领：快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意。

二、例题解析(一)直接法：这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果.[例1] 设(1)3,(1),a m i j b i m j =+-=+-其中为互相垂直的单位向量，又，则实数m = 。

[解](2)(4),(2).a b m i m j a b mi m j +=++--=-+∵， ∴,∴其中为互相垂直的单位向，∴.[例2] 已知函数在区间上为增函数，则实数a 的取值范围是 . [解]，由复合函数的增减性可知，在上为增函数，∴，∴.[例3] 现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为 。

[解]由题设，此人猜中某一场的概率为，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为. [例4] 已知si n θ＋cos θ＝，θ ∈(0,π)，则cot θ 的值是 .[解]已知等式两边平方得si n θcos θ＝－，解方程组得si n θ＝，cos θ＝，故答案为：－. [例5] 方程log(x ＋1)＋log ＝5的解是 .[解]依题意得2log(x ＋1)＋log(x ＋1)＝5，即log(x ＋1)＝2,解得x ＝3.(二)特殊化法：当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果.[例6] 已知(1－2x )＝a ＋ax ＋ax ＋…＋ax ，那么a ＋a ＋…＋a ＝ .[解]令x ＝1，则有（－1）＝a ＋a ＋a ＋…＋a ＝－1；令x ＝0,则有a ＝1,所以a ＋a ＋…＋a ＝－1－1=－2.[例7] 在△A B C 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c , 若a 、b 、c 成等差数列，则 。

填空题的特征：填空题是不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”．填空题与选择题也有质的区别：第一，填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误干扰之好处，但也有缺乏提示之不足；第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容(既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活．从历年高考成绩看，填空题得分率一直不是很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分．因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫．2．解填空题的基本原则：解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是“巧做”．解填空题的常用方法有：直接法、数形结合法、特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法等．【方法要点展示】方法一直接法：直接法就是从题干给出的条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，直接得出结论．这种策略多用于一些定性的问题，是解填空题最常用的策略．这类填空题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的，可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法．例1【2015高考湖南】已知32,(),x x a f x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .思路分析：本题是一道函数的零点问题，可转化为不等式组有解的参数，从而得到关于参数a 的不等式，解不等式可求出参数的取值范围.【答案】),1()0,(+∞-∞.无解，方程)(2a x b x >=有2个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>->ab a b 31有解，从而0<a ，综上，实数a 的取值范围是),1()0,(+∞-∞ . 点评：本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题，表面上是函数的零点问题，实际上是将问题等价转化为不等式组有解的问题，结合函数与方程思想和转化思想求解函数综合问题，将函数的零点问题巧妙的转化为不等式组有解的参数，从而得到关于参数a 的不等式，此题是创新题，区别于其他函数与方程问题数形结合转化为函数图象交点的解法，从另一个层面将问题进行转化，综合考查学生的逻辑推理能力.例2【2015高考山东】平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 .思路分析：本题求出双曲线的渐进线方程，与抛物线结合可得A 点坐标，利用垂心可得1OB AF k k ⋅=-，从而建立等式，可求出双曲线的离心率. 【答案】32点评：本题考查了双曲线与抛物线的标准方程与几何性质，意在考查学生对圆锥曲线基本问题的把握以及分析问题解决问题的能力以及基本的运算求解能力，三角形的垂心的概念以及两直线垂直的条件是突破此题的关键.【举一反三】1. 【2015高考天津】在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .【答案】82. 【2015江苏高考】数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 【答案】2011【解析】由题意得：112211(1)()()()1212n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-++-+=+-+++=所以1011112202(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++方法二 特例法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．例3【如东中学2015届高三周练】若函数12()21x x m f x ++=-是奇函数，则m = .思路分析：根据奇函数的特点，带入特殊值即可求出m 的值. 解析：显然)(x f 的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，∴令1,1x x ==-，则021122(1)(1)02121m m f f -++-+=+=--， 则2m =.点评： 特例法的巧妙运用，能大大减少一些复杂的运算．【举一反三】1.如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则AP→·AC→＝________.【答案】18【解析】把平行四边形ABCD看成正方形，则P点为对角线的交点，AC＝6，则AP→·AC→＝18.方法三数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形．例1【2015高考新课标1】在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是.思路分析：本题是一道解三角形题，作出图像，结合图像利用正弦定理可得AB的取值范围．）【答案】点评：本题考查正弦定理及三角公式，作出四边形，发现四个为定值，四边形的形状固定，边BC 长定，平移AD ，当AD 重合时，AB 最长，当CD 重合时AB 最短，再利用正弦定理求出两种极限位置是AB 的长，即可求出AB 的范围，作出图形，分析图形的特点是找到解题思路的关键.【举一反三】1. 【2015高考天津】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ== 则AE AF ⋅的最小值为 . 【答案】2918B A方法四 构造法 构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决． 例5【江西省五校2015届高三第二次联考】D C B A ,,,是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形,AD ⊥平面ABC ，4=AD ，32=AB ,则该球的表面积为_________. 思路分析：本题是一道几何体的结合问题，由所给三棱锥的特征，不难想到是正三棱柱的一部分，而球与正三棱柱的组合是立几考查中常考常新的问题．解析：由题意画出几何体的图形如图，把D C B A ,,,扩展为三棱柱，上下底面的中心连线的中点与A 距离为球的半径，4=AD ，32=AB ，ABC ∆是正三角形，所以22,2==AO AE ，所以球的表面积()ππ322242=.点评：简单几何体与球的组合问题是高考中最常见的问题．通常情况下要去转化构造成常考的、熟悉的做法.【举一反三】1. 已知a ＝ln 12 013－12 013，b ＝ln 12 014－12 014，c ＝ln 12 015－12 015，则a ，b ，c 的大小关系为________． 【答案】a >b >c方法五归纳推理法做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题．归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想．例6【2015届安徽省蚌埠三中月考卷】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为n n＋12＝12n2＋12n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)＝12n2＋12n，正方形数N(n,4)＝n2，五边形数N(n,5)＝32n2－12n，六边形数N(n,6)＝2n2－n ………………………………………可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝____________. 思路分析：本题中如何求出N(n，k)是解题的一个关键，也是一个难点，观察所给条件不难发现运用特殊到一般的规律进行处理，进而求解．点评：归纳推理法在填空题中的运用不是十分严格的，但在本题中不失是一种行之有效的方法，如在解答题中运用是要加以证明的．【举一反三】1. 【2015高考陕西】观察下列等式：1－1122= 1－1111123434+-=+ 1－1111111123456456+-+-=++ …………据此规律，第n 个等式可为______________________. 【答案】111111111234212122n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++ 【解析】观察等式知：第n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n 的连续正整数，等式的右边是111122n n n++⋅⋅⋅+++.故答案为111111111234212122n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++。

2020高考数学专题复习：选择填空压轴(一)高考数学填空题的解题策略：特点：形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确等.解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意.（一）数学填空题的解题方法1、直接法：直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称为直接法.它是解填空题的最基本、最常用的方法.使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法.2、特殊化法：当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.3、数形结合法：对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果.4、等价转化法：通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题，从而得到正确的结果.5、构造法：根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它认识和解决问题的一种方法.6、分析法：根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论.（二）减少填空题失分的检验方法1、回顾检验2、赋值检验.若答案是无限的、一般性结论时，可赋予一个或几个特殊值进行检验，以避免知识性错误.3、逆代检验.若答案是有限的、具体的数据时，可逐一代入进行检验，以避免因扩大自变量的允许值范围而产生增解致错.4、估算检验.当解题过程是否等价变形难以把握时，可用估算的方法进行检验，以避免忽视充要条件而产生逻辑性错误.5、作图检验.当问题具有几何背景时，可通过作图进行检验，以避免一些脱离事实而主观臆断致错.6、变法检验.一种方法解答之后，再用其它方法解之，看它们的结果是否一致，从而可避免方法单一造成的策略性错误.7、极端检验.当难以确定端点处是否成立时，可直接取其端点进行检验，以避免考虑不周全的错误.切记：解填空题应方法恰当，争取一步到位，答题形式标准，避免丢三落四，“一知半解”最后：填空题的结果书写要规范是指以下几个方面：①对于计算填空题，结果往往要化为最简形式，特殊角的三角函数要写出函数值，近似计算要达到精确度要求．如：12不能写成24或写出sin30°等；②所填结果要完整，如多选型填空题，不能漏填；有条件限制的求反函数，不能缺少定义域；求三角函数的定义域、单调区间等，不能缺k∈Z，如：集合{x|x＝kπ，k∈Z}不能写成{x|x＝kπ}等. ③要符合现行数学习惯书写格式，如分数书写常用分数线，而不用斜线形式；求不等式的解集、求函数定义域、值域，结果写成集合或区间形式．等1.若，则ABCS∆的最大值．2.()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ．3.在平面直角坐标系中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 .学科网 设{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=L ，若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = .学科网5.将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=(梯形的周长)2梯形的面积,则S 的最小值是_____ 6.设1271a a a =≤≤≤L ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是7.设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=,},,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=,若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是______________8.平面直角坐标系中，已知点A （１，－２），B （４，０），Ｐ（ａ，１），Ｎ（ａ＋１，１），当四边形PABN 的周长最小时，过三点A 、P 、N 的圆的圆心坐标是9.已知ABC ∆的三边长,,a b c 成等差数列，且22284,a b c ++=则实数ｂ的取值范围是1－xx FEB10.在面积为2的ABC ∆中，E,F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2BC PB PC +⋅ 的最小值是____11.已知关于x 的方程03)2(log 22222=-+++a x a x 有唯一解，则实数a 的值为________12.设)(x f 是定义在R 上的可导函数，且满足0)()('>+x xf x f .则不等式)1(1)1(2-->+x f x x f 的解集为13.在等差数列{}n a 中，52=a ，216=a ，记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为n S ，若1512m S S n n ≤-+对+∈N n 恒成立，则正整数m 的最小值为 ．14.如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则λ+μ的最小值为 ．15.设m ∈N ，若函数存在整数零点，则m 的取值集合为 ．16.已知二次函数c bx ax y ++=2（a ，b ，c 为实数，0≠a ）的图像过点)2,(t C ，且与x 轴交于A ，B 两点，若BC AC ⊥，则a 的值为 .17.已知函数()2()xf x x R =∈，且()()()f xg xh x =+，其中()g x 为奇函数，()h x 为偶函数.若不等式2()(2)0a g x h x ⋅+≥对任意[1,2]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 .18.将函数3322-++-=x x y （[]2,0∈x ）的图象绕坐标原点逆时针旋转θ（θ为锐角），若所得曲线仍是一个函数的图象，则θ的最大值为 .19.方程12sin()1x x π=-在区间[-2020，2020]所有根之和等于20.不等式228()a b b a b λ+≥+对于任意的,a b R ∈恒成立，则实数λ的取值范围为21.定义在R 上的()f x ，满足22()()2[()],,,f m n f m f n m n R +=+∈且(1)0f ≠，则(2012)f 的值为 ．22.已知函数111,[0,)22()12,[,2)2x x x f x x -⎧+∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩若存在12,x x ，当1202x x ≤<<时，12()()f x f x =，则12()x f x 的取值范围是23.已知ABC ∆的三边长,,a b c ，满足b a c a c b 32,32≤+≤+，则ba 的取值范围是24.已知函数()122011122011f x x x x x x x =+++++++-+-++-L L ()x ∈R ，且2(32)(1)f a a f a -+=-，则满足条件的所有整数a 的和是 ．25.已知O 是锐角ABC ∆的外接圆的圆心，若m B CC B 2sin cos sin cos =+,则=m26.已知O 为ABC ∆的外心,2AB AC ==,若(0)AO x AB y AC xy =+≠u u u r u u u r u u u r,且21x y +=,则ABC ∆面积是27.已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，22a =，12b =，且对任意的正整数,,,i j k l ，当i j k l +=+时，都有 i j k l a b a b +=+，则201011()2010i i i a b =+∑的值是28.在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线31y x =-+上的一个动点，点P 处的切线与两个坐标轴交于,A B 两点,则AOB △的面积的最小值为()()()()()()()()()(]()()()[)()()(){}()()()()()[]()()()()()()()()42328.201227.326.sin 25.624.35,4323.21,42222.100621.4,820.402019.318,121717.2116.30,14,3,015.2114.513.2,112.111.32434210.72,629.89,3,258.22,217.36.33325.94.5723.42.22132223A a a a t y C a ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡--⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--≥++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--π2020高考数学专题复习：选择填空压轴(二) 二、选择填空题的解法1.如图，给定两个长度为1的平面向量OA →，OB →，它们的夹角为θ =60°，点C 在以O 为圆心，1为半径的圆弧AB ︵上变动．若OC →= xOA →+yOB →，其中x ，y 为实数，则x+y 的最大值是 ． 2.函数1)12()(2+++=x a x x f 的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是3.已知函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=10.351100.lg x x x x x f 若a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==,则abc 的取值范围是4.设偶函数()f x 满足()()380f x x x =-≥，则(){}20x f x -=＞5.某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a + b 的最大值为 A. 22B. 32C. 4D. 52图16.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论中错误的是（A ）AC BE ⊥（B ）//EF ABCD 平面（C ）三棱锥A BEF -的体积为定值 （D ）异面直线,AE BF 所成的角为定值7.已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面8.0203sin 702cos 10--=（ ）A. 12B. 22C. 2D. 329.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果a 、b 、c 成等差数列，则=++C A CA cos cos 1cos cos ．10.如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为()02,2P -，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为11.等差数列{}n a 中，()(),24231310753=++++a a a a a 则此数列的前13项的和等于12.等差数列{na }前n 项和为nS ．已知1m a -+1m a +-2m a =0，21m S -=262,则m=13.已知1230a a a >>>，则使得2(1)1i a x -<(1,2,3)i =都成立的x 取值范围是（ ）14.已知线段AB=2，点C 满足|AC|=2|AB|，则ΔABC 面积的最大值是 ． 15.数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为 ． 16.若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线x =－2对称，则()f x 的最大值是17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点，4,.10,6,cos ABF ,5AF BF AB AF C e ==∠=连接若则的离心率=.18.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为19.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为20.设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时， （ ）（A ）有极大值，无极小值 （B ）有极小值，无极大值 （C ）既有极大值又有极小值 （D ）既无极大值也无极小值已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的 取值范围是()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-↑⇒=⋅⋅-=-⋅==-==>=-∞-=-⇒-++++=⇒=-=-⎪⎭⎫⎝⎛+∞∞--<⎰⎰∞+∞+21,22121.088422.2'.2',,0,'206192,18751716255252205316.186015.214.2,013.6612.2611.10.549.28.9647.6.45.,40,4.15,103.212.3321223022x f e e g x x e x g x x g x e e x f x x e x f x xe xf x f x x x x f f f a C D a x x xx x x πY1.已知函数f(x)=ex-ln(x+m)．(Ι)设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性（Ⅱ）当m ≤2时，证明f(x)>0． 已知函数()f x ＝2x ax b ++，()g x ＝()xe cx d +，若曲线()yf x =和曲线()yg x =都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+．（Ⅰ）求a,b ，c ，d 的值 （Ⅱ）若x ≥－2时，()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围．3.设函数f(x)=21x e x ax ---.（Ⅰ)若a=0,求f(x)的单调区间;（Ⅱ）若当x ≥0时f(x)≥0，求a 的取值范围.4.已知函数ln ()1a x bf x x x =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（Ⅰ）求a,b 的值 （Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x >+-，求k 的取值范围．5.已知函数32()(3)x f x x x ax b e -=+++.（Ⅰ）如3a b ==-，求()f x 的单调区间（Ⅱ）若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调增加，在(,2),(,)αβ+∞单调减少，证明βα-＞6.6.已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+ （1）求()f x 的解析式及单调区间（2）若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值．7.设函数2()ln()f x x a x =++（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性；（II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于eln 2．8．设函数1()ln x xbe f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ；（Ⅱ）证明：()1f x >.9．已知函数2211ln )(x x x a x f ++=．（1）讨论函数)(x f 的单调性； （2）证明：32ln 2)e )(1(<+---x x x x ．。

姓名，年级：时间：专题二数列第1讲等差数列与等比数列一、选择题1.（2019河南开封定位考试）等比数列｛a n}的前n项和为S n，若a3+4S2=0,则公比q=( )A.-1B.1 C。

—2 D。

2答案 C 因为a3+4S2=0，所以a1q2+4a1+4a1q=0，因为a1≠0,所以q2+4q+4=0，即（q+2）2=0，所以q=-2，故选C。

2.(2019四川八校双教研联考）在公差不为0的等差数列{a n｝中，4a3+a11-3a5=10，a4=（)则15A。

—1 B.0C.1 D。

2答案 C 解法一：设数列{a n｝的公差为d(d≠0),由4a3+a11-3a5=10,得4(a1+2d)+（a1+10d)—3（a1+4d)=10,即2a1+6d=10,即a1+3d=5，故a4=5，所以1a4=1，5故选C。

解法二:设数列{a n}的公差为d（d≠0），因为a n=a m+(n-m)d，所以由a4=1，4a3+a11—3a5=10,得4（a4-d)+(a4+7d）—3(a4+d）=10,整理得a4=5，所以15故选C.解法三：由等差数列的性质，得2a7+3a3-3a5=10，得4a5+a3-3a5=10，即a5+a3=10,a4=1,故选C.则2a4=10,即a4=5，所以153。

（多选)已知数列{a n｝是等比数列,则下列命题正确的是（)A.数列｛|a n|｝是等比数列B 。

数列｛a n a n+1}是等比数列 C.数列{1a n}是等比数列D.数列｛lg a n 2｝是等比数列答案 ABC 因为数列{a n }是等比数列，所以a n+1a n=q （q 为常数).对于A ，|a n+1||a n |=|a n+1a n|=|q|，所以数列{|a n ｜}是等比数列，A 正确;对于B,a n+1a n+2a n a n+1=q 2，所以数列｛a n a n+1}是等比数列，B 正确；对于C,1a n+11a n=a nan+1=1q ,所以数列{1a n}是等比数列,C正确;对于D ，lg a n+12lg a n2=2lg a n+12lg a n=lg a n+1lg a n，不一定是常数，所以D 错误。

第1讲选择、填空题的4种特殊解法方法一特值(例)排除法方法诠释使用前提使用技巧常见问题特例法是根据题设和各选项的具体情况和特点，选取满足条件的特殊的数值、特殊的点、特殊的例子、特殊的图形、特殊的位置、特殊的函数、特殊的方程、特殊的数列等,针对各选项进行代入对照，结合排除法，从而得到正确满足当一般性结论成立时，对符合条件的特殊化情况也一定成立.找到满足条件的合适的特殊化例子，或举反例排除，有时甚至需要两次或两次以上特殊化例子才可以确定结论。

求范围、比较大小、含字母求值、恒成立问题、任意性问题等．而对于函数图象的判别、不等式、空间线面位置关系等不宜直接求解的问题，常通的答案。

过排除法解决。

真题示例技法应用（2019·高考全国卷Ⅰ）函数f(x)＝错误!在[－π，π］的图象大致为（)取特殊值x＝π，结合函数的奇偶性进行排除，答案选D．答案：D（2019·高考全国卷Ⅱ)若a〉b,则( ）A．ln(a－b)〉0 B．3a<3b C．a3－b3>0 D．｜a|>|b|取a＝－1,b＝－2,则a>b，可验证A，B，D错误，只有C正确。

答案:C（2018·高考全国卷Ⅲ）函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为（)当x＝0时，y＝2,排除A，B;当x＝0。

5时,x2>x4，所以此时y>2,排除C，故选D．答案:D（2018·高考全国卷Ⅰ）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ。

在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3,则( )A．p1＝p2B．p1＝p3不妨设△ABC为等腰直角三角形,则易得区域Ⅰ,Ⅱ的面积相等.答案：A等式成立的是（）A．a＋错误!<错误!〈log2（a＋b)B．错误!<log2(a＋b)<a＋错误! C．a＋错误!〈log2(a＋b）<错误!D．log2(a＋b)<a＋错误!<错误!当a＝2，b＝12时，选项A，C,D对应的不等式不成立,故选B．答案：B1．设f(x）＝错误!若f（x0）>3，则x0的取值范围为（）A．(－∞，0）∪（2，＋∞） B．（0，2）C．(－∞，－1）∪（3，＋∞）D．（－1，3)解析：选C．取x0＝1，则f(1）＝12＋1＝错误!〈3，故x0≠1，排除B,D；取x0＝3，则f(3）＝log28＝3，故x0≠3，排除A．故选C．2．如果a1，a2，a3，…，a n为各项都大于零的等差数列,公差d≠0，则下列关系正确的为( )A．a1a8>a4a5B．a1a8〈a4a5C．a1＋a8>a4＋a5D．a1a8＝a4a5解析:选B．取特殊数列，不妨设a n＝n,则a1＝1，a4＝4，a5＝5，a8＝8,经检验，只有选项B成立．3．函数f(x）＝错误!的图象是( ）解析:选C．因为x≠±1，所以排除A；因为f(0)＝1，所以函数f（x）的图象过点(0，1），排除D；因为f错误!＝错误!＝错误!，所以排除B,故选C．4．如图，点P为椭圆x225＋错误!＝1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线，它们相交于点C,过点P引BC，AC的平行线交AC于点N，交BC于点M，交AB于D、E两点，记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2，则S1∶S2＝（）A．1 B．2C．错误!D．错误!解析:选A．不妨取点P错误!,则可计算S1＝错误!×（5－4)＝错误!，由题易得PD＝2，PE＝错误!，所以S2＝错误!×2×错误!＝错误!,所以S1∶S2＝1.5．若函数y＝f（x)对定义域D中的每一个x1，都存在唯一的x2∈D，使f（x1）·f（x2）＝1成立，则称f(x）为“影子函数"，有下列三个命题：( ）①“影子函数”f（x）的值域可以是R;②“影子函数”f（x)可以是奇函数；③若y＝f(x），y＝g（x)都是“影子函数”,且定义域相同，则y ＝f(x)·g(x)是“影子函数”．上述命题正确的序号是（)A．①B．②C．③D．②③解析：选B．对于①：假设“影子函数"的值域为R，则存在x1,使得f(x1)＝0，此时不存在x2，使得f(x1)f（x2)＝1,所以①错;对于②：函数f(x）＝x(x≠0），对任意的x1∈(－∞，0）∪（0，＋∞)，取x2＝错误!，则f(x1)f(x2）＝1，又因为函数f(x）＝x（x≠0）为奇函数，所以“影子函数”f(x)可以是奇函数，②正确；对于③:函数f（x）＝x(x>0)，g（x）＝错误!（x〉0)都是“影子函数”,但F（x)＝f(x)g（x)＝1（x〉0）不是“影子函数”（因为对任意的x1∈(0，＋∞），存在无数多个x2∈(0，＋∞）,使得F（x1)·F （x2）＝1），所以③错．综上,应选B．6．(一题多解）已知E为△ABC的重心，AD为BC边上的中线，令错误!＝a,错误!＝b,过点E的直线分别交AB，AC于P，Q两点，且错误!＝m a，AQ→＝n b，则错误!＋错误!＝（)A．3 B．4C．5 D．错误!解析：选A．由于直线PQ是过点E的一条“动”直线,所以结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．法一:如图1，令PQ∥BC，则错误!＝错误!错误!,错误!＝错误!错误!，此时，m＝n＝错误!，故错误!＋错误!＝3。

巧用10种解题术解题术一 “抛砖引玉,特例引路”术对条件与结论之间关系不太明显的命题求解,可采用“投石问路”的方式,先解决与它有关的一个简单的特例或一个熟悉的特例,然后将这一特例的解法拓展到一般情形,从而使原命题获得解决.这就是“特例引路术”.一般地,对于涉及定值、定点的问题,常常从图形的特殊情况入手,先把定值、定点确定下来,使结论有一个明确的方向.这是因为一般情况与特殊情况之间往往有某种内在的联系可以使用,或论证方法有相似之处可以借鉴.典例1 已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),O 为坐标原点,A,B 是抛物线C 上异于O 的两点.(1)求抛物线C 的方程;(2)若直线OA,OB 的斜率之积为-12,求证:直线AB 过x 轴上一定点.解析 (1)因为抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 的坐标为(1,0),所以p2=1,所以p=2. 所以抛物线C 的方程为y 2=4x. (2)证明:①当直线AB 的斜率不存在时, 设A (t 24,t),B (t 24,-t).因为直线OA,OB 的斜率之积为-12, 所以t t 24·-t t 24=-12,化简得t 2=32.所以A(8,t),B(8,-t),此时直线AB 的方程为x=8.②当直线AB 的斜率存在时,设其方程为y=kx+b,A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),联立得{y 2=4x,y =kx +b,化简得ky 2-4y+4b=0.根据根与系数的关系得y A y B =4bk,因为直线OA,OB 的斜率之积为-12,所以yA x A·yB x B=-12,即x A x B +2y A y B =0.即y A24·y B24+2y A y B =0,解得y A y B =0(舍去)或y A y B =-32.所以y A y B =4bk =-32,即b=-8k,所以直线AB 的方程为y=kx-8k,即y=k(x-8). 综上所述,直线AB 过定点(8,0).名师点拨先以直线AB的斜率不存在为特例,求出直线AB的方程,从而探求出直线AB过的定点,为探求直线AB斜率存在时过的定点提供方向.解题术二“图作向导,用图探路”术对题设条件不够明显的数学问题求解,要注意相关的图形,巧用图形作向导,可打破思维瓶颈,多途径找到突破方法.尤其是对一些以函数、三角函数、不等式等形式给出的命题,其本身虽不带有图形,但可以设法构造相应的辅助图形进行分析,将代数问题转化为几何问题求解.力争做到有图用图,无图想图,补形改图,充分运用其几何特征的直观性来启迪思维,从而较快地获得解题的途径.这就是“用图探路术”.典例2已知函数f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,构造函数F(x)如下:当|f(x)|≥g(x)时,F(x)=f(x);当|f(x)|<g(x)时,F(x)=-g(x).则F(x)()A.有最小值0,无最大值B.无最小值,有最大值1C.有最小值-1,无最大值D.无最小值,也无最大值答案C解析在同一直角坐标系中,作出函数y=|f(x)|=|2x-1|与y=g(x)=1-x2的图象,如图(1)所示.从而得到函数F(x)的图象,如图(2)所示.故选C.名师点拨(1)解决本题的关键是读懂F(x)的意义,利用y=|f(x)|=|2x-1|与y=g(x)=1-x2的图象作出F(x)的图象.(2)y=|f(x)|的图象就是保留y=f(x)的图象在x 轴上方的部分,将y=f(x)的图象在x 轴下方的部分沿x 轴向上对称翻折而得到. 解题术三 “巧记变量,引参搭桥”术当利用题目条件中的已知量或变量无法直接与要求的结论之间建立关系式时,可考虑引入一些中间变量,即参数(可以是角度、线段、斜率及点的坐标等),来建立条件与结论之间的联系,这是一种非常重要的解题方法,也就是我们所说的“引参搭桥术”,尤其在解析几何中,应用较为广泛.典例3 如图,△ABC 的外接圆的圆心为O,半径r=1,且∠ACB=45°,若存在实数p,q 使OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =p OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +q OB⃗⃗⃗⃗⃗ ,则p+q 的取值范围是 .答案 [-√2,1)解析 由已知得圆O 的方程为x 2+y 2=1, 设动点C 的坐标为(cos θ,sin θ)(θ∈(π2,2π)).由A(0,1),B(1,0),C(cos θ,sin θ)及OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =p OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +q OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得p=sin θ,q=cos θ. 于是p+q=√2sin (θ+π4),又θ+π4∈(3π4,9π4),所以p+q ∈[-√2,1).名师点拨向量关系中的系数范围问题是近几年高考考查的热点,这种问题常常与平面几何中的三角形、四边形、圆相交汇,利用建系设点、向量关系代数化、引入参数、建立目标函数等方法即可解决此种问题.解题术四 “解题常招,设参换元”术在解答数学问题时,我们常把某个代数式看成一个新的未知数,或将某些变元用另一参变量的表达式来替换,以便将所求的式子变形,优化思考对象,让原来不醒目的条件或隐含的信息显露出来,促使问题的实质明朗化,使非标准型问题标准化,从而便于我们将问题化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉,从中找出解题思路.这种通过换元改变式子形式来变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去探究解题思路,就是“设参换元术”,常见的换元法:三角代换、比值代换、整体代换等.典例4 已知椭圆Ω:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),直线√22x+y=1经过Ω的右顶点和上顶点. (1)求椭圆Ω的标准方程;(2)设椭圆Ω的右焦点为F,过点G(2,0)作斜率不为0的直线交椭圆Ω于M,N 两点,求△FMN 的面积S 的最大值.解析 (1)已知直线√22x+y=1经过Ω的右顶点和上顶点,令x=0,得y=1,所以椭圆的上顶点的坐标为(0,1),即b=1;令y=0,得x=√2,所以椭圆的右顶点的坐标为(√2,0),即a=√2.所以椭圆Ω的标准方程为x 22+y 2=1.(2)由题意可得直线MN 过点G(2,0),其斜率存在且不为0,可设其方程为y=k(x-2)(k ≠0), 由{y =k(x -2),x 22+y 2=1消去y 整理得(1+2k 2)x 2-8k 2x+8k 2-2=0.因为直线MN 与椭圆交于两点,所以Δ=(-8k 2)2-4(1+2k 2)(8k 2-2)=8(1-2k 2)>0, 解得0<k 2<12.设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1+x 2=8k 21+2k 2,x 1x 2=8k 2-21+2k 2, 所以|MN|=√1+k 2·|x 1-x 2| =√(k 2+1)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2] =√(k 2+1)[(8k 21+2k 2)2-4×8k 2-21+2k 2]=√8(k 2+1)(1-2k 2)1+2k 2.易知椭圆的右焦点为F(1,0),则点F(1,0)到直线MN 的距离d=√2=√2,所以S=12|MN|·d=12·√8(k 2+1)(1-2k 2)1+2k 2·√2=12|k|√8(1-2k 2)1+2k 2=√2·√(1-2k 2)k 2(2k 2+1)2.令t=1+2k 2,t ∈(1,2),则k 2=t -12, 则S=√2·√-t 2+3t -22t 2=√2·√-1t 2+32t -12=√2·√-(1t -34)2+116,所以当t=43,即k 2=16时,S 取得最大值,最大值为√24.经检验,k 2=16满足0<k 2<12,故△FMN 的面积S 的最大值为√24. 名师点拨解析几何中的最值问题的常见解题思路:先利用已知条件,建立关于参数的函数,再求解函数的最值.所建立的函数通常结构复杂,不易直接求解,可通过换元将其转化为简单的函数,然后求最值.如该题就是利用t=2k 2+1,将所求转化为二次函数的最值问题. 解题术五 “变量交错,分离协调”术对含有多个变量的问题,在求解时往往需要分离变量,即将混为一团的变量分开,使之各自成为一个小整体,便于分别分析各自所具有的特征、研究它们之间的差异,从中发现解题的思路.这种通过对变量的分离来协调变量间的关系,理顺解题思路进行各个击破的解题策略,就是“分离变量术”.典例5 设函数f(x)=lg1+2x +…+(n -1)x +n x ax,其中a ∈R,n 是任意给定的自然数,且n ≥2,如果当x ∈(-∞,1]时, f(x)有意义,求a 的取值范围.解析 由题意有1+2x +…+(n-1)x +n x a>0, 从而a>-[(1n )x+(2n )x+…+(n -1n)x ].因为n ≥2,而y=(k n )x(k=1,2,…,n-1)是(-∞,1]上的递减函数, 所以[(1n )x+(2n )x+…+(n -1n)x ]≥1n +2n +…+n -1n=n -12,故a>-n -12.名师点拨巧将变元a 与变元n,x 分离,促使它们的隐含关系显露出来,以便获得解题方向.这种做法就是“分离变量”战术思想的体现. 解题术六 “因势推导,反客为主”术解答数学题时通常把注意力集中在主变元上,当思维受阻时,要从条件与结论的内在联系变换思考方向,视其参变元为主变元进行研究、推导,也能得到解决问题的途径,有时还能获得问题的巧解.这种做法就是“反客为主术”.典例6已知f(x)=ax2+2(2a-1)x+4a-7,a∈N*,若f(x)=0至少有一个整数根,则a的值为.答案1和5解析依题意可知,当f(x)=0时,有2x+7=a(x+2)2,①显然,当x=-2时,方程①不成立.(x≠-2),②故有a=2x+7(x+2)2于是,当a为正整数时,必有2x+7≥(x+2)2,且x∈Z,x≠-2,即x必须满足条件-3≤x≤1(x∈Z,x≠-2).由此可知,x只能在-3,-1,0,1中取值.将-3,-1,0,1分别代入②中,得知:仅当x=-3,x=-1和x=1时能保证a为正整数,且此时有a=1和a=5,所以,当a=1和a=5时,方程f(x)=0至少有一个整数根.名师点拨从函数的角度看x为主变元,参数a是次变元.这里将原问题转化为a是x的函数关系式来讨论x ②,就是“反客为主”的一种具体的体现.易知,本题若用求根公式解出x=1-2a±√3a+1a的整数值,将是十分烦琐的.解题术七“换位推理,声东击西”术有些命题直接求解会感到困难或根本难以从条件入手,这时可避开正面强攻,从结论的对立面入手,或考查与其相关的另一问题,或反例,从中也可以找到解决问题的途径,有时甚至还能获得最佳的解法.这就是“声东击西术”.常见的基本方法:反证法、补集法、反例法等.典例7若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则()A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形答案 D解析 由题意可知△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0,则△A 1B 1C 1是锐角三角形.由已知条件得△A 2B 2C 2不是直角三角形.假设△A 2B 2C 2是锐角三角形,则由题意可得{sin A 2=cos A 1=sin (π2-A 1),sin B 2=cos B 1=sin (π2-B 1),sin C 2=cos C 1=sin (π2-C 1),解得{ A 2=π2-A 1,B 2=π2-B 1,C 2=π2-C 1,所以A 2+B 2+C 2=(π2-A 1)+(π2-B 1)+(π2-C 1), 即π=3π2-π,显然该等式不成立,所以假设不成立.所以△A 2B 2C 2不是锐角三角形,所以△A 2B 2C 2是钝角三角形.故选D. 解题术八 “追求界值,极端原理”术选择运动变化中的极端值,往往是动静转换的关键点,可以起到降低解题难度的作用,因此是一种较高层次的思维方法.从有限到无限,从近似到精确,从量变到质变,运用极端值法解决某些问题,可以避开抽象、复杂的运算,降低难度,优化解题过程.典例8 双曲线x 2-y 2=1的左焦点为F,点P 为左支下半支上异于顶点A 的任意一点,则直线PF 斜率的变化范围是( )A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-∞,0)C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(1,+∞) 答案 C 解析 如图所示,当P →A 时,PF 的斜率k →0.当PF ⊥x 轴时,PF 的斜率不存在,即k →±∞. 当P 在无穷远处时,PF 的斜率k →1. 结合四个备选项可知,选C.解题术九 “关注整体,设而不求”术设而不求是数学解题中的一种很有用的方法,采用设而不求的策略,往往能避免盲目推演而造成的复杂运算,从而达到准确、快速的解题效果.方法一 整体代入,设而不求在解决某些涉及若干个量的求值问题时,要有目标意识,通过虚设的策略,整体转化的思想,绕开复杂的运算过程,可使问题迅速得到解决.典例9 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 8-2S 4=5,则a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为( )A.10B.15C.20D.25答案 C解析 由题意可得a 9+a 10+a 11+a 12=S 12-S 8,由S 8-2S 4=5可得S 8-S 4=S 4+5,由等比数列的性质可得S 4,S 8-S 4,S 12-S 8成等比数列,则S 4(S 12-S 8)=(S 8-S 4)2,综上可得,a 9+a 10+a 11+a 12=S 12-S 8=(S 4+5)2S 4=S 4+25S 4+10≥2√S 4×25S 4+10=20,当且仅当S 4=5时等号成立,综上可得,a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为20.方法二 适当引参,设而不求合理地引入参数,可使解题目标更加明确,已知和欲求之间的联系得以明朗化,使问题能够得到解决.典例10 已知对任何满足(x-1)2+y 2=1的实数x,y,如果x+y+k ≥0恒成立,求实数k 的取值范围.解析 将(x-1)2+y 2=1化为极坐标方程,得{x =1+cosθ,y =sinθ(θ∈R),则可设g(θ)=x+y+k=sin θ+cos θ+1+k=√2sin (θ+π4)+1+k ≥-√2+1+k, 令-√2+1+k ≥0,得k ≥√2-1. 方法三 巧设坐标,设而不求在解析几何问题中,对于有关点的坐标采用设而不求的策略,能促使问题定向化,简便化,起到以简驭繁的解题效果.典例11 设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F 的直线交抛物线于A,B 两点,点C 在抛物线的准线上,且BC ∥x 轴,求证:直线AC 经过原点O.证明 如图,设点A(2p t 12,2pt 1),B(2p t 22,2pt 2),则点C (-p2,2pt 2).因为直线AB 过焦点F, 所以2pt 1·2pt 2=-p 2, 解得t 1t 2=-14.又直线OC 的斜率k OC =2pt 2-0-p2-0=-4t 2=1t 1,直线OA 的斜率k OA =2pt 1-02pt 12-0=1t 1,则k OC =k OA ,故A,O,C 三点共线,即直线AC 经过原点O.解题术十 “思维受限,攻坚突围”术思维受限一般出现在压轴题或计算量大的题上,有时也出现在一些条件特殊的选择题、填空题上,这些题不一定就是难度很大的题,反而可能是因某些运算或推理繁杂感到心理紧张而导致一下子想不出解决方法的题.一般来说,对此类问题的突围关键在于如何针对已有的信息与所求目标的差异进行综合分析,整合相关的结论(包括已推得的结论),注重信息的迁移.要注重考查命题所涉及的概念、定理,把握命题的结构特点,构建相应的数学模型进行模仿探索,力争做到求什么,想什么.在审查已做的运算、推理与所求结论的要求是否正确时,要注重隐含条件的挖掘与整合,仔细清查还有哪些条件未用上,还有哪些相关的解法未用到,力争做到给什么,用什么.在将条件与结论联系起来时,要勇于试探、创新思维,注重类比、猜想、凑形、配式,力争做到差什么,找什么.这就是我们常常说的“思维受限突围术”.常见的突围策略有以下两种:策略一 前难后易空城计对设有多问的数学命题,若前一问不会解,而后面的几问又是自己容易解的,或是可用第一问的结论来求解的,此时应放弃第一问的求解,着重攻后面的几问,并将第一问的结论作为后几问的条件使用,巧妙地配合题设条件或有关定理解答后面的问题.这种利用自己根本不懂或不会证明的问题条件来解后几问的做法,就是数学解题中的“空城计”,即前问难后问易,弃前攻后为上计(有时也说成:前难后易前问弃,借前结论攻后题).典例12 设函数f(x)=ln x-x+1. (1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当x ∈(1,+∞)时,1<x -1lnx <x; (3)设c>1,证明:当x ∈(0,1)时,1+(c-1)x>c x . 解析 (1)由题设可知, f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=1x -1,令f '(x)=0,解得x=1. 当0<x<1时, f '(x)>0, f(x)单调递增; 当x>1时, f '(x)<0, f(x)单调递减. (2)证明:由(1)知, f(x)在x=1处取得最大值, 最大值为f(1)=0. 所以当x ≠1时,ln x<x-1.故当x ∈(1,+∞)时,ln x<x-1,ln 1x <1x -1, 即1<x -1lnx <x.(3)证明:设g(x)=1+(c-1)x-c x (c>1), 则g'(x)=c-1-c x ln c. 令g'(x)=0, 解得x 0=lnc -1lnclnc.当x<x 0时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x>x0时,g'(x)<0,g(x)单调递减.由(2)知1<c-1lnc<c,故0<x0<1.又g(0)=g(1)=0,故当0<x<1时,g(x)>0,所以当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>c x.名师点拨(1)求出导函数f'(x),然后确定函数f(x)的单调性;(2)利用(1)的结论证明;(3)构造新函数,然后通过研究新函数的单调性来证明.解决本题时,由于第(2)问较麻烦,很多考生不会做或花费较长时间,从而延误了第(3)问的解答,由题意可知,第(3)的解答可直接利用第(2)问的结论,构造函数后易判断证明,因此求解时可跨过第(2)问先解决第(3)问,从而增大了本题的得分率.这是解决此类题的上策之举.策略二前解倒推混战术有些数学命题的求解,开始入手还较为顺畅,但一到最后就难以继续进行了.此时若知悉它的大致趋势和结果,则根据所求结论的形式、特点,进行反推、凑形,直到得出大致与所要达到的目标相当、相同或相似的式子,再来巧妙地进行求解也是可行的.这种不按常规方式出牌的解题方法我们称之为“混战术”.典例13已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.解析(1)f'(x)=(x-1)e x+2a(x-1)=(x-1)(e x+2a).①设a=0,则f(x)=(x-2)e x,f(x)只有一个零点,不符合题意.②设a>0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且b<ln a2,则f(b)>a2(b-2)+a(b-1)2=a(b2-32b)>0,故f(x)存在两个零点.③设a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).若a≥-e,则ln(-2a)≤1,2故当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)内单调递增.又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.,若a<-e2则ln(-2a)>1,故当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0;当x∈(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0.因此f(x)在(1,ln(-2a))内单调递减,在(ln(-2a),+∞)内单调递增.又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.综上,a的取值范围是(0,+∞).(2)证明:不妨设x1<x2,由(1)知,x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),又f(x)在(-∞,1)内单调递减,所以x1+x2<2等价于f(x1)>f(2-x2),即f(2-x2)<0.由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(1-x2)2,而f(x2)=(x2-2)e x2+a(x2-1)2=0,所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)e x2,设g(x)=-xe2-x-(x-2)e x,则g'(x)=(x-1)(e2-x-e x).所以当x>1时,g'(x)<0,而g(1)=0,故当x>1时,g(x)<0.从而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2.名师点拨(1)由函数有两个零点,得出关于a的不等式进行求解;(2)构造函数证明不等式.解答本题第(2)问利用了逆向解答,把要证明的x1+x2<2巧妙地转化为f(x1)>f(2-x2),即f(2-x2)<0,从而确定出f(2-x2)的表达式,再构建函数证明不等式.。

高三数学选择填空专项训练（一）（限定时间40分钟）一、单项选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{230}A x x x =--<，{22}B x x =-<<，若A B = （ ）A ． (2,2)-B ．(2,1)-C ．(1,3)-D ． (1,2)-2. 已知命题:R,10x p x e x ∃∈--≤，则命题p ⌝（ ）A ．R,10x x e x ∀∈-->B ．R,10x x e x ∀∉-->C ．R,10x x e x ∀∈--≥D ．R,10x x e x ∃∈-->3. 要得到函数sin(2)3y x π=+的图象，只需要把函数sin 2y x =的图象（ ）A. 向左平移3π个单位 B. 向右平移3π个单位C. 向左平移6π个单位 D. 向右平移6π个单位4. 已知数列{}n a 满足12n n a a +=+且2469a a a ++=，则3579log ()a a a ++= ( )A. 3-B. 3C. 13-D. 135. 函数()log (0,1)a f x x a a =>≠是增函数的一个充分不必要条件是（ ）A ．102a << B ．01a << C ．1a > D ． 24a <<6. 函数31()()2xf x x =-的零点所在区间为（ ）A ．(1,0)-B ．1(0,)2C ．1(,1)2D ．(1,2)7. 若()0,0,lg lg lg 2a b a b a b >>+=+，则2a b +的最小值为（ ）A. 9B. 8C. 7D. 6 8. 已知()21ln 2f x x a x =-在区间()0,2上有极值点，实数a 的取值范围是（ ） A. ()0,2 B. ()()2,00,2- C. ()0,4 D. ()()4,00,4-9. 泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征. 为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45，沿点A 向北偏东30前进100m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30，则“泉标”的高度为（ ） A. 50m B. 100m C. 120m D. 150m10. 已知偶函数()f x 的定义域为(,)22ππ-，其导函数为'()f x ，当02x π<<时，有'()cos ()sin 0f x x f x x +<成立，则关于x的不等式()()cos 4f x x π<⋅的解集为（ ）A. ,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B. ,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. ,0,442πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、多项选择题:本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分.11. 下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（ ）A. 3y x = B. 2y x -= C. xy e = D. 2lg y x =12. 在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点(1,)(0)P m m <，则下列各式一定为正的是（ ）A. sin cos αα+B. cos sin αα-C. sin cos ααD.sin tan αα13. 已知函数2()ln f x x x x =+，0x 是函数()f x 的极值点，以下几个结论中正确的是（ ）A. 010x e <<B. 01x e> C. 00()20f x x +< D. 00()20f x x +>三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在对应题号的横线上.14. 已知1tan 3α=，则2sin 2sin 1cos 2ααα-+的值为 .15. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，若(31)(2)0f x f ++>，则x 的取值范围是 .16. 设等差数列{}n a 前n 项和为n S .若210a =，540S =，则5a = ，n S 的最大值为 .17. 已知函数(01)()2(1)x f x x x⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x x a =-+有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是 .班级：姓名：小组：评价：请将正确选项填到下面的答题表中：（每题4分，共52分；11-13为多选，选不全得2分，错选得0分）以下为改错区域：。