学习目标 1.理解反证法的理论依据，掌握反证法的基本步骤，会用反证法证明不等式.2.理解用放缩法证明不等式的原理，会用放缩法证明一些不等式．
知识点一反证法
思考什么是反证法？用反证法证明时，导出矛盾有哪几种可能？
梳理反证法
(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行________________，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明________不成立，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明____________________，从而断定原命题成立．
知识点二放缩法
思考放缩法是证明不等式的一种特有的方法，那么放缩法的原理是什么？
梳理放缩法
(1)放缩法证明的定义
证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值______或________，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．
(2)放缩法的理论依据
①不等式的传递性．
②等量加(减)不等量为____________．
③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．
类型一 反证法证明不等式
命题角度1 证明“否定性”结论
例1 设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b
，证明： (1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．
反思与感悟 当待证不等式的结论为否定性命题时，常用反证法来证明，对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾．
跟踪训练1 设0＜a ＜2,0＜b ＜2,0＜c ＜2，
求证：(2－a )·c ，(2－b )·a ，(2－c )·b 不可能同时大于1.
命题角度2 证明“至少”“至多”型问题
例2 已知f (x )＝x 2＋px ＋q ，
求证：(1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；
(2)|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12
.
反思与感悟 (1)在证明中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法证明．
(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．
跟踪训练2 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6
，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于零．
类型二 放缩法证明不等式
例3 已知实数x ，y ，z 不全为零，求证：
x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2＞32
(x ＋y ＋z )．
反思与感悟 (1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，谨慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．
(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换成较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．
跟踪训练3求证：
3
2－
1
n＋1
＜1＋
1
22＋…＋
1
n2＜2－
1
n(n∈N＋且n≥2)．
1．用放缩法证明不等式时，下列各式正确的是()
A.
1
a＋x
＞
1
a B.
b
a＜
b＋m
a＋m
C．x2＋x＋3＞x2＋3 D．|a＋1|≥|a|－1
2．用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，其假设为()
A．a，b，c全不为0 B．a，b，c至少有一个为0
C．a，b，c至少有一个不为0 D．a，b，c至多有一个不为0
3．如果a a＋b b＞a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是________．
4．求证：2是无理数．
1．常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设
常见
词语
至少有
一个
至多有一个唯一一个不是不可能全都是否定
假设
一个也
没有
有两个或两
个以上
没有或有两个
或两个以上
是有或存在不全不都是
2.放缩法证明不等式常用的技巧
(1)增项或减项．
(2)在分式中增大或减小分子或分母．
(3)应用重要不等式放缩，如a2＋b2≥2ab，ab≤a＋b
2，ab≤(
a＋b
2)
2，
a＋b＋c
3≥
3abc(a，b，
c＞0)．
(4)利用函数的单调性等．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 (1)反证法就是在否定结论的前提下推出矛盾，从而说明结论是正确的．
(2)矛盾可以是与已知条件矛盾，也可以是与已知的定义，定理矛盾．
梳理 (1)正确的推理 假设
(2)假设不成立
知识点二
思考 ①不等式的传递性；②等量加(减)不等量为不等量．
梳理 (1)放大 缩小 (2)②不等量
题型探究
例1 证明 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab
，a ＞0，b ＞0，得ab ＝1. (1)由基本不等式及ab ＝1可知，a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2，
当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．
(2)假设a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2同时成立，
则由a 2＋a ＜2及a ＞0，得0＜a ＜1；
同理，0＜b ＜1，从而ab ＜1，这与ab ＝1矛盾．
故a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．
跟踪训练1 证明 假设(2－a )·c ，(2－b )·a ，(2－c )·b 同时都大于1，
即(2－a )·c ＞1，(2－b )·a ＞1，(2－c )·b ＞1，
则(2－a )·c ·(2－b )·a ·(2－c )·b ＞1，
∴(2－a )(2－b )(2－c )·abc ＞1.①
∵0＜a ＜2,0＜b ＜2,0＜c ＜2，
∴(2－a )·a ≤(2－a ＋a 2
)2＝1， 同理(2－b )·b ≤1，(2－c )·c ≤1，
∴(2－a )·a ·(2－b )·b ·(2－c )·c ≤1，
