人教版数学高二选修4-5导学案三反证法与放缩法

2.3 反证法与放缩法预习目标1．掌握用反证法证明不等式的方法．2．了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．一、预习要点1.反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题条件(或已证明过的定理、性质、明显成立的事实等)__________，以说明____________________，从而证明原命题成立，我们把它称为________．2．放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到________，我们把这种方法称为________.二、预习检测1．实数a ，b ，c 不全为0的等价条件为( )A ．a ，b ，c 均不为0B ．a ，b ，c 中至多有一个为0C ．a ，b ，c 中至少有一个为0D ．a ，b ，c 中至少有一个不为02．已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ac ＞0，abc ＞0，用反证法求证a ＞0，b ＞0，c ＞0时的假设为( )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ≤0，b ＞0，c ＞0C ．a ，b ，c 不全是正数 D.abc ＜03．要证明3＋7＜25，下列证明方法中，最为合理的是( )A ．综合法B ．放缩法C ．分析法 D.反证法4．若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2.求证：1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立．三、思学质疑把你在本次课程学习中的困惑与建议填写在下面,与同学交流后,由组长整理后并拍照上传平台讨论区。

参考答案一、预习要点二、预习检测1．【解析】 实数a ，b ，c 不全为0的含义即a ，b ，c 中至少有一个不为0，其否定则是a ，b ，c 全为0，故选D.【答案】 D2.【解析】 a ＞0，b ＞0，c ＞0的反面是a ，b ，c 不全是正数，故选C.【答案】 C3.【解析】 由分析法的证明过程可知选C.【答案】 C4.【证明】 假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立， 则有1＋x y ≥2和1＋y x≥2同时成立，因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y ，且1＋y ≥2x ， 两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2，这与已知条件x ＋y >2矛盾，因此1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立．。

课后训练1．设|a |＜1，则P ＝|a ＋b |－|a －b |与2的大小关系是( )．A ．P ＞2B ．P ＜2C ．P ＝2D ．不确定2．设x ＞0，y ＞0，1x y A x y ＋＝＋＋，11x y B x y＝＋＋＋，则A 与B 的大小关系为( )． A ．A ≥B B ．A ≤BC ．A ＞BD ．A ＜B3．lg 9lg 11与1的大小关系是________．4．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|＜12.那么它的假设应该是__________．5．设a ，b ，c 均为正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的__________条件．6．1A n＝＋与n ∈N ＋)的大小关系是________． 7．若|a |＜1，|b |＜1，求证：||<11a b ab ＋＋． 8．求证：11111<3112123123n ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＋(n ∈N ＋)．已知()1x f x x ＝＋(x ≠－1)． (1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＞b ＞0，c ＝f (a )＋f (c )＞45.参考答案1. 答案：B解析：P ＝|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )－(b －a )|＝2|a |＜2.2. 答案：D解析：<1111x y x y A B x y x y x y＝＋＋＝＋＋＋＋＋＋. 3. 答案：lg 9lg 11＜1lg9lg11lg99lg100<1222＋＝＝，∴lg 9lg 11＜1．4.答案：假设|f(x1)－f(x2)|≥125.答案：充要解析：必要性是显然成立的；当PQR＞0时，若P，Q，R不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P＞0，Q＜0，R＜0，则Q＋R＝2c＜0，这与c＞0矛盾，即充分性也成立．6.答案：A≥解析：An＋nn n n n≥共＋＋＋＝项.7.证明：假设||11a bab≥＋＋，则|a＋b|≥|1＋ab|，∴a2＋b2＋2ab≥1＋2ab＋a2b2，∴a2＋b2－a2b2－1≥0，∴a2－1－b2(a2－1)≥0，∴(a2－1)(1－b2)≥0，∴221010ab⎧≥⎨≥⎩－，－，或221010ab⎧≤⎨≤⎩，－－，∴2211ab⎧≥⎨≤⎩，，或2211ab⎧≤⎨≥⎩，与已知矛盾．∴||<11a bab＋＋．8.证明：由1111<12312222kk⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯－＝(k是大于2的自然数)，得11111112123123n⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＋2311111<1112222n－＋＋＋＋＋＋＝＋111123<31212nn－－＝－－.∴原不等式成立．9. (1)解：1()111xf xx x＝＝－＋＋，所以f(x)在区间(－∞，－1)和(－1，＋∞)上分别为增函数．(2)证明：首先证明对于任意的x＞y＞0，有f(x＋y)＜f(x)＋f(y)．f(x)＋f(y)＝11x yx y＋＋＋>11xy xy x y xy x y xy x y xy x y ＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋ ＝f (xy ＋x ＋y )．而xy ＋x ＋y ＞x ＋y ， 由(1)，知f (xy ＋x ＋y )＞f (x ＋y )， 所以f (x )＋f (y )＞f (x ＋y )．因为c ≥＝4>0a＝＝，所以44a c a a ≥≥＋＋， 当且仅当a ＝2时，等号成立． 所以f (a )＋f (c )＞f (a ＋c )≥f (4)＝44415＝＋， 即f (a )＋f (c )＞45.。

2.3反证法与放缩法预习案一、预习目标及范围1．掌握用反证法证明不等式的方法．2．了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．二、预习要点教材整理1 反证法先假设，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)的结论，以说明不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．教材整理2 放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值或，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．三、预习检测1.如果两个正整数之积为偶数，则这两个数()A ．两个都是偶数B ．一个是奇数，一个是偶数C ．至少一个是偶数D ．恰有一个是偶数2.若|a －c |＜h ，|b －c |＜h ，则下列不等式一定成立的是()A ．|a －b |＜2hB ．|a －b |＞2hC ．|a －b |＜h D.|a －b |＞h3．A ＝1＋12＋13＋ (1)与n(n ∈N ＋)的大小关系是________. 探究案一、合作探究题型一、利用反证法证“至多”“至少”型命题例1已知f (x )＝x 2＋px ＋q ，求证：(1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2)|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12. 【精彩点拨】 (1)把f (1)，f (2)，f (3)代入函数f (x )求值推算可得结论．(2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论．[再练一题]1．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1.求证：a ，b ，c ，d 中至多有三个是非负数．题型二、利用放缩法证明不等式例2已知a n ＝2n 2，n ∈N *，求证：对一切正整数n ，有1a1＋1a2＋…＋1an ＜32. 【精彩点拨】 针对不等式的特点，对其通项进行放缩、列项．[再练一题]2．求证：1＋122＋132＋…＋1n2＜2－1n(n ≥2，n ∈N ＋)．题型三、利用反证法证明不等式例3已知△ABC 的三边长a ，b ，c 的倒数成等差数列，求证：∠B ＜90°.【精彩点拨】 本题中的条件是三边间的关系2b ＝1a ＋1c，而要证明的是∠B 与90°的大小关系．结论与条件之间的关系不明显，考虑用反证法证明．[再练一题]3．若a 3＋b 3＝2，求证：a ＋b ≤2.二、随堂检测1．实数a ，b ，c 不全为0的等价条件为()A ．a ，b ，c 均不为0B ．a ，b ，c 中至多有一个为0C ．a ，b ，c 中至少有一个为0D ．a ，b ，c 中至少有一个不为02．已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ac ＞0，abc ＞0，用反证法求证a ＞0，b ＞0，c ＞0时的假设为()A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ≤0，b ＞0，c ＞0C ．a ，b ，c 不全是正数D.abc ＜03．要证明3＋7＜25，下列证明方法中，最为合理的是()A ．综合法B ．放缩法C ．分析法D.反证法参考答案预习检测：1.【解析】 假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少有一个为偶数．【答案】 C2.【解析】|a－b|＝|(a－c)－(b－c)|≤|a－c|＋|b－c|＜2h. 【答案】 A3.【解析】A＝11＋12＋13＋…＋1n≥＝nn＝n.【答案】A≥n随堂检测：1.【解析】实数a，b，c不全为0的含义即a，b，c中至少有一个不为0，其否定则是a，b，c全为0，故选D.【答案】 D2.【解析】a＞0，b＞0，c＞0的反面是a，b，c不全是正数，故选C.【答案】 C3.【解析】由分析法的证明过程可知选C.【答案】 C。

高中数学人教A版选修4-5不等式选讲第二讲《三反证法与放缩法》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
通过实例,体会反证法的含义、过程与方法,了解反证法的基本步骤,会用反证法证明简单的命题。

2学情分析
前面学习了直接证明的方法,今天学习直接证明困难时,使用间接证明的方法-----反证法3重点难点
教学重点:体会反证法证明命题的思路方法,会用反证法证明简单的命题。

教学难点:会用反证法证明简单的命题。

4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】新课导入
一、引入:
前面所讲的几种方法,属于不等式的直接证法。

也就是说,直接从题设出发,经过一系列的逻辑推理,证明不等式成立。

但对于一些较复杂的不等式,有时很难直接入手求证,这时可考虑采用间接证明的方法。

所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性,而是证明它的反论题为假,或转而证明它的等价命题为真,以间接地达到目的。

其中,反证法是间接证明的一种基本方法。

反证法在于表明:若肯定命题的条件而否定其结论,就会导致矛盾。

具体地说,反证法不直接证明命题“若p则q”,而是先肯定命题的条件p,并否定命题的结论q,然后通过合理的逻辑推理,而得到矛盾,从而断定原来的结论是正确的。

利用反证法证明不等式,一般有下面几个步骤:
第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论;
第二步作出与所证不等式相反的假定;
第三步从条件和假定出发,应用证确的推理方法,推出矛盾结果;。

三反证法与放缩法学习目标1・理解并掌握反证法、换元法与放缩法；2.会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式.1.将所证的不等式的字母作适当的代换，以达到简化证题过程的目的，这种方法称为换元法•2.证明不等式时，首先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理，得到和命题的条件或己讦明的定理、性质、明显成立的事实等矛盾的结论,以说明假设不正确，从而证明原命题成立.我们把它称之为反证法.3.在证明不等式时，通过把不等式的某些部分的值放大或缩小,简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法.思考感悟运用放缩法证明不等式的关键是什么？提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大（或缩小）要适当.如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大.有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式.课堂互动讲练考点突破反证法证明不等式设0<«v2,0v方v2,0vcv2, 求证: (2 —a)9C, (2—&)•«, (2—c)•方不可能同时大于1.【思路点拨】结论若是“都是”、“都不是”、“至少”、“差不多”或“不等于”形式的命题，往往考虑反证法，本题“不大于”的反面是“大于”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”・【ss】sa ^(2—a )・C V L(2—b)・avL(2lc)・0VL s(2—a)・c ・(2—b)・a ・(2—c)・bvl ・CD・・• 0AaA290AT2©<CA292—a+a7・・・(2—a )・a /A( 2) H l ・ 回«“(2—3&A L (2—c )・c/Al ・・・・(2—a )a ・(2—3&・(2—c)・c /A L wIr ㊀m^M. •••s ^^ 暑•【名师点评】当题目结论为否定性命题时，常采用反证法来证明，对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾.变式训练1已知f(x)=x2+px+q,⑴求证：/(1)+/(3)-2/-(2)=2；⑵求证：旷(1)1,『(2)1,『(3)1中至少有一个不小于12-证明：(1加1)+/(3)-欲2)=(l+〃+q)+(9+切+q) —2(4+2p+q)=2・⑵假设肛1)1，『(2)1,『(3)1都小于言・则『⑴ l+2『(2)l+|/(3)lv2・而f(l)l+2『(2)l + !A3)IM/⑴+/(3)—欲2)=(l+p+q)+(9+3p+q)—(8+4p+2q)=2 从而导出了两个矛盾的结果.・・・『(1)1、『(2)1、『(3)1中至少有一个不小于乞已知 0>0，6>0, C>0,且 0+方 2=c2.求证:当〃 M3时,a tl +b n <c n.岁点二Ih换元法证明不等式【思路点拨】条件中的^+b2=c2可化为(夕尸L/ + (£)2=1,满足这个关系的务可以用三角代换，变成三角函数式的证明.【证明】sinA=_, cosA=-，c c0<sinA<l,0<cosA<l,/. sin A+cos"A=sin" 一2A «siii2A+cos" 一2A POS%<sin2A+COS2A = 1,即(#)"+(£)"vl・:.a n+b n<c n.④对于pl —込可设工=cos 〃或x=sin 仇【名师点评】 如果两个非负数的和为1,就可用 某个角的正、余弦表示这两个数，使两个变量变成一个以角为变量的三角函数式，三角代换的规律②若 a 2+b 2=r 2(r>0)9 可设 a=rcosa, ③若 r 2^a 2+b 2^R 2(R>r>0),可设 a=ccosa, b =csimz(/WcWR)；x=cos 伏 y=sin 〃；fe=rsina ；为:・号巴+半+1+卡・・・GWZ+9ZZ启z+ra启 s +1+a +ys o e a +9z u le 「z +£0。

2.3 反证法与放缩法教学目标：1、通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

2．感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式。

3．探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧。

教学重点：体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题。

掌握证明不等式的两种放缩技巧。

教学难点：会用反证法证明简单的命题。

体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”。

教学过程:一、引入：前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。

也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。

但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。

所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。

其中，反证法是间接证明的一种基本方法。

反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。

具体地说，反证法不直接证明命题“若p 则q ”，而是先肯定命题的条件p ，并否定命题的结论q ，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。

利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。

二、典型例题：例1、设233=+b a ，求证.2≤+b a证明：假设2>+b a ，则有b a ->2，从而.2)1(68126,61282233323+-=+->+-+->b b b b a b b b a因为22)1(62≥+-b ，所以233>+b a ，这与题设条件233=+b a 矛盾，所以，原不等式2≤+b a 成立。

例2、设二次函数q px x x f ++=2)(，求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于21. 证明：假设)3(,)2(,)1(f f f 都小于21，则 .2)3()2(2)1(<++f f f （1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。

三反证法与放缩法对应学生用书P24 1．反证法(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，从此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立．(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．2．放缩法(1)放缩法证明的定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．(2)放缩法的理论依据有： ①不等式的传递性； ②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．对应学生用书P24利用反证法证明不等式[例1] 已知f 求证：(1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2)|f (1)|，f |(2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.[思路点拨] “不小于”的反面是“小于”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”．[证明] (1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－2(4＋2p ＋q )＝2. (2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|<2.而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥f (1)＋f (3)－2f (2)＝2矛盾， ∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”，“至少”，“不能”等词语的不等式．(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用．1．实数a ，b ，c 不全为0的等价条件为( ) A ．a ，b ，c 均不为0 B ．a ，b ，c 中至多有一个为0 C ．a ，b ，c 中至少有一个为0 D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0解析：“不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是“至少有一个不为0”． 答案：D2．证明：三个互不相等的正数a ，b ，c 成等差数列，则a ，b ，c 不可能成等比数列． 证明：假设a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac . 又∵a ，b ，c 成等差数列∴a ＝b －d ，c ＝b ＋d (其中d 公差)． ∴ac ＝b 2＝(b －d )(b ＋d )．∴b 2＝b 2－d 2.∴d 2＝0，∴d ＝0.这与已知中a ，b ，c 互不相等矛盾． ∴假设不成立．∴a ，b ，c 不可能成等比数列．3．已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (a )＋f (－b )<f (b )＋f (－a )，求证：a <b . 证明：假设a <b 不成立，则a ＝b 或a >b .当a ＝b 时，－a ＝－b 则有f (a )＝f (b )，f (－a )＝f (－b )，于是f (a )＋f (－b )＝f (b )＋f (－a )与已知矛盾．当a >b 时，－a <－b ，由函数y ＝f (x )的单调性可得f (a )>f (b )，f (－b )>f (－a )， 于是有f (a )＋f (－b )>f (b )＋f (－a )与已知矛盾．故假设不成立．∴a <b .利用放缩法证明不等式[例2] 已知实数x ，y ，z 不全为零．求证：x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>32(x ＋y ＋z )．[思路点拨] 解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明． [证明] x 2＋xy ＋y 2＝ ⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2 ≥⎝⎛⎭⎫x ＋y 22 ＝|x ＋y 2|≥x ＋y 2.同理可得：y 2＋yz ＋z 2≥y ＋z 2，z 2＋zx ＋x 2≥z ＋x2，由于x ，y ，z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加得： x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>⎝⎛⎭⎫x ＋y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋z 2＋⎝⎛⎭⎫z ＋x 2＝32(x ＋y ＋z )．(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．4．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1.证明：由2n ≥n ＋k ＞n (k ＝1,2，…，n )， 得12n ≤1n ＋k ＜1n. 当k ＝1时，12n ≤1n ＋1＜1n；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2＜1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n ＜1n ，∴将以上n 个不等式相加得： 12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜n n ＝1. 5．设f (x )＝x 2－x ＋13，a ，b ∈[0,1]，求证： |f (a )－f (b )|<|a －b |.证明：|f (a )－f (b )|＝|a 2－a －b 2＋b | ＝|(a －b )(a ＋b －1)|＝|a －b ||a ＋b －1| ∵0≤a ≤1,0≤b ≤1 ∴0≤a ＋b ≤2， －1≤a ＋b －1≤1，|a ＋b －1|≤1. ∴|f (a )－f (b )|≤|a －b |.对应学生用书P251．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数( ) A ．两个都是偶数B ．一个是奇数，一个是偶数C ．至少一个是偶数D ．恰有一个是偶数解析：假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少一个为偶数．答案：C2．设x ＞0，y ＞0，M ＝x ＋y 2＋x ＋y ，N ＝x 2＋x ＋y 2＋y ，则M ，N 的大小关系为( )A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．不确定解析：N ＝x 2＋x ＋y 2＋y ＞x 2＋x ＋y ＋y2＋x ＋y ＝x ＋y 2＋x ＋y ＝M .答案：B3．设a ，b ，c 是正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“P ·Q ·R ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：必要性显然成立．充分性：若P ·Q ·R ＞0，则P ，Q ，R 同时大于零或其中有两个负的，不妨设P ＜0，Q ＜0，R ＞0.因为P ＜0，Q ＜0.即a ＋b ＜c ，b ＋c ＜a .所以a ＋b ＋b ＋c ＜c ＋a . 所以b ＜0，与b ＞0矛盾，故充分性成立． 答案：C4．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a >b 与a <b 及a ≠c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：对①，若(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，则a ＝b ＝c ，与已知矛盾；故①对； 对②，当a >b 与a <b 及a ≠c 都不成立时，有a ＝b ＝c ，不符合题意，故②对；对③，显然不正确．答案：C5．若要证明“a ，b 至少有一个为正数”，用反证法的反设应为________． 答案：a ，b 中没有任何一个为正数(或a ≤0且b ≤0) 6．lg9·lg11与1的大小关系是________． 解析：∵lg 9＞0，lg 11＞0.∴lg 9·lg 11＜lg 9＋lg 112＝lg 992＜lg 1002＝1.∴lg 9·lg 11＜1. 答案：lg 9·lg 11＜17．完成反证法整体的全过程．题目：设a 1，a 2，…，a 7是1,2,3，……，7的一个排列， 求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数． 证明：反设p 为奇数，则________________均为奇数． ①因奇数个奇数的和还是奇数，所以有奇数＝________________________ ② ＝________________________③＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p 为偶数．解析：反设p 为奇数，则(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数． 因为奇数个奇数的和还是奇数，所以有 奇数＝(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7) ＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋3＋…＋7) ＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p 为偶数． 答案：(a 1－1)，(a 2－2)，...，(a 7－7) (a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) (a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋3＋ (7)8．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数． 由a ＋b ＝c ＋d ＝1知：a ，b ，c ，d ∈[0,1]． 从而ac ≤ac ≤a ＋c 2，bd ≤bd ≤b ＋d2.∴ac ＋bd ≤a ＋c ＋b ＋d2＝1.即ac ＋bd ≤1.与已知ac ＋bd >1矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．9．求证：112＋122＋132＋…＋1n 2<2.证明：因为1n 2<1n (n －1)＝1n －1－1n，所以112＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n＝1＋(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )＝2－1n<2.10．证明抛物线x ＝y 2上，不存在关于直线x ＋y ＋1＝0对称的两点．证明：假设抛物线x ＝y 2上存在两点A (a 2，a )B (b 2，b )(a ≠b )关于直线x ＋y ＋1＝0对称． 由k AB ＝1，且A 、B 的中点⎝⎛⎭⎫a 2＋b 22，a ＋b 2在直线x ＋y ＋1＝0上．即⎩⎪⎨⎪⎧a －b a 2－b 2＝1， ①a 2＋b 22＋a ＋b 2＋1＝0. ②由①得a ＋b ＝1，代入②得a 2＋b 22＋32＝0.此方程无解，说明假设不成立．∴抛物线x ＝y 2上不存在关于直线x ＋y ＋1＝0对称的两点．。

数学人教B选修4-5第一章1.5.3 反证法和放缩法1．理解反证法在证明不等式中的应用，掌握用反证法证明不等式的方法．2．掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．1．反证法假设要证明的命题是______的，然后利用公理，已有的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)____的结论，从而得出原来结论是____的，这种方法称作______．用反证法证明不等式必须把握以下几点：(1)必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证．否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背，推导出的矛盾必须是明显的．【做一做1－1】应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③【做一做1－2】实数a，b，c不全为0的等价条件为()A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为02．放缩法在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值__________使它由繁化简，达到证明目的，这种方法称为放缩法．其关键在于__________．用放缩法证明不等式时，常见的放缩依据或技巧是不等式的传递性．缩小分母、扩大分子，分式的值增大；缩小分子、扩大分母，分式的值减小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩有时需便于求和．【做一做2－1】设M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则()A．M＝1 B．M＜1C．M＞1 D．M与1的大小关系不确定【做一做2－2】lg 9·lg 11与1的大小关系是________．答案：1．不正确矛盾正确反证法【做一做1－1】C【做一做1－2】D2．适当放大(或缩小)放大(缩小)要适当【做一做2－1】B分母全换成210，共有210个单项．【做一做2－2】lg 9·lg 11＜1∵lg 9＞0，lg 11＞0，∴lg 9·lg 11＜lg 9＋lg 112＝lg 992＜lg 1002＝1.∴lg 9·lg 11＜1.1．反证法中的数学语言是什么？剖析：反证法适宜证明“存在性问题，唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题，或者说“正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法．下面我们假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾，尤其在一些选择题中，更是如此．2．放缩法的尺度把握等问题有哪些？ 剖析：(1)放缩法的理论依据主要有： ①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较； ④基本不等式与绝对值不等式的基本性质； ⑤三角函数的有界性等． (2)放缩法使用的主要方法：放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考查．常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：舍去或加上一些项：(a ＋12)2＋34＞(a ＋12)2；将分子或分母放大(缩小)：1k 2＜1k (k －1)，1k 2＞1k (k ＋1)，1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1(k ∈R ，k ＞1)等．题型一 用反证法证明否定性结论命题【例题1】已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14.分析：“不能同时”包含情况较多，而其否定“同时大于”仅有一种情况，因此适宜用反证法证明．反思：(1)当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体．(2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式：①与已知矛盾；②与假设矛盾；③与显然成立的事实相矛盾．题型二 用反证法证明“至多”“至少”类问题【例题2】已知f (x )＝x 2＋bx ＋c ，求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.分析：问题从正面证明不易入手，适合应用反证法证明．反思：(1)在所要证明的问题中含有“至多”“至少”等字眼时，常使用反证法证明． (2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．题型三 用放缩法证明不等式【例题3】(1)设a ，b 为不相等的两个正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证：1＜a ＋b ＜43.(2)求证：1n ＋1(1＋13＋…＋12n －1)＞1n (12＋14＋…＋12n )(n ≥2)．分析：运用放缩法进行证明．反思：用放缩法证明不等式的过程中，往往采用添项或减项的“添舍”放缩，拆项对比的分项放缩，函数的单调性放缩等．放缩时要注意适度，否则不能同向传递．题型四 易错辨析易错点：在证明不等式时，因不按不等式的性质变形，从而导致证明过程错误．【例题4】已知a ，b ∈R ，求证：a 2＋b 2(a ＋b )2≥12.错解：证明：∵a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab ， ∴a 2＋b 2(a ＋b )2≥2ab (2ab )2＝2ab 4ab ＝12. 错因分析：上面证明时应用了“⎭⎬⎫a >b c >d a c ＞bd ”这个错误结论．答案：【例题1】证明：证法一：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 同时大于14，即有(1－a )b ＞14，(1－b )c ＞14，(1－c )a ＞14，三式同向相乘，得(1－a )a (1－b )b (1－c )c ＞164.∵a ∈(0,1)，∴1－a ＞0，∴(1－a )a ≤⎝⎛⎭⎫1－a ＋a 22＝14.同理，(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14.∴(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤164(当且仅当a ＝b ＝c ＝12时等号成立)，与假设矛盾， ∴原结论正确．证法二：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 同时大于14.∵0＜a ＜1，∴1－a ＞0，又b ∈(0,1)， ∴(1－a )＋b 2≥(1－a )b ＞14＝12.同理(1－b )＋c 2＞12，(1－c )＋a 2＞12.三式相加，得32＞32，矛盾．∴原结论成立．【例题2】证明：证法一：假设|f (1)|＜12，|f (2)|＜12，|f (3)|＜12，则⎩⎪⎨⎪⎧|1＋b ＋c |<12，|4＋2b ＋c |<12，|9＋3b ＋c |<12.∴⎩⎪⎨⎪⎧ －32<b ＋c <－12，－92<2b ＋c <－72，－192<3b ＋c <－172.①②③①＋③，得－112＜2b ＋c ＜－92，与②矛盾．∴假设不成立，∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.证法二：假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2. 而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)| ≥|f (1)＋f (3)－2f (2)| ≥f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋b ＋c )＋(9＋3b ＋c )－2(4＋2b ＋c )＝2. 两式显然矛盾， ∴假设不成立．∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.【例题3】证明：(1)由题设，得a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ， 于是(a ＋b )2＞a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，故a ＋b ＞1.又(a ＋b )2＞4ab ，而(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2＝a ＋b ＋ab ＜a ＋b ＋(a ＋b )24，即34(a ＋b )2＜a ＋b ，所以a ＋b ＜43.所以1＜a ＋b ＜43.(2)因为12＝12，13＞14，15＞16，…，12n －1＞12n ，12＞12＋14＋…＋12n n ，将上述各式两边分别相加，得1＋13＋15＋…＋12n －1＞⎝⎛⎭⎫12＋14＋…＋12n ·n ＋1n . 所以1n ＋1(1＋13＋…＋12n －1)＞1n ⎝⎛⎭⎫12＋14＋…＋12n . 【例题4】正解：证明：a 2＋b 2(a ＋b )2＝(a ＋b )2－2ab (a ＋b )2＝1－2ab (a ＋b )2≥1－2×⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ＋b )2＝1－12＝12，当且仅当a ＝b 时，等号成立．即a 2＋b 2(a ＋b )2≥12.1用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个偶数．下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 中至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 中至多有两个偶数2设x ，y ∈(0，＋∞)，且xy －(x ＋1)＝1，则( ) A ．x ＋y ≤22＋1 B ．x ＋y ≥22＋1 C ．x ＋y ≤(2＋1)2 D ．x ＋y ≥(2＋1)23若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于24比较大小：1＋12＋13＋…＋1n__________n .5若正数a ，b 满足ab ≥1＋a ＋b ，则a ＋b 的最小值为__________． 答案： 1．B2．B 由x ，y ∈(0，＋∞)，xy －(x ＋1)＝1，得y ＝x ＋2x ＝1＋2x ，则x ＋y ＝(x ＋2x)＋1≥22＋1，当且仅当x ＝2时等号成立．3．D 假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 都小于2，则(a ＋b ＋c )＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ＜6. ∵1a ＋a ≥2，b ＋1b ≥2，c ＋1c≥2， ∴(a ＋b ＋c )＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立．这与假设矛盾． ∴三个数中至少有一个不小于2.4．≥ 1＋12＋…＋1n ≥1n ＋1n ＋…＋1n ＝nn＝n .5．2＋22 由于ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，故1＋a ＋b ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，∴(a ＋b )2－4(a ＋b )－4≥0，∴a ＋b ≥2＋22或a ＋b ≤2－2 2.又∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ≥2＋2 2.当且仅当a ＝b ＞0时等号成立．1设12M a a =+-(2＜a ＜3)，2121log ()16N x =+(x ∈R )，则M ，N 的大小关系为( ) A ．M ＜N B ．M ＝N C ．M ＞N D ．不能确定 答案：C∵2＜a ＜3，∴a －2＞0，∴M ＝12a a +-＝1(2)+22a a -+-≥2＝4， 当且仅当a －2＝1，即a ＝3时等号成立，但2＜a ＜3，所以等号不成立，所以M ＞4. 又2121=log ()16N x +121log =416≤，∴M ＞N .2已知a ，b ，c ，d 都是正数，a b c dS a b c a b d c d a c d b=+++++++++++，则有( )A ．S ＜1B ．S ＞1C ．S ＞2D ．以上都不对答案：B ∵a ，b ，c ，d ∈(0，＋∞)， ∴=a b c dS a b c a b d c d a c d b+++++++++++>=1a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d+++++++++++++++. 3已知a ，b ∈(0，＋∞)，则下列各式中成立的是( ) A ．cos 2θ·lg a ＋sin 2θ·lg b ＜lg(a ＋b )B ．cos 2θ·lg a ＋sin 2θ·lg b ＞lg(a ＋b )C ．a cos 2θ·b sin 2θ＝a ＋bD ．a cos 2θ·b sin 2θ＞a ＋b 答案：A cos 2θ·lg a ＋sin 2θ·lg b ＜cos 2θ·lg(a ＋b )＋sin 2θ·lg(a ＋b )＝lg(a ＋b )． 4对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案：C 对于①，若(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，则a ＝b ＝c ，不符合题意，故①正确．对于②，当a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 都不成立时，有a ＝b ＝c ，不符合题意，故②正确．对于③，显然不正确．5已知x ，y ∈(0，＋∞)，且x ≠y ，记11()(+)M x y x y =+，11()(+)N x y y x=+，1P xy xy =+，11()Q x y x y ⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭，则M ，N ，P ，Q 中最大的一个是( ) A ．M B ．N C ．P D ．Q 答案：A 11=()()M x y x y ++＝1y x xy xy x y+++， 11=()()N x y y x ++＝1+2xy xy +，1=P xy xy+，11=()Q x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝+2y xx y+.∵x ，y ∈(0，＋∞)，且x ≠y ， ∴>2y x x y+，1xy xy +＞2，∴M ＞N ，M ＞Q ，显然M ＞P ，∴最大的一个是M .6若要证明“a ，b 至少有一个为正数”，用反证法的反设应为__________． 答案：a ，b 都不是正数(或a ≤0且b ≤0)7在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，若∠C ＝90°，则a bc+的取值范围为__________．答案：(1 在△ABC 中，显然有a ＋b ＞c .又∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2.又a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，∴a ＋ba ＝b 时等号成立． ∴c ＜a ＋b，∴1＜a bc+8若a ＞0，则1a a ++__________．答案：2∵a ＞0，∴1a a +≥2，2212a a +≥，当且仅当a ＝1时等号成立，∴1a a +2≥9证明：在△ABC 中，若∠C 是直角，则∠B 一定是锐角． 答案：证明：假设∠B 不是锐角，则∠B 是直角或钝角． (1)当∠B 是直角时，∵∠C 是直角， ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＞180°.(2)当∠B 是钝角时，∵∠C 是直角， ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＞180°. 这与三角形的内角和为180°相矛盾． ∴假设∠B 不是锐角不正确． ∴∠B 一定是锐角． 10已知23sin1sin2sin3sin 2222n n nS =++++ ，求证：对于正整数m ，n ，当m ＞n 时，有1||<2m n nS S -. 答案：证明：记sin =2k k k a (k ∈N *)，则|a k |≤12k . 于是，当m ＞n 时，|S m －S n |＝|a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a m |≤|a n ＋1|＋|a n ＋2|＋…＋|a m |≤12111222n n m ++ +++＝111[1]22112m nn -+⎛⎫- ⎪⎝⎭-＝111[1]<222m nn n -⎛⎫- ⎪⎝⎭.。

三反证法与放缩法第8课时反证法与放缩法1．反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法称为反证法．2．放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．知识点一反证法证明不等式1．应用反证法推出矛盾的过程中，要把下列哪些作为条件使用( )①假设；②原命题的条件；③公理，定理，定义等；④原命题的结论．A．①②B．①②③C．①②③④D．②③解析：在用反证法证明命题时，要把假设，原命题中的条件，还有公理、定理、定义等作为条件使用，因此应选B.答案：B2．(2019·湖南邵东一中月考)若实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，给出以下说法：①a，b，c中至少有一个大于13；②a，b，c中至少有一个小于13；③a，b，c中至少有一个不大于13；④a，b，c中至少有一个不小于14.其中正确说法的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0解析：∵实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则在①②中，当a＝b＝c＝13时，满足a ＋b ＋c ＝1，所以命题不正确；对于③中，假设a ，b ，c 三个数都大于13，则a ＋b ＋c >1，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则a ，b ，c 中至少有一个不大于13，所以③是正确的；对于④中，假设a ，b ，c 三个数都小于14，则a＋b ＋c <1，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则a ，b ，c 中至少有一个不小于14，所以④是正确的．综上所述，正确的命题有2个，故选B. 答案：B3．已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，但不成等差数列． 求证：a ， b ， c 不成等差数列． 证明：假设a ， b ， c 成等差数列，则有a ＋c ＝2b ，即a ＋c ＋2ac ＝4b . 又∵三个正数a ，b ，c 成等比数列． ∴b 2＝ac ，即b ＝ac .∴a ＋c ＋2ac ＝4ac ，即(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，即a ＝c . 从而得a ＝b ＝c .∴a ，b ，c 也成等差数列，这与已知矛盾． 故假设错误，∴a ， b ， c 不成等差数列． 知识点二 放缩法证明不等式 4．已知S ＝1＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n(n 是大于2的自然数)，则有( )A ．S <1B ．2<S <3C ．1<S <2D ．3<S <4解析：S ＝11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n <1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1<2.又因为S ＝1＋11×2＋…＋11×2×3×…×n >1.故选C.答案：C 5．令P ＝1＋12＋13＋…＋1n ，Q ＝n ，则P 与Q 的大小关系是________． 解析：P ＝1＋12＋13＋…＋1n ≥1n ＋1n ＋…＋1n ＝nn＝n ，当且仅当n ＝1时取等号，∴P ≥Q .答案：P ≥Q6．(2019·辽宁德才期中)求证：1＋122＋132＋…＋1n 2<2.证明：∵1n 2＝1n ·n <1n n －1＝1n －1－1n(n ≥2)， ∴1＋122＋132＋ (1)2<1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋1－1n＝2－1n<2.∴原不等式成立．一、选择题1．已知f (x )在R 上为增函数，且f (x 0)＝f (1)，则( ) A ．x 0>1 B ．x 0＝1 C ．x 0<1D ．x 0≠1解析：①若x 0>1，∵f (x )是增函数， ∴f (x 0)>f (1)，这与已知f (x 0)＝f (1)矛盾．②若x 0<1，∵f (x )是增函数，∴f (x 0)<f (1)，这与已知f (x 0)＝f (1)矛盾． 综合①②知，x 0＝1. 答案：B2．设a ，b 是不相等的实数，且a ＋b ＝2，则下列不等式成立的是( ) A ．ab ≤1≤a 2＋b 22 B ．ab ≤a 2＋b 22≤1 C ．1<ab <a 2＋b 22D ．ab <1<a 2＋b 22解析：由不等式 a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ，得a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab .又∵a ＋b ＝2，且a ≠b .∴ab <1<a 2＋b 22.答案：D3．(2019·福清东张中学期中)设a ，b ，c 大于0，a ＋b ＋c ＝3，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值( ) A ．都大于2 B ．至少有一个不大于2 C ．都小于2D ．至少有一个不小于2解析：假设3个数：a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a <2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a <6，∵a ，b ，c 大于0，利用基本不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥2＋2＋2＝6，这与假设所得结论相矛盾，故假设不成立，所以3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a中至少有一个不小于2，故选D. 答案：D4．(2019·辽宁德才期中)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D．a，b，c都是偶数解析：因为结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”，可得题设为a，b，c 中恰有一个偶数，所以反设的内容是假设a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数，故选B.答案：B5．设a，b∈R，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出“a，b中至少有一个实数大于1”的条件有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个解析：对于①，a，b均可以小于1；对于②，a，b均可以等于1；对于③，若a，b都不大于1，则a＋b≤2，这与③矛盾，则a，b中至少有一个实数大于1，对于④⑤，a，b可以是负数．答案：A二、填空题6．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为________．解析：由反证法证明的步骤，先假设，即③，再推出矛盾，即①，最后作出判断，肯定结论，即②，顺序应为③①②.答案：③①②7．已知M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则M与1的大小关系是________．解析：M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋1210＋…＋1210＝210210＝1，即M <1.答案：M <18．若a >0，则a ＋1a＋a 2＋1a 2的最小值为________．解析：∵a >0，∴a ＋1a＋a 2＋1a2≥2a ·1a＋2a ·1a＝2＋2，当且仅当a ＝1时取等号．答案：2＋ 2 三、解答题9．(2019·山东聊城期中)若x ，y 都是正实数，且x ＋y >43.求证：2＋xy <4与2＋yx<4中至少有一个成立．证明：假设2＋xy <4和2＋yx<4都不成立，即2＋xy≥4和2＋yx≥4同时成立．因为x >0且y >0，所以2＋x ≥4y ，且2＋y ≥4x ， 两式相加，得4＋x ＋y ≥4x ＋4y ，所以x ＋y ≤43，这与已知条件x ＋y >43相矛盾，所以2＋xy<4与2＋yx＜4中至少有一个成立．10．(2019·河北沧州七校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，解得d ＝2，∴a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)知b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r ∈N *，且互不相等)成等比数列， 则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0. ∵p ，q ，r ∈N *， ∴⎩⎨⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，即(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾， ∴假设错误，故数列{b n }中任意不同的三项不可能成等比数列．。

三 反证法与放缩法☆学习目标： 1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法;2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式 ☻知识情景：1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)．20. 综合法和分析法．30. 反证法、换元法、放缩法2. 综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法. 又叫由 导 法.用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒ 3. 分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.这是一种执 索 的思考和证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系： ☻新知建构：1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立.分析：反设x y +1≥2，y x +1≥2 ∵x , y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾。

例2 已知a + b + c > 0，a b + bc + c a > 0，a bc > 0，求证：a , b , c > 0 .12 ( ) n B B B B A ⇐⇐⇐⇐⇐结步步寻求不等式已论成立的充分条件知.21,1,2,0, 1中至少有一个小于试证且已知例xy y x y x y x ++>+>.,0,0,0.0.0,0)(,0,0,00,0)2(.0,0,0,0)1(.00,0,,,,:所以原命题成立同理可证综上所述也不可能相矛盾这和已知于是又可得那么由如果不可能矛盾与则如果两种情况讨论和下面分不妨先设正数即其中至少有一个不是不全是正数假设证明>>><∴>++<++=++>-=+∴>++<><=∴>==<=≤c b a a ca bc ab bc c b a ca bc ab a c b c b a bc abc a a abc abc a a a a c b a2. 放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小 由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度.常用的方法是：①添加或舍去一些项，如：a a >+12，n n n >+)1(，②将分子或分母放大（或缩小）如：2111(1)(1)n n n n n <<+- ③应用“糖水不等式”：“若0a b <<，0m >，则a a m b b m +<+”④利用基本不等式，如：2lg 3lg 5()lg 4⋅<=<=；⑤利用函数的单调性 ⑥利用函数的有界性：如：sin x ≤1()x R ∈； ⑦绝对值不等式：a b -≤a b ±≤a b +；⑧利用常用结论：如：2=()*,1k N k ∈>，2=<=()*,1k N k ∈>⑨应用贝努利不等式：2(1)(1)11.12n n n n x nx x x nx -+=++++>+⨯ 例3 若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<c ad d b d c c a c b b d b a a 证明：记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++ ∵a , b , c , d ∈R +∴1=+++++++++++++++>c b ad d b a d c c a c b a b d c b a a m 2=+++++++<cd d d c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立。

2.3 课时7 反证法与放缩法一、教学目标（一）核心素养通过对反证法与放缩法的学习，体会数学证明的基本思想及逻辑思路.（二）学习目标1.通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.2.感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式.探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧. （三）学习重点体会反证法和放缩法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题.（四）学习难点会用反证法证明简单的命题，体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第26页至第29页，思考：什么是反证法？什么是放缩法？（2）想一想：使用两种方法证明时的步骤和注意事项有哪些？2.预习自测（1）使用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60︒”时，第一步应假设成立的结论是（）A.三角形中的内角都不小于60︒B.三角形中的内角都小于60︒C.三角形中的内角都不大于60︒D.三角形中的内角都大于60︒【知识点】反证法【解题过程】“三角形中至少有一个内角不小于60︒”时，第一步应假设成立的结论是三角形中的内角都小于60︒【思路点拨】“至少有一个”的否定是“一个都没有”【答案】B（2)在求证“数列()A.分析法B.综合法C.反证法D.直接法【知识点】反证法【解题过程】若是等比数列，则25即3=10，显然不成立，则原命题成立.【思路点拨】命题中有“不”等字样的证明常用反证法 【答案】C（3）用反证法证明命题“如果a b >>”时，假设的内容是( )= <=< =<【知识点】反证法≤，即=<.【思路点拨】“大于”的否定是“小于或等于” 【答案】D（4）使用放缩法证明不等式时，要注意不等号的方向，即放大还是缩小，如对于分子分母均取正值的分式，如果分子不变，分母缩小（分母仍为正数），则分式的值 . 【知识点】放缩法【解题过程】分子不变，分母缩小（分母仍为正数），分式的值变大 【思路点拨】不等式的性质 【答案】放大 (二)课堂设计 1.知识回顾（1）证明不等式有比较法、综合法、分析法.（2）综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式.（3）分析法是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中. 2.问题探究 探究一 反证法 ●活动① 反证法的定义前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法.也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立.例如，对于性质（3）“如果a b >，那么a c b c +>+”，我们可以这样来证明：由a b >得0a b ->，于是()()0a c b c a b +-+=->，所以a c b c +>+.但对于性质（6）“如果0a b >>,2)n N n >∈≥”，我们很难从条件和已有事实直接推证出结论.这时可以采用如下方法：>=<.=那么a b =；<，那么由性质5有a b <.这些都与0a b >>矛盾.于是，>.像这样的方法，即先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法.对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明. 【设计意图】初步了解反证法. ●活动② 反证法的使用步骤对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明.使用反证法证明问题时，主要有以下几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定（反设）；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果（归谬）；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立（结论）. 反证法经常用于证明否定性命题(结论中出现“不存在”“不可能”等字眼)、唯一性命题、结论中出现“至多”“至少”的命题、结论中出现“都是”“都不是”的命题、证明方法上直接证明较困难或在证明方向上从结论的反面着手较容易的命题. 用反证法证明不等式必须把握以下几点：①必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能的情况，反证法都是不完整的；②反证法必须从否定的结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理论证.否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知的事实相违背等.推导出的矛盾必须是明显的；④在使用反证法时，“否定结论”在推理论证中往往作为已知使用，可视为已知条件. 反证法中的数学语言.反证法适宜证明存在性问题、唯一性问题、带有“至少有一个”“至多有一个”等字样的问题，或者说“正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法，下面我们列举一些常见的涉及反证法的文字语言及与其相对应的否定假设.【设计意图】掌握反证法的步骤及注意事项. ●活动③ 反证法的应用例1 设233=+b a ，求证.2≤+b a 【知识点】反证法【解题过程】证明：假设2>+b a ，则有b a ->2，从而.2)1(68126,61282233323+-=+->+-+->b b b b a b b b a 因为22)1(62≥+-b ，所以233>+b a ，这与题设条件233=+b a 矛盾，所以，原不等式2≤+b a 成立【思路点拨】用反证法结合不等式性质 【答案】见解析同类训练 已知0a b c ++>，0ab bc ca ++>，0abc >，求证：,,0a b c >. 【知识点】反证法【解题过程】证明：假设0a <，∵0abc >，∴0bc <.又由0a b c ++>, 则b c a +>- > 0，∴()0ab bc ca a b c bc ++=++<与题设矛盾.又假设若0a =，则与0abc >矛盾，∴0a >.同理可证：0b >，0c >. 【思路点拨】直接证明较困难，用反证法 【答案】见解析例2 设二次函数q px x x f ++=2)(，求证：)3(,)2(,)1(f f f 中至少有一个不小于21. 【知识点】反证法【解题过程】证明：假设)3(,)2(,)1(f f f 都小于21，则.2)3()2(2)1(<++f f f 另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f 上两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确.【思路点拨】直接证明较困难，“少有一个”的问题的证明常用反证法 【答案】见解析同类训练 设0,,1a b c <<，求证：(1)a b -，(1)b c -，(1)c a -不可能同时大于41. 【知识点】反证法【解题过程】证明：(1)a b -，(1)b c -，(1)c a -同时大于41，即假设 111(1),(1),(1)444a b b c c a ->->->,则三式相乘：1(1)(1)(1)64a b b c c a --->，即 1[(1)][(1)][(1)]64a a b b c c -⋅-⋅->，又∵0,,1a b c <<，∴412)1()1(02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤-<a a a a 同理：41)1(≤-b b ，41)1(≤-c c ，以上三式相乘： 1[(1)][(1)][(1)]64a ab bc c -⋅-⋅-≤ 上两式矛盾，∴原式成立，即(1)a b -，(1)b c -，(1)c a -不可能同时大于41.【思路点拨】直接证明较困难，“不可能”的问题的证明常用反证法.注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行.思考：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况.试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？ 【答案】见解析【设计意图】通过例题的练习，熟悉并掌握反证法证明不等式. 探究二 放缩法 ●活动① 放缩法的定义所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法.这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛. 【设计意图】了解放缩法的含义. ●活动② 理解放缩法 放缩法的主要理论依据.①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量； ③同分子(分母)、异分母(分子)的两个分式大小的比较；④基本不等式与绝对值不等式的基本性质；⑤三角函数的有界性等. 使用放缩法的主要方法.放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往从要证明的结论考虑.常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等.对不等式而言，放缩的本质是“不等式的加强”，常见的放缩有下面四种类型： ①直接放缩；②裂项放缩；③利用数列或函数的单调性放缩；④利用基本不等式放缩. 常见的放缩方式有以下几类： （1）21111(1)1k k k k k >=-++；*21111(2,)(1)1k k k k k k k <=-≥∈--N（2=>=-；2)k =<=≥（3）2()(0,0)4a b a b ab a b ++≥≤>>（4）121222113211-=⋅⋅⋅⋅<⨯⨯⨯⨯k k ；（5）1112n n k n<<+ （6）糖水不等式：(0,0)b b ma b m a a m+<>>>+【设计意图】掌握常见的放缩方式. ●活动③ 放缩法的应用 例3 若n 是自然数，求证.213121112222<++++n【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想 【解题过程】证明：.,,4,3,2,111)1(112n k kk k k k=--=-< ∴nn n ⋅-++⋅+⋅+<++++)1(13212111113121112222 =)111()3121()2111(11n n --++-+-+ =.212<-n【思路点拨】常见放缩*21111(2,)(1)1k k N k k k k k<=-≥∈--注意：实际上，我们在证明213121112222<++++n 的过程中，已经得到一个更强的结论nn 1213121112222-<++++ ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想. 【答案】见解析同类训练 若n 是自然数，求证222211117.1234n ++++< 【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明 因为2211111()(2)1211n n n n n <=-≥--+， 左边1111111+[(1)+()++()]232411n n <----+11111171+(1+)1(1)221224n n =--<++=+；当1n =时，714<显然成立【思路点拨】将通项放缩成列项求和模型，注意保留第一项从第二项开始放缩 【答案】见解析例4 求证：.332113211211111<⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++n【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想 【解题过程】 证明：由,212221132111-=⋅⋅⋅⋅<⨯⨯⨯⨯k k （k 是大于2的自然数），得n ⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++ 32113211211111.3213211211121212121111132<-=--+=++++++<--n n n 【思路点拨】将通项放缩成等比数列模型在求和 【答案】见解析同类训练 若,,a b c ∈R ，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a .【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明：记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++ ∵,,a b c ∈R ∴1=+++++++++++++++>c b a d db a dc c a c b a bd c b a a m2=+++++++<cd d d c c b a b b a a m ，∴12m <<，即原式成立.【思路点拨】将分母放缩成相同才能化简 【答案】见解析【设计意图】通过对例题的学习，进一步理解放缩法. 3.课堂总结 知识梳理（1）利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立. （2）常用的两种放缩技巧：对于分子分母均取正值的分式，（Ⅰ）如果分子不变，分母缩小（分母仍为正数），则分式的值放大； （Ⅱ）如果分子不变，分母放大，则分式的值缩小. 重难点归纳（1）体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题. （2）体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”. （三）课后作业基础型自主突破1.实数,,a b c不全为0的等价命题为()A.,,a b c均不为0 B.,,a b c中至多有一个为0C.,,a b c中至少有一个为0 D.,,a b c中至少有一个不为0【知识点】命题的等价性【解题过程】实数,,a b c不全为0就是,,a b c中至少有一个不为0【思路点拨】“不全”就是“至少一个”【答案】D2.用反证法证明：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a++=≠有有理根，那么,,a b c中至少有一个偶数，下列假设中正确的是()A.假设,,a b c都是偶数 B.假设,,a b c都不是偶数C.假设,,a b c至多有一个偶数 D.假设,,a b c至多有两个偶数【知识点】反证法【解题过程】假设,,a b c都不是偶数【思路点拨】“至少有一个是”的否定是“一个也不是”【答案】B3.设,,x y z都是正实数，1a xy=+，1b yz=+，1c zx=+，则,,a b c三个数()A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2 【知识点】反证法【解题过程】因为111()()()22+2=6a b c x y zx y z++=+++++≥+，当且仅当1x y z===时等号成立，所以,,a b c三者中至少有一个不小于2. 【思路点拨】基本不等式模型【答案】C4.若不等式220x ax a -+≥对一切实数x ∈R 恒成立，则关于t 的一元二次不等式2230at t +->的解集为( )A.(3,1)-B.(,3)(1,)-∞-⋃+∞C.∅D.(0,1) 【知识点】恒成立问题；解不等式【解题过程】不等式220x ax a -+≥对一切实数R x ∈恒成立，则2440a a ∆=-=，即1a =或0a =（舍去），所以不等式2230at t +->转化2230t t +->，解得3t <-或1t >. 【思路点拨】一元二次不等式在R x ∈上恒成立只用考虑开口和Δ. 【答案】B5.某同学准备用反证法证明如下一个问题，函数()f x 在[0,1]上有意义，且(0)(1)f f =，如果对于不同的12,[0,1]x x ∈，都有1212|()()|||f x f x x x -<-，求证：121|()()|2f x f x -<，那么它的假设应该是 . 【知识点】反证法【解题过程】假设121|()()|2f x f x -≥【思路点拨】小于的否定是大于或等于 【答案】假设121|()()|2f x f x -≥6．lg 9lg11⋅与1的大小关系是________. 【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想 【解题过程】因为22lg 9lg11lg 99lg 9lg11()()122+⋅<=<，所以lg 9lg111⋅< 【思路点拨】同底对数相加才可用性质化简，和积结构转化用基本不等式 【答案】lg 9lg111⋅< 能力型 师生共研7.设,,a b c 均为正数，,,P a b c Q b c a R c a b =+-=+-=+-，则“0PQR >”是“,,P Q R 同时大于零”的________条件.【知识点】充分必要条件；反证法【解题过程】必要性是显然成立的；当0PQR >时，若,,P Q R 不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设0,0,0P Q R ><<，则20Q R c +=<，这与0c >矛盾，即充分性也成立. 【思路点拨】直接做较困难，用反证法 【答案】充要9.若0,0a b >>满足1ab a b ≥++ ，那么( )A.a b +有最小值2+B.a b +有最大值2+C.ab 1+D.ab 有最小值2+ 【知识点】放缩法；基本不等式 【数学思想】化归与转化思想【解题过程】2()14a b a b ab +++≤≤，所以2()4()40a b a b +-+-≥，解得2a b +≤-2a b +≥+1ab a b a b =++⎧⎨=⎩，即1a b ==+等号.【思路点拨】用基本不等式实现和积结构转换 【答案】A 探究型 多维突破9.设,,,x y z t 满足1100x y z t ≤≤≤≤≤，则x zy t+的最小值为________. 【知识点】放缩法；不等式的基本性质；基本不等式【解题过程】因为11x y y z ≥≥，且100z zt ≥，所以111005x z z y t z +≥+≥=，当且仅当1,10,100x y z t ====时，等号成立. 【思路点拨】通过放缩消元求最值【答案】1510.设0,0a b >>，且11a b a b+=+.证明： (1)2a b +≥；(2)22a a +<与22b b +<不可能同时成立.【知识点】反证法【解题过程】证明：由11a ba b a b ab++=+=，0,0a b >>，得1ab =.(1)由基本不等式及1ab =，有2a b +≥=，即2a b +≥.(2)假设22a a +<与22b b +<不可能同时成立，则由22a a +<及0a >得01a <<；同理，01a <<，从而1ab <，这与1ab =矛盾.故22a a +<与22b b +<不可能同时成立. 【思路点拨】基本不等式化简 【答案】见解析 自助餐 11.设1010101111112212221M =++++++-，则( ) A.1M = B.1M < C.1M > D.M 与1大小关系不定 【知识点】放缩法【解题过程】111010101011101010101011111111221221222122222M -=++++<++++==++- 【思路点拨】放缩成相同分母化简可证 【答案】B12.1A n=+++与*)n N ∈的大小关系为 . 【知识点】放缩法【解题过程】*n ∈N ，当1n =时，1A ==； 当2n ≥时，1121321A n n n =+++>+++++++-11n =++-=综上可知，A ≥.2)k >=-≥【答案】A ≥.13.用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是( )A.方程20x ax b ++=没有实根.B.方程20x ax b ++=至多有一个实根.C.方程20x ax b ++=至多有两个实根D.方程20x ax b ++=恰好有两个实根. 【知识点】反证法【解题过程】假设方程20x ax b ++=没有实根【思路点拨】本题考查了反证法，从问题的反面出发进行假设.一元二次方程根的个数为0，1，2.因此至少有一个实根包含1根或两根，它的反面为0根. 【答案】A14.已知,0x y >，且2x y +>.求证：11,x yy x++中至少有一个小于2. 【知识点】反证法 【解题过程】证明：假设112,2x yy x++≥≥，则12,12x y y x +≥+≥ 两式相加，得22()x y x y ++≥+，即2x y +≤，与题设矛盾. 所以11,x yy x++中至少有一个小于2. 【思路点拨】“至少有一个”问题的证明用反证法 【答案】见解析15.若数列{}n x 的通项公式为1n nx n =+，求证：13521n x x x x -<【知识点】放缩法【数学思想】化归与转化思想=， 13521132113211242352121n n n x x x x n n n ---=⨯⨯⨯<⨯⨯⨯=++. 所以13521n x x x x -<【思路点拨】213211133212112342121321()24222442223452213521n n n n n n n n n n n n -----⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯++【答案】见解析16.数列{}n a 的通项公式4(1)n a n n =+. 求证：对一切正整数n ，有1231111211117n a a a a ++++<----. 【知识点】放缩法；分析法 【数学思想】化归与转化思想【解题过程】证明：所证明的不等式为211112723474417n n +++<+-. 首先证明21211()(2)44171n n n n n <-≥+-+. 只要证221244177n n n n<+-+，只要证2277882n n n n +<+-，只要证220n n +->， 只要证(2)(1)0n n +->，当2n ≥时，此式显然成立，所以21211()(2)44171n n n n n <-≥+-+. ∴当2n ≥时，2111112111111212()72347441772334177(1)7n n n n n +++<+-+-++-=-<+-++. 【思路点拨】放缩成列项求和模型 【答案】见解析。

课堂导学三点剖析一,利用反证法进行证明【例1】 已知函数f (x )是(-∞,+∞)上的增函数,a ,b ∈R(1)若a +b ≥0,求证:f (a )+f (b )≥f (-a )+f (-b(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立,并证明你的结论证明:(1)∵a +b ≥0,∴a ≥-b ,-a ≤b又f (x )是(-∞,+∞)上的增函数∴f (a )≥f (-b ),f (-a )≤f (b∴f (a )+f (b )≥f (-a )+f (-b(2)逆命题:f (a )+f (b )≥f (-a )+f (-b )a +b ≥0, 下面用反证法证明假设a +b <0,则a <-b ,b <-a∴f (a )<f (-b ),f (b )<f (-a∴f (a )+f (b )<f (-a )+f (-b ).与已知矛盾∴假设不成立,逆命题得证.温馨提示反证法要从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的.二,运用放缩法证明不等式【例2】 已知n ,k 均为大于1的整数,试证明1+k 21+k 31+…+k n 1证明:1+k 21+k 31+…+k n 1≤1+221+231+…+n n 1<1+211⨯+321⨯+…+n n )1(1- =1+(1-21)+(21-31)+…+(11-n -n1)<2. 温馨提示用放缩法证明不等式过程中,往往采用添项或减项的“添舍”放缩,拆项对比的分项放缩,函数的单调性放缩,重要不等式放缩等.放缩时要注意适度,否则不能同向传递.三,反证法和放缩法的综合应用【例3】 n 为大于1的正整数,求证:(1+31)(1+51)…(1+121-n )>212+n证明:∵122-k k >kk 212+(k设A=(1+31)(1+51)…(1+121-n ) =34×56×78×…×122-n n B =45×67×…×n n 212+∴A 2>AB =34×45×56×67×…×122-n n ×n n 212+=312+n >412+n∴A >212+n (n ≥2). 温馨提示有些不等式,从正面证如果不易说清楚,可以考虑反证法,凡是有“至少”“唯一”或含有其他否定词的命题,适宜用反证法放缩法是一种证题技巧,要想用好它,必须有目标,目标可以从要证的结论中考察. 各个击破类题演练 1设f (x )=x 2+bx +c ,x ∈［-1,1］,证明当b <-2时,在其定义域范围内至少存在一个x ,使|f (x )|≥21成立. 证明:假设不存在x ∈［-1,1］上满足|f (x )|≥21, 则对于x ∈［-1,1］上的任意x 有-21<f (x )<21成立 ∴⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-〉++=〈+-=-211)1(211)1(c b f c b f b >-21与b <-2矛盾故假设不成立,即原命题成立变式提升 1 已知a ,b ,c ∈(0,1),求证:(1-a )c ,(1-b )b ,(1-c )a 不能同时大于41. 证明:假设三式同时大于41因为0<a <1,所以1-a 2141)1(2)1(=〉-≥+-c a c a . 同理,2)1(b b +-,2)1(a c +-都大于21 三式相加得23>23矛盾.所以原命题成立 类题演练 2已知a ,b ,c ,d ∈R +,求证:1<2〈+++++++++++ca d db dc c a c b bd b a a . 证明:∵〉+++++++++++ca d db dc c a c b bd b a a 1=+++++++++++++++dc b ad d c b a c d c b a b d c b a a , 又〈+++++++++++c a d d b d c c a c b b d b a a 2=+++++++d c d d c c b a b b a a ,∴1<〉+++++++++++ca d db dc c a c b bd b a a <2. 变式提升 2 求证:1+221+231+…+21n <2-n 1(n ≥2,n ∈N ). 证明:由21n <)1(1-n n =11-n -n 1,得 1+221+231+…+21n ≤1+1-21+21-31+…+11-n -n 1=2-n 1(n ≥2,n ∈N ). ∴原不等式成立类题演练 3设a ,b 为不相等的两正数,且a 3-b 3=a 2-b 2,求证:1<a +b <34. 证明:由题设得a 2+ab +b 2=a +b于是(a +b )2>a 2+ab +b 2=a +b ,故a +b又(a +b )2>4ab ,而(a +b )2=a 2+2ab +b 2=a +b +ab <a +b +4)(2b a + 即43(a +b )2<a +b ∴a +b <34∴1<a +b <34变式提升 3已知a ,b ,c ∈R +,求证:c b a a c c b b a ++++222222≥abc . 证明:∵a 2b 2+b 2c 2≥2ab 2cb 2c 2+c 2a 2≥2abc 2c 2a 2+a 2b 2≥2a 2bc以上三式相加,化简得a 2b 2+b 2c 2+a 2c 2≥abc (a +b +c两边同除以a +b +c 得cb a ac c b b a ++++222222≥abc .。

高中数学-打印版三反证法与放缩法一览众山小诱学·导入材料：从前有个国王总认为自己是个“至高无上的权威”，又是个“大慈大悲”的救世主.在处决犯人前，总要叫犯人抽签决定自己的命运，即在两张小纸片上，一张写“活”字，一张写“死”字，抽到“活”字可幸免一死.一个囚犯一天将要被处决，他的死对头买通了狱吏，把两张纸片都写上了“死”字让他去抽，心想，这下犯人必死无疑.谁知那个狱吏把此消息透露给了犯人.国王宣布抽签开始后，那犯人胸有成竹、不慌不忙地抽出一纸片，看也不看便放进嘴里，就吞下肚子，使在场的人慌了手脚，而犯人只受了痛打一顿的处罚而死里逃生了.问题：上述材料中犯人机智地保全了性命，试问你能说清理由吗？导入：因为谁都搞不清犯人抽到的是“死”还是“活”，此时，国王查看剩下的纸片上写的是“死”字，由此反证，可知被犯人吞下的是“活”字了.于是国王下令，将犯人痛打一顿，以责罚他不该擅自吞吃纸片，随后又不得不将犯人释放了.上述材料中犯人机智地运用反证法保全了性命，真可谓棋高一筹.这就是反证法思想在生活中的应用，下面就研究反证法以及放缩法在不等式证明中的应用.温故·知新1何谓矛盾呢？答：在逻辑中指两个概念互相排斥或两个判断不能同时为真也不能同时为假的关系.2.生活中的归谬证法是什么意思呢？答：归谬证法是指：当我们发现对方意见谬误时，不予驳斥和争辩，而是顺着他的思路，把谬误推导出来.对方的意见原来可能只考虑到一方面的效果，而忽略了另一方面的影响以及可能产生的负作用，所以归谬论证就有意朝这些方面推导.这种推导有时可以适当地夸大，使谬误更加明显，这就等于给对方戴上望远镜与显微镜.在整个推导过程中，自己始终表现得十分真诚，而且越真诚效果越好.对方感到你如此真诚地按照他的意见进行设想，而结果又是如此荒谬，往往会禁不住哑然失笑.这笑是笑他本人的愚笨，于是你的目的也达到了，这就是古人所采用的归谬论证法的效果.精心校对。

1．5.3反证法和放缩法[对应学生用书P21][读教材·填要点]1．反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来结论是正确的，这种方法称为反证法．2．放缩法在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁化简，达到证明目的，这种方法称为放缩法．[小问题·大思维]1．用反证法证明不等式应注意哪些问题？提示：用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的．2．运用放缩法证明不等式的关键是什么？提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式．[对应学生用书P21][例1]设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.[思路点拨]本题考查反证法的应用．解答本题若采用直接法证明将非常困难，因此可考虑采用反证法从反面入手解决．[精解详析]假设4a(1－b)＞1,4b(1－c)＞1,4c(1－d)＞1，4d(1－a)＞1，则有a(1－b)＞14，b(1－c)＞14，c(1－d)＞14，d(1－a)＞14.∴a(1－b)＞12，b(1－c)＞12，c(1－d)＞12，d(1－a)＞12.又∵a(1－b)≤a＋(1－b)2，b(1－c)≤b＋(1－c)2，c(1－d)≤c＋(1－d)2，d(1－a)≤d＋(1－a)2，∴a＋1－b2＞12，b＋1－c2＞12，c＋1－d2＞12，d＋1－a2＞12.将上面各式相加得2＞2，矛盾．∴4a(1－b)，4b(1－c)，4c(1－d)，4d(1－a)这四个数不可能都大于1.(1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体．(2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式①与已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相矛盾．1．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n＋S n＝2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证数列{a n}中不存在三项按原来顺序成等差数列．解：(1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又a n＋S n＝2，所以a n＋1＋S n＋1＝2，两式相减得a n＋1＝12a n，所以{a n}是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n＝12n－1.(2)反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N ＋)，则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p ＋1.①又因为p <q <r ，所以r －q ，r －p ∈N ＋.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证.[例2] 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.[思路点拨] 由于问题是“至少型”命题，故可用反证法证明．[精解详析] 假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0， 而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3∴π－3>0，且(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)≥0 ∴a ＋b ＋c >0这与a ＋b ＋c ≤0矛盾． 因此，a ，b ，c 中至少有一个大于0.(1)在证明中含有“至少”、“至多”、“最多”等字眼时，或证明否定性命题、惟一性命题时，可使用反证法证明．在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显然的事实矛盾，也可以自相矛盾．(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．2．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1.求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数， 即a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0，则1＝(a ＋b )(c ＋d )＝(ac ＋bd )＋(ad ＋bc )≥ac ＋bd . 这与已知中ac ＋bd >1矛盾， ∴原假设错误，故a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数.[例3] 求证：32－1n ＋1＜1＋122＋ (1)2＜2－1n (n ∈N *且n ≥2)．[思路点拨] 本题考查放缩法在证明不等式中的应用，解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式．[精解详析] ∵k (k ＋1)＞k 2＞k (k －1)， ∴1k (k ＋1)＜1k 2＜1k (k －1).即1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k (k ∈N ＋且k ≥2)．分别令k ＝2,3，…，n 得12－13＜122＜1－12，13－14＜132＜12－13， …1n －1n ＋1＜1n 2＜1n －1－1n，将这些不等式相加得 12－13＋13－14＋...＋1n －1n ＋1＜122＋132＋...＋1n 2＜1－12＋12－13＋...＋1n －1－1n ， 即12－1n ＋1＜122＋132＋ (1)2＜1－1n . ∴1＋12－1n ＋1＜1＋122＋132＋ (1)2＜1＋1－1n .即32－1n ＋1＜1＋122＋132＋ (1)2＜2－1n (n ∈N ＋且n ≥2)成立．(1)放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换，即欲证a >b ，可换成证a >c 且c >b ，欲证a <b ，可换成证a <c 且c <b .(2)放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标．而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察．常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：舍去或加上一些项：⎝⎛⎭⎫a ＋122＋34＞⎝⎛⎭⎫a ＋122； 将分子或分母放大(缩小)：1k 2＜1k (k －1)，1k2＞1k (k ＋1)，1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1(k ∈R ，k ＞1)等．3．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <1.证明：由2n ≥n ＋k ≥n (k ＝1,2…，n )，得12n ≤1n ＋k <1n .当k ＝1时，12n ≤1n ＋1<1n ； 当k ＝2时，12n ≤1n ＋2<1n； …当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n <1n ， ∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <n n ＝1.[对应学生用书P23]一、选择题1．否定“自然数a 、b 、c 中恰有一个为偶数”时正确的反设为( ) A ．a 、b 、c 都是奇数 B ．a 、b 、c 都是偶数C ．a 、b 、c 中至少有两个偶数D ．a 、b 、c 中至少有两个偶数或都是奇数解析：三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a 、b 、c 中恰有一个为偶数包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D 项符合．答案：D 2．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则( ) A ．M ＝1 B ．M <1C ．M >1D ．M 与1大小关系不定解析：∵210＋1>210,210＋2>210，…，211－1>210， ∴M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<101010102111···222+++个＝1. 答案：B3．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 的值( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2 解析：假设都大于－2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ＞－6，∵a ，b ，c ＜0， ∴a ＋1a ≤－2，b ＋1b ≤－2，c ＋1c ≤－2，∴a ＋1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ≤－6，这与假设矛盾，则选C. 答案：C4．已知p ＝a ＋1a －2，q ＝－a 2＋4a (a >2)，则( )A ．p >qB ．p <qC ．p ≥qD ．p ≤q解析：∵p ＝(a －2)＋1a －2＋2，又a －2>0， ∴p ≥2＋2＝4，而q ＝－(a －2)2＋4， 由a >2，可得q <4，∴p >q . 答案：A 二、填空题5．给出下列两种说法：①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时，可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以上两种说法正确的是________．解析：反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q >2，所以①错误；对于②，其假设正确．答案：②6．用反证法证明“已知平面上有n (n ≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d ，距离为d 的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n 条”时，假设的内容为________．解析：对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n ＋1条”．答案：直径的数目至少为n ＋1条 7．A ＝1＋12＋13＋…＋1n 与n (n ∈N ＋)的大小关系是________．解析：A ＝11＋12＋13＋ (1)≥?··n 项＝n n ＝n . 答案：A ≥n8．设a >0，b >0，M ＝a ＋b a ＋b ＋2，N ＝a a ＋2＋bb ＋2，则M 与N 的大小关系是________．解析：∵a >0，b >0， ∴N ＝a a ＋2＋b b ＋2>a a ＋b ＋2＋ba ＋b ＋2＝a ＋ba ＋b ＋2＝M .∴M <N . 答案：M <N 三、解答题9．已知0<x <2,0<y <2,0<z <2，求证：x (2－y )，y (2－z )，z (2－x )不都大于1. 证明：法一：假设x (2－y )>1且y (2－z )>1且z (2－x )>1均成立， 则三式相乘有：xyz (2－x )(2－y )(2－z )>1.①由于0<x <2，∴0＜x (2－x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1. 同理：0＜y (2－y )≤1，且0＜z (2－z )≤1， ∴三式相乘得：0<xyz (2－x )(2－y )(2－z )≤1②②与①矛盾，故假设不成立．∴x (2－y )，y (2－z )，z (2－x )不都大于1.法二：假设x (2－y )＞1且y (2－z )＞1且z (2－x )＞1. ∴x (2－y )＋y (2－z )＋z (2－x )＞3.③又x (2－y )＋y (2－z )＋z (2－x ) ≤x ＋(2－y )2＋y ＋(2－z )2＋z ＋(2－x )2＝3④④与③矛盾，故假设不成立， ∴原题设结论成立．10．已知实数x 、y 、z 不全为零，求证： x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>32(x ＋y ＋z )．证明：x 2＋xy ＋y 2 ＝⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2≥ ⎝⎛⎭⎫x ＋y 22 ＝|x ＋y 2|≥x ＋y 2.同理可得：y 2＋yz ＋z 2≥y ＋z 2，z 2＋zx ＋x 2≥z ＋x2.由于x 、y 、z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式累加得： x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>⎝⎛⎭⎫x ＋y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋z 2＋⎝⎛⎭⎫z ＋x 2＝32(x ＋y ＋z )． 11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝na n －2n (n －1)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，求证：15≤T n <14.解：(1)由S n ＝na n －2n (n －1)得 a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)a n ＋1－na n －4n ， 即a n ＋1－a n ＝4.∴数列{a n }是以1为首项，4为公差的等差数列， ∴a n ＝4n －3. (2)证明：T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝11×5＋15×9＋19×13＋…＋1(4n －3)×(4n ＋1)＝14⎛⎭⎫1－15＋15－19＋19－113＋…＋14n －3－14n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎫1－14n ＋1<14. 又易知T n 单调递增，故T n ≥T 1＝15，得15≤T n <14.。

三反证法与放缩法知识梳理1.反证法先____________,以此为出发点,结合已知条件，应用公理，定义,定理，性质等，进行正确的推理,得到和命题的条件（或已知证明的定理,性质,明显成立的事实等）_________的结论,以说明_________不正确，从而证明原命题成立,我们称这种证明问题的方法为反证法。

2。

放缩法证明不等式时,通常把不等式中的某些部分的值_________或_________,简化不等式，从而达到证明的目的.我们把这种方法称为放缩法.知识导学1.用反证法证明不等式必须把握以下几点：(1)必须否定结论，即肯定结论的反面,当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的。

(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件进行推证.否则,仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法。

(3）推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背等等.推导出的矛盾必须是明显的。

(4)在使用反证法时，“否定结论”在推理论证中往往作为已知使用，可视为已知条件.2.放缩法多借助于一个或多个中间量进行放大或缩小，如欲证A≥B,需通过B≤B1，B1≤B2≤…≤B i≤A（或A≥A1,A1≥A2≥…≥A i≥B），再利用传递性，达到证明的目的.疑难突破1。

反证法中的数学语言反证法适宜证明“存在性问题，唯一性问题”,带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的问题,或者说“正难则反”,直接证明有困难时，常采用反证法,下面我们列举一下常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设.对某些数学语言的否定假设要准确，以免造成原则性的错误,有时在使用反证法时，对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾,尤其在一些选择题中，更是如此.2。

放缩法的尺度把握等问题(1）放缩法的理论依据主要有：①不等式的传递性;②等量加不等量为不等量;③同分子(分母)异分母(分子）的两个分式大小的比较；④基本不等式与绝对值不等式的基本性质;⑤三角函数的有界性等.(2)放缩法使用的主要方法：放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩必须有目标,而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察.常用的放缩方法有增项,减项，利用分式的性质,利用不等式的性质，利用已知不等式，利用函数的性质进行放缩等.比如：舍去或加上一些项:（a+21)2+43>(a+21)2； 将分子或分母放大（缩小）：,121,)1(11,)1(1122-+<+>-<k k k k k k k k k 121++>k k k （k∈R ，k 〉1）等.典题精讲【例1】 （经典回放)若a 3+b 3=2，求证:a+b≤2。