人教版不等式的性质(1)课件PPT教学教材
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第1讲1第1课时不等式的基本性质课件人教新课标
即 cd ＞0， 所以acdd＞－0bc＞0， 或acdd＜－0b，c＜0， 即ad＞bc且cd＞0或ad＜bc且cd＜0.
解答
(4)设 a，b 为正实数，若 a－1a＜b－1b，则 a＜b. 解 正确. 因为 a－1a＜b－1b，且 a＞0，b＞0， 所以a2b－b＜ab2－a⇒a2b－ab2－b＋a＜0⇒ab(a－b)＋(a－b)＜0⇒(a－ b)(ab＋1)＜0， 所以a－b＜0，即a＜b.
本课结束
a－b 所以bb＋1＞0， 所以ab＞ab＋＋11.
解答
(2)已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小.
解 x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1) ＝(x－1)x－122＋34， 因为x＞1，所以x－1＞0. 又因为x－122＋34＞0， 所以(x－1)x－122＋34＞0， 所以x3－1＞2x2－2x.
证明
反思与感悟 进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等 式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需 要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的 充分条件.
跟踪训练 3 已知 a＞0，b＞0，求证：ba2＋ab2≥a＋b. 证明 ba2＋ab2－(a＋b)＝ba2－a＋ab2－b
_a_b_≠_1_或__a_≠_－__2____.
解析 ∵x＞y， ∴x－y＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a) ＝a2b2－2ab＋a2＋4a＋5 ＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0， ∴ab≠1或a≠－2.
12345
解析 答案
规律与方法
1.不等式的基本性质是不等式变形的根据，每一步变形都要做到有根有据， 严格按照不等式的性质进行. 2.作差法比较大小的基本步骤：作差——变形——与0比较——总结.其关 键是将“差”式变成“积”式，方便与0比较. 3.不等式的证明实质就是根据性质把不等式进行恰当变形，在变形过程中 一定要注意不等式成立的条件.
解答
(4)设 a，b 为正实数，若 a－1a＜b－1b，则 a＜b. 解 正确. 因为 a－1a＜b－1b，且 a＞0，b＞0， 所以a2b－b＜ab2－a⇒a2b－ab2－b＋a＜0⇒ab(a－b)＋(a－b)＜0⇒(a－ b)(ab＋1)＜0， 所以a－b＜0，即a＜b.
本课结束
a－b 所以bb＋1＞0， 所以ab＞ab＋＋11.
解答
(2)已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小.
解 x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1) ＝(x－1)x－122＋34， 因为x＞1，所以x－1＞0. 又因为x－122＋34＞0， 所以(x－1)x－122＋34＞0， 所以x3－1＞2x2－2x.
证明
反思与感悟 进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等 式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需 要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的 充分条件.
跟踪训练 3 已知 a＞0，b＞0，求证：ba2＋ab2≥a＋b. 证明 ba2＋ab2－(a＋b)＝ba2－a＋ab2－b
_a_b_≠_1_或__a_≠_－__2____.
解析 ∵x＞y， ∴x－y＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a) ＝a2b2－2ab＋a2＋4a＋5 ＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0， ∴ab≠1或a≠－2.
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解析 答案
规律与方法
1.不等式的基本性质是不等式变形的根据，每一步变形都要做到有根有据， 严格按照不等式的性质进行. 2.作差法比较大小的基本步骤：作差——变形——与0比较——总结.其关 键是将“差”式变成“积”式，方便与0比较. 3.不等式的证明实质就是根据性质把不等式进行恰当变形，在变形过程中 一定要注意不等式成立的条件.
不等式的性质(1)教学课件
2、如果a＜b＜0那么一定成立的不等式是（ ）
1 1 ( A) a b a (c ) 1 b
(B) ab＜1
a ( D) 1 b
3、判断正误：
× （２）如果a＞b，那么ac2＞bc2。 ×
（１）如果a＞b，那么ac＞bc。 （３）如果ac2＞bc2, 那么a＞b。
4.用不等式的性质解下列不等式：
例题讲解
例1：判断下列各题的推导是否正确？为什么. (1)因为7.5＞5.7，所以-7.5＜-5.7； (2)因为a+8＞4，所以a＞-4； (3)因为4a＞4b，所以a＞b； (4)因为-1＞-2，所以-a-1＞-a-2； (5)因为3＞2，所以3a＞2a．
．
例2：设a＞b，用“＜”或“＞”填空并口答是根 据哪一条不等式基本性质。
如果a=b,那么ac=bc或
a b c c
（c≠0），
思考 用“>”或“<”填空，并总结其中的规 律 如果 5 ＞ 3
那么 5+2 ____ 3+2 , ＞ 如果-1< 3, 那么-1+2____3+2, <
＞ 5 -2____3-2
< -1- 3____3 - 3
你能总结一下规律吗？
a>b 如果_____, a+c>b+c 那么_______ (或________) a-c＞b-c
引入
由a+2=b+2, 能得到a=b？
由a-2=b-2, 能得到a=b？ 由0.5a=0.5b, 能得到a=b？ 由 -2a= -2b, 能得到a=b？
一．等式的性质
等式的基本性质1: 在等式两边都加上(或减去)同一个数或 整式，结果仍相等．
1 1 ( A) a b a (c ) 1 b
(B) ab＜1
a ( D) 1 b
3、判断正误：
× （２）如果a＞b，那么ac2＞bc2。 ×
（１）如果a＞b，那么ac＞bc。 （３）如果ac2＞bc2, 那么a＞b。
4.用不等式的性质解下列不等式：
例题讲解
例1：判断下列各题的推导是否正确？为什么. (1)因为7.5＞5.7，所以-7.5＜-5.7； (2)因为a+8＞4，所以a＞-4； (3)因为4a＞4b，所以a＞b； (4)因为-1＞-2，所以-a-1＞-a-2； (5)因为3＞2，所以3a＞2a．
．
例2：设a＞b，用“＜”或“＞”填空并口答是根 据哪一条不等式基本性质。
如果a=b,那么ac=bc或
a b c c
（c≠0），
思考 用“>”或“<”填空，并总结其中的规 律 如果 5 ＞ 3
那么 5+2 ____ 3+2 , ＞ 如果-1< 3, 那么-1+2____3+2, <
＞ 5 -2____3-2
< -1- 3____3 - 3
你能总结一下规律吗？
a>b 如果_____, a+c>b+c 那么_______ (或________) a-c＞b-c
引入
由a+2=b+2, 能得到a=b？
由a-2=b-2, 能得到a=b？ 由0.5a=0.5b, 能得到a=b？ 由 -2a= -2b, 能得到a=b？
一．等式的性质
等式的基本性质1: 在等式两边都加上(或减去)同一个数或 整式，结果仍相等．
人教高中数学不等式的基本性质PPT完美版
例题讲解 例1、比较两数(a+1)2与 a2－a+1值的大小。
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练习 比较两数(a2 +1)2与 a4+a2+1的值的大小。
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例题讲解
•
6.不能把质朴、理性的爱国主义视为 民粹主 义、狭 隘民族 主义， 同时应 防止各 种形式 的民粹 主义和 极端民 族主义 行为。
•
7. 众多短视频平台成为人们的消遣神 器，但 如果缺 乏内容 创新和 内涵续 航，短 视频的 发展将 不容乐 观。
•
8. 在这个浅表性阅读时代，越是具有 艺术美 感、内 容穿透 力和人 文内涵 的走心 作品越 能获得 观众的 认可。
性质5：如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd.不等式的叠乘性质
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谢谢
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•
1.中美贸易摩擦已升级为舆论战，坚 持正确 舆论导 向、弘 扬爱国 主义精 神尤为 重要。
•
2.爱国主义精神具有深厚的历史性， 极强的 传承力 、感染 力，以 及坚韧 性，顽 强性和 理性。
•
3.爱国主义精神，是在中国共产党近 百年之 奋斗史 中不断 形成， 积聚与 升华而 成的。
•
4.面对史上规模最大的贸易战，中国 政府和 人民最 重要的 是“集中 力量做 好自己 的事”
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练习 比较两数(a2 +1)2与 a4+a2+1的值的大小。
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例题讲解
•
6.不能把质朴、理性的爱国主义视为 民粹主 义、狭 隘民族 主义， 同时应 防止各 种形式 的民粹 主义和 极端民 族主义 行为。
•
7. 众多短视频平台成为人们的消遣神 器，但 如果缺 乏内容 创新和 内涵续 航，短 视频的 发展将 不容乐 观。
•
8. 在这个浅表性阅读时代，越是具有 艺术美 感、内 容穿透 力和人 文内涵 的走心 作品越 能获得 观众的 认可。
性质5：如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd.不等式的叠乘性质
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•
1.中美贸易摩擦已升级为舆论战，坚 持正确 舆论导 向、弘 扬爱国 主义精 神尤为 重要。
•
2.爱国主义精神具有深厚的历史性， 极强的 传承力 、感染 力，以 及坚韧 性，顽 强性和 理性。
•
3.爱国主义精神，是在中国共产党近 百年之 奋斗史 中不断 形成， 积聚与 升华而 成的。
•
4.面对史上规模最大的贸易战，中国 政府和 人民最 重要的 是“集中 力量做 好自己 的事”
人教A版高数必修第一册2.1等式性质与不等式性质课件
D
GFC
A
H a
E
a2+b2
b B
等式性质与不等式性质(1)
实际 一 不
问题
等
一 不等式
不等 式性
?
关系
质
数学抽象
两个实数大小 关系的基本事 实（作差法）
高中数学
高中数学
注：a + c ＞ b ，a – c ＜ b 等其它合理情势也正确.
高中数学
问题2： 你能用不等式或不等式组表示下列问题中
的不等关系吗？
（4） 连接直线外 一 点与直线上各点的所有线段中，
垂线段最短.
解：如图， 设C是直线AB外的任意一 点，
C
CD⊥AB于点D，E是直线AB上不同于D的任
意 一 点， 连接线段CE， 则CD＜CE.
等式性质与不等式性质(1)
高中数学
代数学习
等式 → 方程（组）
数式
函数
不等式
一
一 元 一 次不 等式（组）
解不等式（组） 的理论根据是什么？
方程（组） 、 不等式与函数之间有什么联系？
高中数学
问题1： 常见的不等关系有哪些？ 你能用文字语言 和符号语言表述吗？
文字语言
符号语言
大于
>
小于
<
大于或等于（ 不小于）
≥
小于或等于（ 不大于）
≤
高中数学
问题2： 你能用不等式或不等式组表示下列问题中 的不等关系吗？
（ 1） 某路段限速40 km/h； 解：设在该路段行驶的汽车的速度为 v km/h，“ 限 速40 km/h ”就是 v 的大小不能超过40， 于是0 ＜v ≤ 40.
高中数学
等式性质与不等式性质课件(1)高一上学期数学人教A版
每本提价 0.2 元，则发行量将减少 4000 本，为使销 售总收入不小于 9 万元，需确定提价的范围，请用 不等式表示该不等关系.
解：若幼儿图书的定价为x元，则销售量减少：
x 2 0.4万本, 因此，销售总收入为： 0.2 (5 x 2 0.4)x万元.
0.2 那么不等关系“销售总收入不小于9万元”可以用不 等式为：
Hale Waihona Puke 例题课本38页例1：比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小．
解：(x+2)(x+3)－(x+1)(x+4)
作差
＝(x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋4) 变形
作 差 比
＝2>0，
定符号 较
∴(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).
确定大小 法
归纳总结
作差比较法的一般步骤是：①作差；②变形；③定号；
2.1 等式性质与不等式性质（1）
《必修》（第一册）P37 ~ P40
复习引入
1.在现实世界和日常生活中，大量存在着相等 和不等关系，例如：
长短 大小
轻重 高矮
在数学中，我 们怎样表示相 等与不等关系？
相等用等式表 示，不等用不 等式表示
2.我们用数学符号 , , , , 连接两个数或代数式，
分析：(1 )销售量减少了多少? x 2.5 0.2万本
0.1
(2)现在销售量是多少? (8 x 2.5 0.2)万本
0.1
(3)销售总收入为多少? (8 x 2.5 0.2)x万元
0.1
解：若杂志的定价为x元，则销售量减少：
x 2.5 0.2万本, 因此，销售总收入为： 0.1
解：若幼儿图书的定价为x元，则销售量减少：
x 2 0.4万本, 因此，销售总收入为： 0.2 (5 x 2 0.4)x万元.
0.2 那么不等关系“销售总收入不小于9万元”可以用不 等式为：
Hale Waihona Puke 例题课本38页例1：比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小．
解：(x+2)(x+3)－(x+1)(x+4)
作差
＝(x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋4) 变形
作 差 比
＝2>0，
定符号 较
∴(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).
确定大小 法
归纳总结
作差比较法的一般步骤是：①作差；②变形；③定号；
2.1 等式性质与不等式性质（1）
《必修》（第一册）P37 ~ P40
复习引入
1.在现实世界和日常生活中，大量存在着相等 和不等关系，例如：
长短 大小
轻重 高矮
在数学中，我 们怎样表示相 等与不等关系？
相等用等式表 示，不等用不 等式表示
2.我们用数学符号 , , , , 连接两个数或代数式，
分析：(1 )销售量减少了多少? x 2.5 0.2万本
0.1
(2)现在销售量是多少? (8 x 2.5 0.2)万本
0.1
(3)销售总收入为多少? (8 x 2.5 0.2)x万元
0.1
解：若杂志的定价为x元，则销售量减少：
x 2.5 0.2万本, 因此，销售总收入为： 0.1
不等式的基本性质(课件)
性质3（乘法法则）如果a＞b，c＞0，则ac＞bc;如 果a＞b，c＜0，则ac＜bc. 证明 因为
ac - bc =(a-b)c， 又因为a＞b，即a-b＞0，所以
当c＞0，(a-b)c＞0，即ac＞bc; 当c＜0，(a-b)c＜0，即ac＜bc.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
数学
基础模块（上册）
第二章 不等式
2.1.2 不等式的基本性质
人民教育出版社
第二章 不等式 2.1.2 不等式的基本性
学习目标
知识目标 能力目标
理解不等式的基本性质学习，掌握不等式的传递性、加法法则、乘法法则内 容及应用方法
学生运用分组探讨、合作学习，理解不等式的基本性质，掌握不等式的基本 性质应用方法，解决实际问题能力
情感目标 通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质
核心素养
通过思考、讨论等活动，提升学生数学的直观想象、逻辑推理、数据分析的 核心素养
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境： 从实数大小的性质出发，如何证明下列不等式的
重要性质： （1）性质1（传递性）如果a＞b，b＞c，则a＞c. （2）性质2（加法法则）如果a＞b，则a+c＞b+c.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
ac - bc =(a-b)c， 又因为a＞b，即a-b＞0，所以
当c＞0，(a-b)c＞0，即ac＞bc; 当c＜0，(a-b)c＜0，即ac＜bc.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
数学
基础模块（上册）
第二章 不等式
2.1.2 不等式的基本性质
人民教育出版社
第二章 不等式 2.1.2 不等式的基本性
学习目标
知识目标 能力目标
理解不等式的基本性质学习，掌握不等式的传递性、加法法则、乘法法则内 容及应用方法
学生运用分组探讨、合作学习，理解不等式的基本性质，掌握不等式的基本 性质应用方法，解决实际问题能力
情感目标 通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质
核心素养
通过思考、讨论等活动，提升学生数学的直观想象、逻辑推理、数据分析的 核心素养
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境： 从实数大小的性质出发，如何证明下列不等式的
重要性质： （1）性质1（传递性）如果a＞b，b＞c，则a＞c. （2）性质2（加法法则）如果a＞b，则a+c＞b+c.
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
人教版七年级数学下册《不等式的性质》不等式与不等式组PPT优秀课件
第九章 不等式与不等式组
不等式的性质
学习目标
1.(课标)探索不等式的基本性质. 2.掌握不等式的三个性质并且能正确应用. 3.理解解不等式的概念. 4.(课标)能解数字系数的一元一次不等式.
知识要点
知识点一:不等式的性质 (1)不等式的性质1 文字语言:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方 向 不变 . 符号语言:如果a＞b,那么a±c ＞ b±c.
4.(人教7下P119)用不等式表示下列语句并写出解集,并在数 轴上表示解集: (1)x的3倍大于或等于1; (2)x与3的和不小于3; (3)y与1的差不大于0;
(4)y 的1小于或等于－2.
4
(1)3x≥1,即 x≥1
3
(3)y－1≤0,即 y≤1
数轴略.
(2)x＋3≥3,即 x≥0 (4)1y≤－2,即 y≤－8
★.(新题速递)(人教7下P121改编)根据等式和不等式的基本 性质,我们可以得到比较两数大小的方法: 若a－b＞0,则a＞b;若a－b＝0,则a＝b; 若a－b＜0,则a＜b.反之也成立. 这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”. 请运用这种方法尝试解决下面的问题: 比较4＋3a2－2b＋b2与3a2－2b＋1的大小. 解:∵4＋3a2－2b＋b2－(3a2－2b＋1)＝b2＋3＞0, ∴4＋3a2－2b＋b2＞3a2－2b＋1.
数轴略.
(2)6x＜5x－1;
x＜－1
(4)1－1x≥x－2.
3
x≤9
4
8.【例4】(创新题)四个小朋友玩跷跷板,他们的体重分别为 P,Q,R,S,如图所示,则他们的体重大小关系是( D )
A.P＞R＞S＞Q C.S＞P＞Q＞R
B.Q＞S＞P＞R D.S＞P＞R＞Q
人教版《等式的性质》_PPT课件
课堂练习 【获奖课件ppt】人教版《等式的性质》_ppt课件1-课件分析下载
3.（2013广东）已知实数 a、b ，若a >b ，则 下列结论正确的是( ) A. a-5<b-5 B. 2+a<2+b C.a b D.3a>3b
33
4.（2014汕尾）若 x>y，则下列式子中错误的
是（ ） A．x-3>y-3
22 (5) ２a－５ __２ _b_－５
(6) － ３ .5 a ＋ １ _ _ _ _ 3 .5 b 1
【获奖课件ppt】人教版《等式的性质 》_ppt 课件1- 课件分 析下载
【获奖课件ppt】人教版《等式的性质 》_ppt 课件1- 课件分 析下载
拓展提升
判断正误，并说明理由
（1）由5 ﹥ 4，可得5a ﹥ 4a
联系：不等式性质和等式性质都讨论的是两 边都加上或减去同一个数的情况和两边都乘 以或除以同一个数（除数不为０）的情况， 即研究“形式”一致。
【获奖课件ppt】人教版《等式的性质 》_ppt 课件1- 课件分 析下载
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等式性质与不等式性质的主要区别是什么？
0的数，结果仍相等.
那么
ab cc
2．探究新知
问题2 研究等式性质的基本思路是什么？
等式的性质就是从加减乘除运算的角度研 究运算的不变性.
【获奖课件ppt】人教版《等式的性质 》_ppt 课件1- 课件分 析下载
(1) 5>3, 5+2____3+2 ,
5－2____3－2 ;
(2) –1<3 , -1+2____3+2 ,
人教版七年级数学下册教学课件《不等式的性质》(第1课时)
9.1 不等式
探究新知
（3）已知 a<b，则-a32 > -b32 .
解: 因为 a<b，两边都除以-3，
由不等式基本性质3，得
-a 3
>
-b 3
,
因为
-a 3
>
-
b 3
，两边都加上2，
由不等式基本性质1，得
-a 3
+2
>
- b3 + 2
.
9.1 不等式
巩固练习
9.1 不等式
若 a>b, 用“>”或“<”填空： a-5 > b-5（根据不等式的性质 1 ）
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
0
巩固练习
9.1 不等式
利用不等式的性质解下列不等式:
(1)x-5 ＞ -1; (2)-2x ＞ 3; (3)7x ＜ 6x-6. 解：（1）根据不等式的性质1，两边都加上5，得
x＞-1+5, 即 x＞4; （2）根据不等式的性质3，两边都除以-2，得
（3）根据不等式的性质1，两边都减去6x，得 7x-6x<-6, 即 x<-6.
9.1 不等式
如果a>b,
c
c
那么a±c>b±c
探究新知 不等式基本性质1：
9.1 不等式
不等式的两边都加上（或减去）同一个整式， 不等号的方向不变.
如果_a_>_b_,那么_a_±__c_>_b_±__c.
探究新知
9.1 不等式
考 点 1 利用不等式的性质1解答问题
用“>”或“<”填空：
（1）已知 a>b，则a+3 > b+3;
2.1等式性质与不等式性质(第一课时)课件(人教版)
(定性描述)
a克糖水中含有b(a>b>0)克糖，再加入
m(m>0)克糖，糖水更甜了，为什么？
符
号
化
象
数学模型：
过
逻
辑
推
理
程
论证模型：
(定量描述)
+
+
>
(a>b>0，m>0)
？
问
+
求证：
+
>
(a>b>0，m>0)
-
核
心
素
养
之
题
逻
辑
推
理
论
(+)−(+)
=
(+)
证明：∵ a2+b2-2ab
=(a-b)2 ≥0
∴ a2+b2≥2ab (当a=b时取等号)
方
不等式就是用不等号连结两个数（式）得到的式子；
法
总 故证明不等式，本质上就是比较两个数的大小. 这里用了
结 作差比较法，今后会学习别的证明方法.
生活问题：
数
量
化
学
数学问题：
数
学
抽
象
抽
+
核
心
素
养
之
数
学
建
模
为什么糖水中加的糖越多越甜？
三、本节课训练的数学思想方法
转化与化归
方程思想
函数结合
分类讨论
主元思想
基础作业：
.
02 能力作业：
.
01
03
拓展延伸：（选做）
a克糖水中含有b(a>b>0)克糖，再加入
m(m>0)克糖，糖水更甜了，为什么？
符
号
化
象
数学模型：
过
逻
辑
推
理
程
论证模型：
(定量描述)
+
+
>
(a>b>0，m>0)
？
问
+
求证：
+
>
(a>b>0，m>0)
-
核
心
素
养
之
题
逻
辑
推
理
论
(+)−(+)
=
(+)
证明：∵ a2+b2-2ab
=(a-b)2 ≥0
∴ a2+b2≥2ab (当a=b时取等号)
方
不等式就是用不等号连结两个数（式）得到的式子；
法
总 故证明不等式，本质上就是比较两个数的大小. 这里用了
结 作差比较法，今后会学习别的证明方法.
生活问题：
数
量
化
学
数学问题：
数
学
抽
象
抽
+
核
心
素
养
之
数
学
建
模
为什么糖水中加的糖越多越甜？
三、本节课训练的数学思想方法
转化与化归
方程思想
函数结合
分类讨论
主元思想
基础作业：
.
02 能力作业：
.
01
03
拓展延伸：（选做）
人教版高中数学1不等式的性质(共17张PPT)教育课件
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
但
是
当
我
拍
完
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
■
电
:
“
口
罗
部
爬
一
，
1
戏
有
上
来
的
我
个
5
分
钟
后
你
还
色
其
没
清
镜
没
有
楚 弄
有 怎
完 情
么
头
我
就
胆
怯
，
像
运
作
这
个
东
西
(
，
下
不
耐
烦
像
如
果
我
自
己
弄
费
电
影
一
五
分
钟
男
女
实
里
拍
个
就
弄
尼
摄
)
所
镜
完
所
以
最
是
拍 以
后
通
不
第
一
为
人
的
一
生
说
白
了
，
也
就
是
三
万
5.1.1不等式的基本性质(1)课件(人教版选修4-5)
2
（3）
a
2
b
2
（4）
2 2
a
b
• • • • • • • • > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b 基本理论四大应用之一：比较实数的大小. 一般步骤： 作差－变形－判断符号—下结论。 变形是关键： 1°变形常用方法:配方法，因式分解法。 2°变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几 个平方和；几个因式的积。
小结
作业
一、课本 P10 2
二、补充
1．比较 ( x 5)( x 7)与( x 6) 的大小．
2
2．如果x 0,比较 ( x 1) 2 与( x 1) 2 的大小． 3．已知 a 0，比较 (a 2 2a 1)( a 2 2a 1)
与 (a 2 a 1)( a 2 a 1) 的大小．
• = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] • x∈R ∴ 2 (x + 1/2)2 + 1/2 >0 • 若x≠1 那么 (x -1)2 > 0则 2x4+1 >
2x3+x2 • 若 x =1 那么(x -1)2 = 0 则 2x4+1 = 2x3+x2 • 综上所述: 若 x = 1 时 2x4+1 = 2x3+x2 •求差比较大小 x≠1 时 2x4+1 > 2x3+x2 若 分四步进行：①作差；②变形；③定号； ③下结论。
关于a,b的大小关系,有以下基本事实:如果a>b,那么 a-b是正数;如果a=b,那么a-b等于零;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来也对.
（3）
a
2
b
2
（4）
2 2
a
b
• • • • • • • • > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b 基本理论四大应用之一：比较实数的大小. 一般步骤： 作差－变形－判断符号—下结论。 变形是关键： 1°变形常用方法:配方法，因式分解法。 2°变形常见形式是：变形为常数；一个常数与几 个平方和；几个因式的积。
小结
作业
一、课本 P10 2
二、补充
1．比较 ( x 5)( x 7)与( x 6) 的大小．
2
2．如果x 0,比较 ( x 1) 2 与( x 1) 2 的大小． 3．已知 a 0，比较 (a 2 2a 1)( a 2 2a 1)
与 (a 2 a 1)( a 2 a 1) 的大小．
• = (x -1)2 [2 (x + 1/2)2 + 1/2] • x∈R ∴ 2 (x + 1/2)2 + 1/2 >0 • 若x≠1 那么 (x -1)2 > 0则 2x4+1 >
2x3+x2 • 若 x =1 那么(x -1)2 = 0 则 2x4+1 = 2x3+x2 • 综上所述: 若 x = 1 时 2x4+1 = 2x3+x2 •求差比较大小 x≠1 时 2x4+1 > 2x3+x2 若 分四步进行：①作差；②变形；③定号； ③下结论。
关于a,b的大小关系,有以下基本事实:如果a>b,那么 a-b是正数;如果a=b,那么a-b等于零;如果a<b,那么a-b 是负数;反过来也对.
2.1等式性质与不等式性质PPT课件(人教版)
A.P≥Q
B.P＞Q
C.P＜Q
D.P≤Q
解析：P－Q＝2a(a－2)＋3－(a－1)(a－3)＝a2≥0， 所以P≥Q.故选A．
学以致用：
2.已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3， 求a＋3b的取值范围．
解：设 a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b， 解得λ1＝53，λ2＝－23. 又－53≤53(a ＋b )≤53，－2≤－23(a －2b )≤－23， 所以－131≤a＋3b≤1. 故 a＋3b 的取值范围为－131≤a＋3b≤1.
（可加性）反之亦然
不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与 原不等式同向。
性质4：如果 a b且 c 0 ，那么 ac bc；
如果 a b且 c 0，那么 ac bc.
（可乘性）
不等式的性质：
性质5：如果 a b 且 c d ，那么
a c b d （相加法则）
两个同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向。
性质5：如果a=b，c≠0，那么 a b cc
不等式的性质：
性质1：如果 a b ，那么 b a ；如果
b a ，那么 a b. （对称性）
abba
性质2：如果 a b ，b c ，那么 a c.
（传递性）
a b,b c a c
不等式的性质：
性质3：如果 a b，那么 a c b c.
(n N且n 2) （可开方性）
例2：已知 a b 0，c 0，求证：c c . ab
证明： a b 0， ab 0， 1 0 ab
a 1 b 1 ab ab
11 ba
即
11 ab
又 c 0， c c ab
2.1等式性质与不等式性质第1课时课件(人教版)
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f不少于2.5%， 蛋白质的含量p应不少于2.3%；
f 2.5% p 2.3%
学习目标
新课讲授
课堂总结
提问1：回顾初中知识，什么是不等式？怎么用不等式或不等式组表 示下列问题中的不等关系？
（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；
设△ABC的三条边为a,b,c,则a+b>c,a-b<c;
17m x
D.(22-x)(17-x)<30022m学习目标新课讲授课堂总结
练一练 2.比较(x-3)2与(x-2)(x-4)的大小.
解:(x-3)2-(x-2)(x-4) =x2-6x+9-x2+6x-8 =1＞0 所以(x-3)2＞(x-2)(x-4)
学习目标
新课讲授
课堂总结
探究：右图正方形ABCD为4个全等直角三角形围成的图形，你能找出阴影部
x
b
a
学习目标
新课讲授
课堂总结
归纳总结
关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实： 如果a-b是正数，那么a＞b；如果a-b等于0，那么a=b；如果a-b
是负数，那么a＜b；反过来也成立.
这个基本事实可以表示为： a b ab0 a b ab0 ab ab0
学习目标
新课讲授
课堂总结
例1 比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小
2.1 等式性质与不等式性质 第1课时
学习目标
新课讲授
课堂总结
1.能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系 2.能用作差法判断实数或代数式的大小
学习目标
新课讲授
课堂总结
f 2.5% p 2.3%
学习目标
新课讲授
课堂总结
提问1：回顾初中知识，什么是不等式？怎么用不等式或不等式组表 示下列问题中的不等关系？
（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；
设△ABC的三条边为a,b,c,则a+b>c,a-b<c;
17m x
D.(22-x)(17-x)<30022m学习目标新课讲授课堂总结
练一练 2.比较(x-3)2与(x-2)(x-4)的大小.
解:(x-3)2-(x-2)(x-4) =x2-6x+9-x2+6x-8 =1＞0 所以(x-3)2＞(x-2)(x-4)
学习目标
新课讲授
课堂总结
探究：右图正方形ABCD为4个全等直角三角形围成的图形，你能找出阴影部
x
b
a
学习目标
新课讲授
课堂总结
归纳总结
关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实： 如果a-b是正数，那么a＞b；如果a-b等于0，那么a=b；如果a-b
是负数，那么a＜b；反过来也成立.
这个基本事实可以表示为： a b ab0 a b ab0 ab ab0
学习目标
新课讲授
课堂总结
例1 比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小
2.1 等式性质与不等式性质 第1课时
学习目标
新课讲授
课堂总结
1.能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系 2.能用作差法判断实数或代数式的大小
学习目标
新课讲授
课堂总结
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②运用不等式基本性质3时，要变两个号，一 个性质符号，另一个是不等号． ③ 补充两点：
（1）如果a＞b，那么b＜a 。 （2）如果a＞b， b ＞c，那么 a ＞ c。
作 业: P128-----3,6
（依据不：等式的基本性质1
）
（2）若2x＞-6，两边同除以2，得＿＿＿X>＿-3 ＿
（依据：不等式的基本性质2
）
（3）若-3x ≤ 6，两边同除以-3，得＿＿X＿≥＿-＿2
（依据：不等式的基本性质3
）
小结 今天学的是不等式的三个基本性质：
➢不等式的基本性质1：
如果a ＞b，那么a±c＞b±c.就是说，不等式两边都 加上 (或减去）同一个数(或式子),不等号方向不变。
cc
从上面的回忆可知，等式有两条 基本性质，而不等式与等式只有一 字之差，那么不等式是否也有类似
的性质呢？
1 不等关系 不相等 处处可见
在古代，我们的祖先就懂得了翘翘板的工作原理， 并且根据这一原理设计出了一些简单机械， 并把它们用到了生活实践当中．
由此可见，“不相等”处处可见。
不等式
７＞４ －3＜４ 6<10
等式的基本性质2
等式的两边都乘以（或 除以）同一个不为零的 数，所得的等式仍成立.
不等式的性质2
不等式的两边乘（或除以）同 一个正数，不等号的方向不变。
不等式的性质3
不等式的两边乘（或除以）同一 个负数，不等号的方向改变.
做一做
选择适当的不等号填空；
（1）若x+1＞0，两边同加上-1，得＿＿X＿>-1＿
复习回顾
1 .观察下面的式子，回答什么叫 不等式
3x>5 a+4<b+3 a+1>0
一般的，用不等号表示大小关系的式子， 叫做不等式
2 .你还记得； 等式的基本性 质？
复习回顾
等式基本性质1：
等式两边加（或减）同一个数（或式子）， 结果仍相等。
如果a=b,那么a±c=b±c 等式基本性质2：
等式两边乘同一个数，或除以同一个不 为0的数，结果仍相等。 如果a=b,那么ac=bc (或a _=__b).（c≠0）
两边都加（或减去） 同一个数
7+5> 4+5 -3-7 <4－7
6+(a+b)<10+(a+b)
不等号 的方向
不变 不变
不变
不等式的性质1 不等式的两边加（或
减）同一个数 ( 或 式 子 )，不等号的方向 不变.
字母表示为：
﹥ 如果a＞b，那么a±c
b±c
不等式
７＞４ －8＜４
...
两边都乘（或除以） 不等号
不等式性质1：
不等式两边加( 减去 )同一个数(或式 子)，不等号的方向不变。
不等式性质2：
不等式两边乘( 或除以 )同一个正数， 不等号的方向不变。
不等式性质3：
不等式两边乘( 或除以 )同一个负数， 不等号的方向改变。
比较等式与不等式的性质.
等式的基本性质1
不等式的性质1
等 式 的 两 边 都 加 上 不等式的两边加（或减） （或减去）同一个数， 同一个数（或式子），不 所得到的等式仍成立。 等式的方向不变。
－8＜４ -8÷（-2）>4÷（-2）
...
...
改变
改变
...
不等式性质3：
不等式两边乘(
改变
或)除同以一个负数，不等号的方向
类比推导
不等式的性质 3 不等式的两边乘（ 或 除以）同一个负数，不等号的方向改变
必须把不等号的方向改变
字母表示为：
﹤ ﹤ 如果a＞b，c＜0那么ac
bc，(或ac
___b). c
➢不等式基本性质2：
ab
如果a ＞b，c > 0 ,那么 ac>bc(或
< cc
) 就是说
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号
的方向不变。
➢不等式基本性质3：
ab
如果a>b，c<0 那么ac<bc(或
c
> c
)就是说不等式
的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向
改变。
①在利用不等式的基本性质进行变形时，当 不等式的两边都乘以(或除以)同一个字母， 字母代表什么数是问题的关键，这决定了是 用不等式基本性质2还是基本性质3，也就是 不等号是否要改变方向的问题；
同一个正数
的方向
7×5 <4×5 -8÷2 <4÷2
...
不变
不变
...
不等式的性质2 不等式的两边乘（或
ห้องสมุดไป่ตู้除以） 同一个正数，不等号的方向不变.
> > 字母表示为：
如果a>b,c>0那么ac
bc，(或ac
___b). c
不等式
两边都乘（或除以） 不等号
同一个负数
的方向
７＞４ 7×(-5) >4×(-5)
（1）如果a＞b，那么b＜a 。 （2）如果a＞b， b ＞c，那么 a ＞ c。
作 业: P128-----3,6
（依据不：等式的基本性质1
）
（2）若2x＞-6，两边同除以2，得＿＿＿X>＿-3 ＿
（依据：不等式的基本性质2
）
（3）若-3x ≤ 6，两边同除以-3，得＿＿X＿≥＿-＿2
（依据：不等式的基本性质3
）
小结 今天学的是不等式的三个基本性质：
➢不等式的基本性质1：
如果a ＞b，那么a±c＞b±c.就是说，不等式两边都 加上 (或减去）同一个数(或式子),不等号方向不变。
cc
从上面的回忆可知，等式有两条 基本性质，而不等式与等式只有一 字之差，那么不等式是否也有类似
的性质呢？
1 不等关系 不相等 处处可见
在古代，我们的祖先就懂得了翘翘板的工作原理， 并且根据这一原理设计出了一些简单机械， 并把它们用到了生活实践当中．
由此可见，“不相等”处处可见。
不等式
７＞４ －3＜４ 6<10
等式的基本性质2
等式的两边都乘以（或 除以）同一个不为零的 数，所得的等式仍成立.
不等式的性质2
不等式的两边乘（或除以）同 一个正数，不等号的方向不变。
不等式的性质3
不等式的两边乘（或除以）同一 个负数，不等号的方向改变.
做一做
选择适当的不等号填空；
（1）若x+1＞0，两边同加上-1，得＿＿X＿>-1＿
复习回顾
1 .观察下面的式子，回答什么叫 不等式
3x>5 a+4<b+3 a+1>0
一般的，用不等号表示大小关系的式子， 叫做不等式
2 .你还记得； 等式的基本性 质？
复习回顾
等式基本性质1：
等式两边加（或减）同一个数（或式子）， 结果仍相等。
如果a=b,那么a±c=b±c 等式基本性质2：
等式两边乘同一个数，或除以同一个不 为0的数，结果仍相等。 如果a=b,那么ac=bc (或a _=__b).（c≠0）
两边都加（或减去） 同一个数
7+5> 4+5 -3-7 <4－7
6+(a+b)<10+(a+b)
不等号 的方向
不变 不变
不变
不等式的性质1 不等式的两边加（或
减）同一个数 ( 或 式 子 )，不等号的方向 不变.
字母表示为：
﹥ 如果a＞b，那么a±c
b±c
不等式
７＞４ －8＜４
...
两边都乘（或除以） 不等号
不等式性质1：
不等式两边加( 减去 )同一个数(或式 子)，不等号的方向不变。
不等式性质2：
不等式两边乘( 或除以 )同一个正数， 不等号的方向不变。
不等式性质3：
不等式两边乘( 或除以 )同一个负数， 不等号的方向改变。
比较等式与不等式的性质.
等式的基本性质1
不等式的性质1
等 式 的 两 边 都 加 上 不等式的两边加（或减） （或减去）同一个数， 同一个数（或式子），不 所得到的等式仍成立。 等式的方向不变。
－8＜４ -8÷（-2）>4÷（-2）
...
...
改变
改变
...
不等式性质3：
不等式两边乘(
改变
或)除同以一个负数，不等号的方向
类比推导
不等式的性质 3 不等式的两边乘（ 或 除以）同一个负数，不等号的方向改变
必须把不等号的方向改变
字母表示为：
﹤ ﹤ 如果a＞b，c＜0那么ac
bc，(或ac
___b). c
➢不等式基本性质2：
ab
如果a ＞b，c > 0 ,那么 ac>bc(或
< cc
) 就是说
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号
的方向不变。
➢不等式基本性质3：
ab
如果a>b，c<0 那么ac<bc(或
c
> c
)就是说不等式
的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向
改变。
①在利用不等式的基本性质进行变形时，当 不等式的两边都乘以(或除以)同一个字母， 字母代表什么数是问题的关键，这决定了是 用不等式基本性质2还是基本性质3，也就是 不等号是否要改变方向的问题；
同一个正数
的方向
7×5 <4×5 -8÷2 <4÷2
...
不变
不变
...
不等式的性质2 不等式的两边乘（或
ห้องสมุดไป่ตู้除以） 同一个正数，不等号的方向不变.
> > 字母表示为：
如果a>b,c>0那么ac
bc，(或ac
___b). c
不等式
两边都乘（或除以） 不等号
同一个负数
的方向
７＞４ 7×(-5) >4×(-5)