罗默《高级宏观经济学》(第4版)配套题库【章节题库】第1章~第3章 【圣才出品】

第8章消费1．宏观经济学模型：储蓄、消费、税收和转移支付。

一个代表性家庭主要生活在两个时期：年轻和年老时期。

当处于年轻期，这个家庭的总收入为20个单位的商品，当处于年老期，其收入为0。

假定其真实利率为2%，这个代表性家庭总是选择年轻和年老时消费同样多的商品，请回答以下问题：（1）请写出代表性家庭的跨期预算约束（inter-temporal budget constraint）。

使用C1和C2分别代表年轻和年老时消费，结合给定的利率和总收入，补充其他需要的条件写出此代表性家庭完整的跨期预算约束。

（2）这个家庭应该储蓄多少？（3）假定这个家庭在年轻的时候需要缴纳4个单位的商品作为税收，而在年老时可以获得6个单位商品的转移支付（福利）。

写出在这种情况下新的跨期预算约束。

此时这个代表性家庭应该从可支配收入中储蓄多少？答：（1）由已知可得这个家庭的年轻收入为Y1＝20，年老收入为Y2＝20，假定利率为r，则代表性家庭的跨期预算约束为：C1＋C2/（1＋r）＝Y1＋Y2/（1＋r）＝20；即：C1＋C2/（1＋2%）＝20。

假定年轻时，政府征税T单位商品，年老时获得转移支付TR单位商品，则代表性家庭完整的跨期预算约束为：C1＋C2/（1＋r）＝Y1－T＋（Y2＋TR）/（1＋r）；即：C1＋C2/（1＋2%）＝20－T＋TR/（1＋2%）。

（2）由于代表性家庭总是选择年轻和年老时消费同样多的商品，则C1＝C2，在不考虑政府税收和转移支付的情况下（T＝TR＝0），将r＝2%代入C1＋C2/（1＋2%）＝20，可得：C 1＝C 2＝20/[1＋1/（1＋2%）]＝10.1。

因此，这个家庭应该储蓄S ＝Y 1－C 1＝20－10.1＝9.9。

（3）若T ＝4，TR ＝6，则新的跨期预算约束为：C 1＋C 2/（1＋2%）＝20－4＋6/（1＋2%）＝16＋6/（1＋2%）由C 1＝C 2代入，可得：C 1＝C 2＝11.05。

第6章名义刚性1．什么是卢卡斯批判？为什么卢卡斯批判对凯恩斯宏观经济学的政策建议有影响？答：（1）卢卡斯批判的含义卢卡斯批判，又称卢卡斯批评，是卢卡斯提出的一种认为传统政策分析没有充分考虑到政策变动对人们预期影响的观点，该名称来自卢卡斯的论文《计量经济学的政策评价：一个批判》。

卢卡斯指出，由于人们在对将来的事态做出预期时，不但要考虑过去，还要估计现在的事件对将来的影响，并且根据他们所得到的结果而改变他们的行为。

这就是说，他们要估计当前的经济政策对将来事态的影响，并且按照估计的影响采取对策，即改变他们的行为，以便取得最大的利益。

行为的改变会使经济模型的参数发生变化，而参数的变化又是难以衡量的。

因此，经济学者用经济模型很难评价经济政策的效果。

（2）卢卡斯批判的具体内容具体来说，卢卡斯批判的内容有：①任何政策都是政府与私人部门之间的博弈，双方力图猜中对方的最优策略。

假如政府把私人部门当成被动的“机器”来控制，其政策的基本假设已经错误了。

政府的每一个策略，假如已经被私人部门准确地预见到，则政策的“货币效应”将消失，政府的货币政策将是“中性”的，不会产生任何物质力量。

而政府的财政开支将以其物质力量与私人部门竞争资源，产生所谓的“挤出效应”，即以每一元政府开支从市场里挤出去一元钱的私人开支，结果政府开支仅仅是替私人花钱而已。

所以政府的任何政策，不论是货币的还是实物的，都不会产生有益于社会的效果。

②理论解释为什么在战后确实出现了持续繁荣，是否与凯恩斯政策有关系。

卢卡斯认为，凯恩斯政策假如短期内有效，那就是因为市场中存在大量“接电话”的噪音使私人听不清信号。

当大多数私人因为听不清信号而放弃行动时，政府相当于在与一个完全被动的机器博弈，所以很轻易实行“最优控制”以达到预期效果。

但是当人们反复听取信号，终于搞清楚了政府意图时，博弈就又回到主动的理性人之间的博弈了。

战后繁荣的代价就是，政府为了不断造成“惊奇”效应，必须不断使自己的政策强度升级。

第3章内生增长1．金融危机、货币宽松与经济增长（请阅读下面关于美国量化宽松的描述并简要回答问题，要求简明指出要点）。

2007年中，美国爆发次贷危机和金融危机，金融市场波动增加，风险增大。

美联储（美国中央银行）采取了一系列的对抗措施，力图阻止经济产生更大波动，稳定增长和就业，促进经济增长。

先是把联邦基金利率从2007年7月的5.25%，下降到2008年12月的几乎为零，一年半的时间内下调了超过5个百分点。

然后先后在2008年11月、2010年11月、2012年9月推出三轮量化宽松的政策，大量购买美国国债、机构债、资产抵押债券，向市场注入资金。

（1）根据你的货币政策知识，简要描述降低利率和量化宽松的区别。

（2）2011年9月，美联储推出了扭曲操作，出售4000亿美元中短期国债，购入相同数量的中长期国债。

美联储进行这样的操作的预期效果是什么？根据《联邦储备法案》，美联储的政策目标是“充分就业、价格稳定和适中的长期利率”。

次贷危机和金融危机以来，美国的失业率快速上升而且居高不下，从2007年5月的4.4%上升到2009年10月的10%，后来缓慢下降，但是迄今一直保持在7.2%以上，远远高于6.5%以下的政策目标，而且美国的通货膨胀率也一直不高。

因此，美联储一直没有退出量化宽松政策。

（3）基于索罗模型，一个经济体的产出由技术和要素投入决定：Y＝AF（K，L，H），其中Y是产出，A是生产技术，K是资本，L是劳动力，H是附着在劳动力上面的人力资本。

这个模型还可以进一步扩展，比如把自然资源包含进去作为生产函数的另一种要素投入，再比如进一步考虑生产技术A如何变化。

一个有意思的观察是，在增长模型中并没有货币因素，也没有就业，可是为什么美联储认为货币政策可以促进就业呢？请从政策目标之间的关系考虑。

（4）从2007年危机爆发至今，已有6年多的时间。

虽然美联储的货币政策一直极为宽松，但是美国的经济复苏一直不强劲、不稳定，而且在此期间美国在技术领域取得了诸多进展，比如页岩气开采技术等等。

罗默《高级宏观经济学》【教材精讲+经典考题串讲】讲义第1章索洛增长模型第一部分重难点解读“一旦人们开始思考（经济增长）问题，他将很难再顾及其他问题。

”——罗伯特·卢卡斯（Robert Lucas，1988）1.1模型假设投入与产出生产函数采取如下形式：()()()()(),Y t F K t A t L t =其中，t ：时间，A ：有效劳动．．．．——劳动增加型．．．．．的或哈罗德中性．．．．．。

生产函数生产函数是规模报酬不变的：()(),,F cK cAL cF K AL =，对于所有0c ≥规模不变结合两个不同的假设：第一是经济规模足够大，以至于专业化的收益已被全部利用。

第二是除资本、劳动与知识以外的其他投入相对不重要。

把单位有效劳动的产出写成单位有效劳动的函数：()1,1,⎛⎫= ⎪⎝⎭K F F K AL AL AL定义/=k K AL ，/=y Y AL 以及()(),1=f k F k ，得：()=y f k 关于()f k 的假设：（1）()00=f ，()0'>f k ，()0''<f k （如何推导？比较重要！）（2）稻田条件（Inada condition）：()0lim →'=∞k f k ，()lim 0→∞'=k f k 柯布一道格拉斯函数：()()1,,01ααα-=<<F K AL K AL 。

根据规模报酬不变假设，整理可得：()α=f k k ，图示如图1.1所示。

图1.1柯布-道格拉斯生产函数生产投入的演化给定资本、劳动与知识的初始水平，劳动与知识以不变的增长率增长：()()∙=L t nL t ()()∙=A t gA t 其中，n 与g 是外生参数。

求解以上两微分方程，可得：()()0=ntL t L e()()0=gtA t A e 假设：用于投资的产出份额s 是外生且不变的，则有资本动态积累方程：()()()δ∙=-K t sY t K t 其中，δ为资本折旧率。

第5章实际经济周期理论1．假设价格有完全的伸缩性，并且，经济中产出的波动正如真实经济周期理论所说的是由于技术冲击所造成的。

那么：（1）如果央行保持货币供给不变，随着产出的波动，物价水平会发生什么变动？（2）如果央行调整货币供给以稳定物价水平，随着产出的波动，货币供给会发生什么变动？（3）经济学家观察到，货币供给的波动与产出的波动正相关，我们可以将此作为反对实际经济周期模型的证据，认为产出的波动源自货币供给的波动吗？答：实际经济周期理论假定物价具有完全的伸缩性，所以货币不具有实际影响，物价会随货币调整使货币市场保持均衡。

这意味着实际总供给和总需求决定利率和产量，物价则自由调整以保证货币市场出清。

（1）当产量增加时，实际货币余额需求会上升。

如果央行保持货币供给不变，则物价必须下降以使货币市场保持均衡。

反之，当产量减少时，实际货币余额需求会下降。

如果央行保持货币供给不变，则物价必须上升以使货币市场保持均衡。

所以，物价与产量反方向变动。

（2）假如央行通过调整货币供给以保证物价水平稳定，则当产量增加时，实际货币余额需求会上升，为使物价保持稳定，央行必须增加货币供给。

反之，当产量减少时，实际货币余额需求会下降，为使物价保持稳定，央行必须减少货币供给。

所以，货币供给和产出同方向变动。

（3）货币供给与产出呈正相关并不能否定实际经济周期模型。

如果央行执行（2）中的政策稳定物价，即使货币对产量没有任何影响，也将观察到货币与产量密切相关，只不过这一相关性来自于货币当局对产量波动的内生反应而已，并非货币供给影响到了产出。

2．简述实际经济周期（RBC）理论。

答：实际经济周期理论指把经济波动归因于实际因素（或供给方面的）冲击，而不是货币因素的一种经济周期理论。

实际周期理论是新古典宏观经济学的代表性理论之一，该理论认为经济波动之源是技术冲击，分析了波动传导以及货币与产出的关系。

（1）技术变革是引起经济波动的实际因素中至关重要的一个。

第一部分考研真题精选一、判断题1．在理性预期时，只有欺骗民众的货币政策才有可能产生实际效果。

[对外经济贸易大学2018研]【答案】√【解析】在理性预期时，人们可以最好地利用所有可以获得的信息，包括关于现在政府政策的信息来预期未来，所以正常的货币政策对实际经济状况不会造成影响，只有通过欺骗民众的货币政策，使民众产生错误的预期，才有可能改变实际经济状况。

2．根据费雪模型，当消费者面临借贷约束时，其消费水平会下降。

（）[上海财经大学2017研]【答案】×【解析】当消费者面临借贷约束时，消费可能不降反增。

比如在没有借贷约束时，消费者在当期是贷款者。

即他消费完还剩多余的资金，他愿意将剩下的资金贷款出去从而获得一部分收益，而如果现在消费者面临借贷约束时，消费者就可能无法将手中多余的资金贷款放出去，这时候他就不得不把多余的资金花出去。

则当期的消费会上升。

3．根据庇古的实际余额效应，总需求将随着价格水平的下降而增加，这是因为利率下降导致投资需求增加。

（）[对外经济贸易大学2016研]【答案】×【解析】实际余额效应是指价格水平下降，使人们所持有的货币及其他以货币为固定价值的资产的实际价值升高，人们会变得相对的富裕，于是人们的消费水平就相应的上升，带来消费需求上升并进一步带来总需求的提升，所以总需求曲线是向右下方倾斜的。

题目中所述的逻辑本身是正确的，属于货币市场理论与投资理论的内容，但与实际余额效应无关。

4．托宾q理论认为企业家应该根据企业资本市场价值和企业资本的重置成本比率做出投资决策。

（）[上海财经大学2013研]【答案】√【解析】托宾q值是企业作出投资决策的比例依据，q＝已安装资本的市场价格/已安装资本的重置成本。

如果q大于1，那么股票市场对现有资本的估价就大于其重置成本，在这种情况下，企业就会增加投资；如果q小于1，那么股票市场对资本的估价就小于其重置成本，在这种情况下，企业就会减少投资。

高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N 个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数Y =F (K,AL ),()Y F K AL =，，或者采用紧凑形式Y =ALf (k )。

假设f ′(·)>0,f ′′(·)<0。

假设所有厂商都能以工资wA 雇用劳动，以成本r 租赁资本，并且所有厂商的A 值都相同。

（a ）考虑厂商生产Y 单位产出的成本最小化问题。

证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y ，并由此证明所有厂商都选择相同的k 值。

（b ）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N 个厂商的总和，证明其产出也等于述N 个厂商成本最小化的总产出。

证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本wAL +rK ，同时厂商受到生产函数Y =ALf (k )的约束。

这是一个典型的最优化问题。

min wAL +rKs.t.Y =ALf (k )构造拉格朗日函数：F (K,AL,λ)=wAL +rK +λ[Y −ALf (k )]求一阶导数：ðF ðK =r −λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=0 ðF ðAL=w −λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=0 得到：r =λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=λf ′(k )w =λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=λ[f (k )−kf ′(k )]r w =f ′(k )f (k )−kf ′(k )上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。

很明显，k 的选择独立于Y 。

上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。

（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，则N 个成本最小化厂商的总产量为：∑Y i =N i=1∑AL i f (k )N i=1=Af (k )∑L i Ni=1=AL̅f (k ) L ̅为N 个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。

第11章通货膨胀与货币政策1．凯恩斯模型（Keynesian Model）：IS-LM、总需求（AD）和总供给（AS）。

（1）根据凯恩斯模型，名义货币供给增加会怎样影响短期和长期的名义利率？假定在调整过程中预期通货膨胀率不变。

请画出IS-LM、AS-AD曲线的相应变化，并解释你的答案。

（2）假设联邦储备局（Federal Reserve）试图锁住利率，同时存在政府支出赤字（government budget deficit）永久性增长，而这是由政府借债来实现的，这会如何影响货币供应量的增长？请使用IS-LM的理论框架来说明这个问题。

这会如何影响长期的价格水平和通货膨胀率走势？（3）假设联邦储备局的目标是尽量减少实际产出的大幅波动，联储可以选择这两种政策：保持货币供给稳定或者利率稳定。

如果总产出的波动来自IS曲线的移动，那么哪一种政策会带来更小的产出波动？如果总产出的波动是由货币需求变化（LM曲线）造成的，那么哪一种政策将会更有效？答：（1）名义货币供给增加会使得LM曲线向右下方移动，在短期，名义利率下降。

在长期，名义利率保持不变。

在短期内，由于物价水平不变，货币供给的增加使实际货币余额增加，从而导致LM曲线右移，经济的均衡点从A点移到B点，如图11-1所示。

此时，国民收入从Y＿增加到Y2，利率从r1降低到r2。

利率下降刺激了投资的增加，国民收入增加，使居民可支配收入增加，从而引起消费增加。

图11-1 IS-LM模型中货币供给增加在长期，由于短期均衡的产出水平超过了长期均衡的产出水平，最终产品和劳务的高需求拉动物价水平上升，从而导致实际货币余额减少，LM曲线左移，如图11-1所示。

利率水平上升，投资减少。

价格继续上涨直到经济恢复到初始的位置A。

此时，利率回到r1，国民收入回到Y＿，投资和消费也回到原来的水平。

因此，从长期来看，货币供给增加对经济中的实际变量没有影响，这也就是货币中性。

（2）政府赤字的永久性增长，由于政府通过借债来实现，则货币供应量将永久性增长。

第1章索洛增长模型1．在Solow模型中，假设一个经济体在初始时候处于稳定状态。

现在一场自然灾害夺去了一部分人的生命，但资本总量却在灾害中没有损失。

请问人均资本、人均产出在短期和长期的变化趋势。

答：（1）索洛增长模型的总量生产函数是Y＝F（K，L），或者以人均形式来表示为y ＝f（k）。

在短期，如果自然灾害夺取了部分人的生命，L下降，使k＝K/L上升了。

由总量形式的生产函数可知，劳动力减少，则总产出下降。

但是，由于人均资本存量水平上升了，工人人均产出将会增加。

（2）劳动力的减少意味着自然灾害后的人均资本存量高于灾害发生之前，而灾害前的经济处于稳定状态，所以灾害后的人均资本存量水平高于稳定状态水平。

如图1-1所示，灾害发生后的人均资本存量位于k*右边的某一个位置k1。

但是k1不是稳定状态，这时人均储蓄小于资本扩展化水平，所以资本深化为负，人均资本存量会降低，经济逐渐向稳定状态过渡。

因此，在长期中，人均资本存量下降到k*，经济重新达到稳定状态。

在这个过程中，由于人均资本存量一直在下降，所以人均产出也一直在下降。

在稳定状态，技术进步决定人均产出增长率，一旦经济恢复到稳定状态，人均产量仅由技术进步决定。

因此这和灾害发生前是一样的。

图1-1 资本存量恢复稳态水平2．某经济体的生产函数为：Y t＝（A t L t）αK t1－α，其中A t L t为效率劳动单位，如参数A t上升，则同样数量的劳动者可提供更多的效率劳动。

在每一期，消费者将s比例的产出投资于新资本，即I t＝sY t，资本运动方程为：K t＋1＝（1－δ）K t＋I t，其中δ为折旧率。

设劳动力与劳动生产率均以固定比率增长：L t＋1＝（1＋l）L t，A t＋1＝（1＋μ）A t。

试回答以下问题：（其中前4问反映的是卡尔多指出的经济增长进程的典型化事实）（1）设代表性竞争企业分别按实质工资W t和实质利息R t雇佣劳动和资本，写出企业的最优化问题，证明劳动和资本分配份额W t L t/Y t和R t K t/Y t在该经济中均为常数。

第4章跨国收入差距1．考虑两个经济（用i＝1，2表示），这两个经济由Y i（t）＝K i（t）θ和K•i（t）＝s i Y i （t）描述，其中θ＞1。

假设两个经济中K的初始值相同，但是s1＞s2。

证明Y1/Y2是连续增加的。

证明：将产出函数Y i（t）＝K i（t）θ代入资本累积方程K•i（t）＝s i Y i（t）得：K•i（t）＝s i K i（t）θ，θ＞1①在①式两边同时除以K i（t）以求出资本增长率的方程，即：g K，i（t）＝K•i（t）/K i（t）＝s i K i（t）θ－1②对②式求导数，求出资本增长率的增长率，即：g•K，i（t）/g K，i（t）＝（θ－1）g K，i（t）③式③简化为：g•K，i（t）＝（θ－1）[g K，i（t）]2④如图4-1所示。

图4-1 g K 的相图由于θ＞1，所以g K ，i 总是保持增长。

g K ，i 的初始值是由储蓄率和资本存量决定的，如式②所示。

因此，即使两个经济中K 的初始值相同，只要s 1＞s 2，则两个经济的初始资本存量的增长率g K ，i （0）便不同。

又因为g K ，i 的增长率是由g K ，i 决定的，所以，高储蓄国家的资本存量的增长率总是高于低储蓄国家的资本存量的增长率。

因此，有g K ，1（t ）＞g K ，2（t ），对于所有的t ＞0，两个国家的差距会越来越大。

将高储蓄国家的产出与低储蓄国家的产出相比，即：Y 1（t ）/Y 2（t ）＝[K 1（t ）/K 2（t ）]θ⑤对⑤两边取对数，然后求导，得：()()()()()()()()()()12121212,1,2//K K Y t Y t K t K t θY t Y t K t K t θg t g t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-⎣⎦ ⑥由⑥式可以发现，高储蓄国家的资本存量的增长率总是高于低储蓄国家的资本存量的增长率，且由于对于所有的t＞0，都有g K，1（t）＞g K，2（t）成立，并且两个国家的差距会越来越大，高储蓄国家的产出与低储蓄国家的产出之比Y1/Y2将持续上升，并且以上升的速度上升。

第二章无限期模型与世代交叠模型高级宏观经济学_第四版—中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1考虑N个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数，Y = F K, AL，或者采用紧凑形式。

假设。

假设所有厂商都能以工资wA雇用劳动，以成本r租赁资本，并且所有厂商的A值都相同。

（a）考虑厂商生产Y单位产出的成本最小化问题。

证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y，并由此证明所有厂商都选择相同的k值。

（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N个厂商的总和，证明其产出也等于述N个厂商成本最小化的总产出。

证明：（a题目的要求是厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本，同时厂商受到生产函数的约束。

这是一个典型的最优化问题。

构造拉格朗日函数:求一阶导数：得到:上式潜在地决定了最佳资本k的选择。

很明显，k的选择独立于丫第二章无限期模型与世代交叠模型上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。

(b)因为每个厂商拥有同样的k和A,贝U N个成本最小化厂商的总产量为:为N个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k, k的决定独立于丫的选择。

因此，如果单一厂商拥有的劳动人数，则它也会生产的产量。

这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。

2.2相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。

设想某个人只活两期，其效用函数由方程(2.43)给定。

令和分别表示消费品在这两期中的价格，W表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：(a)已知和和W,则此人效用最大化的和是多少？(b)两期消费之间的替代弹性为，或。

证明，若效用函数为(2.43)式，是则与之间的替代弹性为。

答：(a)这是一个效用最大化的优化问题。

---- ------------ (1)(2)求解约束条件：(3)将方程(3)代入(1)中，可得：---- ---------------------------- (4) 这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。

腹有诗书气自华罗默《高级宏观经济学》（第3版）第4章 真实经济周期理论跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。

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4.1 对美国以外的其他国家进行与表4.1、表4.2或表4.3相类似的计算。

答：可以到网上查找相关国家的数据进行计算。

4.2 对以下各项作出与表4.3相类似的计算： （a ）雇员的薪水在国民收入中所占份额。

（b ）劳动力参与率。

（c ）联邦政府预算赤字在GDP 中所占份额。

（d ）标准普尔500种股票综合价格指数。

（e ）穆迪Baa 债券和Aaa 债券收益率之差。

（f ）10年期和3月期美国国库券收益率之差。

（g ）美元对其他主要货币的加权平均汇率。

答：读者可以到网上查找相关国家的数据进行计算。

4.3 令0A 表示第0期的A 值，并令ln A 的行为由方程（4.8）和（4.9）给定。

（a ）把1ln A 、2ln A 和3ln A 用0ln A 、1A ε、2A ε、3A ε、A 和g 来表示。

（b ）根据A ε的期望为0这一事实，当给定0ln A 、A 和g 时，求1ln A 、2ln A 和3ln A 的期望值。

答：（a ）首先给出表示技术进步的公式，即方程（4.8）和（4.9）：ln t t A A gt A =++ （1） 1t A t A t A A ρε-=+，，11A ρ-<< （2）令0ln A 表示在时期0时的ln A 值，结合公式（1），可以得到下面的公式：00ln 0A A g A =+⋅+整理后求解0A ：00ln A A A =- （3）在时期1，利用方程（1）和（2）可得到：11ln A A g A =++ （4）腹有诗书气自华10A A A A ρε=+，1 （5）将方程（3）代入方程（5）得：（6）再将方程（6）代入方程（4）可得：（7）在时期2，结合方程（1）和（2）得：22ln 2A A g A =++ （8） 21A A A A ρε=+，2 （9）将方程（6）代入方程（9）得：（10）再将方程（10）代入方程（8）可得：（11）在时期3，通过方程（1）和方程（2），可得：33ln 3A A g A =++ （12） 32A A A A ρε=+，3 （13）将方程（10）代入方程（13）可得：（14）再将方程（14）代入方程（12）得：（15）（b ）通过方程（7）可以得到1ln A 的期望值，即：上步用到了10A E ε =⎡⎤⎣⎦，。