材料力学重点及其公式
材料力学的任务 （1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。
变形固体的基本假设 （1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。
外力分类：表面力、体积力；静载荷、动载荷。
内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力
截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。 应力： dA dP A P p A =∆∆=→∆lim 0正应力、切应力。
变形与应变：线应变、切应变。
杆件变形的基本形式 （1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；（5）组合变形。
静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不再变化的载荷。 动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。 失效原因：脆性材料在其强度极限b σ破坏，塑性材料在其屈服极限s σ时失效。二者统称为
极限应力理想情形。
塑性材料、脆性材料的许用应力分别为：
[]3n s σσ=，
[]b
b
n σ
σ=，强度条件：
[]σσ≤⎪⎭⎫
⎝⎛=max max A N ，等截面杆 []σ≤A N max
轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：l l l -=∆1，沿轴线方向的应变和横
截面上的应力分别为：l
l ∆=
ε，A P
A N ==σ。横向应变为：b b b b b -=∆=1'ε，横向应变与轴向应变的关系为：μεε-='
。
胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 εσE =，这就是胡克定律。E 为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得：EA
Nl l =
∆ 静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。
圆轴扭转时的应力 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx
d φργρ=。物理关系——胡克定律dx d G G φργτρρ==。力学关系dA dx
d G dx d G dA T A A A ⎰⎰⎰===2
2ρφφρρτρ 圆轴扭转时的应力：t p W T R I T ==
max τ；圆轴扭转的强度条件： ][max ττ≤=t
W T
，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷。 圆轴扭转时的变形：⎰⎰==
l p
l p dx GI T dx GI T ϕ；等直杆：p
GI Tl
=ϕ 圆轴扭转时的刚度条件： p GI T dx d ==
'ϕϕ，][max max
ϕϕ'≤='p
GI T
弯曲内力与分布载荷q 之间的微分关系
)()
(x q dx x dQ =；
()()x Q dx
x dM =；()()()x q dx x dQ dx
x M d ==2
2 Q 、M 图与外力间的关系
a ）梁在某一段内无载荷作用，剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。
b ）梁在某一段内作用均匀载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。
c ）在梁的某一截面。
()()0==x Q dx
x dM ，剪力等于零，弯矩有一最大值或最小值。
d ）由集中力作用截面的左侧和右侧，剪力Q 有一突然变化，弯矩图的斜率也发生突然变化形成一个转折点。
梁的正应力和剪应力强度条件[]σσ≤=
W
M max
max ，[]ττ≤max 提高弯曲强度的措施：梁的合理受力(降低最大弯矩m ax M ，合理放置支座，合理布置载荷，合理设计截面形状
塑性材料：[][]c t σσ=，上、下对称，抗弯更好，抗扭差。脆性材料：[][]c t σσ<， 采用T 字型或上下不对称的工字型截面。
等强度梁：截面沿杆长变化，恰使每个截面上的正应力都等于许用应力，这样的变截面梁称为等强度梁。
用叠加法求弯曲变形：当梁上有几个载荷共同作用时，可以分别计算梁在每个载荷单独作用时的变形，然后进行叠加，即可求得梁在几个载荷共同作用时的总变形。 简单超静定梁求解步骤： （1）判断静不定度；
（2）建立基本系统（解除静不定结构的内部和外部多余约束后所得到的静定结构）； （3）建立相当系统（作用有原静不定梁载荷与多余约束反力的基本系统）； （4）求解静不定问题。
二向应力状态分析—解析法 （1）任意斜截面上的应力ατασσσσσα2sin 2cos 2
2
xy y
x y
x --+
+=
；
ατασστα2cos 2sin 2
xy y
x +-=
（2）极值应力 正应力：y
x xy
tg σστα--=220， 2
2min max )2(2xy y x y
x τσσσσσσ+-±+=
⎭⎬⎫
切应力：xy
y x tg τσσα221-=， 2
2min max )2(
xy y x τσσττ+-±=⎭⎬⎫ （3）主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系
α与1α之间的关系为：4
,2
220101π
ααπ
αα+
=+
=，即：最大和最小剪应力所在的平面
与主平面的夹角为45°
扭转与弯曲的组合（1）外力向杆件截面形心简化（2）画内力图确定危险截面（3）确定危险点并建立强度条件
按第三强度理论，强度条件为：[]σσσ≤-31 或
[]στσ≤+224，
对于圆轴，W W t 2=，其强度条件为：
][2
2σ≤+W
T M 。按第四强度理论，强度条件为：()()()[]
[]σσσσσσσ≤-+-+-2132322212
1
，经化简得出：[]στσ≤+223，对于圆轴，其强度条件为：
][75.02
2σ≤+W
T M 。
欧拉公式适用范围（1）大柔度压杆（欧拉公式）：即当1λλ≥，其中P E
σπλ21=时，
22λπσE cr =（2）中等柔度压杆（经验公式）：即当12λλλ≤≤，其中b a s
σλ-=2时，
λσb a cr -=（3）小柔度压杆（强度计算公式）：即当2λλ<时，s cr A
F
σσ≤=
。 压杆的稳定校核（1）压杆的许用压力：[]st
cr
n P P =，[]P 为许可压力，st n 为工作安全系数
。（2）压杆的稳定条件：[]P P ≤
提高压杆稳定性的措施：选择合理的截面形状，改变压杆的约束条件，合理选择材料
外力偶矩计算公式 （P 功率，n 转速）
弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式
