力矩刚体绕定轴转动定律
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刚体的定轴转动定律公式
刚体的定轴转动定律公式
刚体的定轴转动定律公式是描述刚体绕定轴转动的物理规律的公式。
在刚体绕定轴转动时，其角加速度与作用力矩成正比，与转动惯量成反比。
具体公式为：
M = Iα
其中，M表示作用力矩，I表示转动惯量，α表示角加速度。
这个公式的意义在于，当一个刚体绕定轴转动时，其转动惯量越大，需要的作用力矩也就越大，才能使其达到相同的角加速度。
反之，转动惯量越小，需要的作用力矩也就越小。
这个公式在实际应用中非常重要。
例如，在机械工程中，我们需要设计各种机械零件的转动部件，这时就需要考虑转动惯量的大小，以及所需的作用力矩大小。
只有在合理地设计转动部件的转动惯量和作用力矩，才能保证机械零件的正常运转。
刚体的定轴转动定律公式还可以用来解决一些物理问题。
例如，当我们需要计算一个刚体绕定轴转动的角加速度时，可以通过测量作用力矩和转动惯量，然后代入公式中进行计算。
刚体的定轴转动定律公式是描述刚体绕定轴转动的重要公式，它在机械工程和物理学等领域都有着广泛的应用。
力矩 刚体绕定轴转动定律-精品文档
力矩 刚体绕定轴转动定律
一、刚体绕定轴转动的力矩
z
F//
F
F对点O转动的力矩:
MO
O
Mz
y
x
r
P
F
F对定轴z转动的力矩:
M r F O r F r F //
M r F z
二、定轴转动定律
M β z J
M J Fr 2 M Fr 39 . 2 [ rad /s ]
mg T ma
Tr J
J
r
O
T
F
mg
(2)
ar
21 . 8 [ rad /s]
2
例: 均匀细直棒m 、l ，可绕轴 O 在竖直平面内转动 初始时它在水平位置 m l O 求: 它由此下摆 角时的
转动惯量与转轴有关
例: 求圆环绕中心轴旋转的转动惯量
2 解: dm 转动惯量 d JR d m
2 J R d m R d m mR 2 2 0 0 L L
dl R o
m
例: 求圆盘绕中心轴旋转的转动惯量 m 2 mr m d S 解: d 2 2πrdr 2 dr πR R dm 转动惯量 d J r2d m
M r d f df 的力矩 d
R
2 d M mgR 圆盘摩擦力矩 M 0 2 1 2d 3 mgR mR
d M
d 3 转动定律 MJ dt 3R0 t 0 3 R t d t d 0 4g g 04
2
d t
例: 一均质棒，长度为 l，现有一水平打 击力F 作用于距轴 l 处。 求: l =? 时, 轴对棒作用力的水平分量为 0。
一、刚体绕定轴转动的力矩
z
F//
F
F对点O转动的力矩:
MO
O
Mz
y
x
r
P
F
F对定轴z转动的力矩:
M r F O r F r F //
M r F z
二、定轴转动定律
M β z J
M J Fr 2 M Fr 39 . 2 [ rad /s ]
mg T ma
Tr J
J
r
O
T
F
mg
(2)
ar
21 . 8 [ rad /s]
2
例: 均匀细直棒m 、l ，可绕轴 O 在竖直平面内转动 初始时它在水平位置 m l O 求: 它由此下摆 角时的
转动惯量与转轴有关
例: 求圆环绕中心轴旋转的转动惯量
2 解: dm 转动惯量 d JR d m
2 J R d m R d m mR 2 2 0 0 L L
dl R o
m
例: 求圆盘绕中心轴旋转的转动惯量 m 2 mr m d S 解: d 2 2πrdr 2 dr πR R dm 转动惯量 d J r2d m
M r d f df 的力矩 d
R
2 d M mgR 圆盘摩擦力矩 M 0 2 1 2d 3 mgR mR
d M
d 3 转动定律 MJ dt 3R0 t 0 3 R t d t d 0 4g g 04
2
d t
例: 一均质棒，长度为 l，现有一水平打 击力F 作用于距轴 l 处。 求: l =? 时, 轴对棒作用力的水平分量为 0。
力矩 刚体定轴转动的转动定律
dJ R dm
2
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
12
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对 中心轴的转动惯量为
J dJ R dm R
2 m
2
m
dm mR
2
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量
m 如图 dS 2 rdr , , dm dS 2 rdr 2 R
l 2
o
P
d d d d dt d dt d
代入初始条件积分 得
第3章 刚体力学基础
3g d sin d 2l 3g (1 cos ) l
1 2 J x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯 量不同.
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
11
例3.2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分 别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和 圆盘的转动惯量. 解 (1) 在环上任 取一质元，其质量 为dm，距离为R， 则该质元对转轴的 转动惯量为
解 (1)转轴通过棒的中心并与棒垂直
m l
dm dx
dJ x 2dm x 2dx
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
10
整个棒对中心轴的转动惯量为
J dJ
l 2 l 2
1 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的 转动惯量为
解 (1) M k 2 ，故由转动定律有
k k J 即 J 2 1 k0 0 3 9J
10 刚体定轴转动 力矩 转动定律 转动惯量
若棒的质量均匀分布: M 1 mgl sin
2 解：
dMdm gxsin
O
x
2 x d x g x sin 2 g sin x 2 d x
ml
dmg
M 0 l2gsinx2dx2 3gl3sin
例 有一大型水坝高110 m、长1 000 m ,
水深100m，水面与大坝表面垂直，如图所 示. 求作用在大坝上的力，以及这个力对通
i Fji
Fij
M ji
MijMji
一 力矩
用来描述力对刚体
的转动作用．
M Fsrin Fd
d: 力臂
FM 对 转r轴F z的力矩
z
F
O
M r
d
P*
M 方向: 沿转轴，与刚体转动方向 构成右手螺旋关系的方向．
M 方向: 沿转轴， 与刚体转动方向构 成右手螺旋关系的 方向．
其中 Fz对转轴的
力矩为零，故 F对转 轴的力矩
M zrF rF
z
F
k
O
r Fz
F
M zrF sink
（2）合 力矩 等于 各分力矩的矢量和 M M 1 M 2 M 3
M r F r F 1 F 2 . .F n . r F 1 r F 2 . .r . F n
：质量面密度
对质量体分布的刚体：dmdV
：质量体密度
例 一质量为 m、长为 l 的均匀细长棒，求
通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
Or
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
力矩+刚体定轴转动的转动定律
rF
sin
rF
F
Mz
r F
F
·
Fn
F// F
式中为力F到轴的距离
若力的作用线不在转动在平面内，
则只需将力分解为与轴垂直、平行
r
F 的两个分力即可。
力对固定轴的力矩为零的情况：
若力的作用线与轴平行 若力的作用线与轴相交
则力对该轴无力矩作用 。
第3章 刚体力学基础
第2节
大学物理学(力学和电磁
M 的方向垂直于r和F所决定的平面，指向用右手法则确定。
第3章 刚体力学基础
第2节
2）力矩的单位: 牛·米 (N·m)
大学物理学(力学和电磁
•2
学)
3)
在直角坐标系中，表示式为
i jk
M x yF z zF y
M x y z
M y zF x xF z
Fx Fy Fz
M z xF y yF x
力对固定点的力矩为零的情况：
有两种情况, M 0
(1)力F等于零， (2)力F的作用线与矢径r共线 （力F的作用线穿过O点, 即， 有心力对定点的力矩恒为零）。
有心力的力矩为零
第3章 刚体力学基础
第2节
大学物理学(力学和电磁
•3
学)
２、力对固定轴z轴的力矩：
M z rF sin
r sin F
的乘积等于作用在刚体上的合外力矩。
— 刚体绕定轴转动微分方程，或转动定律。 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比,与 刚体的转动惯量成反比。
第3章 刚体力学基础
•5
第2节 三 转动定律的应用
大学物理学(力学和电磁
•6
学)
刚体的转动惯量就是组成刚体的各质元的质量与 其到转轴的距离的平方的乘积之和．是刚体转动时惯 性大小的量度．
刚体定轴转动的转动定律力矩PPT
求 θ角及着陆滑行时的速度多大？
解 引力场（有心力）
v0
系统的机械能守恒
质点的动量矩守恒
m r0
v R
OM
m 1 2m v v 0 r 00 2s iGπ n r0 M) ( 1 2 m m m vv 2 R GRMm vv0r0R sin4v0sin
sin14123RGv0M 21/2
1/2
LZ Δmiviri Δmiri2 JZ
i
i
LZJZ(所有质元对 Z 轴的动量矩之和)
2. 刚体定轴转动的动量矩定理
对定轴转动刚体，Jz 为常量。
dLZ dt
JZ
d
dt
dLZ dt
Mz
M zd t d L z d J
动量矩定理 微分形式
t1 t2M zd t 1 2d JJ2 J1（动量矩定理积分形式）
0tm1m 1m 2m 21 2 gmtr
3.2.2 刚体定轴转动的动能定理
1. 刚体定轴转动的动能
Δ m 1 ,Δ m 2 ,,Δ m k ,,Δ m N r 1 ,r 2 ,,r k ,,r N v 1 , v 2 , , v k , , v N
Δmk 的动能为
Ek 12Δmkvk212Δmkrk22
F FF Fn
2)力对点的力矩
Mo
M O r F
F
大小 M OrF sin
O . r
指向由右螺旋法则确定 力对定轴力矩的矢量形式
z
F//
F
M Z r F
（力对轴的力矩只有两个指向）
r
A
FF
2. 刚体定轴转动的转动定律
第 k个质元 F k f k m k a k
力矩-转动定律资料
N
解: (1) 棒在任意位置时的重力矩
o
M L d M L ld gcm osL ldgc l oL到s C转为轴质的心距
0
0
0
离
l
•c
d
dm
1 2L 2gco s mL 2g co s mC g co Ls
mg
(2)MI1m2 L, 3g cos
3
2L
ddtd d ddtd d
a2
T2
T2
m2
m2
a1
T1
g
T2
a22mm1m 1m1(2m gm1m22m 122121m2)gm 1mm333g
2m1m2g m1 m2
1 2
m2m3g
1 2
m3
谢谢！
应用于刚体 => 转动定律
F
dp
dt
dL
M外 dt
问题归结为确定刚体的角动量。
1. 定轴转动刚体的角动量 (a) 质点对点的角动量
作圆周运动质点的角动量 L＝ rmv (b) 定轴转动刚体的角动量
Lrprm v Z
在以角速度ω作定轴转动的刚体内, 取质元 mi , 则其对OZ 轴的角动量为
T m1g
N r
m2g
由(2)式:
I
T=T’= r
代入(1)式: m1g -
I = m1a
r
所以:
m1g -
I = m1r
r
m1gr
= m1r2+I
m1g - T= m1a….(1)
T’r=I…(2) T’
a = r …(3)
T=T’ …(4)
I 1 mr 2 2
m1gr
刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
0 R2
1 mR2 2
Z
m R2
R1
薄圆环
dm
ds
m (R22
R12
)
ds
ds 2 rdr
dJ r2dm
J R2 r 2
m
2 rdr
R1
(R22 R12 )
1 2
m(R22
R12 )
R
m
H
空心圆柱面
dm ds m ds 2 RH
ds 2 Rdh
dJ r2dm
J H R2 m 2 Rdh
0 2 RH
mR3
r
R
H m
实心圆柱
dm
dV
m
R2H
dV
dV 2 rHdr
dJ r2dm
J R r2 m 2 rHdr
0 R2H
R2 R1
H m
同轴空心圆柱
dm
dV
mg
H (R22
R12 )
dV
dV 2 rHdr
dJ r2dm
J R2 r2
mg
2 rHdr
R1 H (R22 R12 )
R
+
T1
+
T2
N
m
4m
2m ＋ o
P1
P2
mg
4m
T1
T2
2m
分别对人、物、滑轮建立方程：
4mg-T1 4ma人地
（1 ）
T2-2mg 2ma物地 2ma绳地 （2） R
T1R -T2 R
J
1 2
mR2
（3） m
人相对 绳匀加 速a0上爬，则
a人地 a人绳 a绳地
4m
刚体定轴转动定律
于 180°的夹角 θ 转向 F 时，拇指所指的方向就是力矩的方向。
可见，力矩的方向与转轴的方向平行，只有两个可能的方向，因此，可用 M 的正负表示力矩的方向。 一般可按力矩的作用来判断其正负：由转轴 Oz 正向俯视，若力矩的作用使刚体逆时针转动，则力矩为 正，否则为负。
刚体定轴转动定律 1.1 力矩
可加性
• 对同一转轴而言，刚体各部分转动惯量之 和等于整个刚体的转动惯量。
平行轴定理
• 设有两个彼此平行的转轴，一个通过刚体 的质心，另一个不通过质心。两平行轴之 间的距离为d，刚体的质量为m。
如果此刚体对通过质心转轴的转动惯量为 Jc ，则对另一 转轴的转动惯量 J 为 J Jc md 2
刚体定轴转动定律
刚体定轴转动定律Βιβλιοθήκη ， ，，，
例题讲解 2
如图所示，一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮。绳两边分别悬有质量为 m1 和 m2 的两个物体 A，B。已知 m1
小于 m2 ，滑轮可看作质量均匀分布的等厚圆盘，其质量为 m，半径为 r，设绳与滑轮间无相对滑动。求：① 物
体的加速度；② 滑轮的角加速度；③ 绳的张力。
i 1
n
用 M 表示，即 M (Δmiri2 ) β
i 1
n
n
式中的 (Δmiri2 ) 称为转动惯量，用 J 表示，即 J (Δmiri2 )
i 1
i 1
于是，式可写为 M Jβ
刚体定轴转动定律 1.2 转动定律
转动定律：刚体定轴转动时，刚体的角加速度与刚体所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量 成反比。
r 2 dm
Ω
式中 r ——质元 dm 到转轴的距离（m）。 在国际单位制中，转动惯量的单位为 kg m2 。
可见，力矩的方向与转轴的方向平行，只有两个可能的方向，因此，可用 M 的正负表示力矩的方向。 一般可按力矩的作用来判断其正负：由转轴 Oz 正向俯视，若力矩的作用使刚体逆时针转动，则力矩为 正，否则为负。
刚体定轴转动定律 1.1 力矩
可加性
• 对同一转轴而言，刚体各部分转动惯量之 和等于整个刚体的转动惯量。
平行轴定理
• 设有两个彼此平行的转轴，一个通过刚体 的质心，另一个不通过质心。两平行轴之 间的距离为d，刚体的质量为m。
如果此刚体对通过质心转轴的转动惯量为 Jc ，则对另一 转轴的转动惯量 J 为 J Jc md 2
刚体定轴转动定律
刚体定轴转动定律Βιβλιοθήκη ， ，，，
例题讲解 2
如图所示，一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮。绳两边分别悬有质量为 m1 和 m2 的两个物体 A，B。已知 m1
小于 m2 ，滑轮可看作质量均匀分布的等厚圆盘，其质量为 m，半径为 r，设绳与滑轮间无相对滑动。求：① 物
体的加速度；② 滑轮的角加速度；③ 绳的张力。
i 1
n
用 M 表示，即 M (Δmiri2 ) β
i 1
n
n
式中的 (Δmiri2 ) 称为转动惯量，用 J 表示，即 J (Δmiri2 )
i 1
i 1
于是，式可写为 M Jβ
刚体定轴转动定律 1.2 转动定律
转动定律：刚体定轴转动时，刚体的角加速度与刚体所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量 成反比。
r 2 dm
Ω
式中 r ——质元 dm 到转轴的距离（m）。 在国际单位制中，转动惯量的单位为 kg m2 。
大学物理-力矩-转动定律-转动惯量
F
p
18
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
解 (1) Fr J
Fr 98 0.2 39.2 rad/s2
J 0.5
mg T ma
(2) Tr J
a r
两者区别?
rO
F T
T
J
mgr mr 2
98 0.2 0.5 10 0.22
i
J r2dm
9
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
四. J 的计算
质量连续分布刚体的转动惯量
J mjrj2 r2dm dm ：质量元 j
对质量线分布的刚体： dm dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体：
：质量面密度
对质量体分布的刚体：
在圆规迹切线方向
mk ak mk rk Fk fk
两边乘以rk，并对整个刚体求和
第二章 动力学基础
z
o
vk
mk
( mk rk2 ) Fk rk fk rk
k
k
k
5
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
( mk rk2 ) Fk rk fk rk
17
2 – 5 刚体的定轴转动
第二章 动力学基础
四、转动定律的应用举例
例1 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘， 在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2,飞轮与转轴间的摩擦不计 。
rO
求: (1) 飞轮的角加速度。
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在 绳端,试计算飞轮的角加速度。
力矩的功转动动能动能定理
第四章 刚体的转动
8
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
例2 一长为 l , 质量为m’ o 的竿可绕支点O自由转动．一 30 / m 质量为m 、速率为v 的子弹 a m 射入竿内距支点为a 处，使竿 o 的偏转角为30 . 问子弹的初 v 速率为多少? 解 子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒
第四章 刚体的转动
4
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
解 (1) 如图取面 积元ds = drdl，该面元 所受的摩擦力为
df
df
mg
πR
2
drdl
R
o
r
dl dr
此力对点o的力矩为
rdf
mg
πR
2
rdrdl
刚体的转动
5
第四章
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
一
力矩作功 dW F dr Ft ds
v
d
Ft
F
Ft rd
dW Md
力矩的功 W
dr
o
r
x
2
1
Md
刚体的转动
1
第四章
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
二
dW d 力矩的功率 P M M dt dt 比较 W F dr P F v
——刚体绕定轴转动的动能定理
比较
1 1 2 2 W F dr mv2 mv1 2 2
8
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
例2 一长为 l , 质量为m’ o 的竿可绕支点O自由转动．一 30 / m 质量为m 、速率为v 的子弹 a m 射入竿内距支点为a 处，使竿 o 的偏转角为30 . 问子弹的初 v 速率为多少? 解 子弹、竿组成一系统，应用角动量守恒
第四章 刚体的转动
4
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
解 (1) 如图取面 积元ds = drdl，该面元 所受的摩擦力为
df
df
mg
πR
2
drdl
R
o
r
dl dr
此力对点o的力矩为
rdf
mg
πR
2
rdrdl
刚体的转动
5
第四章
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
一
力矩作功 dW F dr Ft ds
v
d
Ft
F
Ft rd
dW Md
力矩的功 W
dr
o
r
x
2
1
Md
刚体的转动
1
第四章
物理学
第五版
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
二
dW d 力矩的功率 P M M dt dt 比较 W F dr P F v
——刚体绕定轴转动的动能定理
比较
1 1 2 2 W F dr mv2 mv1 2 2
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
轴以角速率ω 作匀速转动．放上唱片后，唱片将 在摩擦力作用下随转盘一起转动．设唱片的半径 为R，质量为m，它与转盘间的摩擦系数为 ，求： (1)唱片与转盘间的摩擦力矩； (2)唱片达到角速 度 时需要多长时间； (3)在这段时间内，转盘的 ω 驱动力矩做了多少功？
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
作的总功为 二、力矩的功率
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
刚体中任一质元 的速率 该质元的动能
对所有质元的动能求和
∑
∑
转动惯量 J
得
J
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
四、刚体绕定轴转动的动能定理
回忆质点的动能定理
刚体转动的动能定理
由 力矩的元功 转动定律 则
合外力矩的功
称为
转动动能的增量
L J
2、角动量定理.
dL M dt
2015-7-12
微分形式
积分形式
t1 M dt L2 L1 t2 冲量矩 M dt
t2
t1
17
3、角动量守恒定律.
若作用于物体的合外力矩 M 0 ,则角动量守恒: L 恒矢量
对质点有: 对刚体有:
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
第一节
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
力的空间累积效应： 力的功、动能、动能定理．
力矩的空间累积效应： 力矩的功、转动动能、动能定理．
一 力矩作功
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
力
的元功
力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算
若在某变力矩 的作用下，刚体由 转到 ，
o
x
dx x
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
作的总功为 二、力矩的功率
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
刚体中任一质元 的速率 该质元的动能
对所有质元的动能求和
∑
∑
转动惯量 J
得
J
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
四、刚体绕定轴转动的动能定理
回忆质点的动能定理
刚体转动的动能定理
由 力矩的元功 转动定律 则
合外力矩的功
称为
转动动能的增量
L J
2、角动量定理.
dL M dt
2015-7-12
微分形式
积分形式
t1 M dt L2 L1 t2 冲量矩 M dt
t2
t1
17
3、角动量守恒定律.
若作用于物体的合外力矩 M 0 ,则角动量守恒: L 恒矢量
对质点有: 对刚体有:
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
第一节
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
力的空间累积效应： 力的功、动能、动能定理．
力矩的空间累积效应： 力矩的功、转动动能、动能定理．
一 力矩作功
4-4 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理
力
的元功
力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算
若在某变力矩 的作用下，刚体由 转到 ，
o
x
dx x
3-3 转动定理的积分形式-力矩对时间和空间的累积效应
4、刚体绕定轴转动的动能定理 、
设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角位移为 设在合外力矩 的作用下， 的作用下 dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 ，
dW = Mdθ
dω M = Jα = J dt
dω dθ dW = J dθ ＝ J dω ＝ Jω d ω dt dt ω 刚体绕定轴转动的动能 W＝∫ dW = J ∫ ω dω ＝ 定理： 定理：合外力矩对绕定 ω0 轴转动的刚体所作的功 等于刚体的转动动能的 1 1 2 2 W＝ Jω － Jω 0 增量。 增量。 2 2
h = R∆ θ v = Rω
解上述方程， 解上述方程，可得
m v= 2 gh ( M / 2) + m
（2）公式 ）
dW dθ P= ＝M = Mω dt dt
功率一定时，转速越大，力矩越小； 功率一定时，转速越大，力矩越小； 转速越小，力矩越大。 转速越小，力矩越ห้องสมุดไป่ตู้。 （3）意义 ）
表示力矩对刚体作功的快慢
3、刚体的转动动能 、
刚体以角速度ω作定轴转动，取一质元 刚体以角速度 作定轴转动，取一质元∆mi，距转轴 ri，则 作定轴转动 此质元的速度为v 此质元的速度为 i=riω，动能为 ，
二、 刚体定轴转动的功能关系
1、力矩的功 、
刚体在外力F 的作用下， 刚体在外力 的作用下，绕转轴 转过的角位移为dθ，这时力F的作 转过的角位移为 ，这时力 的作 用点位移的大小为dr=rdθ。力F在 用点位移的大小为 。 在 这段位移内所作的功为
v v v π dW = F dr = F dr cos − ϕ = Frdθ sin ϕ 2
1 1 2 2 2 E ki = ∆m i v i = ∆m i ri ω 2 2
力矩_刚体定轴转动定律
m2
m1
1 2
m
r
当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0时，
有
T1
T2
2m1m2 m2 m1
g
a m2 m1 g m2 m1
上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量
重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、r和 J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a，
再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1 和m2相近，从而使它们的加速度a和速度v都较小， 这样就能角精确地测出a来。
注 （1）在定轴动问题中 ，如不加说明，所指的力矩 是指力在转动平面内的分力 对转轴的力矩。
力矩
（2） M Z rF2 sin F2d
d r s是in转轴到力作用线
F1 F
的距离，称为力臂。
（3） F1 对转轴的力矩为零，
在定轴转动中不予考虑。
转动 平面
rF2ຫໍສະໝຸດ （4）在转轴方向确定后，力对 转轴的力矩方向可用+、-号表示。
的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg 。
定轴转动定律
此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是
M rdmg g rreddr
ge02
d
R
0
r
2dr
2 geR3
3
因m=eR2，代入得
M
2 mgR
3
根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即
获得负的角加速度.
定轴转动定律
2 mgR J 1 mR2 d
N
firi sin i 0
i1
定轴转动定律
得到：
N
Firi
sin i
N
(mi
刚体绕定轴转动 力矩讲解
刚体绕定轴转动力矩讲解刚体绕定轴转动是物理学中的一个基本概念，它与我们日常生活紧密相关。
在机器运转、车辆行驶、球类运动、人体姿势等方面都具有重要作用。
力矩的计算可以帮助我们更好地理解刚体转动的规律和特点，以及如何减小运动过程中的摩擦损失。
一、力矩的定义力矩是刚体绕定轴转动的一个重要物理量，表示力对于转动物体的影响程度。
换句话说，力矩代表了力对于旋转的影响。
力矩的定义为力乘以力臂，即M=F×L。
其中，F是施加力的大小，L是施力部分到轴的垂直距离。
力矩的单位是牛·米(N·m)。
二、力矩方向力矩的方向是垂直于力臂和力的平面。
当施加的力垂直于力臂时，力矩的方向与力的方向相同。
当施加的力不垂直于力臂时，力矩的方向与力的方向不同。
例如，当我们开车向左转时，发动机产生的推力作用在车轮上，车轮又通过车轴作用于车身。
此时，车身受到的偏向右侧的推力会以一个垂直于车身和推力平面的方向，产生一个向右的力矩，从而使车身向左旋转。
三、力矩对转动过程的影响力矩的大小和方向直接影响物体旋转的速度和方向。
如果力矩的大小越大，则物体越容易旋转，转动速度也会更快。
反之，如果力矩的大小越小，则物体旋转的速度会变慢，甚至停止旋转。
此外，力矩的方向也会影响物体旋转的方向。
例如，在21世纪以前，人们使用手摇脚踏车等交通工具，脚踩的力矩与轮子的直径就影响了车速。
当轮子的直径越大时，给定的力就可以产生更大的力矩，从而可以更快地旋转轮子，提高车速。
四、力矩对弹性和耗能的影响刚体转动过程中，摩擦力和阻力都会抵消物体的动能，从而减缓物体的运动速度。
为了减小耗能，可以通过减小力矩的大小来实现。
另外，灵活的物体，在旋转过程中会变形，因此会有一部分弹性势能被储存，当刚体停止或者倒转时，则会释放出来，从而重复利用能量。
例如，在儿童玩具模型飞机中，弹性势能的利用充当了关键角色。
当人们给玩具模型飞机的机翼打入动能时，机翼会以某个角度形变，蓄储弹性势能。
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3g cos
2l
d d dt d
d
3g cos d
0
0 2l
2 3g sin / l
例: 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止
求: 到圆盘静止所需时间。
解: 取宽为dr的细圆环 其质量为
dm
σdS
π
m R2
2π
rdr
dm 摩擦力 df gdm
dr r
df
df 的力矩 dM rdf
圆盘摩擦力矩 M
R
dM
2
mgR
0
3
转动定律 M J d
dM
2 mgR 1 mR2 d
3
2 dt
dt
t
0
dt
0
0
3R d 4g
t 3R0 4g
例: 一均质棒，长度为 l，现有一水平打
击力F 作用于距轴 l 处。
求: l =? 时, 轴对棒作用力的水平分量为 0。
解: 设轴对棒的水平分力为 Nx
rO
T
mg
例: 均匀细直棒m 、l ，可绕轴 O 在竖直平面内转动
初始时它在水平位置
求: 它由此下摆 角时的
解: dm 质元 dm m dx l
O
ml
dm 重力矩 dM gdm x cos
x
M
dM
1 2
mgl cos
gdm
重力对棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩
M
J
J 1 ml2 3
在绳端施以 F = 98 N 的拉力，不计摩擦力
求 (1) 滑轮的角加速度；
(2) 如以重量P = 98 N 的物体挂在绳端，计算滑轮 的角加速度
解: (1) M J
M Fr Fr 39.2[rad / s2]
J
(2) mg T ma
Tr J
a r
21.8[rad / s2 ]
动惯量。
解：质元质量 dm M dx L
质元转动惯量 dJ z x2dm
z
z
dx
x
o
x L/2-x
Jz
dJ L x2 M dx ML2
0L
3
Jz'
L
(
L
x)2 dm
ML2
02
12
转动惯量与转轴有关
例: 求圆环绕中心轴旋转的转动惯量 dl
m
解: dm 转动惯量 dJ R2dm
R
J L R2dm R2 L dm mR2
z
dC m
J z :刚体绕任意轴的转动惯量
JZ ? JC
Jc :刚体绕通过质心C轴的转动惯量
d :两轴间垂直距离
z
z
例: 求均匀细棒的转动惯量
J Z
JZ
m
L 2
2
1 mL2 3
Lm
L/ 2
Jz
1 12
ML2
四、 转动定律的应用举例 例：滑轮半径 r =20 cm ，转动惯量 J = 0.5 kg ·m2。
0
0
o
例: 求圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
解:
dm
dS
m πR 2
2πrdr
2mr R2
dr
dm 转动惯量 dJ r 2dm
J
m
dJ
R 2m r3dr 1 mR2
0
0 R2
2
dr m
r o
R
转动惯量取决于转轴、刚体形状及质量，它反映了 质量相对转轴在空间的分布。
平行轴定理
J z Jc md 2
l C
Nx
acx
质心运动定理 F Nx mac
F
转动定律
Fl' ( 1 ml2)β
3
ac
l 2
Nx
F (3l ' 2l
1)
Nx 0
l' 2 l 3
打击中心
力矩 刚体绕定轴转动定律
一、刚体绕定轴转动的力矩
z
F//
MO
Mz
x
O r P
F
F对点O转动的力矩:
MO
r
F
y
F对定轴 zr转动F//的力r 矩F:
F
M z r F
二、定轴转动定律
M z Jβ
三、 转动惯量的计算
J miri2
质量连续分布物体 J r2dm
例: 求均质细棒(L, M )，绕端点轴 z 和质心轴 z 的转