第三节排队模型

word§3 M/M/s排队模型一、单服务台模型(即M/M/1/∞/∞或 M/M/1) 到达间隔: 负指数(参数为λ:到达率)分布; 服务时间: 负指数(参数为μ:服务率)分布; 服务台数: 1;系统容量: 无限;排队长度(客源): 无限;服务规如此: FCFS.1. 队长的分布word设{}n p P N n ==0,1,2,...n =为系统平稳后队长N 的概率分布, 如此由 (1) 12011......n n n n n C λλλμμμ---=, 1,2,...n =(累积服务率) (2) 011(1)nn p C ∞==+∑ (无客的概率) (3) 0n n p C p =, 1,2,...n = (有n 客的概率)word与n λλ=,0,1,2,...n =和n μμ=,1,2,...n =, 并记λρμ=(服务强度, 一般1ρ<) 可得wordn n n C λρμ⎛⎫== ⎪⎝⎭, 1,2,...n = 故有 0n n p p ρ=, 1,2,...n =其中 011(1)nn p C ∞==+∑11(1)n n ρ∞==+∑word110111n n ρρρ--∞=⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑. 因此 (1)n n p ρρ=-,0,1,2,...n =.无客的概率: 01p ρ=-,至少有一客的概率ρ 服务台处于忙的概率=繁忙程度(即服务强度)=服务机构的利用率word如单位时间,2λ=, 5μ=,如此,即40%在忙.2. 几个主要指标(1) 系统中平均顾客数=平均队长wordword(2) 系统中等待的平均顾客数=平均排队长.可以证明(见第二版P328的注释)在M/M/1中, 顾客在系统中逗留时间服从参数为的word负指数分布, 即密度分布函数:()()(),0.t f t e t μλμλ--=-≥ 分布函数:()()()1,0.t F t P T t e t μλ--=≤=-≥ 于是得(3) 在系统中顾客平均逗留时间1[]W E T μλ==-;word(4) 在队列中顾客平均等待时间 因为 逗留时间=等待时间q T +服务时间V , 即q T T V =+ 故1()()q q W E T E V W μ=+=+, 从而得1q W W W ρρμμλ=-==-word另外还可得到(时间与空间关系):L W λ=和q q L W λ=这两个常称为Little 公式.各公式可记忆如下:由λ和μ 服务效率λρμ=,word从逗留时间1W μλ=-→等待时间q W W ρ= 队长L W λ=→排队队长q L L ρ=或q q L W λ=还可导出关系1q W W μ=+和1q L L λμ=+word3. 服务机构的忙期B和闲期I分析(1) 因为忙期=至少一客的概率ρ, 闲期=无客的概率1ρ-→忙期时间长度/闲期时间长度=1ρρ-(2) 因为忙闲交替,次数平均→平均忙期时间长度/平均闲期word时间长度=1ρρ-→1BIρρ=-.(3) 又由分布无记忆性和到达与服务相互独立性→任闲时刻起,下一客到达间隔仍为λ负指数分布→平均闲期=下一客到达间隔1λ→1Iλ=→平均忙期=111B Wρρλμλ=⋅==--word即顾客平均逗留时间, 实际意义是明显的.例1一个铁路列车编组站, 设待编列车到达时间间隔负指数分布, 平均到达率2列/h; 编组时间服从负指数分布, 平均20min 可编一组. 编组站上共有2股道, 当均被占用时, 不能接车, 再来的列车只能停在站外或前方站. 求word(1) 在平稳状态下系统中列车的平均数;(2) 每一列车的平均停留时间;(3) 等待编组的列车的平均数.如果列车因站中的2股道均被占用而停在站外或前方站时, 每列车的费用为a 元/h, 求每天由于列车在站外等待而造成的损失.解 这里 2λ=,3μ=,213λρμ==<word(1) 列车的平均数21L ρρ==-(小时) (2) 列车的平均逗留时间 212L W λ===(小时) (3) 等待编组的列车平均数word24233q L L ρ=-=-=(列) (4) 等待编组时间 23q W W ρ==(小时) (5) 记列车平均延误(2道满,不能进站)时间为0W ,如此0012{2}(1)W W P N W p p p =⋅>=⋅---word3320.2963ρ⎛⎫=== ⎪⎝⎭(小时) 故每天列车由于等待而支出的平均费用 0242420.29614.2E W a a a λ==⨯⨯⨯=(元).例2 某修理店只有一个修理工, 来修理的顾客到达过程为Poisson 流, 平均4人/h; 修理时间服从word负指数分布, 平均需要6 min. 试求:(1) 修理店空闲的概率;(2) 店内恰有3个顾客的概率;(3) 店内至少有1个顾客的概率;(4) 在店内的平均顾客数;(5) 每位顾客在店内的平均逗留时间;(6) 等待服务的平均顾客数;(7) 每位顾客平均等待服务时间;word(8) 顾客在店内等待时间超过10min 的概率. 解这里 4λ=,1/0.110μ==,215λρμ==< (1) 修理店空闲的概率0112/50.6p ρ=-=-=(2) 店内恰有3个顾客的概率word33332(1)10.03855p ρρ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(3) 店内至少有1个顾客的概率0{1}12/50.4P N p ρ≥=-===(4) 在店内的平均顾客数2/50.67112/5L ρρ===--(人)word(5) 每位顾客在店内的平均逗留时间0.6710(min)4LW λ==≈ (6) 等待服务的平均顾客数0.40.670.268q L L ρ==⨯=(人)(7) 每位顾客平均等待服务时间0.2684(min)4qq L W λ==≈word(8) 顾客在店内等待时间超过10min 的概率.11101615{10}0.3679P T ee ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭>===.二、多服务台模型(即M/M/s/∞/∞ 或 M/M/s) 到达间隔: 负指数(参数为λ:到达率)分布;单台服务时间: 负指数(参数为μ:服务率)分布; 服务台数: s; 12s μμμμ====word系统容量: 无限;排队长度(客源): 无限; 服务规如此: FCFS.数据分析设{}n p P N n ==0,1,2,...n =为系统平稳后队长N 的概率分布, 如此服务台队列⋅⋅⋅⋅⋅⋅μ1μ2sμs 个word,0,1,2,...n n λλ==和系统的服务率,1,2,3,...,,,1,...n n n ss n s s μμμ=⎧=⎨=+⎩记s ss ρλρμ==, 如此当1s ρ<时, 不至越排越长,word称s ρ为系统的服务强度或服务机构的平均利用率. 由前面的(1),(2)和(3)公式得(/),1,2,3,...,!(/)(/),!!nn s n s nn s n s n C n ss s s s λμλμλλμμ--⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪=≥ ⎪⎪⎝⎭⎩故word00,1,2,3,...,!,!nn nn sp n s n p p n ss s ρρ-⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 其中1100!!(1)n s s n s p n s ρρρ--=⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦∑.当n s ≥时, 顾客要等待. 记这个等待的概率为word0(,)!(1)sn n ss c s p p s ρρρ∞===-∑称为Erlang 等待公式. (1) 平均排队长011()()!sn sq n sn s n s p L n s p n s s ρρ∞∞-=+=+=-=-∑∑0021d !d !(1)s s n s s s n s sp p s s ρρρρρρρ∞=⎛⎫== ⎪-⎝⎭∑word或(,)1sq sc s L ρρρ=-.(2) 正在承受服务的顾客的平均数1s n n n n ss np s p -∞===+∑∑1000!!(1)n ss n s n p s p n s ρρρ-==+-∑word11101(1)!(1)!(1)n s s n s p n s ρρρρρ---=⎡⎤=+=⎢⎥---⎣⎦∑s 与s 无关. 奇!(3) 平均队长L =平均排队长+平均承受服务的顾客数q L ρ=+.对多台服务系统, 仍有Little 公式:word L W λ=, 1q q L W W λμ==-例3 考虑一个医院医院急诊的管理问题. 根据统计资料, 急论据病人相继到达的时间间隔服从负指数分布, 平均每0.5h 来一个; 医生处理一个病人的时间也服从负指数分布, 平均需要20min. 该急word诊室已有一个医生, 管理人员现考虑是否需要再增加一个医生.解 这是一个M/M/s/∞模型, 有2λ=,3μ=,23λρμ==, 1,2s = 由前面的公式, 结果列表如下指标 模型 s=1 s=2 空闲的概率p 005word 有1个病人的概率p1有2个病人的概率p2平均病人数L平均等待病人数L q2病人平均逗留时间W病人平均等待时间W q1病人需要等待的概率P{T q>0} 0.667(=1p0) 0.167(=1p0p1)等待时间超过0.5小时的概率P{T q>0.5}等待时间超过1小时的概率P{T q>1}如果是一个医生值班, 如此病人等待时间明显长.word结论是两个医生较适宜.例4某售票处有三个窗口,顾客的到达服从泊松过λ=人/min. 服务(售票)程,平均到达率每分钟0.9μ=人/min. 时间服从负指数分布, 平均服务率0.4现设顾客到达后排成一队,依次向空闲的窗口购票,这是M/M/s模型, 其中word2.2533,2.25,134s s s λλρμμ=====< 由公式可得:(1) 整个售票处空闲概率1100!!(1)n s s n s P n s ρρρ--=⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦∑ 0012310.07482.25 2.25 2.25 2.2510!1!2!3!1 2.25/3p ==+++-word(2) 平均排队长02!(1)s sq s p L s ρρρ=-320.0748 2.253/4 1.703!(1/4)q L ⨯⋅==(人)平均队长:/ 1.7 2.25 3.95q L L λμ=+=+=(人)(3) 平均等待时间word 1.70 1.890.9q q L W λ===(min)平均逗留时间1/ 1.891/0.4 4.39q W W μ=+=+=(分钟)(4) 顾客到达后必须等(即系统中顾客数已有3)的概率30 2.250.0748(3,2.25)0.57!(1)3!1/4s s p c s ρρ⋅⋅===-⋅.word在上例中, 假如顾客到达后在每个窗口前各排一队,且中途不换队, 如此M/M/3/∞ 3个M/M/1/∞ 如如下图所示(b).10.4μ=窗口0.3λ=(b)0.4μ=窗口20.4μ=窗口310.4μ=窗口0.9λ=0.4μ=窗口20.4μ=窗口3(a)0.9λ=0.3λ=0.3λ=word 每个队的平均到达率为1230.9/30.3λλλ====(人/分钟)结果比拟如下指标模型M/M/3 M/M/1服务台空闲的概率P00.25(每个子系统) 顾客必须等待的概率P(n≥平均排队长Lq 2.25(每个子系统) 平均队长 L 9.00(整个系统) 平均逗留时间 W 4.39(分钟) 10(分钟)平均等待时间 Wq 1.89(分钟) 7.5(分钟)word单队比三队优越.百度知道编组站是铁路网上集中办理大量货物列车到达、解体、编组出发、直通和其它列车作业，并为此设有比拟完善的调车作业的车站。

第四章 排队模型两类排队模型：1. Markov 排队模型2. 非Markov 排队模型Markov 排队模型：4-0 Little 定理1961 年 J.D.Little 证明 1974 年 S.Slidhan 一般性证明定理 : 在极限平稳状态下,排队系统内顾客平均数L 系 和 顾客在系统内平均逗留时间W 系 之间的关系,不管到达流的分布如何,也不管服务规则如何,均有以下关系:为到达流的强度系系λλ14.-=L W证明:设 X(t) ---- t 时刻前到达的瞬时顾客数, Y(t)--- t 时刻前离开的瞬时顾客数.Y(t)在稳定后,流入与流出的顾客数应相等, 则在t 时刻留在系统内的顾客数为:Z(t)=X(t)-Y(t)在足够长的时间T 来考虑有:队队系系系系同理可以证明所以有逗留时间系统内每个顾客的平均时间的总和所有顾客在系统内逗留时间个顾客在系统内的逗留第其中的小面积的总和高度为长度为阴影部分的面积W L W L W Tt t i t t Tt T t T T dtt Z T L iiii i iiii i T.:.:...,:.11]1*[1][1)(10λλλλλ==--=--=⨯====∑∑∑∑⎰4-1 M/M/1/0 (单通道损失制)服务员数：n=1 队长：m=0M -- 到达流为Poisson,流强λM -- 服务时间服从指数分布：)0()(>=⋅-t e t f t μμ 状态为系统内顾客数，I={0,1}"0"表示服务员闲，其概率为：P 0(t)；"1"表示服务员忙，其概率为：P 1(t)； 状态转换图：Fokker-Plank k 方程：可得:)0(1)0(:341)()(24)()()(14)()()(1010011100==-=+-+-=-+-=∙∙P P t P t P t P t P t P t P t P t P 初始条件λμμλ联立求解4-1与4-3得：λμλλμλμμλλμλλλμλλμμμμλμλμλμλ+=∞+=∞∞→==+-+=-=+++=-++-=-+-=+----+-∙∙)(,)()0(,1)0(0)(1)()(44)()()()(1[)()(1010)(01)(000000P P t P P t e t P t P e t P t P t P t P t P t P tt定义：系统负载能力：μλρ=指标：(1) ρμλμ+=+===110P Q 请求服务的顾客数被服务顾客数 (2) 绝对通过能力：ρλμλλμλ+=+===1Q A 数单位时间被服务的顾客(3) 损失概率(即顾客来时，系统服务员忙，顾客离去)ρρμλλμλμ+=+=+-=-==1111Q P P 损例一：一条电话线，呼叫率为：0.8次/分(λ=0.8)，每次平均通话时间为：τ=1.5分。

排队论模型1. 引言排队论是运筹学中的一个重要分支，研究的是排队系统中顾客的到达、等待和服务过程。

在现实生活中，我们经常会遇到排队的场景，如银行、超市、医院等。

通过排队论模型的分析，可以帮助我们优化服务过程，提高效率和顾客满意度。

本文将介绍排队论模型的基本概念和常用模型。

2. 基本概念2.1 排队系统排队系统是指顾客到达一个系统，并等待被服务的过程。

一个排队系统通常包含以下几个要素：•到达过程：顾客到达系统的时间间隔可以是随机的，也可以是确定的。

•排队规则：系统中的顾客通常按照先来先服务原则排队。

•服务过程：系统中的服务员或服务设备为顾客提供服务，服务时间也可以是随机的或确定的。

•系统容量：排队系统中通常有一定的容量限制，即同时能够容纳的顾客数量。

2.2 基本符号在排队论中，通常使用以下符号来表示不同的概念：•λ：到达率，表示单位时间内系统的平均到达顾客数量。

•μ：服务率，表示单位时间内系统的平均服务顾客数量。

•ρ：系统利用率，表示系统的繁忙程度，计算公式为ρ = λ / μ。

•L：系统中平均顾客数，包括正在排队等待服务的顾客和正在接受服务的顾客。

•Lq：系统中平均等待队列长度，即正在排队等待服务的顾客数。

•W：系统中平均顾客逗留时间，包括等待时间和服务时间。

•Wq：系统中平均顾客等待时间，即顾客在排队等待服务的平均时间。

3. 常用模型3.1 M/M/1模型M/M/1模型是排队论中最简单的模型之一，其中M表示指数分布。

M/M/1模型满足以下几个假设：•顾客到达率λ满足均值为λ的指数分布。

•服务率μ满足均值为μ的指数分布。

M/M/1模型的特点是顾客到达率和服务率是独立的，且符合指数分布。

根据排队论的理论分析，可以计算出系统的性能指标，如系统利用率、平均顾客数、平均等待队列长度等。

3.2 M/M/c模型M/M/c模型是M/M/1模型的扩展，其中c表示服务员的数量。

M/M/c模型满足以下假设：•顾客到达率λ满足均值为λ的指数分布。