新浙教版数学七年级下册第四章《因式分解》培优题
一．选择题（共6小题）
1．下列各式，能直接运用完全平方公式进行因式分解的是（）
A．4x2+8x+1 B．x2y2﹣xy+1 C．x2﹣4x+16 D．x2﹣6xy﹣9y2
2．已知x2+ax﹣12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有（）
A．0 B．2 C．4 D．6
3．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n=p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12=1×12=2×6=3×4，则．
那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）=1；④若n是一个完全立方数（即n=a3，a是正整数），则．正确的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值时，可以设另一个因式为x+n，则x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）．
即x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n．
∴解得，n=﹣7，m=﹣21，
∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．
类似地，二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，则它的另一个因式以及k 的值为（）
A．x﹣1，5 B．x+4，20 C．x，D．x+4，﹣4
5．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）
A．1.1111111×1016B．1.1111111×1027
C．1.111111×1056D．1.1111111×1017
6．设a、b、c是三角形的三边长，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是斜三角形．其中正确的说法的个数是（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二．填空题（共7小题）
7．已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为．
8．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：．
9．2m+2007+2m+1（m是正整数）的个位数字是．
10．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是．
11．若a+b=5，ab=，则a2﹣b2= ．
12．定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：
①2★（﹣2）=3
②a★b=b★a
③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab
④若a★b=0，则a=1或b=0．
其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号）．
13．若m2=n+2，n2=m+2（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为．
三．解答题（共5小题）
14．如图①，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2
（1）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在如图④虚框中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）= ．（2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．
①你画的图中需C类卡片．
②可将多项式a2+5ab+6b2分解因式为
（3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个矩形的两边长（x＞y），观察图案并判断，将正确关系式的序号填写在横线上（填写序号）
①xy=②x+y=m ③x2﹣y2=m•n ④x2+y2=．
15．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干．
（1）他用11号、12号和23号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是；
（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2号卡片，3号卡片；
（3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6小纸片的面积和等于打纸片（长方形）的面积可以把多项式a2+3ab+2b2分解因式，其结果是；
（4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式a2+5ab+6b2= 画出拼图．
16．如图1，把边长为a的大正方形纸片一角去掉一个边长为b的小正方形纸片，将余下纸片（图1中的阴影部分）按虚线裁开重新拼成一个如图2的长方形纸片（图2中阴影部分）．
请解答下列问题：
（1）①设图1中的阴影部分纸片的面积为S
1，则S
1
= ；
②图2中长方形（阴影部分）的长表示为，宽表示为，设图2中长方形
（阴影部分）的面积为S
2，那么S
2
= （都用含a、b的代数式表示）；
（2）从图1到图2，你得到的一个分解因式的公式是：；
（3）利用这个公式，我们可以计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．解：原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）
=（24﹣1）（28+1）（28+1）（216+1）（232+1）
=（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）
=（216﹣1）（216+1）（232+1）
=（232﹣1）（232+1）
=264﹣1
阅读上面的计算过程，请计算：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+0.5．
