人教版高中数学全套教案导学案241平面向量的数量积的物理背景及其含义教学案

2．4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(一)导学案周；使用时间17 年月日；使用班级；姓名（配合配套课件、限时练使用效果更佳）【学习目标】1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.【检查预习】预习相应课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答.【自主学习】知识点一平面向量数量积的定义一个物体在力F的作用下产生位移s，如图．思考1如何计算这个力所做的功？思考2力做功的大小与哪些量有关？条件非零向量a与b，a与b的夹角为θ结论数量____________叫做向量a与b的数量积(或内积)记法向量a与b的数量积记作______，即____________规定零向量与任一向量的数量积为0知识点二平面向量数量积的几何意义(1)条件：向量a与b的夹角为θ.(2)投影：(3)a ·b 的几何意义： 数量积a ·b 等于a 的长度|a |与________________________的乘积．知识点三 平面向量数量积的性质思考1 向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？思考2 非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定的？当0°≤θ＜90°，非零向量的数量积为正数．当θ＝90°，非零向量的数量积为零．当90°＜θ≤180°，非零向量的数量积为负数．设向量a 与b 都是非零向量，它们的夹角为θ，(1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(2)当a ∥b 时，a ·b ＝⎩⎪⎨⎪⎧，当a ，b 同向时， ，当a ，b 反向时. (3)a·a ＝____________或|a |＝____________.(4)cos θ＝____________.(5)|a ·b |______|a ||b |.【合作探究】类型一 平面向量数量积的含义例1 已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为30°时，分别求a 与b 的数量积．类型二 投影例2 已知a·b ＝－9，a 在b 方向上的投影为－3，b 在a 方向上的投影为－32，求a 与b 的夹角θ.类型三 平面向量数量积的性质例3 已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.【学生展示】探究点一、二【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题【当堂检测】1．已知|a |＝8，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则向量b 在a 方向上的投影为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－22．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为120°，则a ·a ＋a ·b ＝________.3．在△ABC 中，|AB →|＝13，|BC →|＝5，|CA →|＝12，则AB →·BC →的值是________．4．已知正三角形ABC 的边长为1，求：(1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.5．已知向量x ＝a ＋b ，y ＝2a ＋b ，且|a |＝|b |＝1，a ⊥b .求|x |，|y |.【小结作业】小结：作业：本节限时练。

高中数学必修四2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义导学案4平面向量的数量积4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义编审：周彦魏国庆【学习目标】掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；【自学新知】知识回顾：两个非零向量夹角的概念：已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ叫与的夹角.说明：当θ＝０时，与同向；当θ＝π时，与反向；当θ＝时，与垂直，记⊥；新知梳理：．平面向量数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ=，.并规定向量与任何向量的数量积为.思考感悟：向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？两个向量的数量积是一个，不是向量，符号由的符号所决定.向量的数量积写成•；符号“•”既不能省略，也不能用“×”代替.在实数中，若，且，则b=0=0，不能推出=.因cos0.．“投影”的概念：作图：定义：||cos.思考感悟：=0投影为||=180||．向量的数量积的几何意义：||cos.两个向量的数量积的性质：设，为两个非零向量，==，==||2或； ||≤||||；cos= 平面向量数量积的运算律= ===+说明：一般地，≠•＝•＝对点练习．下列叙述不正确的是A.向量的数量积满足交换律B.向量的数量积满足分配律c.向量的数量积满足结合律D. ．||=3，||=4，向量+与-的位置关系为A.平行B.垂直c.夹角为D.不平行也不垂直已知|→|=，n →=，→•n →=9，则→,n →的夹角为A.150ºB.120ºc.60ºD.30º已知，，，则向量在向量方向上的投影是___________，向量在向量方向上的投影是___________。

【合作探究】典例精析：例1．证明：变式1．已知||=6，||=4，与的夹角为60o，求：•.|+|与|-|.例2．已知||=12，||=9，，求与的夹角。

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(教学设计）一、教学目标1.知识与技能目标理解平面向量的数量积的定义及几何意义；熟练掌握平面向量数量积的性质；掌握关于平面向量数量积的几类重要题型．2.过程与能力目标通过对数量积的定义及运算性质的应用，加深学生对知识的理解与掌握，同时，通过对数量积的几类重要问题的解答，培养学生的归纳能力，运算能力，应用所学知识解决问题的能力．3.情感与态度目标通过本节课的学习,激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神,体会学习的快乐.体会各学科之间是密不可分的.培养学生思考问题认真严谨的学习态度.二、教学重、难点1.教学重点平面向量的数量积的定义、几何意义及其性质.2.教学难点平面向量数量积的定义及运算性质的理解和平面向量数量积的应用.三、教学准备多媒体、彩色粉笔四、教学过程新课（一）创设情景，引入新课问题：如图所示，一辆小车，在力F 的作用下，产生位移S ，那么请问力F 在这个运动过程中所做的功？（1）力F 所做的功W ：W = （2）这个公式有什么特点？请完成下列填空： W （功）是 量，F （力）是 量，S （位移）是 量，θ是 .（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积.思考：如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，能否把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？（二）探究新知探究一:明晰向量数量积的定义1、 数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，把数量θcos b a 叫做a 与b 数量积（或内积），记作b a ⋅规定：零向量与任意向量的数量积都为零，即()为任意向量a a 00=⋅注意： “b a ⋅”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“⨯ ”代替.2、提出问题（1）向量数量积是一个向量还是一个数量？（2）影响数量积大小的因素有哪些？ （3）学生讨论完成下表θ的范围 0°≤θ<90° θ=90° 90°<θ≤180° a ·b 的与0的关系探究二:向量数量积的几何意义1、 给出“投影”定义师引导学生思考：（1）初中学过投影吗？（2）b 在a 方向上的投影应该怎么做？红色线段又表什么？（3）计算投影？作图：如图，我们把│b │cos θ（│a │cos θ）叫做向量b 在a 方向上（a 在b 方向上）的投影，记做：OB 1=│b │cos θ2、 提出问题：向量数量积的几何意义是什么？数量积a ·b 等于a 的长度︱a ︱与b 在a 的方向上的投影︱b ︱cos θ 的乘积 探究三：探究数量积的运算性质1、（1）我们讨论了数量积的正负，那么我们这里就具体的讨论一些特殊的夹角:b a b a b a =⋅︒=同向，与，0θ;b a b a b a -180=⋅︒=反向，与，θ0,,90=⋅⊥︒=b a b a θ（2）我们这里都是由两个向量的夹角来讨论数量积的,那如果我们已知两个向量的数量积及模长,怎样得出它们的夹角呢? 根据定义ba b a b a b a ⋅=⇒=⋅θθcos cos 由此我们就可以得出θ的值. 当0=⋅b a 时,︒=⇒=900cos θθ．总结（1）（2）知0=⋅⇔⊥b a b a .（3）特别地，22,a a a a a a a a a 常记为这里或⋅⋅==⋅.（4）请判断的大小关系与b a b a ⋅．分析： 1cos ,cos ≤=⋅θθb a b a ，b a b a b a ≤=⋅∴θcos ．这些就是数量积的性质.在课堂上以上性质以探究形式出现，让同学们积极思考，踊跃回答并总结其各自的应用。

必修四第二章 平面向量2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义教学目标1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示.2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法.3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣教学重点与难点1、重点：平面向量数量积的运算性质2、难点：平面向量数量积的运算性质知识要点．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |.特例：a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ 5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |[预习自测]1．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于 ( )A ．－1B ．－12 C.12 D ．12．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．103． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79 D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于 ( )A ．－32B ．－23 C.23 D.32归纳反思能力提升5．已知(2,3),(1,2),(2,1)a b c ==--=，试求()a b c 和()a b c 的值.6. 已知(1,2),(,1),2,2a b x u a b v a b ===+=-，根据下列情况求x ：（1）//u v （2）u v ⊥参考答案预习自测:1、答案 D 解析 a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1⇒x ＝1.2、答案 B 解析 ∵a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2.由b ∥c ，得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2. ∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋－12＝10. 3、答案 D 解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②联立①②解得x ＝－79，y ＝－73. 4、答案 D解析 由于AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝12(|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|2)＝12×(9＋4－10)＝32. 能力提升5.答案：()a b c ＝（－8，－12），()a b c ＝（－16，－8）6.答案：（1）12 （2）－2或72。

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义【课标要求】1.知道平面向量数量积的物理意义，记住其含义。

2.会用平面向量数量积的公式解决相关问题。

3. 利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题。

【考纲要求】1.会用平面向量数量积的公式解决相关问题。

2.利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题。

【学习目标续写】1.由向量的数量积体会向量和数量之间的联系。

2.总结用向量的数量积解决有关长度、角度和垂直问题的方法。

3.让我们充满激情的进入充满神秘色彩的数学世界。

【使用说明与学法指导】1.精读教材103-105页,用红笔勾画重点，理解和掌握定义，作答预习案、探究案。

2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题，整理在导学案上，准备讨论质疑。

【预习案】(5分钟处理疑难）1.在等边三角形ABC中,求：(1)AB AC与的夹角；(2)AB BC与的夹角。

2.一些特殊角的余弦值：3.在两向量的夹角定义中，两向量夹角的范围是。

4.b在a上的投影是。

5.数量积a b⋅的几何意义是。

6.零向量与任一向量的数量积等于。

7.a b⋅是一个实数，那么它什么时候为正？什么时候为负？什么时候为零？8.总结数量积的性质和运算律，判断下列各题是否正确（1）00a⋅=（）（2）00a⋅=（）（3）a b a b⋅=（）（4）若0a≠，则对于任一非零向量b有0a b⋅≠（）（5）若a与b是两个单位向量，则22a b=（）（6）对任意向量,,a b c，都有()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅（）【我的质疑】【探究案】（25分钟讨论、展示、点评、质疑）一、向量数量积的概念（口展，命题真假说明原因）例1.已知,,a b c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数是（）①a b a b a⋅=⇔∥b；②,a b a b a b⇔⋅=-反向；③a⊥b a b a b⇔+=-；④a b a c b c=⇔⋅=⋅。

A.1B.2C.3D.4二、平面向量数量积的运算（板展）（做第（2）问可用第（1）问结论，不必重做一次a b⋅）例2.05,4,60,1(2)(2)a b a b a b a a bθ===⋅⋅-已知与的夹角求（）例3.向量a b 与夹角为3π，2,1ab ==，求2a b -的值。

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及定义一、教学目标1.知识与技能：掌握平面向量的数量积的定义、运算率及其物理意义2.过程与方法：（1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和数学的关系（2）通过向量数量积定义的给出，体会简单归纳与严谨定义的区别（3）通过向量数量积分配率的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法3.情感、态度与价值观：通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。

二、教学重点、难点重点：平面向量数量积的定义难点：数量积的性质及运算率三、教学方法：探究性设计方法，提出问题，创设情境，引导学生参与教学过程四、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图引入以物理学中的做功为背景引入问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？力做的功：W = |F ||s|c os ，是F与s的夹角a abb 教师提出问题，学生思考由旧知识引出新内容；同时联系物理学和数学，理解具体和一般的关系定义形成问题：给一个精确定义问题：定义向量的一种乘积运算，使得做功公式符合这种运算一、两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b，作OA ＝a，OB＝b，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角说明：（1）当θ＝０时，a与b同向；（2）当θ＝π时，a与b反向；（3）当θ＝2时，a与b 垂直，记a⊥b；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤180C二、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|c os叫a与b的数量积，记作a b，即有a b=|a||b|c os，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0教师引导学生，注意：1.两向量必须同起点；2.的取值范围；3.数量积的定义公式形式；4.注意特殊向量零向量让学生自己体会数学的概括性、严谨性及可操作性定义深化问题：根据向量数量积的定义进行变形分析，总结性质（考虑特殊情况）结论：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量学生自己回顾、探索、根据已有知识养成学生自己动脑、动手探索总结1、e a = a e =|a |c os2、a b a b = 03、 aa = |a |2或||a a a =4、c os =||||a ba b5、|ab | ≤ |a ||b |问题：在以往接触的实数运算中，有很多运算率，结合实数乘法的运算率谈谈平面向量数量积的运算率问题：数量积满足乘法交换率、分配率、结合率、消去率吗？ 如何验证。

2. 4. 1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其儿何意义；2.掌握平而向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平而向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向暈垂貢的条件.教学重点：平回向量的数量积定义教学难点：平而向量数量积的定义及运算律的理解和平而向量数量积的应川教学过程：一、复习引入：（1）两个非零向量夹角的概念：己知非零向量齐与'作0A = a 9 OB = b,则Z/ 0B= 0（ 0 W 乃）叫匂与b的夹角.说明：（1）〃 =0 时, 0 =兀时,(2)(3)(3)(4)JT〃=丝时,2注意在两向量的夹允定义，两向暈必须是同起点的•范围0。

£共180。

两向量共线的判定练习1•若沪(2, 3), 戻(4，T+y),且a// by则尸(C )A.6B.5C.7D.8A•-3 〃•一1 C. 1 D. 3B（l, 3）, CQ, 5）三点共线，则/的值为（B ）力做的功：W = |F|-|s|cos6, 0是尸与s的夹角.〃二、讲解新课：1.平而向量数量积（内积）的定义：己知两个非零向量a与b,它们的夹角是（）, 则数量|a| \b\cos。

叫a与的数量积，记作a・b,艮睛a-b- \a\\b\ cosO, 0 W 0W乃）・并规定0向量为任何向量的数暈积为0.•探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为止？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号山cos。

的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成"方；今后要学到两个向量的外积氷b,而"方是两个向屋的数量的积，书写时要严格区分.符号“・”在向量运算屮不是乘号，既不能省略,也不能用“ X ”代替.（3）在实数中，若麻0, Q. 5-Z F O,则H0；但是在数量积中，若曲0,且击0,不能推出E0.因为其中cosO有可能为0.(4)已知实数臼、b、c(/?^0),则ab=bc =>臼二c.但是a-b -方・c井如右图:a-b = | c?| | Z?| cosp = \b\ |0A|, b・c 二\ b\ \ c\cosa = | => a-b= b-c但日 H c(5)在实数中,W (a-Z?) c = a(b-c),但是(a-6) c h a(b-c)显然，这是因为左端是与C共线的向量，而右端是与臼共线的向量，而一般臼与c不共线.2.“投影”的概念：作图定X： 1*1 cosO叫做向量力在a方向上的投影•投影也是一个数量,不是向量;当e为锐角吋投影为正值；当e为钝角吋投影为负值；当&为直角吋投影为o；当e = o。

.1平面向量数量积的物理背景及其含义【学情分析】本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的数量积，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用．但是，学生作为初学者不清楚向量的数量积数数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然．通过情境创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内容．利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量学生容易混淆．利用数量积运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点．由向量的线性运算迁移，引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望．【教学目标】（1）懂得平面向量数量积的含义及其物理背景；（2）会进行平面向量数量积的运算；（3）会用数量积判定两个向量的垂直关系；（4）能运用数量积求两个向量夹角的余弦值．【教学重点】平面向量数量积的概念和性质及运算律的探究和应用．【教学难点】平面向量数量积的定义及对运算律的探究、理解，平面向量数量积的灵活应用．cosθb叫做的数量积（或内积），a b（其记作：a b,cosθ与b的夹b）叫（cosθ方向上（b在方向上）的投影．）a b符号不能写b（a与=都是非零向量）；b，则向=至少有一个是类比a,b属于实ab=0等价于a=0．而且此性质在解=b a b；共线反b a b．=-22a a a==2a a a(==质类比)，这是求向量长度的又一方法．a b a b1得出性质≤b 和数量积的几何意义．学生通过自主阅读，总结并发=b b a ； )()()λλ==a b a b a b )+=+a b c a c b c对向量数量积的运算律进一步研究．）()()=a b c a b c 成立吗？显然，等式左边与向量a 共线，右边与向量c 共线，而不一定共线，因此结论不一定成立；=b b c 能否推出？（反例：当a =0，时，有0==a b b c ，但不能得到c =0）．结合实数0),有ab=bc ⇒a=c 进行类比，辨析．与法则之间的区别与联系．注意利用学生的错误这一重要资源，和易混点，掌握知识．多项式乘法运算进行类比． 1.【教学反思】本节课教学效果不错，主要是把学习的主动权交还给学生，注意学生的主动探索、思考及师生互动，还以物理知识为背景，建立了数学的平面向量数量积的概念和运算，使得学习内容直观、生动，抓住重点．使学生懂得对已有的知识进行迁移、采用类比的方法让学生主动学习合作交流，体验数学的发现和创造过程，培养学生数学表达和交流的能力．在课堂中会体现自我，学会自己寻找解题的突破口，在探究中学会思考，在合作中学会推进，在观察中学会比较，进而推进整个教学程序的展开．但自我感觉“讲”的还是偏多了一点，对于学生解题中出项的错误这一资源展开、分析得不够，以后应该更加注意引导．。

2. 4.1《平面向量的数量积的物理背景及其含义》导学案【学习目标】1说出平面向量的数量积及其儿何•意义；2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；【重点难点】。

平面向量的数量积及其几何意义【学法指导】预习平面向量的数量积及其几何懣义；平面向虽数量积的重要性质及运算律；【知识链接】：[•・平面向量数量积（内积）的定义： _______________________________________2•两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别3・“投影”的概念：作图4.向量的数量积的几何意义：_____________________________5.两个向量的数量积的性质：设：、&为两个非零向量，幺是与方同向的单位向量.f f1e・ b = b e = _____2aba・ b= ____________设Q、庁为两个非零向量，W是Q与同向的单位向量.—♦—*e- a =a e = _____________3当d与乙同向时，ab=_________ 当Q与&反向时，ab特别的a-a = \a\L或\ a \=^1 ci ・ ci4cos = ___________________—♦ Y —* f5\a-b\ \a\\b\三、提出疑惑：同学们，通召你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中【学习过程】创设问题情景，引出新课1、提出问题1:诸同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义探究一：数量积的概念1、给岀冇关材料并提岀问题3：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S, 那么力F所做的功：W二（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：①W （功）是_ 量，② F （力）是_量，③S （位移）是_量，④a是____________ O（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗？2、明晰数量积的定义（1）数量积的定义:己知两个非零向量Q与b,它们的夹角为a,我们把数量I Q I・I b Icosa叫做Q与b的数量积（或内积），记作：a • b ,即：a • I a I・I & I cos仅（2）定义说明：①记法“a・b ”屮间的“・”不可以省略，也不可以用“X ”代替。

第二章 平面向量2．4 平面向量的数量积2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1．掌握平面向量数量积的意义，体会数量积与投影的关系． 2．正确使用平面向量数量积的重要性质及运算律．3．理解利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题．基础梳理一、向量的数量积的概念1．已知非零向量a 与b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ()0≤θ≤π叫做a 与b 的夹角．练习：(1)当θ＝0时，a 与b 同向；(2)当θ＝π时，a 与b 反向；(3)当θ＝π2时，a 与b 垂直，记a ⊥b ．2．已知两个非零向量a 与b ，我们把数量||a ||b cos_θ叫做a 与b 的数量积(或内积)记作a ·b ，即a ·b ＝||a ||b cos_θ，其中θ是a 与b 的夹角，||a cos_θ叫做向量a 在b 方向上的投影．3．“投影”的概念：作图定义：||a cos θ 叫做向量a 在b 方向上的投影．投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ＝0时投影为||a ；当θ＝π时投影为－||a .4．零向量与任意向量的数量积为0． 思考应用1．向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？请完成下表.解析：向量的数量积的结果是一个数量，而线性运算的结果是一个向量．影响数量积大小的因素有向量各自的长度和它们之间的夹角.1．设a 与b 均为非空向量：(1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0．(2)当a 与b 同向时，a ·b ＝||a ||b ，当a 与b 反向时，a ·b ＝－||a ||b ，特别地a ·a ＝||a 2或||a(3)cos θ＝a ·b|a ||b |．(4)||a ·b ≤||a ||b ． 2．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影||b cos_θ的乘积．3．向量的数量积满足下列运算律： 已知向量a ，b ，c 与实数λ， (1)a ·b ＝b ·a (交换律)．(2)()λa ·b ＝λ(a ·b ) ＝ a ·(λb ) (结合律)． (3)()a ＋b ·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)． 思考应用2．判断正误，并简要说明理由．①a ·0＝0；②0·a ＝0；③0－AB →＝BA →；④|a ·b |＝|a ||b |；⑤若a ≠0，则对任一非零b 有a ·b ≠0；⑥a ·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0；⑦对任意向量a ，b ，c 都有(a ·b )c ＝a (b ·c )；⑧a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2.解析：上述8个命题中只有①③⑧正确．对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a ＝0. 对于②：应有0·a ＝0.对于④：由数量积定义有|a ·b |＝|a |·|b |·|cos θ|≤|a ||b |，这里θ是a 与b 的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有|a ·b |＝|a ||b |.对于⑤：若非零向量a、b垂直，有a·b＝0.对于⑥：由a·b＝0可知a⊥b可以都非零．对于⑦：若a与c共线，记a＝λc.则a·b＝(λc)·b＝λ(c·b)＝λ(b·c)，∴(a·b)·c＝λ(b·c)c＝(b·c)λc＝(b·c)a .若a与c不共线，则(a·b)c≠(b·c)a.自测自评1．已知向量a＝(2，－3)，b＝(－5，8)，则(a＋b)·b等于(C)A．－34 B．34C．55 D．－55解析：a＋b＝(－3，5)，∴(a＋b)·b＝(－3，5)·(－5，8)＝15＋40＝55.故选C.2．已知a·b＝12，且||a＝3，||b＝5，则b在a方向上的投影为4．3．设i，j是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2i－j)·(－3i＋2j)等于(A)A．－92 B.92C．－8 D．8解析：(2i－j)·(－3i＋2j)＝－6i2＋7i·j－2j2＝－6|i|2＋7|i||j|cos 60°－2|j|2＝－6＋72－2＝－92.故选A.4．已知△ABC 中，a ＝5，b ＝8，C ＝60°，则BC→·CA →＝－20．基础提升1．下列命题正确的是(B ) A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．a ·b ＝b ·aC ．若a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角D ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )解析：a ·b ＝0⇔a ⊥b ，a 与b 不一定是零向量，故A 错；对于C ，a 与b 的夹角可以为π，故C 错；a ·b ∈R ，b ·c ∈R ，a 与c 不一定共线，故D 错，故选B.2．若||a ＝4，||b ＝3，a 与b 的夹角为120°，则a ·b 为(B ) A ．6 B ．－6 C ．－6 2 D ．6 2 3．若a ·c ＝b ·c (c ≠0)，则(D ) A ．a ＝b B ．a ≠b C ．|a |＝|b |D ．a ＝b 或(a －b )⊥c解析：由a ·c ＝b ·c ，得(a －b )·c ＝0.∵c ≠0， ∴a －b ＝0或(a －b )⊥c .故选D.4．在△ABC 中，若⎝⎛⎭⎫CA →＋CB →·⎝⎛⎭⎫CA →－CB →＝0，则△ABC 为(C ) A ．直角三角形 B ．正三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于(D ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16 解析：因为∠C ＝90°，所以AC→·CB →＝0， 所以AB →·AC →＝⎝⎛⎭⎫AC →＋CB →·AC →＝⎝⎛⎭⎫AC →2＋AC →·CB →＝16，故选D.巩固提高6．若向量a ，b 满足：|a |＝1， (a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝(B ) A ．2 B. 2 C ．1 D.22解析：∵(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，|a |＝1， ∴⎩⎨⎧（a ＋b ）·a ＝0，（2a ＋b ）·b ＝0，∴⎩⎨⎧a ·b ＝－a 2＝－1①，2a ·b ＋b 2＝0②；∴把①代入②得－2＋b 2＝0；∴b 2＝2∴|b |2＝ 2.故选B.7．已知|a |＝|b |＝5，a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |的值．解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos π3＝5×5×12＝252，∴(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25＋2×252＋25＝75，(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝25－2×252＋25＝25.∴|a ＋b |＝53，|a －b |＝5.8．已知a ，b 的夹角为120°，且||a ＝1，||b ＝2，当向量a ＋λb 与λa ＋b 夹角为钝角时，求λ的取值范围．解析：∵||a ＝1，||b ＝2，a 与b 的夹角为120°， ∴a ·b ＝||a ||b cos 120°＝1×2×⎝⎛⎭⎪⎫－12＝－1.∵向量a ＋λb 与λa ＋b 的夹角为钝角，∴⎝⎛⎭⎫a ＋λb ·⎝⎛⎭⎫λa ＋b <0.又⎝⎛⎭⎫a ＋λb ·⎝⎛⎭⎫λa ＋b ＝λa 2＋⎝⎛⎭⎫λ2＋1a ·b ＋λb 2， ∴λ－(λ2＋1)＋4λ<0. 解得λ<5－212或λ>5＋212.∴λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，5－212∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫5＋212，＋∞. 9．在△ABC 中，若BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c 且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，判断△ABC 的形状．解析：如下图所示，a ·b ＝||a ||b cos ⎝⎛⎭⎫π－C ＝－||a ||b cos C ，b ·c ＝||b ||c cos ⎝⎛⎭⎫π－A ＝－||b ||c cos A ， c ·a ＝||c ||a cos ⎝⎛⎭⎫π－B ＝－||c ||a cos B . ∵a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，∴－||a ||b cos C ＝－||b ||c cos A ，||a cos C ＝||c cos A ，作BD ⊥AC 于D ，则|CD→|＝a cos C ，|AD →|＝|c |cos A ， ∴|CD→|＝|AD →|. ∴D 为AC 的中点，∴|AB →|＝|BC →|. 同理可证|AB→|＝|AC →|. ∴△ABC 为正三角形．10．如下图所示，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°.求： (1)AD →·BC →； (2)AB →·CD →； (3)AB→·DA →.解析：(1)因为AD→∥BC →，且方向相同，所以AD →与BC →的夹角是0°. 所以AD→·BC →＝|AD |→·|BC |→cos 0°＝3×3×1＝9. (2)因为AB →∥CD →，且方向相反，所以AB →与CD →的夹角是180°，所以AB →·CD →＝|AB→|·|CD →|·cos 180°＝4×4×(－1)＝－16. (3)因为AB →与AD →的夹角为60°，所以AB →与DA →的夹角为120°，所以AB →·DA →＝|AB →|·|DA →|·cos 120°＝4×3×⎝⎛⎭⎪⎫－12＝－6.1．两向量的数量积是一个数，而不是向量． 2．向量的数量积不满足结合律． 3．计算长度||a ＝a ·a ，||a ±b ＝()a ±b 2＝a 2±2a ·b ＋b 2；求向量夹角cos θ＝a ·b||a ||b ；证明垂直a ·b ＝0⇔a ⊥b ，数量积这三公式可解决长度、角度、垂直等问题．。

物理背景及含义 学习目标 2. 掌握数量积的运算式及变式；掌握并能熟练运用数量积的运算律；掌握模长公式. 学习过程一、课前准备（预习教材P103—P105）复习：如右图，如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功W= ，其中θ是F 与s 的夹角.二、新课导学※ 探索新知探究：平面向量数量积的含义问题1：功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？1、平面向量数量积的定义：已知两个______向量a b 与，我们把______________叫a b 与的数量积。

（或________）记作_________即a b ⋅＝___________________其中θ是a b 与的夹角。

__________叫做向量a b 在方向上的______。

我们规定：零向量与任意向量的数量积为____。

问题2：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？什么时候为负？2、平面向量数量积的性质：设a b 与均为非零向量：①a b ⊥⇔___________②当a b 与同向时，a b ⋅＝________ 当a b 与反向时，a b ⋅＝_______ _，a 特别地，a ⋅a =______或a =___________。

③a b ⋅≤___________ _④cos =θ_______ ____⑤.b a ⋅的几何意义：_____________ ________。

问题3：运算律和运算紧密相连，引进向量数量积后，自然要看一看它满足怎么样的运算律，同学们能推导向量数量积的下列运算律吗？3、向量的数量积满足下列运算律：已知向量a b c ，，与实数λ。

①a b ⋅＝___________；②()a b λ⋅＝___________；③()a+b c ⋅＝___________。

问题4：我们知道，对任意,a b R ∈，恒有()2222a b a ab b +=++，()()22a b a b a b +-=- 对任意向量,a b ，是否也有下面类似的结论？ ⑴()=+2b a ； ⑵()()=-⋅+b a b a .※ 典型例题例1、已知6a =，8b =，且与的夹角 120=θ，求a b ⋅.变式1：若6a =，8b =，且//a b ，则a b ⋅是多少？变式2：若6a =，8b =，且a b ⊥，则a b ⋅是多少？变式3：若6a =，8b =，且a 与b 的夹角 60=θ，求()()32-⋅+。

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义【学习目标】：1 .通过物理中“功”等实例，归纳出平面向量数量积的含义及其物理意义。

2 .借助几何图形，能整合平面向量的数量积与向量投影的关系。

3.通过对向量夹角的讨论，得出数量积的性质并总结。

4.类比实数的运算律，总结并证明向量的运算律，并能运用性质和运算律进行相关的运算和判断。

【评价任务】：1、结合物理中功的实例，在独立思考的基础上，借助教师引导、小组合作讨论交流，归纳出平面向量数量积的含义及其物理意义。

（目标1）2. 小组合作，考虑向量夹角的取值范围，从中选出特殊角并说明此时向量之间的特殊位置，概括出向量数量积的性质，小组派代表展示汇报。

（目标2）3. 借助功与数量积的几何图形，独立做出一向量在另一向量方向上的投影，小组交流平面向量数量积与向量投影的关系。

（目标3）4.小组合作，类比实数的运算律，猜想向量数量积的运算律并证明之。

（目标4）【旧知链接】：1.物理学中的功的定义是怎样的，它是标量还是矢量？2.两个向量的夹角是如何规定的？范围是什么？特殊角对应向量的特殊位置有哪些？3.实数运算中，有哪些运算律？你还记得平方和与平方差公式吗？请写在下面。

【知识建构】1探究（一）. 如图所示，一物体在力F 的作用下产生位移S ，（1）力F 所做的功W= 。

（2）请同学们分析这个公式的特点：W （功）是 量，F （力）是 量，S （位移）是 量，α是 。

问：从求功的运算中，可以抽象出什么样的数学运算？（目标1）·的符号2.向量的数量积与向量的线性运算有何异同？2. 小组合作，考虑向量夹角的取值范围，从中选出特殊角并说明此时向量之间的特殊位置，概括出向量数量积的性质，小组派代表展示汇报。

（目标2）3. 在平面上做出共起点的两个向量（夹角分别取00，450，900，1350，1800），在图中画出一向量在另一向量方向上的投影（独立完成），小组交流平面向量数量积与向量投影的关系。

平面向量的数量积一、三维目标1．知识与技能(1)掌握平面向量的数量积及其几何意义．(2)掌握平面向量数量积的重要性质及运算律．(3)了解用平面向量的数量积处理垂直问题的方法．(4)掌握向量垂直的条件．2．过程与方法通过以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，培养学生分析问题、解决问题的能力和发现数学规律的思维方法和能力．3．情感、态度与价值观(1)通过对数量积概念的探究学习，培养学生的探索精神和创新意识．(2)通过本节内容的学习和运用，体会数学的科学价值和应用价值．二、重点、难点1.重点：平面向量数量积的概念，用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角．2.难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用．三、教学过程：（一）.导入新课：一个物体在力F的作用下产生位移s，如图．1．如何计算这个力所做的功？【提示】w＝|S||F|cos θ.2．力F在位移方向上的分力是多少？【提示】|F|cos θ.3．力做功的大小与哪些量有关？【提示】与力F的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．（二）.新课讲解：向量的数量积的定义：已知两非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则把数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定零向量与任一向量的数量积均为0.向量的数量积的几何意义：1.投影的概念如图2－4－1所示：OA →＝a ，OB →＝b ，过B 作BB 1垂直于直线OA ，垂足为B 1，则OB 1＝|b |cosθ.|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影，|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影．图2－4－12．数量积的几何意义：a ·b 的几何意义是数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的投影|b |cos θ的乘积.向量的数量积的性质：设a 与b 都是非零向量，θ为a 与b 的夹角．(1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0. (2)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |.(3)a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ＝a 2.(4)cos θ＝a ·b |a ||b |. (5)|a ·b |≤|a ||b |.向量数量积的运算律：1.a ·b ＝b ·a (交换律)．2．(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)．3．(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．向量的数量积运算：例1.已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，(1)求a·b；(2)求a在b上的投影．【思路探究】利用数量积的定义及几何意义求解．【自主解答】(1)a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝5×4×(－12 )＝－10.(2)∵|a|cos θ＝5×cos 120°＝－5 2，∴a在b上的投影为－5 2 .1．在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写．2．求平面向量数量积的方法(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b.利用数量积解决垂直问题：例2.已知向量a、b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求证：(a＋b)⊥(a－b)．【思路探究】证明a＋b与a－b垂直，转化为证明a＋b与a－b的数量积为零．【自主解答】∵|2a＋b|＝|a＋2b|，∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2，∴4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，∴a2＝b2，∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.又a与b不共线，∴a＋b≠0，a－b≠0，∴(a＋b)⊥(a－b)．1．解本题的关键是找出a与b的关系，由已知条件建立方程组不难找出a与b的关系．2．非零向量a·b＝0⇔a⊥b是非常重要的性质，它对于解决平面几何图形中的有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．与向量模有关的问题：例3.已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a＋b|；(2)|(a＋b)·(a－2b)|.【思路探究】利用a·a＝a2或|a|＝a2求解．【自主解答】由已知a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.(1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，∴|a＋b|＝2 3.(2)∵(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12，∴|(a＋b)·(a－2b)|＝12.1．此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系．2．利用a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．（三）课堂练习：课本106页，1.2.3.（四）课堂小结：学习本节时要注意两个方面的问题，⑴怎么求夹角；⑵数量积是一个数量；⑶理解数量积性质的推导过程，并能熟练应用；⑷数量积的运算律使用。

2.4.1向量数量积的物理背景与含义（一）教学目标1．知识与技能：(1) 通过物理中的“功”等实例，理解平面向量数量积的含义和物理意义.(2) 体会平面向量的数量积与向量投影的关系.(3) 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.(4) 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题. 2．过程与方法：(1) 通过物理中的“功”等实例，引出向量数量积的概念.(2) 运用几何直观引导学生理解定义的实质.(3) 进一步结合具体例题，加强对数量积性质的运用.3．情感、态度与价值观：有物理背景出发引出数量积的概念，进而从几何直观引导学生自主探索数量积的性质，培养学生的自主探索能力.（二）教学重点、难点教学重点是向量的数量积的定义及性质.教学难点是对向量数量积定义及性质的理解和应用.（三）教学方法有物理背景出发，介绍数量积的概念，教学中采用提出问题，引导学生通过观察、类比的方式，探索数量积的性质，进而结合例题运用性质加强理解. （四）教学过程已知两个非零向量OA=a，OB= b.则∠作向量a和向量b的夹角记作〈a ，b〉并规定0≤〈a ，b3．向量在轴上的正射影（1）概念：已知向量a和轴lOA=a，过点O，轴l的垂线，垂足分别为O 1，A1，则向量11O A叫做向量a在轴l上的正射影.（2）正射影的数量：正射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量.记作：a l向量a的方向与轴l的正方向所成的角为θ，则有cos laθ=aa在轴l上的数量或在轴l 方向上的数量是一个数量，不是向量.当为锐角时为正值；当为钝角时为负值；当为直角时为0；当 = 0时为 |a|；当= 180时为|a|.概念讲解： 1．数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上正投影的数量|b |cos 的乘积. 2．两个向量的数量积是一个实数，符号由〈a ，b 〉的符号所决定；而数乘向量是一个向量。

3．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1) ea = a e =|a |cos 2) ab a b = 03) aa=|a |2或a a a ⋅=||4) cos =||||b a ba ⋅ ；|ab | ≤ |a ||b |例：已知a =5，b=4，〈a ,b 〉 解：a b =cos ,<>a b a b=5×4×cos120° = -10.2.3.1 向量数量积的运算律问题1：数量乘法满足的运算律，对于向量的数量积运算是否也同样满足呢?交换律：＝b a成立吗？问题2：对于乘法分配律，向量的数量积运算是否还满足？（a＋b）c＝a c＋b c另外，还有数乘以向量的乘积有：λ(a b)=(λa) b=a(λb)。

2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义整体设计教学分析前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功图1W=|F||s|cosθ功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义a·b=|a||b|cosθ.这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.三维目标1.通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,并掌握向量垂直的条件.3.通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s,那么力F 所做的功W 可由下式计算:W =|F ||s|cos θ其中θ是F 与s 的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量). 故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？ 推进新课新知探究提出问题①a ·b 的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么?②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？③我们知道,对任意a,b∈R ,恒有(a+b)2=a 2+2ab+b 2,(a+b)(a-b)=a 2-b 2.对任意向量a 、b ,是否也有下面类似的结论?(1)(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2;(2)(a +b )·(a -b )=a 2-b 2.活动:已知两个非零向量a 与b ,我们把数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b =|a ||b |cos θ(0≤θ≤π).其中θ是a 与b 的夹角,|a |cos θ(|b |cos θ)叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a ·0=0;(3)符“·”在向量运算中不是乘,既不能省略,也不能用“×”代替;(4)当0≤θ<2π时cos θ>0,从而a ·b >0;当2π<θ≤π时,cos θ<0,从而a ·b <0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.已知a ,b ,c 和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律:①a ·b =b ·a (交换律);②(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律);③(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律).特别是:(1)当a ≠0时,由a ·b =0不能推出b 一定是零向量.这是因为任一与a 垂直的非零向量b ,都有a ·b =0.图3(2)已知实数a 、b 、c(b≠0),则ab=bc ⇒a=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即a ·b =b ·c 不能推出a =c .由图3很容易看出,虽然a ·b =b ·c ,但a ≠c .(3)对于实数a 、b 、c 有(a·b)c=a(b·c);但对于向量a 、b 、c ,(a ·b )c =a (b ·c )不成立.这是因为(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量,而a (b ·c)表示一个与a 共线的向量,而c 与a 不一定共线,所以(a ·b )c =a (b ·c )不成立.讨论结果:①是数量,叫数量积.②数量积满足a ·b =b ·a (交换律);(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律);(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律).③(1)(a +b )2=(a +b )·(a +b )=a ·b +a ·b +b ·a +b ·b =a 2+2a ·b +b 2;(2)(a +b )·(a -b )=a ·a -a ·b +b ·a -b ·b =a 2-b 2.提出问题①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.图4定义:|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.并引导学生思考:1°投影也是一个数量,不是向量;2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b |;当θ=180°时投影为-|b |.教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义:数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质:设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量.1°e ·a =a ·e =|a |cos θ.2°a ⊥b ⇔a ·b =0.3°当a 与b 同向时,a ·b =|a ||b |;当a 与b 反向时,a ·b =-|a ||b |.特别地a ·a =|a |2或|a |=a a ∙.4°cos θ=||||b a b a ∙.5°|a ·b |≤|a ||b |.上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程中理解并记忆这些性质.讨论结果:①略(见活动).②向量的数量积的几何意义为数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.应用示例思路1例 1 已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=2,|BC |=1,|CA |=3,求AB ·BC +BC ·CA +CA AB 的值.活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知AB 、BC 、CA 的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A BC 是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果.解:由已知,|BC |2+|CA |2=|AB |2,所以△A BC 是直角三角形.而且∠AC B=90°, 从而sin∠A BC=23,sin∠B AC=21. ∴∠A BC =60°,∠B AC =30°. ∴AB 与BC 的夹角为120°,BC 与CA 的夹角为90°,CA 与AB 的夹角为150°. 故AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB =2×1×cos120°+1×3cos90°+3×2cos150°=-4.点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中AB 与BC 的夹角是120°,而不是变式训练已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°,求(a +2b )·(a -3b解:(a +2b )·(a -3b )=a ·a -a ·b -6b ·b=|a |2-a ·b -6|b |2=|a |2-|a ||b |cos θ-6|b |2=62-6×4×cos60°-6×42=-72.例2 已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 不共线,当k 为何值时,向量a +k b 与a -k b 互相垂直? 解:a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是(a +k b )·(a -k b )=0,即a 2-k 2b 2=0.∵a 2=32=9,b 2=42=16,∴9-16k 2=0. ∴k=±43. 也就是说,当k=±43时,a +k b 与a -k b 互相垂直. 点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件.变式训练已知向量a 、b 满足:a 2=9,a ·b =-12,求|b |的取值范围.解:∵|a |2=a 2=9,∴|a |=3.又∵a ·b =-12,∴|a ·b |=12.∵|a ·b |≤|a ||b |,∴12≤3|b |,|b |≥4.故|b |的取值范围是［4,+∞).思路2例1 已知在四边形ABCD 中,AB =a ,BC =b ,CD =c ,DA =d ,且a ·b =c ·d =b ·c =d ·a ,试问四边形ABCD 的形状如何？解:∵AB +BC +CD +DA =0,即a +b +c +d =0,∴a +b =-(c +d ).由上可得(a +b )2=(c +d )2,即a 2+2a ·b +b 2=c 2+2c ·d +d 2.又∵a ·b =c ·d ,故a 2+b 2=c 2+d 2.同理可得a 2+d 2=b 2+c 2.由上两式可得a 2=c 2,且b 2=d 2,即|a |=|c |,且|b |=|d |,也即AB=CD,且BC=DA,∴A BCD 是平行四边形. 故AB =CD ,即a =-c .又a ·b =b ·c =-a ·b ,即a ·b =０,∴a ⊥b ,即AB ⊥BC .综上所述,ABCD 是矩形.点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.例2 已知a ,b 是两个非零向量,且|a |-|b |=|a +b |,求向量b 与a -b 的夹角.活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a ,b 为邻边的ABCD,若AB =a ,CB =b ,则CA =a +b ,DB =a -b .由|a |-|b |=|a +b |,可知∠A BC =60°,b 与DB 所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量b 与a -b 的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由cos 〈b ,a -b 〉=||||)(b a b b a b --∙作为切入点,进行求解. 解:∵|b |=|a +b |,|b |=|a |,∴b 2=(a +b )2.∴|b |2=|a |2+2a ·b +|b |2.∴a ·b =-21|b |2. 而b ·(a -b )=b ·a -b 2=21-|b |2-|b |2=23-|b |2, ① 由(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=|b |2-2×(21-)|b |2+|b |2=3|b |2, 而|a -b |2=(a -b )2=3|b |2,∴|a -b |=3|b |. ② ∵cos〈b ,a -b 〉=,||||)(b a b b a b --∙ 代入①②,得cos 〈b ,a -b 〉=-2323||3||||2-=∙b b b . 又∵〈b ,a -b 〉∈［0,π］,∴〈b ,a -b 〉=65π. 点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会.变式训练设向量c =m a +n b (m,n∈R ),已知|a |=22,|c |=4,a ⊥c ,b ·c =-4,且b 与c 的夹角为120°,求m,n 的值.解:∵a ⊥c ,∴a ·c =0.又c =m a +n b ,∴c ·c =(m a +n b )·c ,即|c |2=m a ·c +n b ·c .∴|c |2=n b ·c .由已知|c |2=16,b ·c =-4,∴16=-4n.∴n=-4.从而c =m a -4b .∵b ·c =|b ||c |cos120°=-4,∴|b |·4·(21-)=-4.∴|b |=2. 由c =m a -4b ,得a ·c =m a 2-4a ·b ,∴8m -4a ·b =0,即a ·b =2m. ①再由c =m a -4b ,得b ·c =m a ·b -4b 2.∴m a ·b -16=-4,即m a ·b =12. ②联立①②得2m 2=12,即m 2=6. ∴m=±6.故m=±6,n=-4.知能训练课本本节练习.解答:1.p·q=24.2.a·b<0时,△A BC为钝角三角形;a·b=0时,△A BC为直角三角形.3.投影分别为32,0,-32.图略.课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量积的运算律.2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解.作业课本习题2.4 A组2、3、4.设计感想本节的重要性是显而易见的,但本节有几个常见思维误区:不能正确理解向量夹角的定义,两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角,因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区.同时利用向量的数量积不但可以解决两向量垂直问题,而且还可以解决两向量共线问题,要深刻理解两向量共线、垂直的充要条件,应用的时候才能得心应手.。

平面向量数量积的物理背景及其含义一 .教学内容分析：本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修4（人教A版）§2.4 平面向量的数量积的第一课时,本课主要内容是向量的数量积的定义及运算律,本节课的关系到后面向量位置关系的判定。

二.学情分析：学生在学习本节内容之前，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的数量积。

但是，学生作为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然，以及对运算律的理解。

,对于运算律不一定给全或给对,对运算律的证明可能会存在一定的困难,教学中老师要注意引导学生分析判断.三.设计思想：让学生感受到数学来源于生活，数学应用于生活，激发同学们学习的乐趣。

并通过问题的探究，体验“数学是过程的思想”，改变课程实施过程于强调接受学习，死记硬背，机械训练的现状，倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生学生收集和处理信息的能力，获得新知识的能力，分析与解决问题的能力以及交流合作的能力。

四.教学目标：1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系；3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。

五.教学重点和难点:重点是平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角；难点是平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。

六.教学过程设计：活动一：创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？答：向量的加法、减法及数乘运算。

这些运算的结果是向量。

2、提出问题2： 回忆物理中“功”的计算，它的大小与哪些量有关？这些量是矢量还是标量？他们做的是什么运算？答：力和位移，都是矢量，乘法运算。