《高等数学》(北大第二版)第10章习题课

(0,1) x2 y 2
x2 y2
B(0,y) A(0,1)
C(x,y)
(0, y) (x, y)
(0,1) (0, y)
yy
x x y
1
y2 dy 0 x2 y2 dx
x
d( )
ln
y
x xdx 0 x2 y2
xy 0 ( x )2 1
y
0
x
AB : x 0
BC : y 常数
例10 计算 (x2 y2 )ds, 是立体 x2 y2 z 1的界面. 解
1 2
在1 : z x2 y2上, ds 2dxdy,在2 : z 1上, ds dxdy
原式 ( 2 1)(x2 y2 )dxdy
x2 y2 1
(
2
2 1) d
1r3dr (
2 1).
解1 补线段0B,使0B和积分路径L围成区域
A(2,2)
L
L-
D，且0B+L-成为D的边界曲线的正向，由格林公式 o
D
x
B(4,0)
Q P
L 0 B
D
( x
)dxdy y
2
D
dxdy 8
-( ) -( (Q P )dxdy )
L
L- 0B 0B
D x y
0B
8 0 8
( t ),(t), (t) 在[, ]上有连续导数
f(x, y)ds
f[(t), (t)]
2 (t) 2 (t)dt( )
L
2.如果L的方程为y (x), (a x b); x ( y), (c y d)
或者L为极坐标方程 r r( ), ( )也有相应的计算公式 .
x y
10 积分 Pdx Qdy与路径无关; 20
Pdx Qdy 0;
L
任意cD
30 Pdx Qdy 是某一二元函数的全微 分.
例2 计算I (2xy- x2)dx (x y2)dy,
其中L是由y x2 和yL2 x所围成区域的正向边界 曲线.
y
解1
I
1
(2x
x2
x2
)dx
y 2 dy
[1 2
x2 ]0
1
2
2
4. 9
例 5
计算曲线积分
L
y x2 y2
dx
x2
x
y2
dy,
其中L是由y2=2(x+2)及x=2所围成的区域D的边界，L的方向为逆时
针方向.
y
解 [当x=y=0时，
无意义；且
P y
Q x
P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
在原点不成立，该点又
L
L1
0
x
在题设圆内，所以不能直接利用格林公式计算，但以
2
d
a cos2 r 3
ln
y
1 2
ln( x2
y2 ) |0x
arctan
x y
|0x
1 ln( x2 y2 ) arctan x .
2
y
二、曲面积分的计算法
曲面积分计算的关键是要明确被积函数f(x,y,z)为定义在积分曲
面上的连续函数，x,y,z之间符合的方程，故可化为二重积分计算，
切不可与三重积分混淆。且第一型曲面积分与的方向无关，第二
x
(1 2x)dy
1
.
D
0
x2
30
例3 计算积分 I ydx xdy
L
L : 半圆周0AB : x 2 y2 2x, y 0.
解1 选x为参数
y
A（1，1）
0
x
1 B（2，0）
y 2x x2 , dy 1 x dx, (0 x 2)
2x x2
I 2 2x x2 dx x 1 x dx 2 3x 2x2 dx
1 x 2时取正号 类似解法1，计算仍然麻繁.
解3
圆的参数方程为:
x y
1 cost, sint.
t 从 变到0
0
ydx xdy [sint(sin t) (1 cost) cost]dt
L
0
(cos
t
cos
2t
)dt
sin
t
|0
sin 2t 2
|0
0
解4 因为 P Q 1,所以积分与路径无关 ,凑全微分 y x
例11 计算曲面积分 x2z c0osds,其0 中曲面s是2 球面x2+y2+z2=a2
的下半部，法线朝上，是曲面s的法线正向与0z轴正向的夹角.
解 ：根据第一，第二型曲面积分之间的关系
x2z cosds x2zdxdy
s
s
原式 x2 ( a2 x2 y2 )dxdy
x2 y2 a2
0
2x x2
0 2x x2
2 2(2x x2 ) x dx 2 2 2x x2 dx 2
x
令u x 1 dx
0 2x x2
0
0 2x x2
1
2
1 u2 du
1
u 1
1
du 4
1 u2 du 2 1
1
du 0
1
1 1 u 2
0
0 1u2
解2 选y为参数 x 1 1 y2 ,当0 x 1时取负号,
ydx xdy (Q P )dxdy 0
0 AB0
D x y
I ydx xdy ydx xdy 0
0 AB0
B0
比较以上几种解法，方法5最简便，方法6次之.
例 4 计算 x2 y2 dx y[xy ln(x x2 y2 )]dy
L
其中L为曲线y=sinx (0 x ) 按x增大方向 .
由格林公式，前一积分
I1
Q
D
(
x
P )d
y
பைடு நூலகம்1 d
D
2
,
2
I2
(2x)dx 4,
0
I
I1
I2
2
4.
例 6 计算曲线积分 ( y 2 z 2 )dx (z 2 x2 )dy (x2 y 2 )dz
为球面上的三角形x2 y2 z2 a2 (x 0, y 0, z 0)围线的正向. 解 L1 L2 L3 L1 : x2 z2 a2 (x 0, y 0) z 0.起点 : x a,终点x 0, L2 : y2 z2 a2 ( y 0, z 0) x 0.起点 : y a,终点y 0, L3 : x2 z2 a2 (x 0, z 0) y 0.起点 : z a,终点z 0,
10.2 第二型曲线积分的计算
1. 直接计算法
2. 利用格林公式化为二重积分计算
格林公式：P(x,y)、Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，L+ 则
L
Pdx
Qdy
D
(
Q x
P y
)dxdy
3.利用积分与路径无关的条件，选择便于积分的路径 D：单连域， P、Q在D 上具有一阶连续偏导数,且 Q P (在D上)
2 y 2 2axy 2ax2 2xy 2bx
a 1,b 0.
这里原点(0,0)是P、Q的不连续点（奇异点），求u(x,y)时须选取
(x0,y0) (0,0),不妨取为(0,1),并选择折线作为积分路径，代入a、b之
值，算得
y
u(x, y)
(x,y) x y dx x y dy
y=1-x ; y=1+x; y=-1-x;
y=x-1.
原式
AB
BC
CD
DA
0 1 (1) dx 1 11 dx
1 x (1 x) 0 x (1 x)
0 11
1 11
dx
dx
1 x (1 x)
0 x (x 1)
1
1
0 20 dx 0 20 dx 2 2 0.
型曲面积分与的方向有关。
10.2 第一型曲面积分的计算
若 : z z(x, y), 在xoy面上的投影域为 Dxy, f (x, y, z)在上连续,则
f (x, y, z)ds f [x, y, z(x, y)] 1 zx2 z2 y dxdy
Dxy
由y y(z, x)或x x( y, z)给出,有类似计算公式 .
(0B : y 0, (0 x 4))
解 2 0A : y x (0 x 2); AB : x 4 - y (2 y 0).
I 2 (x 3ex 2x 3x2ex 2)dx 0
0 ( y3e4y 2 y)dy 0 (3y2e4y 2)dy 8
2
2
dx dy
原点为中心，可作一半径为的小圆包含该奇点，即挖去此不连
续点，在形成的复连通区域上再应用格林公式计算.]
如图，在L包围的区域D内作顺时针方向的小圆周L1：
x cos , y sin (0 2 ).
在L与L1包围的区域上，由
P x2 y2 Q ,和格林公式， y (x2 y2 )2 x
[x
(x2
)2
]2xdx
0
0[2 y2 y ( y2 )2 ]2 ydy ( y2 y2 )dy 1
Y2=x (1,1) Y=x2
7 17 1 . 6 15 30
0
x
y (x) (0 x 1).
解2
I
D
(
Q x
P y
)dxdy
1
(1- 2x) dxdy dx
x ( y) (1 y 0).
第十章 曲线积分与曲面积分
（习题课） 一、曲线积分的计算法
曲线积分计算的关键是必须明确被积函数f(x,y)为定义在积分曲
线L上的连续函数，x、y之间符合L的方程，故可化为定积分计算，
切不可与二重积分混淆。并第一型曲线积分与L的方向无关，第二
型曲线积分与L的方向有关。
10.1 第一型曲线积分的计算
x (t) 1. L : y (t)
L为从点A（2,0)沿曲线 y 2x - x2 到点o(0,0) 的的弧.
解 添加从点o(0,0)沿y=0到点A（2,0)的有向直线段L1，
I (ex sin y 2(x y)dx (ex cos y x)dy L L1
(ex sin y 2(x y)dx (ex cos y x)dy. L1
例9
试确定a、b之值，使xa2x
y y2
dx
ax y b x2 y2
dy是某函数
u(x,y)的全微分，并求出这样的一个原函数.
解 由题设之式是du,有Py=Qx,即
(x2
y2 ) (ax (x2 y2)2
y) 2 y
a (x2
y2 ) (ax y (x2 y2)2
b) 2x
解 应用格林公式
y
Q y2 y , P y .
x
x2 y2 y x2 y2
L L-
D
x
0
A
补线段0A，使之成为和L-所围成区域D的边界曲线正向.
0A: y=0 dy=0.dx (0 x )
所以
(
)
y2dxdy
xdx
L
L
L 0 A 0 A
D
0
0
dx
sin x 0
例1
求
L
xyds,
L
:
椭圆
x a
2 2
y2 b2
1在第一象限部分 .
解 1 椭圆在第一象限的方程为: y b a2 x2 (0 x a)
a
ds 1 y2 dx 1
a4 (a2 b2 )x2 dx
a
a2 x2
L
xyds
b a2
a
x
0
a4
(a2
b2 )x2 dx
ab 3(a b)
例 8 计算 ABCDA x y , 其中ABCDA是逆时针正方形闭回路
|x|+|y|=1,A点在x轴正方向上.
解 想图易知 ，此正方形的四个顶点坐标分别为：
A（1，0），B（0，1），C（-1，0），D（0，-1）. 四边的方程分别为：
AB：x+y=1; BC:-x+y=1; CD: -x-y=1; DA: x-y=1 即
I
(2,0)
ydx
xdy
(0,0)
(2,0)
d(xy)
(0,0)
(xy)|((20,,00))
0
解5 因积分与路径无关 ,故选直线段 0B : y 0 (0 x 2)
dy 0dx
所以
ydx
xdy
2
0
0
dx
x
0dx
0
L
（补线段B0,和0AB构成闭合路径，方向取顺时针）
解 6因0AB 0AB0 - B0, Q P ,应用格林公式 : x y
y
x
Q P
dx
dy ( )dxdy 0,
LL1 x2 y2
x2 y2
D1 x y
- ydx xdy - ydx xdy
L x2 y2
L1 x 2 y2
2 0
2
sin2 2
2
cos2
d
2 .
7.求I [ex sin y 2(x y)]dx (ex cos y x)dy, L
(a2
ab b2 )
解 2 L : x acost,y bsint, 0 t ,
2
xyds 2 abcost sin t a2 sin2 t b2 cos2 tdt
L
0
ab 2 sin t (a2 b2 )sin 2 t b2 d sin t 0
ab (a2 ab b2 ). 3(a b)
利用被积函数及积分路径的对称性
Z
I 3 y2dx x2dy
L1 L2 L3
L1
L3
3a2 2 (sin3 t cos3 t)dt 4a3. 0
X
L2
0
Y
L1
例 7 计算曲线积分 ( y3ex 2y)dx (3y2ex 2)dy,
L
y
其中L是从原点到A（2，2）再到B（4，0）的折线.