2020浙江省高考数学模拟试卷【含答案】

浙江省2020届高三高考模拟试题数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U＝R，集合A={x|x＜32}，集合B＝{y|y＞1}，则∁U（A∩B）＝（）A．[32，+∞)B．(−∞，1]∪[32，+∞)C．(1，32)D．(−∞，32)2．已知i是虚数单位，若z=3+i1−2i，则z的共轭复数z等于（）A．1−7i3B．1+7i3C．1−7i5D．1+7i53．若双曲线x2m−y2=1的焦距为4，则其渐近线方程为（）A．y=±√33x B．y=±√3x C．y=±√55x D．y=±√5x4．已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（）A．β内一定能找到与l平行的直线B．β内一定能找到与l垂直的直线C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直5．等差数列{a n}的公差为d，a1≠0，S n为数列{a n}的前n项和，则“d＝0”是“S2nS n∈Z”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．随机变量ξ的分布列如表：ξ﹣1012P13a b c其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)=19，则D（ξ）＝（）A．181B．29C．89D．80817．若存在正实数y，使得xyy−x =15x+4y，则实数x的最大值为（）A．15B．54C．1D．48．从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C 和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（ ） A ．85B ．95C ．2040D ．22809．已知三棱锥P ﹣ABC 的所有棱长为1．M 是底面△ABC 内部一个动点（包括边界），且M 到三个侧面P AB ，PBC ，P AC 的距离h 1，h 2，h 3成单调递增的等差数列，记PM 与AB ，BC ，AC 所成的角分别为α，β，γ，则下列正确的是（ ）A ．α＝βB ．β＝γC ．α＜βD ．β＜γ10．已知|2a →+b →|=2，a →⋅b →∈[−4，0]，则|a →|的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．[12，1]C ．[1，2]D ．[0，2]二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．若α∈(0，π2)，sinα=√63，则cosα＝ ，tan2α＝ ．12．一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体与原长方体的体积之比是 ，剩余部分表面积是 ．13．若实数x ，y 满足{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4，若3x +y 的最大值为7，则m ＝ ．14．在二项式(√x +1ax 2)5(a ＞0)的展开式中x﹣5的系数与常数项相等，则a 的值是 ．15．设数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *，则a 2＝ ，S 5＝ ． 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知a cos B ＝b cos A ，∠A =π6，边BC 上的中线长为4．则c ＝ ；AB →⋅BC →= ．17．如图，过椭圆C：x2a2+y2b2=1的左、右焦点F1，F2分别作斜率为2√2的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x−π3)+2cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间[−π4，π2]上的最大值和最小值．19．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1．（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；（2）若D在B1C1上，满足B1D＝2DC1，求AD与平面A1BC1所成的角的正弦值．20．（15分）已知等比数列{a n}（其中n∈N*），前n项和记为S n，满足：S3=716，log2a n+1＝﹣1+log2a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•log2a n}（n∈N*）的前n项和T n．21．（15分）已知抛物线C：y=12x2与直线l：y＝kx﹣1无交点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．（1）证明：直线AB恒过定点Q；（2）试求△P AB面积的最小值．22．（15分）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（1）求a的取值范围；（2）证明：f(x1)−f(x2)＜12．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【详解详析】∵U＝R，A={x|x＜32}，B＝{y|y＞1}，∴A∩B=(1，32)，∴∁U(A∩B)=(−∞，1]∪[32，+∞)．故选：B．2．【详解详析】∵z=3+i1−2i =(3+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=15+75i，∴z=15−75i．故选：C．3．【详解详析】双曲线x2m−y2=1的焦距为4，可得m+1＝4，所以m＝3，所以双曲线的渐近线方程为：y=±√33x．故选：A．4．【详解详析】由α，β是两个相交平面，其中l⊂α，知：在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；在D 中，β内有无数条直线与l 垂直，则β与α不一定垂直，故D 错误． 故选：B ．5．【详解详析】等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和， “d ＝0”⇒“S 2n S n∈Z ”，当S2nS n∈Z 时，d 不一定为0，例如，数列1，3，5，7，9，11中，S 6S 3=1+3+5+7+9+111+3+5=4，d ＝2，故d ＝0”是“S 2n S n∈Z ”的充分不必要条件．故选：A ．6．【详解详析】∵a ，b ，c 成等差数列，E （ξ）=19， ∴由变量ξ的分布列，知：{a +b +c =232b =a +c (−1)×13+b +2c =19，解得a =13，b =29，c =19，∴D （ξ）＝（﹣1−19）2×13+（0−19）2×13+（1−19）2×29+（2−19）2×19=8081．故选：D ．7．【详解详析】∵xyy−x =15x+4y ， ∴4xy 2+（5x 2﹣1）y +x ＝0， ∴y 1•y 2=14＞0， ∴y 1+y 2=−5x 2−14x ≥0，∴{5x 2−1≥0x ＜0，或{5x 2−1≤0x ＞0， ∴0＜x ≤√55或x ≤−√55①， △＝（5x 2﹣1）2﹣16x 2≥0， ∴5x 2﹣1≥4x 或5x 2﹣1≤﹣4x ， 解得：﹣1≤x ≤15②，综上x 的取值范围是：0＜x ≤15；x的最大值是15，故选：A．8．【详解详析】根据题意，分2步进行分析：①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有C52＝10种选法，则有5+35+35+10＝85种选法，②，将选出的4个元素全排列，有A44＝24种情况，则一共有85×24＝2040种不同排法；故选：C．9．【详解详析】依题意知正四面体P﹣ABC的顶点P在底面ABC的射影是正三角形ABC的中心O，由余弦定理可知，cosα＝cos∠PMO•cos＜MO，AB＞，其中＜MO，AB＞表示直线MO与AB的夹角，同理可以将β，γ转化，cosβ＝cos∠PMO•cos＜MO，BC＞，其中＜MO，BC＞表示直线MO与BC的夹角，cosγ＝cos∠PMO•cos＜MO，AC＞，其中＜MO，AC＞表示直线MO与AC的夹角，由于∠PMO是公共的，因此题意即比较OM与AB，BC，AC夹角的大小，设M到AB，BC，AC的距离为d1，d2，d3则d1＝sinℎ1θ，其中θ是正四面体相邻两个面所成角，sinθ=2√23，所以d1，d2，d3成单调递增的等差数列，然后在△ABC中解决问题由于d1＜d2＜d3，可知M在如图阴影区域（不包括边界）从图中可以看出，OM与BC所成角小于OM与AC所成角，所以β＜γ，故选：D．10．【详解详析】选择合适的基底．设m →=2a →+b →，则|m →|=2，b →=m →−2a →，a →⋅b →=a →⋅m →−2a →2∈[−4，0]， ∴（a →−14m →）2=a →2−12a →•m →+116m →2≤8+116m →2 |m →|2=m →2＝4，所以可得：m→28=12，配方可得12=18m →2≤2(a →−14m →)2≤4+18m →2=92，所以|a →−14m →|∈[12，32]， 则|a →|∈[0，2]． 故选：D ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．【详解详析】∵α∈(0，π2)，sinα=√63， ∴cosα=√1−sin 2α=√33，tanα=sinαcosα=√2，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=√21−(√2)2=−2√2．故答案为：√33，﹣2√2．12．【详解详析】根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：该几何体为长方体切去一个角．故：V =2×1×1−13×12×2×1×1=53．所以：V 1V =532=56．S ＝2（1×2+1×2+1×1）−12(1×2+1×2+1×1)+12×√2×√2=9．故答案为：56，9．13．【详解详析】作出不等式组{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4对应的平面区域如图：（阴影部分）．令z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ， 平移直线y ＝﹣3x +z ， 由图象可知当3x +y ＝7．由 {3x +y =7y =4，解得 {x =1y =4，即B （1，4），同时A 也在2x ﹣y +m ＝0上， 解得m ＝﹣2x +y ＝﹣2×1+4＝2． 故答案为：2．14．【详解详析】∵二项式(√x +1ax2)5(a ＞0)的展开式的通项公式为 T r +1=C 5r •(1a)r•x5−5r 2，令5−5r 2=−5，求得r ＝3，故展开式中x﹣5的系数为C 53•(1a )3；令5−5r 2=0，求得r ＝1，故展开式中的常数项为 C 51•1a =5a ， 由为C 53•(1a )3=5•1a ，可得a =√2，故答案为：√2．15．【详解详析】∵数列{a n }的前n 项和为S n ．S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *， ∴a 2＝3a 1+2，且a 1+a 2＝6，解得a 1＝1，a 2＝5，a 3＝3S 2+2＝3（1+5）+2＝20， a 4＝3S 3+2＝3（1+5+20）+2＝80， a 5＝3（1+5+20+80）+2＝320， ∴S 5＝1+5+20+80+320＝426． 故答案为：5，426．16．【详解详析】由a cos B ＝b cos A ，及正弦定理得sin A cos B ＝sin B cos A ， 所以sin （A ﹣B ）＝0， 故B ＝A =π6，所以由正弦定理可得c =√3a ，由余弦定理得16＝c 2+（a2）2﹣2c •a2•cos π6，解得c =8√217；可得a =8√77，可得AB →⋅BC →=−ac cos B =−8√77×8√217×√32=−967．故答案为：8√217，−967． 17．【详解详析】作点B 关于原点的对称点B 1，可得S △BOF 2=S△B′OF 1，则有S 1S2=|y A ||y B 1|=75，所以y A =−75y B 1．将直线AB 1方程x =√2y4−c ，代入椭圆方程后，{x =√24y −c x 2a 2+y 2b 2=1，整理可得：（b 2+8a 2）y 2﹣4√2b 2cy +8b 4＝0， 由韦达定理解得y A +y B 1=4√2b 2cb 2+8a 2，y A y B 1=−8b 4b 2+8a 2，三式联立，可解得离心率e =ca =12． 故答案为：12．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．【详解详析】（1）f （x ）＝sin2x +cos2x +1=√2sin(2x +π4)+1 所以最小正周期为π． 因为当π2+2kπ≤2x +π4≤3π2+2kπ时，f （x ）单调递减．所以单调递减区间是[π8+kπ，5π8+kπ]．（2）当x ∈[−π4，π2]时，2x +π4∈[−π4，5π4]，当2x +π4=π2函数取得最大值为√2+1，当2x +π4=−π4或5π4时，函数取得最小值，最小值为−√22×√2+1＝0．19．【详解详析】（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1， 根据已知条件易得AB 1⊥A 1B ，由A 1C 1⊥面ABB 1A 1，得AB 1⊥A 1C 1， A 1B ∩A 1C 1＝A 1，以AB 1⊥平面A 1BC 1；（2）以A 1B 1，A 1C 1，A 1A 为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，设AB ＝a ， 则A （0，0，a ），B （a ，0，a ），C 1(0，a ，0)，D(a3，2a 3，0)，所以AD →=(a3，2a 3，−a)，设平面A 1BC 1的法向量为n →，则n →=(1，0，−1)， 可计算得到cos ＜AD →，n →＞=2√77，所以AD 与平面A 1BC 1所成的角的正弦值为2√77． 20．【详解详析】（1）由题意，设等比数列{a n }的公比为q ， ∵log 2a n +1＝﹣1+log 2a n ， ∴log 2a n+1−log 2a n =log 2a n+1a n=−1，∴q =a n+1a n =12．由S 3=716，得a 1[1−(12)3]1−12=716，解得a 1=14．∴数列{a n }的通项公式为a n =12n+1．（2）由题意，设b n ＝a n •log 2a n ，则b n =−n+12n+1． ∴T n ＝b 1+b 2+…+b n =−(222+323+⋯+n+12n+1) 故−T n =222+323+⋯+n+12n+1，−T n2=223+⋯+n2n+1+n+12n+2．两式相减，可得−T n2=12+123+⋯+12n+1−n+12n+2=34−n+32n+2．∴T n=n+32n+1−32．21．【详解详析】（1）由y=12x2求导得y′＝x，设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1=12x12，y2=12x22则k P A＝x1，P A：y﹣y1＝x1（x﹣x1），设P（x0，kx0﹣1），代入P A直线方程得kx0﹣1+y1＝x1x0，PB直线方程同理，代入可得kx0﹣1+y2＝x2x0，所以直线AB：kx0﹣1+y＝xx0，即x0（k﹣x）﹣1+y＝0，所以过定点（k，1）；（2）直线l方程与抛物线方程联立，得到x2﹣2kx+2＝0，由于无交点解△可得k2＜2．将AB：y＝xx0﹣kx0+1代入y=12x2，得12x2−xx0+kx0−1=0，所以△=x02−2kx0+2＞0，|AB|=2√1+x02√△，设点P到直线AB的距离是d，则d=02√1+x02，所以S△PAB=12|AB|d=(x02−2kx0+2)32=[(x0−k)2+2−k2]32，所以面积最小值为(2−k2)32．22．【详解详析】（1）求导得f′（x）＝lnx+1﹣2ax（x＞0），由题意可得函数g（x）＝lnx+1﹣2ax有且只有两个零点．∵g′(x)=1x −2a=1−2axx．当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）＝f′（x）至多有一个零点，不符合题意，舍去；当a＞0时，令g′（x）＝0，解得x=12a，所以x∈(0，12a )，g′(x)＞0，g(x)单调递增，x∈(12a，+∞)，g′(x)＜0，g(x)单调递减．所以x=12a 是g（x）的极大值点，则g(12a)＞0，解得0＜a＜12；（2）g（x）＝0有两个根x1，x2，且x1＜12a＜x2，又g（1）＝1﹣2a＞0，所以x1＜1＜12a＜x2，从而可知f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．所以f(x1)＜f(1)=−a＜0，f(x2)＞f(1)=−a＞−1，2．所以f(x1)−f(x2)＜12。

2020年高考模拟高考数学全真模拟试卷（3月份）一、选择题1．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，则（∁U A）∪B＝（）A．∅B．{1，2，3，4}C．{2，3，4}D．{0，11，2，3，4}2．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B﹣PA﹣C的余弦值是（）A．B．C．D．3．某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为（）A．3B．4C．6D．124．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）5．若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最大值是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．76．已知随机变量X的分布列如表：X135P0.40.1x 则X的方差为（）A．3.56B．C．3.2D．7．双曲线x2﹣y2＝1右支上一点P（a，b）到直线l：y＝x的距离d＝．则a+b＝（）A．﹣B．C．或﹣D．2或﹣28．已知数列{a n}满足，n∈N*，且a2+a4+a6＝9，则＝（）A．B．3C．﹣3D．9．若[x]表示不超过x的最大整数，则f（x）＝[x]﹣x，（x∈R）的值域是（）A．[0，1）B．（﹣1，1）C．[﹣1，1]D．（﹣1，0] 10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．在圆内接四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝3，AD＝4，则△ABC的面积为．12．设函数，，则函数的最小值为；若，使得a2﹣a≥f（x）成立，则实数a的取值范围是．13．在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是，含x2项的系数是．14．函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是；②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是．15．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足||＝，则||+2||的最小值为．16．已知a，b∈R，f（x）＝e x﹣ax+b，若f（x）≥1恒成立，则的取值范围是17．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD ＝3．若四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为；当四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值时，二面角A﹣PC﹣D的正切值为．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，．（1）若ω＝1，，且对任意的，都有，求实数m的取值范围；（2）若，，且f（x）在单调递增，求ω的最大值．19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面EAD．20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．21．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|＝2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB面积的最大值．22．已知函数f（x）＝﹣x3+x2+x+a，g（x）＝2a﹣x3（x∈R，a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）求函数f（x）的极值．（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，则（∁U A）∪B＝（）A．∅B．{1，2，3，4}C．{2，3，4}D．{0，11，2，3，4}【分析】根据全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，∴∁U A＝{3，4}，则（∁U A）∪B＝{2，3，4}，故选：C．2．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B﹣PA﹣C的余弦值是（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，作出二面角B﹣PA﹣C的平面角，设PE＝a，求解直角三角形得到EG、EF、FG的长度，再由余弦定理得答案．解：如图，在PA上任取一点E，在平面APB内过E作EF⊥PA交PB于F，在平面APC内过E 作EG⊥PA交PC于G，连接GF，设PE＝a，在Rt△PEG中，∵∠EPG＝60°，∴PG＝2a，GE＝a，同理求得PF＝2a，EF＝a，则GF＝2a，在△FGE中，由余弦定理得：cos∠FEG＝＝．故选：C．3．某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为（）A．3B．4C．6D．12【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S＝×（2+4）×2＝6，棱柱的高为1，故棱柱的体积V＝6．故选：C．4．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）【分析】根据分段函数的表达式，先得到x＝0是f（x）与y＝ax的一个根，利用参数分离法构造函数h（x），得到h（x）与y＝a有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可．解：当x＞0时，由f（x）＝ax得2x2lnx＝ax，得a＝2xlnx，当x≤0时，由f（x）＝ax得﹣x3﹣4x2＝ax，此时x＝0是方程的一个根，当x≠0时，a＝﹣x﹣4x，设h（x）＝，当x＞0时，h′（x）＝2lnx+2x＝2lnx+2＝2（1+lnx），由h′（x）＞0得1+lnx＞0得lnx＞﹣1，得x＞此时函数为增函数，由h′（x）＜0得1+lnx＜0得lnx＜﹣1，得0＜x＜，此时函数为减函数，即当x＝时，h（x）取得极小值h（）＝2×ln＝﹣，当x＜0时，h（x）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，作出h（x）的图象如图：要使f（x）与直线y＝ax有四个不同的公共点，等价为h（x）与y＝a有3个不同的交点，则a满足﹣＜a＜0或0＜a＜4，即实数a的取值范围是（﹣，0）∪（0，4），故选：D．5．若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最大值是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．7【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝3x﹣y表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．解：不等式组表示的平面区域如图所示，由解得A（2，1）当直线z＝3x﹣y过点A（2，1）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值5．故选：C．6．已知随机变量X的分布列如表：X135P0.40.1x 则X的方差为（）A．3.56B．C．3.2D．【分析】先求得x的值，然后计算出EX，再利用方差公式求解即可．解：根据随机变量分布列的性质，知0.4+0.1+x＝1，所以x＝0.5，EX＝0.4+0.3+2.5＝3.2，DX＝2.22×0.4+0.22×0.1+1.82×0.5＝3.56，故选：A．7．双曲线x2﹣y2＝1右支上一点P（a，b）到直线l：y＝x的距离d＝．则a+b＝（）A．﹣B．C．或﹣D．2或﹣2【分析】P（a，b）点在双曲线上，则有a2﹣b2＝1，即（a+b）（a﹣b）＝1．根据点到直线的距离公式能够求出a﹣b的值，注意a＞b，从而得到a+b的值．解：∵P（a，b）点在双曲线上，∴有a2﹣b2＝1，即（a+b）（a﹣b）＝1．∵A（a，b）到直线y＝x的距离为，∴d＝＝，∴|a﹣b|＝2．又P点在右支上，则有a＞b，∴a﹣b＝2．∴a+b＝，故选：B．8．已知数列{a n}满足，n∈N*，且a2+a4+a6＝9，则＝（）A．B．3C．﹣3D．【分析】首先利用关系式的两边取对数求出数列的通项公式，进一步得到数列为等差数列，最后求出结果．解：数列{a n}满足，两边取对数得到，整理得a n+1﹣a n＝2（常数），所以数列{a n}是以2为公差的等差数列．则a2+a4+a6＝3a4＝9，整理得a4＝3，所以a7＝a4+2（7﹣4）＝3+6＝9，故a5+a7+a9＝3a7＝27，所以．故选：C．9．若[x]表示不超过x的最大整数，则f（x）＝[x]﹣x，（x∈R）的值域是（）A．[0，1）B．（﹣1，1）C．[﹣1，1]D．（﹣1，0]【分析】可设n≤x＜n+1，从而得出[x]＝n，先可得出﹣n﹣1＜﹣x≤﹣n，从而可求出[x]﹣x的范围，即得出f（x）的值域．解：设n≤x＜n+1，则[x]＝n；∴﹣n﹣1＜﹣x≤﹣n；∴﹣1＜[x]﹣x≤0；∴f（x）的值域为（﹣1，0]．故选：D．10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论．解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：A．二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．在圆内接四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝3，AD＝4，则△ABC的面积为．【分析】利用余弦定理可得AC，cos B，再利用三角形面积计算公式即可得出．解：AC2＝32+42﹣2×3×4cos D＝52+62﹣2×5×6cos B，cos B+cos D＝0．∴AC2＝，∴cos B＝，可得sin B＝＝．∴△ABC的面积S＝×＝．故答案为：．12．设函数，，则函数的最小值为2；若，使得a2﹣a≥f（x）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．【分析】由已知结合基本不等式可求函数的最小值；由，使得a2﹣a≥f （x）成立，可得a2﹣a≥f（x）min，然后解不等式可求．解：∵，由基本不等式可得，＝2，当且仅当x＝即x＝1时取得最小值2，∵，使得a2﹣a≥f（x）成立，∴a2﹣a≥f（x）min，∴a2﹣a≥2，解不等式可得，a≥2或a≤﹣1，故a的范围为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞]．故答案为：2；（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞]．13．在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是64，含x2项的系数是240．【分析】先利用二项式系数的性质求得n＝6，再利用二项展开式的通项公式求得含x2项的系数．解：在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是2n＝26＝64，而通项公式为T r+1＝•（﹣1）r 26﹣r•x6﹣2r，令6﹣2r＝2，求得r＝2，可得含x2项的系数是•24＝240，故答案为：64；240．14．函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是[1，2]；②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是﹣2．【分析】①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，结合图象可得y的取值范围．②当x≥0时，设抛物线的方程为y＝ax2+bx+c，求解解析式，根据f（x）是定义域为R的偶函数，可得x＜0的解析式，令y＝1，可得x对应的值，结合图象可得b的最大值．解：①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，当x∈[﹣1，1]时，值域为x∈[0，1]时相同，可得y的取值范围是[1，2]．②当x≥0时，设抛物线的方程为f（x）＝ax2+bx+c，图象过（0，1），（1，2），（3，﹣2），带入计算可得：a＝﹣1，b＝2，c＝1，∴f（x）＝﹣x2+2x+1，当x＜0时，﹣x＞0．∴f（﹣x）＝﹣x2﹣2x+1即f（x）＝﹣x2﹣2x+1．令y＝1，可得1＝﹣x2﹣2x+1．解得：x＝﹣2．结合图象可得b的最大值为﹣2．故答案为：[1，2]；﹣2．15．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足||＝，则||+2||的最小值为．【分析】建立坐标系，设A（1，0），B（0，1），D（1，1），设＝，＝，则||+2||＝CD+2BC，构造相似三角形，设E（1，），可得△AEC∽△ACD，所以||+2||＝CD+2BC＝2（BC+CE）≥2BE＝．解：如图，A（1，0），B（0，1），D（1，1），设＝，＝，则向量满足||＝，设＝，所以点C为以A为圆心，以为半径的圆上的一点，所以||＝|﹣|＝|CD|，同理2||＝2|BC|，取点E（1，），则，又因∠CAE＝∠DAC，所以△AEC∽△ACD，所以，即CD＝2CE，所以||+2||＝CD+2BC＝2CE+2BC＝2（BC+CE），由三角形的三边关系知2（BC+CE）≥2BE＝2＝2×＝．故填：．16．已知a，b∈R，f（x）＝e x﹣ax+b，若f（x）≥1恒成立，则的取值范围是[﹣1，+∞）【分析】先根据导数和函数的最值得关系，以及f（x）≥1恒成立，可得当a＞0时，b ≥alna﹣a+1，代入≥＝lna+﹣2，构造函数g（a）＝lna+﹣2，a＞0，利用导数求出函数的最值即可解：∵f（x）＝e x﹣ax+b，∴f′（x）＝e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）单调递增，f（x）≥1不恒成立，当a＞0时，令f′（x）＝e x﹣a＝0，解得x＝lna，当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna+b，∵f（x）≥1恒成立，∵a﹣alna+b≥1∴b≥alna﹣a+1，∴≥＝lna+﹣2，设g（a）＝lna+﹣2，a＞0∴g′（a）＝﹣＝，令g′（a）＝0，解得a＝1，当a∈（0，1）时，g′（a）＜0，函数g（a）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g′（a）＞0，函数g（a）单调递增，∴g（a）min＝0+1﹣2＝﹣1，∴≥﹣1，故答案为：[﹣1，+∞）17．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD ＝3．若四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为6π；当四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值时，二面角A﹣PC﹣D的正切值为．【分析】设CD＝x（0＜x＜3），则PD＝3﹣x，四棱锥P﹣ABCD可补形为一个长方体，球O的球心为PB的中点，然后求解球O的表面积推出最值；四棱锥的体积为V＝（0＜x＜3），利用函数的导数，求解PD＝1，过D作DH⊥PC于H，连接AH，则∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．求解即可．解：设CD＝x（0＜x＜3），则PD＝3﹣x，因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，所以AB⊥PD，又PD⊥AC，所以PD⊥平面ABCD，则四棱锥P﹣ABCD可补形为一个长方体，球O的球心为PB的中点，从而球心O的表面积为：＝3π[（x﹣1）2+2]≥6π．四棱锥的体积为V＝（0＜x＜3），则V′＝﹣x2+2x，当0＜x＜2时，V′＞0，当2＜x＜3时，V′＜0，所以V max＝V（2）此时AD＝CD＝2，PD＝1，过D作DH⊥PC于H，连接AH，则∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．∵DH＝＝，∴tan∠AHD＝＝．故答案为：6π；．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，．（1）若ω＝1，，且对任意的，都有，求实数m的取值范围；（2）若，，且f（x）在单调递增，求ω的最大值．【分析】（1）ω＝1，φ＝时，函数f（x）＝sin（x+），不等式化为m≥﹣2sin2x+sin x；求出g（x）＝﹣2sin2x+sin x，在x∈[0，]的最大值即可；（2）根据三角函数的图象与性质，结合题意列方程和不等式，即可求出ω的最大值．解：（1）ω＝1，φ＝时，函数f（x）＝sin（x+），则y＝f（x﹣）+f（2x+）＝sin[（x﹣）+]+sin[（2x+）+]＝sin x+cos2x ＝1﹣2sin2x+sin x；不等式f（x﹣）+f（2x+）﹣m≤1，可化为m≥﹣2sin2x+sin x；设g（x）＝﹣2sin2x+sin x，x∈[0，]，则g（x）＝﹣2+，且x∈[0，]时，sin x∈[0，]，所以sin x＝时，g（x）取得最大值是，所以实数m的取值范围是m≥；（2）若，则x＝是f（x）的对称轴，即ω•+φ＝kπ+，k∈Z；又，则﹣ω+φ＝kπ，k∈Z；所以φ＝，ω＝6k+，k∈Z；又f（x）在单调递增，则，解得ω≤2；综上知，ω的最大值是．19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面EAD．【分析】（I）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，由三角形的中位线定理，易得AE ∥FB1，DE∥B1C，进而由面面平行的判定定理得到平面B1FC∥平面EAD；（II）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，我们可判断出△ABC是正三角形，进而得到AD⊥BC1，DE⊥BC1，结合线面垂直的判定定理即可得到BC1⊥平面EAD．【解答】证明：（Ⅰ）由已知可得AF∥B1E，AF＝B1E，∴四边形AFB1E是平行四边形，∴AE∥FB1，…（1分）∵AE⊄平面B1FC，FB1⊂平面B1FC，∴AE∥平面B1FC；…又D，E分别是BC，BB1的中点，∴DE∥B1C，…∵ED⊄平面B1FC，B1C⊂平面B1FC，∴ED∥平面B1FC；…∵AE∩DE＝E，AE⊂平面EAD，ED⊂平面EAD，…∴平面B1FC∥平面EAD．…（Ⅱ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴C1C⊥面ABC，又∵AD⊂面ABC，∴C1C⊥AD．…又∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D是BC边中点，∴△ABC是正三角形，∴BC⊥AD，…而C1C∩BC＝C，CC1⊂面BCC1B1，BC⊂面BCC1B1，∴AD⊥面BCC1B1，…故AD⊥BC1．…∵四边形BCC1B1是菱形，∴BC1⊥B1C，…而DE∥B1C，故DE⊥BC1，…由AD∩DE＝D，AD⊂面EAD，ED⊂面EAD，得BC1⊥面EAD．…20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．【分析】（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，由于a1+a2+…+a2013＝0，可得a1007＝0，a1008＝d，对d分类讨论，利用等差数列的通项公式即可得出．（Ⅲ）当k＝n时，显然|S n|＝0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k＝a1+a2+…+a k ＝﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|＝|a1+a2+…+a k|＝|a k+1+a k+2+…+a n|，再利用绝对值不等式的性质即可得出．解：（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，∵a1+a2+…+a2013＝0，∴＝0，∴a1+a2013＝0，即a1007＝0，∴a1008＝d，当d＝0时，与期待数列的条件①②矛盾，当d＞0时，据期待数列的条件①②可得a1008+a1009+…+a2013＝，∴1006d+d＝，即d＝，∴a n＝a1007+（n﹣1007）d＝（n∈N*，n≤2013），当d＜0时，同理可得a n＝，（n∈N*，n≤2013）．（Ⅲ）当k＝n时，显然|S n|＝0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k＝a1+a2+…+a k＝﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|＝|a1+a2+…+a k|＝|a k+1+a k+2+…+a n|，∴2|S k|＝|a1+a2+…+a k|+|a k+1+a k+2+…+a n|≤|a1|+|a2|+…+|a k|+|a k+1|+…+|a n|＝1，∴|S k|（k＝1，2，…，n）．21．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|＝2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB面积的最大值．【分析】（1）当|PF|＝2时，利用抛物线的定义，即可求点P的坐标；（2）先求出|AB|，再计算抛物线上点到直线的最大距离，即可求出△PAB的面积的最大值．解：（1）设P（x，y），则y+1＝2，∴y＝1，∴x＝±2，∴P（±2，1）；（2）过F的直线方程为y＝x+1，代入抛物线方程，可得y2﹣6y+1＝0，可得A（2﹣2，3﹣2），B（2+2，3+2），∴|AB|＝•|2+2﹣2+2|＝8．平行于直线l：x﹣y+1＝0的直线设为x﹣y+c＝0，与抛物线C：x2＝4y联立，可得x2﹣4x﹣4c＝0，∴△＝16+16c＝0，∴c＝﹣1，两条平行线间的距离为＝，∴△PAB的面积的最大值为＝4．22．已知函数f（x）＝﹣x3+x2+x+a，g（x）＝2a﹣x3（x∈R，a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）求函数f（x）的极值．（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）利用导数来求出函数的单调区间．（2）利用导数来求出函数的极值，利用（1）的结论．（3）不等式g（x）≥f（x）恒成立转化为不等式a≥x2+x恒成立，h（x）＝x2+x，x∈[0，1]，利用导数，求出h（x）的最大值，问题得以解决．解：（1）f（x）＝﹣x3+x2+x+a，f'（x）＝﹣3x2+2x+1，．．．（2）由（1）可知，当时，函数f（x）取得极小值，函数的极小值为当x＝1时，函数f（x）取得极大值，函数的极大值为f（1）＝a+1，（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，即对于任意x∈[0，1]，不等式a≥x2+x恒成立，设h（x）＝x2+x，x∈[0，1]，则h'（x）＝2x+1，∵x∈[0，1]，∴h'（x）＝2x+1＞0恒成立，∴h（x）＝x2+x在区间[0，1]上单调递增，∴[h（x）]max＝h（1）＝2∴a≥2，∴a的取值范围是[2，+∞）。

浙江高考仿真卷(一)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．已知集合A ＝{x ∈Z |x ≤0}，B ＝{}x |－1≤x ≤6，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1≤x ≤0} B ．{x |x ≤6} C ．{0,1,2,3,4,5,6} D ．{0，－1}答案 D解析 A ＝{x ∈Z |x ≤0}，B ＝{x |－1≤x ≤6}，则A ∩B ＝{0，－1}． 2．若双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的实轴长为2，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±2x 答案 A解析 双曲线的实轴长为2，得a ＝1，又b ＝1，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±x . 3．设α是空间中的一个平面，l ，m ，n 是三条不同的直线． ①若m ⊂α，n ⊂α，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α； ②若l ∥m ，m ∥n ，l ⊥α，则n ⊥α； ③若l ∥m ，m ⊥α，n ⊥α，则n ∥l ； ④若m ⊂α，n ⊥α，l ⊥n ，则l ∥m . 则上述命题中正确的是( )A ．①②B ．①④C ．③④D ．②③ 答案 D解析 对于①，当m ，n 相交时，才能得到l ⊥α，①错误；对于②，由l ∥m ，m ∥n 得l ∥n ，又因为l ⊥α，所以n ⊥α，②正确；对于③，因为m ⊥α，n ⊥α，所以m ∥n ，又因为l ∥m ，所以n ∥l ，③正确；对于④，直线l 与m 可能相交、平行或互为异面直线，④错误．综上所述，正确命题的序号为②③.4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数图象关于直线x ＝π2对称，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 答案 D解析 因为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期是π， 所以2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，将该函数的图象向右平移π6个单位长度后，得到图象所对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－π3， 由此函数图象关于直线x ＝π2对称，得2×π2＋φ－π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－π6，k ∈Z ， 取k ＝0，得φ＝－π6，满足|φ|<π2，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 5．函数f (x )＝3x 34|x |－4的图象大致为( )答案 A解析 由题意知，函数f (x )的定义域为{x |x ≠±1}且满足f (－x )＝3(－x )34|－x |－4＝－3x 34|x |－4＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D 项；又由当x ∈(0,1)时，函数f (x )的值小于0，排除B 项，故选A.6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1>0”是“S 3>S 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，S 3>S 2⇔a 3>0⇔a 1q 2>0⇔a 1>0，故选C.7．一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n (n ∈N *)个黑球．现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一个球，设摸得白球个数为X ，若D (X )＝1，则E (X )等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 设摸取一次摸得白球的概率为p ，则易得X ～B (4，p )，D (X )＝4p (1－p )＝1，解得p ＝12，则E (X )＝4×12＝2.8．将颜色分别为红色、黄色、蓝色的3个球，放入编号为1,2，…，7的七个盒子中，每一个盒子至多放2个球，则不同的放法有( ) A ．98种 B ．196种 C ．252种 D ．336种 答案 D解析 3个球放入编号为1,2，…，7的七个盒子中，每个盒子至多放2个球，应采用排除法，每个球放入盒子的放法各有7种，共73种，排除3个球放在同一个盒中的7种放法，则共有73－7＝336(种)放法．9．已知向量a ，b 满足|a |＝|a ＋b |＝2，则|2a ＋b |＋|b |的最大值为( ) A ．4 B ．4 2 C ．4＋2 2 D ．8 答案 B解析 记a ＋b ＝m ，则|a |＝|m |＝2，|2a ＋b |＋|b |＝|a ＋m |＋|m －a |≤2(|a ＋m |2＋|m －a |2)＝2m 2＋a 2＝42，当且仅当|a ＋m |＝|m －a |，即a ·(a ＋b )＝0，a ·b ＝－4时，取等号，则所求的最大值为4 2.10．已知偶函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝ax 2－bx ＋c ，a ，b ，c ∈N *.若函数f (x )在[－100，100]上有400个零点，则a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ．5 B ．8 C ．11 D ．12 答案 C解析 由f (1－x )＝f (1＋x )，得f (x ＋2)＝f (－x )＝f (x )，则函数f (x )是以2为周期的周期函数，函数f (x )在[－100,100]上有400个零点等价于函数f (x )在[0,1]上有两个不同的零点，又因为a ，b ，c ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝c >0，f (1)＝a －b ＋c >0，0<－－b2a<1，(－b )2－4ac >0，即⎩⎪⎨⎪⎧c >0，a －b ＋c >0，b －2a <0，b 2－4ac >0，所以要使a ＋b ＋c 取得最小值，不妨取c ＝1，则不等式组化为⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1>0，b －2a <0，b 2－4a >0，以a 为横轴，b 为纵轴建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(不含边界)所示，由图易得区域内横纵坐标之和最小的整数点为(5,5)，此时a ＝b ＝5，所以a ＋b ＋c 的最小值为11.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 11．复数z ＝(3＋4i)2的虚部为________，z 的共轭复数z ＝________. 答案 24 －7－24i解析 ∵z ＝(3＋4i)2＝32＋2×3×4i ＋(4i)2＝－7＋24i ，∴虚部为24，共轭复数z ＝－7－24i. 12．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则2x＋y的最大值为________，y ＋1x －2的取值范围为________．答案 8 ⎣⎡⎦⎤－3，－12 解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z 表示的是斜率为－1，在y 轴上的截距为z 的直线，当直线在y 轴上的截距最大时，z 最大，即直线过点C 时，z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，z max ＝3,2x ＋y 的最大值为23＝8.y ＋1x －2表示的是可行域内的点(x ，y )与点(2，－1)连线的斜率，设D (2，－1)，k AD ＝－12，k CD ＝3－1＝－3，因此y ＋1x －2的取值范围⎣⎡⎦⎤－3，－12.13．某多面体的三视图如图所示，则该多面体最长的棱长为________；其外接球的体积为________．答案 4323π 解析 由三视图知该几何体是如图所示的四棱锥O －ABCD ，且AB ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝3，AO ＝3，四边形ABCD 是矩形，OA ⊥平面ABCD ， 所以该多面体最长的棱长为OC ＝OA 2＋AD 2＋CD 2＝3＋4＋9＝4，该几何体外接球的半径为2，其体积V ＝43π×23＝323π.14．已知⎝⎛⎭⎫3x 2－1x n 的展开式中所有二项式系数和为64，则n ＝________；二项展开式中含x 3的系数为________． 答案 6 －540解析 ⎝⎛⎭⎫3x 2－1x n 展开式中所有二项式系数和为64， ∴2n ＝64，解得n ＝6；∴⎝⎛⎭⎫3x 2－1x 6展开式的通项公式为 T k ＋1＝C k 6·(3x 2)6－k ·⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k ·36－k ·C k 6·x 12－3k，令12－3k ＝3，解得k ＝3，∴二项式展开式中含x 3项的系数为(－1)3×33×C 36＝－540. 15．已知实数a ≥12，b ≥12，且a 2－a ＝b －b 2，则M ＝b 2a ＋a 2b 的最大值是________．答案322＋1 解析 由a 2－a ＝b －b 2化简得，⎝⎛⎭⎫a －122＋⎝⎛⎭⎫b －122＝12，又实数a ≥12，b ≥12，图形为14圆，如图：由a 2－a ＝b －b 2，可得a 2＝a ＋b －b 2，b 2＝a ＋b －a 2，则M ＝b 2a ＋a 2b ＝a ＋b －a 2a ＋a ＋b －b 2b ＝1＋b a －a ＋1＋a b －b ＝b a ＋ab－a －b ＋2，由几何意义得，b a ∈[2－1,1＋2]，则ab ∈[2－1，1＋2]，则当过点A 或点B 时，a ＋b 取最小值，可得M max ＝2－1＋1＋2－⎝⎛⎭⎫12＋12＋22＋2＝322＋1，所以M ＝b 2a ＋a 2b 的最大值是322＋1.16.如图，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个顶点A (a,0)，B (0，b )，过A ，B 分别作AB 的垂线交椭圆M 于D ，C (不同于顶点)，若|BC |＝3|AD |，则椭圆M 的离心率e ＝________.答案63解析 直线AB 的斜率为－b a ，故直线BC ，AD 的斜率都为a b ，所以直线BC 的方程为y ＝ab x＋b ，直线AD 的方程为y ＝ab ()x －a .将直线BC 的方程代入椭圆方程，求得C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3b 2a 4＋b 4，b 5－a 4b a 4＋b 4，将直线AD 的方程代入椭圆方程，求得D 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5－ab 4a 4＋b 4，－2a 2b 3a 4＋b 4，由于|BC |＝3|AD |，即BC →＝3AD →，也即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3b 2a 4＋b 4，－2a 4b a 4＋b 4＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－2ab 4a 4＋b 4，－2a 2b 3a 4＋b 4，即－2a 3b 2a 4＋b 4＝－6ab 4a 4＋b 4，化简得b 2a 2＝13.故离心率为e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝63.17．已知f (x )＝2x 2＋2x ＋b 是定义在[－1,0]上的函数， 若f (f (x ))≤0在定义域上恒成立，而且存在实数x 0满足：f (f (x 0))＝x 0且f (x 0)≠x 0，则实数b 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－12，－38 解析 因为f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝b －12，f (x )max ＝f (0)＝f (－1)＝b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1≤b －12≤0，－1≤b ≤0，得b ∈⎣⎡⎦⎤－12，0时满足 f (f (x ))≤0；设f (x 0)＝y 0，则f (y 0)＝x 0且y 0≠x 0，所以函数f (x )＝2x 2＋2x ＋b 图象上存在两点关于直线y ＝x 对称， 令l ：y ＝－x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，y ＝2x 2＋2x ＋b ，得2x 2＋3x ＋b －m ＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)为直线与抛物线的交点，线段MN 的中点为E (x E ，y E )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8(b －m )>0，x 1＋x 2＝－32， 所以E ⎝⎛⎭⎫－34，34＋m ，而E 在y ＝x 上， 所以m ＝－32，从而2x 2＋3x ＋b ＋32＝0在[－1,0]上有两个不相等的实数根，令h (x )＝2x 2＋3x ＋b ＋32，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8⎝⎛⎭⎫b ＋32>0，h (－1)＝b ＋12≥0，h (0)＝32＋b ≥0，－1<－34<0，得b ∈⎣⎡⎭⎫－12，－38. 三、解答题(本大题共5小题，共74分．)18．(14分)已知函数f (x )＝cos x ()3sin x －cos x ＋12.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，不等式c <f (x )<c ＋2恒成立，求实数c 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin x cos x －cos 2x ＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝sin π2＝1. (2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6.所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1. 由不等式c <f (x )<c ＋2恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧c <－12，c ＋2>1，解得 －1<c <－12.所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－12. 19．(15分)如图，四边形ABEF 是正方形，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝BC ＝12CD .(1)若平面ABEF ⊥平面ABCD ，求证：DB ⊥平面EBC ； (2)若DF ⊥BC ，求直线BD 与平面ADF 所成角的正弦值．(1)证明 ∵四边形ABEF 是正方形，∴EB ⊥AB .又∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB ， ∴EB ⊥平面ABCD ，可得EB ⊥BD . 又∵AD ＝AB ＝BC ＝12CD ，不妨设AB ＝BC ＝AD ＝1，DC ＝2， 可求BD ＝3，可得BD ⊥BC ， ∵EB ∩BC ＝B ，EB ，BC ⊂平面EBC ， ∴DB ⊥平面EBC .(2)解 方法一 过点F 作FH ⊥平面ABCD ，连接AH 交CD 于点G ，过点H 作HI ⊥AD 交AD 于点I ，连接FI ，作HO ⊥FI 交FI 于点O ，∵FH ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥BC ， 又∵DF ⊥BC ，且FH ∩DF ＝F ，FH ，DF ⊂平面FDH ， ∴BC ⊥平面FDH ，又DH ⊂平面FDH ，∴BC ⊥DH ，即H 在BD 上，又∵FH ⊥AB ，F A ⊥AB ，且FH ∩F A ＝F ，FH ，F A ⊂平面F AH ，∴AB ⊥平面F AH ， 又AH ⊂平面F AH ，∴AB ⊥AH .又∵AD ⊥FH ，AD ⊥HI ，FH ∩HI ＝H ，FH ，HI ⊂平面FHI ，∴AD ⊥平面FHI ， 又∵AD ⊂平面F AD ，∴平面FHI ⊥平面F AD ， ∴H 到平面AFD 的距离为HO ，由(1)知DG ＝12，HG ＝HI ＝36，HO ＝69，又∵DB ＝3DH ，∴B 到平面AFD 的距离为63， 设直线BD 与平面ADF 所成角为θ，则sin θ＝23， 方法二 设AD ＝AB ＝BC ＝1，以A 为坐标原点，AB 为y 轴建立空间直角坐标系， 则A (0,0,0)，B (0,1,0)，C ⎝⎛⎭⎫32，32，0，D⎝⎛⎭⎫32，－12，0， 设F (x ，y ，z )，由题意得⎩⎨⎧F A ＝1，FB ＝2，DF →·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝1，x 2＋(y －1)2＋z 2＝2，⎝⎛⎭⎫x －32，y ＋12，z ·⎝⎛⎭⎫32，12，0＝0，解得x ＝33，y ＝0，z ＝63，即F ⎝⎛⎭⎫33，0，63. 设平面ADF 的法向量为m ＝(r ，s ，t )， 又AD →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，0，AF →＝⎝⎛⎭⎫33，0，63，∴⎩⎪⎨⎪⎧AD →·m ＝0，AF →·m ＝0，即⎩⎨⎧32r －12s ＝0，33r ＋63t ＝0，令r ＝2，则s ＝6，t ＝－1，即m ＝(2，6，－1)．设直线BD 与平面ADF 所成角为θ，且BD →＝⎝⎛⎭⎫32，－32，0，则sin θ＝|cos 〈m ，BD →〉|＝|m ·BD →||m ||BD →|＝23，∴直线BD 与平面ADF 所成角的正弦值为23. 20．(15分)已知数列{a n }是等差数列，满足a 2＝6，S 4＝28，数列{b n }满足：b 1＝1，1b 1＋12b 2＋…＋1nb n ＝1b n ＋1－1(n ∈N *)． (1)求a n 和b n ；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和为S n ，求S n .解 (1)设数列{a n }的首项和公差分别为a 1，d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝6，4a 1＋6d ＝28，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝2，∴a n ＝2n＋2，n ∈N *.1b 1＋12b 2＋…＋1nb n ＝1b n ＋1－1，① 1b 1＋12b 2＋…＋1(n －1)b n －1＝1b n－1(n ≥2)，② ①－②得1nb n ＝1b n ＋1－1b n ，b n ＋1b n ＝n n ＋1(n ≥2)，当n ＝1时，1b 1＝1b 2－1，b 2＝12，当n ≥2时，b n＝b n b n －1·b n －1b n －2·…·b 2b 1·b 1＝1n .当n ＝1时，b 1＝1符合上式，所以b n ＝1n ，n ∈N *.(2)b n a n ＝1n 2n ＋2＝1(2n ＋2)n ＝12·1(n ＋1)n ＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， S n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n＝12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n 2n ＋2.21.(15分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点是F (1,0)，直线l 1：y ＝k 1x ，l 2：y ＝k 2x 分别与抛物线C 相交于点A 和点B ，过A ，B 的直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相切．(1)求直线AB 的方程(含k 1，k 2)；(2)若线段OA 与圆O 交于点M ，线段OB 与圆O 交于点N ，求S △MON 的取值范围． 解 (1)焦点是F (1,0)，可得p2＝1，即p ＝2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝4x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k 1x ，可得A ⎝⎛⎭⎫4k 21，4k 1，同理可得B ⎝⎛⎭⎫4k 22，4k 2， 若AB 的斜率存在，可得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k 1k 2k 1＋k 2， AB 的方程为y －4k 1＝k 1k 2k 1＋k 2⎝⎛⎭⎫x －4k 21， 化为k 1k 2x －(k 1＋k 2)y ＋4＝0，若AB 的斜率不存在，也满足上面的方程，则直线AB 的方程为k 1k 2x －(k 1＋k 2)y ＋4＝0. (2)过A ，B 的直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相切，可得d ＝4()k 1k 22＋()k 1＋k 22＝r ＝2，化简为(k 1k 2)2＋(k 1＋k 2)2＝4，即有－2≤k 1k 2<0， cos ∠AOB ＝OA →·OB→|OA →||OB →|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22 ＝1＋k 1k 2(k 1k 2)2＋k 21＋k 22＋1， 由(k 1k 2)2＋(k 1＋k 2)2＝4，可得cos ∠AOB ＝1＋k 1k 25－2k 1k 2，sin 2∠MON ＝－(k 1k 2)2－4k 1k 2＋45－2k 1k 2，设t ＝5－2k 1k 2∈(5,9]，则S2△MON＝4sin 2∠MON＝4·－(k 1k 2)2－4k 1k 2＋45－2k 1k 2＝4·－(5－t )24－2(5－t )＋4t ＝－t 2＋18t －49t ＝18－⎝⎛⎭⎫t ＋49t ≤18－249＝4， 当t ＝7时取等号，即k 1k 2＝－1∈[－2,0)，所以(S △MON )max ＝2，又S 2△MON >18－⎝⎛⎭⎫5＋495＝165，即S △MON >455， 即有S △MON 的取值范围为⎝⎛⎦⎤455，2.22．(15分)已知函数f (x )＝k e x ()x －1－12x 2，k ∈R .(1)当k ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若函数f (x )有两个零点，求k 的取值范围．解 (1)函数f (x )的定义域为R ，当k ＝－1时，f (x )＝－e x (x －1)－12x 2，f ′(x )＝－e x x －x ＝－x (e x ＋1)．当x ＜0时，f ′(x )＞0，当x ＞0时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )在x ＝0时取到最大值，最大值为f (0)＝1. (2)f ′(x )＝k e x x －x ＝x (k e x －1)，当k ＜0时，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又因为f (0)＝－k ＞0，f (1)＝－12＜0，f (2k －1)＝k e 2k －1(2k －2)－12(2k －1)2＜k (2k －2)－12(2k －1)2＝－12＜0，所以f (x )有两个零点；当k ＝0时，f (x )＝－12x 2，所以此时f (x )只有一个零点；当k ＝1时，f ′(x )＝e x x －x ＝x (e x －1)≥0恒成立，f (x )在R 上单调递增，f (x )不存在两个零点； 当k >0且k ≠1时，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝ln 1k，当0＜k ＜1时，ln 1k ＝－ln k ＞0，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，－ln k )上单调递减，在(－ln k ，＋∞)上单调递增，且f (0)＝－k ＜0，f (x )不存在两个零点；当k ＞1时，ln 1k ＝－ln k ＜0，f (x )在(－∞，－ln k )上单调递增，在(－ln k ,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，且f ()－ln k ＝－(ln k ＋1)2＋12＜0，f (x )不存在两个零点．综上，当f (x )有两个零点时，k 的取值范围是(－∞，0)．浙江高考仿真卷(四)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．已知集合A ＝{}x |x 2<1，B ＝{}x |log 2x <0，则A ∩B 等于( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1) C ．(－1,0) D ．(－1,1) 答案 B解析 由题得A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |0<x <1}， 所以A ∩B ＝(0,1)．2．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线方程为3x ＋4y ＝0，则该双曲线的离心率是( )A.53B.54C.43或53D.53或54 答案 D解析 3x ＋4y ＝0⇒y ＝－34x ，当焦点位于x 轴时，b a ＝34⇒b 2a 2＝916，而c 2＝a 2＋b 2，所以c 2－a 2a 2＝916⇒e ＝c a ＝54； 当焦点位于y 轴时，b a ＝43⇒b 2a 2＝169，c 2＝a 2＋b 2⇒c 2－a 2a 2＝169⇒e ＝c a ＝53.3．如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，x ＋y ＋1≤0，那么z ＝2x －y 的最大值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－3 答案 C解析 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，x ＋y ＋1≤0画出可行域如图中阴影部分所示(含边界)，再画出目标函数z ＝2x －y 如图中过原点的虚线， 平移目标函数易得过点A (0，－1)处时取得最大值， 代入得z max ＝1.4．如图是一个几何体的三视图，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积为( )A ．12B ．14C ．16D ．18 答案 D解析 由题意可得，该几何体是由一个四棱柱和一个三棱柱组成的几何体， 其中四棱柱的体积V 1＝1×3×4＝12，三棱柱的体积V 2＝12×3×1×4＝6，该几何体的体积为V ＝V 1＋V 2＝18.5．“对任意正整数n ，不等式n lg a <(n ＋1)lg a a (a >1)都成立”的一个必要不充分条件是( ) A ．a >0 B ．a >1 C ．a >2 D ．a >3 答案 A解析 由n lg a <(n ＋1)lg a a 得n lg a <a (n ＋1)lg a ， ∵a >1，∴lg a >0，∴n <a (n ＋1)，即a >n n ＋1＝1－1n ＋1，又1－1n ＋1<1，∴a >1. 即a >1时，不等式n lg a <(n ＋1)lg a a ()a >1成立，则a >0是其必要不充分条件；a >1是其充要条件；a >2，a >3均是其充分不必要条件． 6．与函数f (x )＝sin x 2＋cos x 的部分图象符合的是( )答案 B解析 f (0)＝sin 0＋cos 0＝1排除C ， F ⎝⎛⎭⎫π2＝sin π24＋cos π2＝sin π24>0，排除A ，D.7．已知随机变量ξ的分布列如下表所示：ξ 1 3 5 P0.40.1x则ξ的标准差为( )A ．3.56 B. 3.56 C ．3.2 D. 3.2 答案 B解析 由题意，E (ξ)＝1×0.4＋3×0.1＋5×(1－0.4－0.1)＝3.2，∴D (ξ)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝1.936＋0.004＋1.62＝3.56， ∴ξ的标准差为 3.56.8．如图，正四面体ABCD 中，P ，Q ，R 分别在棱AB ，AD ，AC 上，且AQ ＝QD ，AP PB ＝CRRA ＝12，分别记二面角A －PQ －R ，A －PR －Q ，A －QR －P 的平面角为α，β，γ，则( )A ．β>γ>αB ．γ>β>αC ．α>γ>βD ．α>β>γ答案 D解析 ∵ABCD 是正四面体，P ，Q ，R 分别在棱AB ，AD ，AC 上，且AQ ＝QD ，AP PB ＝CR RA ＝12，可得α为钝角，β，γ为锐角，设P 到平面ACD 的距离为h 1，P 到QR 的距离为d 1，Q 到平面ABC 的距离为h 2，Q 到PR 的距离为d 2，设正四面体的高为h ，棱长为6a ，可得h 1＝13h ，h 2＝12h ，h 1<h 2，由余弦定理可得QR ＝13a ，PR ＝23a ，由三角形面积相等可得到d 1d 2＝PR QR ＝2313，因为sin γ＝h 1d 1，sin β＝h 2d 2，所以sin βsin γ＝3313>1，即sin β>sin γ，所以γ<β，∴α>β>γ.9.如图，点C 在以AB 为直径的圆上，其中AB ＝2，过A 向点C 处的切线作垂线，垂足为P ，则AC →·PB →的最大值是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1 答案 B解析 连接BC (图略)，则∠ACB ＝90°， ∵AP ⊥PC ，∴AC →·PB →＝AC →·()PC →＋CB →＝AC →·PC →＝()AP →＋PC →·PC →＝PC →2，依题意可证Rt △APC ∽Rt △ACB ，则PC CB ＝AC AB ，即PC ＝AC ·CB 2，∵AC 2＋CB 2＝AB 2， ∴AC 2＋CB 2＝4≥2AC ·BC ，即AC ·BC ≤2，当且仅当AC ＝CB 时取等号． ∴PC ≤1，∴AC →·PB →＝PC →2≤1， ∴AC →·PB →的最大值为1.10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知()a 2 017－1 2 019＋2 019a 2 017＋()a 2 017－1 2 021＝2 000，(a 2 020－1)2 019＋2 019a 2 020＋(a 2 020－1)2 021＝2 038，则S 4 036等于( ) A ．2 019 B ．2 020 C ．2 021 D ．4 036 答案 D解析 由(a 2 017－1)2 019＋2 019a 2 017＋(a 2 017－1)2 021＝2 000得：(a 2 017－1)2 019＋2 019(a 2 017－1)＋(a 2 017－1)2 021＝－19，①由(a 2 020－1)2 019＋2 019a 2 020＋(a 2 020－1)2 021＝2 038得：()a 2 020－1 2 019＋2 019()a 2 020－1＋()a 2 020－1 2 021＝19，②令f (x )＝x 2 019＋2 019x ＋x 2 021， 则①式即为f ()a 2 017－1＝－19， ②式即为f ()a 2 020－1＝19，又f ()－x ＋f (x )＝0，即f (x )为奇函数，且()a 2 017－1＋()a 2 020－1＝0，∴a 2 017＋a 2 020＝2， ∴S 4 036＝2 018()a 1＋a 4 036＝2 018(a 2 017＋a 2 020)＝4 036.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11．复数z ＝11－i 的共轭复数是________，复数z 对应的点位于复平面内的第________象限．答案 12－12i 一解析11－i ＝1＋i ()1－i ()1＋i ＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，复数z 对应的点位于复平面内的第一象限．12．已知圆C ：x 2＋y 2－2ax ＋4ay ＋5a 2－25＝0的圆心在直线l 1：x ＋y ＋2＝0上，则a ＝________；圆C 被直线l 2：3x ＋4y －5＝0截得的弦长为________． 答案 2 8解析 圆C ：x 2＋y 2－2ax ＋4ay ＋5a 2－25＝0的标准方程为(x －a )2＋(y ＋2a )2＝52，可得圆心坐标是(a ，－2a )，把圆心坐标代入直线l 1：x ＋y ＋2＝0的方程中得a ＝2； 即圆心为(2，－4)，圆心到直线l 2：3x ＋4y －5＝0的距离d ＝||3×2－4×4－532＋42＝3，所以弦长等于2r 2－d 2＝252－32＝8.13．若x (1－mx )4＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，其中a 2＝－6，则实数m ＝________； a 1＋a 3＋a 5＝________. 答案 32 31316解析 x (1－mx )4＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5 ，则x (1－mx )4＝x ()1－4mx ＋C 24m 2x 2＋…，则－4m ＝a 2＝－6， 解得m ＝32.令x ＝1，则⎝⎛⎭⎫1－324＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5 ， 令x ＝－1, 则－⎝⎛⎭⎫1＋324＝－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5， ∴2()a 1＋a 3＋a 5＝⎝⎛⎭⎫124＋⎝⎛⎭⎫524， 解得a 1＋a 3＋a 5＝31316.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋sin B ＝54sin C ，且△ABC的周长为9，△ABC 的面积为3sin C ，则c ＝________，cos C ＝________. 答案 4 －14解析 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ， 已知sin A ＋sin B ＝54sin C ，则a ＋b ＝5c4，且△ABC 的周长为9， 则c ＋5c4＝9，解得c ＝4 .因为△ABC 的面积等于3sin C ， 所以12ab sin C ＝3sin C ，整理得ab ＝6. ∵a ＋b ＝5c4＝5,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝5，ab ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－14.15．某地火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成，如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种(用数字作答)． 答案 96解析 若第一棒火炬手为甲或乙，则最后一棒只能由甲、乙中不跑第一棒的火炬手完成，剩下的4段路线全排列，此时有2A 44种不同的传递方案；若第一棒火炬手为丙，则最后一棒由甲或乙完成，剩下的4段路线全排列，此时有2A 44种不同的传递方案，则由分类加法计数原理得共有2A 44＋2A 44＝96(种)不同的传递方案．16．设椭圆C 的两个焦点是F 1，F 2，过F 1的直线与椭圆C 交于P ，Q ，若|PF 2|＝|F 1F 2|，且5|PF 1|＝6|F 1Q |，则椭圆的离心率为________． 答案911解析 画出图形如图所示．由椭圆的定义可知：|PF 1|＋|PF 2|＝|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c . ∵|PF 2|＝|F 1F 2|，∴|PF 2|＝2c ， ∴|PF 1|＝2(a －c )． ∵5|PF 1|＝6|F 1Q |，∴|QF 1|＝56|PF 1|＝53(a －c )，∴|QF 2|＝a 3＋5c3.在△PF 1F 2中，由余弦定理可得： cos ∠PF 1F 2＝|F 1F 2|2＋|F 1P |2－|F 2P |22|F 1F 2||F 1P |＝a －c2c ，在△QF 1F 2中，由余弦定理可得： cos ∠QF 1F 2＝|F 1F 2|2＋|F 1Q |2－|F 2Q |22|F 1F 2||F 1Q |＝2a －3c5c .∵∠PF 1F 2＋∠QF 1F 2＝180°，∴cos ∠PF 1F 2＝－cos ∠QF 1F 2， ∴a －c 2c ＝－2a －3c5c，整理得9a ＝11c ， ∴e ＝c a ＝911.17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若对任意λ∈R ，不等式|λBC →－BA →|≥|BC →|恒成立，则c b ＋bc 的最大值为________．答案5解析 由对任意λ∈R ，不等式|λBC →－BA →|≥|BC →|恒成立得BC 边上的高h ≥a . 在△ABC 中，有12ah ＝12bc sin A ，即bc ＝ahsin A ，在△ABC 中，由余弦定理得 b 2＋c 2＝a 2＋2bc cos A ＝a 2＋2ah cos Asin A， 则c b ＋bc ＝b 2＋c 2bc ＝a 2＋2ah cos A sin A ahsin A ＝a 2sin A ＋2ah cos A ah ＝a sin A ＋2h cos A h≤h sin A ＋2h cos Ah＝sin A ＋2cos A＝5sin(A ＋φ)， 其中tan φ＝2，则当A ＋φ＝π2且h ＝a 时，c b ＋bc 取得最大值 5.三、解答题(本大题共5小题，共74分．) 18．(14分)已知：函数f (x )＝2(sin x －cos x )． (1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫α，65，π4<α<3π4.求f ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值． 解 (1)f (x )＝2(sin x －cos x ) ＝2⎝⎛⎭⎫sin x ·22－cos x ·22＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. ∴函数的最小正周期为2π，值域为{y |－2≤y ≤2}． (2)依题意得，2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝65，sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝35，∵π4<α<3π4，∴0<α－π4<π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4 ＝2⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫α－π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π4sin π4 ＝2×22×⎝⎛⎭⎫35＋45＝725. 19.(15分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知P A ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，CD ＝2AB ＝4，BC ＝2 2.(1)求证：PC ⊥BD ；(2)若直线AB 与平面PBD 所成的角为π6，求P A 的长．解 (1)连接AC ，在△ABC 中，因为AB ⊥BC ，AB ＝2，BC ＝22， 所以tan ∠ACB ＝AB BC ＝22.因为AB ∥CD ，AB ⊥BC ，所以CD ⊥BC .在Rt △BCD 中，因为CD ＝4，所以tan ∠BDC ＝BC CD ＝22，所以tan ∠ACB ＝tan ∠BDC ， 所以∠ACB ＝∠BDC .因为∠ACB ＋∠ACD ＝π2，所以∠BDC ＋∠ACD ＝π2，所以BD ⊥AC .因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD .又P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC . 因为PC ⊂平面P AC ，所以PC ⊥BD .(2)方法一 如图，设P A ＝t ，AC 与BD 交于点M ，连接PM ，过点A 作AH ⊥PM 于点H ，连接BH .由(1)知，BD ⊥平面P AC ，又AH ⊂平面P AC ，所以BD ⊥AH .因为AH ⊥PM ，PM ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，PM ∩BD ＝M ，所以AH ⊥平面PBD ， 所以∠ABH 为直线AB 与平面PBD 所成的角．在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，BC ＝22，所以AC ＝AB 2＋BC 2＝23， 所以由三角形相似得AM ＝AB 2AC ＝233.在Rt △P AM 中，易知AH ＝P A ·AM PM ＝P A ·AMP A 2＋AM 2＝t ×233t 2＋43. 因为直线AB 与平面PBD 所成的角为π6，所以∠ABH ＝π6.所以sin ∠ABH ＝AHAB ＝t ×233t 2＋432＝12，所以t ＝2， 所以P A 的长为2.方法二 取CD 的中点E ，连接AE ，因为AB ∥CD ，CD ＝2AB ＝4，所以AB ∥CE 且AB ＝CE ， 所以四边形ABCE 是平行四边形，所以BC ∥AE . 因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥AE .又P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AE ，故AE ，AB ，AP 两两垂直，故以A 为坐标原点，AE ，AB ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝t ，因为CD ＝2AB ＝4，所以A (0,0,0)，B (0,2,0)，P (0,0，t )，D (22，－2,0)，所以AB →＝(0,2,0)，BP →＝(0，－2，t )，BD →＝(22，－4,0)．设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BP →＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎨⎧－2y ＋tz ＝0，22x －4y ＝0，令x ＝2，则y ＝1，z ＝2t ，故n ＝⎝⎛⎭⎫2，1，2t 为平面PBD 的一个法向量． 因为直线AB 与平面PBD 所成的角为π6，所以sin π6＝|cos 〈n ，AB →〉|＝|n ·AB →||n |·|AB →|＝23＋4t2×2＝12， 所以t ＝2. 所以P A 的长为2.20．(15分)数列{a n }满足： a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝[2＋(－1)n ]a n ＋2，n ＝1,2,3，…. (1)求a 3，a 4，并证明数列{a 2n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的前2n 项和S 2n . 解 (1) 当n ＝1时，a 3＝a 1＋2＝3， 当n ＝2时，a 4＝3a 2＋2＝8，令n ＝2k ，a 2k ＋2＝3a 2k ＋2(k ＝1,2,3，…)， 即a 2k ＋2＋1＝3(a 2k ＋1)(k ＝1,2,3，…)． 所以数列{a 2n ＋1}是等比数列．(2)由(1)得，当n 为偶数时，a n ＝23n －1，当n 为奇数时， a n ＋2＝a n ＋2，即数列{a n }的奇数项构成等差数列，可求得a n ＝n ，{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 是奇数，23n －1，n 是偶数.所以在前2n 项中，S 奇＝n ·1＋12n ()n －1·2＝n 2，S 偶＝3()1－3n 1－3－n ＝12()3n ＋1－3－n ，S 2n ＝S 奇＋S 偶＝12()3n ＋1－3＋n 2－n .21．(15分)已知平面上一动点P 到定点C (1,0)的距离与它到直线l ：x ＝4的距离之比为12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)点O 是坐标原点，A ，B 两点在点P 的轨迹上，F 是点C 关于原点的对称点，若F A →＝λBF →，求λ的取值范围．解 (1)设P (x ，y )是所求轨迹上的任意一点，由动点P 到定点C (1,0)的距离与它到直线l ：x ＝4的距离之比为12，则(x －1)2＋y 2|x －4|＝12，化简得x 24＋y 23＝1，即点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)由F 是点C 关于原点的对称点，所以点F 的坐标为(－1,0)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为F A →＝λBF →， 则(x 1＋1，y 1)＝λ(－1－x 2，－y 2)，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1－λ－λx 2，y 1＝－λy 2，∵x 214＋y 213＝1，即(－1－λ－λx 2)24＋(－λy 2)23＝1，① 又由x 224＋y 223＝1，则(λx 2)24＋(λy 2)23＝λ2，②①－②得2λ(λ＋1)x 2＋(λ＋1)24＝1－λ2，化简得x 2＝3－5λ2λ，∵－2≤x 2≤2，∴－2≤3－5λ2λ≤2，解得13≤λ≤3，所以λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，3.22．(15分)已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )，其中m ≥1. (1)设x ＝0是函数f (x )的极值点，讨论函数f (x )的单调性； (2)若y ＝f (x )有两个不同的零点x 1和x 2，且x 1<0<x 2， ①求参数m 的取值范围； ②求证：21ex x －－ln(x 2－x 1＋1)>e －1.(1)解 f ′(x )＝e x －1x ＋m， 若x ＝0是函数f (x )的极值点，则f ′(0)＝1－1m ＝0，得m ＝1，经检验满足题意，此时f ′(x )＝e x －1x ＋1，x >－1， 所以当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． (2)①解 m ≥1, f ′(x )＝e x －1x ＋m，x >－m ，记h (x )＝f ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋1()x ＋m 2>0，知f ′(x )在区间(－m ，＋∞)内单调递增． 又∵f ′(0)＝1－1m >0, f ′(－m ＋1)＝e 1－m －1<0，∴f ′(x )在区间(1－m ,0)内存在唯一的零点x 0， 即f ′(x 0)＝0e x －1x 0＋m ＝0，于是0e x＝1x 0＋m ，x 0＝－ln(x 0＋m )．当－m <x <x 0时， f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >x 0时， f ′(x )>0，f (x )单调递增．若y ＝f (x )有两个不同的零点x 1和x 2，且x 1<0<x 2， 易知x →－m 时，f (x )→＋∞，x →＋∞时，f (x )→＋∞， 所以f (0)＝1－ln m <0，解得m >e.②证明 由①中的单调性知，当x ∈(x 1，x 2)时，f (x )<0，又m >e ，所以f (－1)＝1e －ln(m －1)<1e －ln(e －1)<12－ln(e －1)<12－ln 1.7＝ln e1.7<0，所以x 1<－1.所以x 1<－1<0<x 2，所以x 2－x 1>1，令t ＝x 2－x 1>1， 要证21ex x －－ln(x 2－x 1＋1)>e －1，即证e t －ln(t ＋1)>e －1. 令h (t )＝e t －ln(t ＋1)，t ≥1， 则h ′(t )＝e t －1t ＋1单调递增，又h ′(1)＝e －12>0，所以h ′(t )>0，h (t )单调递增， 所以h (t )>h (1)＝e －ln 2>e －1， 即21e x x －－ln(x 2－x 1＋1)>e －1.。

2020年浙江省高考数学模拟试卷（16）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知a 为实数，若复数z ＝（a 2﹣9）+（a +3）i 为纯虚数，则复数z 的虚部为（ ） A ．3B ．6iC ．±3D ．62．（5分）已知向量a →=(1，3)，b →=(4，m)，且(a →−b →)⊥a →，则向量a →与b →夹角为（ ） A ．π3B ．π6C ．π4D ．π23．（5分）已知sin α+cos α=12，α∈（0，π），则1+tanα1−tanα=（ ）A ．√77B ．−√77C ．√33D ．−√334．（5分）i 2020＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i5．（5分）已知三角形ABC ，那么“|AB →+AC →|＞|AB →−AC →|”是“三角形ABC 为锐角三角形”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．（5分）△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且sin A +cos A =√3−12，a ＝7，3sin B＝5sin C ，则b +c 的值为（ ） A ．12B ．8√3C ．8√2D ．87．（5分）已知向量a →=（1，3），b →=（3，2），则向量a →在向量b →上的投影等于（ ） A ．9√1010B ．9C ．﹣3D ．9√13138．（5分）函数f(x)=(x−1x+1)e x 的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（5分）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 是BC 中点，BA →=12BQ →，向量PD →•PQ →=（ ） A ．1B ．5C ．7D ．﹣1310．（5分）已知tan(α−π6)=2√3，则sinαsin(α+π3)=（ ）A ．52B ．72C ．−√32D ．3√3211．（5分）在△ABC 中，BA →⋅AC →|AB →|+AC →⋅BC →|BC →|=0，BC→|BC →|⋅BA→|BA →|=12，则△ABC 为（ ）A ．直角三角形B ．三边均不相等的三角形C ．等边三角形D ．等腰非等边三角形12．（5分）在平行四边形ABCD 中，AB →+AC →−DA →=（ ） A ．2AC →B ．0C ．2AD →D ．2BD →二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）若复数z 满足zi =2+i ，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ．14．（5分）设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →=4CD →，若AD →=λ2AB →+μ4AC →，则λ+μ＝ ． 15．（5分）在△ABC 中，若tanA tanB+tanA tanC=3，则sin A 的最大值为 ．16．（5分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B =π3，AB →⋅BC →=−2，且满足sin A +sin C ＝2sin B ，则该三角形的外接圆的半径R 为 ． 三．解答题（共6小题）17．已知复数z ＝（2+i ）m +2ii−1（其中i 是虚数单位，m ∈R ）． （1）若复数z 是纯虚数，求m 的值； （2）求|z ﹣1|的取值范围．18．已知角α为第一象限角，且sin α=√55． （1）求cos α，tan α的值；（2）求3sin(π−α)−2cos(π+α)cos(π2−α)的值．19．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）已知a ＝b cos C +c sin B ，求B ；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求证：B ≤π3．20．已知向量m →=（sin x ，34），n →=（cos x ，﹣1），设f （x ）＝2（m →+n →）⋅n →（Ⅰ）若f （x ）=32，求x 的所有取值；（Ⅱ）已知锐角△ABC 三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2＝a （a +c ），求f （A ）的取值范围．21．某同学再一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于一个常数． 1．sin 213°+cos 217°﹣sin13°cos17° 2．sin 218°+cos 212﹣sin18°cos12°3．sin 2（﹣25°）+cos 255°﹣sin （﹣25°）cos55° （1）试从上述三个式子中选出一个计算出这个常数．（2）猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．22．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a +b ＝2c cos B ，c =√3． （1）求角C ；（2）延长线段AC 到点D ，使CD ＝CB ，求△ABD 周长的取值范围．2020年浙江省高考数学模拟试卷（16）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知a 为实数，若复数z ＝（a 2﹣9）+（a +3）i 为纯虚数，则复数z 的虚部为（ ） A ．3B ．6iC ．±3D ．6【解答】解：∵z ＝（a 2﹣9）+（a +3）i 为纯虚数，∴{a 2−9=0a +3≠0，解得a ＝3． ∴z ＝6i ，则复数z 的虚部为6． 故选：D ．2．（5分）已知向量a →=(1，3)，b →=(4，m)，且(a →−b →)⊥a →，则向量a →与b →夹角为（ ） A ．π3B ．π6C ．π4D ．π2【解答】解：∵向量a →=(1，3)，b →=(4，m)，且(a →−b →)⊥a →，∴（a →−b →）•a →=a →2−a →⋅b →=0， 即 a →2=a →•b →，即 10＝4+3m ，∴m ＝2，∴b →=（4，2）． 设向量a →与b →夹角为θ，θ∈[0，π]，则 10＝|a →|•|b →|•cos θ=√10•√16+4•cos θ=√10•2√5•cos θ cos θ=√22，∴θ=π4， 故选：C ．3．（5分）已知sin α+cos α=12，α∈（0，π），则1+tanα1−tanα=（ ）A ．√77B ．−√77C ．√33D ．−√33【解答】解：由sin α+cos α=12，α∈（0，π）， 得1+2sinαcosα=14，∴2sin αcos α=−34， 则sin α＞0，cos α＜0，∴sin α﹣cos α=√(sinα−cosα)2=√1−2sinαcosα=√1+34=√72．联立{sinα+cosα=12sinα−cosα=√72，解得sin α=1+√74，cos α=1−√74，tan α=√71−7=−4+√73． ∴1+tanα1−tanα=1−4+√731+4+√73=−√77． 故选：B ．4．（5分）i 2020＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i【解答】解：i 2020＝i 4×505＝（i 4）505＝1．故选：A ．5．（5分）已知三角形ABC ，那么“|AB →+AC →|＞|AB →−AC →|”是“三角形ABC 为锐角三角形”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：三角形ABC ，那么“|AB →+AC →|＞|AB →−AC →|”⇒AB →•AC →＞0，可得A 为锐角．此时三角形ABC 不一定为锐角三角形． 三角形ABC 为锐角三角形⇒A 为锐角．∴三角形ABC ，那么“|AB →+AC →|＞|AB →−AC →|”是“三角形ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件． 故选：B ．6．（5分）△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且sin A +cos A =√3−12，a ＝7，3sin B＝5sin C ，则b +c 的值为（ ） A ．12B ．8√3C ．8√2D ．8【解答】解：∵sin A +cos A =√3−12，∴两边平方，可得：1+sin2A =4−2√34，解得：sin2A =−√32， ∵0＜A ＜π，0＜2A ＜2π，∴解得：A =2π3或5π6（由sin A +cos A =√3−12舍去），可得：cos A =−12，∵3sin B ＝5sin C ，可得：3b ＝5c ①，∴由a ＝7，根据余弦定理可得：49＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， ∴49＝b 2+c 2+bc ②，∴由①②可解得：b ＝5，c ＝3，b +c ＝8． 故选：D ．7．（5分）已知向量a →=（1，3），b →=（3，2），则向量a →在向量b →上的投影等于（ ） A ．9√1010B ．9C ．﹣3D ．9√1313【解答】解：a →在b →方向上的投影为|a →|⋅cos ＜a →，b →＞=|a →|⋅a →⋅b→|a →||b →|=a →⋅b →|b →|=3+613=9√1313．故选：D ．8．（5分）函数f(x)=(x−1x+1)e x 的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：当x →﹣∞时，e x →0+，x−1x+1=1−2x+1→1+，所以f （x ）→0+，排除C ，D ；因为x →+∞时，e x →+∞，x−1x+1=1−2x+1→1+，所以f （x ）→+∞，因此排除B ， 故选：A ．9．（5分）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 是BC 中点，BA →=12BQ →，向量PD →•PQ →=（ ）A ．1B ．5C ．7D ．﹣13【解答】解：如图，以点D 为原点，以直线DC ，DA 分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，则据题意得，D （0，0），P （2，1），Q （﹣2，2），∴PD →⋅PQ →=(−2，−1)⋅(−4，1)=8−1=7． 故选：C ．10．（5分）已知tan(α−π6)=2√3，则sinαsin(α+π3)=（ ） A ．52B ．72C ．−√32D ．3√32【解答】解：∵tan(α−π6)=2√3，∴tanα−tanπ61+tanαtanπ6=tanα−√331+√33tanα=2√3，解得tan α=−7√33， ∴sinαsin(α+π3)=sinαsinαcos π3+cosαsinπ3=12tanα+√32=72．故选：B ．11．（5分）在△ABC 中，BA →⋅AC →|AB →|+AC →⋅BC →|BC →|=0，BC→|BC →|⋅BA→|BA →|=12，则△ABC 为（ ）A ．直角三角形B ．三边均不相等的三角形C ．等边三角形D ．等腰非等边三角形【解答】解：因为在△ABC 中，A ，B ，C ∈（0，π）BA →⋅AC →|AB →|+AC →⋅BC →|BC →|=0，BC→|BC →|⋅BA→|BA →|=12，∴−|AB →|×|AC →|×cosA|AB →|+|CA →|×|CB →|×cosC|BC →|=0⇒|CA →|cos A ﹣|AC →|coC ＝0⇒cos A ＝cos C ⇒A ＝C ；∵BC →•BA →=|BC →|×|BA →|×cos B =12|BC →|×|BA →|⇒cos B =12⇒B =π3； ∴△ABC 为等边三角形； 故选：C ．12．（5分）在平行四边形ABCD 中，AB →+AC →−DA →=（ ） A ．2AC →B ．0C ．2AD →D ．2BD →【解答】解：∵ABCD 是平行四边形，∴AB →+AC →−DA →=AB →+AD →+AC →=AC →+AC →=2AC →． 故选：A ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）若复数z 满足zi =2+i ，其中i 是虚数单位，则z 的模是 √5 ．【解答】解：∵zi=2+i ，∴z ＝（2+i ）i ＝﹣1+2i ， ∴|z |=√5． 故答案为：√5．14．（5分）设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →=4CD →，若AD →=λ2AB →+μ4AC →，则λ+μ＝92．【解答】解：如图所示，由BC →=4CD →可知，B 、C 、D 三点在同一直线上，图形如下：根据题意及图形，可得：AD →=AC →+CD →=AC →+14BC →=AC →+14(AC →−AB →)=54AC →−14AB →，∵AD →=λ2AB →+μ4AC →，∴{λ2=−14μ4=54，解得：{λ=−12μ=5，则λ+μ=(−12)+5=92． 15．（5分）在△ABC 中，若tanAtanB +tanAtanC =3，则sin A 的最大值为 √215． 【解答】解：在△ABC 中，tanA tanB+tanA tanC=3，∴sinAcosB cosAsinB+sinAcosC cosAsinC=3．∴sinA(cosBsinC+cosCsinB)cosAsinBsinC =3，即sinAsin(C+B)cosAsinBsinC=3，∴sin 2A cosAsinBsinC=3．根据正弦定理得：a 2bccosA=3．∴a 2＝3bc cos A ．又根据余弦定理得：a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， ∴b 2+c 2﹣2bc cos A ＝3bc cos A ．∴cosA =b 2+c 25bc ≥2bc 5bc =25．当且仅当b ＝c 时等号成立， ∴cos 2A ≥425． ∴1−sin 2A ≥425，即sin 2A ≤2125， ∴sinA ≤√215．故答案为：√21516．（5分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，B =π3，AB →⋅BC →=−2，且满足sin A +sin C ＝2sin B ，则该三角形的外接圆的半径R 为2√33． 【解答】解：因为AB →⋅BC →=accos(π−B)=−12ac =−2，所以ac ＝4． 由余弦定理得：b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ．又因为sin A +sin C ＝2sin B ，所以a +c ＝2b ．所以(a+c)42=(a +c)2−3ac ， 所以3(a+c)42=12，所以（a +c ）2＝16，所以a +c ＝4，所以b ＝2，所以2R =bsinB =2sin600=4√33，所以R =2√33．故答案为：2√33． 三．解答题（共6小题） 17．已知复数z ＝（2+i ）m +2ii−1（其中i 是虚数单位，m ∈R ）． （1）若复数z 是纯虚数，求m 的值； （2）求|z ﹣1|的取值范围．【解答】解：z ＝（2+i ）m +2ii−1=2m +mi +2i(−1−i)(−1+i)(−1−i)=(2m +1)+(m −1)i ．（1）∵复数z 是纯虚数，∴{2m +1=0m −1≠0，即m =−12；（2）z ﹣1＝2m +（m ﹣1）i ，|z ﹣1|=√4m 2+(m −1)2=√5m 2−2m +1=√5(m −15)2+45≥2√55， ∴|z ﹣1|的取值范围是[2√55，+∞)． 18．已知角α为第一象限角，且sin α=√55． （1）求cos α，tan α的值； （2）求3sin(π−α)−2cos(π+α)cos(π2−α)的值．【解答】解：（1）∵角α为第一象限角，且sin α=√55，∴cos α=√1−sin 2α=2√55，tan α=sinαcosα=12． （2）3sin(π−α)−2cos(π+α)cos(π2−α)=3sinα+2cosαsinα=3+2tanα=3+212=7．19．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）已知a ＝b cos C +c sin B ，求B ；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求证：B ≤π3． 【解答】（本小题满分12分）解：（1）由正弦定理得：sin A ＝sin B cos C +sin C sin B ， 即sin （B +C ）＝sin B cos C +sin C sin B ， 故 cos B sin C ＝sin C sin B ， 因为 sin C ≠0， 所以 cos B ＝sin B ， 因为 0＜B ＜π，所以 B =π4；………………………………………………………（6分）（2）证明：因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ，由余弦定理得 a 2+c 2﹣2ac cos B ＝ac ，由重要不等式知：2ac ﹣2ac cos B ≤ac ，所以cos B ≥12=cos π3， 因为 0＜B ＜π，且函数y ＝cos x 在（0，π）上是减函数，所以B ≤π3． ……………………………………………………………………………（12分）20．已知向量m →=（sin x ，34），n →=（cos x ，﹣1），设f （x ）＝2（m →+n →）⋅n →（Ⅰ）若f （x ）=32，求x 的所有取值；（Ⅱ）已知锐角△ABC 三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2＝a （a +c ），求f（A ）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）向量m →=（sin x ，34），n →=（cos x ，﹣1）， 可得f （x ）＝2（m →+n →）⋅n →=2（sin x +cos x ，−14）•（cos x ，﹣1） ＝2sin x cos x +2cos 2x +12=sin2x +cos2x +32=√2sin （2x +π4）+32，由f （x ）=32可得sin （2x +π4）＝0，即有2x +π4=k π，k ∈Z ， 解得x =kπ2−π8，k ∈Z ； （Ⅱ）由余弦定理b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B 和b 2＝a （a +c ），可得a ＝c ﹣2a cos B ，又由正弦定理得sin A ＝sin C ﹣2sin A cos B ，又sin C ＝sin （π﹣A ﹣B ）＝sin （A +B ），得sin A ＝sin （A +B ）﹣2sin A cos B ＝sin B cos A ﹣sin A cos B ＝sin （B ﹣A ），由A ，B ∈（0，π2）， 可得A ＝B ﹣A 或A +B ﹣A ＝π（舍去），故B ＝2A ，C ＝π﹣3A ，由于锐角△ABC ，即0＜2A ＜π2，0＜π﹣3A ＜π2，故有π6＜A ＜π4，即有7π12＜2A +π4＜3π4， 即有sin （2A +π4）∈（√22，√6+√24）， 所以f （A ）=√2sin （2A +π4）+32的取值范围是（52，2+√32）． 21．某同学再一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于一个常数．1．sin 213°+cos 217°﹣sin13°cos17°2．sin 218°+cos 212﹣sin18°cos12°3．sin 2（﹣25°）+cos 255°﹣sin （﹣25°）cos55°（1）试从上述三个式子中选出一个计算出这个常数．（2）猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．【解答】解：（1）sin 213°+cos 217°﹣sin13°cos17°＝sin 213°+cos 2（30°﹣13°）﹣sin13°cos （30°﹣13°）＝sin 213°+（cos30°cos13°+sin30°sin13°）2﹣sin13°（cos30°cos13°+sin30°sin13°）=sin 213°+34cos 213°+14sin 213°+√32sin13°cos13°−√32sin13°cos13°−12sin 213° =34sin 213°+34cos 213°=34．（2）一般规律：sin 2α+cos 2(30°−α)−sinαcos(30°−α)=34．证明：sin 2α+cos 2（30°﹣α）﹣sin αcos （30°﹣α）＝sin 2α+（cos30°cos α+sin30°sin α）2﹣sin α（cos30°cos α+sin30°sin α）=sin 2α+34cos 2α+14sin 2α+√32sinαcosα−√32sinαcosα−12sin 2α =34sin 2α+34cos 2α=34．22．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a +b ＝2c cos B ，c =√3．（1）求角C ；（2）延长线段AC 到点D ，使CD ＝CB ，求△ABD 周长的取值范围．【解答】解：（1）根据余弦定理得2a +b =2c a 2+c 2−b 22ac，整理得：a 2+b 2﹣c 2＝﹣ab ，由余弦定理可得cos C =a 2+b 2−c 22ab =−ab 2ab =−12， 由于C ∈（0，π），可得C =2π3． （2）由于C =2π3，即∠BCD =π3，又CD ＝CB ，可得△BCD 为等边三角形，可得BD ＝CD ＝a ， 所以△ABD 的周长L ＝2a +b +√3，由正弦定理a sinA =b sinB =c sinC =√3√32=2，所以：a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，因为：A =π3−B ， 又B ∈（0，π3），可得cos B ∈（12，1），所以2a +b ＝4sin A +2sin B ＝4sin （π3−B ）+2sin B ＝4（√32cos B −12sin B ）+2sin B ＝2√3cos B ， 所以2a +b ∈(√3，2√3)，所以周长L ＝2a +b +√3的取值范围是（2√3，3√3）．。

浙江高考仿真卷(一)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．若集合A ＝{}x | x 2<1，B ＝{}x | 0<x <2，则A ∪B 等于( )A.{}x | 0<x <1B.{}x | －1<x <0C.{}x | 1<x <2D.{}x | －1<x <2答案 D解析 ∵集合A ＝{}x | x 2<1＝{}x | －1<x <1，B ＝{}x | 0<x <2，∴A ∪B ＝{}x | －1<x <2.2．双曲线x 24－y 2＝1的顶点到渐近线的距离等于( )A.255B.45C.25D.455答案 A解析 双曲线x 24－y 2＝1的顶点为()±2，0.渐近线方程为y ＝±12x . 双曲线x 24－y 2＝1的顶点到渐近线的距离等于11＋14＝255.3．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，3x ＋y ≤3，y ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值是( )A ．0B ．1C ．5D ．6 答案 D解析 作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示：由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，平移直线y ＝－12x ＋12z ，由图象可知，当直线y ＝－12x ＋12z 经过点A 时，直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距最大，此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，3x ＋y ＝3，得A (0,3)， 此时z 的最大值为z ＝0＋2×3＝6.4．已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )A.223 B ．20 C ．20＋ 6 D ．20＋10答案 C解析 该几何体是棱长为2的正方体削去一个角后得到的几何体(如图)，其表面积为S ＝3×2×2＋2×(1＋2)×22＋12×2×2＋12×22×3＝20＋ 6.5．设x ∈R ，则x 3<1是x 2<1的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由x 3<1，可得x <1， 由x 2<1，解得－1<x <1， 所以(－1,1)(－∞，1)，所以x 3<1是x 2<1的必要不充分条件．6．函数y＝x3＋ln(x2＋1－x)的图象大致为()答案 C解析因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＋ln()x2＋1＋x(－x)2＋1＋x＝－x3＋ln()＝－x3－ln()x2＋1－x＝－f()x，所以f()x为奇函数，图象关于原点x2＋1＋x－1＝－x3－ln()2－1>0，所以排除A.对称，排除B，D，因为f(1)＝1＋ln()7．设随机变量X的分布列如下：则方差D(X)等于()A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析a＝1－0.1－0.3－0.4＝0.2，E(X)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.4＝2，故D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.2＋(2－2)2×0.3＋(3－2)2×0.4＝1.8．已知在矩形ABCD中，AD＝2AB，沿直线BD将△ABD折成△A′BD，使点A′在平面BCD上的射影在△BCD内(不含边界)．设二面角A′－BD－C的大小为θ，直线A′D, A′C 与平面BCD所成的角分别为α，β则()A．α<θ<βB．β<θ<αC．β<α<θD．α<β<θ答案 D解析如图，作A′E⊥BD于E, O是A′在平面BCD内的射影，连接OE，OD，OC，易知∠A′EO＝θ，∠A′DO＝α，∠A′CO＝β，在矩形ABCD中，作AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，由O点必落在EF上，由AD＝2AB知OE<AE<CF<CO<OD，从而tan θ>tan β>tan α，即θ>β>α.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0<x ≤2，f (4－x )，2<x <4，设方程f (x )－1e x ＝t (t ∈R )的四个不等实数根从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则下列判断中一定成立的是( ) A.x 1＋x 22＝1B ．1<x 1x 2<4C ．4<x 3x 4<9D ．0<()x 3－4()x 4－4<4答案 C解析 由题意，作出函数的图象如图所示，由图可知，0<x 1<1<x 2<2<x 3<3<x 4<4， 所以4<x 3x 4<16，又||log 2()4－x 3>||log 2()4－x 4， 得log 2()4－x 3>－log 2()4－x 4，所以log 2()4－x 3()4－x 4>0，得()4－x 3()4－x 4>1，即x 3x 4－4()x 3＋x 4＋15>0， 又x 3＋x 4>2x 3x 4，所以2x 3x 4<x 3x 4＋154， 所以()x 3x 4－3()x 3x 4－5>0，所以x 3x 4<9， 综上，4<x 3x 4<9.10．已知a ，b ，c ∈R 且a ＋b ＋c ＝0，a >b >c ，则ba 2＋c 2的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－55，55 B.⎝⎛⎭⎫－15，15 C ．(－2，2) D.⎝⎛⎭⎫－2，55 答案 A解析 由a ＋b ＋c ＝0，a >b >c ，得a >0，c <0，b ＝－a －c .因为a >b >c ，即a >－a －c >c ，解得－2<c a <－12.设t ＝b a 2＋c 2，则t 2＝b 2a 2＋c 2＝(－a －c )2a 2＋c 2＝1＋2ac a 2＋c 2＝1＋2c a ＋a c .令y ＝c a ＋a c ，x ＝c a ，x ∈⎝⎛⎭⎫－2，－12，则y ＝x ＋1x，由对勾函数的性质知函数在(－2，－1]上单调递增，在⎣⎡⎭⎫－1，－12上单调递减，所以y max ＝－2，y >－52，即c a ＋ac ∈⎝⎛⎦⎤－52，－2， 所以2c a ＋ac∈⎣⎡⎭⎫－1，－45， 所以t 2∈⎣⎡⎭⎫0，15. 所以t ∈⎝⎛⎭⎫－55，55. 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 11．二项式(1＋2x )5中，所有的二项式系数之和为_________________； 系数最大的项为________． 答案 32 80x 3,80x 4解析 所有的二项式系数之和为C 05＋C 15＋…＋C 55＝25＝32，展开式为1＋10x ＋40x 2＋80x 3＋80x 4＋32x 5，系数最大的项为80x 3和80x 4.12．圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心C 的坐标是__________，设直线l ：y ＝k (x ＋2)与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则k ＝__________. 答案 (1,2) 0或125解析 由圆的一般方程x 2＋y 2－2x －4y ＝0可得(x －1)2＋(y －2)2＝5，故圆心为C (1,2)．又圆心到直线l 的距离d ＝|3k －2|1＋k 2，由弦心距、半径及半弦长之间的关系可得⎝ ⎛⎭⎪⎫|3k －2|1＋k 22＋1＝5，解得k ＝0或k ＝125.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝3，b ＝2，A ＝π3，则B＝________；S △ABC ＝_____________. 答案 π4 3＋34解析 由已知及正弦定理可得sin B ＝b sin A a ＝2×sin π33＝22， 由于0<B <π，可解得B ＝π4或B ＝3π4，因为b <a ，利用三角形中大边对大角可知B <A ， 所以B ＝π4，C ＝π－π3－π4＝5π12，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×sin 5π12＝3＋34.综上，B ＝π4，S △ABC ＝3＋34.14．在政治、历史、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则甲的不同的选法种数为____．乙、丙两名同学都选物理的概率是________． 答案 15949解析 由题意知同学甲只要在除物理之外的六门学科中选两门即可，故甲的不同的选法种数为C 26＝6×52＝15(种)；由题意知同学乙、丙两人除选物理之外，还要在剩下的六门学科中选两门，故乙、丙的所有不同的选法种数为m ＝C 26C 26＝6×52×6×52＝225(种)，而同学乙、丙两人从7门学科中选3门的所有选法种数为n ＝C 37C 37＝7×6×53×2×1×7×6×53×2×1＝35×35＝1 225(种)，故所求事件的概率是P ＝2251 225＝949.15．已知正实数x ，y 满足x ＋2y ＝4，则2x (y ＋1)的最大值为________． 答案 3解析 已知正实数x ，y 满足x ＋2y ＝4，根据基本不等式得到2x ()y ＋1＝x ()2y ＋2≤x ＋2y ＋22＝3.当且仅当x ＝2y ＋2，即x ＝3，y ＝12时，等号成立． 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若对任意λ∈R ，不等式|λBC →－BA →|≥|BC →|恒成立，则c b ＋bc 的最大值为________．答案5解析 由对任意λ∈R ，不等式|λBC →－BA →|≥|BC →|恒成立，得BC 边上的高h ≥a . 在△ABC 中，有12ah ＝12bc sin A ，即bc ＝ahsin A ，在△ABC 中，由余弦定理得 b 2＋c 2＝a 2＋2bc cos A ＝a 2＋2ah cos Asin A， 则c b ＋b c ＝b 2＋c2bc ＝a 2＋2ah cos A sin A ahsin A ＝a 2sin A ＋2ah cos A ah ＝a sin A ＋2h cos A h≤h sin A ＋2h cos Ah＝sin A ＋2cos A＝5sin(A ＋φ)，其中tan φ＝2，则当A ＋φ＝π2且h ＝a 时，c b ＋bc取得最大值 5.17．等差数列{a n }满足a 21＋a 22n ＋1＝1，则a 2n ＋1＋a 23n ＋1的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－52，3＋52解析 设⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝sin α，a 2n ＋1＝cos α⇒a 2n ＋1＝a 1＋2nd ＝cos α⇒2nd ＝cos α－sin α⇒a 2n ＋1＋a 23n ＋1＝(a 2n ＋1－nd )2 ＋(a 2n ＋1＋nd )2＝2[a 22n ＋1＋(nd )2]＝2⎣⎡⎦⎤cos 2α＋⎝⎛⎭⎫cos α－sin α22＝2cos 2α＋1－2sin αcos α2＝3＋2cos 2α－sin 2α2＝3＋5cos ()2α＋φ2⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25，所以所求的范围为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－52，3＋52.三、解答题(本大题共5小题，共74分．)18．(14分)已知函数f (x )＝cos x ()sin x －3cos x ，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π3，2π3上的单调性． 解 (1)由题意得f (x )＝cos x sin x －3cos 2x ＝12sin 2x －32()1＋cos 2x ＝12sin 2x －32cos 2x －32 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，其最大值为1－32.(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝sin z 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎡⎦⎤π3，2π3，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ， 易知A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤π3，5π12.所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π12上单调递增；在区间⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减． 19．(15分)在四棱锥E －ABCD 中，BC ∥AD ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2BC ，AB ＝AE ＝ED ＝BE ，F 是AE 的中点．(1)证明：BF ∥平面EDC ；(2)求BF 与平面EBC 所成角的正弦值． (1)证明 取ED 的中点G ，连接FG ，GC ， 则FG ∥AD ，且FG ＝12AD ，又因为BC ∥AD ，且BC ＝12AD ，所以FG ∥BC ，且FG ＝BC ， 所以四边形BFGC 是平行四边形， 所以BF ∥CG ，因为BF ⊄平面EDC ，CG ⊂平面EDC ， 所以BF ∥平面EDC .(2)解 分别取AD ，BC 的中点H ，N ，连接EH 交FG 于点M ，则M 是FG 的中点，连接MN ，则BF ∥MN ，所以BF 与平面EBC 所成角即为MN 与平面EBC 所成角， 由EA ＝ED ，H 是AD 的中点，得EH ⊥AD ，由于BC ∥AD ，所以BC ⊥EH ，易知四边形BHDC 是平行四边形，所以CD ∥BH ， 由BC ⊥CD ，得BC ⊥BH ，又EH ∩BH ＝H ，所以BC ⊥平面EBH ，因为BC ⊂平面EBC ，所以平面EBC ⊥平面EBH ， 过点M 作MI ⊥BE ，垂足为I ，则MI ⊥平面EBC ， 连接IN ，∠MNI 即为所求的角．设BC ＝1，则AD ＝CD ＝2，所以AB ＝5， 由AB ＝BE ＝AE ＝5，得BF ＝152， 所以MN ＝BF ＝152， 在Rt △AHE 中，由AE ＝5，AH ＝1，得EH ＝2， 在△EBH 中，由BH ＝EH ＝2，BE ＝5， MI ⊥BE ，M 为HE 的中点，可得MI ＝114， 因此sin ∠MNI ＝MI MN ＝16530.20．(15分)正项数列{}a n 满足a 2n ＋a n ＝3a 2n ＋1＋2a n ＋1，a 1＝1.(1)求a 2的值；(2)证明：对任意的n ∈N *，a n <2a n ＋1；(3)记数列{a n }的前n 项和为S n ，证明：对任意的n ∈N *,2－12n －1≤S n <3.(1)解 当n ＝1时，由a 21＋a 1＝3a 22＋2a 2＝2及a 2>0，得a 2＝7－13. (2)证明 由a 2n ＋a n ＝3a 2n ＋1＋2a n ＋1<4a 2n ＋1＋2a n ＋1＝(2a n ＋1)2＋2a n ＋1，又因为y ＝x 2＋x 在x ∈(0，＋∞)上单调递增，故a n <2a n ＋1. (3)证明 由(2)知当n ≥2时，a n a n －1>12，a n －1a n －2>12，…，a 2a 1>12，相乘得a n >12n －1a 1＝12n －1，即a n >12n －1， 故当n ≥2时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n >1＋12＋…＋12n －1＝2－12n －1，当n ＝1时，S 1＝1＝2－12n －1.所以当n ∈N *时，S n ≥2－12n －1.另一方面，a 2n ＋a n ＝3a 2n ＋1＋2a n ＋1>2a 2n ＋1＋2a n ＋1＝2(a 2n ＋1＋a n ＋1)，令a 2n ＋a n ＝b n ，则b n >2b n ＋1，于是当n ≥2时，b n b n －1<12，b n －1b n －2<12，…，b 2b 1<12，相乘得b n <12n －1b 1＝12n －2， 即a 2n ＋a n ＝b n <12n －2，故a n <12n －2， 故当n ≥2时，S n ＝a 1＋(a 2＋…＋a n )<1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋12n －2＝3－12n －2<3.当n ＝1时，S 1＝1<3， 综上，对任意的n ∈N *,2－12n －1≤S n <3.21．(15分)已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py ()p >0的焦点分别为F 1，F 2，点P ()－1，－1且F 1F 2⊥OP (O 为坐标原点)． (1)求抛物线C 2的方程；(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，求△PMN 面积的最小值． 解 (1)F 1(1,0)，F 2⎝⎛⎭⎫0，p2， ∴F 1F 2→＝⎝⎛⎭⎫－1，p 2， F 1F 2→·OP →＝⎝⎛⎭⎫－1，p 2·()－1，－1＝1－p 2＝0， ∴p ＝2，∴抛物线C 2的方程为x 2＝4y .(2)由题意知，过点O 的直线的斜率一定存在且不为0，设直线方程为y ＝kx ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝kx ，得(kx )2＝4x ，求得M ⎝⎛⎭⎫4k 2，4k ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ，得N (4k,4k 2)(k ＜0)，从而|MN |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪4k 2－4k ＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫4k 2－4k ， 点P 到直线MN 的距离d ＝|k －1|1＋k 2，S △PMN ＝12·|k －1|1＋k 2·1＋k 2⎝⎛⎭⎫4k 2－4k ＝2(1－k )(1－k 3)k 2＝2(1－k )2()1＋k ＋k 2k 2＝2⎝⎛⎭⎫k ＋1k －2⎝⎛⎭⎫k ＋1k ＋1， 令t ＝k ＋1k ()t ≤－2，有S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)，当t ＝－2，k ＝－1时，S △PMN 取得最小值． 即当过原点的直线为y ＝－x 时， △PMN 的面积取得最小值为8. 22．(15分)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1. (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设函数g (x )＝(x －2)e x ＋f (x )－1－b ，当a ≥1时，g (x )≤0对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，1恒成立，求满足条件的b 最小的整数值．解 (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ，当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，x ＝1a，由f ′(x )>0，得x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a ，由f ′(x )<0，得x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞， 所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a ，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞. 综上，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，当a >0时，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞. (2)由g (x )＝()x －2e x ＋ln x －ax －b ， 因为g (x )≤0对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，1恒成立，b ≥()x －2e x ＋ln x －ax 在a ≥1时对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，1恒成立， 因为a ≥1，x >0，所以()x －2e x ＋ln x －ax ≤()x －2e x ＋ln x －x ，只需b ≥()x －2e x ＋ln x －x 对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，1恒成立即可． 构造函数h (x )＝()x －2e x ＋ln x －x ， h ′(x )＝(x －1)e x ＋1x －1＝(x －1)⎝⎛⎭⎫e x －1x ， 因为x ∈⎝⎛⎭⎫12，1，所以x －1<0，且t (x )＝e x －1x单调递增，因为t ⎝⎛⎭⎫12＝12e －2<0，t ()1＝e －1>0，所以一定存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，使得t (x 0)＝0， 即e x 0＝1x 0，x 0＝－ln x 0.所以h (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫12，x 0，单调递减区间为()x 0，1. 所以h (x )max ＝h ()x 0＝()x 0－2e x 0＋ln x 0－x 0 ＝1－2⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0∈()－4，－3， 所以b 的最小的整数值为－3.浙江高考仿真卷(二)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．已知集合M ＝{x |1≤x ≤3}，N ＝{x |x >2}，则集合M ∩(∁R N )等于( ) A ．{x |1≤x ≤2} B ．{x |x ≥1} C ．{x |1≤x <2} D ．{x |2<x ≤3}答案 A解析 ∵N ＝{x |x >2}， ∴∁R N ＝{x |x ≤2}，∴集合M ∩(∁R N )＝{x |1≤x ≤2}．2．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为( )A.35B.45C.54D.53 答案 C解析 因为双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的两焦点之间的距离为10，所以2c ＝10，c ＝5，所以a 2＝c 2－9＝16，所以a ＝4.所以离心率e ＝54.3．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，若a >b >1，则一定有( ) A ．log a x >log b y B ．sin a x >sin b y C ．ay >bx D ．a x >b y答案 D解析 当x >y >0，a >b >1时，由指数函数和幂的性质易得a x >a y >b y .4．将函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位长度，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值为( )A.π12B.π6C.π3D.5π6 答案 B解析 设y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π3个单位长度得到的函数为g (x )，则g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋φ，因为g (x )为奇函数，且在原点有定义，所以－2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π＋7π6(k ∈Z )，故当k ＝－1时，|φ|min ＝π6.5．函数f (x )＝e |x －1|－2cos(x －1)的部分图象可能是( )答案 A解析 因为f (1)＝－1，所以排除B ；因为f (0)＝e －2cos 1>0，所以排除D ；因为当x >2时，f (x )＝e x －1－2cos (x －1)，∴f ′(x )＝e x －1＋2sin(x －1)>e －2>0，即x >2时，f (x )具有单调性，排除C.6．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则D (ξ)的最大值为( ) A.23 B.59 C.29 D.34 答案 A解析 由分布列得a ＋b ＋c ＝1，又因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，则a ＋c ＝23，所以E (ξ)＝c －a ，D (ξ)＝a (c －a ＋1)2＋b (c －a )2＋c (c －a －1)2＝a (c －a )2＋b (c －a )2＋c (c －a )2＋2a (c －a )＋a －2c (c －a )＋c ＝－(c －a )2＋23，则当a ＝c 时，D (ξ)取得最大值23.7．已知单位向量e 1，e 2，且e 1·e 2＝－12，若向量a 满足(a －e 1)·(a －e 2)＝54，则|a |的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤2－32，2＋32 B.⎣⎡⎦⎤2－12，2＋12 C.⎝⎛⎦⎤0，2＋12 D.⎝⎛⎦⎤0，2＋32 答案 B解析 因为向量e 1，e 2为单位向量， 且e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos 〈e 1，e 2〉＝－12，所以|e 1＋e 2|＝1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫－12＝1. 因为(a －e 1)·(a －e 2)＝54，所以a 2－a ·(e 1＋e 2)＋e 1·e 2＝54，所以|a |2－a ·(e 1＋e 2)＝74，所以|a |2－|a |·cos 〈a ，e 1＋e 2〉＝74，所以cos 〈a ，e 1＋e 2〉＝|a |2－74|a |，又因为－1≤cos 〈a ，e 1＋e 2〉≤1， 所以|a |的取值范围为⎣⎡⎦⎤2－12，2＋12. 8.在等腰梯形ABCD 中，已知AB ＝AD ＝CD ＝1，BC ＝2，将△ABD 沿直线BD 翻折成△A ′BD ，如图，则直线BA ′与CD 所成角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π3，π2 B.⎣⎡⎦⎤π6，π3 C.⎣⎡⎦⎤π6，π2 D.⎣⎡⎦⎤0，π3 答案 A解析 在等腰梯形ABCD 中，易知∠ABC ＝π3，∠ABD ＝∠CBD ＝π6，则∠A ′BD ＝π6，为定值，所以BA ′的轨迹可看作是以BD 为轴，B 为顶点，母线与轴的夹角为π6的圆锥的侧面，故点A ′的轨迹如图中AF 所示，其中F 为BC 的中点．过点B 作CD 的平行线，过点C 作BD 的平行线，两平行线交于点E ，则直线BA ′与BE 所成的角即直线BA ′与CD 所成的角．又易知CD ⊥BD ，所以直线A ′B 与CD 所成角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π3，π2，故选A.9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －x 2，0≤x <2，2f (x －2)，x ≥2， g (x )＝kx ＋2，若函数F (x )＝f (x )－g (x )在[0，＋∞)上只有两个零点，则实数k 的值不可能为( ) A ．－23 B ．－12 C ．－34 D ．－1答案 A解析 函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象的交点，在同一直角坐标系下作出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象，如图所示，当函数y ＝g (x )的图象经过点(2,0)时满足条件，此时k ＝2－00－2＝－1 ，当函数y ＝g (x )的图象经过点(4,0)时满足条件，此时k ＝2－00－4＝－12 ，当函数y ＝g (x )的图象与(x －1)2＋y 2＝1(x >0，y >0)相切时也满足题意，此时|k ＋2|1＋k2＝1，解得k ＝－34， 故选A.10．已知数列满足，a 1＝1，a 2＝12，且[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *，记T 2n为数列{a n }的前2n 项和，数列{b n }是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式⎝⎛⎭⎫T 2n ＋1b n ·1b n <1成立的最小整数n 为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 答案 C解析 因为[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *，∴当n 为偶数时，可得(3＋1)a n ＋2－2a n ＋2(1－1)＝0，n ∈N *，即a n ＋2a n ＝12，∴a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列；当n 为奇数时，可得(3－1)a n ＋2－2a n ＋2(－1－1)＝0，n ∈N *，即a n ＋2－a n ＝2，∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以2为公差的等差数列，T 2n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n )＝n 2＋1－12n ，∵数列{b n }是首项和公比都是2的等比数列，b n ＝2×2n －1＝2n ，则⎝⎛⎭⎫T 2n ＋1b n ·1b n <1等价为⎝⎛⎭⎫n 2＋1－12n ＋12n ·12n <1，即(n 2＋1)·12n <1，即n 2＋1<2n ，分析函数y ＝n 2＋1与y ＝2n ，则当n ＝1时，2＝2，当n ＝2时，5<4不成立，当n ＝3时，10<8不成立，当n ＝4时，17<16不成立，当n ＝5时，26<32成立，当n ≥5时，n 2＋1<2n 恒成立，故使不等式⎝⎛⎭⎫T 2n ＋1b n ·1b n <1成立的最小整数n 为5.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11．若⎝⎛⎭⎫3x －1x n 的展开式中所有项的系数的绝对值之和为64，则n ＝________；该展开式中的常数项是____________． 答案 3 －27解析 所求系数的绝对值之和相当于⎝⎛⎭⎫3x ＋1x n 中所有项的系数之和，则在⎝⎛⎭⎫3x ＋1x n 中令x ＝1，得(3＋1)n ＝64，所以n ＝3；⎝⎛⎭⎫3x －1x 3的通项为T k ＋1＝C k 3(3x )3－k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝C k 3·33－k · (－1)k 332kx-，令3－3k 2＝0，则k ＝1，常数项为C 13×32×(－1)1＝－27. 12．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋1≤0，x ＋y ≤m ，若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则m 的取值范围为_______，如果目标函数z ＝2x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________. 答案 (2，＋∞) 4解析 要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋1≤0，x ＋y ≤m 所表示的平面区域形状为三角形，直线x ＝1与直线x－2y ＋1＝0的交点(1,1)必在直线的左下方，所以m >2，画出该区域如图阴影部分所示(含边界)，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，由图可知，当直线y ＝2x －z 过点A (1，m －1)时在y 轴上的截距最大，z 最小，所以，－1＝2×1－(m －1)，解得m ＝4.13．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是23，则a ＝________，该几何体的表面积为________．答案 1 3＋ 5解析 如图所示，此几何体是四棱锥，底面是边长为a 的正方形，平面SAB ⊥平面ABCD ，并且∠SAB ＝90°，SA ＝2，所以体积是V ＝13×a 2×2＝23，解得a ＝1，四个侧面都是直角三角形，所以计算出表面积是S ＝12＋12×1×2＋12×1×5＋12×1×2＋12×1×5＝3＋ 5.14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 若a ＝7，c ＝3，A ＝60°，则b ＝________，△ABC 的面积S ＝________. 答案 1或2334或332解析 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即7＝b 2＋9－2b ×3cos 60°，即b 2－3b ＋2＝0，解得b ＝1或2, 当b ＝1时， S ＝12bc sin A ＝12×1×3×sin 60°＝334，同理当b ＝2时， S ＝332.15.如图所示，在排成4×4方阵的16个点中，中心位置4个点在某圆内，其余12个点在圆外．从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有____个．答案 312解析 根据题意，分3种情况讨论：①取出的3个点都在圆内，C 34＝4，即有4种取法；②在圆内取2点，圆外12点中有10个点可供选择，从中取1点，C 24C 110＝60，即有60种取法；③在圆内取1点，圆外12点中取2点，C 14()C 212－4＝248，即有248种取法．则至少有一个顶点在圆内的三角形有 4＋60＋248＝312(个)．16．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，点P 在椭圆C 上移动时，△PF 1F 2的内心I 的轨迹方程为____________________________． 答案 x 2＋3y 2＝1(y ≠0)解析 由题意得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设点P (x ，y )，I (m ，n )，－2<x <2，y ≠0，则|PF 1|＝(x ＋1)2＋y 2＝(x ＋1)2＋3－3x 24＝⎪⎪⎪⎪x 2＋2＝2＋x 2，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝4－⎝⎛⎭⎫2＋x 2＝2－x 2，|F 1F 2|＝2c ＝2，|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c ＝6，则由点I 为△PF 1F 2的内心结合图形(图略)得⎩⎨⎧2＋x 2＝m ＋1＋2－x2－(1－m )，12×|n |×6＝12×2×|y |，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m ，y ＝3n ，代入椭圆C 的方程得三角形的内心I 的轨迹方程为m 2＋3n 2＝1(n ≠0)，即x 2＋3y 2＝1(y ≠0)．17．设点P 是△ABC 所在平面内一动点，满足CP →＝λCA →＋μCB →，3λ＋4μ＝2(λ，μ∈R )，|P A →|＝|PB →|＝|PC →|.若|A B →|＝3，则△ABC 面积的最大值是________． 答案 9解析 由3λ＋4μ＝2，得32λ＋2μ＝1，所以CP →＝λCA →＋μCB →＝32λ·23CA →＋2μ·12CB →.设23CA →＝CM →，12CB →＝CN →， 则由平面向量基本定理知点P ，M ，N 在同一直线上， 又|P A →|＝|PB →|＝|PC →|，所以P 为△ABC 的外心，且∠ACB 为锐角，PN ⊥BC ，由此可作图，如图所示，设∠ACB ＝θ，CN ＝x ，则BC ＝2x ， CM ＝x cos θ，CA ＝3x2cos θ，所以S △ABC ＝12AC ·BC sin θ＝12·3x 2cos θ·2x ·sin θ＝3tan θ2x 2， 在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos θ， 即4x 2＋9x 24cos 2θ－2·2x ·3x 2cos θ·cos θ＝9， 所以x 2＝36cos 2θ9－8cos 2θ，所以S △ABC ＝3tan θ2·36cos 2θ9－8cos 2θ＝54sin θcos θ9sin 2θ＋cos 2θ＝54tan θ9tan 2θ＋1＝549tan θ＋1tan θ≤9. 当且仅当9tan θ＝1tan θ，即tan θ＝13时等号成立，所以△ABC 面积的最大值是9.三、解答题(本大题共5小题，共74分．)18．(14分)已知函数f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的单调递增区间； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π3上的值域．解 (1)f (x )＝4sin x ·⎝⎛⎭⎫cos x cos π3＋sin x sin π3－ 3 ＝4sin x ·⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x － 3 ＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin 2x ＋3·()1－cos 2x － 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12()k ∈Z . (2)由π4≤x ≤π3，得π6≤2x －π3≤π3，故而2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[1，3]， 即f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π3上的值域为[1，3]．19．(15分)如图，已知四边形ABCD 是正方形，AE ⊥平面ABCD ，PD ∥AE ，PD ＝AD ＝2EA ＝2，G ，F ，H 分别为BE ，BP ，PC 的中点．(1)求证：平面ABE ⊥平面GHF ；(2)求直线GH 与平面PBC 所成的角θ的正弦值．解 (1)因为AE ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以AE ⊥BC ， 因为四边形ABCD 是正方形，所以AB ⊥BC ，又BA ∩AE ＝A ，BA ，AE ⊂平面ABE ，所以BC ⊥平面AEB ， 因为F ，H 分别为BP ，PC 的中点，所以FH 为△PBC 的中位线， 所以FH ∥BC ， 所以FH ⊥平面ABE ，又FH ⊂平面GHF ，所以平面ABE ⊥平面GHF .(2)解 方法一 因为AE ⊥平面ABCD ，PD ∥AE ，所以PD ⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC ，因为四边形ABCD 是正方形，所以CD ⊥BC ， 又PD ∩CD ＝D ，PD ，CD ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD ，又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCD . 连接DH ，则DH ⊥PC ，因为平面PBC ∩平面PCD ＝PC ，所以DH ⊥平面PBC ，所以∠DHG 为直线GH 与平面PBC 所成角的余角，即θ＝π2－∠DHG .在等腰直角三角形PDC 中，因为PD ＝DC ＝2，所以PC ＝22， 所以DH ＝PD ·DCPC ＝ 2.连接DG ，易知DG ＝22＋12＋⎝⎛⎭⎫122＝212，GH ＝22＋⎝⎛⎭⎫122＝172， 所以在△DHG 中，cos ∠DHG ＝DH 2＋HG 2－DG 22DH ·GH ＝3434，所以sin θ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－∠DHG ＝cos ∠DHG ＝3434， 即直线GH 与平面PBC 所成的角θ的正弦值为3434. 方法二 易知DA ，DC ，DP 两两垂直，所以以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由PD ＝AD ＝2EA ＝2，易得B (2,2,0)，C (0,2,0)，P (0,0,2)，H (0,1,1)，G ⎝⎛⎭⎫2，1，12，则CP →＝(0，－2,2)，CB →＝(2,0,0)，HG →＝⎝⎛⎭⎫2，0，－12.设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝(x ，y ，z )·(2，0，0)＝0，n ·CP →＝(x ，y ，z )·(0，－2，2)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝0，－2y ＋2z ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝z .令y ＝1，则z ＝1，所以n ＝(0,1,1)为平面PBC 的一个法向量， 所以sin θ＝|cos 〈n ，HG →〉|＝|n ·HG →|02＋12＋12×22＋02＋⎝⎛⎭⎫－122＝122×172＝3434， 故直线GH 与平面PBC 所成的角θ的正弦值为3434. 20．(15分)已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝1e n a －(n ∈N *)．(其中e 为自然对数的底数，e ＝2.71828…)(1)证明：a n ＋1>a n (n ∈N *)；(2)设b n ＝1－a n ，是否存在实数M >0，使得b 1＋b 2＋…＋b n ≤M 对任意n ∈N *成立？若存在，求出M 的一个值；若不存在，请说明理由． (1)证明 设f (x )＝e x －x －1，令f ′(x )＝e x －1＝0， 得到x ＝0.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．故f (x )≥f (0)＝0，即e x ≥x ＋1(当且仅当x ＝0时取等号)． 故a n ＋1＝1en a －≥a n ，且取不到等号，所以a n ＋1>a n .(2)解 先用数学归纳法证明a n ≤1－1n ＋1.①当n ＝1时，a 1≤1－12成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k ≤1－1k ＋1成立，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1ek a －≤11ek -+＝111ek +≤11＋1k ＋1＝k ＋1k ＋2 ＝1－1k ＋2，即a k ＋1≤1－1k ＋2也成立．故对n ∈N *都有a n ≤1－1n ＋1. 所以b n ＝1－a n ≥1n ＋1.取n ＝2t －1(t ∈N *)，b 1＋b 2＋…＋b n ≥12＋13＋…＋1n ＋1 ＝12＋⎝⎛⎭⎫13＋14＋… ＋⎝⎛⎭⎫12t －1＋1＋12t －1＋2＋…＋12t . 即b 1＋b 2＋…＋b n ≥12＋12＋…＋12＝t2.其中t ＝log 2n ＋1，t ∈N *，当n →＋∞时，t →＋∞，t2→＋∞，所以不存在满足条件的实数M ，使得b 1＋b 2＋…＋b n ≤M 对任意n ∈N *成立． 21．(15分)抛物线C ：y ＝x 2，直线l 的斜率为2. (1)若l 与抛物线C 相切，求直线l 的方程；(2)若l 与抛物线C 相交于A ，B ，线段AB 的中垂线交C 于P ，Q ，求|PQ ||AB |的取值范围．解 (1)设直线l 的方程为y ＝2x ＋b ，联立直线l 与抛物线C 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，y ＝x 2，得x 2－2x －b ＝0，Δ＝4＋4b ＝0，所以b ＝－1， 因此，直线l 的方程为y ＝2x －1.(2)设直线l 的方程为y ＝2x ＋b ，设点A ()x 1，y 1， B ()x 2，y 2，P ()x 3，y 3，Q ()x 4，y 4，联立直线l 与抛物线C 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，y ＝x 2， 得x 2－2x －b ＝0，Δ＝4＋4b >0，所以b >－1. 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－b . 所以|AB |＝5|x 1－x 2|＝25(b ＋1)， 且y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)＋2b ＝4＋2b ， 所以线段AB 的中点为(1,2＋b )，所以直线PQ 的方程为y ＝－12x ＋52＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋52＋b ，y ＝x 2，得2x 2＋x －5－2b ＝0， 由根与系数的关系得x 3＋x 4＝－12，x 3x 4＝－52－b ，所以|PQ |＝52|x 3－x 4|＝5441＋16b ， 所以|PQ ||AB |＝1841＋16b 1＋b＝1816＋25b ＋1>12，所以|PQ ||AB |的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 22．(15分)已知函数f (x )＝e x －e x sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2(e 为自然对数的底数)． (1)求函数f (x )的值域；(2)若不等式f (x )≥k (x －1)(1－sin x )对任意x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2恒成立，求实数k 的取值范围； (3)证明：e x －1＞－12(x －32)2＋1.(1)解 因为f (x )＝e x －e x sin x ，所以f ′(x )＝e x －e x (sin x ＋cos x )＝e x (1－sin x －cos x )＝e x ⎣⎡⎦⎤1－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥22，所以f ′(x )≤0， 故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减，函数f (x )的最大值为f (0)＝1－0＝1； f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝2πe －2πe sin π2＝0， 所以函数f (x )的值域为[0,1]．(2)解 原不等式可化为e x (1－sin x )≥k (x －1)(1－sin x )，(*) 因为1－sin x ≥0恒成立，故(*)式可化为e x ≥k (x －1)． 令g (x )＝e x －kx ＋k ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则g ′(x )＝e x －k ， 当k ≤0时，g ′(x )＝e x －k >0，所以函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，故g (x )≥g (0)＝1＋k ≥0，所以－1≤k ≤0；当k >0时，令g ′(x )＝e x －k ＝0，得x ＝ln k ，所以当x ∈(0，ln k )时，g ′(x )＝e x －k <0； 当x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )＝e x －k >0.所以当ln k ＜π2，即0<k <2πe 时，函数g (x )min ＝g (ln k )＝2k －k ln k >0成立；当ln k ≥π2，即k ≥2πe 时，函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减，g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫π2＝2πe －k ·π2＋k ≥0，解得2πe ≤k ≤2πeπ12-， 综上，－1≤k ≤2πeπ12-. (3)证明 令h (x )＝e x －1＋12⎝⎛⎭⎫x －322－1， 则h ′(x )＝e x －1＋x －32.令t (x )＝h ′(x )＝e x －1＋x －32，则t ′(x )＝e x －1＋1>0，所以h ′(x )在R 上单调递增，由h ′⎝⎛⎭⎫12＝12e -－1＜0，h ′⎝⎛⎭⎫34＝14e -－34＞0， 故存在x 0∈⎝⎛⎭⎫12，34，使得h ′()x 0＝0， 即01ex －＝32－x 0. 所以当x ∈(－∞，x 0)时，h ′(x )<0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )>0.故当x ＝x 0时，函数h (x )有极小值，且是唯一的极小值， 故函数h (x )min ＝h (x 0)＝01ex －＋12⎝⎛⎭⎫x 0－322－1 ＝－⎝⎛⎭⎫x 0－32＋12⎝⎛⎭⎫x 0－322－1 ＝12×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 0－32－12－32＝12⎝⎛⎭⎫x 0－522－32， 因为x 0∈⎝⎛⎭⎫12，34，所以12⎝⎛⎭⎫x 0－522－32> 12×⎝⎛⎭⎫34－522－32＝132>0，故h (x )＝e x －1＋12⎝⎛⎭⎫x －322－1>0， 即e x －1>－12⎝⎛⎭⎫x －322＋1.。

2020年浙江省高考数学高考综合模拟卷（三）★祝考试顺利★一、选择题(本题共16小题，每小题3分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．港珠澳大桥于2018年10月23日正式开通，这座当今世界里程最长、施工难度最大的跨海大桥使用了大量的各类材料：路面使用了进口的湖底天然沥青和混凝土、承台和塔座等部位使用了双相不锈钢钢筋、抗震方面使用了新型高阻尼橡胶和钢板。

关于这些材料的说法错误的是( )A．沥青主要成分是有机物，也可以通过石油分馏得到B．混凝土中含有的水泥、沙子都属于无机非金属材料C．不锈钢是通过改变材料结构的途径防锈蚀D．橡胶一定属于合成高分子材料答案 D解析沥青是石油分馏后剩余的固态烃，所以沥青可以通过石油分馏得到，故A 正确；混凝土中含有的水泥、沙子的主要成分都是二氧化硅及其硅酸盐，是传统无机非金属材料，故B正确；不锈钢是通过改变材料的内部结构达到防锈蚀的目的，故C正确；橡胶有天然橡胶、合成橡胶之分，则橡胶不一定属于合成高分子材料，故D错误。

2．下列有关化学用语的表示正确的是( )A．中子数为20的Ar原子：2018ArB．Na2O的电子式：C．F－的结构示意图：D．NaHCO3的电离方程式：NaHCO3===Na＋＋HCO－3答案 B解析A项，中子数为20的Ar原子为3818Ar，错误；B项，Na2O是由Na＋与O2－通过离子键形成的离子化合物，电子式正确；C项，F－的结构示意图为，错误；D项，NaHCO3的电离方程式为：NaHCO3===Na＋＋HCO－3，HCO－3H＋＋CO2－3，错误。

3．含有极性键且分子中各原子都满足8电子稳定结构的化合物是( )A．CH4B．CH2==CH2C．CO2D．N2答案 C解析A、B两项中的氢原子都只满足2电子稳定结构；D项，N2是单质而不是化合物。

4．下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是( )A．食盐水中：Fe2＋、NH＋4、Cl－、SO2－4B．氯化铁溶液中：Mg2＋、K＋、Cl－、SCN－C．苏打溶液中：Ca2＋、Al3＋、Cl－、NO－3D．白醋中：K＋、Na＋、CO2－3、SO2－4答案 A解析食盐水中Fe2＋、NH＋4、Cl－、SO2－4之间均不反应，可以大量共存，故A符合题意；氯化铁溶液中的Fe3＋与SCN－能反应，不能大量共存，故B不符合题意；白醋显酸性，碳酸根离子不能大量共存，故D不符合题意；苏打溶液中含有碳酸根离子，Ca2＋、Al3＋均不能大量共存，故C不符合题意。

2020年浙江省高考数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]2．（4分）设i 为虚数单位，复数z =2+3ii，则z 的共轭复数是（ ） A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1，2x −y ≤2，x −y +1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（ ）A ．2B ．4√55C ．4D ．1654．（4分）已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sin α=√33”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要5．（4分）函数f （x ）＝x 2+e |x |的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点，则下列说法中错误的是（ ）A ．线段PQ 与平面CDD 1C 1可能平行B ．当Q 为线段B 1C 1的中点时，线段PQ 与DD 1所成角为π4C ．PQ ≥√2ABD ．CD 1与PQ 不可能垂直7．（4分）已知0＜a ＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a 增大时，ξ的期望E （ξ）变化情况是（ ）ξ ﹣10 1 P13abA ．E （ξ）增大B ．E （ξ）减小C ．E （ξ）先增后减D ．E （ξ）先减后增8．（4分）已知函数f(x)={x 2+4x +2，x ≤0log 2x ，x ＞0，且方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围为（ ） A ．(−154，0]B ．(−154，2]C ．[﹣4，+∞）D ．[﹣4，2）9．（4分）如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．则（ ）A ．α≥β，β≤γB ．α≤β，β≤γC ．α≥β，β≥γD ．α≤β，β≥γ10．（4分）设数列{a n }满足a n +1＝a n 2+2a n ﹣2（n ∈N *），若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P （1，1）作直线l 与双曲线x 2−y 22=λ交于A ，B 两点，若点P 恰为线段AB 的中点，则实数λ的取值范围是 ．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．13．（6分）已知（1﹣x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，则a 2＝ ，a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6＝ ． 14．（6分）在△ABC 中，a ＝1，cos C =34，△ABC 的面积为√74，则c ＝ ． 15．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的上、下顶点分别为B 2，B 1，若一个半径为√2b ，过点B 1，B 2的圆M 与椭圆的一个交点为P （异于顶点B 1，B 2），且|k PB 1−kPB 2|=89，则椭圆的离心率为 ．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BCD ＝60°， CB ＝CD ＝2√3．若点M 为边BC 上的动点，则AM →•DM →的最小值为 ．17．（4分）设f （x ）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f （x ）+xf '（x ）＞0，则不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）的解集为 三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13，△ABC 的面积为2√2．（Ⅰ）求a 及sin C 的值； （Ⅱ）求cos （2A −π6）的值．19．（15分）如图，三棱锥D ﹣ABC 中，AD ＝CD ，AB ＝BC ＝4√2，AB ⊥BC ． （1）求证：AC ⊥BD ；（2）若二面角D ﹣AC ﹣B 的大小为150°且BD ＝4√7时，求直线BM 与面ABC 所成角的正弦值．20．（15分）在等差数列{a n }和正项等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，数列{b n }的前n 项和为Sn ，且S 3＝14． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令c n =a b n ，（﹣1）n d n ＝n c n +n ，求数列{d n }的前项和为T n ．21．（15分）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．（1）若点M纵坐标为√2，求M与焦点的距离；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：y A•y B为常数；（3）是否存在t，使得y A•y B＝1且y P•y Q为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．22．（15分）设函数f（x）＝e x cos x，g（x）＝e2x﹣2ax．（1）当x∈[0，π3]时，求f（x）的值域；（2）当x∈[0，+∞）时，不等式g(x)≥f′(x)e2x恒成立（f'（x）是f（x）的导函数），求实数a的取值范围．2020年浙江省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]【解答】解：由题意得：A ＝{x ∈N *|x ≤3}＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}＝{x |0≤x ≤4}， ∴所以A ∩B ＝{1，2，3}， 故选：A ．2．（4分）设i 为虚数单位，复数z =2+3ii，则z 的共轭复数是（ ） A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i【解答】解：∵z =2+3i i =(2+3i)(−i)−i2=3−2i ， ∴z =3+2i ． 故选：B ．3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1，2x −y ≤2，x −y +1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（ ）A ．2B ．4√55C ．4D ．165【解答】解：画出变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1，2x −y ≤2，x −y +1≥0，的可行域，可发现z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值是（3，0）到2x ﹣y ﹣2＝0距离的平方． 取得最小值：(6−24+1)2=165．故选：D ．4．（4分）已知α为任意角，则“cos2α=13”是“sin α=√33”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要【解答】解：若cos2α=13，则cos2α＝1﹣2sin 2α，sin α=±√33，则cos2α=13”是“sin α=√33”的不充分条件；若sin α=√33，则cos2α＝1﹣2sin 2α，cos2α=13，则cos2α=13”是“sin α=√33”的必要条件； 综上所述：“cos2α=13”是“sin α=√33”的必要不充分条件．故选：B ．5．（4分）函数f （x ）＝x 2+e |x |的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：因为对于任意的x ∈R ，f （x ）＝x 2+e |x |＞0恒成立，所以排除A ，B ， 由于f （0）＝02+e |0|＝1，则排除D ， 故选：C ．6．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点，则下列说法中错误的是（ ）A ．线段PQ 与平面CDD 1C 1可能平行B ．当Q 为线段B 1C 1的中点时，线段PQ 与DD 1所成角为π4C ．PQ ≥√2ABD ．CD 1与PQ 不可能垂直【解答】解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点， 在A 中，当Q 为线段B 1C 1中点时，线段PQ 与平面CDD 1C 1平行，故A 正确； 在C 中，当Q 为线段B 1C 1的中点时，PQ ∥DC 1， ∴线段PQ 与DD 1所成角为∠C 1DD 1=π4，故B 正确；在C 中，PQ ≥√2AB ，当且仅当Q 为线段B 1C 1的中点时取等号，故C 正确； 在D 中，当Q 为线段B 1C 1的中点时，PQ ∥DC 1，CD 1与PQ 垂直，故D 错误． 故选：D ．7．（4分）已知0＜a ＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a 增大时，ξ的期望E （ξ）变化情况是（ ）ξ ﹣10 1 P13abA ．E （ξ）增大B ．E （ξ）减小C ．E （ξ）先增后减D ．E （ξ）先减后增【解答】解：依题可知{E(ξ)=−13+b a +b =23，∴E(ξ)=−13+23−a ，∴当a 增大时，ξ的期望E （ξ）减小．故选：B ．8．（4分）已知函数f(x)={x 2+4x +2，x ≤0log 2x ，x ＞0，且方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围为（ ） A ．(−154，0] B ．(−154，2] C ．[﹣4，+∞） D ．[﹣4，2）【解答】解：作出函数f （x ）的图象，方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根 即等价于函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝a 有三个交点A ，B ，C ，故有﹣2＜a ≤2， 不妨设x 1＜x 2＜x 3，因为点A ，B 关于直线x ＝﹣2对称，所以x 1+x 2＝﹣4， ﹣2＜log 2x 3≤2，即14＜x 3≤4，故−154＜x 1+x 2+x 3≤0．故选：A ．9．（4分）如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．则（ ）A ．α≥β，β≤γB ．α≤β，β≤γC ．α≥β，β≥γD ．α≤β，β≥γ【解答】解：∵在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点， 记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β， 二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ． ∴根据最小角定理得α≥β， 根据最大角定理得β≤γ． 故选：A ．10．（4分）设数列{a n }满足a n +1＝a n 2+2a n ﹣2（n ∈N *），若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是（ ） A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1【解答】解：a n+1−a n =a n 2+a n −2=(a n +2)(a n −1)，若a n ＜﹣2，则a n +1＞a n ，则该数列单调递增，所以无限趋于﹣2．若a n ＝﹣2，则a n +1＝a n ，则该数列为常数列，即a n ＝2．所以，综上所述，λ≥﹣2．∴λ的最小值是﹣2．故选：B ． 二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P （1，1）作直线l 与双曲线x 2−y 22=λ交于A ，B 两点，若点P 恰为线段AB 的中点，则实数λ的取值范围是 （﹣∞，0）∪（0，12） ．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入双曲线可得：{x 12−y 122=λx 22−y 222=λ，两式相减可得：y 1−y 2x 1−x 2=2(x 1+x 2)y 1+y 2，而由题意可得，x 1+x 2＝2×1＝2，y 1+y 2＝2×1＝2， 所以直线AB 的斜率k =y 1−y 2x 1−x 2=2×22=2，所以直线AB 的方程为：y ﹣1＝2（x ﹣1），即y ＝2x ﹣1，代入双曲线的方程可得：2x 2﹣4x +1+2λ＝0，因为直线与双曲线由两个交点，所以△＞0，且λ≠0，即△＝16﹣4×2×（1+2λ）＞0，解得：λ＜12， 所以实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，12）．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 9 ．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 下底面为直角梯形，高为3的四棱锥体， 如图所示：所以：V =13×12(2+4)×3×3=9， 故答案为：913．（6分）已知（1﹣x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，则a 2＝ 15 ，a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6＝ 64 ．【解答】解：由（1﹣x ）6的通项为T r+1=C 6r (−x)r 可得，令r ＝2，即x 2项的系数a 2为C 62=15，即a 2＝15，由（1﹣x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，取x ＝﹣1，得a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6＝[1﹣（﹣1）]6＝64，故答案为：15，64． 14．（6分）在△ABC 中，a ＝1，cos C =34，△ABC 的面积为√74，则c ＝ √2 ． 【解答】解：∵a ＝1，cos C =34，△ABC 的面积为√74， ∴sin C =√1−cos 2C =√74，可得√74=12ab sin C =√78ab ，解得ab ＝2，∴b ＝2，∴由余弦定理可得c =2+b 2−2abcosC =√12+22−2×1×2×34=√2． 故答案为：√2．15．（4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上、下顶点分别为B 2，B 1，若一个半径为√2b ，过点B 1，B 2的圆M 与椭圆的一个交点为P （异于顶点B 1，B 2），且|k PB 1−kPB 2|=89，则椭圆的离心率为2√23． 【解答】解：设P （x 0，y 0），B 1（0，﹣b ），B 2（0，+b ），由|kPB 1−kPB 2|=89，|y 0−b x 0−y 0+b x 0|=89，∴|x 0|=94b ，由题意得圆M 的圆心在x 轴上，设圆心（t ，0），由题意知：t 2+b 2＝2b 2∴t 2＝b 2， ∴MP 2＝2b 2＝（x 0﹣t ）2+y 02，∴y 02=716b 2，P 在椭圆上，所以81b 216a +716=1， ∴a 2＝9b 2＝9（a 2﹣c 2），∴e 2=89，所以离心率为2√23，故答案为：2√23． 16．（4分）如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BCD ＝60°，CB ＝CD ＝2√3．若点M 为边BC 上的动点，则AM →•DM →的最小值为214．【解答】解：如图所示：以B 为原点，以BA 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴，过点D 做DP ⊥x 轴，过点D 做DQ ⊥y 轴，∵AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，CB =CD =2√3， ∴B （0，0），A （2，0），C （0，2√3），D （3，√3），设M （0，a ），则AM →=（﹣2，a ），DM →=（﹣3，a −√3），故AM →•DM →=6+a （a −√3）=(a −√32)2+214≥214， 故答案为：214．17．（4分）设f （x ）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f （x ）+xf '（x ）＞0，则不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）的解集为 （1，2）【解答】解：令g （x ）＝xf （x ），x ∈（0，+∞）．g ′（x ）＝f （x ）+xf '（x ）＞0， ∴函数g （x ）在x ∈（0，+∞）上单调递增．不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）即不等式（x +1）f （x +1）＞（x 2﹣1）f （x 2﹣1），x +1＞0． ∴x +1＞x 2﹣1＞0，解得：1＜x ＜2．∴不等式f （x +1）＞（x ﹣1）f （x 2﹣1）的解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13，△ABC 的面积为2√2．（Ⅰ）求a 及sin C 的值； （Ⅱ）求cos （2A −π6）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b ﹣c ＝1，cos A =13， ∴sin A =√1−cos 2A =2√23， ∵△ABC 的面积为12bc •sin A =bc 2•2√23=√23bc ＝2√2，∴bc ＝6，∴b ＝3，c ＝2， ∴a =√b 2+c 2−2bc ⋅cosA =√9+4−2⋅3⋅2⋅13=3． 再根据正弦定理可得a sinA=c sinC，即2√23=2sinC，∴sin C =4√29． （Ⅱ）∴sin2A ＝2sin A cos A =4√29，cos2A ＝2cos 2A ﹣1=−79， 故 cos （2A −π6）＝cos2A cos π6+sin2A sinπ6=−79•√32+4√29•12=4√2−7√318． 19．（15分）如图，三棱锥D ﹣ABC 中，AD ＝CD ，AB ＝BC ＝4√2，AB ⊥BC ． （1）求证：AC ⊥BD ；（2）若二面角D ﹣AC ﹣B 的大小为150°且BD ＝4√7时，求直线BM 与面ABC 所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AC 中点O ，连结BO ，DO ， ∵AD ＝CD ，AB ＝BC ，∴AC ⊥BO ，AC ⊥DO ， ∵BO ∩DO ＝O ，∴AC ⊥平面BOD ， 又BD ⊂平面BOD ，∴AC ⊥BD ．（2）解：由（1）知∠BOD 是二面角D ﹣AC ﹣B 的平面角，∴∠BOD ＝150°， ∵AC ⊥平面BOD ，∴平面BOD ⊥平面ABC ， 在平面BOD 内作Oz ⊥OB ，则Oz ⊥平面ABC ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 由题意得OB ＝4，在△BOD 中由余弦定理得OD ＝4√3，∴A （0，﹣4，0），B （4，0，0），C （0，4，0），D （﹣6，0，2√3），∴M （﹣3，2，√3），BM →=（﹣7，2，√3），平面ABC 的法向量n →=（0，0，1），设直线BM 与面ABC 所成角为θ，则直线BM 与面ABC 所成角的正弦值为：sin θ=|n →⋅BM →||n →|⋅|BM →|=√356=√4228．20．（15分）在等差数列{a n }和正项等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，数列{b n }的前n 项和为Sn ，且S 3＝14．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令c n =a b n ，（﹣1）n d n ＝n c n +n ，求数列{d n }的前项和为T n ．【解答】解：（1）等差数列{a n }的公差设为d ，正项等比数列{b n }的公比设为q ，q ＞0，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，可得2a 2＝b 1+b 2，即2（1+d ）＝2+2q ，即d ＝q ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，可得2+2q +2q 2＝14，解得q ＝2，d ＝2，则a n ＝2n ﹣1，b n ＝2n ；（2）c n =a b n =2n +1﹣1，（﹣1）n d n ＝n c n +n ＝n •2n +1，则d n ＝2n •（﹣2）n ，前项和为T n ＝2•（﹣2）+4•4+6•（﹣8）+…+2n •（﹣2）n ，﹣2T n ＝2•4+4•（﹣8）+6•16+…+2n •（﹣2）n +1，相减可得3T n ＝﹣4+2（4+（﹣8）+…+（﹣2）n ）﹣2n •（﹣2）n +1＝﹣4+2•4(1−(−2)n−1)1−(−2)−2n •（﹣2）n +1，化简可得T n =−49−6n+29•（﹣2）n +1． 21．（15分）已知抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．（1）若点M 纵坐标为√2，求M 与焦点的距离；（2）若t ＝﹣1，P （1，1），Q （1，﹣1），求证：y A •y B 为常数；（3）是否存在t ，使得y A •y B ＝1且y P •y Q 为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解：∵抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．点M 纵坐标为√2， ∴点M 的横坐标x M ＝（√2）2＝2，∵y 2＝x ，∴p =12，∴M 与焦点的距离为MF =x M +p 2=2+14=94．（2）证明：设M （y 02，y 0），直线PM ：y ﹣1=y 0−1y 02−1（x ﹣1），当x ＝﹣1时，y A =y 0−1y 0+1，直线QM ：y +1=y 0+1y 02−1（x ﹣1），x ＝﹣1时，y B =−y 0−1y 0−1，∴y A y B ＝﹣1， ∴y A •y B 为常数﹣1．（3）解：设M （y 02，y 0），A （t ，y A ），直线MA ：y ﹣y 0=y 0−y A y 02−t （x ﹣y 02）， 联立y 2＝x ，得y 2−y 02−t y 0−y A y +y 02−t y 0−y A y 0−y 02=0，∴y 0+y p =y 02−t y 0−y A ，即y P =y 0y A −t y 0−y A， 同理得y Q =y 0y B −1y 0−y B，∵y A •y B ＝1，∴y P y Q =y 02−ty 0(y A +y B )+t 2y 02−y 0(y A +y B )+1， 要使y P y Q 为常数，即t ＝1，此时y P y Q 为常数1，∴存在t ＝1，使得y A •y B ＝1且y P •y Q 为常数1．22．（15分）设函数f （x ）＝e x cos x ，g （x ）＝e 2x ﹣2ax ．（1）当x ∈[0，π3]时，求f （x ）的值域；（2）当x ∈[0，+∞）时，不等式g(x)≥f′(x)e 2x 恒成立（f '（x ）是f （x ）的导函数），求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）由题可得f '（x ）＝e x cos x ﹣e x sin x ＝e x （cos x ﹣sin x ）．令f '（x ）＝e x （cos x ﹣sin x ）＝0，得x =π4∈[0，π3]． 当x ∈(0，π4)时，f '（x ）＞0，当x ∈(π4，π3)时，f '（x ）＜0，所以f(x)max =f(π4)=√22e π4，f(x)min =min{f(0)，f(π3)}．因为f(π3)=e π32＞e 332=e 2＞1=f(0)，所以f （x ）min ＝1， 所以f （x ）的值域为[1，√22e π4]． （2）由g(x)≥f′(x)e 2x 得e 2x −2ax ≥cosx−sinx e x ， 即sinx−cosxe +e 2x −2ax ≥0．设ℎ(x)=sinx−cosx e x +e 2x −2ax ，则ℎ′(x)=2cosx e x +2e 2x −2a ． 设φ（x ）＝h '（x ），则φ′(x)=4e 3x −2√2sin(x+π4)e x． 当x ∈[0，+∞）时，4e 3x ≥4，2√2sin(x +π4≤2√2)，所以φ'（x ）＞0． 所以φ（x ）即h '（x ）在[0，+∞）上单调递增，则h '（x ）≥h '（0）＝4﹣2a ．若a ≤2，则h '（x ）≥h '（0）＝4﹣2a ≥0，所以h （x ）在[0，+∞）上单调递增．所以h （xa ＞2）≥h （0）＝0恒成立，符合题意．若，则h '（0）＝4﹣2a ＜0，必存在正实数x 0，满足：当x ∈（0，x 0）时，h '（x ）＜0，h （x ）单调递减，此时h （x ）＜h （0）＝0，不符合题意综上所述，a 的取值范围是（﹣∞，2]．。

2020年浙江省高考数学高考仿真模拟卷（一）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．已知集合A ＝{x |x 2<1}，集合B ＝{x |log 2x <0}，则A ∩B 等于( )A ．(0,1)B ．(－1,0)C ．(－1,1)D ．(－∞，1)答案 A解析 根据题意集合A ＝{x |－1<x <1}，集合B ＝{x |0<x <1}，∴A ∩B ＝(0,1)．2．在平面直角坐标系中，经过点P (22，－2)，渐近线方程为y ＝±2x 的双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 22＝1 B.x 27－y 214＝1 C.x 23－y 26＝1 D.y 214－x 27＝1 答案 B解析 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，∴设所求双曲线的标准方程为2x 2－y 2＝k .又()22，－2在双曲线上，则k ＝16－2＝14，即双曲线的方程为2x 2－y 2＝14，∴双曲线的标准方程为x 27－y 214＝1. 3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．7答案 C 解析 画出约束条件⎩⎨⎧ x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由⎩⎨⎧ x ＋y －2＝0，2x －3y －9＝0，可得⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝－1，将z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，平移直线y ＝－2x ＋z ，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点(3，－1)时，直线在y 轴上的截距最大，即z 最大，z 的最大值为z ＝2×3－1＝5.4．若复数z 1＝2＋i ，z 2＝cos α＋isin α(α∈R )，其中i 是虚数单位，则|z 1－z 2|的最大值为 A.5－1 B.5－12 C.5＋1 D.5＋12答案 C解析 方法一 由题可得z 1－z 2＝2＋i －cos α－isin α＝2－cos α＋(1－sinα)i(α∈R )，则|z 1－z 2|＝(2－cos α)2＋(1－sin α)2＝4－4cos α＋cos 2α＋1－2sin α＋sin 2α＝6－2sin α－4cos α＝6－22＋42sin (α＋φ) ＝6－25sin (α＋φ)，其中tan φ＝2，当sin(α＋φ)＝－1时， |z 1－z 2|有最大值，此时|z 1－z 2|＝6＋25＝5＋1.方法二 ∵z 1＝2＋i ，z 2＝cos α＋isin α(α∈R )，∴z 2在复平面内对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上，z 1＝2＋i 对应的点为Z 1(2,1)．如图：。

2020年浙江省高考数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（）A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]2．（4分）设i 为虚数单位，复数??=2+3??，则z 的共轭复数是（）A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（）A ．2B ．4√55C ．4D ．1654．（4分）已知α为任意角，则“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要5．（4分）函数f （x ）＝x 2+e |x|的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．6．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段AD 的中点，Q 为线段B 1C 1的动点，则下列说法中错误的是（）A ．线段PQ 与平面CDD 1C 1可能平行B ．当Q 为线段B 1C 1的中点时，线段PQ 与DD 1所成角为4C ．≥√2D ．CD 1与PQ 不可能垂直7．（4分）已知0＜??＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a增大时，ξ的期望E（ξ）变化情况是（）ξ﹣101P13a bA．E（ξ）增大B．E（ξ）减小C．E（ξ）先增后减D．E（ξ）先减后增8．（4分）已知函数??(??)={2+4??+2，??≤02??，??＞0，且方程f（x）＝a有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围为（）A．(-154，0]B．(-154，2]C．[﹣4，+∞）D．[﹣4，2）9．（4分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，M是棱A1C1上的点，记直线AM与直线BC所成的角为α，直线AM与平面ABC所成的角为β，二面角M﹣AC﹣B的平面角为γ．则（）A．α≥β，β≤γB．α≤β，β≤γC．α≥β，β≥γD．α≤β，β≥γ10．（4分）设数列{a n}满足a n+1＝a n2+2a n﹣2（n∈N*），若存在常数λ，使得a n≤λ恒成立，则λ的最小值是（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P（1，1）作直线l与双曲线??2-22=??交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．13．（6分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝．14．（6分）在△ABC中，a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，则c＝．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22+??2??2=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B2，B1，若一个半径为√2b，过点B1，B2的圆M与椭圆的一个交点为P（异于顶点B1，B2），且|k1-k2|=89，则椭圆的离心率为．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2√3．若点M为边BC上的动点，则→→的最小值为．17．（4分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f（x）+xf'（x）＞0，则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，△ABC的面积为2√2．（Ⅰ）求a及sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A-6）的值．19．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD，AB＝BC＝4√2，AB⊥BC．（1）求证：AC⊥BD；（2）若二面角D﹣AC﹣B的大小为150°且BD＝4√7时，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．20．（15分）在等差数列{a n}和正项等比数列{b n}中，a1＝1，b1＝2，且b1，a2，b2成等差数列，数列{b n}的前n项和为Sn，且S3＝14．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令??=????，（﹣1）n d n＝nc n+n，求数列{d n}的前项和为T n．21．（15分）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．（1）若点M纵坐标为√2，求M与焦点的距离；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：y A y B为常数；（3）是否存在t，使得y A y B＝1且y P?y Q为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．22．（15分）设函数f（x）＝e x cosx，g（x）＝e2x﹣2ax．（1）当??∈[0，]时，求f（x）的值域；3恒成立（f'（x）是f（x）的导函数），求实数a的取值范围．（2）当x∈[0，+∞）时，不等式??(??)≥′(??)2??2020年浙江省高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（）A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]【解答】解：由题意得：A ＝{x ∈N *|x ≤3}＝{1，2，3}，B ＝{x|x 2﹣4x ≤0}＝{x|0≤x ≤4}，∴所以A ∩B ＝{1，2，3}，故选：A ．2．（4分）设i 为虚数单位，复数??=2+3??，则z 的共轭复数是（）A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i【解答】解：∵??=2+3??=(2+3??)(-??)-??2=3-2??，∴??=3+2??．故选：B ．3．（4分）设变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，则z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值为（）A ．2B ．4√55C ．4D ．165【解答】解：画出变量x ，y 满足约束条件{+??≥1，2??-??≤2，-??+1≥0，的可行域，可发现z ＝（x ﹣3）2+y 2的最小值是（3，0）到2x ﹣y ﹣2＝0距离的平方．取得最小值：(6-2√4+1)2=165．故选：D ．4．（4分）已知α为任意角，则“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【解答】解：若cos2α＝13，则cos2α＝1﹣2sin 2α，sin α＝±√33，则cos2α＝13”是“sin α＝√33”的不充分条件；若sin α＝√33，则cos2α＝1﹣2sin 2α，cos2α＝13，则cos2α＝13”是“sin α＝√33”的必要条件；综上所述：“cos2α＝13”是“sin α＝√33”的必要不充分条件．故选：B ．5．（4分）函数f（x）＝x2+e|x|的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：因为对于任意的x∈R，f（x）＝x2+e|x|＞0恒成立，所以排除A，B，由于f（0）＝02+e|0|＝1，则排除D，故选：C．6．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，则下列说法中错误的是（）A．线段PQ与平面CDD1C1可能平行B．当Q为线段B1C1的中点时，线段PQ与DD1所成角为4C．≥√2D．CD1与PQ不可能垂直【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段AD的中点，Q为线段B1C1的动点，在A中，当Q为线段B1C1中点时，线段PQ与平面CDD1C1平行，故A正确；在C中，当Q为线段B1C1的中点时，PQ∥DC1，∴线段PQ与DD1所成角为∠C1DD1=4，故B正确；在C中，PQ≥√2AB，当且仅当Q为线段B1C1的中点时取等号，故C正确；在D中，当Q为线段B1C1的中点时，PQ∥DC1，CD1与PQ垂直，故D错误．故选：D．7．（4分）已知0＜??＜23，随机变量ξ的分布列如图：则当a增大时，ξ的期望E（ξ）变化情况是（）ξ﹣101P13a b A．E（ξ）增大B．E（ξ）减小C．E（ξ）先增后减D．E（ξ）先减后增【解答】解：依题可知{()=-13+??+??=23，∴??(??)=-13+23-??，∴当a 增大时，ξ的期望E （ξ）减小．故选：B ．8．（4分）已知函数??(??)={2+4??+2，??≤02??，??＞0，且方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围为（）A ．(-154，0]B ．(-154，2]C ．[﹣4，+∞）D ．[﹣4，2）【解答】解：作出函数f （x ）的图象，方程f （x ）＝a 有三个不同的实数根即等价于函数y ＝f （x ）的图象与直线y ＝a 有三个交点A ，B ，C ，故有﹣2＜a ≤2，不妨设x 1＜x 2＜x 3，因为点A ，B 关于直线x ＝﹣2对称，所以x 1+x 2＝﹣4，﹣2＜log 2x 3≤2，即14＜x 3≤4，故-154＜x 1+x 2+x 3≤0．故选：A ．9．（4分）如图，在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．则（）A ．α≥β，β≤γB ．α≤β，β≤γC ．α≥β，β≥γD ．α≤β，β≥γ【解答】解：∵在三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是棱A 1C 1上的点，记直线AM 与直线BC 所成的角为α，直线AM 与平面ABC 所成的角为β，二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角为γ．∴根据最小角定理得α≥β，根据最大角定理得β≤γ．故选：A ．10．（4分）设数列{a n }满足a n+1＝a n 2+2a n ﹣2（n ∈N *），若存在常数λ，使得a n ≤λ恒成立，则λ的最小值是（）A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．1【解答】解：??+1-????=????2+????-2=(????+2)(????-1)，若a n ＜﹣2，则a n+1＞a n ，则该数列单调递增，所以无限趋于﹣2．若a n ＝﹣2，则a n+1＝a n ，则该数列为常数列，即a n ＝2．所以，综上所述，λ≥﹣2．∴λ的最小值是﹣2．故选：B．二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）过点P（1，1）作直线l与双曲线??2-22=??交于A，B两点，若点P恰为线段AB的中点，则实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12）．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入双曲线可得：{12-122=??22-222=??，两式相减可得：1-??2??1-??2=2(??1+??2)??1+??2，而由题意可得，x1+x2＝2×1＝2，y1+y2＝2×1＝2，所以直线AB的斜率k=1-??21-??2=2×２2=2，所以直线AB的方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1，代入双曲线的方程可得：2x2﹣4x+1+2λ＝0，因为直线与双曲线由两个交点，所以△＞0，且λ≠0，即△＝16﹣4×2×（1+2λ）＞0，解得：??＜12，所以实数λ的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，12），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，12）．12．（6分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为9．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：下底面为直角梯形，高为3的四棱锥体，如图所示：所以：V=13×12(2+4)×3×3=9，故答案为：913．（6分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝15，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝64．【解答】解：由（1﹣x）6的通项为??+1=??6(-??)??可得，令r＝2，即x2项的系数a2为??62=15，即a2＝15，由（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，取x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝[1﹣（﹣1）]6＝64，故答案为：15，64．14．（6分）在△ABC中，a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，则c＝√2．【解答】解：∵a＝1，cosC=34，△ABC的面积为√74，∴sinC=√１-2??=√74，可得√74=12absinC=√78ab，解得ab＝2，∴b＝2，∴由余弦定理可得c=√??2+??2-2=√12+22-2×1×2×34=√2．故答案为：√2．15．（4分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22+??2??2=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为B2，B1，若一个半径为√2b，过点B1，B2的圆M与椭圆的一个交点为P（异于顶点B1，B2），且|k1-k2|=89，则椭圆的离心率为2√23．【解答】解：设P（x0，y0），B1（0，﹣b），B2（0，+b），由|k1-k2|=89，|0-??-??0+????0|=89，∴|x0|=94b，由题意得圆M的圆心在x轴上，设圆心（t，0），由题意知：t2+b2＝2b2∴t2＝b2，∴MP2＝2b2＝（x0﹣t）2+y02，∴y02=716??2，P在椭圆上，所以81??216??2+716=1，∴a2＝9b2＝9（a2﹣c2），∴e2=89，所以离心率为2√23，故答案为：2√23．16．（4分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD＝60°，CB＝CD＝2√3．若点M为边BC上的动点，则→→的最小值为214．【解答】解：如图所示：以B为原点，以BA所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴，过点D做DP⊥x轴，过点D做DQ⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，==2√3，∴B（0，0），A（2，0），C（0，2√3），D（3，√3），设M（0，a），则→=（﹣2，a），→=（﹣3，a-√3），故→→=6+a（a-√3）=(??-√32)2+214≥214，故答案为：214．17．（4分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，且满足f（x）+xf'（x）＞0，则不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为（1，2）【解答】解：令g（x）＝xf（x），x∈（0，+∞）．g′（x）＝f（x）+xf'（x）＞0，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）即不等式（x+1）f（x+1）＞（x2﹣1）f（x2﹣1），x+1＞0．∴x+1＞x2﹣1＞0，解得：1＜x＜2．∴不等式f（x+1）＞（x﹣1）f（x2﹣1）的解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，△ABC的面积为2√2．（Ⅰ）求a及sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A-6）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b﹣c＝1，cosA=13，∴sinA=√１-2=2√23，∵△ABC的面积为12bc?sinA=22√23=√23bc＝2√2，∴bc＝6，∴b＝3，c＝2，∴a=√??2+??2-2=√9+4-2?3?2?13=3．再根据正弦定理可得=??，即32√23=2，∴sinC=4√29．（Ⅱ）∴sin2A＝2sinAcosA=4√29，cos2A＝2cos2A﹣1=-79，故cos（2A-6）＝cos2Acos6+sin2Asin??6=-79√32+4√29?12=4√2-7√318．19．（15分）如图，三棱锥D﹣ABC中，AD＝CD，AB＝BC＝4√2，AB⊥BC．（1）求证：AC⊥BD；（2）若二面角D﹣AC﹣B的大小为150°且BD＝4√7时，求直线BM与面ABC所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：取AC中点O，连结BO，DO，∵AD＝CD，AB＝BC，∴AC⊥BO，AC⊥DO，∵BO∩DO＝O，∴AC⊥平面BOD，又BD?平面BOD，∴AC⊥BD．（2）解：由（1）知∠BOD是二面角D﹣AC﹣B的平面角，∴∠BOD＝150°，∵AC⊥平面BOD，∴平面BOD⊥平面ABC，在平面BOD内作Oz⊥OB，则Oz⊥平面ABC，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得OB＝4，在△BOD中由余弦定理得OD＝4√3，∴A（0，﹣4，0），B（4，0，0），C（0，4，0），D（﹣6，0，2√3），∴M（﹣3，2，√3），→=（﹣7，2，√3），平面ABC 的法向量??→=（0，0，1），设直线BM 与面ABC 所成角为θ，则直线BM 与面ABC 所成角的正弦值为：sin θ＝|??→→||??→|?|→|=√3√56=√4228．20．（15分）在等差数列{a n }和正项等比数列{b n }中，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，数列{b n }的前n 项和为Sn ，且S 3＝14．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）令??=????，（﹣1）nd n ＝nc n +n ，求数列{d n }的前项和为T n ．【解答】解：（1）等差数列{a n }的公差设为d ，正项等比数列{b n }的公比设为q ，q ＞0，a 1＝1，b 1＝2，且b 1，a 2，b 2成等差数列，可得2a 2＝b 1+b 2，即2（1+d ）＝2+2q ，即d ＝q ，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，可得2+2q+2q 2＝14，解得q ＝2，d ＝2，则a n ＝2n ﹣1，b n ＝2n ；（2）??=?????=2n +1﹣1，（﹣1）n d n ＝nc n +n ＝n?2n+1，则d n ＝2n?（﹣2）n ，前项和为T n ＝2?（﹣2）+4?4+6?（﹣8）+…+2n?（﹣2）n ，﹣2T n ＝2?4+4?（﹣8）+6?16+…+2n?（﹣2）n+1，相减可得3T n ＝﹣4+2（4+（﹣8）+…+（﹣2）n ）﹣2n?（﹣2）n+1＝﹣4+2?4(1-(-2)-1)1-(-2)-2n?（﹣2）n+1，化简可得T n =-49-6??+29（﹣2）n+1．21．（15分）已知抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．（1）若点M 纵坐标为√2，求M 与焦点的距离；（2）若t ＝﹣1，P （1，1），Q （1，﹣1），求证：y A y B 为常数；（3）是否存在t ，使得y A y B ＝1且y P ?y Q 为常数？若存在，求出t 的所有可能值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）解：∵抛物线y 2＝x 上的动点M （x 0，y 0），过M 分别作两条直线交抛物线于P 、Q 两点，交直线x ＝t 于A 、B 两点．点M 纵坐标为√2，∴点M 的横坐标x M ＝（√2）2＝2，∵y 2＝x ，∴p=12，∴M 与焦点的距离为MF =??+2=2+14=94．（2）证明：设M （??02，??0），直线PM ：y ﹣1=0-102-1（x ﹣1），当x ＝﹣1时，??=0-10+1，直线QM ：y+1=??0+102-1（x ﹣1），x ＝﹣1时，y B =-??0-1??0-1，∴y A y B ＝﹣1，∴y A y B 为常数﹣1．（3）解：设M （??02，??0），A （t ，y A ），直线MA ：y ﹣y 0=0-????02-??（x ﹣y 02），联立y 2＝x ，得??2-02-??0-??????+??02-????0-??????0-??02=0，∴y 0+y p =??02-????0-????，即y P =??0????-????0-????，同理得y Q =0????-10-????，∵y A ?y B ＝1，∴y P y Q =??02-0(????+????)+??202-??0(????+????)+1，要使y P y Q 为常数，即t ＝1，此时y P y Q 为常数1，∴存在t ＝1，使得y A ?y B ＝1且y P ?y Q 为常数1．22．（15分）设函数f （x ）＝e x cosx ，g （x ）＝e 2x﹣2ax ．（1）当??∈[0，3]时，求f （x ）的值域；（2）当x ∈[0，+∞）时，不等式??(??)≥′(??)2??恒成立（f'（x ）是f （x ）的导函数），求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题可得f '（x ）＝e x cosx ﹣e x sinx ＝e x （cosx ﹣sinx ）．令f'（x ）＝e x （cosx ﹣sin x ）＝0，得??=4∈[0，??3]．当??∈(0，4)时，f'（x ）＞0，当??∈(??4，??3)时，f'（x ）＜0，所以??(??)=??(4)=√22??4，??(??)={??(0)，??(??3)}．因为??(3)=??32＞??332=??2＞1=??(0)，所以f （x ）min ＝1，所以f （x ）的值域为[1，√224]．（2）由??(??)≥′(??)2??得??2??-2≥-，即-+??2??-2≥0．设(??)=-+??2??-2，则?′(??)=2????+2??2??-2??．设φ（x ）＝h'（x ），则??′(??)=4??3??-2√2(??+4)．当x ∈[0，+∞）时，4e 3x ≥4，2√2(??+4≤2√2)，所以φ'（x ）＞0．所以φ（x ）即h'（x ）在[0，+∞）上单调递增，则h'（x ）≥h'（0）＝4﹣2a ．若a ≤2，则h'（x ）≥h'（0）＝4﹣2a ≥0，所以h （x ）在[0，+∞）上单调递增．所以h （xa ＞2）≥h （0）＝0恒成立，符合题意．若，则h'（0）＝4﹣2a ＜0，必存在正实数x 0，满足：当x ∈（0，x 0）时，h'（x ）＜0，h （x ）单调递减，此时h （x ）＜h （0）＝0，不符合题意综上所述，a 的取值范围是（﹣∞，2]．。

2020年浙江省高考数学模拟试卷（10）一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}，集合B ＝{x |x ﹣1≥0}，则∁R （A ∩B ）＝（ ） A ．（﹣∞，1）∪[3，+∞） B ．（﹣∞，1]∪[3，+∞）C ．（﹣∞，1）∪（3，+∞）D ．（1，3）2．（4分）若复数a−i 1+i为纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．iB ．0C ．1D ．﹣13．（4分）若实数x ，y 满足约束条件{2x +y −4≤0，x −y +4≥0，3x +2y −3≥0，则z ＝2x ﹣y 的最小值是（ ）A ．16B ．7C ．﹣4D ．﹣54．（4分）已知离散型随机变量X 的分布列为X 0123p8274929127则X 的数学期望E （X ）为（ ） A ．23B ．1C ．32D ．25．（4分）“a ≥3”是“x ＝1为函数f （x ）＝﹣x 3+12（a +3）x 2﹣ax ﹣1的极小值点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（4分）已知（1+x ）5＝a 0+a 1（1﹣x ）+a 2（1﹣x ）2+…+a 5（1﹣x ）5，则a 3＝（ ） A ．﹣40B ．40C ．10D ．﹣107．（4分）已知双曲线C 与双曲线x 22−y 26=1有公共的渐近线，且经过点P(−2，√3)，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．2√33C ．4D ．28．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为线段AA 1上的一个动点，F 为线段B 1C 1上的一个动点，则平面EFB 与底面ABCD 所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是（ ）A ．[0，√22]B ．[√32，√22]C ．[0，√33]D ．[0，√55]9．（4分）函数f(x)=(x−1x+1)e x 的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（4分）已知数列{a n }满足：a n ={2，n ≤5a 1a 2⋯a n−1−1，n ≥6（n ∈N *）．若正整数k （k ≥5）使得a 12+a 22+…+a k 2＝a 1a 2…a k 成立，则k ＝（ ） A ．16B ．17C ．18D ．19二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）某校高二理科学生期末数学考试成绩的频率分布直方图如图，则本次考试中该校高二理科学生数学成绩的中位数的估计值为 ．（精确到0.01）12．（6分）已知向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|＝1，a →⋅b →=1，则|a →+b →|＝ ，b →在a →上的投影等于 ．13．（6分）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 cm 3；表面积是 cm 2．14．（6分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A =2π3，a =√3，b ＝1，则sin B ＝ ，c ＝ ．15．（4分）已知实数x ，y 满足（2x ﹣y ）2+4y 2＝1，则2x +y 的最大值为 ． 16．（4分）将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2个球，丙、丁盒子均最多可放入1个球，且不同颜色的球不能放入同一个盒子里，共有 种不同的放法．17．（4分）已知点P 是直线y ＝x +1上的动点，点Q 是抛物线y ＝x 2上的动点．设点M 为线段PQ 的中点，O 为原点，则|OM |的最小值为 ． 三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，锐角α，β的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆O 的交点分别为P ，Q ．已知点P 的横坐标为35，点Q 的纵坐标为2√55． （Ⅰ）求cos2α值；（Ⅱ）求tan （2α﹣β）的值．19．（15分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1是菱形，D 为AB 的中点，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB =π2，∠ABB 1=π3，且AB ＝B 1C ．（1）求证：CD ⊥平面ABB 1A 1；（2）求CD 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值．20．（15分）已知数列{a n }是递增的等比数列，S n 是其前n 项和，a 2＝9，S 3＝39． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）记b n =2n−1a n，求数列{b n }的前n 项和T n ． 21．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为35，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，点P （5，4√2）为椭圆外的点，点F 2在线段PF 1的中垂线上． （1）求椭圆C 的方程；（2）点Q （m ，0）为椭圆C 的长轴上的一个动点，过点Q 且斜率为45的宜线l 交椭圆C于A 、B 两点，证明：|QA |2+|QB |2为定值． 22．（15分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax ． （1）当a ＝1时，判断函数f （x ）的单调性； （2）若f （x ）≤0恒成立，求a 的取值范围； （3）已知0＜a ＜b ＜e ，证明a b ＜b a ．2020年浙江省高考数学模拟试卷（10）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}，集合B ＝{x |x ﹣1≥0}，则∁R （A ∩B ）＝（ ） A ．（﹣∞，1）∪[3，+∞） B ．（﹣∞，1]∪[3，+∞）C ．（﹣∞，1）∪（3，+∞）D ．（1，3）【解答】解：∵A ＝（﹣1，3），B ＝[1，+∞）， ∴A ∩B ＝[1，3），∴∁R （A ∩B ）＝（﹣∞，1）∪[3，+∞）， 故选：A ． 2．（4分）若复数a−i 1+i为纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．iB ．0C ．1D ．﹣1【解答】解：复数a−i 1+i =(a−i)(1−i)(1+i)(1−i)=a−12−(a+1)2i 为纯虚数，∴a−12=0，−a+12≠0， 解得a ＝1． 故选：C ．3．（4分）若实数x ，y 满足约束条件{2x +y −4≤0，x −y +4≥0，3x +2y −3≥0，则z ＝2x ﹣y 的最小值是（ ）A ．16B ．7C ．﹣4D ．﹣5【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分）， 由z ＝2x ﹣y ，得y ＝2x ﹣z ，平移直线y ＝2x ﹣z ，由图象可知当直线y ＝2x ﹣z 经过点A 时，直线y ＝2x ﹣z 的截距最大，此时z 最小．由{x −y +4=03x +2y −3=0 得 {x =−1y =3，即A （﹣1，3），此时z 的最小值为z ＝﹣1×2﹣3＝﹣5， 故选：D ．4．（4分）已知离散型随机变量X 的分布列为X 0123p8274929127则X 的数学期望E （X ）为（ ） A ．23B ．1C ．32D ．2【解答】解：由离散型随机变量X 的分布列得： E （X ）=0×827+1×49+2×29+3×127=1． 故选：B ．5．（4分）“a ≥3”是“x ＝1为函数f （x ）＝﹣x 3+12（a +3）x 2﹣ax ﹣1的极小值点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：f ′（x ）＝﹣3x 2+（a +3）x ﹣a ＝（﹣3x +a ）（x ﹣1），令f ′（x ）＝0，则x =a3或x ＝1．当a3=1时，即a ＝3时，f ′（x ）＝﹣3（x ﹣1）2＜0，f （x ）单调递减，函数f （x ）无极小值点；当a3＞1时，即a ＞3时，当x ＜1时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减；当1＜x ＜a3时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ＞a3时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减； 故x ＝1为极小值点．当a3＜1时，即a ＜3时，当x ＜a 3时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减；当a3＜x ＜1时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ＞1时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减； 故x ＝1为极大值点．故“x ＝1为函数f （x ）＝﹣x 3+12（a +3）x 2﹣ax ﹣1的极小值点”⇔a ＞3故“a ≥3”是“x ＝1为函数f （x ）＝﹣x 3+12（a +3）x 2﹣ax ﹣1的极小值点”的必要不充分条件． 故选：B ．6．（4分）已知（1+x ）5＝a 0+a 1（1﹣x ）+a 2（1﹣x ）2+…+a 5（1﹣x ）5，则a 3＝（ ） A ．﹣40B ．40C ．10D ．﹣10【解答】解：已知(1+x)5=a 0+a 1(1−x)+a 2(1−x)2+⋯+a 5(1−x)5=[2﹣（1﹣x ）]5，则a 3=C 53•（﹣1）3•22＝﹣40， 故选：A ．7．（4分）已知双曲线C 与双曲线x 22−y 26=1有公共的渐近线，且经过点P(−2，√3)，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2B ．2√33C ．4D ．2【解答】解：根据题意，双曲线C 与双曲线x 22−y 26=1有公共的渐近线，设双曲线C的方程为x 22−y 26=t ，（t ≠0），又由双曲线C 经过点P （﹣2，√3），则有2−12=t ，则t =32， 则双曲线的C 的方程为x 22−y 26=32，即：x 23−y 29=1，其焦距c ＝2√3，a =√3，所以双曲线的离心率为：e =ca =2． 故选：D ．8．（4分）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为线段AA 1上的一个动点，F 为线段B 1C 1上的一个动点，则平面EFB 与底面ABCD 所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是（ ）A ．[0，√22]B ．[√32，√22]C ．[0，√33]D ．[0，√55]【解答】解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为线段AA 1上的一个动点， F 为线段B 1C 1上的一个动点，当F 与B 1重合时，平面EFB 即为平面ABB 1A 1，此时 平面EFB 与底面ABCD 所成的二面角的平面角为90°，余弦值为0， 当E 与A 重合，F 与C 1重合时，平面EFB 是平面ABC 1D 1，此时平面EFB 与底面ABCD 所成的锐二面角的平面角为45°，余弦值为√22． ∴平面EFB 与底面ABCD 所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是[0，√22]． 故选：A ．9．（4分）函数f(x)=(x−1x+1)e x的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【解答】解：当x →﹣∞时，e x →0+，x−1x+1=1−2x+1→1+，所以f （x ）→0+，排除C ，D ；因为x →+∞时，e x →+∞，x−1x+1=1−2x+1→1+，所以f （x ）→+∞，因此排除B ， 故选：A ．10．（4分）已知数列{a n }满足：a n ={2，n ≤5a 1a 2⋯a n−1−1，n ≥6（n ∈N *）．若正整数k （k ≥5）使得a 12+a 22+…+a k 2＝a 1a 2…a k 成立，则k ＝（ ） A ．16B ．17C ．18D ．19【解答】解：a n ={2，n ≤5a 1a 2⋯a n−1−1，n ≥6（n ∈N *），即a 1＝a 2＝a 3＝a 4＝a 5＝2，a 6＝a 1a 2a 3…a 5﹣1＝25﹣1＝31， n ≥6时，a 1a 2…a n ﹣1＝1+a n ， a 1a 2…a n ＝1+a n +1， 两式相除可得1+a n+11+a n=a n ，则a n 2＝a n +1﹣a n +1，n ≥6， 由a 62＝a 7﹣a 6+1， a 72＝a 8﹣a 7+1， …，a k 2＝a k +1﹣a k +1，k ≥5，可得a 62+a 72+…+a k 2＝a k +1﹣a 6+k ﹣5a 12+a 22+…+a k 2＝20+a k +1﹣a 6+k ﹣5＝a k +1+k ﹣16， 且a 1a 2…a k ＝1+a k +1，正整数k （k ≥5）时，要使得a 12+a 22+…+a k 2＝a 1a 2…a k 成立， 则a k +1+k ﹣16＝a k +1+1， 则k ＝17， 故选：B ．二．填空题（共7小题，满分36分）11．（6分）某校高二理科学生期末数学考试成绩的频率分布直方图如图，则本次考试中该校高二理科学生数学成绩的中位数的估计值为 115.83 ．（精确到0.01）【解答】解：由频率分布直方图得：频率在[50，110）的频率为：（0.0016+0.008+0.0084）×20＝0.36， 频率在[110，130）的频率为：0.024×20＝0.48，∴本次考试中该校高二理科学生数学成绩的中位数的估计值为： 110+0.5−0.360.48×20≈115.83． 故答案为：115.83．12．（6分）已知向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|＝1，a →⋅b →=1，则|a →+b →|＝ √7 ，b →在a →上的投影等于12．【解答】解：因为|a →|＝2，|b →|＝1，a →⋅b →=1， 所以：|a →+b →|2=a →2+2a →•b →+b →2=22+12+2×1＝7； ∴|a →+b →|=√7；∵b →的a →上的投影等于：|b →|cos θ=a →⋅b →|a →|=12； 故答案为：√7，12．13．（6分）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 8+4√23 cm 3；表面积是 20+4√3 cm 2．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为上面为正式棱锥体，下面为正方体的组合体，故V =2×2×2+13×2×2×√2=8+4√23． S =4×12×2×√3+5×2×2=20+4√3． 故答案为：8+4√23；20+4√3．14．（6分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A =2π3，a =√3，b ＝1，则sin B ＝12，c ＝ 1 ．【解答】解：∵在△ABC 中：A =2π3，a =√3，b ＝1， ∴由正弦定理得：asinA=b sinB=√3sin2π3=2，∴sin B =12，又∵a ＞b ，0＜B ＜π， ∴0＜B ＜2π3， ∴B =π6，又∵A +B +C ＝π， ∴C =π−2π3−π6=π6， ∴c ＝b ＝1， 故答案为：12；1．15．（4分）已知实数x ，y 满足（2x ﹣y ）2+4y 2＝1，则2x +y 的最大值为 √2 ．【解答】解：由题意可令{2x −y =sinα2y =cosα，则2x +y ＝sin α+cos α=√2sin(α+π4)， 结合正弦函数的性质可知，2x +y 的最大值√2 故答案为：√216．（4分）将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2个球，丙、丁盒子均最多可放入1个球，且不同颜色的球不能放入同一个盒子里，共有 20 种不同的放法． 【解答】解：（丙，丁）→（0，0）：A 22=2，（丙，丁）→（1，0）：C 21C 21=4， （丙，丁）→（0，1）：C 21C 21=4，（丙，丁）→（1，1）：A 22A 22（不同色）+C 21.3（同色）＝10，故共有：2+4+4+10＝20种．17．（4分）已知点P 是直线y ＝x +1上的动点，点Q 是抛物线y ＝x 2上的动点．设点M 为线段PQ 的中点，O 为原点，则|OM |的最小值为3√216． 【解答】解：如图：直线l 2：y ＝x +1，与直线l 2：y ＝x −14，（相切时最远），则M 点的轨迹在y ＝x +1−142上，所以|OM |的最小值为原点到直线y ＝x +38的距离：|OM|min =3√216．三．解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，锐角α，β的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆O 的交点分别为P ，Q ．已知点P 的横坐标为35，点Q 的纵坐标为2√55． （Ⅰ）求cos2α值；（Ⅱ）求tan （2α﹣β）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵锐角α，β的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆O 的交点分别为P ，Q ． 已知点P 的横坐标为35，点Q 的纵坐标为2√55，∴cos α=35，sin β=2√55， ∴cos2α＝2cos 2α﹣1=−725． （Ⅱ）由题意可得sin α=√1−cos 2α=45，cos β=√1−sin 2β=√55， ∴tan α=sinαcosα=43，tan β=sinβcosβ=2，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=−247， ∴tan （2α﹣β）=tan2α−tanβ1+tan2α⋅tanβ=3841．19．（15分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1是菱形，D 为AB 的中点，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB =π2，∠ABB 1=π3，且AB ＝B 1C ． （1）求证：CD ⊥平面ABB 1A 1；（2）求CD 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：∵D 为AB 中点，AC ＝BC ，∴CD ⊥AB ，连结B 1D ，如图，设AB ＝2a ，∵四边形ABB 1A 1是菱形，D 为AB 中点，∠ABB 1=π3， ∴B 1D =√3a ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =π2，CD ＝a ， ∴B 1D 2+CD 2=B 1C 2，∴CD ⊥B 1D ， ∵AB ∩B 1D ＝D ，∴CD ⊥平面ABB 1A 1． （2）解：设CD 与平面BCC 1B 1所成角为θ， 点D 到平面BCC 1B 1的距离为d ，AB ＝2a ， 由（1）知B 1D ⊥平面BCD ，则S △BCD =12a 2，∴V B 1−BCD =13×12a 2×√3a =√36a 3， ∵BC =√2a ，B 1B ＝B 1C ＝2a ，∴S △B 1BC =12×√2a ×√7√2=√72a 2， ∴V D−B 1BC =13×√72a 2d ， ∵V B 1−BCD =V D−B 1BC ，∴√36a 3=√76a 2d ， 解得d =√3√7，∴sin θ=dCD =√217．∴CD 与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为√217．20．（15分）已知数列{a n }是递增的等比数列，S n 是其前n 项和，a 2＝9，S 3＝39． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）记b n =2n−1a n，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解答】解：（1）数列{a n }是递增的等比数列，设公比为q ，由题意可得q ＞1， 由a 2＝9，S 3＝39，可得9q+9+9q ＝39，解得q ＝3或13（舍去），则数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2q n ﹣2＝9•3n ﹣2＝3n ；（2）b n =2n−1a n =（2n ﹣1）•（13）n ， T n ＝1•13+3•（13）2+5•（13）3+…+（2n ﹣1）•（13）n ， 13T n ＝1•（13）2+3•（13）3+5•（13）4+…+（2n ﹣1）•（13）n +1， 两式相减可得23T n =13+2[（13）2+（13）3+…+•（13）n ]﹣（2n ﹣1）•（13）n +1=13+2•19(1−13n−1)1−13−（2n ﹣1）•（13）n +1， 化简可得T n ＝1﹣（n +1）•（13）n ． 21．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为35，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，点P （5，4√2）为椭圆外的点，点F 2在线段PF 1的中垂线上． （1）求椭圆C 的方程；（2）点Q （m ，0）为椭圆C 的长轴上的一个动点，过点Q 且斜率为45的宜线l 交椭圆C于A 、B 两点，证明：|QA |2+|QB |2为定值． 【解答】解：（1）∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为35，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，点P （5，4√2）为椭圆外的点，点F 2在线段PF 1的中垂线上．∴{ ca =352c =√(5−c)2+(4√2−0)2a 2=b 2+c 2， 解得a ＝5，b ＝4，c ＝3， ∴椭圆C 的方程为x 225+y 216=1．证明：（2）点Q （m ，0）为椭圆C 的长轴上的一个动点，过点Q 且斜率为45的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则直线l 的方程为x =54y +m ，代入x 225+y 216=1，并整理得：25y 2+20my +8（m 2﹣25）＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2=−45m ，y 1y 2=8(m 2−25)25，又|QA |2＝（x 1﹣m ）2+y 12=4116y 12，同理，|QB |2=8(m 2−25)25，则|QA |2+|QB |2=4116（y 12+y 22）=4116[（y 1+y 2）2﹣2y 1y 2]=4116[（−4m5）2−16(m 2−25)25]＝41，∴|QA |2+|QB |2为定值41．22．（15分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax ． （1）当a ＝1时，判断函数f （x ）的单调性； （2）若f （x ）≤0恒成立，求a 的取值范围； （3）已知0＜a ＜b ＜e ，证明a b ＜b a ．【解答】解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝lnx ﹣x （x ＞0），则f ′(x)=1x −1=1−xx ， 令f ′（x ）＞0解得0＜x ＜1，令f ′（x ）＜0解得x ＞1， 故函数f （x ）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）； （2）f （x ）≤0恒成立即为a ≥lnxx ，设g(x)=lnx x (x ＞0)，则g ′(x)=1−lnxx 2， 令g ′（x ）＞0解得0＜x ＜e ，令g ′（x ）＜0解得x ＞e ，即函数g （x ）在（0，e ）上单增，在（e ，+∞）上单减，故g(x)max =g(e)=1e， ∴实数a 的取值范围为a ≥1e ；（3）证明：要证a b ＜b a ，即证blna ＜alnb ，即证lna a＜lnb b，由（2）知函数g(x)=lnxx 在（0，e ）上单增，又0＜a ＜b ＜e ，故lna a ＜lnb b，即得证．。

2020届高考数学模拟试卷（浙江省）一、单选题1．已知双曲线的左顶点与抛物线的22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的虚轴长为（ ） A ．1B ．2C ．4D．2．若43()5a =，33()5b =，335c log =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＞b ＞aB ．c ＞a ＞bC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c3．已知向量a ，b 满足()1,1a =，1b =，且22b a -=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若471027aa a ++=，则13(S = )A ．52B ．78C ．117D ．2085．在复平面内，复数z=(1-i)（i 是虚数单位）对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．函数()()23cos 2cos x xf x x x ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-++在[],ππ-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．7．已知集合{}2|430,{|215}M x x x N x x =-+<=+<，则M N ⋃=（ ） A ．{}|3x x > B ．{}|2x x > C ．{}|3x x < D ．{}|2x x <8．函数()()221f x x a x =-+- 与()11a g x x -=+这两个函数在区间[]12，上都是减函数的一个充分不必要条件是实数a 的范围是 ( )A ．()()2,11,2--⋃B ．()()1,00,2-⋃C ．()1,2D ．(]1,29．下列命题中错误的是（ ）A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 10．设数列｛n a ｝的前n 项和n s =2n ，则8a 的值为 A ．15 B ．16C ．49D ．64二、双空题11．如图，高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型，它是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行，水平间隔相等的圆柱形铁钉，并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央，从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁钉，如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球，那么，小球落入1号容器的概率是______，若取4个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为x ，则x 的数学期望是______.12．计算cos 75=________；sin14cos16sin 76cos74+的值是_________. 13．已知6625601256(1)(2)x x a a x a x a x a x +-+=+++++，则6a =_____，01256a a a a a +++++=_______.14．设变量x 、y 满足约束条件202010x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥⎩，则目标函数24=y x z 的最大值为______，最小值为______.三、填空题15．设,,a b c 是正实数，满足b c a +≤，则()2bca b +的最大值为_______．16．已知点A 是抛物线214y x =的对称轴与其准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足||||PF m PA =，当m 取最小值时，点P 恰好在以A ，F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为__________.17．3476A C -=______．四、解答题18．设函数()1xaf x e x=+-，()0,x ∈+∞，e 为自然对数的底数. （1）讨论()f x 的极值点个数； （2）当12a ≥，()0,x ∈+∞时，证明：()()1a x f x x-<. 19．（本小题满分13分）已知椭圆：（）的右焦点为，且过点(2√3,0)． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线l:y =x +m(m ∈R)与椭圆交于不同两点、，且|AB|=3√2．若点P(x 0,2)满足|PA⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，求x 0的值． 20．已知函数()2sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）若点(1,P 在角α的终边上,求sin α和6f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； （2）求使()1f x ≥成立的x 的取值集合； （3）若对任意实数,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()2f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围. 21．已知四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PB 上任意一点，O 为菱形对角线的交点，如图所示． （1）求证：平面EAC ⊥平面PBD ；（2）若60BAD ∠=︒，当四棱锥的体积被平面EAC 分成3:1两部分时，若二面角B AE C --的大小为45︒，求:PD AD 的值．22．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS )和严重急性呼吸综合征(SARS )等较严重疾病.而今年出现的新型冠状病毒(nCoV )是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状､发热､咳嗽､气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎､严重急性呼吸综合征､肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有()*n n ∈N 份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n 次.方式二：混合检验，将其中*(k k N ∈且k ≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为k +1.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p (0<p <1).现取其中*(k k N ∈且k ≥2)份血液样本，记采用逐份检验，方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ. （1）若12()()E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式p =f (k ). （2）若p 与干扰素计量n x 相关，其中12,,,,(n x x x n ≥2)是不同的正实数，满足x 1=1且13122311()n nn n x x e ex x -++-=-. (i )求证：数列{}n x 为等比数列； (ii )当1p =次数的期望值更少，求k 的最大值.参考答案1．B根据交点坐标可确定准线，从而求得p ；利用双曲线左顶点与抛物线焦点的距离可求得a ；将交点坐标代入渐近线方程可求得b ，进而得到所求虚轴长. 由题意知：22p-=- 4p ∴= 设双曲线方程为：()222210,0x y a b a b -=>>，则其渐近线方程为：b y x a =±242pa a ∴+=+= 2a ∴= 将()2,1--代入渐近线方程b y x a=得：1b -=-，即1b = 将()2,1--代入渐近线方程b y x a=-得：1b =-，舍去∴双曲线的虚轴长为：22b =本题正确选项：B本题考查抛物线、双曲线性质的应用问题，属于基础题. 2．D已知43()5a =，33()5b =，底数相同，故可以构造函数3()5xy = ，这个函数是减函数，x 越大函数值越小，故0b a >＞ ，而335c log =，底数和真数异侧，故0c < ，故得到b ＞a ＞c. 故答案选D. 3．A先求出向量a 的模，然后对22b a -=两边平方，得到向量的数量积，最后根据夹角公式求解.解：因为()1,1a =，所以=2a ， 因为22b a -=，所以22442b a b a -⋅+=，即22442b a b a -⋅+=，因为=2a ，1b =，所以4422a b -⋅+=，得1a b ⋅=，设向量a 与b 的夹角为θ，则cos 22a b a bθ⋅===， 故选：A此题考查平面向量的夹角的计算，属于基础题. 4．C由等差数列{}n a 的性质可得：471073aa a a ++=，解得7.a 再利用求和公式即可得出． 由等差数列{}n a 的性质可得：47107273aa a a ++==，解得79a =．则()11313713131172a a S a +===．故选C ．本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5．C由复数与复平面内的点一一对应，即可求出结果. 由1z i =-知其对应点为()1,1P -，而点P 在第三象限；故正确答案为C本题考查复数的几何意义，熟记几何意义即可，属于基础题型. 6．D化简函数的解析式，判断函数的奇偶性，排除选项，通过特殊值判断选项即可．函数()()223cos sin 2cos cos x xx x f x x x x x ππ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭==-+++，函数是奇函数，排除选项A ， 当2x π=时，()21204f x ππ+=>，排除选项C ：当x π=时，()201f x ππ=>-，排除选项B .所以函数的图象只有D 满足 故选：D .本题考查函数的图象的判断与应用，诱导公式的应用，考查转化思想以及计算能力． 7．C利用一元二次不等式的解法化简集合M ，再由交集的意义,取M 、N 的公共部分,可得答案. 因为{}2|430{|13}M x x x x x =-+<=<<,215x +<的解为2x <，,则{}{}|215|2N x x x x =+<=<,由交集的意义,可得{}|3M N x x =<.故选C.本题考查交集的运算,这是集合内容的基本要求,注意计算必须准确,其次集合的形式表示必须正确. 8．C根据二次函数和反比例函数的性质得a-1且a-1>0，取交集即可. 函数()()221f x x a x =-+- 与()11a g x x -=+这两个函数在区间[]12，上都是减函数 则根据二次函数的性质得到a-11≤,根据反比例函数的性质得到a-1>0两者取交集得到12a <≤,充分不必要条件是实数a 的范围比12a <≤这一范围小就可以了. 故可以是：()1,2.故答案为：C这个题目考查了函数单调性的应用，考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，难度中档；注意二次函数的单调性和对称轴有关，反比例和x 的系数有关. 9．D 由题意可知：A 、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；B 、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立；C 、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l 的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l 平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；D 、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误． 故选D ． 10．A利用887a S S =-求解即可. 因为数列｛｝的前n 项和n s =2n ，所以878644915a S S =-=-=， 故选：A.本题主要考查本题主要考查数列的通项公式与前n 项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前n 项和，求数列通项公式，常用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.11．1161 要使小球落入1号容器，则每一层小球必须向左，而每一层小球向左、向右的概率均为12；小球落入4号容器，则四层中小球有三层向右，一层向左，故每个小球落入4号容器的概率为34411()24C =，写出随机变量所有可能的取值，再算出相应的概率，利用期望公式计算即可.要使小球落入1号容器，则每一层小球必须向左，故概率为411216⎛⎫= ⎪⎝⎭；小球落入4号容器，则四层中小球有三层向右，一层向左，故每个小球落入4号容器的概率为34411()24C =，由题意知，0,1,2,3,4x =. 4181(0)(1)4256P x ==-=，13411108(1)(1)44256P x C ==⨯⨯-=; 22241154(2)()(1)44256P x C ==-=，33141112(3)()(1)44256P x C ==-=；44411(4)()4256P x C ===. 10854121()12341256256256256E x =⨯+⨯+⨯+⨯=.故答案为： (1). 116； (2). 1 本题考查独立事件的概率以及离散型随机变量的期望，考查学生的运算求解能力，是一道中档题. 1212空1；根据两角和的余弦公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可；空2：根据诱导公式，逆用两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可. 空1：231cos 75cos(4530)cos 45cos30sin 45sin 3022224=+=-=⨯-⨯= 空2：1sin14cos16sin 76cos74sin14cos16cos14sin16sin(1416)sin 30.2+=+=+==；12本题考查了余弦两角和公式的应用，考查了逆用两角和的正弦公式求值，考查了特殊角的三角函数值，考查了数学运算能力. 13．0 665根据其特点可知6a 为6x 的系数，把第二问所求去掉绝对值符号发现各项为负，令1x =即可求解． 因为6625601256(1)(2)x x a a x a x a x a x +-+=+++⋯++，令1x =可得：660125623665a a a a a +++⋯⋯++=-=-. 所以：666660a C C =-=；060066263a C C =-⋅=-； 1511662186a C C =-=-； 22422662225a x C C +=-=-；……5556626a C C =-⋅=-； 60666620a C C =-⋅=；故0125601256665a a a a a a a a a a +++++=------=.故答案为：0，665.本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题． 14．8116作出不等式组所表示的可行域，平移直线2t y x =-，观察该直线在y 轴截距最大和最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可得解.作出不等式组202010x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立120x x y =-⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，即点()1,1C -；联立200x y y +-=⎧⎨=⎩，解得20x y =⎧⎨=⎩，即点()2,0A .令2t y x =-，则22224yy x t x z -===，平移直线2t y x =-，当直线2t y x =-经过可行域的顶点A 时，直线2t y x =-在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即022min 1216z -⨯==； 当直线2t y x =-经过可行域的顶点C 时，直线2t y x =-在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即()121max 28z -⨯-==.故答案为：8；116. 本题考查指数型线性目标函数最值的求解，一般利用平移直线的方法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题. 15．18由题意可得2222()(2)4448a b b c b bc c bc bc +≥+=++≥=，当且仅当224b c =且+=b c a ，即2bc 且+=b c a 时等号成立。

2020年浙江省第二次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合y x y x M ,|),{(=为实数,且}222=+y x ,y x y x N ,|),{(=为实数, 且}2=+y x ,则N M 的元素个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．若复数满足3(1)12i z i +=-,则z 等于（ ）A ．32 C ．2D ．123. 已知直线l 和平面,αβ，且l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 函数1tan()23y x π=+的最小正周期为（ ） A.4π B. 2πC. πD. 2π5. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A. 12B. 24C. 48D. 966. 函数x x x x x f 22cos 3cos sin 2sin )(++=的最小正周期和最小值分别是（ ） A. π，0B. 2π，0C. π，22-D. 2π，22-7.如图所示，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）B.3D.838. 已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为（ ）A. B.C. D.9. 若x 、y 满足约束条件，则z=3x-2y 的最小值为（ ）A. B. C. D. 510. 设，则的大小关系为（ ）A. B.C.D.11.直线是抛物线在点处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于( ) A.B.C.D.12. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是( ）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【2020年高考数学预测题】浙江省高考数学试卷3【附详细答案和解析_可编辑】 真水无香陈 tougao33学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ， ）1. 已知全集U =R ，集合A ={x||x −1|<1}，B ={x |2x−5x−1≥1}，则A ∩∁U B =（ ） A.{x|1<x <2} B.{x|1<x ≤2}C.{x|1≤x <2}D.{x|1≤x <4}2. 下列关于双曲线Γ：x 26−y 23=1的判断，正确的是（ ）A.渐近线方程为x ±2y ＝0B.焦点坐标为(±3, 0)C.实轴长为12D.顶点坐标为(±6, 0)3. 已知x 、y 满足{x −y ≥0x +y −4≥0x ≤4，则3x −y 的最小值为（ ）A.4B.6C.12D.164. 某几何体的三视图如图所示(图中小正方形网格的边长为1)，则该几何体的体积是( )A.8B.6C.4D.25. 已知非零向量a →，b →，给定p:∃λ∈R ，使得a →=λb →,q:|a →+b →|=|a →|+|b →|，则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 设函数f(x)=|2x −1|，c <b <a ，且f(c)>f(a)>f(b)，则2a +2c 与2的大小关系是（ ） A.2a +2c >2 B.2a +2c ≥2 C.2a +2c ≤2 D.2a +2c <27. （2018年浙江高考数学理科）设0<p <1，随机变量ξ的分布列则当p 在(0,1)内增大时，（ ） A.D(ξ)减小 B.D(ξ)增大 C.D(ξ)先减小后增大 D.D(ξ)先增大后减小8. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 是线段AB 上的点（含端点），设D 1E 与AD 所成的角为α，D 1E 与底面ABCD 所成的角为β，二面角D 1−AE −D 的平面角为γ，则（ ）A.β≤α≤γB.α≤β≤γC.α≤γ≤βD.β≤γ≤α9. 设x ，y ∈R ，且满足{(x −2)3+2x +sin (x −2)=2(y −2)3+2y +sin (y −2)=6，则x +y =( )A.1B.2C.3D.410. 1772年德国的天文学家J ．E ．波得发现了求太阳的行星距离的法则．记地球距离太阳的平均距离为10，可以算得当时已知的六大行星距离太阳的平均距离如表：除水星外，其余各星与太阳的距离都满足波得定则（某一数列规律），当是德国数学家高斯根据此定则推算，火星和木星之间距离太阳28还有一颗大行星，1801年，意大利天文学家皮亚齐用过观测，果然找到了火星和木星之间距离太阳28的谷神星以及它所在的小行星带．请你根据这个定则，估算从水星开始由近到远算，第10个行星与太阳的平均距离大约是（ ）A.388B.772C.1540D.3076二、 填空题 （本题共计 7 小题 ，每题 5 分 ，共计35分 ， ）11. 已知复数z 1=1−i ，z 1⋅z 2=1+i ，则复数z 2=________，|z 2|=________．12. 已知AC 、BD 为圆O:x 2+y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1, √2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为________．13. 二项式(x 3+1x 2)n 的展开式中，只有第6项的系数最大，则该展开式中的常数项为________．14. 在△ABC 中，∠ABC =90∘,AB =4,BC =3，点D 在线段AC 上，若∠BDC =45∘，则cos ∠ABD =________.15. 已知圆C:x 2+(y −4)2＝4与双曲线E:x 2a2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的渐近线相切，则双曲线的离心率为________．16. 不等式|x +3|−|x −1|≤a 2−5a 的解集非空，则实数a 的取值范围是________．17. 已知平面向量a →，b →，c →，满足|a →|＝|b →|＝|a →−b →|＝|a →+b →−c →|＝1，则|c →|的最大值为M ＝________．三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 14 分 ，共计70分 ， ）18. 已知向量a →=(2sin (π4+x),−√3) ，b →=(sin (π4+x),cos 2x)，设函数f (x )=a →⋅b →．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈[π4,π2]，不等式|f (x )−m|<2恒成立，求实数m 的取值范围．19. 如图，已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1，平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∠ABC =90∘，∠BAC =30∘，A 1A =A 1C =AC ，E, F 分别是AC ，A 1B 1的中点.(1)证明：EF ⊥BC ；(2)求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.20. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=4,a 4=S 3.数列{b n }满足：对每个n ∈N ∗,S n +b n ,S n+1+b n ,S n+2+b n 成等比数列. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记c n =√an2b n, n ∈N ∗，证明： c 1+c 2+⋯+c n <2√n,n ∈N ∗.21. 已知以F 为焦点的抛物线C:y 2=2px (p >0) 过点P (1,−2)，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 中点，且OM →+OP →=λOF →. (1)当λ=3时，求点M 的坐标；(2)当OA →⋅OB →=12 时，求直线l 的方程．22. 已知函数 f(x)=ln x −ax +1 ,其中a 为实常数. (1)求函数f (x )的单调区间; (2)对任意不同的两点A(x 1,f(x 1)), B(x 2,f(x 2)) ,设直线AB 的斜率为k ，若x 1+x 2+k >0 恒成立，求a 的取值范围．参考答案与试题解析【2020年高考数学预测题】浙江省高考数学试卷3【附详细答案和解析_可编辑】一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ） 1.【答案】 【解答】 此题暂无解答 2.【答案】 B【解答】关于双曲线Γ：x 26−y 23=1，a 2＝6，b 2＝3，c 2＝9，则渐近线方程为x ±√2y ＝0；焦点为(±3, 0)；实轴2a ＝2√6，顶点坐标为(±√6, 0)． 3.【答案】 【解答】 此题暂无解答4.【答案】 B【解答】解：根据三视图可知，该几何体是一个上下底面都是直角梯形的直棱柱， 所以该几何体的体积为V =(2+1)×22×2=6.故选B . 5.【答案】 B 【解答】解∶命题q:|a →+b →|=|a →|+|b →|成立的条件是，a →与b →共线且方向相同， 命题p:∃λ∈R ，使a →=λb →成立条件是，a →与b →共线 . 综上可知，p 是q 的必要不充分条件 . 故选B . 6.【答案】 D【解答】解：f(x)=|2x−1|={2x −1，x ≥01−2x，x <0，作出f(x)=|2x −1|的图象如图所示，由图可知，要使c <b <a 且f(c)>f(a)>f(b)成立， 则有c <0且a >0， 故必有2c <1且2a >1，又f(c)−f(a)>0，即为1−2c −(2a −1)>0， ∴ 2a +2c <2．故选：D ．7.【答案】 D【解答】设0<p <1，随机变量ξ的分布列是 E (ξ)=0×1−p 2+1×12+2×p 2=p +12；方差是D (ξ)=(0−p −12)2×1−p 2+(1−p −12)2×12+(2−p −12)2×p2=−p 2+p +14=−(p −12)2+12，∴ p ∈(0,12)时，D(ξ)单调递增； p ∈(12,1)时，D(ξ)单调递减；∴ D(ξ)先增大后减小．8.【答案】D【解答】解：正方体AC 1中，AD//A 1D 1，设棱长为2， ∴ ∠A 1D 1E 是异面直线D 1E 与AD 所成角．易求D 1E =√D 1D 2+DE 2=√D 1D 2+AD 2+AE 2=3 A 1E =√A 122=√5 Rt △D 1A 1E 中，sin∠A 1D 1E =A 1ED 1E =√53即sinα=√53易知∠D1ED为D1E与平面ABCD所成角Rt△D1DE中sin∠D1ED=D1DDE =23即sinβ=23由AB⊥面A1ADD1∴ ∠D1AE二面角D1AED的平面角∴ sin∠D1AE=D1DAD1=√22即sinγ=√2 2∴ α，β，γ均为锐角，∴ sinβ<sinγ<sinα，∴ β<γ<α．故选D．9.【答案】D【解答】解：∵(x−2)3+2x+sin(x−2)=2，∴(x−2)3+2(x−2)+sin(x−2)=2−4=−2，∵(y−2)3+2y+sin(y−2)=6，∴(y−2)3+2(y−2)+sin(y−2)=6−4=2，设f(t)=t3+2t+sin t，则f(t)为奇函数，且f′(t)=3t2+2+cos t>0，即函数f(t)单调递增．由题意可知f(x−2)=−2，f(y−2)=2，即f(x−2)+f(y−2)=2−2=0，即f(x−2)=−f(y−2)=f(2−y)，∵函数f(t)单调递增∴x−2=2−y，即x+y=4，故选：D．10.【答案】B 【解答】设从金星开始各星与太阳的距离构成数列{a n}，则a1＝7，a2＝10，a3＝16，a4＝28，a5＝52，a6＝100，∴a2−a1=3=3×20，a3−a2=6=3×21，a4−a3=12=3×22，a5−a4=24=3×23，……，依此类推：a n−a n−1=3×2n−2，累加得：a n−a1=3×(20+21+22+23+⋯+2n−2)=3×2n−1−3，∴a n=3×2n−1+4，则从水星开始由近到远算，第10个行星与太阳的平均距离为a9＝3×256+4＝772，二、填空题（本题共计 7 小题，每题 5 分，共计35分）11.【答案】i,1【解答】复数z1=1−i，z1⋅z2=1+i，可得z2=1+i1−i=(1+i)(1+i)(1−i)(1+i)=2i2=i，|z2|=1，12.【答案】5【解答】如图连接OA、OD作OE⊥ACOF⊥BD垂足分别为E、F∵AC⊥BD∴四边形OEMF为矩形已知OA＝OC＝2 OM=√3，设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，则d12+d22＝OM2＝3．四边形ABCD的面积为：s=12⋅|AC|(|BM|+|MD|)，从而：s=12|AC|⋅|BD|=2√(4−d12)(4−d22)≤8−(d12+d22)=5，当且仅当d12＝d22时取等号，13.【答案】210【解答】解：展开式的通项为T r+1=C n r x3n−5r。

•选择题（共 1. （3分）已知 A . 1+3i2. 3. 4. 5. 6. 7. 2020年浙江省高考数学模拟试卷（11）10小题，满分30分，每小题3分） i 为虚数单位，复数 z =（ 1 + i ） （2+i ）,则其共轭复数（ ） （3分）已知集合 A • (1, 2](3 分) =( (3 分)B . 1 - 3iC •- 1+3iD . - 1 - 3i ??-3M Tx 芮 B . [1 , 在厶ABC 中，点M , X)｝ , N = ｛x|y=辺-??，则(？R M )A N =( ) 2] C . (2, 3] D • [2 , 3] N 满足????= 2???? 1B .-2 已知函数 f (x )= e |x| - e -|x|，则 f (x )( A .是奇函数，且在（0,B .是奇函数，且在（0,C .是偶函数，且在（0,D .是偶函数，且在（0,C . ????= ????若????= x???? y???,?则 x+y + m) + m) + m) + m) 上单调递增 上单调递减 上单调递增上单调递减 （3分）已知平面 a 丄平面 3,直线 m?a, A .充分不必要条件 C .充要条件 （3分）已知（1+x ） n 展开式中第 数和为（ 14 A . 2 B . 213(3 分)从集合｛A , B , C , D , E , 排成一排（字母和数字均不能重复） 排法种数为（ A . 85 B . 95 5项与第 aA 3= l ，则"m i l ” 是"m 丄 3” 的( ) B .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件9项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系12C . 211D . 2F ｝和｛1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9｝中各任取2个元素 .则每排中字母 C 和数字4, 7至少出现两个的不同C . 2040D . 2280（3分）如图所示，三棱锥 P - ABC 的底面在平面 a 内，且 AC 丄PC ,平面FAC 丄平面PBC ，点P , A , B 是定点，则动点 C 的轨迹是（一个圆一个圆，但要去掉两个点分)以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线,?? ??称它们互为共轭双曲线.设双曲线 C i :瘫-= 1 (a > 0, b > 0)与双曲线 C 2互为共B . e i ?e 2的最小值是 2C . e i 2+e 22= 11 1 D. ??2+??3 = 110. (3分)设函数f ( x )的定义域为 D ，若满足条件：存在[m , n]? D ，使f ( x )在[m , n] 上的值域为[km , kn] (k €R 且k > 0),则称f (x )为"k 倍函数”，给出下列结论:①??(??= ?是“ 1倍函数”；②f (x ) = x 2是“ 2倍函数”；③f (x ) = e x 是“ 3倍函数”.其 中正确的是( )A .①②B .①③C .②③D .①②③二•填空题(共7小题，满分21分，每小题3分)11. (3分)若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的6个小球，其中红球有 2个，白球有4个，每次取两个，取后放回，连续取三次，设随机变量 E 表示取出后都是白球的次数，则E ( $ = __________ .12. (3分)《九章算术》中有这样的描述：“今有城下广四丈， 上广二丈，高五丈，袤四丈”， 其中“广”是东西走向的意思， “袤”是南北走向的意思.若有几何体的三视图如图，则 该几何体的体积为 ________ ，表面积为 ______ (不需填单位).一条直线B .9.( 3 轭双曲线，它们的离心率分别为e i 、e 2•以下说法错误的是(A . C i 、C 2的渐近线方程都是??y =± ????13. （3分）已知抛物线 C : y 2= 4x 的焦点为F ,斜率为2的直线1与C 的交点为A , B ,若|AF|+|BF|= 5，则直线l 的方程为?2 1 > 0??+??-214. (3分)若实数x , y 满足约束条件｛??■ ??W 0 ，则 ----- 的最小值为??+ ??- 3 W 0 ??15. (3分)数列｛a n ｝满足 a 1+2a 2+3a 3+ …+na n = 2n- 1(n€N )」U, a n =17. （3分）已知△ ABC 中，AB = BC ,点D 是边BC 的中点，△ ABC 的面积为 2,则线段 AD 的取值范围是 三•解答题（共5小题）18. 已知函数？？（？？= ??????初？？？？?？?1?.若存在n €N使得a n W ?穿？入成立,则实数入的最小值为16. （3分）已知可导函数f （x ）的定义域为（-a,0）,其导函数f' （x ）满足2f （x ） +xf（x ）＞x 2,则x+2018) 2f (x+2018) -f (- 1 )< 0的解集为??（1）求？?£）的值;（2）求f （x）的最小正周期及单调递增区间.??19. 如图①，平行四边形ABCD中，AB = 4, AD = 2,Z ABC= -, E为CD中点•将△ ADE沿AE折起，使平面ADE丄平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P-ABCE .(2)求直线PB 与平面PCE 所成角的正弦值.20. 已知数列｛a n ｝的前 n 项和为 Si , a i = 2 , ???= (2??+1- 2)???+「(1 )求a 2及数列｛a n ｝的通项公式;1 1 (2)若???= ????(????? ???，???=荡+ 求数列｛c n ｝的前 n 项和 T n .焦点为F .过点A 且斜率为k ( k >0)的直线交椭圆 C 于另一点P . (1)求椭圆C 的离心率； (2 )若??= 2，求―的值；(3)设直线l : x = 2t ,延长AP 交直线I 于点Q ,线段BQ 的中点为E ,求证：点B 关于21.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆？??? 4?? +2=1(??> 0)的左、右顶点为 3??A ,B ,右22.已知函数 f (x )= e x - ax 2, g (x )= ax (lnx - x ),其中常数 (I)当x € (0, +s)时，不等式f (x )> 0恒成立，求实数a 的取值范围;??(n)若 a € (0, 了］，且 x > 0,求证：f (x )> g (x ).a€R .直线EF 的对称点在直线PF 上.2020年浙江省高考数学模拟试卷（11）参考答案与试题解析•选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1. ( 3分)已知i为虚数单位，复数z=( 1 + i) (2+i),则其共轭复数( )A . 1+3iB . 1 - 3i C.—1+3i D. - 1 - 3i【解答】解：I z=( 1 + i) (2+i)= 2+i+2i - 1= 1+3i,••• ??= 1 - 3??故选：B.??-3 ____2. ( 3 分)已知集合M = {x| X)} , N= {x|y=辺-??，则(?R M)n N =( )??-1A • (1, 2]B . [1 , 2] C. (2, 3] D. [2 , 3]??-3【解答】解：集合M = {x| X0}={x|x v 1或x> 3},??-1N = {x|y=辺-?? = {x|2 -x> 0} = {x|x< 2},则?R M = {x|1< X V 3},所以(？R M)n N = {x|1<X W 2} = [1 , 2].???? ????若????= x???? y????则x+y 故选：B.3. ( 3 分)在厶ABC 中，点M , N 满足????= 2????=( )1 1A. B. C.3 2— -【解答】解：△ ABC 中，点M , N 满足????= 2???? ????= ????所以????= ???卞???=齐？？+1????1 — 1 ——=丄？？？？丄(???? ???) ^3 ^2=1?-?? 1?-??2 6又????= x???? y???,? 所以x= 1, y= - 6, 所以x+y= 1.3故选：A.4. （ 3 分）已知函数 f （x ）= e |x| - e 「|x|，则 f （x ）（）A .是奇函数，且在（0, +s ）上单调递增B .是奇函数，且在（0, +R ）上单调递减C .是偶函数，且在（0，+8）上单调递增D .是偶函数，且在（0, +m）上单调递减 【解答】解:J f （x ）= e W - e -X|,则f （- x ）= f （x ）,即f （x ）为偶函数， 当x > 0时，f （ x ） e x - e -x 单调递增，故选：C .5. （ 3分）已知平面 a 丄平面直线m?a, an 3= l ，则“ m 丄I ”是“ m 丄B”的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【解答】解：•••平面a 丄平面3,直线m? a , an 3= I , m 丄I ,•••两个平面垂直，一个平面内垂直于交线的直线垂直与另外一个平面，则 m 丄3,•.•平面 a 丄平面 3,直线 m? a , an 3= I , m 丄3,•两个平面垂直，一个平面内的直线垂直于另外一个平面，则垂直与交线，则m i l , 故选：C .数和为（（1+x ） 12的展开式中奇数项的二项式系数和为：1X 212= 21126. （3分）已知（1+x ） n展开式中第5项与第9项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系A . 214B . 213C . 212D . 211【解答】解：已知（ 1+x ） n 的展开式中第5项与第9项的二项式系数相等, 可得？n >4= ?n 8,可得 n = 4+8= 12.故选：D.7. （3 分）从集合｛A, B, C, D, E, F｝和｛1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9｝中各任取2 个元素排成一排（字母和数字均不能重复）.则每排中字母C和数字4, 7至少出现两个的不同排法种数为（）A. 85B. 95C. 2040D. 2280【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4, 7至少出现两个，若字母C和数字4, 7都出现，需要在字母A, B, D , E, F中选出1个字母，有5种选法，若字母C和数字4出现，需要在字母A, B, D , E, F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5X 7= 35种选法，若字母C和数字7出现，需要在字母A, B, D , E, F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5X 7= 35种选法，若数字4、7出现，需要在字母A, B, D , E, F中选出2个字母，有C52= 10种选法，则有5+35+35+10 = 85种选法，②，将选出的4个元素全排列，有A44= 24种情况，则一共有85X 24= 2040种不同排法；故选：C.& （ 3分）如图所示，三棱锥P - ABC的底面在平面PBC，点P, A, B是定点，则动点C的轨迹是（B .一条直线C .一个圆D •一个圆，但要去掉两个点【解答】解：•••平面FAC丄平面PBC,而平面PAC门平面PBC = PC,又AC?面PAC,且AC丄PC,「. AC丄面PBC,第7页（共17页）a内，且AC丄PC,平面FAC丄平面）而 BC?面 PBC ,「. AC 丄 BC , •••点C 在以AB 为直径的圆上， •••点C 的轨迹是一个圆，但是要去掉A 和B 两点.9. ( 3分)以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线， ?? ??称它们互为共轭双曲线.设双曲线C i :瘫-??2 =1 (a > 0, b > 0)与双曲线 C 2互为共轭双曲线，它们的离心率分别为 e i 、e 2.以下说法错误的是( )B . e i ?e 2的最小值是 2C . e i 2+e 22= 1i iD .卒+?? = i??故他们的渐近线方程均为 y =± - ？？故A 正确; ????+?¥=~^?T ，?? ??根据e i 、e 2都是大于i 的正数，得e i 2e 22= e i 2+e 22> 2e i e 2, 两边约去e i e 2,得e i e 2>2，故B 正确; 故选：C .i0. (3分)设函数f (x )的定义域为 D ，若满足条件：存在[m , n]? D ，使f (x )在[m , n] 上的值域为[km , kn] (k €R 且k > 0),则称f (x )为"k 倍函数”，给出下列结论:①??(??= ?是“ 1倍函数”;②f( x ) = x 2是“ 2倍函数”；③f (x ) = e x 是“ 3倍函数”.其 中正确的是(A . C i 、C 2的渐近线方程都是??y =± ????【解答】解：根据定义可得?? ?? ?? C i : — - — = i C 2:— Ci : ?? ?? ', C2:????2 = i (a > 0, b > 0),ii所以飞+2= 2 2 + 2 2 = i ，故D 正确;??2 ??2 ?字+ ??2 ??+??2，1 1【解答】解：①f ( x ) = 1, x€[_, e]时，就是1倍函数，所以 ①正确；② f ( x )= X 2是“ 2倍函数”，存在x€[0, 1],使得f (x ) €[0, 2],满足2倍函数，②正 确； ③ 中，f (x )= e x ,令 g (x )= e x - 3x , g' (x )= e x - 3,令 g' (x )= 0, x = In3, x € (m, In3), g (x )为减函数，x € (In3, +8), g (x )为增函数，而 g (In3)= 3 - 3ln3 = 3 (1 - In3)v 0, x ^-^, g (X )T +8, X T +8, g(X )T +8,所以g (x )有2个零点，即存在f (x )= e x 在[m , n]上的值域为[3m , 3n],满足3倍函 数，③正确； 故选：D .二•填空题(共7小题，满分21分，每小题3分)11. (3分)若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的6个小球，其中红球有 2个，白球有4个，每次取两个，取后放回，连续取三次，设随机变量 E 表示取出后都是白球的次数，则E ( $ =1.2 .【解答】解：从袋中随机抽取两个球都是白球的概率 P= = I ,?? 5随机变量汁B (3, p ),由二项分布的期望公式得 E ( $ = 3p = 3X 0.4= 1.2, 故答案为：1.2.12. (3分)《九章算术》中有这样的描述：“今有城下广四丈， 上广二丈，高五丈，袤四丈”，其中“广”是东西走向的意思， “袤”是南北走向的意思•若有几何体的三视图如图，则WRENB .①③C .②③D .①②③该几何体的体积为 60 ，表面积为 54+8离(不需填单位)【解答】解：由题意可知，该几何体是一个底面为等腰梯形的横放的直四棱柱(如图所示).易知，底面是上底为2，下底为4,高为5的等腰梯形，故？底面=舟(2 + 4) X 5 = 15 . 梯形的腰长为V52 + 11 = ^26又因为柱体的高为4,故侧面积？侧=(2 + 4 + 2^26) X4 = 24 + 8 v26 .故表面积为？表=2?底+ ?侧=54 + 8 v26.该几何体的体V= S底X h= 15 X 4= 60.故答案为：60 54 + 8V2613. (3分)已知抛物线C: y2= 4x的焦点为F,斜率为2的直线1与C的交点为A, B,若|AF|+|BF |= 5，则直线I 的方程为2x-y - 2 = 0 .【解答】解：设直线I的方程为y= 2 (x-t),将其代入抛物线y2= 4x得：x2-( 2t+1) x+t2= 0, 设 A (X1, y1), B (x2, y2),则X1+x2 = 2t + 1,由抛物线的定义可得：|AF|+|BF|= X1+x2+p = 2t+1+2 = 5，解得t= 1,直线l 的方程为y= 2 (x - 1 )= 2x - 2，即2x- y - 2 = 0.故答案为：2x - y - 2 = 0.?? 1》014. (3分)若实数x, y满足约束条件｛?? ??< 0 ，则------------- 的最小值为0 .??+??■ 3 < 0 ??【解答】解：由约束条件得到可行域如图：则??+??-2 ??-2z= ?? = 1+??,则z的几何意义是区域内的点到定点 D ( 0, 2)的斜率的最小值与1的和,由｛??= ??= 0解得A( 1,1)由图象可知区域边界点A连接的直线斜率最小为:1 + 1-2=0.所以z的最小值为0; 故答案为：0.,f (n)递增,-2-3-4-5n *15. (3 分)数列｛a n｝满足a1+2a2+3a3+…+ na n = 2 - 1 (n€N ),贝U,2??-1n.若存在n€N*使得a n w 粤？入成立，则实数入的最小值为【解答】解：I a i+2a2+3a3+…+na n= 2- 1二a1+2a2+3a3+ …+ (n - 1) a n-1= 2n 1- 1 (n> 2)②,①-②得：na n= 2n- 2n-1= 2n-1,2??-1…？??= ?? (n》2),.. 2??-1又・a1 = 2 - 1 = 1,满足？??= ??,??-1.???=务，若存在n €N*使得a n<竺??1?入成立，即若存在n€N*使得？?> 成立,设 f (n)= 2??-1 ??+1，/• f (n+1)2??-f (n) = ??+22??-1??+1 (??+2)(??+1)???2?-1/• f( n+1)>f (n),• I f ( n) min= f (1) = 2,2??-11故答案为：——,-.?? 216. (3分)已知可导函数 f (x)的定义域为(-汽0),其导函数f' (x)满足2f (x) +xf(x)> x2,则不等式(x+2018) 2f (x+2018)- f (- 1 )< 0 的解集为{X|- 2019W x v -2018}.【解答】解：令g (x)= x2f (x) (x v 0),贝y g' ( x)= x[2f (x) +xf (x)].•••当x v 0 时，2f (x) +xf (x)> x2> 0,•••当x v 0 时，g' (x)v 0,g (x)在(-8, 0) 上单调递减.由(x+2018) 2f ( x+2018)- f (- 1)w 0,得(x+2018) 2f (x+2018)< f (- 1),• g (x+2018)< g (- 1), • {?? 2018 v0,??+ 2018 > -1•••- 2019W x v - 2018 ,•••不等式的解集为{x|- 2019 w x v - 2018}.故答案为：{x|- 2019 w x v- 2018}.17. (3分)已知△ ABC中，AB= BC,点D是边BC的中点，△ ABC的面积为2,则线段AD的取值范围是[v3, + a).【解答】解：设AB = BC= x,Z ABC = a,如图建立平面直角坐标系.由已知得?△ ????=? 1?????????? ??=為.???????= (?????????+???????化简后并令y=5??- ???????=>??-4?????\>.?a€( 0, n)4 ????????...?? = 4-5??????,?令?? = 0 得？??????？，并令此时 a 0. ?????? 5 因为y = 4 - 5cos a 在(0, n)上递增，.a€( 0, 0)时，y 'v 0,函数递减，a€( 0, n)时，y '> 0,函数递增. 故??= ??即???????? , ????????, y min = 355°易知，当 X T 0或X T n 时，y f + m故AD 2> 3,所以？??空v3. 故AD 的取值范围是［v3 , + m). 故答案为：［v3, + 8 三.解答题(共5小题)18. 已知函数??(??= ????????3??????????(1 )求？??)的值;(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间.+1 = 0.(2)由于f (x )= 2sin ( x- 3? +1,故它的最小正周期为 人 ?? ?? ??亠/口 ？？ 5?? 令 2k n ~ — <x- — W2k n+ ,求得 2k n_— <x W 2k n + ~r~,23266可得函数的增区间为［2k n-?； 2k n +詈］,k€Z .??19. 如图①，平行四边形 ABCD 中，AB = 4, AD = 2,Z ABC= -? E 为CD 中点.将△ ADE沿AE 折起，使平面 ADE 丄平面ABCE ，得到如图 ②所示的四棱锥 P -ABCE .(1) 求证：平面 PAE 丄平面PBE (2)求直线PB 与平面PCE 所成角的正弦值.【解答】(1)证明：在厶 BCE 中，BE 2= 22+22 - 2 X 2X 2cos120°= 12,可得 BE = 2v3 .第13页(共17页)【解答】 解：(1)函数??(??= ??????祐?？？？?？?？ =2sin( x-?? ??沪1，故(6)=2sin (- ■?2 n.在厶ADE 中，AD = DE ,/ ADE = 60°,「.A ADE 为等边三角形.22+(2 V3)2 4 2•••在厶 ABE 中，cos / AEB= _(2 3丿；=0 ,.•./ AEB = 90 ° .2 X 2 X 23• BE 丄AE ,又•••平面 ADE 丄平面 ABCE , • BE 丄平面 PAE . 又 BE?平面PBE . •平面PAE 丄平面PBE .(2)解：建立如图所示的空间直角坐标系. E (0, 0, 0), P ( 1, 0, V 3),B (0, 2, 0),C (- 1 ,, 0),— — —???= (- 2, V 3 , - v3) , ???= (0 , 2v3 , 0) , ???= (1, 0, v 3), 设平面 PBE 的法向量为—?= ( x , y , z ),则?????= ?????= 0 , 则 2v3y = 0= x+ v3z ,取—?= (v 3 , 0, - 1),20.已知数列｛a n ｝的前n 项和为9 , a 仁 苏???=(2??+1- 2)???+「 (1 )求a 2及数列｛a n ｝的通项公式；1 1(2 )若???= ????(????? ?詢，???= —+ 求数列｛C n ｝的前 n 项和 T n . 【解答】解：(1)T a 1= 1 , ???= (2 ??+1 - 2)?彳?+1, • ??= ?? = (22 - 2)??,即??= 4, 当 n > 2 时，？??-1 = (2 ??- 2)???两式相减得：？??= (2 ??+1 - 2)???+1- (2 ??- 2)?0?, 整理得：a n = 2a n+1 (n > 2),•直线PB 与平面PCE 所成角的正弦值|???????_■—~—=|???|????v30~2y.v10' X2第15页(共17页)1 1由？？ = 2，?? = 4，可得 a i = 2a 2, 二 a n = 2a n+i (n€N*), 由 a i z o ,得 a n z 0 (n €N*), • ???+1 • ???=1■ (n €N*), 21 i则数列｛a n ｝是以？为首项，以3为公比的等比数列,二???= 2 x (2)??-1 =(2)??二???= ??????? ?? ? ??? = ??????)1+2+?+?? =1+2+…+n= ??(??+1)2 2 2 2 二???= ???+ ???= 2??+ ??(??+1)= 2??+ 2(?，？?+,)-••• T n = (21 + 22 + 23 + ? + 2?$+ 2[(1 -》+ (舟-*)+?+(1厂??^)】 2(1-2 ?? = + 2(1 -1-2 '1) = 2??+1 - 2 ??+1 ??+121.在平面直角坐标系?? ??xOy 中，已知椭圆？？ 扁+ 為=1(?>0)的左、右顶点为 A , B ,右焦点为F .过点A 且斜率为k ( k >0)的直线交椭圆 C 于另一点P .(1)求椭圆C 的离心率； (2 )若??= 1，求—的值；2 ????(3)设直线I : x = 2t ,延长AP 交直线I 于点Q ,线段BQ 的中点为E ,求证：点B 关于?? ?? 【解答】(1)解：•••椭圆 C ：示+新=1，• a2=4t2, b2=4t2, c2=t2, 又 t > 0,「. a = 2t , c = t ,(2)由(1)知，？??= ??直线EF 的对称点在直线PF 上.?? 1•••椭圆C 的离心率e= ??= 2;(2)解：•••直线 AP 的斜率k= 且过椭圆C 的左顶点A (- 2t , 0),•直线AP 的方程为y= f (??+ 2??)代入椭圆C 的方程， 得 x 2+tx - 2t 2= 0，解得 x = t 或 x =- 2t (舍去). 将 x = t 代入 y= 1 (x+2t ), 得 y= 3??3•••点P 的坐标为(t , 2??,又椭圆C 的右顶点为B (2t , 0),• ????=(??+ 2??) +(3?? o )2= 45??, ????=(?? 2??2 +(2?? o )2= 13??,???? 45••????- 13’(3) 证明：直线AP 的方程为y = k ( x+2t ),将 x = 2t 代入 y = k (x+2t ),得 y = 4kt ,「. Q (2t , 4kt ). ••• E 为线段BQ 的中点，• E (2t , 2kt ), •••焦点F 的坐标为(t , 0),•直线EF 的斜率为2k .联立｛??? +?4??2 2??2??，得(3+4k 2) x 2+16k 2tx+4 ( 4k 2-3) t 2= 0. 由于？????= 4(4??鬥,X A =- 2t ,•••点B 关于直线EF 的对称点在直线 PF 上.2(3-4?? 2)?? 则P 点的坐标为(•直线 PF 的斜率为3+4??2'12???? 3+4??2 2(3-4?? 2)?? 3+4??212????3+4??2) 4?? 1-4?? 22?2?? 1-(2??) 2 .而直线 EF 的斜率为 2k,若设/ EFB = 0 ,则有 tan / PFB = tan2 B, 即/ PFB = 2 / EFB .2 3+4??222(3-4?? 2)?? --???=3+4??222.已知函数f(x )= e x - ax 2 , g (x )= ax (lnx - x ),其中常数a€R .(I)当x €(0 , +R )时，不等式f (x )> 0恒成立，求实数 a 的取值范围;(H)若a €??(0 , 2】，且 x >0,求证：f (x )> g (x ).【解答】解:(I)由题意，要使当x€ (0 , + a)时，不等式第16页(共17页)f (x)> 0恒成立,只需^??2? 2?0恒成立，令？（??）= ??? ?Q O,T?‘（??）=⑺鳥":易知, 时，h'( x)v 0, h (x)递减；x?2 时，h'( x)> 0, h (x)递增.?? ??故？（???????= ?（2） = 4，所以a v瓦即为所求.①当O v x< 1时，显然原式恒成立;(x)递减；当x€ (X0, + 8)故？？(?©??方？?(?？= ??????? ?%(?『),(x o>2),令k (x) = ???笄),(??> 2)，: ?? (??)= ???1 - 1?+ ??) > 0,所以k (x)在(2, +8)上是增函数，••• ??(??>??(2)= ??,?? ??? __ 、•- ??(?????>?? > ?? •- x> 1 时，？V ?????恒成立，即f (x)> g ( x) 恒成立.??综上可知，a€ (0,],且x> 0 时，f (x)> g (x).当0v x v 2（n）由题意得需证e x>axlnx恒成立,??a€ (0,—]，且x>0,②当x> 1时，要使原式成立，只需？V爲？？疔1恒成立,令v (x) 令u (x) =J??? x> 1???? ????，(?????=(x- 1) lnx - 1,所以存在x o>2,使得u (x O)1=0，即???(??=???-^，当x€ (1, x o)时，v'ln2 - 1 v 0,(x)v 0, v 时，v'( x)> 0, v (x)递增.对任意n€N。

2020年2月普通高考（浙江卷）全真模拟卷（3）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：高中全部内容。

选择题部分（共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{}|12A x x =<<，集合{}|224xB x =≤<，则A B =U （ ）A ．()1,2B ．[)1,2C ．[)0,2D ．()0,2【答案】B 【解析】易得{}{}{}12|224|222|12xx B x x x x =≤<=≤<=≤<.故A B =U {}|12x x ≤<.故选：B2．若x ，y 满足20{30x y x y x -≤+≤≥，则2x y +的最大值为（ ）A ．0B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】由图可得在A 处取得最大值，由20,{(1,2)3x y A x y -=⇒⇒+=最大值24x y +=，故选C.3．双曲线2214x y -=的离心率为（ ）A B CD 【答案】C 【解析】双曲线2214x y -=中，222224,1,5,2a b c a b e ==∴=+=∴== 本题选择C 选项.4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的右侧， 由以上各视图的描述可知去掉的长方体在原长方体的右上方，其俯视图符合C 选项． 故选C ．点评：本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义． 5．设x ∈R ，则“05x <<”是“11x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】11x -<等价于02x <<，故05x <<推不出11x -<；由11x -<能推出05x <<．故“05x <<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件． 故选B ．6．已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ） A ．7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 函数恰有4个零点，即方程，即有4个不同的实数根，即直线与函数的图象有四个不同的交点．又做出该函数的图象如图所示，由图得，当时，直线与函数的图象有4个不同的交点，故函数恰有4个零点时，b 的取值范围是故选D ．7．用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数有（ ） A ．12个 B ．24个 C ．36个 D ．72个【答案】D 【解析】 解法一：直接求解三个奇数中仅有两个相邻的意思是，有两个奇数相邻，且与第三个奇数不相邻，所以排列个数为222323322672A A A ⋅⋅=⨯⨯⨯=个.解法二：反面求解5233352333120123672N A A A A A =-+=--=个.故选：D.8．在三棱锥S ABC -中，ABC ∆为正三角形，设二面角S AB C --，S BC A --，S CA B --的平面角的大小分别为,,,,2παβγαβγ⎛⎫≠⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ）A ．111tan tan tan αβγ++的值可能是负数 B ．32παβγ++< C ．αβγπ++> D ．111tan tan tan αβγ++的值恒为正数 【答案】D 【解析】作S 在底面ABC 的投影O ,再分别作,,OM AB ON BC OP AC ⊥⊥⊥,设ABC ∆边长为a . ①当O 在ABC ∆内时,易得,,αβγ分别为,,SMO SNO SPO ∠∠∠.由ABC ABO BCO ACO S S S S =++V V V V 可得1110tan tan tan MO NO PO aSO SO SO SOαβγ++=++=>. 当S 无限接近O 时易得αβγ++接近0,故C 错误.②当O 在ABC ∆外时,不妨设O 在,AC BC 的延长线构成的角内.易得,,αβγ分别为,,SMO SNO SPO ππ∠-∠-∠.由ABC ABO BCO ACO S S S S =--V V V V 可得1110tan tan tan MO NO PO aSO SO SO SOαβγ++=--=>. 且当S 无限接近O 时易得αβγ++接近2π,故B 错误.综上,A 也错误. 故选：D9．设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】设()()e 21x g x x =-，()1y a x =-，由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，()()21x g x e x '=+，当21x <-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.所以，函数()y g x =的最小值为11222g e ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭. 又()01g =-，()10g e =>.直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ， 故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--，解得312a e≤<，故选D. 10．已知数列{}n a 满足101a <<，()142n n n a ta t R a ++=∈+，若对于任意*n N ∈，都有103n n a a +<<<，则t 的取值范围是（ ） A ．(]1,3- B ．[]0,3 C ．()3,8 D ．()8,+∞【答案】B 【解析】用排除法：当3t =时，1432n n n a a a ++=+，明显有0n a >，下面用数学归纳法证明3n a <， 当1n =时，1013a <<<，成立； 假设当n k =时，3k a <成立， 则当1n k =+时，143554432232k k k k a a a a ++==-<-=+++，所以当1n k =+时，13k a +<成立， 综上：对任意*n N ∈，都有3n a <；另外()21(3)1434320222n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a +-++++---=-==>+++， 所以1n n a a +<，所以当3t =时，103n n a a +<<<恒成立，排除CD ；当12t =-时，14212n n n a a a +=+-，若1n =，则1214122a a a -=+，因为101a <<，此时20a <是有可能的，故排除A ， 故选：B.非选择题部分（共110分）二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．已知复数11z i =-，122z z i ⋅=-，则复数2z =______. 【答案】32i+ 【解析】 设2z a bi =+，则12(1)()()()2z z i a bi a b b a i i ⋅=-+=++-=-，21a b b a +=⎧∴⎨-=-⎩，解得3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 232z i∴=+， 故答案为：32i+. 12．设ABC ∆的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C .若2223b a c +=，则tan tan CB=______，tan A 的最大值是______. 【答案】-24【解析】(1)222222222222tan sin cos 2tan sin cos 2a c b c C C B a c b ac a b c B B C a b c b ab+-⋅+-===+-+-⋅()222222222234223a b a b a aa b b a ++-===--+-+ (2)由(1)tan 2tan C B =-,故[]tan tan tan tan ()tan()tan tan 1B CA πBC B C B C +=-+=-+=⋅-()2tan tan 2tan 2tan 11tan 12tan 12tan tan B B B B B B B B--===⋅-++,因为2223b a c +=故B 为锐角.故112tan tan B B≤=+故答案为：(1). -2(2).413．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左右焦点分别是,12F F ，过F 2且与x 轴垂直的直线交双曲线于,A B 两点，则其渐近线方程是_________，12AF F ∠=________.0y ±= 6π【解析】由题意，在双曲线中22213b be a a=+=⇒0y ±=；由双曲线的定义知，12F F =，2||2AF a =，12tan AF F ∠=， 所以126AF F π∠=.0y ±=，6π. 14．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为______3cm ，表面积为______2cm .【答案】56 76+ 【解析】画出对应的直观图五棱柱1111ABEE A DCFF D -.(1)易得体积为31444224562cm ⨯⨯-⨯⨯⨯=.(2)表面积(31442422442224762cm ⎛⎫⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯+=+ ⎪⎝⎭故答案为：56；76+ 15．已知两定点1,04P ⎛⎫-⎪⎝⎭，1,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭位于动直线l 的同侧，集合{|M l =点,P Q 到直线l 的距离之和等于}1，()(){},|,,N x y x y l l M =∉∈.则集合N 中的所有点组成的图形面积是______.【答案】4π 【解析】画出图像如下图所示，由于点,P Q 到直线l 的距离之和等于1，结合图像，由中位线的性质可知，O 到l 的距离为12，所以集合M 是圆22212x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的所有切线组成，所以集合N 表示圆22212x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭内的点，故集合N 中的所有点组成的图形面积为21ππ24⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭.故答案为：π416．函数{}()min 2f x x =-，其中{},min ,{,a a ba b b a b≤=>，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”______________．【答案】1. 【解析】由22x x =-得2444x x x =-+，即，解得423x =+或423x =-．即423B x =-，423C x =+，所以4232232B y =--=-，所以由图象可知要使直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，则有0232m <<-，即实数m 的取值范围是0232m <<-．不妨设123x x x <<，则由题意可知12x m =，所以214m x =，由2x m -=得232,2x m x m =-=+，所以222123(4)(2)(2)44m m m x x x m m -=-+=，因为222224(4)()42m m m m +--≤=，所以22123(4)4144m m x x x -=≤=，即123x x x 存在最大值，最大值为1.17．已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos△BDC =_______．【答案】2 4【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,44DBC sin DBC ∠=-∠==，∴1sin 2BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=V ．∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos 4BDC ∠=或cos BDC ∠=（舍去）．综上可得，△BCD 面积为2，cos 4BDC ∠=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，c ccosA =-. (△)求A ；(△)若a =2，ABC ∆b ，c . 【答案】(1)3A π=(2)b c ==2【解析】(Ⅰ)由sin cos c C c A =-及正弦定理得sin cos sin sin A C A C C -=由于sin 0C ≠，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0A π<<，故3A π=.(Ⅱ)ABC ∆的面积S =1sin 2bc A ,故bc =4，而2222cos a b c bc A =+-故22c b +=8，解得b c ==219．在如图的空间几何体中，ABC ∆是等腰直角三角形，90,A BC ∠=︒=BCED 为直角梯形，90,1,DBC BD DE ∠=︒==，F 为AB 中点.（△）证明：//DF 平面ACE ；（△）若AD =，求CE 与平面ADB 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）3【解析】法一：（Ⅰ）证明：取BC 中点为G ，连接FG 和DG ， 有//FG AC ，//FG ∴面ACE ， 有//DG EC ，//DG ∴面ACE ，FG DG G =I ∵，∴面//DGF 面ACE .DF ⊂Q 面DGF ，//DF ∴平面ACE ；（Ⅱ）Q 四边形BCED 为梯形，DE BC ==G 为BC 中点，//DE CG ∴，即四边形GCED 为平行四边形，//CE GD ∴.∴要求CE 与平面ABD 所成角，只需求DG 与平面ABD 所成角，连接GE ，AG ，由题意可知，AG BC ⊥，EG BC ⊥，BC ∴⊥面AGE ，∴面ABC ⊥面AGE ，∴点E 到面ABC 的距离就是点E 到AG 的距离.//DE BC Q ，DE ∴⊥面AGE ，90AED ∴∠=︒，DE AD ==∵1AE ∴=，又1CE BD ==，AG =∴点E 到AG的距离为2.在三棱锥D ABG -中，2111323226D ABG E ABG ABG V V S --∆==⋅=⋅⋅=，根据1,2BD AD AB ===，ABD S ∆=∴ 记点G 到面ABD 的距离为h ，由1326D ABG G ABG V V h --==⋅=，得3h =. 所以CE 与平面ABD所成角的正弦为3hDG ==. 法二：以,AB AC 为,x y 轴，过点A 作xAy 平面的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设点(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(1,0,0),(,,),3A B C F D a b c CD =由题意可得：222222222222(2)1(2)93BD a b c CD a b c AD a b c ⎧=-++=⎪=+-+=⎨⎪=++=⎩32131(,222ab Dc⎧=⎪⎪⎪⇒=-⇒-⎨⎪⎪=⎪⎩由11113(,(,22222DE BC E CE=⇒=-u u u r u u u r u u u r设平面ADB法向量为n=r，31(,,),(2,0,0)222AD AB=-=u u u r u u u rn ADnn AB⎧⋅=⇒=⎨⋅=⎩u u u vvvu u u vv，即：sin|cos|3n CEα=<⋅>=r u u u r，故CE与平面ADB所成角的正弦值为3.20．已知正项数列{}n a，{}n b满足：对任意正整数n，都有n a，n b，1n a+成等差数列，n b，1n a+，1n b+成等比数列，且110a=，215a=．（△）求证：数列是等差数列；（△）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（△）设n S=++…+，如果对任意的正整数n，不等式22nnnbaSa<-恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）()242nnb+=，；（Ⅲ）a≤1【解析】（Ⅰ）由已知得，即， 由2b 1=a 1+a 2=25，得b 1=252， 由a 22=b 1b 2，得b 2=18， ∴{}是以为首项，为公差的等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴()242nn b+=，因为n b ，1n a +，1n b +成等比数列 所以.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，原式化为，即f （n ）=恒成立，当a–1＞0即a ＞1时，不合题意； 当a–1=0即a=1时，满足题意；当a–1＜0即a ＜1时，f （n ）的对称轴为，f （n ）单调递减，∴只需f （1）=4a–15＜0，可得a ＜，∴a ＜1；综上，a≤1.21．已知：抛物线2:4C y x =，斜率为1-的直线l 与C 的交点为()11,A x y ，()22,B x y ，点()1,2P 在直线l 的右上方.分别过点,,P A B 作斜率不为0，且与C 只有一个交点的直线为123,,l l l .（△）证明：直线2l 的方程是()112yy x x =+；（△）若121323,l l E l l F l l G ===I I I ,；求EFG ∆面积的最大值；【答案】【解析】（Ⅰ）法一：点11(,)A x y 满足24y x =，即2114y x =，设直线2l 方程是11()(0)y y k x x k -=-≠由21142()y x yy x x ⎧=⎨=+⎩，消去x 得2211440ky y y ky -+-= 得21112164(4)0k y k k y ∆=--=⇒=， 故直线2l 是1112()-=-y y x x y ， 化简得112()yy x x =+，所以直线2l 是的方程是112()yy x x =+. 法二：21422y y yx x k =⇒'=⇒=11111()2()2y x x y y yy x x ⇒-=-⇒=+ （Ⅱ）由（Ⅰ）可得切线分别为：111222:1,:2(),:2()l y x l yy x x l yy x x =+=+=+；联立直线得：11222112222(,),(,),(,)424242yy y y y y y y G E F +++ 即：121212(2)2(2)2(,),(,)4242y y y y y y GE GE ----==u u u r u u u r 所以，122112121211|||||42()|216S x y x y y y y y y y =-=--++ 22121244440413y y y x y y b y y b y x b b +=⎧⎧⎧=+-=⇒⇒⎨⎨⎨=-=-+-<<⎩⎩⎩， 代入面积公式得：)S b -=令()()3253913f x x x x x =-++-<<，则()()()23103313f x x x x x '=-+=--，所以()f x 在区间11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 的最大值为1256327f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以max 139b S S===. 22．已知()(32)x f x e a =-其中a R ∈， 2.71828e =…为自然对数的底数； （△）若1x =为函数()f x 的极值点，求a 的值；（△）若()6f x e ≤在[]0,2x ∈上恒成立，求a 的取值范围； 【答案】（Ⅰ）92a e =（Ⅱ）239[]22e e 【解析】（Ⅰ）()3x x x xf x e '==1x =Q 为函数()f x 的极值点， (1)0f '=∴，得92a e =， 经检验，当92a e =时， 1x =为函数()f x 的极小值点.（Ⅱ）|()|6f x e ≤∵，即6(32)6x e e a e -≤-≤，3322x x e a e -≤≤+∴ 令3()2x g x e =-，易知()g x 在[0,2]x ∈上单调递增， 2max 3()(2)2g x g e ==∴即232a e ≥. 令1233()322x xh x e e e x -==+⋅， 由3233()022x h x e e x -'=-⋅=，得1x =，由32xy e =在[0,2]x ∈上单调递增， 和3232y e x -=⋅在[0,2]x ∈上单调第减，1x ∴=是3233()022x h x e e x -'=-⋅=的唯一解，∴当[0,1]x ∈时，()0h x '≤；当[1,2]x ∈时，()0h x '≥，则min 39()(1)322h x h e e e ==+=，故92a e ≤. 综上，a 的取值范围是23922e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。