线性方程组与n维向量空间

向量空间与线性方程组线性代数是现代数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域。

其中，向量空间和线性方程组是线性代数中的基本概念和工具。

本文将介绍向量空间和线性方程组的相关内容，以帮助读者更好地理解和应用线性代数中的这两个重要概念。

一、向量空间向量空间是线性代数中研究向量及其运算的一种结构。

一个向量空间由非空集合V和定义在其上的两种运算——向量的加法和标量与向量的乘法所组成。

满足一定条件的集合和运算规则被称为向量空间。

向量空间具有以下性质：1. 向量的封闭性：对于向量空间中的任意两个向量u和v，它们的线性组合仍然在该向量空间中，即u+v∈V。

2. 标量乘法封闭性：对于向量空间中任意一个标量k和任意一个向量u，标量与向量的乘积仍然在向量空间中，即ku∈V。

3. 加法交换律：对于向量空间V中的任意两个向量u和v，u+v=v+u。

4. 加法结合律：对于向量空间V中的任意三个向量u、v和w，(u+v)+w=u+(v+w)。

5. 存在零向量：向量空间V中存在一个零向量0，使得对于向量空间中的任意向量u，u+0=u。

6. 存在负向量：对于向量空间V中的任意向量u，存在一个负向量-u，使得u+(-u)=0。

二、线性方程组线性方程组是由一组线性方程组成的方程组。

对于向量空间中的向量和标量，线性方程组可以用以下形式来表示：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，aᵢₙ表示系数，bᵢ表示常数，xₙ表示未知数，方程组共有m个方程，n个未知数。

解线性方程组的目标是找到满足所有方程的解集，或者判断无解或无穷解。

解线性方程组的常用方法包括高斯消元法、矩阵的逆和行列式等。

三、向量空间与线性方程组的关系线性方程组的解集合构成了向量空间中的一个子空间。

具体地说，对于线性方程组Ax=b，其中A是一个m×n的矩阵，x和b是n维向量，x表示未知数向量，b表示常数向量。

第三章 线性方程组 § n 维向量及其线性相关性教学目标：掌握n 维向量及其运算，准确理解向量的线性相关和线性无关的定义，掌握向量组的线性相关和线性无关的判定定理和判定方法.重 点：★ n 维向量的概念 ★ 向量的线性运算 ★ 线性方程组的向量形式 ★ 向量组的线性组合 ★ 向量组间的线性表示 ★ 线性相关和线性无关的概念 ★ 向量组的线性相关和线性无关判定难 点：★ 线性相关和线性无关的概念的理解， ★ 向量组的线性相关和线性无关的证明内容要点一、n 维向量及其线性运算定义 数域F 上的n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的有序数组),,,(21n a a a称为数域F 上的n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.向量常用小写希腊字母,,,αβγ来表示；向量通常写成一行 12(,,,)n a a a α= 称之为行向量；向量有时也写成一列 12n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭T n a a a ),,,(21 = 称之为列向量．注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），此即上面定义的3维向量. 因此，当3≤n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3>n 时，n 维向量没有直观的几何形象.若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组.=n F {数域F 上n 维向量的全体},=n R 实数域上的n 维向量的全体.例如，一个n m ⨯矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 每一列⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mj j j j a a a 21α),2,1(n j =组成的向量组n ααα,,,21 称为矩阵A 的列向量组，而由矩阵A 的每一行),,2,1(),,,(21m i a a a in i i i ==β组成的向量组m βββ,,,21 称为矩阵A 的行向量组.根据上述讨论，矩阵A 记为),,,(21n A ααα = 或 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A βββ 21.这样，矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系.定义 两个n 维向量),,,(21n a a a =α与),,,(21n b b b =β的各对应分量之和组成的向量，称为向量α与β的和, 记为βα+，即),,,(2211n n b a b a b a +++=+ βα由加法和负向量的定义，可定义向量的减法：)(βαβα-+=-),,,(2211n n b a b a b a ---= .定义 n 维向量),,,(21n a a a =α的各个分量都乘以实数k 所组成的向量，称为数k 与向量α的乘积（又简称为数乘），记为αk ，即),,,(21n ka ka ka k =α.向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算.注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律:(1) αββα+=+;(2) )()(γβαγβα++=++; (3) ;αα=+o (4) ;)(o =-+αα (5) ;1αα=(6) ;)()(ααkl l k =(7) ;)(βαβαk k k +=+ (8) .)(αααl k l k +=+二、 n 维向量空间定义：数域P 上的n 维向量的全体，同时考虑到定义在它们上的的加法和数量乘法，称为数域F 上的n 维向量空间，记作n F ．n R 称为你n 维实向量空间.三、 向量组的线性组合定义 给定向量组s A ααα,,,:21 ，对于任何一组实数s k k k ,,,21 , 表达式s s k k k ααα+++ 2211称为向量组A 的一个线性组合, s k k k ,,,21 称为这个线性组合的系数. 注：s k k k ,,,21 可以都取零定义 给定向量组s A ααα,,,:21 和向量β, 若存在一组数,,,,21s k k k 使,2211s s k k k αααβ+++=则称向量β是向量组A 的线性组合, 又称向量β能由向量组s A ααα,,,:21 线性表示(或线性表出).注：(1)β能由向量组s ααα,,,21 唯一线性表示的充分必要条件是线性方程组βααα=+++s s x x x 2211有唯一解；(2) β能由向量组s ααα,,,21 线性表示且表示不唯一的充分必要条件是线性方程组βααα=+++s s x x x 2211有无穷多个解；(3) β不能由向量组s ααα,,,21 线性表示的充分必要条件是线性方程组βααα=+++s s x x x 2211无解；四、向量组间的线性表示定义 设有两向量组,,,,:;,,,:2121t s B A βββααα 如果向量组A ：t ααα,,,21 中每一个向量),,2,1(t i i =α都可以经向量组:B s βββ,,,21 线性表出，那么向量组t ααα,,,21 就称为可以经向量组s βββ,,,21 线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.由定义有，每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时，如果向量组t ααα,,,21 可以经向量组s βββ,,,21 线性表出，向量组s βββ,,,21 可以经向量组pγγγ,,,21 线性表出，那么向量组t ααα,,,21 可以经向量组p γγγ,,,21 线性表出. 向量组之间等价具有以下性质：1）反身性：每一个向量组都与它自身等价. 2）对称性：如果向量组s ααα,,,21 与t βββ,,,21 等价，那么向量组tβββ,,,21 与s ααα,,,21 等价.3）传递性：如果向量组s ααα,,,21 与t βββ,,,21 等价，t βββ,,,21 与p γγγ,,,21 等价，那么向量组s ααα,,,21 与p γγγ,,,21 等价.例1 设,)2/5,2,1,3(,)1,1,4,2(21TT---=--=αα 如果向量满足,0)(2321=+-αβα 求β.解 由题设条件,有022321=--αβα 则有β)32(2112αα--=1223αα+-=T T )1,1,4,2(23)2/5,2,1,3(--+----=.)1,2/1,5,6(T --=例2 设).3,0,0,1(),1,4,0,3(),1,2,0,1(21--==-=βαα 问β是否可由21,αα线性表示. 解： 设2211ααβk k +=，可求得1,221-==k k ，所以有212ααβ-=,因此β是21,αα的线性表出.例3 证明:向量)5,1,1(-=β是向量)6,3,2(),4,1,0(),3,2,1(321===ααα的线性组合并具体将β用321,,ααα表示出来.证 先假定,332211αλαλαλβ++=其中321,,λλλ为待定常数，则)5,1,1(-)6,3,2()4,1,0()3,2,1(321λλλ++=)6,3,2()4,,0()3,2,(33322111λλλλλλλλ++=)6,3,2()4,,0()3,2,(33322111λλλλλλλλ++=由于两个向量相等的充要条件是它们的分量分别对应相等，因此可得方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+56431321232132131λλλλλλλλ.121321⎪⎩⎪⎨⎧-===λλλ 于是β可以表示为321,,ααα的线性组合，它的表示式为.2321αααβ-+= 向量组的线性组合例4 任何一个n 维向量Tn a a a ),,,(21 =α都是n 维单位向量组T n T T )1,0,,0,0(,,)0,,0,1,0(,)0,,0,1(21 ===εεε的线性组合.解：因为 .2211n n a a a εεεα+++=例5 零向量是任何一组向量的线性组合. 解：因为.00021s o ααα⋅++⋅+⋅=例6 向量组s ααα,,,21 中的任一向量)1(s j j ≤≤α都是此向量组的线性组合. 解：因为 .0101s j j αααα⋅++⋅++⋅=五、线性相关性的概念定义 给定向量组,,,,:21s A ααα 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k 使,02211=+++s s k k k ααα (1)则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关. 线性相关的概念的理解：“有一组不全为零的常数”，“存在一组不全为零的常数”，“找到一组不全为零的常数”使得,02211=+++s s k k k ααα 则称向量组,,,,:21s A ααα 线性相关.例 向量组14433221αααααααα++++，，，，判定该向量组线性相关.解：取一组常数1，-1，1，-1使得01-11-114433221=+++++）（）（）（）（αααααααα，所以14433221αααααααα++++，，，线性相关. 线性无关的定义的理解：线性无关的定义：若向量组12,,,s ααα不线性相关，即没有不全为零的数12,,,s k k k P ∈，使11220s s k k k ααα+++=则称12,,,s ααα为线性无关的．等价定义：一个向量组12,,,s ααα，若11220s s k k k ααα+++=，只有120s k k k ====时成立，则称12,,,s ααα为线性无关的．等价定义：一个向量组12,,,s ααα，对于任意一组不全为零的数12,,,s k k k P ∈，使,02211≠+++s s k k k ααα 则称该向量组线性无关.等价定义：一个向量组12,,,s ααα，存在一组常数12,,,s k k k P ∈使得11220s s k k k ααα+++=，可求得120s k k k ====，则称12,,,s ααα为线性无关.例5.2 若向量组），（），，（1001==βα，则向量组βα，线性无关. 找不到一组不全为零的常数21,k k 使得021=+βαk k ，所以向量组βα，线性无关.或者，若存在一组常数21,k k 使得021=+βαk k ，则可求得021==k k ， 所以，向量组βα，线性无关.例 若向量组),(11k k ==βα），，（，则向量组βα，线性相关. 因为0,=-=βααβk k 有，即存在1,-k 不全为零的数使得0=-βαk ，所以向量组βα，线性相关例 向量组Tn T T )1,0,,0,0(,,)0,,0,1,0(,)0,,0,1(21 ===εεε线性无关注: 给定向量组,,,,:21s A ααα 如果存在数,,,,21s k k k 使得,02211=+++s s k k k ααα (1)① 当且仅当021====s k k k 时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21 线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的;③ 向量组只含有一个向量α时，则（1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的；④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.六、线性相关性的判定定理 向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示. 证明：必要性 设向量组12,,,s ααα线性相关，即存在不全为零的数,,,,21s k k k 使,02211=+++s s k k k ααα 不妨设，01≠k ，则有s s k k k k k k αααα13132121----= ， 所以必要性成立.充分性 不妨设1α可由s ααα,,,32 线性表示，即,33221s s l l l αααα+++= 于是有,033221=++++-s s l l l αααα 成立.因为s l l l ,,,132-不全为零，故向量组12,,,s ααα线性相关.定理的逆否命题是：定理6.1’ 向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性无关的充分必要条件是向量组中任一向量不能由其余1-s 个向量线性表示.例 设n 维向量组Tn T T )1,0,,0,0(,,)0,,0,1,0(,)0,,0,1(21 ===εεε，证明该向量组线性无关.证：设一组常数,,,,21n k k k 使,02211=+++n n k k k εεε 可得021====n k k k ，故该向量组线性无关.例 如果向量组m ααα,,,21 中有一部向量线性相关， 则整个向量组m ααα,,,21 线性相关.证：不妨设)(,,,21m j j <ααα 线性相关，由线性相关的定义，存在不全为零的数,,,,21j k k k 使,02211=+++j j k k k ααα 从而有不全为零的数,0,0,,,,21 j k k k使得,00012211=+++++++m j j j k k k ααααα 故，m ααα,,,21 .该题的逆否命题是：如果向量组m ααα,,,21 线性无关，则该向量组中一部向量组)(,,,21m j j <ααα 线性无关.结论：向量组m ααα,,,21 部分向量线性相关， 则整个向量组m ααα,,,21 线性相关.向量组m ααα,,,21 整体线性无关，该向量组部分向量线性无关.定理 设列向量组),,,2,1(,21r j a a a nj j j j=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 则向量组r ααα,,,21 线性相关的充要条件是齐次线性方程组 0=AX （）有非零解，其中矩阵==),,,(21r A ααα .,21212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛r nr n n r r x x x X a a a a a a a a a证：设 ,02211=+++r r x x x ααα （）即2121111x a a a x n +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 22212n a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021 nr r r r a a a x . （） 将（）式做向量的线性运算，即得（）线性方程组.向量组r ααα,,,21 线性相关，就必有不全为零的数r x x x ,,,21 使（）成立，即是齐次线性方程组 0=AX 有非零解；反之，如果齐次线性方程组 0=AX 有非零解，也就是有不全为零的数r x x x ,,,21 使（）成立，则向量组r ααα,,,21 线性相关.该定理的等价命题：向量组r ααα,,,21 线性无关的充要条件是齐次线性方程组0=AX 只有零解结论：任何1+n 个n 维向量都是线性相关的.理由：由定理 当方程个数少于未知数的个数时，齐次线性方程组有非零解.定理 若向量组r ααα,,,21 线性无关，而,βr ααα,,,21 线性相关，则β可由r ααα,,,21 线性表示，且表示法唯一.证：因为,βr ααα,,,21 线性相关，则存在不全为零的数,,,,,21r k k k k使,02211=++++r r k k k k αααβ 其中0≠k （如果0=k ，则由r ααα,,,21 线性无关，又使得,,,,,21r k k k k 必须全为零，这与,,,,,21r k k k k 不全为零矛盾） 于是β可由r ααα,,,21 线性表示，且r r kkk k k k αααβ---= 2211-， 在证表示法唯一，设有两种表示法：,2211r r l l l αααβ+++=,2211r r h h h αααβ+++=于是.0)()()(222111=-++-+-r r r h l h l h l ααα因为向量组r ααα,,,21 线性无关，所以必有,0=-i i h l 即,,,2,1,r i h l i i == 故β可由r ααα,,,21 线性表示，且表示法唯一.推论 如果n F 中的n 向量n ααα,,,21 线性无关，则nF 中的任意向量α可由n ααα,,,21 线行表示，且表示法唯一.例 设有3个向量(列向量):,421,221,101221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα不难验证,02321=-+ααα 因此321,,ααα是3个线性相关的3维向量.例 设有二个2维向量:,10,0121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=e e 如果他们线性相关, 那么存在不全为零的数,,21λλ 使,02211=+e e λλ也就是 ,0100121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλ.0002121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλλλ 于是,0,021==λλ 这同21,λλ不全为零的假定是矛盾的. 因此1e ,2e 是线性无关的二个向量.例 n 维向量组T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21 ===εεε称为n 维单位向量组, 讨论其线性相关性. 解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵)(21n E εεε,,, =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001 是n 阶单位矩阵.齐次线性方程组0=EX ，由,01≠=E 0=EX 只有零解 故该向量组是线性无关的.例 已知,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ,5202⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=7423a , 试讨论向量组321,,a a a 及21,a a 的线性相关性.解 由定理 )(321a a a A ,,= 求齐次线性方程组0=AX 的解，由高斯消元法，对矩阵)(321a a a A ,,=施行初等行变换成行阶梯形矩阵，可同时看出矩阵A ),,,321(ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7514212011213r r r r --→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛550220201−−→−-2125r r ,000220201⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 0=AX 有非零解故向量组,,,321ααα线性相关.同样，),(21αα=B 有0=BX 只有零解，故向量组21a a ,线性无关. 例 证明：若向量组γβα,,线性无关, 则向量组,βα+,γβ+αγ+亦线性无关. 证 设有一组数,,,321k k k 使0)()()(321=+++++αγγββαk k k （1）成立，整理得0)()()(322131=+++++γβαk k k k k k 由γβα,,线性无关，故⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k （2） 因为110011101,02≠=故方程组（2）仅有零解.即只有0321===k k k 时（1）式才成立.因而向量组,βα+,γβ+αγ+线性无关.例 设向量组321,,a a a 线性相关, 向量组432,,a a a 线性无关, 证明(1) 1a 能由32,a a 线性表示; (2) 4a 不能由321,,a a a 线性表示.证明（1）因432ααα,,线性无关，故32,αα线性无关，而321ααα,,线性相关，从而1α能由32αα,线性表示；（2）用反证法. 假设4α能由321ααα,,线性表示，而由（1）知1α能由32αα,线性表示，因此4α能由32αα,表示，这与432ααα,,线性无关矛盾.证毕.随堂练习：1. 判断下列命题是否正确，如正确，证明之，如不正确，举反例：（1） )2(,,,21>m m ααα 线性无关的充要条件是任意两个向量线性无关； （2） )2(,,,21>m m ααα 线性相关的充要条件是有1-m 个向量线性相关；（3） 若向量组21,a a 线性相关, 向量组21,ββ线性相关，则有不全为零的数21,k k ，使得,02211=+ααk k 且,02211=+ββk k 从而使,0)()(222111=+++βαβαk k故2211,βαβα++线性相关；（4）若向量组321,,αa a 线性无关，则133221,,αααα---a a 线性无关；（5）若向量组4321,,,ααa a 线性无关，则14433221,,,αααααα++++a a 线性无关； （6）若向量组n a a α,,,21 线性相关，则113221,,,,αααααα++++-n n n a a 线性相关.百度文库 - 好好学习，天天向上-11 （7）)2(,,,21>m m ααα 线性无关的充要条件是任意一个向量都不能由其余的向量线性表示；（8）若有一组全为零的数,021====r k k k 使得,02211=+++r r k k k ααα 则 r ααα,,,21 线性无关.（9）若有一组不全为零的的数,,,,21j k k k 使得,02211≠+++j j k k k ααα 则向量组 j ααα,,,21 线性无关.（10）若向量组r ααα,,,21 线性相关，则任一向量可由其余向量线性表示.2. 试证明:(1) 一个向量α线性相关的充要条件是0=α;(2) 一个向量α线性无关的充分条件是0≠α;(3) 两个向量βα,线性相关的充要条件是βαk =或者αβk =（两式不一定同时成立）。