偏微分方程数值解法答案

成如此的分割为矩形剖
X
(1
j
分基函数的取法
其中Rij是以(Xj,yj)为顶点的矩形单元x, y0为&的底和商的长度。
8.何为三角剖分，基函数怎样取？
三角剖分：设G是多边形域(否则可用多边形域逼近它)，将G分割成有限个三角形之
和，使不同三角形无重叠的部，且任一三角形的顶点不属于其他三角形的部，这样就把G
1.课本p2有证明
2.课本P8,P2有说明
3.课本P15, P20有说明
4.Rit2法，设Un是U的n维子空间，1,2...n是Un的一组基底，Un中的任一元素Un可
n11nn
表为UnCi i，则J(Un) -a(Un,Un)(仁叫)-a(i，jgC」Cj(f ,j)是
i 122i, j 1j 1
C1,C2...Cn的二次函数，a(i,j) a(j,i)，令J(Un)0，从而得到C| ,C2...Cn满足Cj
在Richardson格式(4.1.10)中以 :—(n1
j
）代入，便得Du Fort Fran：el格式:
；1(n1
h
n
1n
12
2
1
j
j
t
2
t2
6
n
1n
12
2
1
j
j
t
2
t2
6
n 1
n 1
①-
②得-
j
j
1
2
t
6
从而得到了微分方程左边的误差
同理可得微分方程右边的误差:
2.44
旦洁—h
h
1
3
3
t3
144
,j 1
n
i,j)cCjCj( f,
j 1
j)确定G,求得近似解
Un的
过程
Galerki n
n
法：为求得UnCi i
i 1
形式
的近似解，在系数
Ci使Un关于VUn，
满足
a(Un,V)
(f,V)，对任
意
VUn或(
取Vj,1 j n
)
nn
a(i,j)Ci(f,j), j 1,2...n的情况下确定c，从而得到近似解unCi i的过程称
2fu)dx
得到:
J(U
b
a
2
qu
2 fu )dx
2i
I
qu
h fUndX
带入C2可得
J(U
J (Un)
令uj
其中
aj
1
0
1
hi
i0
1
1,juj 1
f (X
h
ajjUj
1
0
1
0
1
0
1
b
aj 1,j
aj 1,j
aj,j
从而得到
hj
1P(X1
1
h
wenku.baidu.comhj 1
)]
h
)_(U
\2
U
hi
hq(X
hi
)(N
2
)U
hi
vk+1exp(ia jh) = r exp(ia( j +1)h)+(1-2r)exp( ia jh) + r exp(ia( j-1)h)vk消 去
exp(iajh)则知增长因子
2ah C1=(xp,t)=(1-2r) + r(exp(iah)+exp(-iah))=1-2r(1-cosah)=1-4rsin乙由于 霁甲)在［0，n］中分布稠密，(随h?0)为使Cgt)满足vonNeu-Mann条件，
10，11题不会。 在此将14题推导过程介绍如下：
12.对Possion方程f (x, y)，建立五点差分格式，并估计截断误差。
取定沿x轴和y轴方向的步长h1和h2,沿x,y方向分别用二阶中心差商代替，则
2 2
i1,ji,j i 1,j i,j 1 i, j i,j 1
h ij[22]fij(五点差分格式)
分割成三角形网，称为G的三角剖分。
基函数的取法：通过构造Lagrange型插值公式可以得到基函数的取法。不妨以R(x,y)是
一次多项式为例，得到R(x, y) L!1L22L33，其中U是相应于节点1的基函数在 △上的限制(具体的过程，可参考课本：P57P58)
9.题，参考课后习题P92的第一题，具体过程可参考积分插值的推导过程
利用中心差商公式
1
[(—)](i,j)
i 1,j
i2)i，j
2
i2i 1，j
2
h
[
i,j 12i,j i,j 1
h1
将②
③两式代入①式得
I1
i
即poission
.1 i 1,j( .1
iii
2 2
h
1)i,j
2
2
1,j
r^] f(
方程极坐标形式的差分方程。
14•解：将u：+1,u：-1,u：+1, u：,按照Taylor在u：处展开整理得到其截断误差为
2(x, yj)
h；
4(Xi,yj)
h：
6(x, yj)
(h6)
2
y
12
4
y
360
6
y
("b)
截断误差为
4
4
Rj()
(Xi, yj)
n(Xi, yj)
12
(h14
h；
4)ij
(h4)
(h2)
12x
y
13.对possion方程建立，极坐标形式的差分格式
poission方程的极坐标形式为
2
—]
f(
其中
tan
hi
式中i,j表示节点(i,j)上的网函数。
令n(xi,yj)
ijf
『n(Xi, yj)fij
f (x, yj)
利用Taylor
展式有
(x1, yj)
2 (x,yj)
(x1,yj)
2(x, yj)
h2
4(Xi,yj)
h；
6(x, yj)
6\
h2
2
X
12
4
X
360
6
X
(h )
(xy J
2 (xy)
(Xi,yj 1)
aj
)(N
1,juj 1
hq(x
hq
hjq(Xj 1
1
hj10逖
U1,U2,…，Un的线性方程组!
)Ui
bj
)U
)(1
)]d
h
h
h
)]d
11
0[hj 1p(Xj
h
2
h
)d
7.矩形剖分假定区域C1可以分割成为有限个互不重叠的矩形的和, 标轴平行，任意两个矩形或者不相交或者有公共的边和公共的顶点，
且每个小矩形的边和坐
24t4
(Xj,
1tn)—
①
3
144
24t4
3
t3
(Xj,
2tn)
②
3
2
t3
（省去了
2
的商阶无穷小）
3
2
t
12
ah
12
44
a
12h
从而得到…(h)「(2h2)订)
15.用Fourier方法讨论向前差分格式的稳定性。
解：向前差分格式u：+=ru：++(1- 2r)u：+ru：i。以u：=vkexp(ia jh)代 入得
nn
a(i,j)Ci(f,j), j1,2...n，通过解线性方程组，求的Ci，代入unCi i，
i 1i 1
从而得到近似解Un的过程称为Rit2法
n
简而言之，Rit2法：为得到偏微分方程的有穷维解，构造了一个近似解，unCi i
i 1
利用J (Un)
11
a(Un,Un) (f ,Un)
22i
n
a(
6.
之间的小区间Ii［Xii,xJ,hiXi人i，由节点上的一组值Uo0,Ui,U2...U|，按线
性插值公式
h
X经Ui0X Ii,i hi
1,2.确定试探空间
Un，令
F(x)
把1i变到
轴上的参考但愿［0,1］令No()1
,N
则:
U
N0( )ui 1
N
)Ui,x Ii0将®带入该函数
J(u)
1
2
2
qu
i 1i 1
Galerkin法为
n
Rit2-Galerkin法方程：a(i,j)^( f,j)
i 1
5.有限元法：将偏微分方程转化为变分形式，选定单元的形状，对求解域作剖分，进而构造基函数或单元形状函数，形成有限元空间，将偏微分方程转化成了有限元方程，利用有效的有限元方程的解法，给出偏微分方程近似解的过程称为有限元法。