(6)过三点的圆：
①经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．
②三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外 接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是 三边 中垂线 的交点，这个三角形叫做这个圆的内接三 角形．
[难点正本 疑点清源] 1．确定一个圆的基本条件，把握圆的定义 所谓“确定”包含两层意思：一是说明存在，二是说明唯一，确定一 个圆的基本条件有两个：一个是圆心(定点)，一个是半径(定长)，圆心 决定圆的位置，半径决定圆的大小，二者缺一不可． 圆的定义有以下两种说法： 一种说法：线段绕它的一个端点在平面上旋转时，另一个端点画出 的封闭曲线叫做圆． 另一种说法：平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合叫做圆． 前者从圆的产生刻画圆，称圆的产生定义；后者从圆的本质属性上 刻画它，称圆的内涵定义．集合，是指一切这样的点，因而可以利用它 判定一个点是否在已知圆上，从而建立了圆的内部、外部的概念． 由于球面上任意封闭曲线、球面上的点都满足到定点(球心)的距离 等于定长的要求，所以，圆的定义中，“平面上”这个要求是不可缺少 的． 同时，两种形式的定义都表明，“圆”指的是“圆周”，不包括被它 围起
与原来的图形重合．
(2)垂径定理及推论：
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦 ，并且平分弦所对的两条弧 ．
垂径定理的推论：
①平分弦(不是直径)的直径 垂直于弦 ，并且 平分弦所对的两条弧 ；
②弦的垂直平分线 经过圆心 ，并且平分弦所对的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦 所对的另一条弧．
4．(2011· 南充)在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油
面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分
米，油面宽变为8分米，则圆柱形油槽直径MN为( A．6分米 B．8分米 )
C．10分米
答案 C
D．12分米
解析
如图，画 OC⊥AB 于 C，交 A1B1 于 D，
设 OD＝d，则 OC＝d＋1， 由勾股定理，得 r2＝42＋d2，r2＝32＋(d＋1)2， ∴42＋d2＝32＋(d＋1)2， 解之，得 d＝3， ∴r＝ 42＋32＝5， 直径 MN＝2r＝10.
(4)圆周角：顶点在 圆上 ，角的两边与圆相交的角叫圆周角．
(5)等弧：在 同圆或等圆 中，能够完全 重合 的弧．
2．圆的有关性质： (1)圆的对称性：
①圆是 轴对称 图形，其对称轴是 过圆心的任意一条直线 ．
②圆是 中心对称 图形，对称中心是 圆心 ．
③旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能
(2)(2011· 乐山)如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，若
∠BOC＝40°，则∠ABD＝( A．40° C．70° 答案
解析
)
B．60° D．80°
C
∵直径 AB⊥弦 CD，
∴ BC ＝ BD . ∵∠BOC＝40° ， ∴ BC ＝ BD ＝40° . ∴ AD ＝140° ，∠ABD＝70° .
2．应用圆的基本性质 垂径定理反映了圆的重要性质，是证明线段相等、角相等以 及垂直关系的重要依据，事实上，垂径定理及其推论也可以理解 为，对于一个圆和一条直线，给出下列五个条件：①直线垂直于 弦；②直线过圆心；③直线平分弦(不是直径)；④直线平分弦所 对的优弧；⑤直线平分弦所对的劣弧．如果具备其中两个，就能 推出其他三个． 运用圆心角、弦、弧与弦心距之间的关系定理，可以证明同 圆或等圆中弧相等、角相等及线段相等，这个定理也可以理解为： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦所 对的弦心距中，有一组量相等，那么所对应的其余各组量也分别 相等．由该定理又可得到：圆心角的度数与它所对的弧的度数相 等．
探究提高 连接OM、ON，则OM⊥AB，ON⊥CD，OM、 ON分别是弦AB、CD的弦心距，“有弦常作弦心距”， 这是一个常用的方法．
知能迁移3
(1)(2011· 上海)如图，AB、AC都是圆O的弦，
OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝3，
那么BC＝_________.
答案 6
解析 ∵OM⊥AB，ON⊥AC， ∴AM＝BM，AN＝CN， ∴MN 是△ABC 的中位线， 1 ∴MN＝ BC， 2 即 BC＝2MN＝2×3＝6.
(2)如图，在⊙O 中，已知 AC＝BD， 求证：(1)OC＝OD； (2) AE ＝ BF .
解 ①连接 OA、OB. ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠B. ∵AC＝BD， ∴△OAC≌△OBD， ∴OC＝OD. ②∵△OAC≌△OBD， ∴∠AOC＝∠BOD， ∴ AE ＝ BF .
题型四
【例 4】
(3)弦、弧、圆心角的关系定理及推论： ①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心
角所对的弧 相等 ，所对的弦 相等 ．
②推论：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角 ， 两条弧 、
两条弦、两条弦心距 中有一组量相等，那么它们所对应的
其余各组量都分别相等．
(4)圆周角定理及推论： 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的
值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图
形的“周率”，下面四个平面图形(依次为正三角形、正方形、 正六边形、圆)的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下
列关系中正确的是(
)
A．a4＞a2＞a1 C．a1＞a2＞a3
B．a4＞a3＞a2 D．a2＞a3＞a4
答案
B
3 解析 设正三角形的边长为 1，其“直径”为 1，周率 a1＝ ＝3； 1 4 同理正方形的周率 a2＝ ＝2 2； 2 6 正六边形的周率 a3＝ ＝3； 2 2π 圆的周率 a4＝ ＝π. 2 可知 a2<a1＝a3<a4，所以 a4>a3>a2 正确．
依据“圆内接四边形的对角互补”，这两个角互补．
知能迁移2
(2012· 威海)如图，AB为⊙O的直径，点C、D在
⊙O上，若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数是________． 答案
解析
105°
∵OA＝OD，∠AOD＝30° ，
1 ∴∠A＝ ×(180° －30° )＝75° . 2 ∵四边形 ABCD 内接于⊙O， ∴∠A＋∠BCD＝180° ， ∴∠BCD＝180° －∠A＝180° －75° ＝105° .
2 C. 2
答案
解析
A
连接 OA，设 AB 垂直 OC 的垂足为 D， 1 6 1 1 在 Rt△AOD 中，AD＝ AB＝ ，OD＝ OA＝ r， 2 2 2 2 1 2 62 所以2r ＋ ＝r2，解之，得 r＝ 2. 2
3．(2011· 德州)一个平面封闭图形内(含边界)任意两点距离的最大
学生答案展示
当圆心在△ABC 内时，如图，连接 OB、OC.
1 1 ∵OD＝ r＝ OC，OD⊥BC， 2 2 ∴∠OCD＝30° ，∴∠DOC＝60° . 同理，∠BOD＝60° . ∴∠BOC＝120° . ∴∠A＝60° . 当圆心 O 在△ABC 外时， 如图，同上，可求得∠BOC＝120° ， ∴∠A＝∠BOC＝120 ° . 综上，∠A 的度数为 60° 120° 或 .
第六章 基本图形（二）
第26课
圆的基本性质
基础知识
自主学习
要点梳理 1．主要概念：
(1)圆：平面上到 定点 的距离等于 定长 的所有点组成的图形叫
做圆． 定点 叫圆心， 定长 叫半径，以O为圆心的圆记作⊙O. (2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫 弧 ，连结圆上任意两点 的线段叫 弦 ，经过圆心的弦叫直径，直径是最长的 弦 ． (3)圆心角：顶点在 圆心 ，角的两边与圆相交的角叫圆心角．
建模思想，解决管道水位问题
某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人
员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图所示
是水平放置的破裂管道有水部分的截面．若这个输水管 道有水部分的水面宽AB＝16 cm，水面最深地方的高度
为4 cm，求这个圆形截面的半径．
解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！
解：如图，设弦 AB 表示水面，O 为圆心， 过 O 画 OD⊥AB 于 C，交⊙O 于 D， 连接 OA，根据垂径定理，有 AC＝BC. 设 OA＝OD＝r，[2 分] 在 Rt△AOC 中，AC2＋OC2＝OA2， ∴82＋(r－4)2＝r2，[4 分] 解得，r＝10.[6 分] 答：这个圆形截面的半径是 10 cm.
答案 探究提高
20 当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对
的圆周角或圆心角，“一条弧所对的圆周角等于该弧所 对的圆心角的一半”，通过求等的弧把角联系起来．
知能迁移1 (1)(2011· 重庆)如图，已知AB为⊙O的直径，
∠CAB＝30°，则∠D＝_________.
答案 解析
60° ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵∠CAB＝30°， ∴∠B＝60°. ∴∠D＝∠B＝60°.
一半 ．
圆周角定理的推论： ①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆 周角所对的弧 相等 ． ②半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ；90°的圆周角所对
的弦是 直径 ．
(5)点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)：
①点P在圆上⇔ d＝r ；
②点P在圆内⇔ d<r ； ③点P在圆外⇔ d>r .
基础自测
1．(2011· 绍兴)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若
∠C＝16°，则∠BOC的度数是(
A．74° C．32° B．48° D．16°
)
答案 解析
C ∵OA＝OC，∴∠A＝∠C＝16°，∴∠BOC＝∠A
＋∠C＝32°.
2．(2011· 泰安)如图，⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC， 若 AB＝ 6，则⊙O 的半径为( A. 2 B．2 2 6 D. 2 )
探究提高
这是一道实际问题，关键是将其转化为数学问
题．由于管道是圆形的，因此可以把水面宽度看作弦长，
从而利用垂径定理构造直角三角形，再利用勾股定理、方 程思想来求解．
知能迁移4 在直径为400 mm的圆柱形油槽内，装入一部分
油，油面宽320 mm，求油的深度． 解 如图①，在Rt△AOC中，
AO＝200，AC＝160，
∴OC＝120， ∴CD＝OD－OC＝200－120＝80. 如图②，在Rt△AOC中， AO＝200，AC＝160， ∴OC＝120， ∴CD＝OD＋OC＝200＋120＝320. 答：油的深度为80 mm或320 mm.
图② 图①
易错警示
17．忽忘外心在形外
试题
△ABC 内接于半径为 r 的⊙O，且 BC>AB>AC， 1 OD⊥BC 于 D，若 OD＝ r，求∠A 的度数． 2
∴∠ABD＝90° Rt△ABD 中，AB＝100，∴AD＝100 2. .在
答案
B
题型分类
题型一 【例 1】
深度剖析
圆心角与圆周角的关系 (2011· 衡阳)如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，
∠EOD＝40°，则∠FCD的度数为______．
解析
∵直径 CD 过弦 EF 的中点，
∴CD⊥EF， DE ＝ DF . ∵∠EOD＝40° ， ∴ DF ＝ DE ＝40° . ∴∠FCD＝20° .
题型二
【例 2】 答案
圆内接四边形
一条弦的长度等于它所在的圆的半径，那么这条 30°或150°
弦所对的圆周角的度数是________．
探究提高
在很多没有给定图形的问题中，常常不能根据题
目的条件把图形确下来，因此会导致解的不唯一性，这种 题一题多解，必须分类讨论．本题中，弦所对的圆周角不
是唯一的，圆周角的顶点可能在优弧上，也可能在劣弧上，
题型三
【例 3】
圆的轴对称性
如图，已知 AB、CD 是⊙O 的弦，M、N 分别
是 AB、CD 的中点，且∠AMN＝∠CNM. 求证： AB ＝ CD .
Байду номын сангаас
解
证明：连接 OM、ON，
∵M、N 分别是 AB、CD 的中点， ∴OM⊥AB，ON⊥CD. ∴∠AMO＝∠CNO＝90° . ∵∠AMN＝∠CNM， ∴∠OMN＝∠ONM， ∴OM＝ON. 又 OM⊥AB，ON⊥CD， ∴AB＝CD， AB ＝ CD .
5．(2011· 衢州)一个圆形人工湖如图所示，弦 AB 是湖上的一座桥， 已知桥 AB 长 100m，测得圆周角∠ACB＝45° ，则这个人工湖的 直径 AD 为( A．50 2 m C．150 2 m ) B．100 2 m D．200 2 m
解析
连接 BD，有∠ADB＝∠ACB＝45° ，又 AD 是直径，
