2013年中考数学复习 第五章基本图形 第26课 圆的基本性质课件

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(6)过三点的圆:
①经过不在同一直线上的三点,有且只有一个圆.
②三角形的外心:经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外 接圆;外接圆的圆心叫做三角形的外心;三角形的外心是 三边 中垂线 的交点,这个三角形叫做这个圆的内接三 角形.
[难点正本 疑点清源] 1.确定一个圆的基本条件,把握圆的定义 所谓“确定”包含两层意思:一是说明存在,二是说明唯一,确定一 个圆的基本条件有两个:一个是圆心(定点),一个是半径(定长),圆心 决定圆的位置,半径决定圆的大小,二者缺一不可. 圆的定义有以下两种说法: 一种说法:线段绕它的一个端点在平面上旋转时,另一个端点画出 的封闭曲线叫做圆. 另一种说法:平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合叫做圆. 前者从圆的产生刻画圆,称圆的产生定义;后者从圆的本质属性上 刻画它,称圆的内涵定义.集合,是指一切这样的点,因而可以利用它 判定一个点是否在已知圆上,从而建立了圆的内部、外部的概念. 由于球面上任意封闭曲线、球面上的点都满足到定点(球心)的距离 等于定长的要求,所以,圆的定义中,“平面上”这个要求是不可缺少 的. 同时,两种形式的定义都表明,“圆”指的是“圆周”,不包括被它 围起
与原来的图形重合.
(2)垂径定理及推论:
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦 ,并且平分弦所对的两条弧 .
垂径定理的推论:
①平分弦(不是直径)的直径 垂直于弦 ,并且 平分弦所对的两条弧 ;
②弦的垂直平分线 经过圆心 ,并且平分弦所对的两条弧; ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦 所对的另一条弧.
4.(2011· 南充)在圆柱形油槽内装有一些油,截面如图,油
面宽AB为6分米,如果再注入一些油后,油面AB上升1分
米,油面宽变为8分米,则圆柱形油槽直径MN为( A.6分米 B.8分米 )
C.10分米
答案 C
D.12分米
解析
如图,画 OC⊥AB 于 C,交 A1B1 于 D,
设 OD=d,则 OC=d+1, 由勾股定理,得 r2=42+d2,r2=32+(d+1)2, ∴42+d2=32+(d+1)2, 解之,得 d=3, ∴r= 42+32=5, 直径 MN=2r=10.
(4)圆周角:顶点在 圆上 ,角的两边与圆相交的角叫圆周角.
(5)等弧:在 同圆或等圆 中,能够完全 重合 的弧.
2.圆的有关性质: (1)圆的对称性:
①圆是 轴对称 图形,其对称轴是 过圆心的任意一条直线 .
②圆是 中心对称 图形,对称中心是 圆心 .
③旋转不变性,即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能
(2)(2011· 乐山)如图,CD是⊙O的弦,直径AB⊥CD,若
∠BOC=40°,则∠ABD=( A.40° C.70° 答案
解析
)
B.60° D.80°
C
∵直径 AB⊥弦 CD,
∴ BC = BD . ∵∠BOC=40° , ∴ BC = BD =40° . ∴ AD =140° ,∠ABD=70° .
2.应用圆的基本性质 垂径定理反映了圆的重要性质,是证明线段相等、角相等以 及垂直关系的重要依据,事实上,垂径定理及其推论也可以理解 为,对于一个圆和一条直线,给出下列五个条件:①直线垂直于 弦;②直线过圆心;③直线平分弦(不是直径);④直线平分弦所 对的优弧;⑤直线平分弦所对的劣弧.如果具备其中两个,就能 推出其他三个. 运用圆心角、弦、弧与弦心距之间的关系定理,可以证明同 圆或等圆中弧相等、角相等及线段相等,这个定理也可以理解为: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦所 对的弦心距中,有一组量相等,那么所对应的其余各组量也分别 相等.由该定理又可得到:圆心角的度数与它所对的弧的度数相 等.
探究提高 连接OM、ON,则OM⊥AB,ON⊥CD,OM、 ON分别是弦AB、CD的弦心距,“有弦常作弦心距”, 这是一个常用的方法.
知能迁移3
(1)(2011· 上海)如图,AB、AC都是圆O的弦,
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M、N,如果MN=3,
那么BC=_________.
答案 6
解析 ∵OM⊥AB,ON⊥AC, ∴AM=BM,AN=CN, ∴MN 是△ABC 的中位线, 1 ∴MN= BC, 2 即 BC=2MN=2×3=6.
(2)如图,在⊙O 中,已知 AC=BD, 求证:(1)OC=OD; (2) AE = BF .
解 ①连接 OA、OB. ∵OA=OB, ∴∠A=∠B. ∵AC=BD, ∴△OAC≌△OBD, ∴OC=OD. ②∵△OAC≌△OBD, ∴∠AOC=∠BOD, ∴ AE = BF .
题型四
【例 4】
(3)弦、弧、圆心角的关系定理及推论: ①弦、弧、圆心角的关系:在同圆或等圆中,相等的圆心
角所对的弧 相等 ,所对的弦 相等 .
②推论:在同圆或等圆中,如果两个 圆心角 , 两条弧 、
两条弦、两条弦心距 中有一组量相等,那么它们所对应的
其余各组量都分别相等.
(4)圆周角定理及推论: 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的
值称为该图形的“直径”,封闭图形的周长与直径之比称为图
形的“周率”,下面四个平面图形(依次为正三角形、正方形、 正六边形、圆)的周率从左到右依次记为a1,a2,a3,a4,则下
列关系中正确的是(
)
A.a4>a2>a1 C.a1>a2>a3
B.a4>a3>a2 D.a2>a3>a4
答案
B
3 解析 设正三角形的边长为 1,其“直径”为 1,周率 a1= =3; 1 4 同理正方形的周率 a2= =2 2; 2 6 正六边形的周率 a3= =3; 2 2π 圆的周率 a4= =π. 2 可知 a2<a1=a3<a4,所以 a4>a3>a2 正确.
依据“圆内接四边形的对角互补”,这两个角互补.
知能迁移2
(2012· 威海)如图,AB为⊙O的直径,点C、D在
⊙O上,若∠AOD=30°,则∠BCD的度数是________. 答案
解析
105°
∵OA=OD,∠AOD=30° ,
1 ∴∠A= ×(180° -30° )=75° . 2 ∵四边形 ABCD 内接于⊙O, ∴∠A+∠BCD=180° , ∴∠BCD=180° -∠A=180° -75° =105° .
2 C. 2
答案
解析
A
连接 OA,设 AB 垂直 OC 的垂足为 D, 1 6 1 1 在 Rt△AOD 中,AD= AB= ,OD= OA= r, 2 2 2 2 1 2 62 所以2r + =r2,解之,得 r= 2. 2
3.(2011· 德州)一个平面封闭图形内(含边界)任意两点距离的最大
学生答案展示
当圆心在△ABC 内时,如图,连接 OB、OC.
1 1 ∵OD= r= OC,OD⊥BC, 2 2 ∴∠OCD=30° ,∴∠DOC=60° . 同理,∠BOD=60° . ∴∠BOC=120° . ∴∠A=60° . 当圆心 O 在△ABC 外时, 如图,同上,可求得∠BOC=120° , ∴∠A=∠BOC=120 ° . 综上,∠A 的度数为 60° 120° 或 .
第六章 基本图形(二)
第26课
圆的基本性质
基础知识
自主学习
要点梳理 1.主要概念:
(1)圆:平面上到 定点 的距离等于 定长 的所有点组成的图形叫
做圆. 定点 叫圆心, 定长 叫半径,以O为圆心的圆记作⊙O. (2)弧和弦:圆上任意两点间的部分叫 弧 ,连结圆上任意两点 的线段叫 弦 ,经过圆心的弦叫直径,直径是最长的 弦 . (3)圆心角:顶点在 圆心 ,角的两边与圆相交的角叫圆心角.
建模思想,解决管道水位问题
某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人
员为更换管道,需确定管道圆形截面的半径,如图所示
是水平放置的破裂管道有水部分的截面.若这个输水管 道有水部分的水面宽AB=16 cm,水面最深地方的高度
为4 cm,求这个圆形截面的半径.
解题示范——规范步骤,该得的分,一分不丢!
解:如图,设弦 AB 表示水面,O 为圆心, 过 O 画 OD⊥AB 于 C,交⊙O 于 D, 连接 OA,根据垂径定理,有 AC=BC. 设 OA=OD=r,[2 分] 在 Rt△AOC 中,AC2+OC2=OA2, ∴82+(r-4)2=r2,[4 分] 解得,r=10.[6 分] 答:这个圆形截面的半径是 10 cm.
答案 探究提高
20 当图中出现同弧或等弧时,常常考虑到弧所对
的圆周角或圆心角,“一条弧所对的圆周角等于该弧所 对的圆心角的一半”,通过求等的弧把角联系起来.
知能迁移1 (1)(2011· 重庆)如图,已知AB为⊙O的直径,
∠CAB=30°,则∠D=_________.
答案 解析
60° ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°. ∵∠CAB=30°, ∴∠B=60°. ∴∠D=∠B=60°.
一半 .
圆周角定理的推论: ①同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中相等的圆 周角所对的弧 相等 . ②半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ;90°的圆周角所对
的弦是 直径 .
(5)点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离,r为圆的半径):
①点P在圆上⇔ d=r ;
②点P在圆内⇔ d<r ; ③点P在圆外⇔ d>r .
基础自测
1.(2011· 绍兴)如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,若
∠C=16°,则∠BOC的度数是(
A.74° C.32° B.48° D.16°
)
答案 解析
C ∵OA=OC,∴∠A=∠C=16°,∴∠BOC=∠A
+∠C=32°.
2.(2011· 泰安)如图,⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC, 若 AB= 6,则⊙O 的半径为( A. 2 B.2 2 6 D. 2 )
探究提高
这是一道实际问题,关键是将其转化为数学问
题.由于管道是圆形的,因此可以把水面宽度看作弦长,
从而利用垂径定理构造直角三角形,再利用勾股定理、方 程思想来求解.
知能迁移4 在直径为400 mm的圆柱形油槽内,装入一部分
油,油面宽320 mm,求油的深度. 解 如图①,在Rt△AOC中,
AO=200,AC=160,
∴OC=120, ∴CD=OD-OC=200-120=80. 如图②,在Rt△AOC中, AO=200,AC=160, ∴OC=120, ∴CD=OD+OC=200+120=320. 答:油的深度为80 mm或320 mm.
图② 图①
易错警示
17.忽忘外心在形外
试题
△ABC 内接于半径为 r 的⊙O,且 BC>AB>AC, 1 OD⊥BC 于 D,若 OD= r,求∠A 的度数. 2
∴∠ABD=90° Rt△ABD 中,AB=100,∴AD=100 2. .在
答案
B
题型分类
题型一 【例 1】
深度剖析
圆心角与圆周角的关系 (2011· 衡阳)如图,⊙O的直径CD过弦EF的中点G,
∠EOD=40°,则∠FCD的度数为______.
解析
∵直径 CD 过弦 EF 的中点,
∴CD⊥EF, DE = DF . ∵∠EOD=40° , ∴ DF = DE =40° . ∴∠FCD=20° .
题型二
【例 2】 答案
圆内接四边形
一条弦的长度等于它所在的圆的半径,那么这条 30°或150°
弦所对的圆周角的度数是________.
探究提高
在很多没有给定图形的问题中,常常不能根据题
目的条件把图形确下来,因此会导致解的不唯一性,这种 题一题多解,必须分类讨论.本题中,弦所对的圆周角不
是唯一的,圆周角的顶点可能在优弧上,也可能在劣弧上,
题型三
【例 3】
圆的轴对称性
如图,已知 AB、CD 是⊙O 的弦,M、N 分别
是 AB、CD 的中点,且∠AMN=∠CNM. 求证: AB = CD .
Байду номын сангаас

证明:连接 OM、ON,
∵M、N 分别是 AB、CD 的中点, ∴OM⊥AB,ON⊥CD. ∴∠AMO=∠CNO=90° . ∵∠AMN=∠CNM, ∴∠OMN=∠ONM, ∴OM=ON. 又 OM⊥AB,ON⊥CD, ∴AB=CD, AB = CD .
5.(2011· 衢州)一个圆形人工湖如图所示,弦 AB 是湖上的一座桥, 已知桥 AB 长 100m,测得圆周角∠ACB=45° ,则这个人工湖的 直径 AD 为( A.50 2 m C.150 2 m ) B.100 2 m D.200 2 m
解析
连接 BD,有∠ADB=∠ACB=45° ,又 AD 是直径,