1.1.1正弦定理导学案(必修五)

§1.1.1 正弦定理 学习目标 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．

学习过程

一、课前准备

试验：固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．

思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？

显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．（简：大角对大边）能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？

二、新课导学

※ 学习探究

探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，

根据锐角三角函数中正弦函数的定义，

有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c

==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C

==．

探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，

有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B

=， 同理可得sin sin c b C B =，从而sin sin a b A B =sin c C

=．

类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试推导.

新知：正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即

sin sin a b A B =sin c C

=． 试试：

（1）在ABC ∆中，一定成立的等式是（ ）．

A ．sin sin a A b

B = B .cos cos a A b B =

C . sin sin a B b A =

D .cos cos a B b A =

（2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ．

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =；

（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C

． （3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B

=；b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b

=；sin C = ． （4）一般地，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边,,a b c 叫做 .已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 ．

※ 典型例题

例1. 在ABC ∆中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．

变式：在ABC ∆中，已知45B =，60C =，12a =cm ，解三角形．

例2. 在45,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和．

变式：在60,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和．

三、总结提升

※ 学习小结

1. 正弦定理：

sin sin a b A B =sin c C

= 2．应用正弦定理解三角形：

①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角．

※ 知识拓展

sin sin a b A B =2sin c R C ==，其中2R 为外接圆直径.

※ 当堂检测

1．根据下列条件，解△ABC.

(1)已知b=4，c=8， B=30o ； (2)已知B=30o ，

c=2 ； (3)已知b=6，c=9，B=45o .

2. 在△ABC 中，解三角形

(1)a=3，b=2，A=30 o ； (2)a=2，

，A=45 o ；

(3)a=5，b=2，B=120 o ；

B=45 o .

3.在△ABC 中，a:b:c=1:3:3，求2sin sin sin A B C -的值.

4. 在ABC ∆中，若

cos cos A b B a

=，则ABC ∆是（ ）. A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形

5. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（ ）.

A ．1∶1∶4

B ．1∶1∶2

C ．1∶1

D ．2∶26. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）.

A. A B >

B. A B <

C. A ≥B

D. A 、B 的大小关系不能确定

7. 已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．

8. 已知∆ABC 中，∠A 60=︒，a sin sin sin a b c A B C

++++= ．(合比性质)

9. 在△ABC 中,a=5,b=3,C=120o ,则sinA:sinB 的值是（ ）

5335. B. C. D. 3577

A

10.已知△ABC 外接圆半径是2cm ，A=60o ,求BC 边长.

11.在△ABC 中，22tan tan a B b A =，试判断△ABC 的形状.

12.已知cos cos a A b B =，试判定△ABC 形状.

1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．

2. 已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为．