1.1.1正弦定理导学案(必修五)

1.1.1正弦定理一、教学目标： 1、能力要求：①掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解一些斜三角形； ②能够运用正弦定理解决某些与测量和几何有关的实际问题。

2、过程与方法：①使学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系——正弦定理。

②在探究学习中认识到正弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。

二、教学重点、难点：重点： 理解和掌握正弦定理的证明方法。

难点： 理解和掌握正弦定理的证明方法；三角形解的个数的探究。

三、预习问题处理：1、在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角。

那么斜三角形怎么办？确定一个直角三角形或斜三角形需要几个条件？2、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 。

3、一般地，把三角形的三个角C B A ,,和它们所对的边c b a ,,叫做三角形的 ，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做 。

4、用正弦定理可解决下列那种问题① 已知三角形三边；②已知三角形两边与其中一边的对角；③已知三角形两边与第三边的对角；④已知三角形三个内角；⑤已知三角形两角与任一边；⑥已知三角形一个内角与它所对边之外的两边。

5、上题中运用正弦定理可求解的问题的解题思路是怎样的？四、新课讲解：在ABC Rt ∆中，设90=C ，则1sin ,sin ,sin ===C c b B c a A ，即：C cc B b c A a c sin ,sin ,sin ===, CcB b A a sin sin sin ==。

问题一：对于一般的三角形，上述关系式是否依然成立呢？ 设ABC ∆为锐角三角形，其中C 为最大角。

如图（１）过点A 作BC AD ⊥于D ，此时有bADC c AD B ==sin ,sin ，所以C b B c sin sin =，即C c B b sin sin =．同理可得CcA a sin sin =， 所以CcB b A a sin sin sin ==。

高中数学必修5《1.1.1 正弦定理》教学设计1000字【教学设计】【教学目标】1. 理解正弦定理的概念，掌握求解三角形边长的方法。

2. 学会运用正弦定理求解实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

【教学内容】《数学必修5》第1章第1节，“正弦定理”（1.1.1）。

【教学过程】一、导入1. 引导学生思考：“三角形的边有什么特点？”2. 让学生回忆一下高中数学所学的定理，比如勾股定理和角平分线定理。

3. 引入正弦定理的概念，让学生对正弦定理有个初步的了解。

二、知识讲授1. 讲解正弦定理的概念及其公式。

2. 分别对三角形中的三角函数进行讲解，让学生对它们的定义有一个清晰的认识。

3. 通过图示让学生知道在不同情况下如何使用正弦定理解决问题。

4. 给学生提供几个具体例子，让他们练习运用正弦定理解决实际问题。

三、练习1. 让学生自主完成课本上的练习题，巩固所学知识。

2. 可以组织学生进行小组竞赛，比赛项目为用正弦定理解决实际问题，以此提高学生的兴趣和参与度。

四、复习与总结1. 以课堂小测验的形式检查学生对所学知识的掌握情况。

2. 对所学知识进行概括性总结，让学生对正弦定理的应用有更全面的了解。

【教学重点】1. 正确掌握正弦定理的概念和公式。

2. 熟练掌握正弦定理的运用方法。

【教学难点】1. 正弦定理的应用在实际问题中的具体运用。

2. 正确判断在不同情况下使用正弦定理的方法。

【教学方法】1. 讲解法：通过讲解，让学生明白正弦定理的概念和公式。

2. 案例法：通过实例让学生知道如何使用正弦定理解决问题。

3. 组织竞赛法：通过小组竞赛，让学生更加积极主动地参与课堂活动。

【学情分析】学生学习高中数学是从基础数学知识逐步深入的，正弦定理是高中数学重点内容之一，更为复杂的三角函数内容的基础。

学习正弦定理需要有良好的基础数学知识，同时也需要良好的逻辑思维能力，因此需要从基础知识入手，渐进进行教学。

【教学建议】1. 为了保证课堂效果，教师应该采用多样化的教学法，如讲解法、案例法、练习法等。

§1.1.1 正弦定理 班级 姓名 学号学习目标1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．学习过程一、课前准备CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学※ 学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C==．探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B =，同理可得sin sin c b C B=， 从而sin sin a b A B =sin c C=．类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即sin sin a b A B =sin c C=．试试：（1）在ABC ∆中，一定成立的等式是（ ）．A ．sin sin a A bB = B .cos cos a A b B =C . sin sin a B b A =D .cos cos a B b A =（2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ．[理解定理]（1）化边为角；（2）化角为边．（3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B=；b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=；sin C = ．（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．※ 典型例题例1. 在ABC ∆中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．变式：在ABC ∆中，已知45B =，60C =，12a =cm ，解三角形．例2. 在45,2,,ABC c A a b B C ∆==中，求和．变式：在60,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和．三、总结提升※ 学习小结1. 正弦定理：sin sin a b A B =sin c C= 2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.3．应用正弦定理解三角形：①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角．※ 知识拓展 a b =2c R ==，其中2R 为外接圆直径.1. 在ABC ∆中，若cos cos A b B a=，则ABC ∆是（ ）. A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（ ）.A ．1∶1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶1D ．2∶23. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）.A. A B >B. A B <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定4. 已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．5. 已知∆ABC 中，∠A 60=︒，asin sin sin a b c A B C++++= ．1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．2. 已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为．教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

§1.1 正弦定理和余弦定理 第一课时 正弦定理一、1．基础知识 设∆ABC 的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，R 是∆ABC 的外接圆半径。

（1）正弦定理： = = =R 2。

（2）正弦定理的三种变形形式： ①==b A R a ,sin 2 ，=c 。

②==B RaA sin ,2sin ，=C sin 。

③=c b a :: 。

（3）三角形中常见结论：①=++C B A 。

②a <⇔b 。

③任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边。

④2sinBA += ，=+)sin(B A ，)(2sin B A += 。

2．课堂小练（1）在ABC ∆中，若A sin >B sin ，则有（ ） A ．a <b B ．a ≥b C ．a >bD ．a ，b 的大小无法确定（2）在ABC ∆中，8,105,300===b C A ，则a 等于（ ）A ．4B ．24C ．34D ．54 （3）已知ABC ∆的三边分别为c b a ,,，且a b B A :cos :cos =，则ABC ∆是 三角形。

二、例题例1 根据下列条件，解ABC ∆：（1）已知30,7,5.3===B c b ，求a A C 、、；（2）已知B =30°，2=b ，2=c ，求a A C 、、；（3）已知045,9,6===B c b ，求a A C 、、。

例2 在ABC ∆中，CB CB A cos cos sin sin sin ++=，试判断ABC ∆的形状。

三、练习1．在ABC ∆中，若B b A a cos cos =，求证：ABC ∆是等腰三角形或直角三角形。

2．在ABC ∆中，5:3:1::=c b a ，求CBA sin sin sin 2-的值。

四、课后练习1．在ABC ∆中，下列等式总能成立的是（ ）A ．A c C a cos cos =B ．A cC b sin sin = C ．B bc C ab sin sin =D ．A c C a sin sin =2．在ABC ∆中，120,3,5===C b a ，则B A sin :sin 的值是（ ）A ．35 B ．53 C ．73 D ．75 3．在ABC ∆中，已知60,8==B a ，C=75°，则b 等于（ ）A ．24B ．34C ．64D ．3324．在ABC ∆中，060=A ，24,34==b a ，则角B 等于（ ）A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 5．根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） A ．30,16,8===A b a ，有两解 B ．60,20,18===B c b ，有一解 C ．90,2,5===A b a ，无解D ．150,25,30===A b a ，有一解6．已知ABC ∆中，45,60,10===C B a ，则c 等于（ ）A ．310+B ．)13(10-C ．)13(10+D ．3107．在ABC ∆中，已知A b B a tan tan 22=，则此三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角或等腰三角形8．在ABC ∆中，B C 2=，则BBsin 3sin 等于（ ） A ．a b B ．b a C ．c a D ．ac9．在ABC ∆中，已知45,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理，三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A ．2<x <22 B ．x >22 C ．2<x <2 D ．0<x <210．三角形两边之差为2，夹角的余弦值为53。

1.1.1正弦定理讲授新课[合作探究]师那么对于任意的三角形，关系式CcB b A a sin sin sin ==是否成立？（由学生讨论、分析）生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如右图，当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =A sin B =B sin A ,则B b A a sin sin =，同理，可得B bC c s i ns i n =.从而C cB b A a s i ns i n s i n ==.（当△ABC 是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成） 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即CcB b A a sin sin sin ==.师是否可以用其他方法证明这一等式？ 生可以作△ABC 的外接圆，在△ABC 中,令BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明CcB b A a sin sin sin ==这一关系． 师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证法. 在△ABC 中,已知BC =A ,AC =B ,AB =C ,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sin C =sin B′=RcB C 2sin sin ='=. ∴R Cc2sin =. 同理,可得R B bR A a 2sin ,2sin ==.∴R CcB b A a 2sin sin sin ===. 这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式CcB b A a sin sin sin ==. 点评:上述证法采用了初中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证,此证法在巩固平面几何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫. [知识拓展]师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢?生向量的数量积的定义式A ·B =|A ||B |C osθ,其中θ为两向量的夹角.师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢?生 可以通过三角函数的诱导公式sinθ=Co s(90°-θ)进行转化. 师这一转化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j 的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅助向量选取了单位向量j,而j 垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-θ这一形式,这是作辅助向量j 垂直于三角形一边的原因.师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得=+而添加垂直于的单位向量j 是关键,为了产生j 与、、CB 的数量积,而在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,也就在情理之中了.师下面,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点.点评: (1)在给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的充要条件的运用.(2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用. 向量法证明过程:(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于,则j 与的夹角为90°-A ,j 与的夹角为90°-C .由向量的加法原则可得=+,为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到j j ∙=+∙)(由分配律可得j j ∙=∙+.∴Co s90°Co s(90°-C Co s(90°-A ).∴A sin C =C sin A .∴CcA a sin sin =. 另外,过点C 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为90°+C ,j 与的夹角为90°+B ,可得BbC c sin sin =. (此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j 与的夹角为90°-C ,j与的夹角为90°-B )∴CcB b A a sin sin sin ==.(2)△ABC 为钝角三角形,不妨设A ＞90°,过点A 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为A -90°,j 与的夹角为90°-C .由=+,得j·+j·=j·, 即A ·Co s(90°-C )=C ·Co s(A -90°), ∴A sin C =C sin A . ∴CcA a sin sin = 另外,过点C 作与垂直的单位向量j,则j 与的夹角为90°+C ,j 与夹角为90°+B .同理,可得C cB b sin sin =.∴CcB b simA a sin sin ==（形式1）. 综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立. 师在证明了正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用. [教师精讲]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使A =ksin A ，B =ksin B ，C =ksin C ；（2）C cB b A a sin sin sin == 等价于CcA aB bC c B b A a sin sin ,sin sin ,sin sin === (形式2). 我们通过观察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题. ①已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边，如BAb a sin sin =.这类问题由于两角已知,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对容易,课本P 4的例1就属于此类问题. ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如B baA sin sin =．此类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的条件．一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形． 师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结. ［例题剖析］【例1】在△ABC 中，已知A =32.0°,B =81.8°,A =42.9 c m,解三角形.分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边B ,若求边C ,再利用正弦定理即可.解：根据三角形内角和定理， C =180°-(A +B )=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°; 根据正弦定理，b =ooA B a 0.32sin 8.81sin 9.42sin sin =≈80.1(c m); c =osin32.02.66sin 9.42sin sin oA C a =≈74.1(c m). [方法引导](1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角和180°求出第三角,再利用正弦定理.(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器.【例2】在△ABC 中，已知A =20c m ，B =28c m ，A =40°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 c m ）．分析:此例题属于B sin A ＜a ＜b 的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的检验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性.解：根据正弦定理，sin B =2040sin 28sin oa Ab =≈0.899 9.因为0°＜B ＜180°，所以B ≈64°或B ≈116°.（1）当B ≈64°时，C =180°-（A +B ）=180°-（40°+64°）=76°，C =ooA C a 40sin 76sin 20sin sin =≈30(c m). （2）当B ≈116°时，C =180°-（A +B ）=180°-（40°+116°）=24°，C =ooA C a 40sin 24sin 20sin sin =≈13(c m). [方法引导]通过此例题可使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意,可以通过分析获得,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断,对于这一点,我们通过下面的例题来体会.变式一：在△ABC 中,已知A ＝60,B ＝50,A ＝38°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字).分析:此题属于A ≥B 这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来排除B 为钝角的情形.解：已知B <A ,所以B <A ,因此B 也是锐角.∵sin B =6038sin 50sin oa Ab =≈0.513 1,∴B ≈31°.∴C =180°-(A +B )=180°-(38°+31°)=111°.∴C =ooA C a 38sin 111sin 60sin sin =≈91. [方法引导]同样是已知两边和一边对角,但可能出现不同结果,应强调学生注意解题的灵活性,对于本题,如果没有考虑角B 所受限制而求出角B 的两个解,进而求出边C 的两个解,也可利用三角形内两边之和大于第三边,两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符合题意的解.变式二：在△ABC 中,已知a ＝28,b ＝20,A ＝120°,求B (精确到1°)和C (保留两个有效数字). 分析:此题属于A 为钝角且A >B 的情形,有一解,可应用正弦定理求解角B 后,利用三角形内角和为180°排除角B 为钝角的情形.解：∵sin B =28120sin 20sin oa Ab =≈0.618 6, ∴B ≈38°或B ≈142°(舍去).∴C =180°-（A +B ）=22°. ∴ C =︒︒=120sin 22sin 28sin sin A C a ≈12. [方法引导](1)此题要求学生注意考虑问题的全面性,对于角B 为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到.(2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两边与其中一边的对角解三角形.(3)对于已知两边夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解. 师为巩固本节我们所学内容,接下来进行课堂练习：1.在△ABC 中(结果保留两个有效数字)， (1)已知C =3,A =45°,B =60°，求B ;(2)已知B ＝12,A ＝30°,B ＝120°,求A .解：(1)∵C =180°-(A +B )=180°-(45°+60°)=75°，CcB b sin sin =，∴B =︒︒=75sin 60sin 3sin sin C B c ≈1.6.(2)∵BbA a sin sin =，∴A =︒︒=120sin 30sin 12sin sin B A b ≈6.9. 点评:此题为正弦定理的直接应用,意在使学生熟悉正弦定理的内容,可以让数学成绩较弱的学生进行在黑板上解答,以增强其自信心. 2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°,边长精确到1): (1)B =11,A =20,B =30°;(2)A =28,B =20,A =45°; (3)C =54,B =39,C =115°;(4)A =20,B =28,A =120°.解： (1) ∵B bA a sin sin =.∴sin A =1130sin 20sin ︒=b B a ≈0.909 1.∴A 1≈65°，A 2≈115°.当A 1≈65°时，C 1=180°-(B +A 1)=180°-(30°+65°)=85°，∴C 1=︒︒=30sin 85sin 11sin sin sin 1B C b ≈22.当A 2≈115°时，C 2=180°-(B +A 2)=180°-(30°+115°)=35°,∴C 2=︒︒=30sin 35sin 11sin sin 2B C b ≈13.(2)∵sin B =2845sin 20sin ︒=a A b ≈0.505 1,∴B 1≈30°，B 2≈150°.由于A +B 2=45°+150°＞180°,故B 2≈150°应舍去(或者由B ＜A 知B ＜A ,故B 应为锐角). ∴C =180°-(45°+30°)=105°.∴C =︒︒=45sin 105sin 28sin sin A C a ≈38.(3)∵CcB b sin sin =, ∴sin B =54115sin 39sin ︒=c C b ≈0.654 6.∴B 1≈41°,B 2≈139°.由于B ＜C ,故B ＜C ,∴B 2≈139°应舍去. ∴当B =41°时，A =180°-(41°+115°)=24°,A =︒︒=115sin 24sin 54sin sin C A c ≈24. (4) sin B =20120sin 28sin ︒=a A b =1.212＞1. ∴本题无解.点评:此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理,同时加强解三角形的能力,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能,又要结合题目的具体情况进行正确取舍. 课堂小结通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两边和其中一边的对角解三角形. 布置作业（一）课本第10页习题1.1 第1、2题. （二）预习内容：课本P 5～P 8余弦定理 [预习提纲](1)复习余弦定理证明中所涉及的有关向量知识.(2)余弦定理如何与向量产生联系.(3)利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题.板书设计正弦定理1.正弦定理:2.证明方法:3.利用正弦定理,能够解决两类问题:CcB b A a sin sin sin == (1)平面几何法 (1)已知两角和一边 (2)向量法 (2)已知两边和其中一边的对角。

1．1．1 正弦定理习题课【学习目标】会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形。

【自主学习与检测】1.在△ABC 中，已知a ＝52，c ＝10，A ＝30°，解此三角形。

2.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，b ＝2，c ＝1，B ＝45°，则a ＝( ) A.6±22 B.6－22 C.6＋24 D.6＋22【典型例题】例1.在△ABC 中，,cos cos abB A =则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形变式（1）已知在△ABC 中，,sin sin sin ,sin sin 222C B A C c B b +==试判断三角形的形状。

变式（2）在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，则此三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．直角或等腰三角形例2.在△ABC 中，a ＝1，A ＝30°，C ＝45°，求△ABC 的面积。

并总结三角形的面积公式。

【目标检测】1*.已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，∠B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( )A ．x >2B ．x <2C ．2<x <2 2D ．2<x <2 3 2.在△ABC 中，a ＋b ＝12，A ＝60°，B ＝45°，求a 。

3.在锐角△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝1，S △ABC ＝3，求AB →²AC →的值【总结提升】（1）正弦定理灵活运用,sin :sin :sin ::C B A c b a =;::sin :sin :sin c b a C B A =（2）已知三角形两边及一边对角解三角形解的个数问题； （3）三角形的面积公式==C ab s sin 21B ac sin 21A bc sin 21=的运用。

课题：1.1.1正弦定理
【学习目标】
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法。

2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

【学习重点】正弦定理的探索和证明及其基本应用。

【学习难点】已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

【授课类型】新授课
【教具】课件、电子白板
【学习方法】
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形
ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
课题：1.1.1正弦定理
课题：1.1.1正弦定理。

第一章解三角形1.1.1正弦定理教材分析与导入三维目标一、知识与技能1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．二、过程与方法1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系；2.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理；3.进行定理基本应用的实践操作．三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．教学重点发现正弦定理、用几何法和向量法证明正弦定理。

正弦定理是三角形边角关系中最常见、最重要的两个定理之一，它准确反映了三角形中各边与它所对角的正弦的关系，对于它的形式、内容、证明方法和应用必须引起足够的重视。

正弦定理要求学生综合运用正弦定理和内角和定理等众多基础知识解决几何问题和实际应用问题，这些知识的掌握，有助于培养分析问题和解决问题能力，所以一向为数学教育所重视。

教学难点用向量法证明正弦定理。

虽然学生刚学过必修4中的平面向量的知识，但是要利用向量推导正弦定理，有一定的困难。

突破此难点的关键是引导学生通过向量的数量积把三角形的边长和内角的三角函数联系起来。

用平面向量的数量积方法证明这个定理，使学生巩固向量知识，突出了向量的工具性，是向量知识应用的范例。

教学建议正弦定理是刻画三角形边和角关系的基本定理，也是最基本的数量关系之一。

此节内容从地位上讲起到承上启下的作用：承上，可以说正弦定理是初中锐角三角函数（直角三角形内问题）的拓广与延续，是对初中相关边角关系的定性知识的定量解释，即对“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”这一定性知识的定量解释，即正弦定理得到这个边、角的关系准确的量化的表示，实现了边角的互化。

它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体应用，同时教材这样编写也体现了新课标中“体现相关内容的联系，帮助学生全面地理解和认识数学”这一指导思想；启下，正弦定理解决问题具有一定的局限性，产生了余弦定理，二者一起成为解决任意三角形问题重要定理。

§1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一 正弦定理思考1 如图，在Rt △ABC 中，a sin A ，b sin B ，csin C分别等于什么？答案a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝c . 思考2 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C 还成立吗？答案 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C 仍然成立．梳理 在任意△ABC 中，都有a sin A ＝b sin B ＝c sin C，这就是正弦定理． 特别提醒：正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．知识点二 解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．1．对任意△ABC ，都有a sin A ＝b sin B ＝csin C.(√)2．任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素．(×) 3．在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则三角形有唯一解．(×)类型一 正弦定理的证明例1 在钝角△ABC 中，证明正弦定理． 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的理解证明 如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点，根据正弦函数的定义知，CD b ＝sin ∠CAD ＝sin(180°－A )＝sin A ，CD a ＝sin B . ∴CD ＝b sin A ＝a sin B . ∴a sin A ＝bsin B. 同理，b sin B ＝csin C .故a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 反思与感悟 (1)用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．(2)要证a sin A ＝bsin B ，只需证a sin B ＝b sin A ，而a sin B ，b sin A 都对应CD .初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．跟踪训练1 如图，锐角△ABC 的外接圆O 半径为R ，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，证明：asin A＝2R .考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的理解证明 连接BO 并延长，交外接圆于点A ′，连接A ′C ， 则圆周角A ′＝A .∵A ′B 为直径，长度为2R ， ∴∠A ′CB ＝90°， ∴sin A ′＝BC A ′B ＝a 2R ，∴sin A ＝a 2R ，即asin A ＝2R .类型二 已知两角及一边解三角形例2 在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝60°，a ＝10，解三角形． 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 解 根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝10sin 60°sin 30°＝10 3. 又C ＝180°－(30°＋60°)＝90°. ∴c ＝a sin C sin A ＝10sin 90°sin 30°＝20.反思与感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式：a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝csin C ，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．(2)因为三角形内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角． 跟踪训练2 在△ABC 中，已知a ＝18，B ＝60°，C ＝75°，求b 的值． 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 解 根据三角形内角和定理，得A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°. 根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝18sin 60°sin 45°＝9 6.类型三 已知两边及其中一边的对角解三角形例3 在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解三角形． 考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形解 ∵a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝c sin A a ＝6sin 45°2＝32，∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1； 当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°. 引申探究若把本例中的条件“A ＝45°”改为“C ＝45°”，则角A 有几个值？ 解 ∵a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝2·226＝33.∵c ＝6>2＝a ，∴C >A .∴A 为小于45°的锐角，且正弦值为33，这样的角A 只有一个． 反思与感悟 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法：首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边． 跟踪训练3 在△ABC 中，若a ＝2，b ＝2，A ＝30°，则C ＝________. 考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案 105°或15°解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin 30°2＝22.∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝45°或135°，∴C ＝180°－45°－30°＝105°或C ＝180°－135°－30°＝15°.1. 在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a cos A ＝b cos B C ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b cos A考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a sin B ＝b sin A ，故选C.2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形 考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理进行边角互化解三角形 答案 B解析 由sin A ＝sin C 及正弦定理，知a ＝c ， ∴△ABC 为等腰三角形．3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6D ．4考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 答案 C解析 易知A ＝45°，由a sin A ＝b sin B 得b ＝a sin B sin A＝8×3222＝4 6. 4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝π4，则A ＝________.考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案 π3或2π3解析 由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb＝3×222＝32， 又A ∈(0，π)，a >b ，∴A >B ，∴A ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，已知a ＝5，sin C ＝2sin A ，则c ＝________. 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 2 5解析 由正弦定理，得c ＝a sin Csin A＝2a ＝2 5.1. 正弦定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)． 2. 正弦定理的应用范围(1)已知两角和任一边，求其他两边和其余一角． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角．3. 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求唯一锐角．(3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论．一、选择题1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53 B.35 C.37 D.57 考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理进行边角互化解三角形 答案 A解析 根据正弦定理，得sin A sin B ＝a b ＝53.2．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 B解析 由题意有a sin A ＝b ＝bsin B，则sin B ＝1，又B ∈(0，π)，故角B 为直角，故△ABC 是直角三角形． 3．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Cc ，则C 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 答案 B解析 由正弦定理知sin A a ＝sin Cc ，∴sin C c ＝cos Cc，∴cos C ＝sin C ，∴tan C ＝1， 又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝45°，故选B.4．在△ABC 中，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则c 等于( ) A ．1 B ．2 C. 2 D. 3 考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 答案 B解析 ∵A ＝105°，B ＝45°，∴C ＝30°. 由正弦定理，得c ＝b sin C sin B ＝22sin 30°sin 45°＝2.5．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( ) A ．－223 B.223 C ．－63 D.63考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案 D解析 由正弦定理，得15sin 60°＝10sin B ，∴sin B ＝10sin 60°15＝10×3215＝33. ∵a >b ，∴A >B ，又∵A ＝60°，∴B 为锐角． ∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫332＝63. 6．在△ABC 中，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 的值为( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 答案 B解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得3sinπ3＝1sin B ，∴sin B ＝12，由a >b ，得A >B ，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，∴B ＝π6. 故C ＝π2，由勾股定理得c ＝2.7．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A 等于( )A.310B.1010C.55D.31010 考点 用正弦定理解三角形 题点 正弦定理解三角形综合 答案 D解析 如图，设BC 边上的高为AD ，不妨令AD ＝1.由B ＝π4，知BD ＝1.又AD ＝13BC ＝BD ，∴DC ＝2，AC ＝12＋22＝ 5.由正弦定理知，sin ∠BAC ＝sin B ·BC AC ＝225·3＝31010.8．在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3 D.32考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 答案 B解析 由正弦定理得，BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝23，故选B.二、填空题9．在△ABC 中，若C ＝2B ，则cb的取值范围为________．考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理、三角变换解三角形 答案 (1,2)解析 因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π3，所以12<cos B <1.因为c b ＝sin C sin B ＝sin 2Bsin B ＝2cos B ，所以1<2cos B <2，故1<cb<2.10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝_____.考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 答案2113解析 在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，又a ＝1，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.11．锐角三角形的内角分别是A ，B ，C ，并且A >B .则下列三个不等式中成立的是______． ①sin A >sin B ； ②cos A <cos B ；③sin A ＋sin B >cos A ＋cos B . 考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理、三角变换解三角形 答案 ①②③解析 A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，故①成立． 函数y ＝cos x 在区间[0，π]上是减函数， ∵A >B ，∴cos A <cos B ，故②成立． 在锐角三角形中，∵A ＋B >π2，∴0<π2－B <A <π2，函数y ＝sin x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数， 则有sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ，即sin A >cos B ， 同理sin B >cos A ，故③成立．三、解答题12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b 和B .考点 用正弦定理解三角形题点 已知两角及一边解三角形解 ∵a sin A ＝c sin C， ∴a ＝c sin A sin C ＝10sin 45°sin 30°＝10 2. B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵b sin B ＝c sin C， ∴b ＝c sin B sin C ＝10sin 105°sin 30°＝20sin 75° ＝20×6＋24＝5(6＋2)． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，求B .考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形解 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝22， ∵a >b ，∴A >B .∴B 只有一解，∴B ＝45°.四、探究与拓展14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°.若△ABC 有两解，则x 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(2,22)D ．(2，2)考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形答案 C解析 因为△ABC 有两解，所以a sin B <b <a ，即x sin 45°<2<x ，所以2<x <22，故选C.15．已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a ＝10，b ＝20，A ＝80°；(2)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形解 (1)a ＝10，b ＝20，a <b ，A ＝80°<90°，讨论如下：∵b sin A ＝20sin 80°>20sin 60°＝103，∴a <b sin A ，∴本题无解．(2)a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°，∵b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ，∴b sin A <a <b ，∴本题有两解．由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32， 又∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝60°或B ＝120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 90°sin 30°＝43； 当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 30°sin 30°＝2 3. ∴当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝2 3.。

1．1.1 正弦定理(一)课时目标1．熟记正弦定理的内容；2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2.2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin_A ，bc＝sin_B .3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝csin C ，这个比值是三角形外接圆的直径2R .一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶2 答案 D2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B，得4sin 45°＝b sin 60°，∴b ＝2 6. 3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形 答案 A解析 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇔(2R )2sin 2A ＝(2R )2sin 2B ＋(2R )2sin 2C ，即a 2＝b 2＋c 2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( ) A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不能确定 答案 A解析 由sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135° 答案 C解析 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin Aa＝2sin 60°3＝22.∵a >b ，∴A >B ，B <60° ∴B ＝45°.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75° 答案 A解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝⎛⎭⎪⎪⎫32sin C ＋12cos C ， 即sin C ＝－3cos C . ∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 二、填空题7．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝_________. 答案 75°解析 由正弦定理得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22.∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴A ＝45°. ∴C ＝75°.8．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.答案 102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0°，180°)，∴sin A ＝1010.由正弦定理知BC sin A ＝ABsin C ， ∴AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102.9．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.答案 1解析 由正弦定理，得3sin2π3＝1sin B ， ∴sin B ＝12.∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝π6，∴A ＝π6.∴a ＝b ＝1.10．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______.答案 30°解析 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°， ∴sin(A ＋60°)＝2sin A即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°.三、解答题11．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形． 解 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C，∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3.12．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形． 解 a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°. 又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ， 所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43； 当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3. 所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3. 能力提升13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．答案 π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin(π4＋B )＝ 2.∴sin(π4＋B )＝1.又0<B <π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝2×222＝12.又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.14．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，求ab的取值范围．解 在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)，故ab的取值范围是(2，3)．1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：。

必修五 第一章§5-1正 余弦定理【课前预习】阅读教材P-完成下面填空1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有 = = = = 2R2、正弦定理的变形公式：错误！未找到引用源。

2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；错误！未找到引用源。

sin A = ，sin B = ，sin C = ；错误！未找到引用源。

::a b c = ； 错误！未找到引用源。

sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ．3、三角形面积公式： C S ∆AB = = =4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2a = ，2b = ， 2c = ．5、余弦定理的推论：cos A = ，cos B = ，cos C = ．6、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：错误！未找到引用源。

若222a b c +=，则90C = ；错误！未找到引用源。

若222a b c +>，则90C < ；错误！未找到引用源。

若222a b c +<，则90C > ．【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题1、在△ABC 中，a=7，c=5，则sinA ：sinC 的值是（ ）A 、75B 、57C 、127D 、125 2、在△ABC 中，已知a=8，B=600，C=750，则b=（ ）A 、24B 、34C 、64D 、3323、在△ABC 中，已知b=1，c=3，A=600，则S △ABC = 。

4、在△ABC 中，已知a=6， b=8，C=600，则c= 。

强调（笔记）：【课中35分钟】边听边练边落实5．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A ．090B ．0120C ．0135D ．01507．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。