数与式方程与不等式1

【2019-2021年】浙江省宁波市中考真题分类汇编专题1 数与式、方程与不等式1.（2019·宁波）-2的绝对值为（）A. B. 2 C. D. -2【答案】B【解析】【解答】解：∣-2∣=2.故答案为：B【分析】因为一个负数的绝对值等于它的相反数，而-2的相反数是2，所以-2的绝对值等于2。

2.（2019·宁波）下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【解答】解：A、∵a²和a³不是同类项，∴不能加减，故此答案错误,不符合题意；B、∵，∴此答案错误，不符合题意；C、∵，∴此答案错误，不符合题意；D、∵，∴此答案正确，符合题意。

故答案为：D【分析】（1）因为a³与a²不是同类项，所以不能合并；（2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加可判断求解；（3）根据幂的乘方，底数不变，指数相乘可判断求解；（4）根据同底数幂相除，底数不变，指数相减可判断求解。

3.（2019·宁波）宁波是世界银行在亚洲地区选择的第一个开展垃圾分类试点项目的城市，项目总投资1526000000元人民币数1526000000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【解答】解：。

故答案为：C【分析】任何一个绝对值大于等于1的数都可以用科学记数法表示，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n=整数位数-1.4.（2019·宁波）若分式有意义，则x的取值范围是（）A. x>2B. x≠2C. x≠0D. x≠-2【答案】B【解析】【解答】解：由题意得：x-2≠0，解得：x≠2.故答案为：B【分析】分式有意义的条件是：分母不为0，从而列出不等式，求解即可。

5.（2019·宁波）不等式的解为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【解答】解：去分母得：3-x﹥2x，移项得：-x-2x﹥-3，合并同类项得：-3x﹥-3，系数化为1得：x﹤1.故答案为：A【分析】解不等式的步骤是：去分母、移项、合并同类项、系数化为1.根据解不等式的步骤计算即可求解。

七年级数学知识点梳理一、数与式1有理数有理数的概念：理解有理数包括整数和分数，整数包括正整数、零和负整数，分数包括正分数和负分数。

有理数的性质：掌握有理数的四则运算性质，如加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律等。

有理数的运算：熟练进行有理数的加、减、乘、除四则运算，理解运算顺序（先乘除后加减，同级运算从左到右）。

2代数式代数式的概念：理解代数式是由数、字母通过有限次的四则运算得到的数学表达式。

单项式与多项式：认识单项式（一个或多个数与字母的积）和多项式（有限个单项式的和）。

整式的概念：了解整式是字母与数的有限次乘法和加、减运算得到的代数式。

3整式的加减合并同类项：掌握合并同类项的方法，即将相同字母的项合并，系数相加。

整式的加减法则：理解整式加减的基本法则，即先合并同类项，再进行加减运算。

二、方程与不等式1一元一次方程方程的概念：理解方程是含有未知数的等式，未知数用字母表示。

一元一次方程的概念：知道一元一次方程是只含有一个未知数，且未知数的次数为1的方程。

一元一次方程的解法：掌握一元一次方程的解法，包括移项、合并同类项、化系数为1等步骤。

2二元一次方程二元一次方程的概念：理解二元一次方程是含有两个未知数，且未知数的次数都为1的方程。

二元一次方程组的解法：学习二元一次方程组的解法，如代入法、消元法等。

3不等式与不等式组不等式的概念：理解不等式是表示两个数之间大小关系的数学式子，用不等号（如<, >, ≤, ≥）连接。

一元一次不等式：学习一元一次不等式的解法，包括移项、合并同类项、化系数为1等步骤。

不等式组：理解不等式组是由几个一元一次不等式组成的，学习不等式组的解法。

三、函数及其图像1函数的概念函数的定义：理解函数是一种特殊的对应关系，其中每一个输入值（自变量）只对应一个输出值（因变量）。

函数的表示方法：了解函数可以用表格、解析式、图像等多种方式表示。

2一次函数一次函数的概念：理解一次函数是形如y=kx+b（k≠0）的函数，其中x是自变量，y是因变量，k和b是常数。

（完整版）初中数学公式大全（整理打印版）初中数学公式大全初中数学定理、公式汇编一、数与代数1．数与式（1）实数实数的性质：①实数a 的相反数是—a ，实数a 的倒数是a1（a ≠0）；②实数a 的绝对值： ??<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a③正数大于0，负数小于0，两个负实数，绝对值大的反而小。

二次根式：①积与商的方根的运算性质：b a ab ?=（a ≥0，b ≥0）；b a b a =（a ≥0，b ＞0）；②二次根式的性质：<-≥==)0()0(2a a a a a a （2）整式与分式①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即n m n m a a a +=?（m 、n 为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即nm n m a a a -=÷（a ≠0，m 、n 为正整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即n n n b a ab =)(（n 为正整数）；④零指数：10=a （a ≠0）；⑤负整数指数：n n aa 1=-（a ≠0，n 为正整数）；⑥平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，即22))((b a b a b a -=-+；⑦完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即2222)(b ab a b a +±=±；分式①分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，即m b m a b a ??=；mb m a b a ÷÷=，其中m 是不等于零的代数式；②分式的乘法法则：bdac d c b a =?；③分式的除法法则：)0(≠=?=÷c bcad c d b a d c b a ；④分式的乘方法则：n nn ba b a =)(（n 为正整数）；⑤同分母分式加减法则：cb ac b c a ±=±；⑥异分母分式加减法则：bccd ab b d c a ±=±； 2．方程与不等式①一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0）的求根公式：)04(2422≥--+-=ac b aac b b x ②一元二次方程根的判别式：ac b 42-=?叫做一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的根的判别式：>?0方程有两个不相等的实数根；=?0方程有两个相等的实数根；<?0方程没有实数根；③一元二次方程根与系数的关系：设1x 、2x 是方程02=++c bx ax （a ≠0）的两个根，那么1x +2x =a b -，1x 2x =ac ；不等式的基本性质：①不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；3．函数一次函数的图象：函数y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0)的图象是过点（0，b ）且与直线y=kx 平行的一条直线；一次函数的性质：设y=kx+b （k ≠0），则当k>0时，y 随x 的增大而增大；当k<0， y 随x 的增大而减小；正比例函数的图象：函数kx y =的图象是过原点及点（1，k ）的一条直线。

专题一 数与式 方程与不等式自主练习题1.规定用符号[m ]表示一个实数m 的整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3.按此规定 []的值为 . 2.设，，则＝（ ）A ．2 3B ． 3C ． 6D ．33.若，则= ．4.如果关于x 的一元二次方程22110kx k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．k ＜B ．k ＜且k ≠0C ．﹣≤k ＜D ．﹣≤k ＜且k ≠05.如图，将矩形沿图中虚线(其中x ＞y )剪成四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若y ＝2，则x 的值等于（ ）A ．3B ．25－1C ．1＋5D ．1＋2 6.若x 1，x 2是方程（x －a ）（x －b ）= 1（a ＜b ）的两个根，则实数x 1，x 2，a ，b 的大小关系为（ ）A ．x 1＜x 2＜a ＜bB ．x 1＜a ＜x 2＜bC ．x 1＜a ＜b ＜x 2D ．a ＜x 1＜b ＜x 2 7.一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEF H 的边长为2米，坡角∠A =30°，∠B =90°，BC =6米．当正方形DEF H 运动到什么位置，即当AE = 米时，有DC 2=AE 2+BC 2．8.如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽分别为2和1的长方形．如果现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，那么应至少取丙类纸片 张，才能用它们拼成一个新的正方形．9.按如下程序进行运算：并规定，程序运行到“结果是否大于65”为一次运算，且运算进行4次才停止。

则可输入的整数x 的个数是 .10.若多项式x 4+mx 3+nx -16含有因式（x -2）和（x -1），则mn 的值是（ ） A ．100 B ．0 C ．-100 D ．5011.设201421,...,,a a a 是从1,0,1-这三个数中取值的一列数，若69...201421=+++a a a ，4001)1(...)1()1(220142221=++++++a a a ，则201421,...,,a a a 中为0的个数____________。

上海中考数学考试范围
上海中考数学考试范围包括但不限于以下几个方面：
一、数与式
1. 实数及其运算
2. 代数式及其运算
3. 整式与分解因式
4. 分式及其运算
5. 根式及其运算
二、方程与不等式
1. 方程与方程组
2. 不等式与不等式组
3. 特殊方程的解法（如高次方程、分式方程、无理方程等）
三、函数及其图像
1. 平面直角坐标系
2. 一次函数及其图像
3. 反比例函数及其图像
4. 二次函数及其图像
5. 函数的应用（如最值问题、不等式问题等）
四、图形与几何
1. 图形的性质与判定（如全等形、相似形、平行线、三角形等）
2. 三角形的内心与外心
3. 多边形与圆的初步认识
4. 空间图形的认识（如长方体、正方体、圆柱、圆锥等）
5. 图形与变换（如平移、旋转、对称等）
6. 命题与证明
7. 作图与测量
8. 坐标与图形性质（如点的坐标、直线的方程等）
9. 图形计数（如面积、周长等）问题
10. 概率初步知识（如随机事件、概率等）
11. 综合问题（如多边形面积计算、立体几何问题等）
12. 探索性问题（如探索规律、猜想证明等）。

第一单元数与式第1课时实数1．数轴规定了_______、_______、_______的直线,叫做数轴．_____和数轴上的点是一一对应的．2．相反数1实数a的相反数为_______；2a与b互为相反数_________；3相反数的几何意义：在数轴上,表示相反数的两个点位于原点的两侧,且到原点的距离________.3．倒数1实数a的倒数是____,其中a____0；2a和b互为倒数_______.4．绝对值在数轴上表示一个数的点离开_____的距离叫做这个数的绝对值．即一个正数的绝即|a|＝错误!对值等于它_____,0的绝对值是___,负数的绝对值是它的_______.错误!实数错误!1．若x2＝aa≥0,则x叫做a的_______,记作±记作错误!.2．平方根有以下性质1正数有两个平方根,根．3．如果x3＝a,那么x叫做a的立方根,记作考点四科学记数法、近似数、有效数字1．科学记数法把一个数N表示成a×10n11时,n等于原数N的整数位数减1；当|N|＜1且N起第一个非零数字前零的个数含整数位上的零．2．近似数与有效数字一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位,这时从左边第___个不为0的数字起,到末位数字为止,所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．考点五实数的运算1．实数的运算种类有：加法、减法、乘法、除法、_____、_____六种,其中减法转化为____运算,除法、乘方都转化为______运算．2．有理数的运算定律在实数范围内都适用,常用的运算律有：____________、___________、___________、___________、_____________3．在实数范围内运算顺序是：先算_________,再算___,最后算____,有括号的先算____同一级运算,从___到____依次进行计算．考点六零指数、负整数指数幂若a≠0,则a0＝__；若a≠0,n为正整数,则a－n＝错误!.考点七实数大小比较1．在数轴上表示两个数的点,右边的点表示的数总比左边的点表示的数_____；两个负数比较,绝对值大的反而_____2．设a、b是任意两个数,若a－b＞0,则a____b；若a－b＝0,则a___b；若a－b＜0,则a____b.3．实数大小比较的特殊方法①开方法：如3＞2,则错误!___错误!；②商比较法：已知a＞0、b＞0,若错误!＞1,则a___b；若错误!＝1,则a___b；若错误!＜1,则a___b.③近似估算法；④中间值法．4．n个非负数的和为0,则这n个非负数同时为0.如：若|a|＋b2＋错误!＝0,则a＝b＝c＝0.第2课时整式及因式分解1．单项式和多项式统称整式．单项式是指用乘号把数和字母连接而成的式子,而多项式是指几个单项式的____2．单项式中的数字因数叫做单项式的______；单项式中所有字母的______叫做单项式的次数．3．多项式中,每一个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数________的次数就是这个多项式的次数．1．整式的加减1同类项与合并同类项所含的字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项．把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项,合并的法则是系数相加,所得的结果作为合并后的系数,字母和字母的指数不变．2去括号与添括号①括号前是“＋”号,去掉括号和它前面的“＋”号,括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”号,去掉括号和它前面的“－”号,括号里的各项________②括号前是“＋”号,括到括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”号,括到括号里的各项都改变符号．3整式加减的实质是合并同类项．2．幂的运算同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即a m·a n＝____m、n都是整数．幂的乘方,底数不变,指数相乘,即a mn＝_____m、n都是整数．积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所有的幂相乘,即ab n＝_____n为整数．同底数幂相除,底数不变,指数相减,即a m÷a n＝____a≠0,m、n都为整数．3．整式的乘法单项式与单项式相乘,把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式,只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式．单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,即ma ＋b＋c＝______________多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加,即m ＋na＋b＝ma＋mb＋na＋nb.4．整式的除法单项式除以单项式,把______________相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式,把这个多项式的每一项除以这个单项式,然后把所得的商相加．5．乘法公式1平方差公式两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差,即a＋ba－b＝_______2完全平方公式两数和或差的平方,等于它们的平方和加上或减去它们的积的2倍,即a±b2＝__________考点三因式分解1．因式分解的定义及与整式乘法的关系1把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种运算就是因式分解．2因式分解与整式乘法是互逆运算2．因式分解的常用方法1提公因式法如果一个多项式的各项都含有一个相同的因式,那么这个相同的因式,就叫做公因式．提公因式法用公式可表示为ma＋mb＋mc＝___________,其分解步骤为：①确定多项式的公因式：公因式为各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积．②将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式．2运用公式法将乘法公式反过来对某些多项式进行分解因式,这种方法叫做公式法,即a2－b2＝______,a2±2ab ＋b2＝_________.3．因式分解的一般步骤1一提：如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式；2二套：如果各项没有公因式,那么可以尝试套用公式法来分解；3三彻底：分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止．第3课时分式形如错误!A、B是整式,且B中含有字母,B_____的式子叫做分式．1分式有无意义：B＝0时,分式无意义；B≠0时,分式有意义．2分式值为0：A＝0且B≠0时,分式的值为0.分式的分子与分母都乘以或除以同一个________的整式,分式的值不变．①错误!＝错误!,错误!＝错误!m≠0；错误!___ _ 错误!____－错误!.②通分的关键．．是确定n个分式的_________确定最简公分母的一般步骤是：当分母是多项式时,先________,再取系数的__________,所有不同字母因式的________的积为最简公分母．③约分的关键．．是确定分式的分子与分母中的___________确定最大公因式的一般步骤是：当分子、分母是多项式时,先________,取系数的________,相同字母因式的_______的积为最大公因式．1．分式的加减法同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减,即错误!±错误!＝错误!.异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后相加减,即错误!±错误!＝错误!.2．分式的乘除法分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母,即错误!·错误!＝错误!.分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘,即错误!÷错误!＝错误!·错误!＝错误!.3．分式的乘方分式的乘方是把分子、分母各自乘方,即错误!k＝错误!k是正整数．4．分式的混合运算在分式的混合运算中,应先算乘方,再算乘除,进行约分化简后,最后进行加减运算,遇到有括号的,先算括号里面的．运算结果必须是最简．．分式或整式．分式的求值方法很多,主要有三种：①先化简,后求值；②由值的形式直接转化成所求的代数式的值；③式中字母表示的数未明确告知,而是隐含在方程等题设条件中．解这类题,一方面从方程中求出未知数或未知代数式的值；另一方面把所求代数式化简．只有双管齐下,才能获得简易的解法．第4课时二次根式式子错误!a≥0叫做二次根式．最简二次根式必须同时．．．．满足条件：1．被开方数的因数是_______,因式是整式；2．被开方数不含能开的尽方的因数或因式．几个二次根式化成_________后,如果________相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式．a≥0是_______数；2．错误!2＝___a≥0；＝|a|＝错误!；＝错误!·错误!a≥0,b≥0；＝错误!a≥0,b____．1．二次根式的加减法先将各根式化为___________,然后合并同类二次根式．2．二次根式的乘除法二次根式的乘法：错误!·错误!＝错误!a≥0,b______；二次根式的除法：错误!＝错误!a≥0,b＞0．二次根式的运算结果一定要化成____________________第二单元方程组与不等式组第1课时一次方程组1．等式及其性质用等号“＝”来表示相等关系的式子,叫做等式．等式的性质：等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式；等式两边都乘以或除以同一个数除数不能为0,所得结果仍是等式．2．方程的有关概念1含有未知数的_______,叫做方程．2使方程左、右两边的____相等的未知数的值,叫做方程的解只含有一个未知数的方程的解,也叫做根．3求方程解的过程,叫做解方程．4方程的两边都是关于未知数的_____,这样的方程叫做整式方程.1．一元一次方程在整式方程中,只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不等于0的方程,叫做一元一次方程．___________________是一元一次方程的标准形式．2．解一元一次方程的一般步骤1去分母；2去括号；3移项；4合并同类项；5系数化为1.1．二元一次方程组1几个含有相同未知数的二元一次方程合在一起,叫做二元一次方程组；2二元一次方程的一般形式：ax＋by＝c.2．解二元一次方程组的基本思路：消元3．二元一次方程组的解法：1代入消元法；2加减消元法；3图象法．1．列方程组解应用题的一般步骤1把握题意,搞清楚什么是条件,求什么；2设未知数；3找出能够包含未知数的等量关系一般情况下设几个未知数,就找几个等量关系；4列出方程组；5求出方程组的解注意排除增根；6检验看是否符合题意；7写出答案包括单位名称．2．列方程组解应用题的关键是：确定等量关系．第2课时一元二次方程在整式方程中,只含有一个未知数,并且含未知数项的最高次数是__,这样的整式方程叫一元二次方程,一元二次方程的一般形式是_________________1．____________________4．公式法：方程ax2＋bx＋c＝0且b2－4ac≥0,则x＝错误!.列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程组解应用题步骤一样,即审、找、设、列、解、答六步．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0a≠0的根的判别式为2－4ac.1．b2－4ac＞0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0a≠0有两个不相等的实数根,则x1,2＝错误!；2．b2－4ac＝0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0a≠0有两个相等的实数根,即x1＝x2＝－错误!；3．b2－4ac＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0a≠0没有实数根；1．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0a≠0有两根分别为x1、x2,则x1＋x2＝______,x1·x2＝_____.2．简易形式若关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个根分别为x1、x2,则x1＋x2＝___,x1·x2＝_____第3课时分式方程1．分式方程分母里含有_______的方程叫做分式方程．2．解分式方程的基本思想把分式方程转化为整式方程,即分式方程错误!整式方程．3．解分式方程的步骤①去分母,转化为整式方程；②解整式方程,得根；③验根．4．增根在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫做方程的增根．解分式方程时,有可能产生增根使方程中有的分母为__的根,因此解分式方程要验根其方法是代入最简公分母中,使最简公分母为__的是增根,否则不是．1．分式方程的增根必须同时满足两个条件1是由分式方程化成的整式方程的根；2使最简公分母为零．2．增根在含参数的分式方程中的应用由增根求参数的值．解答思路为：①将原方程化为整式方程；②确定增根；③将增根代入变形后的整式方程,求出参数的值．1．列分式方程解应用题和其他列方程解应用题一样．不同之处是列出的方程是分式方程．2．应用问题中常用的数量关系及题型1数字问题．包括日历中的数字规律①设个位数字为c,十位数字为b,百位数字为a,则这个三位数是__________________②日历中前后两日差___,上下两日差____.2体积变化问题．3打折销售问题．①利润＝___－成本；②利润率＝____×100%.4行程问题．5教育储蓄问题．①利息＝_________________②本息和＝_______________＝本金×1＋利润×期数；③利息税＝________________；④贷款利息＝贷款数额×利率×期数．第4课时一元一次不等式组1．不等式用________连接起来的式子,叫做不等式．2．不等式的解使不等式成立的_________的值,叫做不等式的解．3．不等式的解集一个含有未知数的不等式的_________叫做不等式的解集．4．一元一次不等式只含有__个未知数,并且未知数的次数是_____且系数不等于___的不等式,叫一元一次不等式．其一般形式为________________________5．解不等式求不等式____的过程或证明不等式____的过程,叫做解不等式．1．不等式两边都加上或减去同一个__或同一个____,不等号的方向____,即若a＜b,则a＋c＜b＋c或a－c＜b－c；2．不等式两边都乘以或除以同一个____,不等号的方向____,即若a＜b,且c＞0,则ac＜bc或错误!＜错误!；3．不等式两边都乘以或除以同一个_____,不等号的方向____,即若a＜b,且c＜0,则ac＞bc或错误!＞错误!．解一元一次不等式的基本步骤：去分母,去____,____,合并_____,系数化为1.列不等式解应用题的一般步骤：1审题；2设未知数；3确定包含未知数的不等量关系；4列出不等式；5求出不等式的解集；6检验不等式的解是否符合题意；7写出答案．考点五一元一次不等式组的有关概念1．定义：类似于方程组,把几个含有相同未知数的_________________合起来,就组成了一个一元一次不等式组．2．解集：几个不等式的解集的_________叫做由它们所组成的不等式组的解集．考点六一元一次不等式组的解法1．解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集,再求出它们的______一般方法是在数轴上把每个不等式的解集表示出来,由图形得出公共部分,就得到不等式组的______ 2．两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集一般情况可见下表其中a＜b：考点七一元一次不等式组的特殊解一元一次不等式组的特殊解主要是指整数解、非负整数解、负整数解等．不等式组的特殊解,包含在它的解集中．因此,解决此类问题的关键是先求出不等式组的解集,然后求其特殊解．考点八一元一次不等式组的应用利用列不等式组解决问题的方法步骤与列一元一次方程组解应用题的步骤类似,不同的是后者寻求的是等量关系,列出的是等式,前者寻求的是不等量关系,列方的是不等式,解不等式组所得的结果通常为解集,根据题意需从解集中找出符合条件的答案．在列不等式时,“不超过”“不多于”等用“≤”连接,“至少”“不少于”等用“≥”连接．第三单元函数第1课时函数及其图象考点一函数及其图象1．函数的概念1在一个变化过程中,我们称数值____的量为变量,有些数值是____的,称它们为常量．2一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x在其取值范围内的每一个确定的值,y都有____的值与其对应,那么就说,x是____,y是x的函数．3用来表示函数关系的数学式子,叫做函数解析式或函数关系式．2．函数的表示法及自变量的取值范围1函数有三种表示方法：_______、______ 、______这三种方法有时可以互相转化．2当函数解析式表示实际问题或几何问题时,其自变量的取值范围必须符合____意义或____意义．3．函数的图象：对于一个函数,把自变量x和函数y的每对对应值分别作为点的____与_____在平面内描出相应的点,组成这些点的图形叫这个函数的图象．1画函数图象,一般按下列步骤进行：列表、描点、连线．2图象上任一点的坐标是解析式方程的一个解；反之以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数图象上．求函数自变量的取值范围时,首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．1．自变量以整式形式出现,它的取值范围是全体实数．2．自变量以分式形式出现,它的取值范围是使分母不为零的实数．3．当自变量以偶次方根形式出现,它的取值范围是使被开方数为非负数；以奇次方根出现时,它的取值范围为全体实数．4．当自变量出现在零次幂或负整数幂的底数中,它的取值范围是使底数不为零．．．．．的数．5．在一个函数关系式中,同时有几种代数式,函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．第2课时一次函数考点一一次函数的概念一般地,如果_________________,那么y叫做x的一次函数．特别地,当b＝___时,一次函数y＝kx＋b就成为y＝kxk是常数,k≠0,这时,y叫做x的_____________1．由定义知：y是x的一次函数它的解析式是_______,其中k、b是常数,且k≠0.2．一次函数解析式y＝kx＋bk≠0的结构特征．．．．：1k___0；2x的次数是__；3常数项b可为任意实数．3．正比例函数解析式y＝kxk≠0的结构特征：1k____0；2x的次数是_____；3没有常数项或者说常数项为____考点二一次函数的图象1．一次函数y＝kx＋bk≠0的图象是经过点0,b和－错误!,0的一条直线．2．正比例函数y＝kxk≠0的图象是经过点0,0和1,k的一条直线．考点三一次函数的性质一次函数y＝kx＋b,当k＞0时,y随x的增大而_____,图象一定经过第______象限；当k＜0时,y 随x的____而减小,图象一定经过第_______象限.考点四一次函数的应用1．求一次函数解析式求一次函数解析式,一般是已知两个条件,设出一次函数解析式,然后列出方程,解方程组便可确定一次函数解析式．2．利用一次函数性质解决实际问题用一次函数解决实际问题的一般步骤为：①设定实际问题中的变量；②建立一次函数关系式；③确定自变量的取值范围；④利用函数性质解决问题；⑤答．第3课时反比例函数考点一反比例函数的定义一般地,函数y＝错误!或y＝kx－1k是常数,k≠0叫做__________1．反比例函数y＝错误!中的错误!是一个分式,所以自变量x_____0,函数与x轴、y轴无交点．2．反比例函数解析式可以写成xy＝kk≠0,它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y 之积,总等于已知常数k.1．反比例函数y＝错误!k≠0的图象是_________因为x≠0,k≠0,相应地y值也不能为0,所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴,但永不与x 轴、y轴______2．反比例函数的图象和性质反比例函数y＝错误!k≠0的图象总是．．关于原点对称的,它的位置和性质受k的符号的影响．1k＞0图象双曲线的两个分支分别在一、三象限,如图①所示．图象自左向右是下降的当x＜0或x＞0时,y随x的增大而______或y随x的减小而增大．(2)k＜0图象双曲线的两个分支分别在______象限,如图②所示．图象自左向右是上升的当x ＜0或x＞0时,y随x的增大而增大或y随x的减小而减小．决定抛物线______________位置决定抛物线______________位置 决定抛物线______________位置决定抛物线______________位置▲=b 2-4ac由于反比例函数的关系式中只有一个未知数,因此只需已知一组对应值就可以．待定系数法求解析式的步骤：①设出含有待定系数的函数解析式；②把已知条件代入解析式,得到关于待定系数的方程；③解方程求出待定系数．考点四 反比例函数图象中比例系数k 的几何意义反比例函数y ＝错误!k ≠0中k 的几何意义：双曲线y ＝错误!k ≠0上任意一点向两坐标轴作垂线,两垂线与坐标轴围成的矩形面积为_____理由：如图①和②,过双曲线上任意一点P 作x 轴、y轴的垂线PA 、PB 所得的矩形PAOB 的面积S ＝PA·PB ＝|y|·|x|＝|xy|；∵y ＝错误!,∴xy ＝k,∴S ＝|k|,即过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线,所得的矩形面积均为|k|,同理可得S △OPA ＝S △AOB ＝错误!|xy|＝错误!|k|.考点五 反比例函数的应用解决反比例函数的实际问题时,先确定函数解析式,再利用图象找出解决问题的方案,特别注意自变量的____________第4课时 二次函数考点一 二次函数的定义一般地,如果y ＝ax 2＋bx ＋ca 、b 、c 是常数,a ≠0,那么y 叫做x 的二次函数．1．结构特征：①等号左边是函数,右边是关于自变量x 的____次式；②x 的最高次数是_____；③二次项系数a____0.2．二次函数解析式的三种形式一般形式：______________________顶点式：________________________,它直接显示．．．．二次函数的顶点坐标是________； 交点式：________________________,其中x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的_________考点二 二次函数的图象和性质表达式 y ＝ax 2＋bx ＋ca 、b 、c 是常数,a ≠0图 象 a>0 a<0性 质 开口方向顶点坐标对称轴增减性最 值2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋ca 、b 、c 是常数,a ≠0的图象与系数a,b,c 的关系 a 决定抛物线______ a>0,抛物线开口向___;a<0,抛物线开口向___b=0,对称轴为y 轴；ab>0,对称轴在y 轴____侧；ab<0,对称轴在y 轴____侧.c=0,抛物线经过原点；c>0,抛物线交于y 轴___;c<0,抛物线交于y 轴___.▲=0时,与x 轴有唯一交点顶点；▲>0时,与x轴有____交点;▲<0时,与x 轴____交点 3.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋ca 、b 、c 是常数,a ≠0图象的平移规律．．．．____________________ 决定抛物线______位置,对称轴为___ a,b c1．设一般式：y＝ax2＋bx＋ca≠0．若已知条件是图象上三个点的坐标．则设一般式y＝ax2＋bx＋ca≠0,将已知条件代入,求出a、b、c的值．2．设交点式：y＝ax－x1x－x2a≠0．若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标,则设交点式：y＝ax－x1x－x2a≠0,将第三点的坐标或其他已知条件代入,求出待定系数a,最后将解析式化为一般式．3．设顶点式：y＝ax－h2＋ka≠0．若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值,则设顶点式：y＝ax－h2＋ka≠0,将已知条件代入,求出待定系数化为一般式.考点四二次函数的应用二次函数的应用包括两个方法：①用二次函数表示实际问题变量之间关系．②用二次函数解决最大化问题即最值问题,用二次函数的性质求解,同时注意自变量的取值范围．。

初中数学课程标准(人教版)一、数与代数〔一〕数与式（1、有理数1〕理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。

2〕借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道a的含义〔这里的a表示有理数〕。

3〕理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算〔以三步以内为主〕。

4〕理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。

5〕能运用有理数的运算解决简单的问题。

2、实数1〕了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。

2〕了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数〔对应的负整数〕的立方根。

3〕了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数和绝对值。

4〕能用有理数估计一个无理数的大致范围。

5〕了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式〔根号下仅限于数〕加、减、乘、除运算法那么，会用它们进行有关的简单四那么运算。

3、代数式1〕借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义。

2〕能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示。

3〕会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行运算。

4、整式与分式1〕了解整数指数幂的意义和根本性质；会用科学计数法表示数。

2〕理解整式的概念，掌握合并同类型和去括号的法那么，能进行1简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算〔其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘〕。

〔3〕能推导乘法公式：ab ab22,ab222,了解a b a2ab b公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算。

5〕了解分式和最简分式的概念，能利用分式的根本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、乘、除运算。

〔二〕方程与不等式1、方程与方程组1〕能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。

数与代数在这一部分内容主要包含：一、数与式；二、方程与不等式；三函数。

一数与式（一）重点是：关于数与式的主要内容，包括有理数、实数、代数式和二次根式，代数式主要是整式和分式。

这一部分内容的重点应当是强调理解数的意义，建立数感，理解代数式的表述功能，建立符号感，同时理解运算的意义，强调运算的必要性。

（二）内容的变化（1）降低了对于实数运算的要求。

比如“会用平方运算求某些非负数的平方根与算术平方根，用立方运算求某些数的立方根”转化为“会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根”。

（2）取消了对“有效数字”的要求，但重视学生的估算能力，要求学生理解近似数。

例如“能用有理数估计一个无理数的大致范围”, “了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值”。

（3）与实验稿比较，加强了对二次根式的要求，比如对二次根式的化简，分母有理化，但二次根式的运算仅仅限于根号下是数的情况。

（4）在具体情境中理解字母表示数的意义。

例如要求“借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义。

”（5）注重代数式的实际应用和实际意义。

例如要求“能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示。

”以及“会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算。

”（6）对于代数式的意义，除了关注数学意义外，还关注现实的意义。

（7）强调几何直观的作用。

（8）知道｜a｜的含义（这里a 表示有理数）。

二方程与不等式（一）重点方程与不等式在初中阶段主要涉及到这样一些内容，一个就是关于方程的，比方说一元一次方程，二元一次方程组，一元二次方程，可化为一元一次方程的分式方程。

不等式主要是一元一次不等式，和一元一次不等式组。

方程和不等式这部分内容一个我们强调方程和不等式的模型思想，也就是说如何从现实生活中去把问题进行抽象，用这种方程的形式和不等式的关系刻划出来，然后进行讲学，最后运用到现实问题。

高一数学知识点总结及公式数学是一门重要的学科，高中数学作为基础性学科，对培养学生的逻辑思维、分析问题能力以及运用数学知识解决实际问题的能力至关重要。

在高一学习阶段，数学的内容很多，有许多知识点和公式需要我们掌握。

下面就让我们来总结一下高一数学的知识点及公式。

一、数与式1. 数的种类：自然数、整数、有理数、无理数、实数。

2. 数的运算法则：加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则。

3. 数的倍数与约数：倍数的概念、约数的概念。

4. 整式的加法与减法：同类项、同类合并。

5. 整式的乘法：分配律、乘法运算法则、平方差公式。

6. 整式的除法：整式除以常数、整式除以整式。

二、方程与不等式1. 一元一次方程：基本概念、解的判别、解方程的基本步骤。

2. 一元一次不等式：基本概念、解不等式的基本步骤。

3. 二元一次方程组：基本概念、解方程组的基本步骤。

4. 一元二次方程：基本概念、求解一元二次方程的基本步骤。

5. 一元二次不等式：基本概念、解不等式的基本步骤。

三、函数1. 函数的概念：自变量、因变量、函数表达式。

2. 一次函数：基本概念、函数图象、函数性质。

3. 二次函数：基本概念、函数图象、函数性质。

4. 反比例函数：基本概念、函数图象、函数性质。

5. 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等基本概念。

四、数列1. 数列的概念：等差数列、等比数列、等差数列与等差数列的关系。

2. 等差数列的通项公式：基本概念、通项公式的推导。

3. 等比数列的通项公式：基本概念、通项公式的推导。

4. 数列的前n项和：等差数列的前n项和、等比数列的前n项和。

五、平面几何1. 直线与角：直线的性质、角的概念、相邻角、对顶角。

2. 三角形：三角形的分类、三角形的性质、三角形的判定。

3. 四边形：四边形的分类、四边形的性质、四边形的判定。

4. 圆：圆的性质、圆周角、切线。

5. 相似与全等三角形：相似三角形的性质、相似三角形的判定、全等三角形的性质、全等三角形的判定。

2021年上海市16区中考数学一模汇编专题01 数与式、方程与不等式一、单选题1．（2021·上海静安区·九年级一模）如果0a ≠，那么下列计算正确的是（ ）A ．0()0a =-B ．0()1a -=-C ．01a -=D ．01a =--2．（2021·上海静安区·九年级一模）下列多项式中，是完全平方式的为（ ）A ．214x x -+B ．21124x x++C ．21144x x +-D ．21144x x -+ 二、填空题3．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知12x y =，那么+-x y x y的值为_______________． 4．（2021·上海静安区·九年级一模）32的相反数是____． 5．（2021·上海松江区·九年级一模）计算sin30cot 60︒⋅︒=____．6．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知点Р是线段AB 上一点，且2BP AP AB =⋅，如果2AP =厘米，那么BP =________________ （厘米）．7．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，ABC 中，AB=10，BC=12，AC=8，点D 是边BC 上一点，且BD ：CD=2：1，联结AD ，过AD 中点M 的直线将ABC 分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC 、AC 相交于点E 、F ，那么线段BE 的长为______．8．（20212x -的根为____．9．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃(靠墙处不用篱笆)，中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为17米(恰好用完)，围成的大长方形花圃的面积为24平方米，设垂直于墙的一段篱筐长为x 米，可列出方程为________________________．10．（2021·上海宝山区·九年级一模）某公司10月份的产值是100万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为0)x x >（，12月份的产值为y 万元，那么y 关于x 的函数解析式是______． 三、解答题11．（2021·上海闵行区·九年级一模）计算：24sin 452cos 60cot 30tan 601︒︒︒︒-+-12．（2021·上海静安区·九年级一模）已知线段x 、y 满足2x y x x y y +=-，求x y的值．13．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．2021年上海市16区中考数学一模汇编专题01 数与式、方程与不等式一、单选题1．（2021·上海静安区·九年级一模）如果0a ≠，那么下列计算正确的是（ ）A ．0()0a =-B ．0()1a -=-C ．01a -=D ．01a =--【答案】D【分析】利用零指数幂的定义分别得出结果即可求解【详解】A 选项0()a =1-，故错误，B 选项0()a =1-，故错误C 选项01a -=-，故错误，D 选项01a -=-，故正确，故选：D【点睛】熟记任何非零次幂的零次幂等于1是解决本题的关键2．（2021·上海静安区·九年级一模）下列多项式中，是完全平方式的为（ ）A ．214x x -+B ．21124x x++C ．21144x x +-D ．21144x x -+ 【答案】A【分析】利用配方法分别转化为完全平方式的形式即可求解．【详解】A 选项214x x -+=212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故正确，B 选项21124x x++=213416x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，故错误 C 选项21144x x +-=216516256x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，故错误，D 选项21144x x -+=216316256x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故错误 故选：A【点睛】本题考查配方法的运用，熟练添加常数项，即一次项系数一半的平方是解决问题的关键，添加之后要注意再减去添加的常数项，进行等价转化．二、填空题3．（2021·上海长宁区·九年级一模）已知12x y =，那么+-x y x y的值为_______________． 【答案】3-【分析】根据已知得到2y x =，代入所求式子中计算即可． 【详解】解：∵12x y =，∴ 2y x =，∴2332x y x x x x y x x x ++===----：故答案为：-3． 【点睛】本题考查了求分式的值，利用已知得到2y x =后再整体代入是解题的关键．4．（2021·上海静安区·九年级一模）32的相反数是____． 【答案】32- 【分析】只有符号不同的两个数叫互为相反数，根据定义解答． 【详解】32的相反数是32-，故答案为：32-． 【点睛】此题考查互为相反数的定义，掌握定义是解题的关键．5．（2021·上海松江区·九年级一模）计算sin30cot 60︒⋅︒=____．【分析】先代入特殊角的三角函数值，然后再进行计算即可．【详解】1sin 30cot 60=236︒⋅︒=⨯，故答案为：6． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、实数乘法运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．6．（2021·上海奉贤区·九年级一模）已知点Р是线段AB 上一点，且2BP AP AB =⋅，如果2AP =厘米，那么BP =________________ （厘米）．【答案】1+【分析】设BP x =厘米，得2AB x =+厘米，根据题意得()222x x =⨯+，通过求解方程，即可得到答案． 【详解】设BP x =厘米，根据题意得：2AB AP BP x =+=+厘米∵2BP AP AB =⋅，∴()222x x =⨯+ ，∴1x =±10-，故舍去；∴15x ，即1BP =1+．【点睛】本题考查了一元二次方程、二次根式、线段的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次根式的性质，从而完成求解．7．（2021·上海浦东新区·九年级一模）如图，ABC 中，AB=10，BC=12，AC=8，点D 是边BC 上一点，且BD ：CD=2：1，联结AD ，过AD 中点M 的直线将ABC 分成周长相等的两部分，这条直线分别与边BC 、AC 相交于点E 、F ，那么线段BE 的长为______．【答案】2【分析】如图，过A 作//AN BC 交EF 于N ，设,,BE a AF b == 由三角形的周长关系可得：5,a b +=再证明：,ANM DEM ∽利用相似三角形的性质求解8,AN a =-再证明：,ANF CEF ∽可得：10432,b a ab +-=再解方程组可得答案．【详解】解：如图，过A 作//AN BC 交EF 于N ，设,,BE a AF b ==()1,2AB BE AF AB BC AC ∴++=++ ()1101012815,2a b ∴++=++= 5,a b ∴+=:2:112BD CD BC ==，，84BD CD ∴==，， 8,DE a ∴=- M 为AD 的中点，,AM MD ∴= //AN BC ，,ANM DEM ∴∽ 1AN AM DE DM ∴==， 8,AN a ∴=- //AN BC ，,ANF CEF ∴∽ ,AN AF CE CF ∴= 即：8,848a b a b -=-+- ∴ 10432,b a ab +-= 510432a b b a ab +=⎧∴⎨+-=⎩解得：23a b =⎧⎨=⎩或94a b =⎧⎨=-⎩，经检验：94a b =⎧⎨=-⎩不合题意，舍去， 2.BE ∴= 故答案为：2.【点睛】本题考查的是三角形的相似的判定与性质，二元方程组的解法，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．8．（20212x =-的根为____．【答案】x 1=【分析】方程两边同时平方，得到一个一元二次方程，解出x 的值，再进行检验即可得出结果．【详解】解：方程两边同时平方得：()2322x x -=-，∴2210x x -+=，即()210x -=，∴x 1=x 2=1，经检验，x=1是原方程的根，故答案为：x=1．【点睛】本题考查了无理方程求解，先平方得到一元二次方程求解再验证根，掌握基本概念和解法是解题的关键．9．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃(靠墙处不用篱笆)，中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为17米(恰好用完)，围成的大长方形花圃的面积为24平方米，设垂直于墙的一段篱筐长为x 米，可列出方程为________________________．【答案】()17324x x -=【分析】垂直于墙的一段篱筐长为x 米，共有三段垂直于墙的篱笆，所以垂直于墙的篱笆总长度为3x ，又因为篱笆总长为17米(恰好用完)，所以大长方形花圃的长为()173x -米，最后根据长方形的面积公式即可求解．【详解】解：由题意可得：()17324x x -=．故答案为：()17324x x -=．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是注意大长方形花圃的宽有三段都是篱笆．10．（2021·上海宝山区·九年级一模）某公司10月份的产值是100万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为0)x x >（，12月份的产值为y 万元，那么y 关于x 的函数解析式是______． 【答案】()21001y x =+； 【分析】根据：现有量=原有量×(1+增长率)n,即可列方程求解． 【详解】依题意得：()21001y x =+，故答案为：()21001y x =+【点睛】考查了一元二次方程的应用，可直接套公式：原有量×(1+增长率)n =现有量，n 表示增长的次数． 三、解答题11．（2021·上海闵行区·九年级一模）计算：24sin 452cos 60cot 30tan 601︒︒︒︒-+-【答案】2【分析】分别把特殊角的三角函数值代入，再分别计算，结合分母有理化，合并化简即可解题．【详解】解：原式14122⨯=⨯1= 2=．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，分母有理化等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．12．（2021·上海静安区·九年级一模）已知线段x 、y 满足2x y x x y y +=-，求x y的值．． 【分析】利用比例性质化比例式化为整式，再移项两边同除以y 2，化为22310x x y y --=，然后解一元二次方程，即可求解．【详解】解：222xy y x xy +=-，2230x xy y --=．∵0y ≠，∴22310x x y y --=，∴x y = ∵x 、y表示线段，∴负值不符合题意，∴x y = 【点睛】本题考查比例的性质、解一元二次方程，利用整体换元的思想方法解方程是解答的关键，注意x 、y 的非负性．13．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．【答案】（1）1tan 3DAB ∠=；（2）()2402y x x =-+<≤；（3）-4、8-3． 【分析】（1））过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，利用勾股定理解得AD 、AB 的长，再结合等积法，解得DH 、AH 的长即可解题；（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示()444x EH x -=+， 再证明AFE BDE 由AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+得到与x 的关系； （3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y 关于x 的函数解析式联立方程组，继而解得x 、y 的值即可解题．【详解】（1）过点D 作DH AB ⊥于H ，在Rt ACB 中，AD =AB ∴==142ADB S DB AC ∴=⋅=，12ADB S AB DH =⋅，DH ∴=AH ==1tan 3DH DAB AH ∴∠==； （2）过E 作EH ⊥CB 于H∵EDB ADC ∠=∠，90C EHD ∠=∠=︒，∴ACD EHD ．∴AC EH CD DH = 即44EH x x EH =--．∴()444x EH x -=+ ．∵EH ⊥CB ，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，∴)44x EB x -==+ ，AB =∴)44x AE x -=+，∵EF AD ⊥，90C ∠=︒，∴AFG ADC ∠=∠ ．∵EDB ADC ∠=∠，∴AFG EDB ∠=∠．∵45FAE B ∠=∠=︒，∴AFE BDE ． ∴AF AE DB BE =即)4444x y x x --=-+．整理得，()2402y x x =-+<≤； （3）在Rt △MDB 中，DB=4-x,所以).x - 在Rt △ADM 中，AM=AB 一MB=)(4).22x x -=+ 所以tan ∠DAB=44DM x AM x-=⋅+按照点F 的位置，分两种情况讨论△CDF 与△AGE 相似: ①点F 在线段AC 上，此时y=4-2x.如图，如果∠FDC=∠DAB ，由tan ∠FDC=tan ∠DAB,得44y x x x-=⋅+ 结合y=4-2x ，整理，得x2+8x+16=0.解得-4 或-4 （舍去）,如果∠CFD=∠DAB ，由tan ∠CFD=tan ∠DAB ，得4.4x x y x-=+ 结合y=4- -2x,整理，得x 2-16x+16=0.解得8x =-8+②点F 在线段AC的延长线上，此时y=2x-4如图如果∠FDC=∠DAB,由44y xx x-=+结合y=2x-4，整理，得23160.x-=解得或3-（舍去）如果∠CFD=∠DAB,44x xy x-=+与y=2x-4，整理，得238160.x x-+=此方程无解.综上，CD的值为、8-或3．【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的性质，涉及解二元一次方程组等知识，解题关键是根据题意利用相似三角形性质构造方程．。

一、基本知识一、数与代数A、数与式：1、有理数有理数：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。

②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。

在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。

④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。

正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。

两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

有理数的运算：加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。

②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

③一个数与0相加不变。

减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。

②任何数与0相乘得0。

③乘积为1的两个有理数互为倒数。

除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。

②0不能作除数。

乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。

混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。

2、实数无理数：无限不循环小数叫无理数平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。

②如果一个数X 的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。

③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。

④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。

立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。

②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。

数与式实数与代数式1、数的分类及概念：整数和分数统称有理数（有限小数和无限循环小数），像√3，π，0.101001∙∙∙叫无理数；有理数和无理数统称实数。

实数按正负也可分为：正整数、正分数、0、负整数、负分数，正无理数、负无理数。

2、实数和数轴上的点是一一对应的．2．（1）互为倒数的积为1；（2）互为相反数的和为0,商为-1；（3）绝对值是距离，非负数。

3、相反数：只有符号不同的两个数互为相反数．若a 、b 互为相反数，则a+b=0，1-=ab （a 、b ≠0） 4、绝对值：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离去绝对值法则：正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零； 负数的绝对值是它的相反数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a数轴：①定义（三要素：原点、正方向，单位长度）；②点与实数的一一对应关系。

(2)性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。

5、近似数和有效数字：测量的结果都是近似的；利用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位；对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。

6、科学记数法；一般地，一个大于10的数可以表示成ａ×10 n 的形式,其中1≤a ﹤10，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。

7、整指数幂的运算：()()m m mmn n m n m n m b a ab a a a a a ⋅===⋅+,, （a ≠0） 负整指数幂的性质：pp p a a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛==-11 零整指数幂的性质：10=a （a ≠0）正数的任何次幂为正数；负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为正数8、实数的开方运算：()a a a a a =≥=22;0)(9、实数的混合运算顺序10、无理数的错误认识：（1）无限小数就是无理数如1．414141···(41 无限循环）；（2（3但它们的积却是有理数；（4）无理数是无限不循环小数，所以无法在数轴上表示出来，这种说法错误，法在数轴上把它找出来，其他的无理数也是如此．11、实数的大小比较：(1).数形结合法(2).作差法比较(3).作商法比较整式1、代数式的有关概念．(1)代数式是由运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子．(2)求代数式的值的方法：①化简求值，②整体代入2、整式的有关概念(1)单项式：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式．(2)多项式：几个单项式的和，叫做多项式(3)多项式的降幂排列与升幂排列(4)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类顷．3、整式的运算(1)整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接．整式加减的一般步骤是：(2)如果遇到括号．按去括号法则先去括号：括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉。

90年代初中数学教材 - 回复一、引言90年代的初中数学教材是许多人心中的经典回忆。

随着时代的变迁，这些教材的内容和形式也在不断地更新和改进。

本文将从多个方面对90年代初中数学教材进行回复，带领大家重温那个时代的数学学习历程。

二、教材体系90年代的初中数学教材体系相对完整，包括数与式、方程与不等式、函数与图像、几何与图形等多个章节。

每个章节都有明确的教学目标和知识点，帮助学生逐步掌握数学基础知识。

三、知识点解析1. 数与式在数与式章节中，教材首先介绍了有理数、无理数、实数等概念，并详细解析了它们的性质和运算规则。

接着，教材引入了代数式的概念，包括整式、分式等，并介绍了它们的加减乘除运算。

2. 方程与不等式在方程与不等式章节中，教材从一元一次方程开始，逐步过渡到一元二次方程、二元一次方程组等。

每个知识点都配备了详细的解析和例题，帮助学生理解和掌握方程的解法。

同时，教材还介绍了不等式的概念和性质，以及不等式的解法。

3. 函数与图像在函数与图像章节中，教材引入了函数的概念，包括正比例函数、一次函数、二次函数等，并介绍了它们的图像和性质。

通过图像的直观展示，帮助学生更好地理解函数的含义和应用。

此外，教材还介绍了函数的运算和复合函数的概念。

4. 几何与图形在几何与图形章节中，教材从基础的点、线、面开始，逐步过渡到三角形、四边形、圆等图形。

每个知识点都配备了详细的图形和解析，帮助学生理解和掌握图形的性质和计算方法。

此外，教材还介绍了相似图形和全等图形的概念及其判定方法。

四、特色亮点1. 图文并茂：90年代的初中数学教材注重图文并茂的表现形式，通过大量的插图和图表帮助学生更好地理解知识点。

这种表现形式不仅增加了教材的趣味性，还提高了学生的学习效率。

2. 循序渐进：教材的编排遵循循序渐进的原则，从基础知识点开始逐步过渡到复杂知识点。

这种编排方式符合学生的认知规律，有助于学生逐步掌握数学知识。

3. 实际应用：教材注重数学知识的实际应用，通过引入实际问题和场景帮助学生更好地理解数学知识的应用价值。

数与式知识结构奇数和偶数素数和合数数的整除一个整数能被2整除的特征能被5整除的特征公因数和公倍数两个整数互素间的关系公因数—最大公因数公倍数—最小公倍数实数的分类绝对值用数轴上的点表示实数实数大小比较实数运算法则及运算性质实数的运算近似数及近似计算科学记数法整式的有关概念整式整式的运算(加、减、乘、除、乘方)因式分解分式的意义分式的基本性质代数式分式分式的运算(加、减、乘、除)整数指数幂的运算二次根式的概念根式——二次根式二次根式的性质最简二次根式二次根式的运算同类二次根式分母有理化一、选择题1.下列算式中表示整除的算式是(C)A.0.6÷0.3=2 B. 2÷5=0.4 C.18÷9=2 D. 16÷5=3 (1)2.在下列实数中，无理数是(C)A.5.2B.0C.√7D.1453.下列说法正确的是(B)A.数轴上的点都表示一个有理数B.所有有理数都可以用数轴上的点表示C.有理数与数轴上的点一一对应D.以上都不对4. 如图，数轴上的点P 表示的数可能是(B)A.√5B.−√5C. −3.8D.−√105. 一种零件的成本是280元，改进技术后，成本降低了25%,则这种零件现在的成本是(C)A.70元B.80元C.210元D.200元6. 某班有女同学26名，男同学22名，那么男生比女生少(C)A.1113B.112C.213D.2117. 下列说法正确的是(A).A.有理数都是实数；B.无限小数都是无理数；C.带根号的数都是无理数D.无理数都是带根号的数.8. 地球的质量为6×1013亿吨，太阳的质量是地球质量的3.3×105倍，太阳的质量用科学记数法表示为(B). A.1.98×1018亿吨； B. 1.98×1019亿吨； C. 1.98×1020亿吨；D. 1.98×1065亿吨.9. 已知0.001999=1.999×10n ，那么n 为(C)A.3;B.6C.-3D.-6.10. 下列各数中，哪一个是无理数(B).A.30B.312C.3−2D.2311. 在下列二次根式中，与√a 是同类二次根式的是(C).A.√2aB.√3a 2C.√a 3D.√a 412. 下列计算中，正确的是(D).A.√9=±3B.√2+√3=√5C.3√2−√2=2D.√8÷√2=213. 下列运算中，正确的是(B).A.x 2+x 4=x 6B.(−x 3)2=x 6C.3a+2b=5abD.x 6÷x 3=x 214. 多项式a 2−2ab −1+b 2因式分解正确的是(C).A.a(a-2b)+(b+1)(b-1)B.b(b-2a)+(a-1)(a+1)C.(a-b+1)(a-b-1)D.(a +b )215. 某日广州温度是18℃，而哈尔滨温度是零下22℃，则该日广州比哈尔冰高出(C)A.−4℃B. 4℃C. 40℃D.−40℃16. 下列判断中，正确的是(D)A.素数一定是奇数B.奇数一定是素数C.两个不同的素数的和一定是偶数D.两个不同正奇数的和一定是合数17. 给出四个数0,√2,−12,0.3,其中最小的是(C)A.0B √2C. −12D. 0.318. 下列运算错误的是(A)A. √2+√3=√5B. √2∙√3=√6C.√6÷√2=√3D.(−√2)2=219. 若a:b =2:5，且b 2=ac ，则b:c=(C)A.25:4B.5:2C.2:5D.4:2520. 一件商品，先降价110，又提价110，这件商品的现价(A)A.比原价便宜B.比原价贵C.和原价相等D.无法判断21. (−3)3与−33(A)A.相等B.互为相反数C.互为倒数D.它们的和为1622. 25的算术平方根是(B)A.±5B.5C.-5D.√523. 下列实数中，无理数是(B)A.√9B.π3C.14D.1324. 下面计算正确的是(D)A.3−1=−3B.√16=±4C.(x ∙y 3)2=xy 6D.x 6÷x 2=x 425. 计算2a ∙3a 2的结果是(D)A.5a 3B.6a 2C. 5a 2D. 6a 326. 下列计算结果正确的是(C)A.−2x 2y 3∙2xy =−2x 3y 4B.3x 2y −5xy 2=−2x 2yC. 28x 4y 2÷7x 3y =4xyD.(−3a −2)(3a −2)=9a 2−427. 下列多项式中，能用公式法分解因式的是(C)A.x 2−xyB.x 2+xyC.x 2−2xy +y 2D.x 2+y 2 28. 计算(32−23)÷3+23的结果为(A)A.12B.52C.13D. 5329. 2008年5月12日，在我国四川省汶川县发生里氏8.0级强烈地震.面对地震灾害，中央和各级政府快速做出反应，为地震灾区提供大量资金用于救助和灾后重建，据统计，截止到5月31日，各级政府共投入抗震救灾资金22 600 000 000元人民币，22 600 000 000用科学记数法表示为(C) A.22.6×1010B.2.26×1011C. 2.26×1010D. 226×101130. 已知0<a <2，化简|a |+√a −22的结果是(D)A.2a −2B. 2−aC. −2D. 231. 化简x 2y−x −y 2y−x 的结果是(A)A.−x −yB. y −xC. x −yD. x +y二、填空题32. (1)-3的倒数是−13;(2)−√2的相反数是√2.33. 据有关部门统计，2006年上海市生产废污水14.14亿立方米，用科学记数法表示为1.414×109立方米.34. 科学家对长江重新测量后发现，长江的长度约为6211300米，用科学记数法并保留三个有效数字可表示为6.21×106米.35. 计算: (1)(√3)2=3;(2)√2∙√6=2√3;(3)(a +1)(a −2)=a 2−a −2. 36. 化简:(1)√7√7=√7−1; (2) √2−1−√2=1;(3)当x>1时，化简√x −12−1=x −2.37. 实数a 在数轴上的位置如图所示，化简|a −1|+√(1−a )2=2−2a . 38. 计算:(1)9−12=13;(2)(2x 3)2=4x 6;(3)(y x 2)3=y 3x 6;(4)2x 3∙(−3x 3)=−6x 6;(5)1m−1−mm−1=−1.39. (1)分式x−1x+1的值是零，那么x 的值是1;(2)分式x 2−4x−2的值为零，那么x 的值为-2; (3)如果分式(x−1)(x−2)x−1的值为零，那么x=2.40. 化简: 1x −1x+1=1x 2+x . 41. 分解因式:(1)2a 2−2ab =2a (a −b ); (2)x 3−x 2y =x 2(x −y ); (3)2x 3−8x =2x (x +2)(x −2).42. 因式分解:第37题图第65题图(1)x 2−4x +4=(x −2)2;(2)2x 2−4x +2=2(x −1)2; (3)x 2−5x +6=(x −2)(x −3); (4)x 2−2x +1=(x −1)2.43. 分解因式:(1)x 2−y 2+2x +2y =(x +y )(x −y +2); (2) x 2−y 2+2x +1=(x +1−y )(x +1+y ). 44. 若-10米表示向东走10米，则+20米表示向西走20米。