有限元法与ANSYS技术-3-1第3章有限元法的直接刚度法-1梁单元

根据材料力学的知识，梁在外力作用下，横截面上的内力有2个：
剪力 Q 、弯矩 M。所以，梁单元上每个节点的节点力有2个，用 q、m
来表示，规定： q 向上为正， m 逆时针为正。写成列阵形式见式（2-
i 3），表示 节点的节点力。
pi


mqii

（2-3）
q q m 列图阵2表.2示(b，)所式示（梁2-单4）元称共为有单4个元节的点节力点分力量列：阵。i、 i、 、j m，j 可用一个
f


f
2 2 3



f1
1


3

f4
4
f2 2
f3 3
f 4 4 T
（2-7）
3.1直梁的有限元分析
根据材料力学的知识可知，在弹性范围和小变形的前提下，节点力 和节点位移之间是线性关系。所以，单元的节点力和节点位移的关系 可以表示为：
对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线 与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。
本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力。
(Leabharlann Baidu) 梁的基本形式 悬臂梁
简支梁
外伸梁
3.1直梁的有限元分析 (a) 直梁模型
以直梁为例来说 明有限元法的直接刚 度法。
如图2.1(a)所示
直梁，已知E、I、 Z、M，
qi a11 fi a12i a13 f j a14 j mi a21 fi a22i a23 f j a24 j q j a31 fi a32i a33 f j a34 j m j a41 fi a42i a43 f j a44 j
（2-5）
Q e Zi Mi Z j M j T
（2-6）
3.1直梁的有限元分析
节点力和节点载荷的区别：节点力是单元和节点之间的作用力， 如果取整个结构为研究对象，节点力是内力；而节点载荷是结构在节 点上所受到的外载荷或等效移置到节点上的外载荷。
f1
1




p e qi
mi
qj
m T （2-4） j
3.1直梁的有限元分析
梁单元上每个节点的节点载荷有2个：横向力 Z 和力偶 ，
i 一般M规定， 向上为Z正， 逆时针M为正。写成列阵形式见式
（2-5），表示 节点的节点载荷。
同理：
Qi


MZ ii


Z
i
M i T
• 按照杆件结构划分单元的原则，对图2.1(a)所示结构划分 的单元如图2.1(b)所示
(a) 单元的节点位移
图2.1
(b) 单元的节点力
3.1直梁的有限元分析
任取一单元进行分析。根据材料力学的知识，梁单元上每个节点
的节点位移分量有2个：挠度 f 和转角 ，一般规定，向上为正，逆
时针为正。写成列阵形式见式（2-1），表示节点的节点位移。

i


f

i i



f
i
i T
（2-1）
图2.2(a)所示梁单元有、两个节点，共有4个节点位移分
量：f i、 i、f
移列阵。
、j
j，可用一个列阵表示，式（2-2）称为单元的节点位
e fi i f j j T （2-2）
3.1直梁的有限元分析
第三章 有限元法的直接刚度法
知识点：直梁和平面刚架的直接刚度法 重点： 梁单元杆和刚架单元的自由度
单元的坐标变换 难点：直接刚度法的计算过程与物理意义
Ⅰ. 关于梁和弯曲的概念
受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的 横向外力或外力偶作用。 变形特点： 直杆的轴线在变形后变为曲线。 梁——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
3.1直梁的有限元分析
j i 在 点固定，令 点有如图2.3(a)所示的位移，即
有 fi 1，i 0 ，f j 0， j 0。代入公式（2-10）中，得
qi a11 a12 a13 a14 1 a11

mi

q
j
m j


a21 aa3411
3.1直梁的有限元分析
a11 的物理意义：单元第１个节点位移分量等于1，其它节点位移
分量等于0时，对应的第1个节点力分量。
3.1直梁的有限元分析
简写为: pe K e e
（2-11）
其中 pe为单元节点力列阵， e为单元节点位移列阵，K e称为
单元刚度矩阵。单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系
的矩阵。
单元刚度矩阵 K e 中各元素的物理意义：
(a) 单元的节点位移 图2.3 单元刚度矩阵第1列元素的意义
弯曲变形
工程实例
F1
F2
纵向对称面
对称弯曲——外力作 用于梁的纵向对称面内， 因而变形后梁的轴线(挠曲 线)是在该纵对称面内的平 面曲线。
非对称弯曲——梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因 而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并 不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。
写成矩阵形式： qi a11 a12 a13 a14 fi

mi

q
j
m j


a21 aa3411
a22 a32 a42
a23 a33 a43
a24 a34 a44
f
i j j

（2-9） （2-10）
AB=BC=CD=l，
IAC=2I，ICD=I。
(b) 直梁的有限元模型
图2.1 直梁
3.1.1划分单元
• 两个节点之间的杆件构成一个单元，杆件结构的节点可按 以下原则选取：
1、杆件的交点一定要选为节点。 2、阶梯形杆截面变化处一定要取为节点。 3、支承点和自由端要取为节点。 4、集中载荷作用处要取为节点。 5、欲求位移的点要取为节点。 6、单元长度不要相差太多。
a22 a32 a42
a23 a33 a43
a24 a34 a44
000

aa3211 a41

（2-12）
由式（2-12）可知，单元刚度矩阵 K e 中第一列元素的物理意义：
为了使梁单元产生如图2.3(a)所示的位移，作用在单元节点上的节点 力。