高中数学教材必修一《用二分法求方程的近似解》教学设计

3.1.2用二分法求方程的近似解[学习目标] 1.能用二分法求出方程的近似解.2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想.知识点一二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.思考所有的函数都可以用二分法求零点吗？答用二分法求出的零点一般是零点的近似值，但并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须是满足在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数f(x)才能用二分法求零点的近似值. 知识点二用二分法求方程近似解的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c)).③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b)).(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4).题型一二分法概念的理解例1下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()答案 A解析按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)＜0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点.故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解.故选A.反思与感悟判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合.跟踪训练1下列函数中，能用二分法求零点的为()答案 B解析函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图象，只有B选项符合.题型二用二分法求方程的近似解例2(1)根据下表，用二分法求函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1,2)上的零点的近似值(精确度0.1)是________.解析由表中数据知f(1.5)·f(2)<0，f(1.5)·f(1.562 5)<0，所以函数零点在区间(1.5,1.562 5)上，又因为|1.562 5－1.5|＝0.062 5<0.1，所以函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1,2)上的零点的近似值可以取1.5.故填1.5.(2)用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1).解令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解.取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解.如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.反思与感悟利用二分法求方程近似解的步骤：(1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z；(2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M；(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点.跟踪训练2用二分法求2x＋x＝4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2).参考数据：解令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4＜0，f(2)＝22＋2－4＞0.∵|1.375－1.5|＝0.125＜0.2，∴2x＋x＝4在[1,2]内的近似解可取为1.375.忽视给定区间造成失误例3函数f(x)＝2x2＋4x－6在区间[－1,2]上零点的个数是()A.0B.1C.2D.3错解由f(x)＝2x2＋4x－6＝0，得2(x＋3)(x－1)＝0，解得x1＝－3，x2＝1.故f(x)有两个零点，所以答案为C.正解前同错解得x1＝－3，x2＝1.因为－3∉[－1,2]，1∈[－1,2]，所以f(x)在[－1,2]上只有一个零点，故选B.纠错心得 求方程的解要注意给定区间，在解题时审题要细，看清条件很关键.忽视二次项系数为零致误例4 已知函数f (x )＝2(m －1)x 2－4mx ＋2m －1，若f (x )的图象与x 轴只有一个交点，求m 值. 错解 ∵f (x )的图象与x 轴只有一个交点，∴Δ＝0，即16m 2－8(m －1)(2m －1)＝0，解得m ＝13.∴当m ＝13时，f (x )的图象与x 轴只有一个交点.正解 当m －1＝0，即m ＝1时，f (x )＝－4x ＋1， 满足函数图象与x 轴只有一个交点.当m －1≠0，即m ≠1时，函数图象与x 轴只有一个交点等价于方程2(m －1)x 2－4mx ＋2m －1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝16m 2－8(m －1)(2m －1)＝0，解得m ＝13.所以当m ＝1或m ＝13时，f (x )的图象与x 轴只有一个交点.纠错心得 当二次项系数含有字母参数时，不可忽视二次项系数为零的情形.跟踪训练3 已知方程mx 2－x －1＝0在区间(0,1)内恰有一解，则实数m 的取值范围是________. 答案 (2，＋∞)解析 设f (x )＝mx 2－x －1，因为方程mx 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一解， 所以当m ＝0时，方程－x －1＝0在(0,1)内无解， 当m ≠0时，由f (0)f (1)<0，即－(m －1－1)<0，解得m >2.1.下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的近似值的是( )答案 B2.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数f(x)一定存在零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3，＋∞)答案 B3.用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A.[－2,1]B.[－1,0]C.[0,1]D.[1,2]答案 A解析∵f(－2)＝－3＜0，f(1)＝6＞0，f(－2)·f(1)＜0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算.4.函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的解所在区间为()A.(1.25,1.5)B.(1,1.25)C.(1.5,2)D.不能确定答案 A解析由于f(1.25)·f(1.5)＜0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5).5.用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________.答案(2,2.5)解析f(2)＝23－2×2－5＝－1＜0，f(2.5)＝2.53－2×2.5－5＝5.625＞0，∴下一个有根的区间是(2,2.5).1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.2.并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：(1)在区间[a，b]上连续不断；(2)f(a)·f(b)＜0.上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值.一、选择题1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()A.x1B.x2C.x3D.x4答案 C解析能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0.而x3两边的函数值都小于零，不符合二分法求零点的条件，故选C.2.用二分法求函数零点的近似值适合于()A.变号零点B.不变号零点C.都适合D.都不适合答案 A3.下列关于二分法的叙述，正确的是()A.用二分法可求所有函数零点的近似值B.用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C.二分法无规律可循，无法在计算机上完成D.只有求函数零点时才用二分法答案 B解析只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错.二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错.求方程的近似解也可以用二分法，故D错.4.为了求函数f(x)＝2x－x2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和函数值f(x)的部分对应值(f(x)的值精确到0.01)如下表如示：A.(0.6,1.0)B.(1.4,1.8)C.(1.8,2.2)D.(2.6,3.0)答案 C解析 ∵f (1.8)·f (2.2)＝0.24×(－0.25)＜0， ∴零点在区间(1.8,2.2)上.故选C.5.设方程2x ＋2x ＝10的根为β，则β属于( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案 C解析 设f (x )＝2x ＋2x －10，则f (x )在R 上为单调增函数，故只有一个零点.f (0)＝－9，f (1)＝－6，f (2)＝－2，f (3)＝4，∴f (2)·f (3)＜0. ∴β∈(2,3).6.函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x 3＋x 2－A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5 答案 C解析 ∵f (1.437 5)＝0.162，f (1.406 25)＝－0.054， ∴f (1.437 5)·f (1.406 25)＜0，即方程有一个近似解在(1.406 25,1.437 5)内. 又∵方程的解精确到0.1， ∴可取方程近似解为1.4. 二、填空题7.在用二分法求方程f (x )＝0在区间[0,1]上的近似解时，经计算，f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1). 答案 0.75解析 0.75－0.687 5＝0.062 5<0.1，又精确度为0.1，故可取近似解为0.75.8.用二分法求方程ln x －2＋x ＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c ＝32，则下一个含根的区间是__________. 答案 ⎝⎛⎭⎫32，2解析 令f (x )＝ln x －2＋x ， ∵f (1)＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，f ⎝⎛⎭⎫32＝ln 32－12<0， ∴下一个含根的区间是⎝⎛⎭⎫32，2.9.用二分法求方程x 3－8＝0在区间(2,3)内的近似解经过________次“二分”后精确度能达到0.01. 答案 7解析 设n 次“二分”后精确度达到0.01， ∵区间(2,3)的长度为1， ∴12n <0.01，即2n >100. 注意到26＝64<100,27＝128>100. 故要经过7次二分后精确度能达到0.01.10.用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)＜0，f (0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________. 答案 (0,0.5)，f (0.25)解析 二分法要不断地取区间的中点值进行计算. 由f (0)＜0，f (0.5)＞0，知x 0∈(0,0.5).再计算0与0.5的中点0.25的函数值，以判断x 0更准确的位置. 三、解答题11.用二分法求函数f (x )＝x 3－x －1在区间(1,1.5)内的一个零点(精确度为0.1). 解 f (1)＝－1<0，f (1.5)＝278－32－1＝78>0，f (1.25)＝12564－54－1<2－54－1＝－14<0，故零点在(1.25,1.5)内，此时0.25>0.1； f (1.375)>0，所以零点在区间(1.25,1.375)内， 此时0.125>0.1；又f (1.312 5)<0，所以零点在区间(1.312 5,1.375)内，此时0.062 5<0.1， 故f (x )＝x 3－x －1在区间(1,1.5)内的一个零点是x ＝1.312 5. 12.求方程ln x ＋x －3＝0在(2,3)内的近似解(精确度为0.1). 解 令f (x )＝ln x ＋x －3，求函数f (x )＝0在(2,3)内的零点.∵f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3＞0，取(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：∵2.25－2.187 5∴在区间(2.187 5,2.25)内任意实数都是函数的零点的近似值，即方程的近似解可取为2.25.13.求函数y＝2x＋3x－7的近似零点(精确度为0.1).解设f(x)＝2x＋3x－7，根据二分法逐步缩小方程的解所在的区间.经计算，f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，所以函数f(x)＝2x＋3x－7在[1,2]内存在零点，即方程2x＋3x－7＝0在[1,2]内有解.取[1,2]的中点1.5，经计算，f(1.5)≈0.33>0，又f(1)＝－2<0，所以方程2x＋3x－7＝0在[1,1.5]内有解.如此下去，得到方程2x＋3x－7＝0实数解所在的区间，如下表：由表可以看出，区间 1.4，所以1.4是函数y＝2x＋3x－7的近似零点.。

课题：用二分法求方程的近似解教材：人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书A》必修1一、教学目标：1、知识与技能目标：会用二分法求函数零点或方程根的近似解；知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的数学思想2、过程与方法目标：从猜眼镜价格的实例引入新课，激发学生的学习兴趣；通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索具体函数零点近似值的求法，体会二分法的具体过程和步骤。

3、情感、态度与价值观目标：通过本节课的学习，使学生经历逐渐逼近的思维过程，体验数学发现和创造的历程，体会数学知识与现实世界的联系，感受精确与相似的相对统一。

二、教学重点与难点1、重点：体会“二分法”的基本思想2、难点：对用二分法求函数零点近似解的一般步骤的概括和理解；对精确度要求的理解。

三、教学方法与手段本节课采用“问题教学”模式及“引导——探究”法，充分发挥多媒体的作用，通过创设问题情境，引导学生主动参与学习过程。

（1）、函数的零点：（2）、函数零点的求法：（3）、零点存在性定理：复习不仅是知识的回顾，更重要的是帮助学生构建清晰的知识脉络，以及为后面的学习作好铺垫。

由之前的例1，我们已经知道函数6x=xf在区间（2，3）内有零+x2(-ln)点。

如何找出这个零点？3、设置情境（请一位戴眼镜的同学上讲台，在一张纸上写出他的眼镜的价格，告知学生价格的范围，让学生猜价格。

）游戏：请你模仿李咏主持一下幸运52，请同学们猜一下下面这副眼镜的价格。

思考：如何做才能以最快的速度猜出它的价格？从实际生活提出问题体现数学源于生活，激发学生学习兴趣1、提问：利用我们猜价格的方法，你能否求解方程062ln =-+x x ？如果能求解的话，怎么去解？你能用函数的零点的性质吗？ 问题链的设置，可以更好地引导学生利用猜价格时一分为二的思想解决问题，培养学生勇于探索、合作交流的精神。

2、借助EXCEL ，计算函数62ln )(-+=x x x f 的函数值，引导学生填写事先设置好的表格。

《用二分法求方程的近似解》教学设计一、教学背景分析在数学教学中，方程是一个非常重要的概念，解方程是解决实际问题的基础之一。

而用二分法求解方程的近似解是一种非常有效和实用的方法，它不需要对方程进行变形，而且只要方程是单调的，就可以使用二分法进行求解。

教学中应该引导学生掌握二分法的基本思想和求解步骤，提高解决实际问题的能力。

二、教学目标1. 知识与技能（1）了解二分法的基本思想和求解步骤。

（2）掌握用二分法求解方程的近似解的基本方法。

（3）能够根据实际问题应用二分法进行解题。

2. 过程与方法（1）培养学生的分析问题、解决问题的能力。

（2）激发学生的学习兴趣，提高学生的学习动力。

3. 情感态度与价值观（1）引导学生善于思考、勇于探索。

（2）培养学生对数学问题的耐心和细致。

三、教学重点二分法求解方程的近似解的基本思想和步骤。

四、教学难点如何灵活运用二分法解决不同类型的实际问题。

五、教学过程1. 导入（5分钟）引导学生回顾一下解方程的方法，通过简单的实例引出用二分法求解方程的需求，激发学生的学习兴趣。

2. 提出问题（5分钟）给学生一个实际问题，例如：已知函数f(x)=x^3-x-1，求方程f(x)=0的近似解。

3. 讲授二分法的基本思想和步骤（15分钟）（1）引导学生回忆什么是二分法，为什么要用二分法。

（2）讲解二分法的基本思想和求解步骤。

（3）通过实例演示，详细解释二分法的求解过程。

4. 练习与讨论（25分钟）（1）布置一组练习题，让学生自己尝试用二分法求解方程的近似解。

（2）学生完成练习后，进行讨论，引导学生发言并总结解题思路。

5. 拓展实际问题（15分钟）给学生提供一组实际问题，要求用二分法进行解答，让学生在实际问题中灵活运用二分法，提高解决问题的能力。

6. 练习与课堂检测（20分钟）布置一组练习题，进行课堂检测，检验学生对二分法的掌握程度。

7. 总结与展望（5分钟）对本节课所学内容进行总结，并展望下一节课的教学内容。

高中数学《用二分法求方程的近似解》教学设计一、教学目标：1.知识与能力目标：（1）了解二分法的基本原理；（2）掌握使用二分法求方程的近似解的方法；（3）能够灵活运用二分法解决实际问题。

2.过程与方法目标：（1）通过展示实际问题，引发学生对二分法解决问题的兴趣；（2）通过理论讲解和示例讲解，帮助学生理解二分法的原理和求解方法；（3）通过练习与实践，巩固学生对二分法的理解和应用能力；（4）通过讨论和激发学生思维的方式，提高学生解决实际问题的能力。

二、教学重点：1.二分法的基本原理和求解方法；2.能够灵活运用二分法解决实际问题。

三、教学难点：能够灵活运用二分法解决实际问题。

四、教学过程：1.导入（10分钟）（1）通过展示一个实际问题，如求方程f(x)=x^3-2x^2-4x+3=0的一个近似解，引发学生对使用二分法解决问题的兴趣。

（2）学生讨论，思考如何利用二分法求该方程的近似解。

（3）引导学生明确本节课的学习目标。

2.概念讲解（15分钟）（1）通过示例讲解，引导学生理解二分法的基本原理。

如示例方程f(x)=x^2-2=0，同时画出函数图像。

（2）学生回答：如何找到函数图像上可能存在零点的区间？如何利用二分法逼近零点？（3）通过讲解示例方程f(x)=x^2-2=0的具体求解过程，帮助学生理解二分法的求解方法。

（4）总结二分法的基本原理和求解方法，并与学生进行互动讨论。

3.解题示例（15分钟）（1）通过示例讲解，巩固学生对二分法的理解和运用能力。

如求方程f(x)=x^3-2x^2-4x+3=0的一个近似解。

（2）学生独立解题，检查答案，并与学生进行讨论和讲解。

（3）通过多个示例，锻炼学生解决实际问题的能力。

4.练习与巩固（15分钟）（1）分发练习题，让学生独立完成。

（2）学生互相检查答案，并与学生进行讨论。

（3）讲解练习题的解答过程，并解答学生遇到的问题。

5.拓展与应用（25分钟）（1）提供一个实际问题，鼓励学生利用二分法进行求解。

用二分法求方程的近似解教案一、教学目标1.让学生掌握二分法求方程近似解的基本原理和方法。

2.培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。

3.提高学生的计算精度和计算效率。

二、教学内容1.二分法的基本原理：通过不断将函数值在区间中点处进行比较，从而缩小区间范围，逼近方程的解。

2.二分法的步骤：确定初始区间、计算中点函数值、判断解所在区间、重复执行以上步骤直至达到精度要求。

3.二分法的应用：求方程的近似解、求解不等式等。

三、教学步骤1.引入课题：介绍二分法的基本原理和应用背景，激发学生的学习兴趣。

2.讲解知识点：详细解释二分法的基本原理和步骤，并辅以例题进行说明。

3.练习与互动：让学生自行尝试使用二分法求解方程，教师给予指导和帮助。

同时，鼓励学生提出问题和意见，进行课堂互动。

4.归纳与总结：对本节课的知识点进行总结和归纳，强调二分法的重要性和应用广泛性。

5.布置作业：布置相关练习题，让学生在家中继续巩固所学知识。

四、教学难点与重点1.教学难点：如何确定初始区间、如何判断解所在区间、如何控制计算精度。

2.教学重点：二分法的基本原理和步骤、二分法的应用实例。

五、教学方法与手段1.教学方法：采用讲解、练习和互动相结合的方式进行教学。

通过具体实例和例题来帮助学生理解和掌握二分法的应用方法。

2.教学手段：使用黑板、多媒体课件和教学软件等辅助工具进行教学，提高教学效果和效率。

六、教学评价与反馈1.教学评价：通过课堂练习和作业来检验学生的学习效果，及时给予反馈和指导。

同时，鼓励学生进行自我评价和互相评价，提高学习积极性和自主性。

2.教学反馈：根据学生的反馈意见和建议，及时调整教学策略和方法，提高教学质量和效果。

同时，加强与家长的沟通和交流，共同关注学生的学习进步和发展。

高一数学《用二分法求方程的近似解》教案高一数学《用二分法求方程的近似解》教案教学目标知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用.过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备.情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一.教学重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.教学难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解.教材分析本节课注重从学生已有的基础(一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质)出发，从具体(一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标之间的关系)到一般，揭示方程的根与对应函数零点之间的关系.在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔.教科书不仅希望学生在数学知识与运用信息技术的能力上有所收获，而且希望学生感受到数学文化方面的熏陶，所以在“阅读与思考”中，介绍古今中外数学家在方程求解中所取得的成就，特别是我国古代数学家对数学发展与人类文明的贡献.学情分析通过本节课的学习，使学生在知识上学会用“二分法”求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系;在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力.这就要求学生除了能熟练地运用计算器演算以外，还要能借助几何画板4.06中文版中的“绘制新函数”功能画出基本初等函数的图象，掌握Microsoft Excel软件一些基本的操作.教学媒体分析多媒体微机室、Authorware7.02中文版、几何画板4.06中文版、Microsoft Excel、QBASIC语言应用程序教学方法动手操作、分组讨论、合作交流、课后实践教学环节设计流程图教学设计理念1.构建共同基础，提供发展平台;2.提供多样解法，适应个性选择;3.倡导积极主动、勇于探索的学习方式;4.注重提高学生的数学思维能力;5.发展学生的数学应用意识;6.与时俱进地认识“双基”;7.强调本质，注意适度形式化;8.体现数学的文化价值;9.注重信息技术与数学课程的整合;10.建立合理、科学的评价体系.教学过程与操作设计：环节教学内容设计师生双边互动信息技术应用中外历史上的方程求解在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座.虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点(即的根)，对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法(二次时，称为求根公式).我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题，在《九章算术》，北宋数学家贾宪的《黄帝九章算法细草》，南宋数学家秦九韶的《数书九章》中均有记载.在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果.1824年，挪威年轻数学家阿贝尔(N. H. Abel，1802-1829)成功地证明了五次以上一般方程没有根式解.1828年，法国天才数学家伽罗瓦(E.Galois，1811-1832)巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程.人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题.师：介绍中外历史上的方程求解问题，从高次代数方程解的探索历程引导学生认识引入二分法的意义，从而引入课题.生：感受到数学文化方面的熏陶，最大限度的调动学生的学习兴趣，提高学习的积极性和主动性.Authorware7.02课件展示这节课就让我们来共同学习一下§3.1.2《用二分法求方程的近似解》想一想我们已经知道，函数在区间(2，3)内有零点，且<0，>0.进一步的问题是，如何找出这个零点?做一做第一步：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得(2.5)≈-0.084.因为(2.5)·<0，所以零点在区间(2.5，3)内.第二步：取区间(2.5，3)的中点 2.75，用计算器算得(2.75)≈0.512. 因为(2.5)·(2.75)<0，所以零点在区间(2.5，2.75)内.结论:由于(2，3) (2.5，3) (2.5，2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见下表和图)师：一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.为了方便，下面我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.师：引导学生分析理解求区间，的中点的方法.生：用计算器算得(2.5)≈-0.084(2.75)≈0.512几何画板4.06中文版演示计算结果师：这样，在一定精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值.例如，当精确度为0.01时，由于|2.5390625-2.53125|=0.0078125<0.01，所以，我们可以将=2.53125作为函数零点的近似值，也即方程根的近似值.Authorware7.02课件展示议一议：你能说出二分法的意义及用二分法求函数零点近似值的步骤吗?1.二分法的意义对于在区间[，]上连续不断且满足·<0的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection).2.给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：(1)确定区间，，验证·<0，给定精确度;(2)求区间，的中点;(3)计算：1若=，则就是函数的零点;2若·<0，则令=(此时零点);3若·<0，则令=(此时零点);(4)判断是否达到精确度;即若<，则得到零点近似值(或);否则重复步骤2-4.结论: 由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.思考：为什么由<，便可判断零点的近似值为(或)?师：阐述二分法的逼近原理，引导学生理解二分法的算法思想，明确二分法求函数近似零点的具体步骤.师：分析条件“·<0”、“精确度”、“区间中点”及“<”的意义.生：结合求函数在区间(2，3)内的零点，理解二分法的算法思想与计算原理.Authorware7.02课件展示由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以借助几何画板4.06中文版软件和Microsoft Excel软件来完成计算.我们还是以求函数的零点为例学生在教师引导下操作师：第一步：打开几何画板4.06中文版软件.第二步：点击工具栏中的“图表”，选中“绘制新函数(Ctrl+G)”，或在工作区中点击右键，选中“绘制新函数”.第三步：在弹出的对话框中输入，点击“确定”.几何画板4.06中文版环节教学内容设计师生双边互动信息技术应用第四步：观察函数图象，确定零点所在的大致区间为(2，3).几何画板4.06中文版第五步:打开Microsoft Excel软件第六步: 分别在单元格A1、B1、C1输入、、精确度，在C2输入0.5，分别在A2、A3输入2、2.5，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖动“填充柄”到单元格内出现填充值4时为止，完成自动填充.Microsoft Excel软件环节教学内容设计师生双边互动信息技术应用第七步: 在B2单元格点击“粘贴函数”，输入函数值公式“=lnA2+2*A2-6”，得到与A2相应的函数值.第八步:然后双击(或拖动)B2的“填充柄”，得到与第一列相应的函数值.生：观察所得函数值，所以零点在区间(2.5，3)内.第九步：重复上述操作：将A1、B1、C1复制到A7、B7、C7，把精确度设为0.25，在A8、B9分别输入2.5、2.75，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖动“填充柄”到单元格内出现填充值3.25时为止，完成自动填充.复制B2到B8，得到与A8相应的函数值，然后双击(或拖动)B8的“填充柄”，得到与第一列相应的函数值.生：观察所得函数值，所以零点在区间(2.5，2.75)内.Microsoft Excel软件环节教学内容设计师生双边互动信息技术应用结论：借助信息技术求方程近似解(函数零点)的步骤如下：1.利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，确定函数零点所在的大致区间;2.利用然后用Microsoft Excel软件逐步计算解答.第十步：重复上述过程，将精确度设为上次操作的一半，直到小于0.01为止，特别地，这时可以将区间端点作为零点的近似值.生：观察所得函数值，并且精确度为0.0078125<0.01，所以零点在区间(2.53125 ，2.5390625)内，*=2.53125可以为函数的零点.生：认真思考，运用所学知识寻求确定方程近似解的方法，并进行讨论、交流、归纳、概括、评析形成结论.Microsoft Excel软件例题：借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解(精确度0.1) 解：(略). 打开几何画板打开Excel尝试练习：1. 借助计算器或计算机，用二分法求函数的零点(精确度0.1)2. 借助计算器或计算机，用二分法求方程的近似值(精确度0.01)师：首先利用几何画板4.06中文版软件画出函数图象，确定函数零点所在的大致区间，然后用Microsoft Excel软件逐步计算解答.生：独立完成解答，并进行交流、讨论、评析.Authorware7.02课件展示几何画板4.06中文版Microsoft Excel软件我们也可以借助QBASIC语言编写一定的程序来求方程的近似解.(精确到0.01)程序框图：师：介绍学生感兴趣的计算机编程问题，渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔.Authorware7.02课件展示环节教学内容设计师生双边互动信息技术应用程序语句：INPUT “，，=”;，，DO*=(+)/2=LOG()+2*-6=LOG(*)+2**-6IF *>0 THEN=*ELSE=*END IFLOOP UNTIL ABS(-) < OR =0PRINTEND打开QBASIC文件师：输入零点的大致区间和精确度，执行程序，检验程序运行结果的正确性.QBASIC语言应用程序1.有兴趣的同学可以自学QBASIC语言或其他计算机语言，编写程序，来检验做题结果正确与否.2.查找有关资料或利用Internet查找有关高次代数方程的解的研究史料，追寻阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois)，增强探索精神，培养创新意识.3.谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似解，对数学有了哪些新的认识? 将你这节课的收获与感受写成一篇小报告或小论文的形式，发表在学校的数学论坛上.师：继续激发学生学习数学的热情;感受数学文化方面的熏陶;充分地利用学校资源进行后续学习和交流.Authorware7.02课件展示。

《用二分法求方程的近似解》一课的教学设计江苏省太湖高级中学肖瑛求方程的解是常见的数学问题，这之前我们都是在等式状态下研究方程的变化关系，从而得到诸如求根公式等方程的解。

但有些方程求精确解较难，本课试图从另一个角度来求方程的近似解。

说求方程的近似解倒不如说是逼近解。

本课重点是学习一种思维。

1、教学目标1.1 知识目标：理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法。

1.2能力目标：体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；让学生能够初步了解近似逼近思想，培养学生能够探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力。

1.3情感、态度与价值观正面解决问题困难时，可以通过迂回的方法去解决。

2、教学重点能够借用计算器，用二分法求相应方程的近似解。

3、教学难点对二分法的理论支撑的理解。

4、教学方法实例导入→推出课题→实践探究→总结提炼→学生感悟（总结、反思）5、教具多媒体课件6、教学过程…………………………………………………………………………………………………一、创设情景，引入新课师：大家先来看一段录像（放映CCTV2幸运52片段）支持人李咏说道：猜一猜这件商品的价格。

观众甲：2000！李咏：高了！观众甲：1000！李咏：低了！观众甲：1700！李咏：高了！观众甲：1400！李咏：低了！观众甲：1500！李咏：低了！观众甲：1550！李咏：低了！观众甲：1580！李咏：高了！观众甲：1570！李咏：低了！观众甲：1578！李咏：低了！观众甲：1579！李咏：这件商品归你了。

下一件……师：（手拿一款手机）如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔十元降低报价。

生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价。

如果低了，每50元上涨；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……师：在现实生活中我们也常常利用这种方法。

《利用二分法求方程的近似解》教学设计1.了解求方程近似解的方法，会用二分法求具体方程的近似解．2.体会函数在解方程中的作用．重点：利用二分法求方程的近似解． 难点：求方程近似解的精确度的把握．一、情境导入情境：怎样工作最合理？在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条长10 km 的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，10 km 大约有200多根电线杆呢．如何迅速查出故障所在？想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？首先从整条线路AB 的中点C 查起，用随身带的话机向两端测试时，发现AC 段正常，断定故障在BC 段；再到BC 段中点D ，这次发现BD 段正常，可见故障在CD 段；再查CD 中点E …每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50 m 左右，即两根电线杆附近，要查多少次？答案：只要8次就够了．设计意图：通过实际情境，让学生在轻松愉快的环境下开始本节课的学习，在问题情境中感悟数学有用，增加学习兴趣，为引入二分法的原理做准备．二、新知探究问题1：我们已经学过一元一次方程、一元二次方程的解法，但是，绝大部分方程没有求解公式，如ln x +2x −6=0，那么如何确定方程ln x +2x −6=0的解呢？设计意图：教师提出问题，引发学生的思维，造成悬念；再通过以下问题的探究，引导学生展开思考．方程ln x +2x −6=0一定有解吗？为此，需先确定实数解的存在性． 追问1：怎样确定方程有实数解？答案：方程f (x )=0有实数解⇔函数y =f (x )有零点⇔函数y =f (x )的图象与x 轴有公共点．所以，函数y =f (x )的零点就是y =f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，即方程f (x )=0的◆教学目标◆教学重难点 ◆◆教学过程实数解．若函数y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)•f(b)<0，则在开区间(a，b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解．追问2：能否找出方程ln x+2x−6=0的一个实数解的存在区间呢？答案：设f(x)=ln x+2x−6，容易得出f(2)=ln2+4−6=ln2−2<0，f(3)=ln3>0，结合零点存在定理，可知f(x)=ln x+2x−6在区间(2，3)内存在零点，即方程ln x+2x−6=0的一个实数解的存在区间为(2，3)．追问3：我们已经知道， ln x+2x−6=0在区间(2，3)内存在实数解，其准确值无法求出，能否求这个实数解的近似值呢？答案：一个直观的想法是：如果能将实数解所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下就可以得到符合要求的实数解的近似值．（精确度是指近似值与其准确值的接近程度）设x̂是方程f(x)=0的一个解，给定正数ε，若x0满足|x0−x̂|<ε，就称x0是满足精确度ε的近似解．追问4：如果要获得精确度为0.5的近似解，你能找到一个符合要求的区间吗？答案：已知ln x+2x−6=0在区间(2，3)内存在实数解，即函数f(x)=ln x+2x−6在区间(2，3)内存在零点，这个区间长度为1．要获得精确度为0.5的实数解的近似值，至少需将包含零点的区间长度缩小为原来的一半．考虑区间(2，3)的中点2.5，又f(2.5)= ln2.5−1<0，f(3)=ln3>0，则f(2.5)f(3)<0．根据函数零点存在定理可知，函数f(x)= ln x+2x−6在区间(2.5，3)内存在零点，即ln x+2x−6=0在区间(2.5，3)内存在实数解，区间长度为0.5，因此，区间[2.5，3]内任意一个数都是满足精确度的近似解．追问5：如果要获得精确度为0.01的近似解，你将采取什么办法来逐步缩小区间？答案：当精确度为0.01时，借助函数的零点存在定理，至少需要将零点存在的区间长度缩小到0.01．在一定精确度的要求下，通过取区间的中点，将零点所在区间逐次减半．有限次重复相同步骤，借助函数零点的存在定理，将零点所在区间尽量缩小，达到精确度要求后，此区间内的任意一个数都可以作为函数零点的近似值．追问6：给定精确度ε，为什么当|a－b|<ε时，区间[a，b]中任意一个值x0都是满足精确度ε的近似值？答案：根据精确度的定义，精确度是指近似值x0与其准确值x̂的接近程度．近似值x0的误差不超过某个数ε，即|x0−x̂|<ε，就说它的精确度是ε．所以当|a－b|<ε时，x̂所在的区间[a，b]中任意一个值x0与x̂的误差都不超过|a－b|，当然也就不超过ε．区间[a，b]中任意一个值x0都是满足精确度ε的近似值．追问8：你给出ln x+2x−6=0的精确度为0.01的近似解吗？答案：由|2.53125－2.5390625|=0.0078125<0.01知，区间(2.53125，2.5390625)内任意一点都可以作为解的近似值．如：取x=2.532作为函数f(x)=ln x+2x−6零点的近似值，也即方程ln x+2x−6=0的近似解．问题2 上面这种求方程ln x+2x−6=0的近似解的方法，它的总体思路是什么？这种方法适用于哪些方程？答案：这种方法的总体思路是，通过不断把函数f(x)=ln x+2x−6的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值．取区间(a，b)的中点a+b2，若f(a+b2)·f(b)<0，则区间(a+b2，b)内有方程的解．再取区间(a+b2，b)的中点……这样操作下去（如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)=0，那么x0就是所求的解；如果区间中点x0的函数值不等于0，且区间某个端点的函数值与f(x0)异号，那么x0与这个端点组成新的区间的端点），经过有限次操作，就得到一串区间，其端点的函数值符号相反，且每次操作都使区间长度减小二分之一，随着操作次数的增加，区间长度越来越小，端点逐步逼近方程f(x)=0的解，从而得到近似解．像这样，对于一般的函数y=f(x)，x∈[a，b]，若函数y=f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)<0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中个小区间的求方程近似解的方法称为二分法．总结：只要方程所对应的函数图象是连续的曲线，而且有实根，就可用二分法借助于计算器或计算机求出方程根的近似值．二分的次数越多，近似值就越精确．二分法体现了无限逼近（极限）的数学思想．追问：你能提炼出给定精确度ε，用二分法求方程f(x)=0的近似解x0的一般步骤吗？答案：二分法求方程近似解的思想来源于零点存在定理．利用二分法求方程近似解的过程可以用下图所示：其中：初始区间是一个两端点函数值异号的区间；新区间的一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，并且新区间两端点的函数值异号．在用二分法求方程近似解的步骤中，初始区间的选定，往往需要通过分析函数的性质和试算．初始区间选的不同，虽然不影响最终计算结果，但可能影响计算量的大小．若方程f(x)=0有多个解，则需要选取不同的初始区间来求得不同解的近似值．三、应用举例例1:求方程2x3+3x−3=0的一个近似解．（精确度为0.01）解：考察函数f(x)=2x3+3x−3，基于零点存在定理，从一个两端点函数值异号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程解所在区间．经试算，f(0)=−3<0，f(1)=2>0．所以方程f(x)=0在区间(0，1)内有解．取区间(0，1)的中点0.5，f(0.5)=−1.25<0，所以方程f(x)=0在区间(0.5，1)内有解．如此下去，得到方程f(x)=0的解所在的区间，如下表：至此，可以看出，区间[0.734375，0.7421875]的区间长度为0.0078125，它小于0.01．而方程的解就在这个区间内，因此区间内的任意一个数都是满足精确度的近似解，例如，0.74 就是方程2x3+3x−3=0精确度为0.01的一个近似解．四、课堂练习1．思考辨析(1)任何函数的零点都可以用二分法求得．()(2)用二分法求出的方程的根都是近似解．()(3)当方程的有解区间[a，b]的区间长度b−a≤ε(精度)时，区间(a，b)内任意一个数都是满足精度ε的近似解．()2．用二分法求函数f(x)=3x−7的零点时，初始区间可选为()A．(－1，0)B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)3．若函数f(x)=x3+x2−2x−2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A．1.25B．1.375C．1.40625D．1.5参考答案：1.(1)只有当函数图象在区间[a，b]是连续的曲线，且与x轴有交点时（即f(a)·f(b)<0），才可用二分法求函数的零点．故错误；(2)使用二分法时，如果取到某个区间的中点x0，恰使f(x0)=0，那么x0就是所求的解，不是近似解．故错误；(3)正确．2.解：f(−1)=3−1−7=13−7=−203<0，f(0)=30−7=1−7=−6<0，f(1)=31−7=−4<0，f(2)=32−7=9−7=2>0，故函数f(x)的零点在区间(1，2)上，故初始区间可选为(1，2)．选C．3.解：根据题意知函数的零点在1.40625至1.4375之间，又|1.437 5－1.406 25|=0.031 25<0.1，故方程的一个近似解为1.40625，故选C．五、课堂小结1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近方程的解，直至找到解附近足够小的区间，根据所要求的精度，区间的任意数值即为近似解．2.并非所有函数都可以用二分法求出其零点，只有满足：(1)函数图像在区间[a，b]上连续不断；(2)f(a)·f(b)<0．上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值．六、布置作业教材第132页练习第1题．。

课题：3.1.2用二分法求方程的近似解（人教版必修①第三章）教学目标：（1）通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．（2）能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．（3）体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．教学重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．教学难点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．教学方法：利用多媒体和图形计算器辅助教学，通过例题引导学生自主探究二分法的原理与步骤。

教学过程：一、复习引出问题1. 提问：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？零点概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x) 的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.2. 提出问题：解下列方程：2(1)210(2)ln260(3)2370xx xx xx-+=+-=+-=（教师根据学生的解答指出：解一元二次方程可用求根公式，但对于其它的某一些方程，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题。

）3. 探究：我们已经知道，函数()ln26f x x x=+-在区间（2，3）内有零点。

进一步的问题是，如何找出这个零点？我们来看一看下面的生活实例：如果府城的某条有线电视电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，你能找一个简便易行的方法吗？师生共同讨论：维修人员这样工作最合理：①先从中间位置接点查起：若用随身所带的仪器向两端测试，发现上半段正常，则可确定是下半段有故障；否则反之。

课题：用二分法求方程的近似解全日制普通高级中学教科书数学必修1第三章第一节第三课时一、教材背景分析1.教材的地位和作用以及学情本节内容位于数学必修1第三章第一节“函数与方程”，共分三个课时。

第一课时学习了“方程的根与函数零点的关系”，第二课时学习了“函数零点的存在性”，学生通过前面两节的学习，对方程的根的存在性以及函数零点和方程的根的关系有了一定的认识。

掌握了基本初等函数的图像和性质并具有了一定的数形结合的思想，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识，在此基础上介绍用二分法求函数零点近似值，也就水到渠成。

本节是第三课时，二分法是求方程近似解的常用方法，它体现了函数的思想以及函数与方程的联系。

为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，为数学3中算法内容的学习做了铺垫。

二分法体现了数学的逼近思想，对学生以后学习圆周的计算，球的面积体积公式的由来等微积分的知识起了奠基的作用。

因此决定了它的重要地位。

2.教学重点与难点重点：渗透二分法思想；理解二分法的原理；掌握用二分法求给定方程近似解。

难点：二分法的原理；零点所在区间的判断；精确度的理解。

[理论依据]学生所学的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会应用，然而不管他们从事什么工作，惟有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随时随地发生作用，使他们受益终身。

因此数学思想方法的渗透是重点之一。

二、教学目标（1）知识与技能：1.体会二分法的思想，掌握二分法求方程近似解的一般步骤。

2.会用二分法求方程的近似解，并能用计算机辅助求解。

3.会用二分法思想解决其他的实际问题。

（2）过程与方法：1.通过对二分法原理的探索，引导学生用联系的观点理解函数与方程，形成用函数的观点处理问题的意识。

2.通过求具体方程近似解介绍二分法并总结其步骤，体现了从具体到一般的认知过程。

3.利用逼近求解，渗透从有限到无限的数学思想。

（3）情感与态度：1.通过创设情境调动学生参与课堂的热情，激发学生学习数学的情感。

用二分法求方程的近似解一、内容与内容解析1.内容利用二分法求方程的近似解.2.内容解析对于区间[a,b]上的连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似解的方法叫做二分法.二分法是求方程近似解的常用方法，这种方法由“区间”端点对应的数，研究“点”对应的具体的数：通过不断缩小“区间”，由“区间”左端点对应的单调递增数列，以及右端点对应的单调递减数列，不断逼近这一系列“区间”组成的区间套中的具体点对应的数.二分法的本质仍然是通过数的运算研究问题.二分法通过不断缩小函数零点所在区间求方程的近似解，体现出用函数观点处理数学问题的思想和逐渐逼近的极限思想.从高中数学角度，二分法体现出函数在数学内部的应用.从高等数学角度，二分法所采用的使实数区间向某一个点收敛的方法，是证明有关连续性结论的基本思路.从函数零点与方程的解的关系，到函数零点存在定理，再到利用二分法求方程的近似解，学生经历了一个完整的利用函数研究问题和解决问题的过程.从中不但能体会到函数的工具性，还获得了从个别问题的解决过程提炼出一类问题的解决方法的经验，这对提高学生分析问题和解决问题能力，培养学生理性精神有一定的帮助.通过求具体方程的近似解了解二分法并总结其实施步骤，体现了由具体到一般的认知过程；在求方程的近似解的过程中，需要重复计算区间中点，以及中点的函数值，涉及到的较复杂的数据.因此本节课主要发展学生的数学抽象和数据处理核心素养.教学重点：用二分法求函数f(x)的零点的近似值的一般步骤.二、目标与目标解析1.目标（1）通过求具体方程的近似解了解二分法，体会函数在解方程方面的应用，渗透极限思想.（2）通过总结二分法的实施步骤，使学生经历由具体到一般的认知过程，发展数学抽象核心素养，提高分析问题和解决问题的能力.（3）根据具体函数图象，能够借助信息技术用二分法求方程的近似解，发展数据处理核心素养.2.目标解析达成上述目标的标志：（1）能够根据函数零点存在定理想到通过一分为二的逐渐缩小零点所在区间的办法，来求方程lnx+2x-6=0的近似解，知道二分法是求方程近似解的常用方法.（2）能够根据求方程lnx+2x-6=0的近似解的过程，提炼出利用二分法求函数f(x)的零点的近似值的一般步骤.（3）能够借助信息技术，用二分法求具体方程的近似解.三、教学问题诊断分析（1）学生已经学习了零点存在定理，容易想到通过逐渐缩小函数零点所在区间的办法来求方程的近似解，对二分法的理解不存在困难.（2）学生还没有算法的基本思想，对于求近似值的问题也接触较少，因此在总结用二分法求函数零点近似值的一般步骤时，得出步骤3中的“令b=c”、“令a=c”和步骤4中的“若|a-b|<ε，则得到零点的近似值为a或b”可能会有些困难.因此本节课的教学难点为：根据求方程lnx+2x-6=0的近似解的过程，提炼出利用二分法求函数f(x)的零点x0的近似值的一般步骤.破解这个难点的关键是，让学生用自己的语言准确描述求方程lnx+2x-6=0近似解的每一步，理解精确度的含义，搞清楚其中循环的部分，明确循环结束的条件.（3）在利用二分法求方程近似解的过程中，数值计算较为复杂，这对获得给定精确度的近似值增加了困难.因此，本节课的另一个教学难点为：利用二分法求方程在给定精确度下的近似解.要破解这个难点，需要恰当的使用信息工具.四、教学支持条件分析本节课的教学，需要利用GGB软件绘制函数图象，并进行函数值的计算.五、教学过程设计（一）引入问题、探讨方法引言：通过前一节课的学习，我们根据函数零点存在定理和函数单调性可以确定方程实数解的个数，今天进一步研究利用函数求方程的近似解.问题1：我们已经知道函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2,3）内存在一个零点，如何求出这个零点？追问1：你能求出函数f(x)=lnx+2x-6零点的精确值吗？为什么？师生活动：学生根据经验给出判断，教师补充.预设的答案：学生的回答是否定的，原因是方程lnx+2x-6=0没有求根公式.教师补充：大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解，在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解.（“精确度为ε”的含义是：“近似值与精确值之差（即误差）不大于ε”）追问2：当精确度为0.5时，你能得到一个符合要求的零点的近似值吗？师生活动：学生思考和回答，教师启发学生说明理由,给出区间的中点的定义.预设的答案：零点在区间（2,3）内，数轴上2和3之间的距离为1，它们的中点与零点的距离一定小于0.5，因此精确度为0.5时，可以取2.5作为一个零点的近似值.教师指出：一般地，称为区间(a,b)的中点.追问3：当精确度为0.5时，3可以看做零点的一个近似值吗？为什么？师生活动：学生思考和回答，教师引导和补充.预设的答案：由计算工具算得f(2.5)=-0.084，由f(2.5)f(3)<0可知,零点在区间（2.5，3）内，由数轴上2.5和3之间的距离为0.5可知,零点和3之间的距离小于0.5，因此，3可以看做零点的一个近似值.追问4：根据追问2和3的回答，当精确度缩小到0.01时，为了得到函数零点的近似解，我们至少需要将零点所在区间缩小到什么程度？你将采取怎样的办法来逐步缩小零点所在区间？师生活动：学生思考和回答，教师引导和补充.预设的答案：当精确度为0.01时，长度小于0.01的零点所在区间内的任意实数都可以是零点的近似值，为此至少需要将存在零点的区间长度缩小到小于0.01.根据追问2和3的回答，可以通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半，达到缩小零点所在区间的目的.教师总结：通过以上问题的思考和回答可知，如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值.为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围.具体地，就是通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半地缩小到长度小于精确度的范围。

《用二分法求方程的近似解》教学设计
课时安排：
本教学设计为一节课的教学内容，预计总时长为45分钟。

一、教学目标：
1.理解二分法的基本原理和运算过程；
2.掌握使用二分法求解方程的方法；
3.能够利用二分法求解简单方程的近似解。

二、教学准备：
1.教师准备：教师准备教学课件，包括相关的二分法求解方程的示例和练习题；
2.学生准备：学生准备好纸笔，随时记录学习笔记。

三、教学步骤：
1.导入（5分钟）：教师向学生介绍二分法的概念和原理，通过简单的例子说明二分法如何应用于求解方程的近似解。

2.理论讲解（10分钟）：教师详细讲解二分法的运算过程和步骤，包括确定解的区间、中点取值、替换求解等具体操作方法。

3.示例分析（10分钟）：教师通过一个具体的示例，演示如何使用二分法求解方程的近似解，引导学生掌握方法和技巧。

4.练习与讨论（15分钟）：学生在教师的引导下，进行一些简单的练习题，巩固所学知识。

学生可以在小组或全班讨论中，交流解题思路和方法。

5.总结（5分钟）：教师对本节课的内容进行总结和回顾，强调二分法在求解方程中的应用重要性，鼓励学生多加练习，提高解题能力。

四、课后作业：
1.完成课堂练习题，巩固所学知识；
2.独立解答几道关于二分法求解方程的习题，检验自己的掌握程度；。

高中数学必修一《用二分法求方程的近似解》教学设计一．教学目标：1.通过讲故事，理解二分法的思想；2.通过对具体方程的求解过程，掌握二分法求方程近似解的一般方法。

二．教学重点与难点：重点：用二分法求解方程的近似解难点：用二分法求方程近似解的步骤三．教学过程:1．根据实例引出“二分法”的思想师：在课前，我先给大家讲个“逮老鼠”事件，这个事件发生在我们大学时代，当时我们住的耧层是门对门的宿舍，中间是条大走廊，住着各个系的学生都有，有一天有只老鼠跑到了这个楼层，老鼠么，大家都知道害人，所以我们所有人商量要逮住它，同学们知道我们最后怎么逮住的吗？大家有没有好的方法？ 生1：用老鼠夹师：这正是当时物理系同学提出的意见，可是老鼠夹放哪呢？放几个呢？放的太多对我们生活不方便，放一个老鼠不到那个地方不也逮不住吗？有没有其它办法呢？生2：用老鼠药师：这正是当时化学系同学的提议，那老鼠药该放哪呢？如果老鼠不到你放药的地方不也逮不住吗？师：同学们想知道我们数学系的学生是如何用最方便最快的方法逮住老鼠的吗？生：（齐声回答）想！师：用二分法生：（莫名其妙，欲知其因）“二分法”也能逮老鼠？（学生心想，有的甚至感叹说出来）师：大家认真听我们怎么用“二分法”逮老鼠的：找来一块挡板放到走廊的正中间，老鼠从这里过不去，然后呢，我们分两批同学分工在两个段内找老鼠，当发现老鼠在其中一段时，就放过另一段，再把有老鼠的这段再平分为二，再继续分工找，在发现有老鼠的段内再一分为二，这样依次下去就把老鼠限制到一个很小的范围了，也就把老鼠逮住了。

（一边讲述一边在屏幕是上演示）生：（欣喜、大笑）师：大家说“二分法”逮老鼠好不好？生：（齐声回答）好，好，好！（评析：这个环节的设计，不仅增加了课堂气氛，激起了同学们学习的兴趣，而且形象地揭示了“二分法”的本质，对下面具体数学中如何操作“二分法”作了完美的准备）2．在数学中“二分法”求解方程近似解师：“二分法”不仅在生活中用的上，在数学解题中也被广泛地应用，今天我们就来用“二分法”求解方程的近似解。

《用二分法求方程的近似解》教学设计1．探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，渗透极限思想．2．能借助计算工具用二分法求方程近似解．3．通过提炼二分法的一般步骤，使学生经历由特殊到一般的归纳过程，了解二分法求方程近似解具有一般性，让学生感受算法的思想，并提升数学抽象核心素养． 教学重点：用二分法求方程近似解的思路与步骤．教学难点：用二分法求方程近似解的算法．PPT 课件，计算器．（一）整体感知，明确任务引导语：因为大多数方程都没有求根公式，所以这些方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解．而在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解．通过前一节课的学习，我们已经知道，求方程()0f x =的实数解，就是确定函数()y f x =的零点．根据函数零点存在定理并结合函数的单调性等性质，可以确定在某一区间内方程实数解的个数．进一步的问题是，如何求出这些实数解？本节课我们将研究这个问题．设计意图：确定了方程有实数解和解的个数后，自然会思考怎么求出这些实数解．引起学生思考，明确本节课要研究的内容．（二）新知探究1．探索方法，解决问题问题1：我们已经知道，函数()ln 26f x x x =+-在区间(2，3)内存在一个零点，其准确值无法求出，那么如何求出这个零点的近似值呢？师生活动：学生讨论交流，教师引导学生：将零点所在的范围尽量缩小．图1设计意图：学生通过重复相同的步骤，初步体会二分法的具体过程，为提炼二分法的一般步骤作铺垫．另外，通过具体的计算，列表展示函数值的变化趋势，结合图象的变化趋势，数形结合地使学生感受逼近和算法的思想．追问4：根据填好的表格，请你给出函数()ln26f x x x=+-在精确度为0.01的零点的近似值．师生活动：学生回答，教师予以补充完善．预设的答案：因为2.539 062 5 2.531 25.007 812 50.01=-，所以区间(2.531 25，2.5390<062 5)内任意一点都可以作为零点的近似值．为了方便，我们可以把区间的一个端点作为零点的近似值，所以可以将x=2.531 25作为函数()ln26=+-零点的近似值，也即方程f x x x+-=的近似值．x xln260设计意图：通过求具体函数()ln26f x x x=+-的零点在精确度0.01下的近似值，再次明确精确度的含义．在精确度ε限制下的近似值为所在满足精确度要求的区间中的任意值，即近似值有无数个，所以可以任取一个作为近似值．2．提炼方法，规范步骤问题2：像上面这种求函数()ln26f x x x=+-的零点近似值的方法，它的总体思路是什么？这种方法适用于那些函数？师生活动：学生交流后回答，教师予以补充完善．这里要注意的是，虽然我们是通过+-=这个不能用公式求解的方程，探索出了二分法，但并不意味着二分法只适用x xln260于不能用公式求零点的函数．学生可能会在这里产生惯性思维，教师要注意引导．预设的答案：根据精确度的定义，精确度是指近似值x *与其准确值x 的接近程度．近似值x *的误差不超过某个数ε，即*x x ε-<，就说它的精确度是ε．所以当a b ε-<时，零点x 0所在的区间[a ，b ]中任意一个值与x 0的误差都不超过a b -，当然也就不超过ε．所以区间[a ，b ]中任意一个值都是零点x 0满足精确度ε的近似值．设计意图：使学生进一步理解精确度的含义．3．初步应用，深化理解例2 借助信息技术，用二分法求方程237x x +=的近似解（精确度为0.1）．师生活动：先由学生说出解决问题的思路，然后师生共同利用信息技术解答．预设的答案：解：原方程即2370x x +-=，令()237x f x x =+-，用信息技术画出函数()y f x =的图象（图2），并列出它的对应值表（表3）．表3x0 1 2 3 4 5 6 7 8 y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273观察图2或表3，可知()()120f f <，说明该函数在区间(1，2)内存在零点x 0．取区间(1，2)的中点1 1.5x =，用信息技术算得()1.50.33f ≈．因为()()1 1.50f f <，所以x 0∈(1，1.5)． 再取区间(1，1.5)的中点2 1.25x =，用信息技术算得()1.250.87f ≈-．因为()()1.25 1.50f f <，所以x 0∈(1.25，1.5)．同理可得，x 0∈(1.375，1.5)，x 0∈(1.375，1.437 5)．由于11.437 51.02.3 750.650-=<，所以，原方程的近似解可取为1.375．设计意图：通过例题实践利用二分法求函数零点近似值的步骤，学会用二分法求方程的近似解．（三）归纳小结，布置作业图2问题4：回顾本节课中用二分法求函数零点的近似值的一般步骤，你能体会到怎样的数学思想和方法？师生活动：学生讨论交流后回答，教师予以补充．预设的答案：二分法通过不断缩小函数零点所在区间求函数零点的近似值，体现了逐渐逼近的极限思想．在逐渐逼近的过程中，重复相同的步骤，这些相同的步骤可以抽象出来，体现了算法思想．设计意图：回顾本节课所学二分法的一般步骤，让学生体会其中蕴含的数学思想．问题5：通过本节课的学习我们可以看到，用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复相同的步骤．因此，可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成计算．图3就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图．有兴趣的同学，可以在此基础上用有关算法语言编写程序，利用信息技术求方程的近似解．图3师生活动：学生课后自行完成．设计意图：拓展学生思路，鼓励学生利用算法语言编程解决求方程近似解的问题．问题6：阅读教科书“阅读与思考—中外历史上的方程求解”，了解方程求解的发展过程是怎样的？二分法对于方程求解的重要性是什么？师生活动：学生课后自行完成．设计意图：让学生进一步了解二分法对于方程求解的重要意义，激发学生学习兴趣，提升学生数学人文素养．作业布置：教科书习题．（四）目标检测设计1．借助信息技术，用二分法求函数()32=++-在区间(0，1)内零点的1.10.9 1.4f x x x x近似值（精确度为0.1）．设计意图：考查用二分法求函数零近似值的能力．2．借助信息技术，用二分法求方程3lg=-在区间(2，3)内的近似解（精确度为0.1）．x x设计意图：考查用用二分法求方程解的近似值的能力．参考答案：1．0.625．2．2.625．。

《用二分法求方程的近似解》教学设计高中新课程人教A版《必修1》第三章第二节《用二分法求方程的近似解》第一课时.通过对新课标的学习及对教材的研究,下面将从教材分析、教法及学法指导、教学程序、评价分析、板书设计五个方面对这节新授课的教学构想.一、教材分析1.教材的地位和作用方程是重要的数学模型之一. 寻求解方程的通法和一般解，既是贯穿代数学科的一条主线，也是学生必须掌握的基本知识和基本技能. 然而，在许多实际问题的方程中，求其一般解，既不可能，也不现实. 实际上，考虑实际问题的需要，也没必要求其一般解. 这时，寻求方程近似解的数值方法也就应运而生.“用二分法求方程的近似解”是《普通高中数学课程标准（实验）》新增的内容之一. 从我对《标准》的理解以及教学实践的角度看，增加这部分的主要目的有两个：一是加强函数与方程的联系，突出函数的应用，通过研究函数的某些性质，把函数的零点与方程的解等同起来；二是二分法这部分内容较好地体现了算法的思想，其有效、快速、规范的求解过程，可以为后面学习算法内容做了必要的铺垫，提供具体的素材.2. 教学目标根据《标准》的目标要求和对教材的分析，结合学生已有的知识基础，目标制订如下：（1）知识与技能目标通过具体实例理解二分法的原理;能借助计算器用二分法求方程的近似解，进一步理解函数与方程的联系，了解这种方法是求方程近似解的常用方法.（2）过程与方法目标通过含有超越函数式的方程的求解展望,激发学生设疑探究、活跃思维;在逐步缩小零点所在区间的过程中,让学生体会运动变化和极限思想.在概括概念，归纳步骤的过程中提高学生数学语言表达能力，培养学生的归纳概括和抽象思维能力.（3）情感态度及价值观目标初步体会“精确是特殊的、相对的，近似则是普遍的，绝对的”辩证唯物主义观点，树立追求真理，崇尚科学的信念.3. 教学重点、难点教学重点：二分法原理及其探究过程和用二分法求方程的近似解.教学难点：对二分法原理的探究和对近似值的理解.二、教法及学法指导1.教学方法：基于上面对教材的分析及学生实际. 采用“探究式”体验教学法和“启发式”教学法为主进行教学.创建问题情景后，在教师的引导启发、同学的合作帮助下，通过探究发现,让学生经历数学知识的产生和形成过程,加深对数学知识的理解.2.学法指导：问题是探究的核心，有思必有疑，有疑必有问，“问”是创新意识的具体体现. 教学过程中，适时地根据学生的“最近发展区”搭建平台，让学生主动提出问题、探索问题，逐步培养学生善于质疑的学习习惯. 在尝试问题的提出、解决过程中，通过学生的参与、比较、交流、总结，帮助学生逐步掌握动手实践、合作交流、积极探索的学习方法.三、教学程序为完成本节课的教学目标，把教学过程分为问题提出、解法探究、概括归纳、强化技能、课堂小节、布置作业六个环节.1.问题提出通过“解方程：ln 260x x +-=”的问题提出，引起学生认知冲突(过去解方程的经验和方法不能求解此方程)，激起学生探究、获取新知的欲望. 这时，让学生阅读教材第91页“中外历史上的方程求解”. 使学生初步认识到，这种含有对数式或指数式的超越方程，甚至一些五次以上的多项式方程都不可能求出它的精确解（即便是能求出精确解，根据实际问题，也只需取其在某个精确度要求下的近似解）. 从而进一步明确 “如何求方程ln 260x x +-=在某个精确度下的近似解？”的探究目标. 引出本节的课题. 同时使学生初步意识到“精确是特殊的、相对的，近似则是普遍的、绝对的”，这对刚刚踏进高中校门的学生而言，有着很强的冲击力，无疑是一场思维的突破.2.解法探究(重点、难点)（1）合作探究，寻求途径本环节通过教师的启发提出问题，引导学生合作探究，寻求解决问题的途径. 首先让学生思考下面问题1：回顾上节所学内容，你能从中得到解决本节问题的启发吗？在上一课时中，已经学过方程的根与函数零点的关系，大多数学生容易想到建立相应函数()ln 26f x x x =+-，把问题转化为求这个函数零点的近似值上来，并且根据对上一课时例1的学习，知道这个函数零点所在的大致区间为（2，3）. 因此教学过程中，我先让学生回顾上一课时基本内容，提问个别学生谈一下想法，借以实现求方程解的问题向找函数零点问题的转化. 随即利用多媒体把上一课时所画得的该函数的图象和区间加以展示.然后引导学生进一步提出问题2：如何找出它的零点或其近似值呢？因为有了对函数图象和零点所在区间的直观认识，联想上节所学定理, 学生就会有一个直观的想法：将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到零点的近似值. 至此，我鼓励学生观察后大胆的提出自己的想法，充分肯定其有效性.这时，学生自然会思考如下的问题3：如何缩小零点所在的范围？或者如何得到一个更小的区间，使得零点还在里面?教师及时让学生主动去思考缩小范围的方法和手段. 学生可能会提出各种方案，如将区间二等分（三等分、…），每次算一个分点（两个分点、…）等，然后运用所学定理去缩小区间. 我借助图示和学生共同分析哪种方案更为快捷简单，并从对称美和算法执行等角度，优选出“取中点，将区间一分为二”的方法，实现逐步缩小零点所在的范围.至此，通过合作探究找到了缩小零点所在范围的具体途径，接着让学生（2）动手计算，体验收获让学生借助计算器按照这种方法动手计算,逐渐缩小函数()ln 26f x x x =+-零点所在区间. 在实际操作中体会这种方法，掌握其要领，为后面的概括归纳积累经验，同时难点得以分散. 在学生实际进行了几次运算操作之后，教师再利用多媒体给学生演示中点及其函数值计算，以及区间逐步缩小的过程，让学生认识到这是一个典型的运动变化过程，感受了运动变化数学思想.紧接着，教师启发学生提出下面的问题4（难点）：有必要把零点所在的区间无限缩小下去吗？那么我们计算到哪个区间才结束呢？通过思考，学生会意识到，不管区间多小，也难以找到零点的精确值，寻找结束计算的依据就成为迫切需要.考虑到本节中的“精确度”要求下的近似值与学生已有的认知基础的悬殊差距.我将采用直接给出,然后借助图形形象化解释的手段,使学生明白其合理性并能实际运用. (为使函数零点的近似值x 与零点0x 尽可能的接近，只需使所分割的小区间（a ，b ）的长度| b- a |足够小即可.如果事先给定一个很小的正数ε，使在分割过程中的某一小区间（a，b）的长度| b-a|小于ε，即可使|x-x |＜| b-a|＜ε，那么,我们就把这个正数ε叫做精确度(即我们结束计算的标准).这时,区间（a，b）内的任意一点都可使它与零点的精确值的误差不超过给定的精确度(即可以作为零点的近似值). 但为使将来的算法具有可执行性，应选取区间的一个端点作为零点的近似值.如图:) Array然后，教师给出一个精确度0.01，让学生计算,找出近似值.3.抽象概括通过以上探究过程的展开，然后引导学生概括概念、归纳步骤.教学实施中，先让学生独立通俗地概括出上面寻求函数零点的实质(利用将区间一分为二的手段,逐步逼近的变化过程,求出给定精确度的近似值的目标),然后用数学语言把它描述出来，形成得到零点近似值的具有可操作性的方法——二分法.最后让学生对照课本上规范的定义.借此让学生感受数学语言之精炼，培养学生的抽象概括能力.课本上所给的步骤接近算法语言，便于计算机编程. 学生很难用自己的语言理性地归纳到位，甚至直接去理解也比较困难. 教学中，将采用师生共同归纳，形成一种通俗的语言表达出来，再引导学生转换为教科书上的形式,其中关键是帮助学生理解步骤的循环性和有限性，从中渗透一点算法思想.4.强化技能（重点）本环节教学中，我将安排课本上的例2、借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）.选题目的：①通过转化方程形式，建立相应的函数，进而利用二分法求解. 进一步加强函数与方程的联系，突出函数的应用.②使学生进一步理解二分法的基本思想，掌握用二分法求方程近似解的一般步骤，以便建立解决这类问题的书面解题格式.练习：课本第91页练习1、2题选题目的：进一步熟练用二分法求方程近似解的步骤和过程，并根据学生可能出现的问题，及时反馈矫正.5.课堂小结课堂教学反馈：一方面让学生自己进行知识的归纳总结，明确要达到的基本技能.另一方面师生一起回忆本节课的探究过程，强调从具体到抽象的思维方法，以及函数与方程、数形结合、极限等数学思想方法的重要性.6.布置作业根据作业巩固性和提高性的原则，课后作业分两个层次.（1）书面作业：课本第92页习题3.1A组第1，5题.通过书面作业，内化知识，检验学生掌握知识的情况，发现和弥补教与学中的遗漏与不足.（2）课外作业：查阅有关资料,了解二分法在其他学科或社会实践中的实际应用.拓展学生知识面,使学生对二分法有更全面的认识.四、评价分析本节课，教师着眼于引导,学生着眼于探索,侧重于学生能力的提高、思维的训练。

3.1.2 用二分法求方程的近似解一、教学目标 （一）核心素养本节内容是在学习了集合与函数概念、基本初等函数以及方程的根与函数零点的关系之后，研究函数与方程关系的内容，是高中新增加的内容.二分法是求方程近似解的一种方法，意在培养学生的数学抽象、数学运算、数据处理素养. （二） 学习目标1.从具体方程出发，经历用二分法求方程近似解的过程，初步体会、理解“一分为二”、“逐步逼近”的思想.2.能从具体事例中归纳概括用二分法求方程近似解的步骤，认识算法化的形式表达，初步体会其中蕴含的算法思想.3.能用二分法求解一些方程的近似解，感受方程与函数之间的联系，初步形成用函数观点处理问题.（三）学习重点1. 用二分法求方程近似解，体会逐步逼近和无限的思想;2. 用二分法求方程近似解的操作步骤. （四） 学习难点1. 用二分法求方程近似解的理解，对函数与方程之间的关系的体会；2. 求解过程中较复杂的计算量. （一）课前设计 1． 预习任务（1）读一读：阅读教材第89页探究至91页.（2）想一想：一元二次方程的根如何求解？ 不是一元二次的方程还能用这种方法吗？ （3）试一试：试探索如何求方程x 3-3x +5=0的解. 2．预习自测（1）求方程x 2-2x -4=0的解. 【知识点】函数与方程【解题过程】由一元二次方程求根公式可得：1211x x ==+ 【思路点拨】一元二次方程求根公式.【答案】1211x x ==+.（2）函数y =x 2-5x -6在（0,2）上零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．0D ．不确定 【知识点】零点定理 【数学思想】【解题过程】y =x 2-5x -6=0得错误！未找到引用源。

,故在（0,2）无零点. 【思路点拨】函数零点转化为对应方程的根. 【答案】C（3）函数y =-x 3-3x +5的零点所在区间为（ ）A ．（0,1）B ．（-1,0）C ．（1,2）D ．（2,3） 【知识点】零点定理 【数学思想】【解题过程】令y =-x 3-3x +5=0即x 3=-3x +5，由图像可得其交点在（1,2）之间.xyO【思路点拨】分解为y =x 3与y=-3x +5图像的交点所在区间. 【答案】C 二、教学设计 (二)课堂设计 1． 知识回顾（1）一元二次方程求根方法：△>0时有两个实根，1,2x ==0时有一个实根，2bx a=-；△<0时方程无实根.（2）零点定理：一般地，若函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f (a )f (b )<0,那么函数y =f (x )在区间（a , b ）内有零点，即存在c ∈（a , b ）,使得f (c )=0，这个c 也就是方程f (x )=0的根. 2.问题探究探究一 从具体函数出发，体会二分法求近似解★▲ ●活动① 回顾求一元二次方程根的求法.求下列方程的解:（1）2210x x --=；（2）2440x x -+=.【设计意图】求一元二次方程根的解，回顾求方程的根的方法，为后面做铺垫. ●活动② 发现问题，产生认知冲突. 探究：（1）方程ln 260x x +-=有几个解？（2）你能找出方程ln 260x x +-=的根所在区间吗？ （3）该区间内的任意一个值都可以看作方程的解吗？【设计意图】通过这个非一元二次型方程根的个数起到承前启后的作用.用零点定理可以判断方程根的个数和所在区间，但这个根到底是多少？如何求解？这些问题要解决就要进一步学习、探究.●活动③ 近似程度与精确度，（1）求其精确到0.1的近似值； （2）若要求近似程度即精确度为0.1，它的近似值有哪些？ （3）对于数值x 和精确度ξ，满足条件的x 的近似值有哪些？【设计意图】由具体实数的近似值来理解精确度，同时区别精确度为0.1与精确到0.1. 归纳出对于实数x 和精确度ξ，若a b ξ-<则区间[],a b 内的任意一个实数都可以作为实数x 的近似值.●活动④ 探索用二分法求方程的近似解.小组讨论：已知函数()ln 26f x x x =+-的零点在区间(2,3)上. （1）能将根所在范围缩小吗？缩小在哪个范围？（2）能再缩小吗？在哪个范围内？此方法能不断缩小根所在范围吗？ （3）若要求精确度为0.01,函数零点的近似值在哪个范围？对于在区间[a ,b ]上连续不断且()()0f a f b <的函数()y f x =，通过不断地把函数f (x )的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 【设计意图】让学生探寻不断将零点所在区间缩小最优方法即二分法，将区间一分为二再缩小，不断逼近零点.初步体会二分法的优势，体会不断逼近的思想，初步意识到此问题的步骤是重复操作到满足条件为止即算法思想.探究二 二分法求方程近似解步骤的归纳. ★▲ ●活动① 初步应用二分法求方程近似解.用二分法求方程2370x x ++=的近似解（精确度为0.1）.【设计意图】初步体会、应用二分法求方程近似解，为归纳二分法求近似解的步骤做铺垫. ●活动② 归纳二分法求方程近似解的步骤.由以上两个例子，试用自然语言描述用二分法求方程近似解的步骤. 第一步：求给定区间的中点； 第二步：计算中点的函数值； 第三步：确定零点所在的新区间；第四步：判断是否达到精确度，如果达到，完成；如果没有达到，又回到第二步重复. 【设计意图】通过学生小组探究，先用学生熟悉的自然语言归纳二分法求近似解的步骤，同时建立数学规范，即第一步干什么，第二步干什么等等，初次认识算法书写形式特点. ●活动③ 完善二分法求方程近似解的步骤.给定精确度ξ，用二分法求函数()y f x =零点的近似值. (1)求区间(,)a b 的中点c ； (2)计算f (c )；(3)若()()0f a f c <，则令b c =（此时零点0(,)x a c ∈）； (4)若()()0f b f c <，则令a c =（此时零点0(,)x c b ∈）；(5)判断是否达到精确度ξ：即若a b ξ-<，得到零点近似值a （或b ）,否则回到（1）. 【设计意图】引导学生获得用符号描述的二分法求函数零点近似值的一般步骤. 探究三 初步应用，理解巩固所学. ●活动① 巩固基础，检查反馈.例1．下列图像所表示的函数中，能用二分法求零点的是（ ）A．B．C．D．【知识点】二分法定义．【数学思想】数形结合思想.【解题过程】由二分法定义即可判断．【思路点拨】二分法的定义要求零点左右侧函数值有正负之分.【答案】B．【设计意图】辨析二分法求近似解.）A．B．C．D．【知识点】二分法定义.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】由二分法定义即可.【思路点拨】二分法的定义要求零点左右侧函数值有正负之分.【答案】C．【设计意图】二分法求近似解定义的理解.例2 用二分法求函数()34xf x x=--的一个零点，其参考数据如下：据此数据，可得()34xf x x=--的一个零点的近似值（精确度为0.01）为________。

《用二分法求方程的近似解》一. 教材分析1.教学内容本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修1第三章《函数的应用》3.1《函数与方程》中第3.1.2节《用二分法求方程的近似解》，属于本小节的第三课时. 第一课时我们学习了“方程的根与函数零点的关系〞，第二课时学习了“函数零点的存在性〞，学生通过前面两节的学习，对方程的根的存在性以及函数零点和方程的根的关系有了一定的认识.掌握了根本初等函数的图象和性质并具有了一定的数形结合的思想，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识，在此根底上介绍用二分法求函数零点近似值，也就水到渠成.2.地位作用二分法是求方程近似解的常用方法，在寻求方程近似解的过程中首先将方程解的问题转化为函数的零点问题处理，表达了函数的思想以及函数与方程的联系.然后借助函数的图象先初步确定函数零点所在的区间，再通过不断地把零点所在区间一分为二逐步缩小区间的范围，使区间的两端点逐步逼近函数的零点，进而得到零点的近似值.这一过程为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了根底，为数学必修3中算法内容的学习做了铺垫.二分法表达了数学的逼近思想，对学生以后学习圆周的计算，球的面积体积公式的由来等微积分的知识起了奠基的作用.因此决定了它的重要地位.3．学情分析①．根底能力数学根底知识相对薄弱，但具备一定的分析判断能力和解决问题的能力。

②. 认知现状对函数的零点，方程的根和函数的关系，零点的存在性定理等知识有初步的接触和认识。

③. 情感特点学生的求知欲强，想象力丰富，他们对探究有较强的参与欲望，希望在课堂上能得到充分的展示和肯定。

4. 教学目标①.知识与能力：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，能借助计算器等工具运用二分法求方程的近似解；②．过程与方法：通过学生的自主探究，初步了解逼近思想、强化函数与方程思想、数形结合的思想，培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力.通过对具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从特殊到一般的认知过程.③.情感态度与价值观：通过创设情境调动学生参与课堂的热情，激发学生学习数学的情感.并在二分法步骤的探索、发现过程中，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心. 5.教学重点、难点重点: 掌握用二分法求给定方程的近似解.难点: 二分法的原理；零点所在区间的判断；精确度的理解.二.教法分析本节课采用的教学模式是金堂的“533生命教学课堂模式〞，即“自主学习、交流展示、归纳点拨、训练反应、拓展延伸〞五个环节融会贯穿的教学形态。