2021浙江省新高考名校交流理科数学模拟试卷及答案详解

【高三】浙江2021年高考数学理科试卷（附答案和解释）浙江卷数学（理）试题答案与解析选择题部分（共50分）一、选择题：每小题5分，共50分．1．已知i是虚数单位，则(?1+i)(2?i)=A．?3+iB．?1+3i C．?3+3i D．?1+i【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于容易题【答案解析】B2．设集合S={xx>?2}，T={xx2+3x?4≤0}，则(?RS)∪T=A．(?2，1]B．(?∞，?4]C．(?∞，1]D．[1，+∞)【命题意图】本题考查集合的运算，属于容易题【答案解析】C 因为(?RS)={xx≤?2}，T={x?4≤x≤1}，所以(?RS)∪T=(?∞，1]. 3．已知x，y为正实数，则A．2lgx+lgy=2lgx+2lgyB．2lg(x+y)=2lgx ? 2lgyC．2lgx ? lgy=2lgx+2lgy D．2lg(xy)=2lgx ? 2lgy【命题意图】本题考查指数和对数的运算性质，属于容易题【答案解析】D 由指数和对数的运算法则，易知选项D正确4．已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0，φ?R)，则“f(x)是奇函数”是“φ=π2”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性，属于中档题【答案解析】B 由f(x)是奇函数可知f(0)=0，即cosφ=0，解出φ=π2+kπ，k?Z，所以选项B正确5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则A．a=4B．a=5C．a=6D．a=7【命题意图】本题考查算法程序框图，属于容易题【答案解析】A6．已知α?R，sin α+2cos α=102，则tan2α=A．43B．34C．?34D．?43【命题意图】本题考查三角公式的应用，解法多样，属于中档题【答案解析】C 由(sin α+2cos α)2=1022可得sin2α+4cos2α+4sin αcos α sin2α+cos2α=104，进一步整理可得3tan2α?8tan α?3=0，解得tan α=3或tanα=?13，于是tan2α=2tan α1?tan2α=?34.7．设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=14AB，且对于AB上任一点P，恒有→PB?→PC≥→P0B?→P0C，则A．?ABC=90?B．?BAC=90?C．AB=ACD．AC=BC【命题意图】本题考查向量数量积的几何意义，不等式恒成立的有关知识，属于中档题【答案解析】D 由题意，设→AB=4，则→P0B=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得，→PB?→PC=→PH→PB=(→PB ?(a+1))→PB，→P0B?→P0C=?→P0H→P0B=?a，于是→PB?→PC≥→P0B?→P0C恒成立，相当于(→PB?(a+1))→PB≥?a恒成立，整理得→PB2?(a+1)→PB+a≥0恒成立，只需?=(a+1)2?4a=(a?1)2≤0即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故△ABC是等腰三角形，所以AC=BC8．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)=(ex?1)(x?1)k(k=1，2)，则A．当k=1时，f(x)在x=1处取到极小值B．当k=1时，f(x)在x=1处取到极大值C．当k=2时，f(x)在x=1处取到极小值D．当k=2时，f(x)在x=1处取到极大值【命题意图】本题考查极值的概念，属于中档题【答案解析】C 当k=1时，方程f(x)=0有两个解，x1=0，x2=1，由标根法可得f(x)的大致图象，于是选项A，B错误；当k=2时，方程f(x)=0有三个解，x1=0，x2=x3=1，其中1是二重根，由标根法可得f(x)的大致图象，易知选项C正确。

2021届全国名校学术联盟新高考模拟试卷（一）数学（理）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1.设全集{}2|250,Q x x x x N =-≤∈，且P Q ⊆，则满足条件的集合P 的个数是（ ）A. 3B. 4C. 7D. 8 【答案】D【解析】 {}{}25|250,N |0,N 0,1,22Q x x x x x x x ⎧⎫=-≤∈=≤≤∈=⎨⎬⎩⎭ ，所以满足P Q ⊆ 的集合P 有328= 个，故选D.2.已知i 是虚数单位，复数512i i -的虚部为（ ） A. 1-B. 1C. i -D. i【答案】B【解析】因为()()()()512512*********i i i i i i i i i ++===-+--+ ，所以复数512i i-的虚部为1 ，故选B. 3.已知a ，b 都是实数，那么“lg lg a b >”是“a b >”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】利用对数函数的单调性、不等式的性质即可判断出结论．【详解】,a b 都是实数，由“lg lg a b >”有a b >成立，反之不成立，例如2,0a b ==.所以“lg lg a b >”是“a b >”的充分不必要条件.故选：B 【点睛】本题考查了对数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4.淮南市正在创建全国文明城市，某校数学组办公室为了美化环境，购买了5盆月季花和4盆菊花，各盆大小均不一样，将其中4盆摆成一排，则至多有一盆菊花的摆法种数为（ ） A. 960 B. 1080C. 1560D. 3024 【答案】B【解析】【分析】分两类：第一类一盆菊花都没有，第二类只有一盆菊花，将两类种数分别算出相加即可. 【详解】解：一盆菊花都没有的摆法种数为45120A =，只有一盆菊花的摆法种数为134454960C C A =， 则至多有一盆菊花的摆法种数为1209601080+=， 故选：B.【点睛】本题考查分类加法原理，考查排列组合数的计算，是基础题. 5.数列{}1(252)2n n --的最大项所在的项数为（ ） A. 10B. 11C. 12D. 9【答案】B【解析】【分析】令1(252)2n n a n -=-，则n a 最大时有11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩，代入通项公式解出n ，即可求出最大项的项数.【详解】令1(252)2n n a n -=-，当2n ≥时，设n a 为最大项，则11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩即121(252)2(272)2,(252)2(232)2,n n n n n n n n ---⎧-≥-⎨-≥-⎩解得212322n ≤≤. 而*n N ∈，所以11n =，又1n =时，有122342a a =<=，所以数列{}1(252)2n n --的最大项所在的项数为11. 故选：B .【点睛】本题考查数列求最大项问题，考查学生的计算能力，属于基础题.6.函数()21ln 12f x x x =--的大致图象为（ ） A.B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由()()f x f x -=得到()f x 为偶函数，所以当0x >时，()21ln 12f x x x =--，求导讨论其单调性，分析其极值就可以得到答案. 【详解】因为()()()21ln 12f x x x f x -=----=， 所以()f x 为偶函数, 则当0x >时，()21ln 12f x x x =--. 此时211()x f x x x x='-=-， 当1x >时，()0f x '> 当01x <<时，()0f x '<.所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.在0x >上，当1x =时函数()f x 有最小值11(1)1122f =-=->-..由()f x 为偶函数，根据选项的图像C 符合.故选：C【点睛】本题考查根据函数表达式选择其图像的问题，这类问题主要是分析其定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性和一些特殊点即可,属于中档题.7.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．己知ABC ∆的顶点()4,0A ，()0,2B ，且AC BC =，则ABC ∆的欧拉线方程为（ ）A. 230x y -+=B. 230x y +-=C. 230x y --=D. 230x y --=【答案】D【解析】【分析】由于AC BC =，可得：ABC ∆的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上，求出线段AB 的垂直平分线，即可得出ABC ∆的欧拉线的方程．【详解】因为AC BC =，可得：ABC ∆的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上 ()4,0A ，()0,2B ，则,A B 的中点为(2,1)201042AB k -==--, 所以AB 的垂直平分线的方程为：12(2)y x -=-，即23y x =-.故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外心重心垂心性质，考查了对新知识的理解应用，属于中档题．8.已知双曲线22214x y b-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（ ）A. 83+B. )41-C. 83+D. )22 【答案】A【解析】【分析】利用双曲线的定义以及三角形结合正弦定理，转化求解三角形的周长即可.【详解】双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+，由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+，据此可得：2||4BF =，又 ，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11|||BF AF所以8)m =+，解得：123m =， 所以1ABF ∆的周长为：11||||||AF BF AB ++=122(4)8162833m ++=+⨯=+ 故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．9.已知4x π=是函数()()sin f x x ωϕ=+（03ω<<，0ϕπ<<）的一个零点，将()f x 的图象向右平移12π个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则函数()f x 的单调递增区间是（ ） A. 32,2412k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ B. 544,12343k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ C. 52,2124k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D. 344,43123k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 【答案】D【解析】【分析】 通过条件可得4k πωϕπ+=，122k ππωϕπ-+=+，结合03ω<<，0ϕπ<<可求出,ωϕ，即可得35()sin 28f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令35222282k x k πππππ-+≤+≤+，求出x 的范围即为函数()f x 的单调递增区间.【详解】解：由已知sin 044f πωϕπ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得4k πωϕπ+=，k Z ∈， 又03ω<<，0ϕπ<<， 7044πωϕπ∴<+<，即704k ππ<<，k Z ∈， 1k ∴=，4πωϕπ∴+=①； 又sin sin 121212f x x x ϕπππωωωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所得图象关于y 轴对称，sin 112πωϕ⎛⎫∴-+=± ⎪⎝⎭， 122k ππωϕπ∴-+=+，k Z ∈，将①代入消去ϕ得1242k ππωπωππ-+-=+，k Z ∈， 33,032k ωω∴=-<<， 0k ∴=时，32ω=， 58ϕπ∴=， 35()sin 28f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭， 令35222282k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈， 34443123k x k ππππ∴-+≤≤-+，k Z ∈， 故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图像和性质，考查计算能力和分析能力，是中档题.10.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是 （ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：依次还原几何体，可以得出A,B,C 中的三视图是同一个三棱锥，摆放的位置不同而已，而D 和它们表示的不是同一个三棱锥.考点：本小题主要考查几何体的三视图，考查学生的空间想象能力.点评：解决此类问题的关键在于根据三视图还原几何体.11.已知球O 的半径为2，A 、B 是球面上的两点，且23AB =，若点P 是球面上任意一点，则PA PB ⋅的取值范围是（ ） A. []1,3-B. []2,6-C. []0,1D. []0,3 【答案】B【解析】【分析】作出图形，取线段AB 的中点M ，利用向量的加法法则可得PA PM MA =+，PB PM MA =-，可得出2223PA PB PM MA PM ⋅=-=-，求出PM 的最大值和最小值，即可得出PA PB ⋅的取值范围.【详解】作出图形，取线段AB 的中点M ，连接OP 、OA 、OB 、OM 、PM ，可知OMAB ⊥， 由勾股定理可得221OM OA AM =-=，且有MB MA =-，由向量的加法法则可得PA PM MA =+，PB PM MB PM MA =+=-，()()222223PA PB PM MA PM MA PM MAPM MA PM ∴⋅=+-=-=-=-. PM PO OM =+，由向量的三角不等式可得PO OM PM PO OM -≤≤+，13PM ∴≤≤，所以，[]232,6PA PB PM ⋅=-∈-.因此，PA PB ⋅的取值范围是[]2,6-.故选：B.【点睛】本题考查向量数量积取值范围的计算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查数形结合思想以及计算能力，属于中等题.12.己知()()()ln 1ln 1f x ax x x x =++++与()2g x x =的图象有三个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B. 2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ( 【答案】C【解析】【分析】依题意，方程ln 1ln 111x x a x x ++⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭有三个不相等的实根，令ln 1()x t x x+=，利用导数研究函数()t x 的单调性及最值情况，再分类讨论得解.【详解】解：方程()()f x g x =即为()()2ln 1ln 1ax x x x x ++++=，则方程ln 1ln 111x x a x x ++⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭有三个不相等的实根， 令ln 1()x t x x +=得2(1)10t a t a +++-=①，且2ln ()x t x x -'=， ∴函数()t x 在(0,1)上单增，在(1,)+∞上单减，故max ()(1)1t x t ==，且t →+∞时，()0t x →，0t →时，()t x →-∞∴方程①的两个根12,t t 的情况是：（i ）若1212,(0,1),t t t t ∈≠，则()f x 与()g x 的图象有四个不同的公共点，不合题意；（ii ）若1(0,1)t ∈且21t =或20t =，则()f x 与()g x 的图象有三个不同的公共点，令1t =，则1(1)10a a +++-=，12a ∴=-，此时另一根为(320,1)-∉，舍去； 令0t =，则10a -=，1a ，此时另一根为12(0,)-∉，舍去；（iii ）若1(0,1)t ∈且20t <，则()f x 与()g x 的图象有三个不同的公共点，令2()(1)1h x t a t a =+++-，则(0)0(1)0h h <⎧⎨>⎩，解得112a -<<. 故选：C.【点睛】本题考查函数图像的交点与方程根的关系，考查分类讨论思想，旨在锻炼学生的推理论证能力，属于中档题.二、填空题（每题5分，满分20分）13.设x ，y 满足约束条件326020480x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值是________【答案】4-【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，可知需确定122z y x =-在y 轴截距的最大值，通过平移可得结果，从而确定所求最小值.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：将2z x y =-化为：122z y x =- 可知z 的最小值即为122z y x =-在y 轴截距最大时z 的取值 由图像平移可知，当122z y x =-过点A 时，截距最大由20480x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得()0,2A min 0224z ∴=-⨯=-本题正确结果：4-【点睛】本题考查线性规划中的求解z ax by =+的最值类的问题，重点是通过平移确定取得最值的点. 14.已知等腰直角ABC 的斜边2BC =，沿斜边的高线AD 将ADC 折起，使二面角B AD C --的大小为3π，则四面体ABCD 的外接球的表面积为__________． 【答案】73π 【解析】 等腰直角ABC 翻折后,AD CD AD BD AD BDC CDB ⊥⊥∴⊥∴∠面 是二面角B AD C --的平面角，即3CDB π∠=，因此BDC 外接圆半径为11323sin 3π⋅= ，四面体ABCD 的外接球半径等于22317()(321)2R =+=，外接球的表面积为274.3R ππ= 点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 15.我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：①所有的奇数项满足2121n n a a -+<，所有的偶数项满足222n n a a +<；②任意相邻的两项21n a -，2n a 满足21n a -<2n a .根据上面的信息完成下面的问题：（i ）数列1,23456,,,,__________“有趣数列”（填“是”或者“不是”）；（ii ）若2(1)nn a n n=+-，则数列{}n a __________“有趣数列”（填“是”或者“不是”）.【答案】 (1). 是 (2). 是 【解析】 【分析】依据定义检验可得正确的结论.【详解】若数列为1,23456,,,,，则该数列为递增数列，满足“有趣数列”的定义， 故1,23456,,,,为“有趣数列”. 若2(1)nn a n n=+-，则21212221,212121n n a n a n n n -+=--=+--+， 222222,22222n n a n a n n n +=+=+++. 21212224220212141n n a a n n n -+-=--+=--<-+-，故2121n n a a -+<.()()222411222022212n n a a n n n n +-=-+=-+≤-+<++,故222n n a a +<.212222221210212212n n a a n n n n n n--=----=---<--，故21n a -<2n a . 综上，{}n a 为“有趣数列”. 故答案为：是，是.【点睛】本题以“有趣数列”为载体，考虑数列的单调性，注意根据定义检验即可，本题为中档题. 16.已知函数()sin f x x =.若存在1x ，2x ，…，m x 满足1206m x x x π≤<<<≤…，且()()12||f x f x -+()()()()()*231||||120,m m f x f x f x f x m m --++-=≥∈N …，则m 的最小值为________. 【答案】8 【解析】 【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意,(,1,2,3,,)i j x x i j m =…，都有()()max()i jf x f x f x -≤min ()2f x -=，要使m 取得最小值，尽可能多让(1,2,3,,)i x i m =…取得最高点和最低点，然后作图可得满足条件的最小m 值.【详解】∵sin y x =对任意,(,1,2,3,,)i j x x i j m =…，都有()()maxmin ()()2i jf x f x f x f x -≤-=，要使m 取得最小值，尽可能多让(1,2,3,,)i x i m =…取得最高点和最低点，考虑1206m x x x π≤<<<≤…，()()()()()()1223112m m f x f x f x f x f x f x --+-++-=…， 按下图取值即可满足条件，∴m 的最小值为8. 故答案为:8.【点睛】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意,(,1,2,3,,)i j x x i j m =…，都有()()maxmin ()()2i j f x f x f x f x -≤-=是解题的关键，属于难题.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC ，90A ∠=，BC 长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 引出两条成45°的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设BDE α∠=，试求花卉种植面积()S α的取值范围．【答案】12,14⎛ ⎝⎦【解析】 【分析】利用正弦定理得sin 3sin 4BE απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，3sin 4sin CF παα⎛⎫- ⎪⎝⎭=，求得BDE DCF S S ∆∆+，从而有()()ABC BDE DCF S S S S α∆∆∆=-+，再根据条件得,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα，从而求出答案．【详解】解：在△BDE 中，∠BED =34πα-，由正弦定理得13sin sin 4BE απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴sin 3sin 4BE απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭， 在△DCF 中，3,4FDC DFC παα∠=-∠=，由正弦定理得13sin sin 4CF παα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴3sin 4sin CF παα⎛⎫- ⎪⎝⎭=， 11sin sin 2424BDE DCF S S BE BD CF CD ππ∆∆∴+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯()4BF CF =+3sin sin 434sin sin 4πααπαα⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎪=+⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33sin cos cos sin sin 44334sin sin cos cos sin 44ππαααππααα⎫-⎪=+⎪ ⎪-⎝⎭4cos sin ααα⎫=++⎝2==1sin 2cos 222sin 2cos 21αααα-+=-+1112sin 2cos 21αα⎛⎫=+ ⎪-+⎝⎭11222sin 224πα=+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ， ()()ABC BDE DCF S S S S α∆∆∆∴=-+11222sin 224πα=-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ∴AEDF 为四边形区域，,42ππα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，32,444πππα⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭， 2sin 2,142πα⎛⎤⎛⎫∴-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，()12142S α∴<≤-， ∴花卉种植面积()S α取值范围是12,14⎛⎤- ⎥ ⎝⎦． 【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形面积问题，属于基础题．18.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1B A ⊥底面ABCD ，12BB BC AB ==，60ABC ∠=︒. （1）求证：1AB A D ⊥；（2）求二面角1A A D C --的余弦值.【答案】(1)见解析；（210【解析】 【分析】（1）连接11A C ，1C D ，AC ,通过勾股定理得到AB AC ⊥，再由条件推得1AB C D ⊥进而得到线面垂直，线线垂直；（2）建立坐标系，分别求得两个面的法向量，进而求得夹角的余弦值.【详解】(1)连接11A C ，1C D ，AC ，以为原几何体是平行六面体，故得到1111AA CC ACCA =∴是平行四边形，进而得到11AC AC ∥，因为2BC AB =且60ABC ∠=︒， 在三角形ABC 中由余弦定理得到边22222122AC AB BC AB BC BC AB =+-⨯⨯=-，222AB AC BC AB AC ∴+=∴⊥，进而得到11AB A C ⊥，又因为1B A ⊥底面ABCD ，1111,B A AB B ACD AB C D ∴⊥∴⊥1111AC C D C AB ⋂=∴⊥面11AC D .1AB A D ∴⊥.(2)根据题干，以及第一问可建立如图坐标系：设122BB BC AB ===，13AB =，()()1,0,0,0,0,0B A ，()()10,0,3,0,3,0B C 根据()1111,0,3A B AB A =⇒-，设面1AA D 的法向量为(),,n x y z =()()11,0,3,1,3,0AA AD BC =-==- ()303,1,130x z n x y ⎧-+=⎪⇒=⎨-+=⎪⎩设面1A CD 的法向量为(),,m x y z =()1,0,0AB DC ==，()11,3,3CA =--，()00,1,1330x m x y z =⎧⎪⇒=⎨--+=⎪⎩ 则两个半平面的夹角余弦值为：10cos .5||||n m n m θ⋅==⋅【点睛】这个题目考查了空间中直线和面的位置关系的应用，涉及线面垂直的性质的应用，以及线线垂直的证明，和二面角的求法，一般求二面角，可以利用几何方法，做出二面角，或者建立空间坐标系得到法向量进而求得二面角的大小.19.2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下：（1）求y 与x 的相关系数r 精确到0.01，并判断y 与x 的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：0.75r ≥时，可用线性回归方程模型拟合）；（2）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ，2A ，3A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为12，45，35，第二次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为45，12，23．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，求X 的数学期望．附：（1）相关系数ni ix y nx yr -=∑（2）81347i ii x y==∑，8211308i i x ==∑，82193i i y ==∑【答案】（1）0.98;可用线性回归模型拟合．（2）65【解析】 【分析】（1）根据题目提供的数据求出,x y ，代入相关系数公式求出r ，根据r 的大小来确定结果；（2）求出药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率，发现它们相同，那么经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，X 服从二项分布235X B ⎛⎫⎪⎝⎭,，利用二项分布的期望公式求解即可. 【详解】解：（1）由题意可知2361021131518118x +++++++==，112 2.56 3.5 3.5 4.538y +++++++==，由公式0.983402121785r ==≈⨯，0.980.75r ≈>，∴y 与x 的关系可用线性回归模型拟合；（2）药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为1142255A P =⨯=，2412525A P =⨯=，3322535A P =⨯=，由题意，235XB ⎛⎫⎪⎝⎭, ， ()26355E X ∴=⨯=.【点睛】本题考查相关系数r 的求解，考查二项分布的期望，是中档题.20.给定椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，称圆心在原点O ，半径为22a b +的圆是椭圆C 的“准圆”.若椭圆C 的一个焦点为(20)F ，，其短轴上的一个端点到F 的距离为3.（1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“准圆”上的动点，过点P 作椭圆的切线12,l l 交“准圆”于点,M N . ①当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求直线12,l l 的方程并证明12l l ⊥； ②求证：线段MN 的长为定值.【答案】（1）2213x y +=,224x y +=,（2）（ⅰ）22y x y x =+=-+，，（ⅱ）详见解析. 【解析】 【详解】（1）231c a b ==∴=，，，∴椭圆方程为2213x y +=，准圆方程为224x y +=．（2）（ⅰ）因为准圆224x y +=与y 轴正半轴的交点为(02)P ，， 设过点(02)P ，且与椭圆相切的直线为2y kx =+， 所以由222{13y kx x y ，，=++=得22(13)1290k x kx +++=.因为直线2y kx =+与椭圆相切，所以2214449(13)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±，所以12l l ，方程为22y x y x =+=-+，． 121l l k k ⋅=-，12l l ∴⊥．（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l 斜率不存在， 则1l ：3x =±，当1l ：3x =时，与准圆交于点(31)(31)-，，，，此时2l 为1y =（或1y =-），显然直线12l l ，垂直； 同理可证当1l ：3x =-时，直线12l l ，垂直 ②当12l l ，斜率存在时，设点00(,)P x y ，其中22004x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022(){13y t x x y x y =-++=，，得2220000(13)6()3()30t x t y tx x y tx ++-+--=.由0∆=化简整理得，因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=.设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(3)2(3)0x t x y t x -++-=，所以121t t ⋅=-，即12l l ，垂直． 综合①②知：因为12l l ，经过点00()P x y ，，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直. 所以线段MN 为准圆224x y +=的直径，4MN ＝， 所以线段MN 的长为定值．考点：1、椭圆及其方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系. 21.已知函数()ln 1x x a f x x++=，在区间[]1,2有极值．（1）求a 的取值范围； （2）证明：()()sin 1a x f x x+>．【答案】（1）01a <<（2）见解析 【解析】 【分析】（1）()f x 在区间[]1,2有极值转化为()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，利用导数，分类讨论，研究()f x 在[1,2]上的单调性即可； （2）将证明()()sin 1a x f x x+>转化为证明ln sin 1x x a x >-.先证ln 1x x ax >-，然后再证1sin 1ax a x ->-，进而可得()()sin 1xf x a x >+.【详解】解：（1）由()1ln a f x x x +=+得()()()221110x a a f x x x x x -++'=-=>，当11a +≤即0a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在[1,2]上单调递增，无极值； 当12a +≥即1a ≥时，()0f x '≤，所以()f x [1,2]上单调递减，无极值；当112a <+<即01a <<，由()0f x '>得1x a >+；由()0f x '<得1x a <+，所以()f x 在[)1,1a +上单调递减，在(]1,2a +上单调递增，符合题意，01a ∴<<；（2）要证()()sin 1xf x a x >+成立，只需证ln 1sin x x a a x a ++>+成立，即证ln sin 1x x a x >-， 先证：ln 1x x ax >-.设()ln 1g x x x ax =-+，则()1ln ln 1g x x a x a '=+-=+-，所以()f x 在()10,a e-上单调递减，在()1,a e -+∞上单调递增，所以()()()1111111a a a a g x g ea eae e ----≥=--+=-，因为01a <<，所以110a e -->，则()0g x >，即ln 1x x ax >-①，再证：1sin 1ax a x ->-.设()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥.所以()h x 在()0,∞+上单调递增，则()()00h x h >=，即sin x x >.因为01a <<，所以1sin 1ax a x ->-②， 由①②可ln sin 1x x a x >-，所以()()sin 1xf x a x >+.【点睛】本题考查函数极值的存在性问题，考查函数不等式的证明，关键是要将问题进行转化，考查计算能力，是一道难度较大的题目.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知曲线C 的极坐标方程是24cos 6sin 12ρρθρθ=+-，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为12212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数）. （1）写出直线l 的一般方程与曲线C 的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；（2）将曲线C 向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D ，设曲线D 经过伸缩变换','2,x x y y =⎧⎨=⎩得到曲线E ，设曲线E 上任一点为(),M x y12y +的取值范围. 【答案】10y +-=；22(2)(3)1x y -+-=；直线l 和曲线C 相切. (2) [2,2]-. 【解析】【详解】（I ）直线l10y +-=， 曲线C 的直角坐标方程为22231x y .1=，所以直线l 和曲线C 相切. （II ）曲线D 为221x y +=.曲线D 经过伸缩变换',{'2,x x y y ==得到曲线E 的方程为2214y x +=， 则点M 的参数方程为,{2x cos y sin θθ==（θ为参数）， 所以133cos sin 2sin 23x y πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，所以132x y +的取值范围为[]22-,.23.已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围．【答案】(1) {x |x ≥4或x ≤1}；(2) [－3，0].【解析】试题分析：（1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于-2-x≤a≤2-x 在[1，2]上恒成立，由此求得求a 的取值范围试题解析：（1）当a ＝－3时，f （x ）＝25,2{1,2325,3x x x x x -+≤<<-≥当x≤2时，由f （x ）≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1；当2＜x ＜3时，f （x ）≥3无解；当x≥3时，由f （x ）≥3得2x －5≥3，解得x≥4.所以f （x ）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}． 6分（2）f （x ）≤|x －4||x －4|－|x －2|≥|x ＋a|.当x ∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a|（4－x ）－（2－x ）≥|x ＋a|－2－a≤x≤2－a ，由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，故满足条件的实数a 的取值范围为[－3，0]．考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数。

2021届浙江省新高考测评第一模拟考试数学试题一、单选题1．已知集合12M x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}11N x x =-≤≤，则M N =（ ）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】根据集合交集的概念及运算，即可求解.【详解】由题意，集合12M x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}11N x x =-≤≤，根据集合交集的概念及运算，可得112M N x x ⎧⎫⋂==<≤⎨⎬⎩⎭. 故选：B. 2．已知复数231z i =-（i 为虚数单位），则z 的虚部是（ ） A ．15i - B ．35i - C ．15-D ．35【答案】D【分析】先化简求出z ，即可得出虚部. 【详解】由题意得：()()()23121331313155i z i i i i +===----+，则z 的虚部为35． 故选：D3．已知椭圆2224x y +=上一点P 到其左焦点F 的距离为1，则PF 的中点M 到坐标原点O 的距离为（ ） A ．3 B ．32C ．1D ．12【答案】B【分析】由椭圆定义求得P 到右焦点1F 的距离，由中位线定理得112OM PF =，从而可得结论．【详解】易知椭圆的标准方程为22142x y +=．设椭圆的长轴长为2a ，则2a =，设椭圆的右焦点为1F ，连接1PF ， 则由椭圆的定义得123PF a PF =-=．在1PFF 中，易知OM 为1PFF 的中位线，所以11322OM PF ==， 故选：B ．4．若实数x ，y 满足不等式组10,210,240,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，且z x y =-，则max min z z -=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线得最大值和最小值，从而得结论．【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中()3,2A --，()1,2B -，()1,0C ．在直线z x y =-中，y x z =-，z -表示直线的纵截距．作出直线y x =并平移，数形结合知当平移后的直线经过点()1,2B -时，z 取得最小值，且min 123z =--=-；当平移后的直线经过点()1,0C 时，z 取得最大值，且max 101z =-=．所以()max min 134z z -=--=.故选：A ．5．已知a ，b 是实数，则“1a >且1b >”是“1ab a b +>+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分必要条件的关系,结合不等式性质即可判断. 【详解】当1a >且1b >时,()()()1110ab a b a b +-+=-->,即1a >且1b >时1ab a b +>+成立.当1ab a b +>+时,即()()()1110ab a b a b +-+=-->解得1a >且1b >,或1a <且1b <综上可知, “1a >且1b >”是“1ab a b +>+”的充分不必要条件 故选:A【点睛】本题考查了不等式比较大小,充分必要条件的关系及判断,属于基础题. 6．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()1sin 1x x e f x x e +=⋅-B ．()1sin 1x x e f x x e +=⋅-C ．()1cos 1x x e f x x e +=⋅-D ．()1cos 1x x f x x e e +=⋅-【答案】D【分析】确定函数的奇偶性，特殊的函数值及函数值的正负排除错误选项，得正确结论． 【详解】由题意可知函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，其图象关于坐标原点对称，故函数()f x 是奇函数，而选项A 中的函数是偶函数，故排除选项A ；又()π0f ≠，故可排除选项B ；又当()0,x ∈+∞时，()0f x ≥，当(),0x ∈-∞时，()0f x ≤，故排除选项C ． 故选：D ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．已知随机变量X 的分布列是（ ）则下列说法正确的是（ ） A ．对任意的a ，10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()116E X ≤ B ．存在a ，10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()18E X > C ．对任意的a ，10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()D X E X < D ．存在a ，10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()18D X >【答案】C【分析】求得()E X 的表达式，由此确定AB 选项的正确性.求得()D X 的表达式，利用差比较法确定CD 选项的正确性. 【详解】由题意可知a ，10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12a b +=，所以12b a =-，所以()1022E X ab ab ab =+⨯+==2211222811248a a a a a ⎛⎫=- -⎪⎛⎫-=-≤⎪+⎝⎭ ⎭⎝，故选项A ，B 错误． 由方差的计算公式得()()()222222111222222D X a a aa a a a a a a⎛⎫⎛⎫=-+⋅-+-⋅+--+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭243423111111424222222222a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-+-+-⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦122a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2124a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以()()2111122222422D X E X a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+--=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2324a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．因为10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1202a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，()233221044a a a a --=--<，所以()()0D X E X -<，()()18D XE X <≤，故选项C 正确，选项D 错误． 故选：C8．已知F 是双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，直线43y x =与双曲线E交于A ，B 两点，O 为坐标原点，AF ，BF 的中点分别为P ，Q ，若0OP OQ ⋅=，则双曲线E 的离心率为（ ） A．BC．D．【答案】A【分析】设A 位于第一象限，由0OP OQ ⋅=，得到OP OQ ⊥，连接2AF ，得到22AOF AF F ∠=∠，根据题意得到4tan 3AOF ∠=，求得21tan 2AF F ∠=，得出22cos sin AF F AF F ∠∠，的值，结合双曲线的定义和离心率的计算公式，即可求解.【详解】如图所示，不妨设点A 位于第一象限，因为0OP OQ ⋅=，所以OP OQ ⊥， 设2F 为双曲线E 的左焦点，连接2AF ，因为O ，P ，Q 分别为AB ，AF ，BF 的中点，所以//OQ AF ，2//OP AF ， 所以290FAF ∠=︒，所以2OA OF OF==，所以22AOF AF F ∠=∠，又直线AB 的方程为43y x =，所以4tan 3AOF ∠=，所以22222tan 4tan tan 21tan 3AF F AOF AF F AF F ∠∠=∠==-∠，得21tan 2AF F ∠=，所以2cos 5AF F ∠=2sin 5AF F ∠=，所以222cos 255AF FF AF F c c =⨯∠=⨯=， AF=22sin 2FF AF F c ⨯∠==，由双曲线的定义可知22AF AF a -==， 所以双曲线E的离心率ce a==． 故选：A【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.9．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC 是边长为1的等边三角形，12AA =，E ，F 分别在侧面11AA B B 和侧面11AAC C 内运动（含边界），且满足直线1AA 与平面AEF 所成的角为30°，点1A 在平面AEF 上的射影H 在AEF 内（含边界）．令直线BH 与平面ABC 所成的角为θ，则tan θ的最大值为（ ）A ．(323+B ．33C 3D ．(323【答案】A【分析】点H 为1A 在平面AEF 上的射影，得1A HAH ⊥，首先得H 在以1AA 为直径的球面上．1AA 与平面AEF 所成的角为30°，所以130HAA ∠=︒，过H 作11HO AA ⊥于点1O ，计算得111,,,HA HA HO AO ，知H 在圆锥1AO 的底面圆周上，再由H 在AEF 内（含边界），得H 在三棱柱111ABC A B C -及其内部，其轨迹是以1O 为圆心，1O H 为半径的圆中圆心角为60°的圆弧，且H 在底面ABC 上的射影H '的轨迹（以A 为圆心，3为半径的一段圆弧），HBH θ'=∠，求出tan HH BH θ'='得BH '最小时，tan θ最大，由点与圆的位置关系可得结论．【详解】因为点H 为1A 在平面AEF 上的射影，所以1A H ⊥平面AEF ，连接AH ，则1A HAH ⊥，故H 在以1AA 为直径的球面上．又1AA 与平面AEF 所成的角为30°，所以130HAA ∠=︒，过H 作11HO AA ⊥于点1O ，如图1所示，则易得11HA =，3HA =，132HO =，132AO =，所以H 在如图2所示的圆锥1AO 的底面圆周上，又H 在AEF 内（含边界），故H 在三棱柱111ABC A B C -及其内部，其轨迹是以1O 为圆心，1O H 为半径的圆中圆心角为60°的圆弧，且H 在底面ABC 上的射影H '的轨迹（以A 为圆心，3为半径的一段圆弧）如图3所示，连接BH '，易知直线BH 与平面ABC 所成的角HBH θ'=∠，且13tan 2O A HH BH BH BH θ'==='''，故当BH '最小时，tan θ最大，A 是圆弧圆心，则当H '在AB 上时，BH '最小，最小值为323122--=，所以()()max 3tan 323223θ=⨯=+-． 故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与平面所成的角，解题关键是确定动点的轨迹，利用球面的性质，圆锥的性质，可得轨迹是圆弧，并得出其在底面上的射影，由射影的定义得出线面角，并求出其正切值，分析后可得最值． 10．已知正项数列{}n a 满足110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()2*11ln 2n n n a a a n N +-=∈，则（ ）A ．对任意的*n N ∈，都有01n a <<B ．对任意的*n N ∈，都有10n n a a +≥>C ．存在*n N ∈，使得112n n a a +<D ．对任意的*n N ∈，都有112n n a a +≥【答案】D【分析】特值法可以排除A 、B 选项，再令()()()ln 11f x x x x =+->-，可求出函数的单调性，从而可以得出212n n n a a a +≤，再根据累乘法可得112n n a a +≥，由此得出答案． 【详解】解：∵110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴可取112a e =， 则由()211ln 2nn n a a a +-=得22211ln ln 14a a e e-==-， ∴22121ln 014a a a e=>⇒>>，故选项A ，B 错误； 令()()()ln 11f x x x x =+->-，则()1111x f x x x -'=-=++， 故()f x 在()1,0-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，∴()()00f x f ≤=，即()ln 1x x ≤+，当且仅当0x =时等号成立，∴()()21111ln 2ln 21121n n n n n n n a a a a a a a +++-==+-≤-，即212n n n a a a +≤，∴112n n a a +≥，累乘可得11211112n n n n n n a a a a a a a a ++-⋅⋅⋅⋅=≥， ∴112n n a a +≥，故选项C 错误，选项D 正确． 故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列与不等式，解题的关键是构造函数()()()ln 11f x x x x =+->-，从而得到212nn n a a a +≤，进一步用累乘法可以得到112n n a a +≥，考查了转化与化归思想，考查数学运算能力，属于中档题．二、填空题11．某省派出由4名医生、5名护士组成的医疗小组前往疫区支援，要求将这9名医护人员平均派往某地的A ，B ，C 3家医院，且每家医院至少要分到一名医生和一名护士，则不同的分配方案有______种．（用数字作答） 【答案】1080【分析】假设A 医院分配的是2名医生1名护士，则B ，C 医院均分配1名医生2名护士，求出此时的方法数，再计算总共的不同的分配方案.【详解】由题可知，4名医生要分配到3家医院，且每家医院至少有一名医生，则必有一家医院有2名医生，其余2家医院各有1名医生．假设A 医院分配的是2名医生1名护士，则B ，C 医院均分配1名医生2名护士，则分配方案有21124524C C C C 360=（种），故不同的分配方案有36031080⨯=（种）． 故答案为：1080【点睛】方法点睛：排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.要根据已知灵活选择方法求解.12．已知平面向量a ，b ，c 满足23a a b b ==-=，()()2c a c b -⋅-=-．若存在实数λ，使得c a λ-取得最小值，则λ的值为______． 【答案】34【分析】记a GA =，b GB =，c GC =，a b GD +=，建立直角坐标系，求出设(),C x y ，求出各向量的坐标，结合已知条件求出点C 的轨迹方程，从而确定何时c a λ-取得最小值，进而可求出λ的值.【详解】记a GA =，b GB =，c GC =，a b GD +=，则四边形OADB 为平行四边形，∵23a a b b ==-=，∴OADB 为菱形，且,60a b =︒，如图建立直角坐标系．设(),C x y ，则())()(),,0,3,0,3A BG D -，所以()3,3a =--，()3,3b =-，(),3c x y =-，则()()3,,3,c a x y c b x y -=+-=-，则()()(22232x x y x c c b y a -⋅+=-+-==-，即221x y +=，所以点C 在以原点为圆心，1为半径的圆上，设E 在AG 所在的直线上，且GE a λ=，c a λ-可看作是EC ，即圆上一点到直线AG 的距离，当CE AG ⊥时，该距离最小，此时cos303GE OG =︒==3cos30OG GA ===︒所以34GE GA λ===故答案为：34【点睛】关键点睛:本题考查了向量的线性运算，考查了向量数量积的坐标表示，考查了向量的共线定理.本题的关键是建立坐标系后，结合已知条件求出C 的轨迹方程.13．已知不等式11ln a x a x e x x-+≥对任意()0,1x ∈恒成立，则实数a 的最小值为___________. 【答案】e -【分析】先将不等式11ln a xe x xx a -≥-变形为11ln ln x x a a x e e x -≥-， 再构造函数()()ln 0f x x x x =->，利用函数单调性可得，1a x e x ≥，再分离参数转化为 ()101ln a x x x≥<<，然后求出函数()()()ln 0,1h x x x x =∈的最小值，即解出． 【详解】由题意，不等式可变形为11ln a xe x xx a -≥-， 得11ln ln x x a a x e e x -≥-对任意()0,1x ∈恒成立. 设()ln f x x x =-，则1()ax f e f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭对任意()0,1x ∈恒成立，()111x f x x x-'=-=， 当01x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,1上单调递减， 当1x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 当()0,1x ∈时，1x e e >，因为求实数a 的最小值，所以考虑0a <的情况，此时1a x >， 因为函数()f x 在()1,+∞上单调递增，所以要使()1a x f e f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，只需1a x e x ≥， 两边取对数，得上1ln a x x≥， 由于()0,1x ∈，所以1ln a x x≥. 令()()()ln 0,1h x x x x =∈，则()ln 1h x x '=+， 令()0h x '=，得1=x e， 易得()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()min 11h x h e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()max 1e h x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以a e ≥-， 所以实数a 的最小值为e -. 故答案为：e -【点睛】关键点睛：求解不等式问题的关键：（1）适当变形，灵活转化，结合题设条件，有时需要对不等式进行“除法”变形，从而分离参数，有时需要进行移项变形，可使不等式两边具有相同的结构特点；（2）构造函数，利用导数求解，若分离参数，则直接构造函数，并借助导数加以求解，若转化为不等式两边具有相同的结构特点，则可根据该结构特点构造函数，并借助导数加以求解.三、双空题 14．已知π1sin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______，sin 2α=______．【答案】1379-【分析】由诱导公式直接求得cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后诱导公式变形sin 2α，然后由余弦的二倍角公式计算． 【详解】ππππ1cos cos sin 42443ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 2217sin 2cos 2cos 22cos 12124439πππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故答案为：13；79-.15．由于柏拉图及其追随者对正多面体有系统深入的研究，因此我们把正多面体又称为柏拉图多面体．如图，网格中小正方形的边长为1，粗线画出的是某柏拉图多面体的三视图，则该多面体的表面积为______，体积为______．【答案】163323【分析】由三视图知原几何体是正八面体，根据三视图尺寸可计算出表面积和体积． 【详解】由三视图可知，该多面体是棱长为22的正八面体，其中每个面的面积为()2322234⨯=，所以该多面体的表面积为163，体积为()2132222233⨯⨯⨯=． 故答案为：163；323.16．已知523450123451322x a a x a x a x a x a x ⎛⎫-=+++++ ⎪⎝⎭，则2a =______，123452345a a a a a ++++=______．【答案】13516-52【分析】由二项式定理求得2x 的系数得2a ，已知等式两边同时求导，然后令1x =可得123452345a a a a a ++++．【详解】由二项式定理知，2332513135C 2216a ⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．对已知等式两边同时求导可得42341234511352345222x a a x a x a x a x ⎛⎫⨯-=++++ ⎪⎝⎭，令1x =，得12345523452a a a a a ++++=． 故答案为：13516-；52. 【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理，考查赋值法的应用，在二项展开式中求与系数有关的和时，常常用赋值法求解，观察和的形式，有时可能对已知展开式进行求导又得出另一等式，赋值后又可得出一些系数有关的和．17．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，AC 与DE 交于点O ，已知2AD =，7DE =，60DAE ∠=︒，21sin 7ACB ∠=，则AE AB =______，DOC ∠=______．【答案】34120° 【分析】在DAE △中，由余弦定理可知3AE =,进而在ABC 中,由内角和定理得()sin sin 120CAB ACB ∠=∠+︒2114=,由正弦定理得4AB =,27AC =故34AE AB =;再根据AOE △与COD △相似得477DO =，877CO =，4DC =，进而由余弦定理可知，1cos 2DOC ∠=-，故120DOC ∠=︒. 【详解】在DAE △中，2AD =，7DE =60DAE ∠=︒，由余弦定理可知2222cos DE AD AE AD AE DAE =+-⋅∠， 即:2724AE AE =-+,解得:3AE =．因为四边形ABCD 为平行四边形，所以2BC AD ==，120ABC ∠=︒．又sin 7ACB ∠=，所以cos ACB ∠= 所以()()sin sin 180sin 120CAB ACB ABC ACB ∠=︒-∠+∠=∠+︒⎡⎤⎣⎦1727214⎛⎫=⨯-+⨯=⎪⎝⎭，由正弦定理可知sin 4sin 7BC AB ACB CAB =⋅∠==∠，sin120sin 14BC AC CAB =⋅︒=∠=故34AE AB =． 在平行四边形ABCD 中，由AOE △与COD △相似，所以47DO DE ==477CO AC ==，4DC AB ==， 故在COD △中，由余弦定理可知，1cos 2DOC ∠=-，故120DOC ∠=︒． 故答案为：34；120°. 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，解题的关键是根据题意，将问题放在特定三角形ABC 中，利用边角关系结合正弦定理得4AB =,AC =解借助三角形相似，放到COD △，结合余弦定理求解.四、解答题18．已知函数()2π2sin cos 62f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）设锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知()14f A =，1a =，求ABC 的面积的取值范围．【答案】（1）ππππ,62122k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）12⎛ ⎝⎦.【分析】（1）把函数利用二倍角公式、两角和的正弦公式化为一个角的一个三角函数形式，然后结合sin y x =的单调性求()f x 的增区间；（2）由(A)f 求得A 角，利用正弦定理把,b c 用sin ,sin B C 表示，从而求得ABCS，并转化为B 的函数，注意转化为一个角的一个三角函数形式，由锐角三角形及A 角大小求得B 角范围，从而得面积的范围． 【详解】（1）由题意知()2πcos 21π32sin cos sin 26222x f x x x x x ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭=++-=⋅+- ⎪⎝⎭111πcos 22sin 2sin 2cos 2sin 22224423x x x x x x ⎫⎛⎫=-+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 令ππ2π,π32x k k ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，则ππππ,62122k k x ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 所以()f x 的单调递增区间为ππππ,62122k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． （2）因为()14f A =，所以1π1sin 2234A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π1sin 232A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ22π36A k +=+或5π2π6k +，k Z ∈，即ππ12A k =-+或ππ4k +，k Z ∈．又ABC 为锐角三角形，故π4A =，因为1a =，所以由正弦定理可知，b B =，c C =．所以11πsin sin sin sin 222224ABC S bc A B C B C B B ⎛⎫==⨯==+ ⎪⎝⎭△()()21111cos 21sin sin cos sin sin cos sin 222222B B B B B B B B -⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭()11π1sin 2cos 2sin 244444B B B ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．因为ABC 是锐角三角形，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3π0,42C B π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，所以ππ,42B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3π2,444B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，π2sin 2,142B ⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以2π1112sin 2,44424ABC S B ⎛⎤+⎛⎫=-+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦△． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的性质，正弦定理等．解题方法一般是由二倍角公式降幂，由辅助角公式化函数为()sin()f x A x ωϕ=+形式，然后结合正弦函数性质求解单调性、对称性、周期性、最值等等． 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知//AB CD ，122AB AD CD ===，23PA =，10PB =，60BAD ∠=︒，PAB PAD ∠=∠，E 为PD 上的动点．（1）探究：当PEPD为何值时，//PB 平面AEC ？ （2）在（1）的条件下，求直线AE 与平面ABCD 所成角的正弦值．【答案】（1）当13PE PD =时，//PB 平面AEC ，理由见解析；（2）34. 【分析】（1）当13PE PD =时，//PB 平面AEC ．连接BD ，与AC 交于点O ，连接OE ，证明//PB EO 即得证；（2）证明PG ⊥平面ABCD ，易知GA ，GB ，GP 两两垂直，故可以以G 为坐标原点，分别以GA ，GB ，GP 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 利用向量法求出直线AE 与平面ABCD 所成角的正弦值．【详解】（1）当13PE PD =时，//PB 平面AEC ．理由如下： 如图，连接BD ，与AC 交于点O ，连接OE ，因为12//AB DC ，所以AOB COD ∽，12BO DO =， 当12PE DE =，即13PE PD =时，有//PB EO ， 又EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以//PB 平面AEC ．（2）取BD 的中点G ，连接PG ，AG ，因为PAB PAD ∠=∠，2AD AB ==，PA PA =，所以PAB PAD △△≌， 所以10PB PD ==，所以PG BD ⊥．因为2AB AD ==，60BAD ∠=︒，所以2BD =，AG BD ⊥，3AG =，1DG BG ==，所以223PG PB BG =-=． 又23PA =，所以222PA PG AG =+，所以PG AG ⊥． 因为BD AG G ⋂=，所以PG ⊥平面ABCD ．易知GA ，GB ，GP 两两垂直，故可以以G 为坐标原点，分别以GA ，GB ，GP 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()3,0,0A，()0,1,0D -，()0,0,3P ．由（1）可知()2220,1,30,,2333DE DP →→⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故10,,23E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以13,,23AE →⎛⎫=- ⎪⎝⎭．易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =．设直线AE 与平面ABCD 所成的角为θ，则3sin cos ,4AE n θ→→===， 即直线AE 与平面ABCD 所成角的正弦值为34． 【点睛】方法点睛：直线和平面所成的角的求法：方法一：（几何法）找→作（定义法）→证（定义）→指→求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法）sin AB nAB nα→→→→=，其中AB →是直线l 的方向向量，n →是平面的法向量，α是直线和平面所成的角.20．已知递增的等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，且满足4223a a =-，2S 是11S -与42S +的等比中项．（1）求数列{}na 的通项公式； （2）若nb =121122n b b b n ++⋅⋅⋅+<+． 【答案】（1）43n a n =+；（2）证明见解析.【分析】（1）由等比中项定义得出等式，并用1a 和公差d 表示，结合4223a a =-，可解得1,a d ，得通项公式；（2）由（1）得n b ，利用基本不等式放缩为14322n n n b ++≤+，然后用错位相减法对不等式右边式子求和．得和n T 的不等关系，从而证得结论成立． 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为4223a a =-，所以()11323a d a d +=+-，即13a d =+．又2S 是11S -与42S +的等比中项，所以()()221412S S S =-+，即()()()211121462a d a a d +=-++，即()()()23621014d d d +=++，解得4d =或2d =-．因为{}n a 为递增数列，所以0d >，所以4d =，137a d =+=．故43n a n =+．（2）由（1）得114343132222n n n n n b +++⎛⎫==≤++=+ ⎪⎝⎭． 令23171143222n n n T ++=++⋅⋅⋅+，则2711432222n nn T +=++⋅⋅⋅+， 两式相减得12311111711143743422441222222212n n n n n n n n n T T T -++⎛⎫- ⎪++⎛⎫⎝⎭=-=+++⋅⋅⋅+-=+⨯- ⎪⎝⎭-11141122n n ++=-， 所以121114111122222n n n b b b n n ++++⋅⋅⋅+≤+-<+． 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，错位相减法求和．放缩法是证明数列不等式的常用方法（目的是为求和），数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和． 21．如图，已知抛物线()220y px p =>，过点()(),00P m m >的直线交抛物线于A ，B 两点，过点B 作抛物线的切线交y 轴于点M ，过点A 作AN 平行PM 交y 轴于点N ，交直线BM 于点Q ．（1）若1p m ==，求AB 的最小值；（2）若AOB 的面积为1S ，MNQ △的面积为2S ，求12S S 的值． 【答案】（1）22（2）2.【分析】（1）设直线AB ：x ty m =+，211,2y A y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y p ⎛⎫⎪⎝⎭，联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，表示出弦长，即可求出弦长的最小值； （2）不妨设点B 位于x 轴下方，由2y px =-，求出导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线BM 的方程，即可求出M 的坐标，再表示出直线AN 的方程，求出N 的坐标，则21214S m y y =-，11212S m y y =-，即可得解； 【详解】解：（1）由题意可知，直线AB 的斜率不为0，故可设直线AB ：x ty m =+，211,2y A y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 联立，得2,2,x ty m y px =+⎧⎨=⎩，得2220y pty pm --=，所以12122,2.y y pt y y pm +=⎧⎨=-⎩因为1p m ==，所以12122,2,y y t y y +=⎧⎨=-⎩ 所以()22222121212114148AB t y y t y y y y t t =+-=++-=++()()22212t t =++易知()()22122t t ++≥，故22AB ≥，当且仅当0t =时，等号成立．故AB 的最小值为（2）不妨设点B位于x轴下方，由y=，得122py py'=-⋅==．因为直线BM与抛物线相切，所以直线BM的斜率2BMpky=，故直线BM的方程为22222222y yp py x y xy p y⎛⎫=-+=+⎪⎝⎭，令0x=，得22yy=，所以20,2yM⎛⎫⎪⎝⎭，则22202PMyykm m-==--．又//AN PM，所以22AN PMyk km==-，所以直线AN的方程为2221212112224y y y y yy x y x ym p m mp⎛⎫=--+=-++⎪⎝⎭，令0x=，得21214y yy ymp=+，故21214Ny yy ymp=+．又122y y pm=-，所以2121142Ny y yy ymp=+=，所以10,2yN⎛⎫⎪⎝⎭，连接PN，则11222222PN BMpmyy y pk km m m y-=====---，所以//PN BM，又//AN PM，所以四边形MQNP是平行四边形，所以1221211122224QMN MNP N My yS S S OP y y OP m y y ===⋅-=⋅-=-△△．又易知112121122AOBS S OP y y m y y==⋅-=-△，所以122SS=．【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．22．已知函数()()lnxxef x a x x=+-，a R∈．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的零点个数． 【答案】（1）11y e=-；（2）答案不唯一，见解析. 【分析】（1）求出导函数()'f x ，得切线斜率(1)f '，从而可得切线方程；（2）定义域是(0,)+∞，在0a ≤时直接由函数()f x 的解析式确定无零点（需用导数证明ln 0x x -<），在1a >时，由导函数()'f x ，得单调性，确定函数的最大值为(1)f ，根据(1)f 的正负分类讨论．在(1)0f >时，通过证明()0f a <和1()0f a<，得零点个数．【详解】（1）当1a =时，()ln x x e f x x x =+-，()111f e=-，()111xe xf x x -'=+-，()10f '=，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为11y e=-． （2）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()1111111e e e x x x x x x a f x a a x x x x ---⎛⎫⎛⎫'=+-=+⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ①当0a =时，()0ex xf x =>，()f x 无零点． ②当0a >时，10e x ax+>，令()0f x '>，得01x <<，令()0f x '<， 得1x >，所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()f x 有最大值()11ef a =-． 当10ea -<，即1e >a 时，()f x 无零点．当10e a -=，即1a e =时，()f x 只有一个零点． 当10a e ->，即10a e<<时，()10f >，()()ln a ae f a a a a =+-，令()ln 1g x x x =-+，则()111xg x x x-'=-=，则()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 10g x g ==，所以()ln 10g x x x =-+≤，因此当10a e <<时，ln 1a a -<-，()()1ln 1a a aa a f a a a a a a e e e ⎛⎫=+-<-=- ⎪⎝⎭． 因为0a >，所以1a e >，于是()110a f a a e ⎛⎫<-<⎪⎝⎭． 又()f x 在()0,1上单调递增，()10f >，且1a <，所以()f x 在()0,1上有唯一零点．1111111ln ln 1a aa a f a a a a a e a e ⎛⎫⎛⎫=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当10a e<<时，1e a >，令()2e x h x x =-，其中x e >，则()2xh x e x '=-，令()2xx e x ϕ=-，x e >，则()20xx e ϕ'=->， 所以()h x '在(),e +∞上单调递增，()20eh x e e '>->，所以()h x 在(),e +∞上单调递增，()20eh x e e >->，故当x e >时，2x e x >．因为1e a >，所以211ae a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即11aa e a <，所以111ln 1ln 1aa f a a a a a a e ⎛⎫=--<-- ⎪⎝⎭．由ln 10x x -+≤，得11ln 10a a -+<，即1ln 10a a--+<，得ln 10a a a --<，于是10f a ⎛⎫<⎪⎝⎭． 又()10f >，11a>，()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()f x 在()1,+∞上有唯一零点．故10ea <<时，()f x 有两个零点． ③当0a <时，由ln 10x x -+≤，得ln 10x x -≤-<，则()ln 0a x x ->，又当0x >时，0e xx>，所以()0f x >，()f x 无零点． 综上可知，0a ≤或1a e >时，()f x 无零点；1a e =时，()f x 只有一个零点；10a e<<时，()f x 有两个零点．【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的零点个数．解题关键是求出函数的导数()'f x ，由()'f x 确定单调性和最值，本题在最大值(1)f 0>的情况下，通过证明()f a 0<和10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，结合零点存在定理得出零点个数．难度较大，对学生的要求较高，属于困难题．。

2021年浙江省新高考测评卷数学（第六模拟）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}24A x x =-<<，{}2B x x =≥，{}3C x x =<，则A B C ⋂⋂=（ ）A ．{}24x x -<< B ．{}24x x ≤<C ．{}23x x -<<D ．{}23x x ≤<2．复数z =）A ．1B ．79C ．59D ．133．若实数x ，y 满足约束条件1,31,1,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则2020z x y =-的最大值为（ ）A ．2020-B ．2020C ．4039D ．40404．5x ⎛ ⎝的展开式中2x 的系数是（ ）A ．60B ．80C ．90D ．1205．已知p ：2x a +<，q ：x a ≥，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．(),1-∞-C ．[)1,+∞D ．()1,+∞6．若12ln 2a =，b =，4log 3c =，则（ ） A ．c b a >> B ．c a b >>C ．a c b >>D ．a b c >>7．设1x ，2x ，{}31,0,1,2x ∈-，那么满足32212308x x x ≤++≤的所有有序数组()123,,x x x 的组数为（ ）A ．45B ．46C ．47D ．488．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 在椭圆上，O 是坐标原点，12123F PF FOP π∠=∠=，则椭圆的离心率是（ ）A．32- BC．2D．29．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22b a bc -=，则sin sin 2A B +=（ ）A ．0B ．12C．2D ．13-10．已知函数()()()()22673,log 113,x x x f x x x ⎧-+-≥⎪=⎨+-<<⎪⎩若关于x 的方程()()220f x mf x m +++=⎡⎤⎣⎦有6个根，则m 的取值范围为（ ）A．(,2-∞- B．(2,2--C ．()2,-+∞D．2,2--⎡⎣二、填空题11．已知三倍角公式()()sin34sin sin 60sin 60αααα=+-°°，则sin 20sin60sin100sin140=°°°°______．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．13．已知向量a ，b 满足23a b a b +≥-，则ba在a 方向上的投影的最小值是______．三、双空题14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ．若17102S =，1112a =，则d =______，20S =______．15．已知随机变量X 的分布列为()()()12aP X n n n ==++（1,2,3n =），其中a 为16．已知双曲线C 的右焦点为()2,0F ，且C 经过点(A ，则双曲线C 的标准方程为______；若直线AF 与y 轴交于点B ，点(),P x y 是C 右支上一动点，且(y ∈-，直线AP 与以AB 为直径的圆相交于另一点D ，则PA PD ⋅的最大值是______．17．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，13AA =，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，过点1D ，E ，F 的平面记为α，则平面α截直四棱柱1111ABCD A B C D -所得截面的面积为______，平面α与平面11BB C C 所成角的余弦值为______．四、解答题18．已知函数()227cos 24cos 32πx f ωx ωx ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（0>ω）的图象与x 轴的两个相邻交点间的最短距离为6π． （1）求()0f ；（2）求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，二面角P AD C --的余弦值为13，M 是棱PC 的中点，2PA PD AD ===，1BC =，CD =．（1）求证：AD PB ⊥；（2）求直线MA 与平面PAD 所成角的正弦值．20．已知数列{}n a 满足113a =，11113n n na a +++=． （1）证明：数列1134n na +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：1235n a a a ++⋅⋅⋅+<． 21．设O 为坐标原点，M 是x 轴上一点，过点M 的直线交抛物线C ：24y x =于点A ，B ，且4OA OB ⋅=-．（1）求点M 的坐标； （2）求232BM AM-的最大值．22．已知函数()e 1xx a f x =-+（a ∈R ）． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，令()()ln g x f x =，若函数()g x 的图象与直线y kx m =+相交于不同的两点A ，B ，设1x ，2x （12x x <）分别为点A ，B 的横坐标，求证：21111k x x <+<．参考答案1．D 【分析】根据交集的概念运算可得结果. 【详解】{}24A B x x ⋂=≤<，{}23A B C x x ⋂⋂=≤<，故选：D ． 2．A 【分析】利用复数的四则运算以及复数的概念即可求解. 【详解】3i 11i3z +===，所以z 的虚部为13，实部为3-，故z 的虚部和实部的平方和是221133⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：A 3．B 【分析】作出可行域，将目标函数进行变形，根据目标函数的几何意义并数形结合可得最优解，得到目标函数的最值． 【详解】根据题意作出可行域如图中阴影部分所示，由2020z x y =-得1120202020y x z =-，数形结合可知当直线2020z x y =-经过点()0,1-时，z 取得最大值，为2020．故选：B 4．C 【分析】 利用通项公式35215C 3r rr r T x-+=⋅，得2r，可得系数【详解】5x⎛+ ⎝的展开式的通项公式为3552155C C 3rr r r r r r T x x --+==⋅， 令3522r -=，得2r ，则2x 的系数为225C 390⨯=．故选：C 【点睛】求二项式展开式指定项的系数，利用通项公式1C r n r rr n T a b -+=和x 的幂指数相等可求．5．A 【分析】首先求出p ，记为A ，再求出q ，记为B ，依题意可得A B ，即可得到不等式，解得即可； 【详解】解：因为p ：2x a +<，所以:22p a x a --<<-+，记为{}|22A x a x a =--<<-+；:q x a ≥，记为{}|B x x a =≥．因为p 是q 的充分不必要条件，所以AB所以2a a ≤--，解得1a ≤-． 故选：A 6．B 【分析】 由已知可得2log e 2a =，ln 22b =，2log 32c =，利用对数式的单调性可得答案. 【详解】2log e 12ln 22a ==，ln 22b ==，24log 3log 32c ==，由于22log 3log e 1>>，0ln 21<<，∴c a b >>．故选：B. 7．C 【分析】对1x 的取值进行分类讨论，结合已知分析2x 和3x 的取值情况，然后利用排列组合知识求解即可． 【详解】①当12x =时，22230x x +=，则230x x ==，共1组；②当11x =时，222317x x -≤+≤，则2x ，3x 不同时为2，共1124414115C C ⋅-=-=组； ③当10x =时，222308x x ≤+≤，则2x ，3x 为1,0,1,2中任一元素，共11244416C C ⋅==组；④当11x =-时，222319x x ≤+≤，则2x ，3x 不同时为0，共1124414115C C ⋅-=-=组．故满足题意的有序数组共有47组． 故选：C. 8．D 【分析】利用12123F PF FOP π∠=∠=，得到121PFO F F P ∽△△，利用11121PF F O F F PF =，求得1PF =，利用定义得到22PF a =，再利用余弦定理得解. 【详解】根据12123F PF FOP π∠=∠=以及121PF F OF P ∠=∠，得121PFO F F P ∽△△，于是11121PF F O F F PF =，所以1PF =，又122PF PF a +=，所以22PF a =．在21F F P △中，由余弦定理，得)()()22214222()2c a a =+-⨯-，即2220c a -=，所以220e -=，因为01e <<，所以椭圆的离心率e = 故选D 【点睛】本题以椭圆为载体，考查三角形相似、余弦定理以及椭圆的定义与性质．利用三角形相似、椭圆定义得到焦半径是解题关键. 9．A 【分析】由余弦定理得2cos b A b c =+，再由正弦定理得2sin cos B Asin sin cos sin cos B A B B A =++，化简可得()sin sin B B A =-，结合三角函数的性质得2B πA =+可得答案.【详解】由22b a bc -=得2222b c a bc c +-=+，由余弦定理得2cos b A b c =+， 再由正弦定理得()2sin cos sin sin sin sin B A B C B A B =+=++sin sin cos sin cos B A B B A =++，即sin cos sin sin cos B A B A B =+，得()sin sin B B A =-，由于()0,B π∈，(),B A ππ-∈-，所以B A B -=（舍去）或B A B π-+=，故2B πA =+，于是()sin 2sin sin B πA A =+=-，所以sin sin 20A B +=．故选：A. 10．B 【分析】作出函数()f x 的图象,令()t f x =，则原方程可化为220t mt m +++=在()0,2上有2个不相等的实根，再数形结合得解. 【详解】作出函数()f x 的图象如图所示．令()t f x =，则()()220f x mf x m +++=⎡⎤⎣⎦可化为220t mt m +++=，要使关于x 的方程()()220f x mf x m +++=⎡⎤⎣⎦有6个根，数形结合知需方程220t mt m +++=在()0,2上有2个不相等的实根1t ，2t ，不妨设1220t t <<<，()22t m t m g t =+++，则()()()2420,02,2020,24220m m m g m g m m ⎧-+>⎪⎪<-<⎪⎨⎪=+>⎪=+++>⎪⎩解得22m -<<-，故m 的取值范围为(2,2--， 故选B ． 【点睛】形如()y g f x =⎡⎤⎣⎦的函数的零点问题与函数图象结合较为紧密，处理问题的基础和关键是作出()f x ，()g x 的图象．若已知零点个数求参数的范围，通常的做法是令()t f x =，先估计关于t 的方程()0g t =的解的个数，再根据()f x 的图象特点，观察直线y t =与()y f x =图象的交点个数，进而确定参数的范围．11．316【分析】根据三倍角公式，诱导公式及40α=︒，代入求值即可． 【详解】因为sin 20sin100sin140sin 20sin100sin 40=°°°°°°()()sin 40sin 6040sin 6040+-=°°°°°1sin1204==°，所以3sin 20sin 60sin100sin14016==°°°°． 故答案为：31612．133【分析】根据三视图确定空间几何体的形状，运用体积公式进行求解即可. 【详解】由该几何体的三视图可知，该几何体为一个长方体与一个三棱锥的组合体，24=， 三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=，故该几何体的体积为113433+=．故答案为：13313．12【分析】对已知不等式两边平方并化简，利用平面向量数量积的定义和投影的概念，可得最小值． 【详解】由23a b a b +≥-得2223a b a b +≥-，得22224496a a b b a a b b +⋅+≥-⋅+，所以22a b a ⋅≥．设a ，b 的夹角为θ，则22cos a b θa ⋅≥，所以cos 12b θa≥，即b a 在a方向上的投影的最小值是12． 故答案为：1214．3 210 【分析】利用等差数列的通项公式与前n 项和公式求出1a ，d ，再利用等差数列的前n 项和公式求出20S . 【详解】由已知及等差数列的通项公式与求和公式可得1111012a a d =+=①，1711716171022S a d ⨯=+=②，由①②得118a =-，3d =， ∴()202019201832102S ⨯=⨯-+⨯=． 故答案为:3；210 15．103296【分析】利用分布列的性质求得103a =，进而求得()1P X =，()2P X =，()3P X =，得到()E X ，最后利用数学期望的相关公式求解即可． 【详解】()()()1212P X aa a n n n n n ==-+=+++， 由()()()1231P X P X P X =+=+==，即125a a -=，得103a =，则()519P X ==，()5218P X ==，()136P X ==，∴()55129123918618E X =⨯+⨯+⨯=，即()()2929338316E X E X =⨯==． 故答案为：103，296. 16．2213y x -=48【分析】设双曲线C 的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，利用待定系数法可求得双曲线C 的标准方程，利用平面向量数量积的运算法则可得出249PA PD PF ⋅=-，求出PF 的最小值，即可得解. 【详解】由题意可设双曲线C 的标准方程是()222210,0x y a b a b-=>>，则22222416451a b c a b⎧+==⎪⎨-=⎪⎩，解得2213a b ⎧=⎨=⎩，所以，双曲线C 的标准方程为2213y x -=.直线AF的斜率为422AF k ==-，直线AF的方程为)22y x =-，在直线AF 的方程中，令0x =，可得y =-，即点(0,B -， 因为2A B F x x x +=，2A BF y y y +=，所以，点F 为线段AB 的中点， 故以AB 为直径的圆的圆心为F ，且半径为7AF =， 如图，连接PB 、PF 、BD ，由于点D 是以AB 为直径的圆上异于A 、B 的一点，则BD AD ⊥， 由双曲线的几何性质可知min 1PF c a =-=，PA PF FA =+，PB PF FB PF FA =+=-，()PA PD PA PD PA PB BD PA PB BD PA PA PB ⋅=-⋅=-⋅+=-⋅-⋅=-⋅ ()()222224949148PF FA PF FA AF PF AF PF PF =-+⋅-=-=-=-≤-=.故答案为：2213y x -=；48.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是会转化，会根据向量数量积的几何意义把PA PD ⋅转化为PA PB -⋅，再根据平面向量的知识求解.173【分析】设直线EF 分别与DA ，DC 的延长线交于点P ，Q ，连接1D P ，交1AA 于点M ，连接1D Q ，交1CC 于点N ，得到截面，再利用直四棱柱的棱长和结构特征得到截面的各边长，利用分割法求得截面面积；取FN 的中点G ，连接QG ，CG ，结合平面与平面所成角的定义得到QGC ∠为平面α与平面11BB C C 所成的角或其补角，最后利用余弦定理求解即可．【详解】设直线EF 分别与DA ，DC 的延长线交于点P ，Q ，连接1D P ，交1AA 于点M ，连接1D Q ，交1CC 于点N ，连接ME ，FN ，∴平面α截直四棱柱1111ABCD A B C D -的截面为五边形1D MEFN ．由平行线分线段成比例知：1AP BF ==，故13DP DD ==，故△1DD P 为等腰直角三角形，∴1AM AP ==，故12A M =，则11D M D N ==ME EF FN ==MN ，易知MN =∴五边形1D MEFN 可以分成等边三角形1D MN 和等腰梯形MEFN 两部分，等腰梯形MEFN 的高h ==MEFN 的面积为=．又(12D MNS ==∴五边形1D MEFN 的面积为=．易知1CF CQ CN ===，则由勾股定理得FN NQ FQ ===取FN 的中点G ，连接CG ，QG ，则CG FN ⊥，QG FN ⊥，且CG =，QG =，故QGC ∠为平面α与平面11BB C C 所成角或其补角．在△QGC中，由余弦定理得222131cos 23CG QG QC QGC CG QG +-+-∠===⋅，∴平面α与平面11BB C C，3. 【点睛】关键点点睛：根据直棱柱的性质，应用平面的延展性补全截面，得到面α截1111ABCD A B C D -的截面为五边形1D MEFN ，求各边长度，进而求面积；根据二面角定义，找到其对应的平面角并求其余弦值. 18．（1）0；（2）单调递增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【分析】（1）将0x =代入函数()f x 的解析式，直接求值即可； （2）先由三角恒等变换得到()3232πx x f ω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f x =，解出方程的根，结合()f x 的图象与x 轴的两个相邻交点间的最短距离为6π，求出1ω=，即可得到()f x 的解析式，然后利用正弦函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）()22717cos 4cos 04003222f π⎛⎫=-+-=-+-= ⎪⎝⎭． （2）()11cos 272cos 24222ωx ωx ωx f x +=-+⨯-332cos 222ωx ωx =+- 3232πωx ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．令()0f x =，则sin 232πωx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以2233ππωx k π+=+或22233ππωx k π+=+，k ∈Z ， 故k x πω=或6πk πx ωω=+，k ∈Z ， 所以()f x 的图象与x 轴的两个相邻交点间的最短距离为66ππω=，故1ω=，()3232πf x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 当[]0,x π∈时，72,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 当2,332πππx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即[0,]12x π∈或372,323πππx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即7[,]12x ππ∈时，()f x 单调递增，故()f x 的单调递增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】关键点点睛：熟练掌握三角恒等变换公式以及三角函数的图象和性质是解题关键.19．（1）证明见解析；（2）51． 【分析】（1）取AD 的中点Q ，连接PQ ，BQ ，可知AD ⊥平面PBQ ，从而可证明.（2）先证明平面PBQ ⊥平面ABCD ，过点P 作PG BQ ⊥于点G ，则PG ⊥平面ABCD ，故以G 为原点，以GB ，GP 所在直线分别为y ，z 轴，过点G 且与AD 平行的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解线面角. 【详解】（1）、证明：取AD 的中点Q ，连接PQ ，BQ ， 因为PA PD =，所以PQ AD ⊥． 由题意知//BC AD ，12BC AD =， 又12DQ AD =，所以//BC DQ ，BC DQ =， 所以四边形BCDQ 为平行四边形，所以//DC BQ ， 因为90ADC ∠=︒，所以DC AD ⊥，所以BQ AD ⊥． 又PQ ，BQ ⊂平面PBQ ，PQ BQ Q =，所以AD ⊥平面PBQ ，又PB ⊂平面PBQ ，所以AD PB ⊥．（2）由AD ⊥平面PBQ ，AD ⊂平面ABCD ，得平面PBQ ⊥平面ABCD ，过点P 作PG BQ ⊥于点G ，则PG ⊥平面ABCD ，故以G 为原点，以GB ，GP 所在直线分别为y ，z 轴，过点G 且与AD 平行的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．易知PQB ∠为二面角P AD C --的平面角，所以1cos 3PQB ∠=．在Rt PQG △中，PQ =1cos 3PQG ∠=，得QG =PG =，则13QG BQ =，1,,03A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,3D ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,3C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，0,0,3P ⎛ ⎝⎭，1,,233M ⎛- ⎝⎭，所以1,,33PA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,33PD ⎛=--- ⎝⎭，3,233AM ⎛=- ⎝⎭． 设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =，则0,0n PA n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,0,x y z x y z ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩则0x =，令y =1z =-，故()0,22,1n =-为平面PAD 的一个法向量． 设直线MA 与平面PAD 所成的角为θ，则sin cos ,θn AM ===， 即直线MA 与平面PAD ． 【点睛】方法点睛：向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，尽可能的使得较多的关键点落在坐标轴或坐标平面内.2、设：设出所需的点的坐标，得出所需的向量坐标.3、求：求出所需平面的法向量4、算：运用向量的数量积运算，验证平行、垂直，利用线面角公式求线面角，或求出两个平面的法向量的夹角的余弦值5、取：根据题意，或二面角的范围，得出答案.20．（1）证明见解析；()14331nn n a -=⎡⎤+-⎣⎦；（2）证明见解析． 【分析】（1）由题得211131344n n n n a a +++⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即得数列1134n na +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，再求数列{}n a 的通项公式；（2）对n 分类讨论利用放缩法求证. 【详解】 （1）因为11113n n na a +++=， 所以2211111313131334444n n n n n n n n n a a a a ++++++⎛⎫-=--=-+=-- ⎪⎝⎭， 又119933444a -=-=， 所以数列1134n na +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以34为首项，1-为公比的等比数列，所以()11133144n n n a +--=⋅-， 即()113314n n n a -⎡⎤=+-⎣⎦，故()14331nn n a -=⎡⎤+-⎣⎦． （2）由113a =，216a =，得121325a a +=<， 当4n ≥且n 为偶数时，11111141143341133131333231333n nn n n n n n n n n a a ------+⎛⎫⎛⎫+=+=⋅<+ ⎪⎪+-⋅+⋅-⎝⎭⎝⎭， 所以1234111411113633333n n n a a a -⎛⎫++⋅⋅⋅+<++⨯++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭114123132712322754513+⨯=+=<<-； 当3n ≥且n 为奇数时，1n +为偶数，则12135n n a a a a +++⋅⋅⋅++<， 由于0n a >，则1235n a a a ++⋅⋅⋅+<． 综上，1235n a a a ++⋅⋅⋅+<． 【点睛】 方法点睛：方法技巧若数列的通项公式中含有()1n-，则在求数列的前n 项和时，常需要对n 分奇偶分别求解．21．（1）()2,0；（2）2．【分析】（1）设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0M m ，由4OA OB ⋅=-得到128y y =-，设直线:AB x ty m =+与抛物线方程联立，由根与系数的关系得到2m =，即可得到点M 的坐标； （2）由题意及弦长公式得到AM ，BM ，利用根与系数的关系得到221114AM BM +=，进而得232BM AM-的表达式，然后构造函数，利用函数的单调性求函数的最大值，即可得到232BM AM -的最大值．【详解】（1）设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0M m ， 则222212121212,,44416y y y y OA OB y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得128y y =-，设直线:AB x ty m =+，联立方程，得2,4,x ty m y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty m --=， 由根与系数的关系知，1248m y y -==-，所以2m =，故点M 的坐标为()2,0．（2）由（1）知，124y y t +=，128y y =-．易知1AM y =，2M B =， 所以()()22222212111111t y t y AM BM +=+++()()222122222121616141641y y t t y y t ++===++， 则222321132||3284BM BM BM AM BM BM ⎛⎫-= -⎪-=-- ⎪⎝⎭． 令()2328u f u u =--，2u >，则()3641f u u='-， 所以()f u 在()2,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减，所以()()min 42f u f ==，即232BM AM -的最大值是2，当且仅当4BM =时取等号． 【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：一是几何方法，即利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数式表示为某个（些）参数的函数，然后利用函数、不等式的知识等进行求解． 22．（1）当0a ≤时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递增，在()ln ,a -+∞上单调递减．；（2）证明见解析．【分析】（1）求导后，分类讨论a ，利用导数的符号可得函数()f x 的单调性；（2）求出()g x 的解析式，利用斜率公式求出2121ln ln 1x x k x x -+=-，将所证不等式化为11ln 1t t t-<<-（1t >），再构造两个函数，利用导数可证结论成立. 【详解】（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，且()1e xf x a ='-． 当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在(),-∞+∞上单调递增．当0a >时，若(),ln x a ∈-∞-，则()0f x '>，()f x 在(),ln a -∞-上单调递增； 若()ln ,x a ∈-+∞，则()0f x '<，()f x 在()ln ,a -+∞上单调递减．综上所述，当0a ≤时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递增，在()ln ,a -+∞上单调递减．（2）当1a =时，()e 1xx x f =-+，所以()()ln ln 1g x f x x x =-+=， 所以()()21221121212121ln ln ln ln 1g x g x x x x x x x k x x x x x x ---+-===----， 所以2121ln ln 1x x k x x -+=-． 要证21111k x x <+<，即证212211ln 1ln 1x x x x x x -<<-． 因为210x x >>，所以210x x ->，即证21221211ln x x x x x x x x --<<． 令21x t x =，则1t >，即证11ln 1t t t-<<-（1t >）． 令()ln 1t t φt =-+（1t >），则()1110φt t t t-=='-<， 所以()t ϕ在()1,+∞上单调递减， 所以()0t ϕ<，即ln 10t t -+<，ln 1t t <-（1t >）．①令()1ln 1h t t t =+-（1t >），则()221110t h t t t t'-=-=>， 所以()h t 在()1,+∞上单调递增，则()0h t >，即1ln 1t t >-（1t >）．②综合①②得11ln 1t t t-<<-（1t >）， 所以21111k x x <+<. 【点睛】 关键点点睛：将所证不等式化为11ln 1t t t-<<-（1t >），再构造两个函数，利用导数证明不等式成立是解题关键.。

普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知集合P=，Q=，则P=A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.2.已知互相垂直的平面交于直线l，若直线m,n满足，则A.B. C. D.3.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=A. B.4 C. D.64.命题“使得”的否定形式是A.使得B.使得C.使得D.使得5.设函数，则的最小正周期A.与b有关，且与c有关B.与b有关，但与c无关C.与b无关，且与c无关D.与b无关，但与c有关6.如图，点列分别在某锐角的两边上，且，，，.（表示点P与Q不重合）学.科.网若，为的面积，则A.是等差数列B.是等差数列C.是等差数列D.是等差数列7.已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则A.且B.且C.且D.且8.已知实数.A.若则B.若则C.若则D.若则二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9.若抛物线上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是.10.已知，则A=，b=.11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是cm 2，体积是cm 3.12.已知，若，则a=，b=.13.设数列的前n 项和为，若 ，则=，=.14.如图，在中，AB=BC=2，.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是.15.已知向量a ，b ，|a|=1，|b|=2，学.科.网若对任意单位向量e ，均有|a ·e|+|b ·e|，则a ·b 的最大值是.三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

浙江省宁波市2021届新高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a //β，b //α，则“a //b“是“α//β”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】【分析】根据面面平行的判定及性质求解即可．【详解】解：a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α，由a ∥b ，不一定有α∥β，α与β可能相交；反之，由α∥β，可得a ∥b 或a 与b 异面，∴a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α，则“a ∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要条件．故选：D.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题．2．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（ ）A ．3B ．3CD ．32 【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，将问题转化为点P 的轨迹上的点到x 轴的距离的最小值，利用P 到x 轴的距离等于P 到点A 的距离得到P 点轨迹方程，得到()26399y x =-+≥，进而得到所求最小值.【详解】如图，原题等价于在直角坐标系xOy 中，点()3,3A ，P 是第一象限内的动点，满足P 到x 轴的距离等于点P 到点A 的距离，求点P 的轨迹上的点到x 轴的距离的最小值．设(),P x y ，则()()2233y x y =-+-，化简得：()23690x y --+=， 则()26399y x =-+≥，解得：32y ≥， 即点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是32. 故选：D .【点睛】 本题考查立体几何中点面距离最值的求解，关键是能够准确求得动点轨迹方程，进而根据轨迹方程构造不等关系求得最值.3．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A B 、两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =u u u v u u u v ，则该双曲线的离心率为（ ）A 32B ．23C 30D 5【答案】B 【解析】【分析】先求出直线l 的方程为y 222ab a b =-（x ﹣c ），与y ＝±b ax 联立，可得A ，B 的纵坐标，利用2AF FB =u u u r u u u r ，求出a ，b 的关系，即可求出该双曲线的离心率．【详解】双曲线2222x y a b-=1（a ＞b ＞0）的渐近线方程为y ＝±b a x ， ∵直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，∴k l 222ab a b =-， ∴直线l 的方程为y 222ab a b =-（x ﹣c ），与y ＝±b a x 联立，可得y 2223abc a b =--或y 222abc a b =+， ∵2AF FB =u u u r u u u r ， ∴222abc a b =+2•2223abc a b -，∴a =，∴c ＝2b ，∴e c a ==． 故选B ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．4．若集合{}{,33A x y B x x ===-≤≤，则A B =I （ ） A ．[]3,2-B ．{}23x x ≤≤C ．()2,3D ．{}32x x -≤< 【答案】A【解析】【分析】先确定集合A 中的元素，然后由交集定义求解．【详解】 {{}{}2,33A x y x x B x x ===≤=-≤≤Q ，{}32x x ∴A⋂B =-≤≤.故选：A ．【点睛】本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键．5．已知函数21()log 1||f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(lg )3f x >的解集为（ ） A ．1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,(10,)10⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ C ．(1,10) D ．1,1(1,10)10⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，得到1lg 1x -<<，且lg 0x ≠，解不等式得解.【详解】由题得函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U .因为()()f x f x -=，所以()f x 为(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，因为函数11||y y x =+=，都是在(0,)+∞上单调递减. 所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减.因为(1)3,(lg )3(1)f f x f =>=，所以1lg 1x -<<，且lg 0x ≠， 解得1,1(1,10)10x ⎛⎫∈⋃⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，AB PA PC PA BC ===⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．25πB ．75πC ．80πD ．100π 【答案】D【解析】【分析】根据底面为等边三角形，取BC 中点M ，可证明BC ⊥平面PAM ，从而BC PM ⊥，即可证明三棱锥P ABC -为正三棱锥.取底面等边ABC ∆的重心为O '，可求得P 到平面ABC 的距离，画出几何关系，设球心为O ，即可由球的性质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积.【详解】设M 为BC 中点，ABC ∆是等边三角形，所以AM BC ⊥，又因为PA BC ⊥，且PA AM A =I ，所以BC ⊥平面PAM ，则BC PM ⊥，由三线合一性质可知,PB PA PC ==所以三棱锥P ABC -为正三棱锥，43,AB =25,PA PB PC ===设底面等边ABC ∆的重心为O '，可得226433AO AM '==⨯=，2220162PO PA AO '=-'=-=， 所以三棱锥P ABC -的外接球球心在面ABC 下方，设为O ，如下图所示：由球的性质可知，PO ⊥平面ABC ，且,,P O O '在同一直线上，设球的半径为R ，在Rt AOO ∆'中，222AO AO OO ='+'，即()22162R R =+-，解得5R =，所以三棱锥P ABC -的外接球表面积为24425100S R πππ==⨯=，故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高，属于中档题. 7．使得()3nx n N x x +⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B【解析】 二项式展开式的通项公式为r -n 3x n r r C x x （），若展开式中有常数项，则3--=02n r r ，解得5=2n r ，当r 取2时，n 的最小值为5，故选B 【考点定位】本题考查二项式定理的应用．8．若i 为虚数单位，则复数22sincos 33z i ππ=-+，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】【分析】首先根据特殊角的三角函数值将复数化为12z i =-，求出z ，再利用复数的几何意义即可求解. 【详解】Q 221sin cos 332z i i ππ=-+=，122i z -∴=+，则z 在复平面内对应的点的坐标为21⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，位于第二象限.故选：B【点睛】本题考查了复数的几何意义、共轭复数的概念、特殊角的三角函数值，属于基础题.9．设集合{}2A x x a =-<<，{}0,2,4B =，若集合A B I 中有且仅有2个元素，则实数a 的取值范围为A ．()0,2B ．(]2,4C ．[)4,+∞D ．(),0-∞ 【答案】B【解析】【分析】 由题意知{}02A ⊆，且4A ∉，结合数轴即可求得a 的取值范围. 【详解】由题意知，{}=02A B I ，，则{}02A ⊆，，故2a >， 又4A ∉，则4a ≤，所以24a <≤，所以本题答案为B.【点睛】本题主要考查了集合的关系及运算，以及借助数轴解决有关问题，其中确定A B I 中的元素是解题的关键，属于基础题.10．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：()()2262x m y m -+--=与圆2C ：()()22121x y ++-=交于A ，B 两点，若OA OB =，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-2 【答案】D【解析】【分析】 由OA OB =可得，O 在AB 的中垂线上，结合圆的性质可知O 在两个圆心的连线上，从而可求.【详解】 因为OA OB =，所以O 在AB 的中垂线上，即O 在两个圆心的连线上，()0,0O ，()1,6C m m +，()21,2C -三点共线，所以62m m+=-，得2m =-，故选D. 【点睛】 本题主要考查圆的性质应用，几何性质的转化是求解的捷径.11．已知()()()sin cos sin cos k k A k παπααα++=+∈Z ，则A 的值构成的集合是（ ）A ．{1,1,2,2}--B ．{1,1}-C ．{2,2}-D ．{}1,1,0,2,2-- 【答案】C【解析】【分析】 对k 分奇数、偶数进行讨论，利用诱导公式化简可得.【详解】k 为偶数时，sin cos 2sin cos A αααα=+=；k 为奇数时，sin cos 2sin cos A αααα=--=-，则A 的值构成的集合为{}2,2-.【点睛】本题考查三角式的化简，诱导公式，分类讨论，属于基本题.12．在311(21)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( ) A ．1B ．2C ．3D ．7【答案】D【解析】【分析】求出3(21)x +展开项中的常数项及含x 的项，问题得解。

2021年高考数学模拟卷答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分． 1.C解析：{}{}{}1|,20|,1|R >=<<=≤=x x A C x x B x x A ． 2.B解析：i i i i i i z z z -=-+=-+-+=+22)1()1(11222． 3.B 解析：由12<+≤b a ab ，以及21<+⇒<b a ab 不成立，反例：61,5==b a ． 4.B解析：对于A ：过点P 且垂直于α的直线应该垂直于l ，即A 错；对于B ：在β内作一直线1l 垂直于l ，由平面α⊥平面β，l =βα ，可得α⊥1l ，从而有过点P 且垂直于α的直线平行于1l ，进而平行于β，即B 对；对于C,D ：过点P 且垂直于α的平面可以围绕过点P 且垂直于α的直线旋转，从而知C,D 均错．5.B解析：由题意知，当[]b a x ,∈时，x 的值域为]4,0[，故当4=b 时，04≤≤-a ；或当4-=a 时，40≤≤b （不合题意，舍去），即有04,4)(≤≤-==a a g b ，故选B ． 6.D 解析：由3184=S S ，得312886411=++d a d a ，即d a 251=，所以1031201628811168=++=d a d a S S ． 7.C解析：先考虑最后位置必为奥运宣传广告，有2种，另一奥运广告插入3个商业广告之间，有3种；再考虑3个商业广告的顺序，有633=A 种，故共有36632=⨯⨯种 ．8.A解析：如图所示，由2z x y =-得2y x z =-，画出2y x =的折线图象，当该折线图像沿y 轴向上平移经过点)1,0(B 时，z -取最大值为1当该折线图像沿y 轴向下平移经过点)1,29(-C 时，z -取最小值为-10， 即101,110≤≤-≤-≤-z z 即，故选A. 9.C解析：连接22,BF AF ，则由对称性及11BF AF ⊥，得矩形11BF AF ，故22221)2(c AF AF =+．由1222112,2AF AF ce AF AF c e -=+=，得2112221=+e e ．令)1(12>=t t e e ，则t t e 2121+=，tt t e t e e 21)8()8(82121++=+=+. 设tt t t f 21)8()(2++=，由0128)('223=+-=t tt t f ，得2=t ，故2105)2()(min ==f t f ，选C ． 10.B解析：设2m B C 2CD ==．()236060=︒+︒=+⋅=⋅． 由于︒=∠+∠180ACD ACB ，将侧面ACD 沿AC 展开到平面ABC ，则三点B 、C 、D 共线，又此三棱锥可看成将ACD ∆沿直线AC翻折而成的，故不难可得m m 33<<．设异面直线AC 与BD 所成的角为θ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛==23,21cos θ，即()︒︒∈6030，θ，故选B ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11. 7，53解析：人数是x ，物价是y (钱)，则由题意得⎩⎨⎧=-=-,47,38x y y x 解得⎩⎨⎧==.53,7y x12. 3212+，32解析：此几何体为侧面水平放置的棱长均为2的正三棱柱．13. 1，2304解析：设t x =-1，则nn n n t a t a t a a t b bx ++++=++=+ 22101)1(1，由此得⎪⎩⎪⎨⎧====,36,92211n n bC a bC a ，解得⎩⎨⎧==.9,1n b （第9题图）另一方面，等式两边对t 求导，得12112)1(--+++=+n n n t na t a a t bn ，再令1=t ，得230429228121=⋅==+++-n n bn na a a ．14.12527，125122解析：Ｍ中元素有12553=个，这125个三位数（可重复数字）可分以下三类：①0=ξ，即全有奇数字组成的三位数（可重复数字）有2733=个； ②1=ξ即只有一个不同的偶数字的三位数（可重复数字）有7422333233=+⨯⨯+⨯⨯⨯个，注意不要遗漏形如252，344，222等三位数；③2=ξ即只有两个不同的偶数字的三位数（可重复数字）有24333313=++⨯A C 个，注意不要遗漏形如242，244等三位数．所以ξ的分布列如下：所以1251252125)(=⨯+=ξE ． 15. 432-解析：由12=+xy x ，得x xy -=1，所以，4324132413222222-=-≥-+=-xx x x xy y ，这里等号能成立．16. 0解析：由AC n AB m AO +=，得+⋅=⋅=⋅+=⋅=,,22AC n AC AB m AC AO AB AC n AB m AB AO 又︒=∠60BAC ，即有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=,2121,2121bn cm b bn cm c 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.332,332b c n c b m2)4(3131042≤+-=+=b c c b n m ，由取等号条件知c b 2=，从而21,0==n m ． 17. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡15215，解析：由21-=⋅，得︒=∠120AOB ． 设52522211y x y x h -+-=表示两点A,B 分别到直线02=-y x 的距离之和．取直线02=-y x 为x 轴重新建立直角坐标系后，则h 表示两点A,B 分别到x 轴的距离之和．在新的直角坐标系下，设))120sin(),120(cos(),sin ,(cos ︒+︒+θθθθB A ，则有)120sin(sin ︒++=θθh ．由对称性，不妨设点B 在x 轴上或上方，即︒≤≤︒-60120θ． 所以⎩⎨⎧︒<≤︒-︒++-︒≤≤︒︒++=.0120),120sin(sin ,600),120sin(sin θθθθθθh由此不难得323≤≤h ，从而得⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=-+-15,2155222211h y x y x ． 三、解答题：本大题共5小题，共74分。

2021年浙江省高考第三次模拟考试数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40分）1（4分）已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∩B＝（）A（0，2）B（0，3）C（2，3）D（﹣2，3）2（4分）双曲线x2﹣＝1的渐近线方程是（）A y＝±xB y＝±xC y＝±D y＝±2x3（4分）若实数x，y满足约束条件，则z＝|x﹣2y|的最大值是（）A B C2 D4（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A2 B4 C D125（4分）已知{a n}是等差数列，a1＝11，S n为数列{a n}的前n项和，且S5＝S7，则S n的最大值为（）A66 B56 C46 D366（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则“”是“△ABC为等腰三角形”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（4分）已知随机变量ξ满足P（ξ＝0）＝1﹣p，P（ξ＝1）＝p，且0＜p＜1，令随机变量η＝|ξ﹣E（ξ）|，则（）A E（η）＜E（ξ）B E（η）＞E（ξ）C D（η）＜D（ξ）D D（η）＞D（ξ）8（4分）已知函数f（x）＝（a≠0）的部分图象如图所示，则（）A a＜0B a﹣c＞0C b﹣c＜0 D3a﹣2b+c＜09（4分）已知椭圆，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的下顶点，直线AF2交椭圆于另一点P，若|PF1|＝|PA|，则椭圆的离心率为（）A B C D10（4分）如图，三棱锥V﹣ABC的侧棱长都相等，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC 所成锐二面角的平面角为θ，则cosθ的最大值是（）A B C D二、填空题（本大题共7小题，共36分，单空题每题4分，多空题每题6分）11（4分）新型冠状病毒疫情期间，5位党员需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有种不同安排方法（用数字作答）12（4分）已知a∈R，若函数在区间x∈（1，2）上存在最小值，则a 的取值范围是13（4分）已知△ABC三边长分别为3，，，P是平面ABC内任意一点，则的最小值是14（6分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下描述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍请问塔顶层有盏灯，塔底层有盏灯15（6分）已知复数z满足z（1+i）＝﹣2+i（i为虚数单位），则z的虚部是，|z|＝16（6分）已知多项式（x2+1）（x﹣1）5＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a7（x+2）7＝b0+b1x+b2x2+…+b7x7，则a0+a1+a2+…+a7＝，b5＝17（6分）已知圆O：x2+y2＝4，过点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1交该圆于A，B两点，l2交该圆于C，D两点，则|AB|的最小值是，|AB|+|CD|的最大值是四、解答题（本大题共5小题，共74分）18已知函数（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在上的最大值，并求此时的x值19如图，已知三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB＝AC＝BC＝PA＝2，∠PAC＝120°，（Ⅰ）证明：BM⊥PC；（Ⅱ）求直线AB和平面PBC所成角的正弦值20已知数列{a n}满足：a1＝1，（2n+1）2a n＝（2n﹣1）2a n+1（n∈N*）正项数列{c n}满足：对每个n∈N*，c2n﹣1＝a n，且c2n﹣1，c2n，c2n+1成等比数列（Ⅰ）求数列{a n}，{c n}的通项公式；（Ⅱ）当n≥2时，证明：21已知点F是抛物线C：x2＝4y的焦点，P是其准线l上任意一点，过点P作直线PA，PB 与抛物线C相切，A，B为切点，PA，PB与x轴分别交于Q，R两点（Ⅰ）求焦点F的坐标，并证明直线AB过点F；（Ⅱ）求四边形ABRQ面积的最小值22已知a∈R，设函数f（x）＝ax2﹣（3a+4）x+6lnx+6，g（x）＝3ax（Ⅰ）试讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设函数h（x）＝f（x）+g（x），是否存在实数a，使得h（x）存在两个极值点x1，x2，且满足？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由注：ln3≈1.10参考答案与试题解析一、单选题（本大题共10小题，共40分）1（4分）已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∩B＝（）A（0，2）B（0，3）C（2，3）D（﹣2，3）【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B【解答】解：∵集合A＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x2﹣3x＜0}＝{x|0＜x＜3}，∴A∩B＝{x|0＜x＜2}故选：A【点评】本题考查交集的求法，考查交集、并集定义及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（4分）双曲线x2﹣＝1的渐近线方程是（）A y＝±xB y＝±xC y＝±D y＝±2x【分析】由双曲线﹣＝1（a，b＞0），可得渐近线方程y＝±x，求得双曲线的a，b，即可得到所求渐近线方程【解答】解：由双曲线﹣＝1（a，b＞0），可得渐近线方程y＝±x，双曲线x2﹣＝1的a＝1，b＝2，可得渐近线方程为y＝±2x故选：D【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的方程和渐近线方程的关系，考查运算能力，属于基础题3（4分）若实数x，y满足约束条件，则z＝|x﹣2y|的最大值是（）A B C2 D【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论【解答】解：作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：由u＝x ﹣2y得y＝x﹣，平移直线y＝x﹣，由图象可知当直线y＝x﹣经过点B（2，0）时，直线y＝x﹣的截距最小，此时u最大：2，由，解得A（，），直线经过A时，u取得最小值：，所以z＝|x﹣2y|的最大值：2故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键4（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A2 B4 C D12【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为三棱柱ABC﹣DEF切去一个三棱锥体C ﹣DEF如图所示：所以：V＝＝4故选：B【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型5（4分）已知{a n}是等差数列，a1＝11，S n为数列{a n}的前n项和，且S5＝S7，则S n的最大值为（）A66 B56 C46 D36【分析】由已知结合等差数列的和公式可求d，然后结合等差数列的性质即可求解【解答】解：因为{a n}是等差数列，a1＝11，且S5＝S7，∴S7﹣S5＝0，所以a6+a7＝0，所以2a1+11d＝0即d＝﹣2，因为a1＝11＞0，∴a6＞0，a7＜0，则S n的最大值为S6＝6×11+15×（﹣2）＝36故选：D【点评】本题主要考查了等差数列的前n项和公式及性质的应用，属于基础试题6（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则“”是“△ABC为等腰三角形”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】由，根据正弦定理可得：＝，化为a＝b反之不成立，即可判断出结论【解答】解：由，根据正弦定理可得：＝，化为：（a﹣b）（a+b+c）＝0，解得a＝b∴△ABC为等腰三角形，反之不成立，可能a＝c，或b＝c∴“”是“△ABC为等腰三角形”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了正弦定理、方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（4分）已知随机变量ξ满足P（ξ＝0）＝1﹣p，P（ξ＝1）＝p，且0＜p＜1，令随机变量η＝|ξ﹣E（ξ）|，则（）A E（η）＜E（ξ）B E（η）＞E（ξ）C D（η）＜D（ξ）D D（η）＞D（ξ）【分析】依题意，ξ服从两点分布，可知E（ξ），D（ξ），再求出E（η）和D（η）即可得到结论【解答】解：依题意，随机变量ξ服从两点分布，故E（ξ）＝p，D（ξ）＝p（1﹣p），又η＝|ξ﹣E（ξ）|，所以η的取值为p，1﹣p，且P（η＝p）＝1﹣p，P（η＝1﹣p）＝p，所以E（η）＝p（1﹣p）+p（1﹣p）＝2p（1﹣p），D（η）＝E（η2）﹣E2（η）＝[p2（1﹣p）+（1﹣p）2p]﹣[2p（1﹣p）]2＝p（1﹣p）[1﹣4p（1﹣p）]，∴E（η）﹣E（ξ）＝2p（1﹣p）﹣p＝p﹣2p2＝p（1﹣2p），可能为正也可能为负，即E（η）和E（ξ）大小关系不确定；∵0＜p＜1，∴D（η）﹣D（ξ）＝p（1﹣p）[1﹣4p（1﹣p）]﹣（p﹣p2）＝﹣4p2（1﹣p）2＜0，∴D（η）＜D（ξ）故选：C【点评】本题考查了离散型随机变量的期望与方差，考查了两点分布，考查了大小比较，主要考查分析和解决问题的能力，属于中档题8（4分）已知函数f（x）＝（a≠0）的部分图象如图所示，则（）A a＜0B a﹣c＞0C b﹣c＜0 D3a﹣2b+c＜0【分析】求出原函数的导函数，结合图象可得导函数根的分布，再由二次函数根的分布与系数的关系逐一分析四个选项得答案【解答】解：由f（x）＝（a≠0），得f′（x）＝，令﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c＝0，由图可知该方程一个根在（﹣1，0）之间，一个根大于1 且二次函数g（x）＝﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c的图象开口向下，则a＞0，故A错误；g（0）＝b﹣c＞0，故C错误；g（1）＝a﹣c＞0，故B正确；g（﹣1）＝﹣3a+2b﹣c＜0，则3a﹣2b+c＞0，故D错误故选：B【点评】本题考查函数的图象与图象变换，考查函数的单调性与导函数符号间的关系，考查二次函数根的分布与系数的关系，是中档题9（4分）已知椭圆，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的下顶点，直线AF2交椭圆于另一点P，若|PF1|＝|PA|，则椭圆的离心率为（）A B C D【分析】画出图形，利用椭圆的性质，结合已知条件，通过余弦定理求解三角形求解即可【解答】解：椭圆，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的下顶点，直线AF2交椭圆于另一点P，可得|AF1|＝|AF2|＝a，|PF1|+|PF2|＝2a，若|PF1|＝|PA|，所以|PF2|＝a，|PF1|＝a，cos∠APF1＝＝，可得：a2＝3c2，所以椭圆的离心率为：故选：A【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，三角形的解法，余弦定理的应用，是基本知识的考查10（4分）如图，三棱锥V﹣ABC的侧棱长都相等，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC 所成锐二面角的平面角为θ，则cosθ的最大值是（）A B C D【分析】连接BE，以E为坐标原点，分别以EB，EC，EV所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系求出平面VBC与平面VEF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求解【解答】解：由底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，得Rt△ABC≌Rt△AVC，∴VA＝VC＝BA＝BC设VA＝VC＝BA＝BC＝2，由E为线段AC的中点，可得VE＝EB＝由VE2+BE2＝VB2，可得VE⊥EB以E为坐标原点，分别以EB，EC，EV所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系则C（0，，0），B（，0，0），V（0，0，），设F（x，x﹣，0），，，，设平面VBC的一个法向量为，由，取x＝1，得；设平面VEF的一个法向量为，由，取y1＝1，得平面VEF与平面VBC所成锐二面角的平面角为θ，则cosθ＝＝令f（x）＝当x＝时，f（x）min＝3∴cosθ的最大值为故选：D【点评】本题考查利用空间向量法求二面角，考查空间想象能力与运算求解能力，关键是建立恰当的空间直角坐标系，是中档题二、填空题（本大题共7小题，共36分，单空题每题4分，多空题每题6分）11（4分）新型冠状病毒疫情期间，5位党员需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有114 种不同安排方法（用数字作答）【分析】分3，1，1和2，2，1两类，每类中用间接法先不考虑甲乙直接用排列组合数公式求出安排方法，再减去甲乙在一个路口的分法，最后把求出的两类相加即可【解答】解：分为两类：第一类有一路口分3人时，用间接法先随意分然后减去甲乙在一起的分法应有C A﹣C C A＝42种；有两路口分2人时，用间接法先随意分然后减去甲乙在一起的分法应有A﹣C C A＝72种，则由加法原理共有42+72＝114种故答案为：114【点评】本题考查基本原理，排列组合数公式的应用，用间接法解决该题可避免讨论，简化运算，属于中档题12（4分）已知a∈R，若函数在区间x∈（1，2）上存在最小值，则a的取值范围是【分析】当a＞0时，由函数的单调性可知y＝在（1，2）内的范围，结合题意得到关于a的不等式组求解；当a＝0时，由函数的单调性可知不合题意；当a＜0时，结合对勾函数的性质可确定最值点所满足的范围【解答】解：当a＞0时，y＝在（1，2）上单调递增，可得＜y＜，若函数在区间x∈（1，2）上存在最小值，则，即f（x）min＝0，得＜a＜；当a＝0时，f（x）＝，在（1，2）上单调递增，不存在最小值，不合题意；当a＜0时，＝，∵x∈（1，2），∴e x∈（e，e2），又（当且仅当，即时取等号），∴若函数在区间x∈（1，2）上存在最小值，则e＜＜e2，解得＜a＜∴a的取值范围是故答案为：【点评】本题考查利用函数在区间内的最值求解参数的范围问题，关键是通过分类讨论的方式根据函数的单调性确定参数在不同范围时，函数的最值点或区间端点值的符号，由此构造不等式求解结果，属难题13（4分）已知△ABC三边长分别为3，，，P是平面ABC内任意一点，则的最小值是【分析】＝＝＝＝当，即P是△ABC的重心时取等号然后分类求解的值，则的最小值可求【解答】解：＝＝＝＝当，即P是△ABC的重心时取等号△ABC三边长分别为3，，，若|BC|＝，则，此时原式＝；若|BC|＝3，则，此时原式＝；若|BC|＝，则，此时原式＝∴的最小值是故答案为：﹣【点评】本题考查平面向量的线性运算，向量的数量积运算，考查运算求解能力，是中档题14（6分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下描述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍请问塔顶层有 3 盏灯，塔底层有192 盏灯【分析】设从上向下的灯的数记为{a n}，数列{a n}是以2为公比的等比数列且S7＝381，结合等比数列的求和公式可求a1，进而可求【解答】解：设从上向下的灯的数记为{a n}，则数列{a n}是以2为公比的等比数列且S7＝＝381，解可得，a1＝3，所以a7＝3×26＝192故答案为：3，192【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式的简单应用，属于基础试题15（6分）已知复数z满足z（1+i）＝﹣2+i（i为虚数单位），则z的虚部是，|z|＝【分析】利用复数的运算法则求出z，再由复数虚部，模的定义即可得出【解答】解：因为z（1+i）＝﹣2+i，所以z＝＝＝＝﹣+i，则z的虚部是，|Z|＝＝，故答案是，【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的虚部，模的定义，属于基础题16（6分）已知多项式（x2+1）（x﹣1）5＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a7（x+2）7＝b0+b1x+b2x2+…+b7x7，则a0+a1+a2+…+a7＝﹣64 ，b5＝11【分析】令x＝﹣1可求第一个空，根据b5为x5的系数；求出第二个空【解答】解：∵令（x2+1）（x﹣1）5＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a7（x+2）7；令x＝﹣1可得2×（﹣2）5＝a0+a1+a2+…+a7；即a0+a1+a2+…+a7＝﹣64；∵（x2+1）（x﹣1）5＝b0+b1x+b2x2+…+b7x7，∴b5为x5的系数；含x5的项为：x2•x3•（﹣1）2+1×x5＝11x5；故b5＝11；故答案为：﹣64，11【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，式子的变形是解题的关键，属于中档题17（6分）已知圆O：x2+y2＝4，过点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1交该圆于A，B两点，l2交该圆于C，D两点，则|AB|的最小值是 2 ，|AB|+|CD|的最大值是【分析】先由弦长最小只需圆心到直线的距离最远⇒弦长|AB|的最小值；然后对直线l1的斜率的情况进行讨论，求得|AB|+|CD|，研究其最大值即可【解答】解：若|AB|长度最小，则圆心到直线l1距离d最长，所以直线l1⊥OP，d max＝，所以|AB|min＝2＝2①当直线l1斜率不存在时，由上可知|AB|＝2，|CD|＝4，此时|AB|+|CD|＝6；②当直线l1斜率为0时，可得：|AB|＝4，|CD|＝2，此时|AB|+|CD|＝6；③当直线l1斜率存在时，设直线l1方程为：y＝k（x﹣），此时直线l2方程为：y＝﹣（x﹣），∵圆心O到直线l1的距离d1＝，∴|AB|＝2＝2＝2＝2，同理|CD|＝2＝2＝2，令＝t，则t∈（0，3），此时|AB|+|CD|＝2（+）＝2＝2，t∈（0，3），易知当t＝时，|AB|+|CD|的最大值为2故答案分别为：2；2【点评】本题主要考查圆中的弦长公式及弦长之和的最值问题，属于中档题四、解答题（本大题共5小题，共74分）18已知函数（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在上的最大值，并求此时的x值【分析】（Ⅰ）利用三角函数关系式的变换的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果（Ⅱ）利用函数的定义域的应用求出函数的值域【解答】解：（Ⅰ），＝，＝，∴T＝π（Ⅱ），所以所以即所以f（x）的最大值为当，即x＝时，函数f（x）取得最大值【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型19如图，已知三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB＝AC＝BC＝PA＝2，∠PAC＝120°，（Ⅰ）证明：BM⊥PC；（Ⅱ）求直线AB和平面PBC所成角的正弦值【分析】解法一：（1）取AC的中点E，PC的中点F，连AF，ME，BE，证明AF⊥PC，ME ⊥PC，证明BE⊥AC，BE⊥PC推出PC⊥面MBE，说明PC⊥BM（2）过E作EH⊥MB垂足为H，EH即是E到面PBC的距离，通过求解三角形求解即可解法二：（1）取AC的中点E，连ME、EB，证明BE⊥PC，推出PC⊥面MBE，即可证明PC ⊥BM（2）过P作PO⊥CA交其延长线于O，连BO可得PB2＝PO2+BO2，令A到面PBC的距离为h O，通过V A﹣PBC＝V P﹣ABC，求出h O，转化求解AB与面PBC所成角的正弦值解法三：（1）取AC的中点O，建立如图所示的坐标系，通过，推出BM⊥PC，（2）求出面PBC的法向量，利用空间向量的数量积求解AB与面PBC所成角的正弦值【解答】解法一：（1）取AC的中点E，PC的中点F，连AF，ME，BE∵PA＝AC，∴AF⊥PC，又∵，∴M是CF的中点，∴AF∥ME，ME⊥PC，又∵AB＝BC，∴BE⊥AC，又∵面PAC⊥面ABC且二平面交于AC，∴BE⊥面PAC，BE⊥PC又∵ME∩BE＝E，∴PC⊥面MBE，∴PC⊥BM（2）由①知PC⊥面MBE，∴面MBE⊥面PBC且交于MB，∴过E作EH⊥MB垂足为H，EH 即是E到面PBC的距离，∵BE⊥ME，∴，又∵E是AC的中点，∴A到面PBC的距离，∴AB与面PBC所成角的正弦值为解法二：（1）取AC的中点E，连ME、EB，∵AB＝BC＝2，∴BE⊥AC，CE＝1，又∵面PAC⊥面ABC且交于AC∴BE⊥面PAC，∴BE⊥PC，∵PA＝AC＝2，∠PAC＝120°，又∵，∴，∠PCA＝∠APC＝30°，∵，∴，CM⊥ME，∴PC⊥面MBE，PC⊥BM（2）过P作PO⊥CA交其延长线于O，∵面PAC⊥面ABC且交于AC，∴PO⊥面ABC，连BO可得PB2＝PO2+BO2，又∵AC＝AP＝2，∠PAC＝120°，∴，，AO＝1，又∵，∴，∴，∴，∴，令A到面PBC的距离为h O，则V A﹣PBC＝V P﹣ABC∴，，∴AB与面PBC所成角的正弦值为解法三：（1）取AC的中点O，建立如图所示的坐标系，由已知可得，，∴，，∴∴BM⊥PC，（2）由（1）可知，设面PBC的法向量为，则，令y＝1，则，z＝3，，∴AB与面PBC所成角的正弦值为【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题20已知数列{a n}满足：a1＝1，（2n+1）2a n＝（2n﹣1）2a n+1（n∈N*）正项数列{c n}满足：对每个n∈N*，c2n﹣1＝a n，且c2n﹣1，c2n，c2n+1成等比数列（Ⅰ）求数列{a n}，{c n}的通项公式；（Ⅱ）当n≥2时，证明：【分析】（Ⅰ）先由题设条件⇒{}为常数列，进而求得a n，再由题设条件分别求出当n为奇数、偶数时的c n，即可求得a n与c n；（Ⅱ）分别利用放缩法、裂项相消法求证出与即可【解答】解：（Ⅰ）解：由已知可得：，即，∴{}为常数列，∴，又a1＝1，∴又∵，∴（n为奇数）；又∵c2n﹣1，c2n，c2n+1是等比数列，∴，∴c2n ＝（2n﹣1）•（2n+1），∴（n是偶数），综上可得，c n＝（Ⅱ）证明：先证：①当n＝2时，，显然成立；②当n≥3时，，∴n≥3时，，∴＝＝再证：①n＝2时，左边＝，右边＝，成立；②n≥3时，＝＝﹣综上，所以【点评】本题主要考查构造法求数列通项公式及利用放缩法、裂项相消法证明不等式，难度较大21已知点F是抛物线C：x2＝4y的焦点，P是其准线l上任意一点，过点P作直线PA，PB 与抛物线C相切，A，B为切点，PA，PB与x轴分别交于Q，R两点（Ⅰ）求焦点F的坐标，并证明直线AB过点F；（Ⅱ）求四边形ABRQ面积的最小值【分析】（I）解法一：F（0，1），设，求出PA的方程，PB的方程，通过P在PA，PB上，得到说明直线AB过焦点F（I）解法二：F（0，1），设AB直线方程为y＝kx+m，通过得x2﹣4kx﹣4m＝0，利用韦达定理，切线方程求出m，即可说明结果（II）由（I）知，代入C：x2＝4y得x2﹣2x0x﹣4＝0，通过韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离求解三角形的面积，利用函数的单调性求解最小值即可【解答】解：（I）解法一：F（0，1），设，则即同理又P在PA，PB上，则，所以所以直线AB过焦点F（I）解法二：F（0，1），设AB直线方程为y＝kx+m，则由得x2﹣4kx﹣4m＝0，所以x1+x2＝4kx1•x2＝﹣4m，过A的切线方程为，过B的切线方程为，所以交点P的坐标为因为P在直线y＝﹣1上，所以x1•x2＝﹣4m＝﹣4，所以m＝1即直线过焦点F（II）由（I）知，代入C：x2＝4y得x2﹣2x0x﹣4＝0，则，则，P到AB的距离，所以，由（1）知，则，所以，令，则，在[2，+∞）上是增函数，则四边形ABRQ面积的最小值为3【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，切线方程的求法以及函数的单调性的判断，最值的求法，考查分析问题解决问题的能力，是难题22已知a∈R，设函数f（x）＝ax2﹣（3a+4）x+6lnx+6，g（x）＝3ax（Ⅰ）试讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设函数h（x）＝f（x）+g（x），是否存在实数a，使得h（x）存在两个极值点x1，x2，且满足？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由注：ln3≈1.10【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出h（x）的解析式，求出h（x）的导数，结合题意得到＝a（x1+x2）﹣4+，令t＝＞1，则＝﹣2+，问题转化为8tlnt﹣3（t2﹣1）ln3＞0，构造函数，根据函数的单调性判断即可【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝，（i）若a≤0，则ax﹣2＜0，则f（x）在（0，）递增，在（，+∞），（ii）若0＜a＜，则f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，（iii）若a＝，则f（x）在（0，+∞）递增，（iV）若a＞，则f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增；（Ⅱ）h（x）＝f（x）+g（x）＝ax2﹣4x+6lnx+6，h′（x）＝2ax﹣4+＝，若y＝h（x）有2个极值点，则ax2﹣2x+3＝0有2个解x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝，且△＝4﹣12a＞0，x1＞0，x2＞0，故0＜a＜，则＝a（x1+x2）﹣4+，令t＝＞1，则x1﹣x2＝（x1﹣x2）•＝（x1﹣x2）（+）×＝（t ﹣），∴＝﹣2+，若＞﹣2，则＞，即8tlnt﹣3（t2﹣1）ln3＞0，令m（t）＝8tlnt﹣3（t2﹣1）ln3，m（3）＝0，m（1）＝0，m′（t）＝8lnt+8﹣6tln3，m′（1）＝8﹣6ln3＞0，m′（3）＝8﹣10ln3＜0，m″（t）＝，故y＝m′（t）在（1，）递增，在（，+∞）递减，又m′（1）＞0，m′（3）＜0，则在区间（，3）内存在t0使得m′（t0）＝0，函数y＝m（x）在（1，t0）递增，在（t0，3）递减，由m（3）＝0，m（1）＝0，故t∈（1，3）时满足，＝t+2+＝＝，故a＝∈（，），即实数a的范围是（，）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，分类讨论思想，是一道综合题。

2021年浙江省高考数学试题卷一、选择题1. 设集合A = {x|x≥1}，B = {x| - 1 < x < 2}，则A∩B（）A. {x|x >- 1}B. {x|x≥1}C. {x| - 1 < x < 1}D. {x|≤x < 2}2. 已知a∈R，（1 + ai）i = 3 + i，（i为虚数单位），则a = （）A. - 1B. 1C. - 3D. 33. 已知非零向量（，则（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. 32B. 3C.3√22D. 3√25. 若实数xy满足约束条件，则z = x- 12 y，的最小值是（）A. - 2B. - 32C. -12D.1106. 如图已知正方体ABCD- ABCD，M，N分别是A1D，D1B的中点，则（）A. 直线A1D与直线D1B垂直，直线MN//平面ABCDB. 直线. A1D与直线. D1B平行，直线MN⊥平面BD. D1B 1.C. 直线. A 1D与直线. D1B相交，直线MN//平面ABCDD. 直线. A1D与直线. D 1B异面，直线MN⊥平面BDD1B 1.7. 已知函数f （x ） = x 2 + 14 ，g （x ） = sinx ，则图象为如图的函数可能是（ ）A . y = f （x ） + g （x ） - 14 B . y = f （x ） - g （x ） - 14C . y = f （x ）g （x ）D . y =g （x ）f （x ）8. 已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sin αcos β，sin βcos γ，sin γcos α三个值中，大于 12 的个数的最大值是（ ）A . 0B . 1C . 2D . 39. 已知a ，b ∈R ，ab > 0，函数f （x ） = ax 2 + b （x ∈R ）. 若f （s - t ），f （s ），f （s + t ）成等比数列，则平面上点（s ，t ）的轨迹是（ ） A 直线和圆 B . 直线和椭圆C . 直线和双曲线D . 直线和抛物线10. 已知数列﹛a n ﹜、满足a 1=1，a n1 = a n1+√a n（n ∈N *）. 记数列﹛a n ﹜的前n项和为S n ，则（ ）A . 1 2 < S 100 < 3B . 3 < S 100 < 4C . 4 < S 100 < 9 2D . 9 2 < S 100 < 5二、填空题11. 我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明. 弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）. 若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为S 1，小正方形的面积为S 2， 则 s 2s 1= （ ）12. 已知a ∈r ，函数f （x ）={x 2−4，x＞2，|x −3|+a，x＜2若f [f √6]=3，则a=（ ）13. 已知多项式（x-1）3 + （x+1）4 = x 4 + a 1x 3 + a 2 x 2 + a 3x + a 4 ，则 a 1 =_________ ，a 2 + a 3+ a 4 = _________ .14. 在△ABC 中，∠B = 60°，AB = 2，M 是BC 中点，AM = 2√3，则AC = _________ ，cos ∠MAC = _________ .15. 袋中有4个红球m 个黄球，n 个绿球. 现从中任取两个球，记取出的红球数为 ，若取出的两个球都是红球的概率为 1 6 ，一红一黄的概率为 13 ，则m - n =_________ ，E （ ） = _________ 。

浙江省2021年高考数学一模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·西城期中) 已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·深圳模拟) 已知复数满足，（为的共轭复数）.下列选项（选项中的为虚数单位）中（）.A .B .C . 或D . 或3. （2分）(2017·抚顺模拟) 已知菱形ABCD的边长为2，E为AB的中点，∠ABC=120°，则的值为（）A . 3B . ﹣3C .D . ﹣4. （2分） (2018高一上·定州期中) 下表是某次测量中两个变量的一组数据,若将表示为关于的函数,则最可能的函数模型是（）234567890.63 1.01 1.26 1.46 1.63 1.77 1.89 1.99A . 一次函数模型B . 二次函数模型C . 指数函数模型D . 对数函数模型5. （2分） (2016高二上·金华期中) 如图是正六棱柱的三视图，其中画法正确的是（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高一下·龙岩期末) 执行如下程序框图，如果输入的，则输出的值是（）A .B .C .D .7. （2分）(2020·绍兴模拟) 如图，一系列椭圆，射线与椭圆交于点，设，则数列是（）A . 递增数列B . 递减数列C . 先递减后递增数列D . 先递增后递减数列8. （2分） (2016高二下·钦州期末) 3个班分别从5个风景点处选择一处游览，不同的选法种数是（）A . 53B . 35C . A53D . C539. （2分） (2017高二下·高青开学考) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+y的最大值为（）A . 4B . 11C . 12D . 1410. （2分） (2020高二下·都昌期中) 若，则等于（）A . -4B . 4C . -64D . -6311. （2分） (2018高一下·鹤岗期末) 用与球心距离为的平面去截球所得的截面面积为，则球的表面积为（）A .B .C .D .12. （2分） (2020高二上·玉溪期中) 已知定义在上的函数是奇函数，且满足，数列满足，且，为的前n项和，，则（）A . 1B . 3C . -3D . 0二、填空题. (共4题；共5分)13. （1分） (2017高三下·长宁开学考) 已知tanθ=2，则sin2θ+sec2θ的值为________．14. （1分） (2020高一上·成都期末) 已知函数（），，则函数的零点个数为________.15. （2分） (2018高一上·温州期中) lg4+2lg5=________；若loga2=m，loga3=n，则 =________．16. （1分） (2016高三上·崇礼期中) 曲线y=e2x在x=0处切线方程为________．三、解答题：解答写出文字说明、证明过程或演算过程． (共7题；共60分)17. （5分） (2020高一下·新绛月考) 在△ABC中，内角所对的边分别为，已知.(Ⅰ)求证：成等比数列；(Ⅱ)若，求△ 的面积S.18. （10分） (2020高二下·长春期中) 某校高二（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，如图所示：试根据图表中的信息解答下列问题：（1）求全班的学生人数及分数在之间的频数；（2）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于，和分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中，成绩位于分数段的人数X的分布列和数学期望.19. （5分） (2018·枣庄模拟) 如图，四棱锥中，底面是平行四边形，且平面平面，为的中点，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面．20. （10分） (2019高二下·南山期末) 已知抛物线E的焦点F在x轴正半轴上，其弦AB过点F且垂直于x 轴，若 .（1）求抛物线E的标准方程；（2）设M，N是抛物线E上不重合两点，M与N两点的纵坐标之和为4，求直线MN的斜率.21. （10分） (2018高二下·沈阳期中) 已知函数．（1）若是函数的极值点，求的值及函数的极值；（2）讨论函数的单调性．22. （10分） (2019高三上·资阳月考) 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t 为参数），以原点O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设P（0，-1），直线l与C的交点为M，N，线段MN的中点为Q，求 .23. （10分）(2017·绵阳模拟) 已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣t|（t∈R）（1） t=2时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若对于任意的t∈[1，2]，x∈[﹣1，3]，f（x）≥a+x恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题. (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题：解答写出文字说明、证明过程或演算过程． (共7题；共60分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。

浙江省杭州市2021届新高考第一次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知实数0,1a b >>满足5a b +＝，则211a b +-的最小值为（ ）A ．34+ B ．34+ C ．36+ D ．36+ 【答案】A 【解析】 【分析】 所求211a b +-的分母特征，利用5a b +＝变形构造(1)4a b +-=，再等价变形121()[(1)]41a b a b ++--，利用基本不等式求最值. 【详解】解：因为0,1a b >>满足5a b +＝， 则()21211()1114a b a b a b +=++-⨯⎡⎤⎣⎦-- ()21113(3414b a a b -⎡⎤=++≥+⎢⎥-⎣⎦， 当且仅当()211b aa b -=-时取等号， 故选：A ． 【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 2．已知a R ∈若（1-ai ）( 3+2i )为纯虚数，则a 的值为 （ ） A ．32-B ．32C ．23-D ．23【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算法则化简可得()3+223a a i +-，根据纯虚数的概念可得结果.由题可知原式为()3+223a a i +-，该复数为纯虚数，所以3+2032302a a a =⎧⇒=-⎨-≠⎩. 故选：A 【点睛】本题考查复数的运算和复数的分类，属基础题.3．2-31ii =+（ ） A ．15-22i B ．15--22iC ．15+22i D ．15-+22i 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】()()()()231231515111222i i i i z i i i i -----====--++-．故选B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 4．设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）． A ．()1,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()1,1- D ．()()1,00,1-【答案】B 【解析】 【分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由单调性的性质可知()f x 在[)0,+∞上单调递增，由此知()f x 在(],0-∞上单调递减，从而将所求不等式化为1x >，解绝对值不等式求得结果. 【详解】由题意知：()f x 定义域为R ，()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x xx -=+--=+-=++-，()f x ∴为偶函数，当0x ≥时，()()21ln 11f x x x=+-+， ()ln 1y x =+在[)0,+∞上单调递增，211y x =+在[)0,+∞上单调递减， ()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，则()f x 在(],0-∞上单调递减，由()()1f x f >得：1x >，解得：1x <-或1x >，x 的取值范围为()(),11,-∞-+∞.故选：B . 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.5．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5log 3f 的大小关系是（ ）A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫ ⎝⎭<D ．()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫ ⎝⎭<【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性可得235log 5log 5log 3>>，再根据()f x 的单调性和奇偶性可得正确的选项. 【详解】因为33log 5log 31>=，5550log 1log 3log 51=<<=， 故35log 5log 30>>.又2233log 5log 42log 9log 50>==>>，故235log 5log 5log 3>>. 因为当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数， 所以()()()235log 5log 5log 3f f f <<. 因为()f x 为偶函数，故()()3331log log 5log 55f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭-，所以()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭<. 故选：D. 【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题.6．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()22a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．C D 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C 的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可． 【详解】解：由()22a b c =+-，得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，∵ 2222cos a b c ab C +-=，∴ sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=即2sin 16C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵ 0C π<<， ∴ 5666C πππ-<-<， ∴ 66C ππ-=，即3C π=，则sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1222+ 故选D ．本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C 的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键． 7．已知复数z 满足11i z=+，则z 的值为（ ） A ．12B ．2C ．22D ．2【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算整理已知求得复数z ，进而求得其模. 【详解】因为21111111122i i z i z i i -=+⇒===-+-，所以22112222z ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C 【点睛】本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题. 8．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞） 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可. 【详解】 因为函数，解得且；函数的定义域为, 故选A ．定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.9．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（ ） A ．1427B ．2C ．1D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据极值点处的导数为零先求出m 的值，然后再按照求函数在连续的闭区间上最值的求法计算即可. 【详解】解：由已知得2()322f x x mx '=-+，(1)3220f m '∴=-+=，52m ∴=，经检验满足题意. 325()22f x x x x ∴=-+，2()352f x x x '=-+. 由()0f x '<得213x <<；由()0f x '>得23x <或1x >.所以函数()f x 在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，在2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在[1,2]上递增.则214()327f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭极大值，(2)2f =， 由于(2)()f f x >极大值，所以()f x 在区间[0,2]上的最大值为2. 故选：B. 【点睛】本题考查了导数极值的性质以及利用导数求函数在连续的闭区间上的最值问题的基本思路，属于中档题． 10．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有（ ）A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种【答案】B 【解析】 【分析】分成甲单独到A 县和甲与另一人一同到A 县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到A 县的分法数. 【详解】如果甲单独到县，则方法数有226C A ⨯=种.如果甲与另一人一同到A 县，则方法数有12326C A ⨯=种.故总的方法数有6612+=种. 故选：B 【点睛】本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.11．历史上有不少数学家都对圆周率作过研究，第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德，他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界，开创了圆周率计算的几何方法，而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得π的近似值，他的方法被后人称为割圆术．近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值的表达式纷纷出现，使得π值的计算精度也迅速增加．华理斯在1655年求出一个公式：π2244662133557⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，根据该公式绘制出了估计圆周率π的近似值的程序框图，如下图所示，执行该程序框图，已知输出的 2.8T >，若判断框内填入的条件为?k m ≥，则正整数m 的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】初始：1k =，2T =，第一次循环：2282 2.8133T =⨯⨯=<，2k =，继续循环；第二次循环：8441282.833545T =⨯⨯=>，3k =，此时 2.8T >，满足条件，结束循环， 所以判断框内填入的条件可以是3?k ≥，所以正整数m 的最小值是3，故选B ．12．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：()()2262x m y m -+--=与圆2C ：()()22121x y ++-=交于A ，B 两点，若OA OB =，则实数m 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．-1D ．-2【解析】 【分析】由OA OB =可得，O 在AB 的中垂线上，结合圆的性质可知O 在两个圆心的连线上，从而可求. 【详解】因为OA OB =，所以O 在AB 的中垂线上，即O在两个圆心的连线上，()0,0O ，()1,6C m m +，()21,2C -三点共线，所以62m m+=-，得2m =-，故选D. 【点睛】本题主要考查圆的性质应用，几何性质的转化是求解的捷径. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。