- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
数值分析上机实习作业二
王强 SY1413315
题目:
试求矩阵������ = [������������������]10×10 的全部特征值,并对其中的每个实特征值求相应的特征向量, 已知:
������������������
=
{1.s5i2n(c0os.5(������������
+ 0.2������) + 1.2������)
(6) A 相应的实特征值的特征向量。 (7) 发现的现象与遇到的问题。 3. 采用 e 型数输出实型数,并且至少显示 12 位有效数字。
算法设计思路和方案
该问题的求解起始主要分为三个步骤,第一步是对 A 拟上三角化得矩阵������(������−1);第二步 是对矩阵������(������−1)进行带双步位移的 QR 分解迭代,并求出全部特征值;第三部是求出所有实 特征值对应的特征向量。
������������ = ������������ − ������������������
������������
=
������������
||������������
||
2
������������ = ������ − 2������������������������������
为了避免矩阵相乘采用如下步骤计算
2. 若 m≤0,则结束计算,已求出 A 的全部特征值,判断���������(������������)���−1 < 10−12或���������(���������−) 1������−2 < 10−12 或 m≤2 是否成立,成立则转 3,否则转 4; 3. 若���������(������������)���−1 < 10−12,则得一个特征值������������������,m=m-1,降阶;若���������(���������−) 1������−2 < 10−12,则计算 矩阵:
[0 ⋯
源自文库
0
������������������−1
������������������ ]
是否存在下列形式的子块
������������+1 = [������������−01������−1
������������−1������ ������������������
]
������������−2������−2 ������������+1 = [ 0
关于第一步矩阵 A 的拟上三角化
对于此步书上已经有明确的思路和实现方法了,只是在编程的过程中注意对下式在计算 的时候应注意避免矩阵乘矩阵
������(������+1) = ������������������(������)������������
如果设���������(���������������), (������ = ������ + 1, ������ + 2, ⋯ , ������不全为零,则有:
������ ≠ ������ ������ = ������
(������, ������ = 1,2, ⋯ ,10)
说明: 1. 在所用的算法中,凡是要给出精度水平的 ε,都取 ������ = 10−12。 2. 打印以下内容: (1) 采用带双步位移的 QR 分解法,说明算法设计方案和思路。 (2) 全部源程序。 (3) 矩阵 A 经过拟上三角化后的矩阵������(������−1)。 (4) 对矩阵������(������−1)实行 QR 方法迭代结束后所得的矩阵;
关于对矩阵������(������−������)进行带双步位移的 QR 分解迭代
尽管书上给出了算法实现的 11 个步骤,然而在思路很混乱,在判断某步 QR 迭代后能
否对得到的矩阵������������+1求部分特征值以达到降阶方面,按照书上的判断方法,几乎不可避免的
得使用 goto 语句,这使得程序流程变得混乱。经过仔细分析后,可以发现能否求解������������+1的
������′(������) = (������(������) − 2������(������)������������������������������ ) 1. 计算中间向量������������ = ������(������)������������;
2. 从������ = 1,2, ⋯ , ������, ������ = ������ + 1, ⋯ , ������计算���������′������(���������) = ���������(���������������) − 2������������(������)������������(������), ������′(������) = [���������′������(���������)]; 3. 计算中间向量������������ = ������������������ ������′(������); 4. 从������ = 1,2, ⋯ , ������, ������ = ������ + 1, ⋯ , ������计算���������(���������������+1) = ���������′������(���������) − 2������������(������)������������(������), ������(������+1) = [���������(���������������+1)];
关于第一步矩阵 A 的拟上三角化.............................................................................................2 关于对矩阵������������ − ������进行带双步位移的 QR 分解迭代..............................................................3 关于求从属于矩阵 A 的实特征值������������的特征向量.....................................................................3 计算结果 .............................................................................................................................................4 发现的现象与问题: ............................................................................................................................7 探究带双步位移的 QR 分解比一般 QR 分解节省的计算量...................................................7 探究拟上三角化对 QR 分解迭代收敛速度的影响 ..................................................................7 关于直接单步 QR 分解计算发现的问题..................................................................................9 源程序 ...............................................................................................................................................10
0
������������−2������−1 ������������−1������−1 ������������������−1
������������−2������ ������������−1������ ] ������������������
而其本质就是
1. 令������ = 1, ������ = 10, ������1 = ������(������−1) = [������������������]������×������以及最大迭代步数 L;
(5) 矩 阵 A 的 全 部 实 特 征 值 ������������ = (������������, ������������) (������ = 1,2, , ⋯ ,10), 其中������������ = ������������(������������), ������������ = ������������(������������)。若λi是实数,则令������������ = 0;
[������������(������������(���−)������������1)������−���−1 1
������������(������������(���−)������������1)��������� ]
的特征值得矩阵 A 的两个特征值,m=m-2,降阶,转 2.;
4.若 k≤L,成立则令 ������ = ���������(���������−) 1������−1 + ���������(������������)��� ������ = ���������(������������)������������(���������−) 1������−1 − ���������(������������)���−1���������(���������−) 1������ ������������ = ������2������ − ������������������ + ������������
其中
������(������+1) = ������������ ������(������)������������ = (������ − 2������������������������������)������′(������) = ������′(������) − 2������������������������������������′(������)
目录
题目: .................................................................................................................................................2 算法设计思路和方案 .........................................................................................................................2
部分特征值然后实现矩阵������������+1降阶的关键在于判断一下拟上三角阵
������11 ������12
⋯
⋯
������1������
������21 ������22
������23
⋯
������2������
0
⋮
⋮
������������−1������−2 ������������−1������−1 ������������−1������
������������
=
(0,
⋯
,0,
���������(������+���)1,������
,
⋯
,
������
������������������������ )
������������ = −������������������ (���������(������+���)1,������) ‖������������‖2, (若���������(������+���)1,������ = 0,择取������������ = ‖������������‖2) 。