如图，在平面直角坐标系中，已知三角形AOB 是等边三角形，点A 的坐标（0，4），点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连接AP ，并把三角形AOP 绕着点A 按逆时针方向旋转，使边AO 与AB 重合，得到三角形ABD （1）求直线AB 的解析式
（2）当点P 运动到点（根号3，0），求此时DP 的长及点D 的坐标
（3）是否存在点P ，使三角形OPD 的面积等于（根号3）/4，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由
解：
（1）如图，过点B 作BE ⊥y 轴于点E ，作BF ⊥x 轴于点F.由已知得
BF=OE=2, OF=
∴点B 的坐标是
(，2)
设直线AB 的解析式是y=kx+b
，则有42b
b
=⎧⎪⎨=+⎪⎩
解得
34k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩
∴直线AB 的解析式是
y= +4 (2) 如图，∵△ABD 由△AOP 旋转得到，
∴△ABD ≌△AOP ， ∴AP=AD ， ∠DAB=∠PAO ，∴∠DAP=∠BAO=600， ∴△ADP 是等边三角形， ∴
=.
如图，过点D 作DH ⊥x 轴于点H ，延长EB 交DH 于点G , 则BG ⊥DH.
在Rt △BDG 中，∠BGD=900, ∠DBG=600.
∴BG=BD •cos600
×1
2
.
DG=BD •sin600
2=3
2
.
∴
7
2
∴点D 的坐标为
, 7
2
)
(3)假设存在点P, 在它的运动过程中,使△OPD
的面积等于4
. 设点P 为（t ，0），下面分三种情况讨论:
①当t ＞0时，如图，
BD=OP=t, DG=2
t,
∴
∵△OPD
， ∴
1(2)2t +=，
解得13t =
, 23t = ( 舍去) .
∴点P 1的坐标为 , 0 )
②当＜t ≤0时，如图，BD=OP=－t, BG=
∴DH=GF=2－（－2t ）=2+2t. ∵△OPD ，
∴ 1(2)224
t -+=，
解得 1t =, 2t =
∴点P 2的坐标为(，点P 3的坐标为(③当t ≤3- 时，如图，BD=OP=－t, DG=－2t,
∴DH=－2. ∵△OPD ，
∴1(2)224t t += ， 解得1t =(舍去), 2t =
∴点P 4的坐标为(3, 0)
综上所述,点P 的坐标分别为P 1、P 2 (, 0)、P 3 (, 0) 、
P4, 0)
